2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编17：复数
2013年理科全国各省市高考真题——复数(带答案)
2013年全国各省市理科数学—复数1、2013全国理T2．()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 2、2013新课标I 理T2.若复数z 满足()i 34i 43+=-z（A ）4- （B ）54-（C ）4 （D ）543、2013新课标Ⅱ理T2.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1 4、2013辽宁理T1.复数的11Z i =-模为 （A ）12（B）2 （C（D ）25、2013山东理T1.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i6、2013北京理T2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 7、2013四川理T2.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D8、2013浙江理T1．已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA ．i +-3 B. i 31+- C. i 33+- D.i +-19、2013福建理T1.已知复数的共轭复数i 21z +=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、2013广东理T3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,211、2013安徽理T1.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z =（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i - 12、2013陕西理T6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z = (C) 若||||21z z =, 则2112··z z z z =(D) 若12||||z z =, 则2122z z =13、2013湖南理T1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14、2013湖北理T1.在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 15、2013重庆理T11.已知复数512iz i=+（i 是虚数单位），则_________z = 16、2013天津理T9. 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi= . 17、2013上海理T2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 18、2013江苏T2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．参考答案：1—5、A D A B D 6—10、D B B D C 11—14、A D B D15、12i + 17、2- 18、5。
新课标全国统考区2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编6：不等式
新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编6：不等式一、选择题1 ．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）当实数,x y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2200y x y x 时,恒有3ax y +≤成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．0a ≥C ．02a ≤≤D ．3a ≤【答案】D2 ．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）若*1(),()(),2f n n g n n n n N nϕ==-=∈,则(),(),()f n g n n ϕ的大小关系 （ ） A ．()()()f n g n n ϕ<< B ．()()()f n n g n ϕ<< C ．()()()g n n f n ϕ<<D ．()()()g n f n n ϕ<<【答案】B3 ．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）已知变量x ,y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则z =3x +y 的最大值为( )（ ）A ．12B ．11C ．3D ．-1【答案】B4 ．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）已知实数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥.,13,1,m y x x y y y x 满足如果目标函数y x z 45-=的最小值为—3,则实数m=（ ）A ．3B ．2C ．4D ．311 【答案】A5 ．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x +y=a 扫过A 中的那部分区域面积为 （ ）A ．2B ．1C ．34D ．74【答案】D6 ．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）若0.5222,log 3,log sin5a b c ππ===,则,,a b c 之间的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B7 ．（云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word 版） ）已知()f x 是定义域为实数集R的偶函数,10x ∀≥,20x ∀≥,若12x x ≠,则1212()()0f x f x x x -<-.如果13()34f =,184(log )3f x >,那么x 的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,12,2⎛⎤+∞⎥⎝⎦D ．110,,282⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B8 ．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）若a>1,设函数4)(-+=x a x f x 的零点为m,g(x)4log -+=x x a 的零点为n,则nm 11+的取值范围是 （ ）A ．(3.5,+∞)B ．(1,+∞)C ．(4,+∞)D ．(4.5,+∞)【答案】B9 ．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）已知点(),P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动,则z x y =-的取值范围是 （ ）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[]1,2-D ．[]1,2【答案】C10．（黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试 理科数学 Word 版含答案）设x 、y 满足约束条件2040220x y x y x y -+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数z = 2x + y 的最大值为 A ．-4B ．5C ．6D ．不存在【答案】C11．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）若实数x ,y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则目标函数 24z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．12C ．13D ．14【答案】C12．