二次函数的图象与性质
二次函数的性质
二次函数的性质二次函数是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质。
在本文中，我们将探讨二次函数的性质，包括其图像的形状、顶点、轴对称性、零点和判别式等方面。
一、二次函数的图像形状二次函数的图像形状通常为一个开口向上或向下的抛物线。
它的开口方向由二次项的系数决定。
当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点是其图像的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。
顶点的横坐标称为函数的轴对称轴，可以通过公式 x = -b/2a 来计算。
顶点的纵坐标即为函数的最值。
三、二次函数的轴对称性由于二次函数是关于轴对称轴对称的，其图像可以通过轴对称轴进行折叠。
例如，如果一个点 (x, y) 在二次函数上，则点 (-x, y) 也在同一二次函数上。
四、二次函数的零点二次函数的零点即为函数与 x 轴相交的点，也就是函数的根。
我们可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 来找到二次函数的零点。
其中，a、b 和 c 分别代表二次函数的三个系数。
五、二次函数的判别式二次函数的判别式可以用来判断二次函数的零点情况。
判别式的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。
当判别式大于0时，二次函数有两个不同的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相同的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根，只有虚根。
六、二次函数的导数与凹凸性二次函数的导数是一个一次函数，其斜率与二次函数切线的斜率相等。
根据导数的正负可以判断二次函数的凹凸性。
当导数大于0时，二次函数在该区间上是上凹的；当导数小于0时，二次函数在该区间上是下凹的。
七、二次函数的平移和缩放二次函数通过平移和缩放可以变换其图像的位置和形状。
平移是通过在函数中加上或减去一个常数来实现，而缩放是通过在函数的系数前面乘以一个常数来实现。
综上所述，二次函数是一个具有多种性质的函数，包括图像形状、顶点、轴对称性、零点、判别式、导数与凹凸性以及平移和缩放等方面。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数的性质
二次函数的性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它是一种形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
在本文中，我将详细介绍二次函数的性质，包括定义、图像、顶点、对称轴、零点、判别式以及二次函数的分类。
一、二次函数的定义二次函数是一种多项式函数，它的最高次项是二次项，即x的平方项。
一般地，我们可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数，且a≠0。
常见的二次函数包括抛物线、开口方向为上或下的曲线。
二、二次函数的图像二次函数的图像通常是一个U形或者倒U形的曲线，也即抛物线。
抛物线开口的方向取决于二次函数的系数a的正负。
1. 当a>0时，抛物线开口向上，图像在坐标系的正半轴上方；2. 当a<0时，抛物线开口向下，图像在坐标系的负半轴上方。
三、二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。
顶点的横坐标可以通过用-b/2a求得，纵坐标可以通过将横坐标代入函数得出。
四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点并垂直于x轴的一条直线。
对称轴的方程为x=-b/2a。
五、二次函数的零点二次函数的零点是指使函数取值为零的x的值。
可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0来得到零点。
根据一元二次方程的求根公式，可得x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
当判别式b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，方程没有实根。
六、二次函数的判别式二次函数的判别式D=b²-4ac可以用来判断二次函数的图像和零点的性质。
1. 当D>0时，方程有两个不相等的实根，图像与x轴有两个交点；2. 当D=0时，方程有两个相等的实根，图像与x轴有一个交点；3. 当D<0时，方程没有实根，图像与x轴无交点。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的图像与性质，包括图像的形状与位置、顶点坐标、对称性、最值和零点等方面。
1. 图像的形状与位置二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，它的形状取决于二次项的系数a的正负和大小。
如果a大于0，则抛物线开口朝上；如果a小于0，则抛物线开口朝下。
a的绝对值越大，抛物线的开口越窄；a的绝对值越小，抛物线的开口越宽。
2. 顶点坐标二次函数的顶点是抛物线的最高点（开口朝下）或最低点（开口朝上），它的坐标可以通过顶点公式来求得。
顶点公式为：x = -b/(2a)，y = f(x) = c - b²/(4a)顶点坐标的x值表示抛物线的对称轴位置，y值表示抛物线的最值。
3. 对称性二次函数的图像具有对称性。
对于任意点(x, y)在图像上，其关于对称轴的对称点也必定在图像上。
对称轴通过顶点，因此对称性可以通过对称轴方程来表示：x = -b/(2a)。
4. 最值二次函数的最值即为函数在定义区间内的最大值或最小值。
开口朝上的二次函数在顶点处取得最小值，开口朝下的二次函数在顶点处取得最大值。
最值的计算可以通过顶点坐标中的y值来得到。
5. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴的交点。
也就是函数取值为0时的x值，可以通过解二次方程f(x) = 0来求得。
二次方程的解可以使用求根公式，即：x = (-b ±√(b²-4ac))/(2a)其中±表示两个解，可能有两个不同的零点，也可能有两个相等的零点，甚至可能没有实数解。
总结：二次函数的图像与性质可以通过以下几个方面来描述：图像的形状与位置，顶点坐标，对称性，最值和零点。
这些性质对于理解和应用二次函数都非常重要。
通过本文的介绍，相信读者对二次函数的图像与性质有了更深入的理解。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
第12节 二次函数的图象和性质
27＋10a a＜－5.
练习：若函数 f（x）解：=x函2+数afx（+xb）在=x2区+ax间+b[的0图，象1是]上开的口朝最上大且值以直是线Mx=，﹣最为小对值称是轴的m抛，物则线，
解：函数 y=x2+（1﹣a）x+2 的对称轴 x= 又函数在区间（﹣∞，4]上是减函 数，可得 ≥4，，得 a≥9． 故选 A．
典例分析：
（3）如果函数 f（x）=ax2+2x﹣3 在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数 a
的取值范围是（ ）
A.（- 1，+） 4
B.[- 1 ，+） 4
C.[- 1 ，0） 4
典例分析：
例 4：（1）已知函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，对一切实数 x，f（x）＜0 恒成立，则
m 的范围为（ ）
A．（﹣4，0）
解：当 m=0 时，代B．入（得﹣f（4x），=0﹣]1＜0 恒成立；
当 m≠0 时，由 f（x）＜0 恒成立，
C．（﹣∞，﹣4）∪得（到0m，＜+0，∞且）△=D（．﹣（m﹣）2∞﹣4，×m﹣（4﹣）1）∪=[m02+，4m+＜∞0，）
∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，
D．﹣
即 a2﹣a﹣1＜x2﹣x．
令 t=x2﹣x，只要 a2﹣a﹣1＜tmin．
t=x2﹣x=
，当 x∈R，t≥﹣ ．
∴a2﹣a﹣1＜﹣ ，即 4a2﹣4a﹣3＜0，
解得：﹣
．
故选：C．
练习：若函数 f（x）=x2﹣4x+a 对于一切 x∈[0，1]时，恒有 f（x）≥0 成立， 则实数 a 的取值范围是（ ） A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，3）
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数的性质二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴直线x=-a b 2，二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小；x＞-a b 2时，y 随x 的增大而增大；x=-a b 2时，y 取得最小值a b ac 442-，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-a b 2时，y 随x 的增大而增大；x＞-a b 2时，y 随x 的增大而减小；x=-a b 2时，y 取得最大值a b ac 442-，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax 2的图象向右或向左平移a b 2个单位，再向上或向下平移ab ac 442-个单位得到的．二次函数上点坐标的特征二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-a b 2，ab ac 442-）.①抛物线是关于对称轴x=-a b 2成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析中的c 值．③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x 1，0），（x 2，0），则其对称轴为x=221x x +【例1】已知()()212232m x m x m m y m m +-+-=--是关于x 的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．【例2】下列各式中，一定是二次函数的有（）①y=2x 2﹣4xz +3；②y=4﹣3x +7x 2；③y=（2x ﹣3）（3x ﹣2）﹣6x 2；④y=21x﹣3x +5；⑤y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）；⑥y=（m 2+1）x 2﹣2x ﹣3（m 为常数）；⑦y=m 2x 2+4x ﹣3（m 为常数）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例3】（2017•东莞市一模）在同一坐标系中，一次函数y=ax+b 与二次函数y=bx 2+a 的图象可能是（）A．B．C．D．【例4】（2017•辽阳）如图，抛物线y=x 2﹣2x﹣3与y 轴交于点C，点D 的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为（）A．1+2B．1﹣2C．2﹣1D．1﹣2或1+2【例5】（2017•唐河县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=31x 2经过平移得到抛物线y=ax 2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为38，则a、b 的值分别为（）A．31，34B．31，﹣38C．31，﹣34D．﹣31，34【例6】（2016•北仑区一模）如图，抛物线y=﹣x 2+5x﹣4，点D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD 的面积的最大值是多少？1、（2011秋•无锡期末）下列函数中，（1）y ﹣x 2=0，（2）y=（x +2）（x ﹣2）﹣（x ﹣1）2，（3）x x y 12+=，（4）322-+=x x y ，其中是二次函数的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2、（2015秋•五指山校级月考）函数y=（m ﹣n ）x 2+mx +n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 是常数，且m ≠0B ．m 、n 是常数，且m ≠nC ．