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）设实数,x y 满足约束条件:360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则2294a b +的最小值为（ ）A ．12 B ．1325C ．1D ．2【答案】A 13．（河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1434,,0y x x y x 则21++x y 的取值范围是 （ ）A ．]617,21[ B ．]43,21[C ．]617,43[ D ．),21[+∞【答案】A 二、填空题14．（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）已知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤++101553,034x y x y x ,则z =______.【答案】812[,]15515．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知点P (x ,y )的坐标满足条件0,0,20,≥≥≤x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩则z =2x -y 的最大值是_________. 【答案】416．（2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,0048022y x y x y x ,若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8,则b a +的最小值为_______. 【答案】417．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）设二次函数c x ax x f +-=4)(2的值域为[)+∞,0,_______18．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）若正实数a,b 满足:(a-1)(b-1)=4,则ab 的最小值是_____.【答案】919．（内蒙古包头市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设x,y 满足条件20360,(0,0)0,0x y x y z ax by a b x y -+≥⎧⎪--≤=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12,则32a b +的最小值为________【答案】 420．（河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）已知点P (x ,y )在不等式组1003x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥，－≥，≤表示的平面区域内运动,则34z x y =-的最小值为________ 【答案】解析:可行域是以11(,),(3,3),(3,2)22A B C -三点为顶点的三角形,当过点B 时,z 取最小值是3-.21．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）实数x,y 满足条件yx z y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+2,0,002204则的最小值为_________. 【答案】1-22．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+a x y x y x 00a (为常数)表示的平面区域的面积为8,则32+++x y x 的最小值为_________23．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）设,x y 满足约束条件00+2y y xx y a ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤,若目标函数3x y +的最大值为6,则a =______.【答案】【命题意图】本小题通过线性规划问题考查学生的运算求解能力,是一道基本题.【试题解析】由题意可知,3z x y =+取最大值6时,直线 36y x =-+过点(2,0),则点(2,0)必在线性规划区域内,且可以使一条斜率为3-的直线经过该点时取最大值,因此点 (2,0)为区域最右侧的点,故直线0+2x y a -=必经过点(2,0), 因此2a =.24．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知P 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界),若△PBC ,△PCA 和△PAB 的面积分别为,,x y z ,则1x yx y z +++的最小值是_________. 【答案】325．（山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）设实数x ,y 满足约束条件2220,20,220,x y x y x y x y ⎧-≤⎪-≥⎨⎪+--≤⎩,则目标函数z x y =+的最大值为_________. 【答案】4。
2013年高考试题数学分类汇编：复数
2013年高考试题数学分类汇编：复数一、选择题 1、（2013年高考浙江卷（文））已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)=（ ）A ．5-5iB ．7-5iC ．5+5iD ．7+5i2、（2013年高考课标Ⅱ卷（文））||=（ ）A ．2B ．2C ．D ．13、（2013年高考湖南（文））复数z=i ·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____ （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、（2013年高考四川卷（文））如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D5、（2013年高考课标Ⅰ卷（文））212(1)ii +=- （ ）A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -6、（2013年高考北京卷（文））在复平面内,复数(2)i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7、（2013年高考辽宁卷（文））复数的11Z i =-模为 （ ）A ．12B CD ．28、（2013年高考江西卷（文））复数z=i(-2-i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9、（2013年高考安徽（文））设i 是虚数单位,若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数,则a 的值为 （ ） A ．-3 B ．-1C ．1D ．310、（2013年高考福建卷（文））复数i z 21--=(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11、（2013年高考广东卷（文））若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512、（2013年高考山东卷（文））复数)()2(2为虚数单位i ii z -=,则=||z （ ）A ．25B ．41C ．5D ．5二、填空题13、（2013年高考湖北卷（文））i 为虚数单位,设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于原点对称,若123i z =-,则2z =__________.[14、（2013年高考天津卷（文））i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1-2i ) = ______.15、（2013年高考重庆卷（文））已知复数12z i =+(i 是虚数单位),则z =____________.16、（2013年上海高考数学试题（文科））设m ∈R ,()2221i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m =________.以下是答案 一、选择题 1、C2、C3、B4、B5、B6、A7、B8、D9、D10、C11、D12、C二、填空题13、23i-+-14、55i15、m=-16、2。
2013年高考真题理科数学解析分类汇编17 选考内容
2013年高考真题理科数学解析分类汇编17 选考内容一选择题1.2013安徽理（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和【答案】B【解析】在极坐标系中，圆心坐标232.101ππθθρ或故左切线为，半径，====r .2cos 2:.2cos 2cos ===⇒=θρπθθρρθ和即切线方程为右切线满足所以选B二填空题2.上海7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________答案：解析：⟹⟹ρ=，ρ=所以ρ=3.[湖南]9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 3 .【答案】 3 【解析】303)0,3(149,:22=⇒-=-⇒-=+-=a a y x C a x y l 的右顶点程：椭圆方方程直线4.上海3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=答案0 解析：⟹⟹x+y=05..已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 .【答案】 12【解析】 .考察柯西不等式12943631211))3()2(()111(2222222222≥++⇒=⋅+⋅+⋅≥++⋅++c b a c b a c b a ）（时，取最小值且当32,1,2===c b a .6..如图2的O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【答案】 23 【解析】23)2(5,422=-===⇒⋅=⋅PC r d CD DC PC PC DP PB AP 的距离，圆心到由相交弦定理得7.湖北 18.江西15（1）、（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c 的极坐标方程为15（2）、（不等式选做题）在实数范围内，不等式211x --≤的解集为9.陕西15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 2 . 【答案】2【解析】利用柯西不等式求解，212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am （,且仅当 n m bmbnan am =⇒=时取最小值 2 B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE.【答案】.6 【解析】..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,s i n c o sc o s 2.【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2【解析】 222)21()21=+-⇒y x （圆的方程21=⇒r 圆的半径 θθθθθθθsin cos sin ,cos cos cos 2cos 2⋅=⋅==⋅=⇒=⋅=⇒OP y OP x r OP 。
2013年高考真题—理科数学(福建卷)精校精析
2013年高考真题精校精析2013·福建卷(理科数学)1． 已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 1．D [解析] z ＝1－2i ，对应的点为P (1，－2)，故选D ．2． 已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．A [解析] 当a ＝3时，A ＝{1，3}，A ⊆B ；当A ⊆B 时，a ＝2或a ＝3，故选A ． 3． 双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A ．25B ．45C ．2 55D ．4 553．C [解析] 取一顶点(2，0)，一条渐近线x ＋2y ＝0，d ＝212＋22＝255，故选C ． 4． 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图1－1所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )图1－1A ．588B ．480C ．450D ．1204．B [解析] 成绩在[40，60)的频率P 1＝(0.005＋0.015)×10＝0.2，成绩不少于60分的频率P 2＝1－0.2＝0.8，所以成绩不少于60分的学生人数约为600×0.8＝480人，故选B ．5． 满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．105．B [解析] 当a ＝0时，2x ＋b ＝0⇒x ＝－b2，有序数对(0，b )有4个；当a ≠0时，Δ＝4－4ab ≥0⇒ab≤1，有序数对(－1，b )有4个，(1，b )有3个，(2，b )有2个，综上共有4＋4＋3＋2＝13个，故选B ．6． 阅读如图1－2所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )图1－2A ．计算数列{2n －1}的前10项和 B ．计算数列{2n －1}的前9项和 C ．计算数列{2n －1}的前10项和 D ．计算数列{2n －1}的前9项和6．A [解析] S ＝0，i ＝1→S ＝1，i ＝2→S ＝1＋2，i ＝3→S ＝1＋2＋22，i ＝4→…→S ＝1＋2＋22＋…＋29，i ＝11>10，故选A ．7． 在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A ． 5B ．2 5C ．5D ．10 7．C [解析] ∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC →⊥BD →，面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12×12＋22×（－4）2＋22＝5，故选C ．8． 设函数f (x )的定义域为，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 8．D [解析] 根据极值点是函数局部的性质可排除A 选项，根据函数f (x )的图像与f (－x )、－f (x )、－f (－x )的图像分别关于y 轴、x 轴、原点对称，可排除B 、C 选项，故选D ．9． 已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m9．C [解析] 取a n ＝1，q ＝1，则b n ＝m ，c n ＝1，排除A ，取a 1＝1，q ＝－1，m 取正偶数，则b n ＝0，排除B ，c n ＋1c n ＝a mn ＋1·a mn ＋2·…·a mn ＋ma m （n －1）＋1·a m （n －1）＋2·…·a m （n －1）＋m ＝q m ·q m ·…·q m ,\s \do 4(共m 个))＝qm 2，故选C ．10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C ．{|01},A x x B R =<<=D ．,A Z B Q ==10．D [解析] 函数f (x )为定义域S 上的增函数，值域为T .构造函数f (x )＝x －1，x ∈*，如图①，则f (x )值域为，且为增函数，A 选项正确；构造函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，52（x ＋1），－1<x ≤3，如图②，满足题设条件，B 选项正确；构造函数f (x )＝tan x －12π，0<x <1，如图③，满足题设条件，C选项正确；假设存在函数f (x )，f (x )在定义域上是增函数，值域为，则存在a <b 且a 、b ∈，使得f (a )＝0，f (b )＝1，因为区间(a ，b )内的整数至多有有限个，而区间(0，1)内的有理数有无数多个，所以必存在有理数m ∈(0，1)，方程f (x )＝m 在区间(a ，b )内无整数解，这与f (x )的值域为矛盾，因此满足题设条件的函数f (x )不存在，D 选项错误，故选D ．11． 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．