m 、n 是常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数3、（2014•葫芦岛二模）在同一直角坐标系中，函数y=mx +m 和函数y=mx 2+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（）A ．B ．CD ．4、（2017•扬州）如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x 2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是（）A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣25、（2012秋•高安市期末）把抛物线y=﹣2x 2﹣4x﹣6经过平移得到y=﹣2x 2﹣1，平移方法是（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位6、（2017•泸州）已知抛物线y=41x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（3，3），P 是抛物线y=41x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．67、（2016•陕西校级模拟）如图，已知点A（8，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=6时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．358C．10D．528、（2010秋•西城区校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线经过点（1，0），则下列结论：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0，其中正确的是．9、（2017•孝感模拟）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有（填序号）．10、（2016•黄冈校级自主招生）方程2x﹣x 2=x 2的正实数根有个．11、（2011•路南区一模）已知二次函数y=（x﹣3a）2﹣（3a+2）（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．图中分别是当a=﹣1，a=﹣31，a=1时二次函数的图象．则它们的顶点所满足的函数关系式为．12、（2015•泗洪县校级模拟）若直线y=m （m 为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是．13、（2017春•昌江区校级期中）记实数x 1，x 2中的最小值为min{x 1，x 2}，例如min{0，﹣1}=﹣1，当x 取任意实数时，则min{﹣x 2+4，3x}的最大值为．14、（2016•锡山区一模）二次函数y=﹣x 2﹣2x 图象x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=21x+b 与该新图象有两个公共点，则b 的取值范围为．15、（2017春•平南县月考）抛物线238942++-=x x y 与y 轴交于点A，顶点为B．点P 是x 轴上的一个动点，当点P 的坐标是时，|PA﹣PB|取得最小值．16、（2014•上城区二模）已知当x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=6（m+n+1）时，多项式x 2+4x+6的值等于．17、（2017•港南区二模）二次函数y=（a﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1的图象经过原点，则a 的值为．18、（2017•西华县二模）已知y=﹣41x 2﹣3x+4（﹣10≤x≤0）的图象上有一动点P，点P 的纵坐标为整数值时，记为“好点”，则有多个“好点”，其“好点”的个数为．19、（2017•鄂州）已知正方形ABCD 中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m 个单位（m＞0）与正方形ABCD 的边（包括四个顶点）有交点，则m 的取值范围是．20、作出下列函数的图象：（1）y=x 2﹣4x +3；（2）y=x 2﹣4|x |+3；（3）y=|x 2﹣4|x |+3|．21、（2017•海安县一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣41x+n 经过点A（﹣4，2），分别与x，y 轴交于点B，C，抛物线y=x 2﹣2mx+m 2﹣n 的顶点为D．（1）求点B，C 的坐标；（2）①直接写出抛物线顶点D 的坐标（用含m 的式子表示）；②若抛物线y=x 2﹣2mx+m 2﹣n 与线段BC 有公共点，求m 的取值范围．22、（2011•泰州）已知二次函数y=x 2+bx ﹣3的图象经过点P （﹣2，5）（1）求b 的值并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；（2）设P 1（m ，y 1）、P 2（m +1，y 2）、P 3（m +2，y 3）在这个二次函数的图象上，①当m=4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．23、（2017•邵阳县模拟）（1）已知函数y=2x+1，﹣1≤x≤1，求函数值的最大值．（2）已知关于x的函数y=（m≠0），试求1≤x≤10时函数值的最小值．（3）己知直线m：y=2kx﹣2和抛物线y=（k2﹣1）x2﹣1在y轴左边交于A、B两点，直线l 过点P（﹣2、0）和线段AB的中点M，求直线1与y轴的交点纵坐标b的取值范围．24、（2015秋•长兴县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，点E在CB边上，以每秒1个单位的速度从点C向点B运动，运动时间为t（s），过点E作AB的平行线，交AC边于点D，以DE为边向上作等边△DEF，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S．（1）当点F恰好落在AB边上时，求t的值；（2）当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a 的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点y = ax2当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大。