11.23 [解析] 13<a <1，概率P ＝1－131＝23.图1－312．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图1－3所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是__________．12．12π [解析] 该多面体是棱长为2的正方体，设球的半径为R ，则2R ＝2 3⇒R ＝3，所以S 球＝4πR 2＝12π.13． 如图1－4所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝2 23，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为__________．图1－413.3 [解析] 设∠BAD ＝θ，则∠BAC ＝θ＋π2，sin θ＋π2＝23 2，所以cos θ＝23 2，△ABD 中，由余弦定理得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos θ＝ 3.14．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ．若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．14.3－1 [解析] 如图，△MF 1F 2中，∵∠MF 1F 2＝60°，∴∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a ＝23＋1＝3－1.15． 当x ∈，|x |<1时，有如下表达式：1＋x ＋x 2＋…＋x n ＋…＝11－x.两边同时积分得：∫1201dx ＋∫120xd x ＋∫120x 2d x ＋…＋∫120x n d x ＋…＝∫12011－x d x ，从而得到如下等式：1×12＋12×⎝⎛⎭⎫122＋13×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋…＝ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： C 0n ×12＋12C 1n ×122＋13C 2n ×123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝__________． 15.1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n ＋1－1 [解析] (1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ， 两边同时积分得C 0n ∫1201d x ＋C 1n ∫120xd x ＋C 2n ∫120x 2d x ＋…＋C n n ∫120x n d x ＝∫120(1＋x )n d x ， 得C 0n×12＋12C 1n ×122＋13C 2n ×123＋…＋1n ＋1C n n ×12n ＋1＝1n ＋132n ＋1－1. 16．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？16．解：方法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”，因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝⎛⎭⎫2，23，X 2～B ⎝⎛⎭⎫2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件，因为P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－25＝15，P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫1－25＝25，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫1－23×25＝215， 所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大． 17． 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．17．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a ．又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．18．如图1－5所示，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10，0)，点C 的坐标为(0，10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，联结OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈，1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈，1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．图1－518．解：(1)方法一：依题意，过A i (i ∈，1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ， 得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈，1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . 方法二：点P i (i ∈，1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈，1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i 10x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x 解得P i 的坐标为⎝⎛⎭⎫i ，i 210， 因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈，1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ， 得x 2－10kx －100＝0.此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ，①x 1·x 2＝－100，②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|.又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32. 所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.19．如图1－6所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值；(3)现将与四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f (k )，写出f (k )的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)图1－619．解：(1)证明：取CD 的中点E ，联结BE . ∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，所以CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k ，0，0)，C (0，6k ，0)，B 1(4k ，3k ，1)，A 1(4k ，0，1)，所以AC →＝(－4k ，6k ，0)，AB 1→＝(0，3k ，1)，AA 1→＝(0，0，1)．设平面AB 1C 的法向量＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得＝(3，2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→|·|n |＝6k 36k 2＋13＝67， 解得k ＝1，故所求k 的值为1. (3)共有4种不同的拼接方案． f (k )＝⎩⎨⎧72k 2＋26k ，0<k ≤518，36k 2＋36k ，k >518.20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的周期为π，图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0.