当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小。
（0，0）x=0（0，0）y = ax2+ k（0，c）x =0 (0，k）y = a( x + h)2（- h，0）x = - h(0，ah2）y=a(x+h)2+k（- h，k）x = - h(0，ah2+ k)y = ax2+bx+c b 4ac - b2 (- , )2a4a b x=-2a（0，c）2.抛物线的平移法则：（1）抛物线y = ax2+ k的图像是由抛物线y = ax2的图像平移k个单位而得到的。
当k 0时向上平移；当k0时向下平移。
（2）抛物线y = a（x + h）2的图像是由抛物线y = ax2的图像平移h个单位而得到的。
当h0时向左平移；当h0时向右平移。
（3）抛物线的y = a（x + h）2+ k图像是由抛物线y = ax2的图像上下平移k个单位，左右平移h个单位而得到的。
当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0 时向右平移。
3.二次函数的最值公式：形如y =ax + bx + c的二次函数。
当a0时，图像有最低点，函数有最小值4ac-b24ac-b2y最小值=4a；当a0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值=4a；4.抛物线y =ax + bx + c与y轴的交点坐标是（0，c）5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。
6.二次函数y =ax + bx + c的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。
（2）自变量的取值范围不是一切实数：b 自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴x = -2a ,把他与取值范围相比较，再进行求最值。
二次函数的图像和性质
二次函数复习二：二次函数的图像和性质班级：姓名：知识点一.二次函数的图像和性质1.二次函数图像的画法: 五点作图法（1）顶点坐标；（2）与x轴的交点坐标；（3）与y轴的交点坐标，再找到该点关于对称轴对称的对称点坐标。
2.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小.a >0时，抛物线开口向上 ,a <0时，抛物线开口向下(a 的绝对值越大，抛物线的开口越小)。
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（口诀：左同右异 ，即a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧） （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 3.二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。
因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。
当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆<0时，图像与x 轴没有交点。
对称轴122x x x +=，在x 轴上截的线段长是||AB a =。
4.二次函数图象的平移① 对于抛物线y =ax 2+bx +c 的平移.通常先将一般式转化成顶点式()2y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则,化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。
二次函数的图像与性质ppt课件
二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.
y
位置不同; 最小值不同: 分别是1和0.
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).
二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同.
y=-2x2+1
y=-2x2
你能描述二次函数
y=ax2+c和y=ax2的图象和
抛物线
y=ax2 +c(a>0)
y=ax2 +c(a<0)
顶点坐标
（0，c）
（0，c）
对称轴
y轴
当c>0时,在x轴的上方 图像位置 当c<0时,与x轴相交.
开口方向
向上
y轴
当c<0时,在x轴的下方 当c>0时,与x轴相交
向下
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x<0时,y随着x的增大而减小. x<0时,y随着x的增大而增大.
增减性 x>0时,y随着x的增大而增大. x>0时,y随着x的增大而减小.
最值 当x=0时,最小值为c. 当x=0时,最大值为c6.
例3、如图，函数y ax2与y ax a在同一坐标系中的图像大致是
7
二次函数y=ax²+c与y=ax²的关系
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平 移|c|个单位得到的. (c>0时向上平移;c<0时,向下平移).