将函数f (x )图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图像．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式；(2)是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫π6，π4，使得f (x 0)，g (x 0)，f (x 0)g (x 0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x 0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a 与正整数n ，使得F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰 (Ⅰ)选修4－2：矩阵与变换已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵＝对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)，求点P 的坐标． (Ⅰ)解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)． 由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′)＝又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1， 即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1，0)．(Ⅱ)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．(Ⅱ)解：(1)由点A 2，π4在直线ρcos θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. 所以圆C 的圆心为(1，0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交． (Ⅲ)选修4－5：不等式选讲设不等式|x －2|<a (a ∈)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．(Ⅲ)解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ． 解得12<a ≤又因为a ∈，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3.。
2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。
江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编15：复数
XX 省 2021 届高三最新数学〔精选试题 26 套〕分类汇编 15：复数一、填空题错误！未指定书签。
．〔XX 省XX 市2021 届高三下学期 5 月考前适应性考试数学〔理〕试题〕假设复数z1 (a 24) i,( a R) 是实数,那么a ______.a 22【答案】错误！未指定书签。
．〔XX 省 2021 届高三高考模拟卷〔二〕 〔数学〕 〕复数 z 满足( z -2)i=1+i(i是虚数单位 ), 那么复数z 的实部为 ________.【答案】 3错误！未指定书签。
．〔XX 省XX 市海门中学 2021 届高三下学期 5月月考数学试卷〕假设1 7i = bi (a, b R,i 是虚数单位 ), 那么乘积ab 的值是 _________2 ai【答案】 -3错误！未指定书签。
．〔XX 省XX 市第二中学 2021 年高考数学〔文科〕冲刺模拟试卷doc 〕复数z 满足2 i 那么复数 z 的实部与虚部之和为 ____________.z 3 ,i【答案】 2错误！ 未指定书签。
．〔XX 省启东中学假设 sin 2 1 i( 2 cos1) 是纯虚数,2021 届高三综合训练 〔 2〕〕那么 的值为 ___________【答案】 2k〔 k Z 〕4错误！未指定书签。
．〔XX 省XX 市2021 届高三考前模拟数学试题〕设i 是虚数单位,复数1ai为纯虚数 ,那么实数 a 的值为________.3i【答案】 3错误！未指定书签。
．〔XX 省XX 市横山桥中学 2021 年高考数学冲刺模拟试卷doc 〕设a 为实数,假设复数(1+2i)(1+ i)是纯虚数 , 那么a 的值是 _____.a1【答案】2错误！未指定书签。
．〔XX 省XX 市通州区姜灶中学2021 届高三 5 月高考模拟 数学试题 〕i 是虚数单1 2位 , 复数zi1 , 那么 z 虚部为 ____.i【答案】 -1,错误！未指定书签。
2013高考数学复数习题及答案
解析：z = tan45 —is in 60 = 1 —当,z 3 = ；—,故选 B.8. （2013黄冈中学一模）过原点和.3— i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 nA.-6要求的。
、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题 5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有 ） 项是符合题目3 一 i （2013山东復数口等于 A . 1 + 2i B . 1 — 2i C . 2 + i D . 2— i答案：C解析：3— i (3 一 i)(1 + i) = 4；2i = 2 + i.故选 C .1— i (1 — i)(1 + i) 2…3 + 2i 3— 2i2. （2013宁夏、海南 )复数2 — 3i 2； 3i =A . 0B . 2C .— 2iD . 2i答案： D解析： 3+ 2i3— 2i (3 + 2i)(2 + 3i) (3 — 2i)(2 — 3i) 13i —13i2— 2； 3i (2 — 3i)(2 + 3i) (2 — 3i)(2 + 3i) 13 131.i + i = 2i.z + 23. （2013陕西）已知z 是纯虚数，-是实数，那么z 等于1 — i A . 2i 答案：D解析：由题意得z = ai.(a € R 且0). .z + 2(2 + ai)(1 + i) 2 — a + (a + 2)iC . — iD . - 2i 1 — i （1 — i ）（1 + i ） 2则 a + 2 = 0, ••• a = — 2.有 z = — 2i ，故选 D.4. （2013武汉市高三年级 2月调研考试）若f （x ）=A . 2i 答案：BC .- 2i X 3 * — x 2 + x — 1,则 f(i)=D . — 2 解析：依题意，f （i ） = i 3— i 2+ i —1 = — i + 1 + i — 1 = 0，选择 B. 2— i4月）复数z = （i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于B .第二象限D .第四象限5. （2013北京朝阳A .第一象限C .第三象限答案：D2 — i 1 解析：z = 2—1 = 1 1 + i 2 3^i ，它对应的点在第四象限，故选D. 2 + i 6. （2013北京东城3月）若将复数—「表示为a + bi （a , b € R , i 是虚数单位 ）的形式，则即值为C . 2A . — 2答案：A2+ i解析： 亍 =1— 2i ，把它表示为a + bi(a , b € R , 7. (2013北京西城4月)设i 是虚数单位，复数 z =tan45 — i s in60 ；则A? 3i B.4 — .3i C.4+ 3i D.4 + ,3i答案：Bi 是虚数单位）的形式,©的值为一2,故选A. a z 2等于（n B. — 6D.5 n 6解析:a、b、c、d C R，若咒为实数，则9 •设A . bc + ad z 0 C . bc — ad = 0 答案：CB. bc — ad z 0D . bc + ad = 0a + bi (a + bi)( c — di) ac + bd , bc — ad bc — ad解析：因为c +i = c 2+ d 2 = c +2 +百孑i ，所以由题意有 尹孑=0? c 2+ d 2=c 2+ d110.已知复数 z = 1— 2i ,那么 ==z c 2+ d 2 bc — ad = 0.A 至+迺 A. 5 5 i 1 2 C.1+2i答案：D B”-罕i5 5 1 2D 一 — - i 5 5解析：由 z = 1-2i 知 z = 1 + 2i，于是 1 + 2i111+= 5 — |i.故选 D.1+ 4 5 5 11.已知复数z 1=3-bi, z 2=1-2i，若z 是实数,则实数b 的值为C . 0A红口 =(3- bi)(1 + 2i) = (3 + 2b)严-b)i是实数，则实数b 的值为6, z 21 — 2i (1 — 2i)(1 + 2i) 512. (2013广东)设z 是复数，a z)表示满足z ° = 1的最小正整数n ,则对虚数单位 答案: 解析:故选A.i, an =A . 2 答案：B解析：a i)表示i n = 1的最小正整数i yj 313 .若 z = 2+ _23i ，且(x — z)4= a o x 4n ,因i 4k = 1(k € N )，显然n = 4,即即曲)=4•故选B. + a i x 3+ a 2x 2 + a 3x + a 4,贝V a 2等于( )—2i2 2 iC . 6+ 3.3i 答案：B解析：•/T r +1 = C 4x 4—r (— z)r , 由 4— r = 2 得 r = 2,a 2= C 4(— z)2= 6x (—1 一 -^i)2=—3+ 3 .3i.故选 B.14 .若△ ABC 是锐角三角形，则复数 A •第一象限B .C •第三象限D . 答案：Bz = (cosB — si nA) + i(s inB — cosA)对应的点位于()第二象限第四象限解析：•••△ ABC 为锐角三角形, .A + B > 90° B >90° — A ,.cosB v sinA , sinB > cosA ,.cosB — sinA v 0, sinB — cosA > 0, .z 对应的点在第二象限.2 — bi15.如果复数 彷(其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于 ( )A. .22 B.2C .答案: 解析:C2— bi 1 + 2i 5 (2 — bi)(1 —2i) (2— 2b) (— 4— b).+ i16•设函数 f(x)=— x 5 + 5X 4— 10x 3+ 10x 2— 5x + 1，贝V f(1 +_23i)的值为 A . — ?+* B."^ — 2i C 】+鸣 D —並+占2 2 . 2 2 答案：C解析：■/f(x)=— (x — 1)5 •-f g + 23i)=— g+ 23i — 1)5 =—W 5(其中 3= — 1^23i) _ ( 1 迟、1+過 =—3 = —(— 2 — 2 i)= 2 十 2 I.17. 若i 是虚数单位，则满足(p 十qi)2= q + pi 的实数p , q 一共有 A . 1 答案：p =-宁， 因此满足条件的实数 p , q 一共有4对. 总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特1别注意不要出现漏解现象，如由 2pq = p 应得到p = 0或q =2 x 2018. 已知(影—矿的展开式中，不含 x 的项是27,那么正数p 的值是 ( )A . 1B . 2C . 3D . 4答案：C解析：由题意得：C 4 • 22= 20，求得p = 3.故选C.p 4 27总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含 x 的项，即找常数项.19.复数z =— lg(x 2+ 2) — (2x 十2—x — 1)i(x € R)在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限 C. 第三象限 D .第四象限 答案：C解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是 --- 对应的关系，即 z = a 十bi ，与复平面上的点 Z(a , b)对应，由 z =— lg(x 2 + 2) — (2x + 2—x — 1)i(x € R)知：a =— lg(x 2+ 2) v 0,又 2x 十 2—x — 1 > 2 2x 2 —x — 1= 1 > 0;• — (2x + 2—x — 1) v 0, 即卩b v 0.「.(a , b)应为第三象限的点，故选C.20.设复数z + i(z € C)在映射f 下的象为复数z 的共轭复数与i 的积，若复数 3在映射f 下的象为一1十2i ，则相应的3 为()A . 2B . 2 — 2iC .— 2十 iD . 2+ i答案：A解析：令 3= a 十 bi , a , b € R ，贝卩 3= [a + (b — 1)i]十 i , •映射 f 下 3 的象为[a — (b — 1)i] i- = (b — 1)十ai = — 1十 2i.第H 卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
2013年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，理1，5分】已知集合{}2|(1)4),M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （ ）（A ）{}0,1,2 （B ）{}1,0,1,2- （C ）{}1,0,2,3- （D ）{}0,1,2,3 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ，所以{}0,1,2M N = ，故选A ． （2）【2013年全国Ⅱ，理2，5分】设复数z 满足(1i)2i z -=则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i - 【答案】A【解析】2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===-+--+，故选A ． （3）【2013年全国Ⅱ，理3，5分】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19（D ）19-【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而211099a a +=，不满足题意，因此1q ≠．∵1q ≠时，33111(1)·101a q qa a S q -=-=+，∴31101q q q -=+-，整理得29q =． ∵451·9a a q ==，即1819a =，∴119a =，故选C ．（4）【2013年全国Ⅱ，理4，5分】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥ （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以//l α．同理可得//l β．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线，故选D ．（5）【2013年全国Ⅱ，理5，5分】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a =（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 【答案】D【解析】因为5(1)x +的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含2x 的项为221552C C 105()x ax x a x +⋅=+，所以1055a +=，1a =-，故选D ． （6）【2013年全国Ⅱ，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111+2310+++ （B ）1111+2!3!10!+++ （C ）1111+2311+++ （D ）1111+2!3!11!+++【答案】D【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，1=1+2S ；当3k =时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当4k =时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…； 当10k =时，123410T =⨯⨯⨯⨯ ，1111+2!3!10!S =+++ ，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确，故选D ．