1
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.图像位置与开口方向 ３.增减性与最值
二次函数的性质
二次函数的性质二次函数是一种常见的数学函数形式，它的一般表达式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数具有许多独特的性质，下面将逐一阐述。
一、图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
当 a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中f(-b/(2a))为抛物线的最值。
二、轴对称性二次函数具有轴对称性，即抛物线以垂直于x轴的线为轴对称。
轴对称线的方程为x = -b/(2a)。
三、零点与解析式二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解。
通过求解二次方程ax^2 +bx + c = 0，可以得到二次函数的零点。
解析式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
四、判别式二次函数的判别式可以帮助我们判断二次方程的根的情况。
判别式的值为D = b^2 - 4ac，根据判别式的不同情况，可得到以下结论：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；2. 当D = 0时，方程有两个相等的实数根；3. 当D < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复根。
五、函数的增减性与极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的增减性与a的正负有关。
当a > 0时，函数在抛物线的开口上方是递增的；当a < 0时，函数在抛物线的开口下方是递增的。
同时，函数的极值点即为抛物线的顶点，极值点的纵坐标为函数的最值。
六、对称轴与对称性二次函数的对称轴是垂直于x轴的轴线x = -b/(2a)，对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
对称性质表明，若抛物线上存在点(x, y)，那么对称轴上也存在对应的点(-x, y)。
七、二次函数与二次方程的关系二次函数与二次方程紧密相关。
二次函数y = ax^2 + bx + c的图像和性质与二次方程ax^2 + bx + c = 0的解密切相关，二者是一一对应的关系。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、二次函数的一般形式二次函数是一种形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a eq0。
二、二次函数的图像1.抛物线二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2.判别法利用二次函数的判别式 $\\Delta = b^2 - 4ac$ 的正负性可以确定二次函数的图像开口方向和与x轴的交点情况。
3.最值点二次函数的顶点为抛物线的最值点，当a>0时，最小值在顶点处取得；当a<0时，最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为 $-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
三、二次函数的性质1.对称轴二次函数的对称轴为直线 $x = -\\frac{b}{2a}$，即抛物线关于对称轴对称。
2.单调性当a>0时，二次函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
3.零点二次函数的零点为方程f(x)=0的解，可以利用求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求得。
4.图像的平移如f(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为平移后的顶点坐标，抛物线上下平移，方向与a的正负有关。
四、应用二次函数在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
例如几何问题中的抛物线轨迹、物体自由落体运动方程、经济学中的成本、收益关系等均可用二次函数描述。
结语二次函数作为高中数学中重要的函数类型，在图像和性质上有着独特的表现，通过对其图像和性质的深入理解，可以更好地应用于解决实际问题。
希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握二次函数的知识。
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《二次函数的图象与性质》教学设计
课时题目：二次函数的图象与性质
教学目标：
1. 能画二次函数的图象，并能够比较它们与二次函数的图象的异同，理解对二次函数图象的影响.
2. 能说出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值.
3. 经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会数形结合思想在数学中的应用.
4. 通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
教学重点：
1.二次函数的图象和性质
2. 二次函数与二次函数图象的关系。
教学难点：
能够比较和的图象的异同，理解对二次函数图象的影响.
板书设计：
课题
二次函数的图象与性质：
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………………………………………………
………………
教学过程：
Ⅰ.温故知新、引入新课：
二次函数的图象是____________.
（1）开口___________；
（2）对称轴是___________；
（3）顶点坐标是___________；
（4）当时，随的增大而___________；
当时，随的增大而___________；
（5）函数图象有___________点，函数有___________值；
当_____时，取得__________值____.
问题：那二次函数的图象会是什么样子呢？它会有哪些性质呢？它与的图象有关系吗？
Ⅱ.自主探索、小组互学、展学提升：
1、学生活动内容及方法
学生以小组为单位：（1）作出二次函数的图象；
（2）观察、思考并与同伴交流完成“议一议”
（3）一小组派代表展示，其它小组与老师评价、完善。
2、自学问题设计
（1）作出二次函数的图象：
列表：观察的表达式，选择适当的值，填写下表：
描点：在直角坐标系中描出各点；
连线：用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象。
议一议：
仔细观察，用心思考，与同伴交流：
（1）二次函数的图象是什么样子？
（2）它的开口方向是什么？
（3）它是轴对称图形吗？对称轴是谁？
（4）它的顶点坐标是什么？
（5）当取什么值时，随的增大而增大？当取什么值时，随的增大而减小？
（6）二次函数的图象有最高点还是最低点？它会取得最大还是最小值？是多少？
此时，等于多少？
（7）二次函数与二次函数的图象有哪些相同点和不同点呢？它们的图象之间有什么关系呢？
3、教师活动内容
教师巡视，察看学生完成情况并适时给予指导。
当学生展开讨论时，参与到学生的交流中启发、点拨学生的思维。
当学生展示时，适时质疑、反问，帮助学生完善自己的思考
Ⅲ.自主探索、展示完善：
1、学生活动内容及方法
学生通过上一环节的作图、观察、比较、归纳、交流讨论等过程，已经积累了一些方法和经验，所以此环节由学生自己独立完成：
（1）作出二次函数的图象；
（2）观察、思考完成“想一想”
（3）一学生展示，其他同学与老师评价、完善。
2、自学问题设计
问：
二次函数的图象会是什么样子？它与二次函数的图象有哪些相同点和不同点呢？它们的图象之间有什么关系呢？它图象的开口方向、对称轴、顶点坐标是什么？它的增减性、最值是什么情况呢？请你先猜一猜，然后做出它的图象观察思考，你猜的对吗？
（1）作出二次函数的图象：
列表：观察的表达式，选择适当的值，填写下表：
描点：在直角坐标系中描出各点；
连线：用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象。
（2）想一想：
仔细观察，用心思考：
（1）二次函数的图象是什么样子？
（2）它的开口方向是什么？
（3）它是轴对称图形吗？对称轴是谁？
（4）它的顶点坐标是什么？
（5）当取什么值时，随的增大而增大？当取什么值时，随的增大而减小？
（6）二次函数的图象有最高点还是最低点？它会取得最大还是最小值？是多少？
此时，等于多少？
（7）二次函数与二次函数的图象有哪些相同点和不同点呢？它们的图象之间有什么关系呢？
3、教师活动内容
教师巡视,察看学生解决问题情况并适时指导.之后请学生展示,师生共同评价完善.
Ⅳ.自主探索、小组互学、展学提升：
1、学生活动内容及方法
学生在前面作图、观察、思考、交流讨论的基础上，完成“猜一猜”，然后师生共同利用计算机进行验证。
最后，学生在交流讨论的基础上总结二此函数的性质。
2、导学问题设计
猜一猜:
(1)二次函数的图象是什么样子呢?二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系?请你描述一下二次函数的性质.
(2) 二次函数的图象是什么样子呢?二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系?请你描述一下二次函数的性质.
议一议：
（1）二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系?
（2）二次函数的性质：
二次函数
性质
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
当______时，随的增大而增大；
当______时，随的增大而减小.
当______时，随的增大而增大；
当______时，随的增大而减小.
最值
当____时，函数取得
最____值____.
当____时，函数取得
最____值____.
3、教师活动内容
观察学生完成问题情况，并适时给予点拨。
学生展示，师生共同评价完善。
Ⅴ.评测练习
1. 函数的图象可由的图象向平移个单位长度得到；
函数的图象可由的图象向平移个单位长度得到.
2. 将函数的图象向平移个单位可得函数的图象；
将函数的图象向平移个单位长度可以得到函数的图象；
将函数的图象向平移个单位可得到的图象.
3. 将抛物线向上平移3个单位，所得的抛物线的表达式是 .
将抛物线向下平移5个单位,所得的抛物线的表达式是 .
4. 抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，当时，随的增大而，当时，随的增大而，当时，函数取得最值，这个值等于 .
5. 抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，随的增大而，在对称轴的右侧，随的增大而，当x= 时，函数取得最值，这个值等于 .
6. 二次函数的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数的表达式为；若点C(-2,m),D（n ,15）也在函数的图象上，则点C的坐标为，点D的坐标为______________.
Ⅵ.课堂小结：
本节课你的收获：
本节课你的疑惑：
Ⅶ.作业布置：。