（7）【2013年全国Ⅱ，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz -的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为A 图形，故选A ．（8）【2013年全国Ⅱ，理8，5分】设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b C >> 【答案】D【解析】根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg5lg3>>， 所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c b a <<，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，理9，5分】已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值是1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2【答案】B【解析】由题意作出13x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线21x y +=，因为直线21x y +=与直线1x =的交点坐标为(1)1-，，结合题意知直线()3y a x =-过点(1)1-，，代入得12a =，故选B ． （10）【2013年全国Ⅱ，理10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，理11，5分】设抛物线22(0)y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF为直径的圆过点0,2（），则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x = 【答案】C【解析】设点M 的坐标为00()x y ，，由抛物线的定义，得052P MF x =+=，则052x p =-．又点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为()()0020p y y x x x y ⎛⎫- ⎭-⎪⎝-+=．将0x =，2y =代入得00840px y +-=，即0202480y y -+=，所以04y =．由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =． 所以C 的方程为24y x =或216y x =，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，理12，5分】已知1,0A -（），1,0B （），0,1C （），直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）（A ）0,1（） （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）113⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，理13，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=______． 【答案】2【解析】解法一：在正方形中，12AE AD DC =+ ,BD BA AD AD DC =+=-,所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．解法二：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()2,0，点D 的坐标为()0,2，点E 的坐标为()1,2，则()1,2AE =，()2,2BD =-，所以2AE BD ⋅= ． （14）【2013年全国Ⅱ，理14，5分】从n 个正整数1,2,3,4,5，…，n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是114，则n =__ ____．【答案】8【解析】从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n种取法，两数之和为5的有()1,4，()2,3 2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =．（15）【2013年全国Ⅱ，理15，5分】设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_______．【答案】【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得1t a n 3θ=-，即1s i n c o s 3θθ=-．将其代入22sin cos 1θθ+=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以cos θ=，sin θ=sin cos θθ+=． （16）【2013年全国Ⅱ，理16，5分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为_______． 【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1101109S =10210450a a d d ⨯=+=＋，①115115141521510525d S a d a =+⨯==+．② 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n S n n --+⨯=-=．令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-．令()0f n '=，得0n =或203n =．当203n >时，()0f n '>,200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n +∈N ，则()648f =-，()749f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值49-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2013年全国Ⅱ，理17，12分】ABC ∆的内角的对边分别为,,,a b c 已知cos cos a b C c B =+．（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值． 解：（1）由已知及正弦定理得sin sin cos sin sin A B C C B =+．① 又()A B C π=-+，故()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+．② 由①，②和0()C π∈，得sin cos B B =， 又0()B π∈，，所以π4B =． （2）ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==．由已知及余弦定理得22π2cos 44ac a c =+-． 又222a c ac +≥，故ac ≤a c =时，等号成立．因此ABC ∆．（18）【2013年全国Ⅱ，理18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．1AA AC CB AB ===． （1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）求二面角1D ACE --的正弦值． 解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ． 因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）由AC CB AB ==得，AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系C xyz -．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，()12,0,2A ，()1,1,0CD =， ()0,2,1CE = ，()12,0,2CA =．设111()x y z =n ，，是平面1A CD 的法向量，则100CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取11(1)=--n ，，．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量， 则10CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取2,1()2=-m ，．从而||||o c s ==n?m n n m m 〈，〉，故sin ,=n m 即二面角1D ACE --（19）【2013年全国Ⅱ，理19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作1为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率)，求T 的数学期望．解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7． （3）依题意可得T所以450000.1ET =⨯+（20）【2013年全国Ⅱ，理20，12分】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b +(0a b >>)右焦点的直线0x y +交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．（1）求M 的方程；（2）C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，00()P x y ，，则221122=1x y a b+，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---， 由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-．因为1202x x x +=，1202y y y +=，0012y x =，所以222a b =． 又由题意知，M 的右焦点为)，故223ab -=．因此26a =，23b =．所以M 的方程为22=163x y +．（2）由220163x y xy⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩AB =CD 的方程为： y x n n ⎛=+<<⎝，设33()C x y ，，44()D x y ，．由22163y x nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234260x nx n ++-=． 于是3,4x =CD 的斜率为1，所以43|x xCD -由已知，四边形ACBD 的面积1||||2S CD AB =⋅=． 当0n =时，S ．所以四边形ACBD ．（21）【2013年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数()ln()x f x e x m =-+．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()0f x >．解：（1）()1e x mf x x =-'+．由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1-+∞，，()1e 1x f x x =-+'．函数()1e 1x f x x =-+'在()1-+∞，单调递增，且()00f '=． 因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当0()x ∈+∞，时，()0f x '>．所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0)+∞， 单调递增．（2）当2m ≤，()x m ∈-+∞，时，()()ln ln 2x m x +≤+，故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()1e 2x f x x =-+'在()2-+∞，单调递增．又()10f '-<，()00f '>， 故()0f x '=在()2-+∞，有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-．当02()x x ∈-，时，()0f x '<； 当0()x x ∈+∞，时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得001e 2x x =+， ()00ln 2x x +=-，故()()20000011022f x x x x f x x (+)+=≥>++=．综上，当2m ≤时，()0f x >． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且 ··BC AE DC AF =，B ，E ，F ，C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有C E D C =， 又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。
北京市2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编15：复数
北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编15：复数一、选择题1 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在复平面内,复数ii+-221对应的点的坐标为 （ ）A ．()1,0-B ．()1,0C ．⎪⎭⎫⎝⎛-53,54 D ．⎪⎭⎫⎝⎛53,54 【答案】答案A12(12)(2)52(2)(2)5i i i ii i i i ----===-++-,所以对应点的坐标为(0,1)-,选 （ ）A ．2 ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）复数=+-i i123 （ ）A ．i 2521+ B ．i 2521- C ．i 2521+-D ．i 2521--【答案】B ．3 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）复数(34)i i +的虚部为（ ）A ．3B ．3iC ．4D ．4i【答案】（ ）A ．4 ．（2013届北京丰台区一模理科）复数z=1i i-在复平面内对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A5 ．（2013届北京西城区一模理科）若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A6 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）i 为虚数单位,复数11i-的虚部是 （ ） A ．12B ．12-C ．1i 2-D ．1i 2【答案】A7 ．（2013届北京大兴区一模理科）复数2(1i)-的值是（ ）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【答案】D8 ．（2013北京西城高三二模数学理科）在复平面内,复数1z 的对应点是1(1,1)Z ,2z 的对应点是2(1,1)Z -,则12z z ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．i -D ．i【答案】 B;9 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）若复数(a-i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上,则实数a 的值是 （ ）A ．1B ．-1C D ．【答案】A 二、填空题10．（2013届东城区一模理科）复数(2i)i z =-的虚部是 .【答案】211．（2013届门头沟区一模理科）复数11iz i-=+，则z = ． 【答案】112．（2013北京朝阳二模数学理科试题）i 为虚数单位,计算3i1i+=+___________. 【答案】 2i -13．（2013届北京市延庆县一模数学理）若复数i m m m z)1()2(2+++-=（为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈，则=m . 【答案】214．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）在复平面内,复数(2)i i -对应的点的坐标为____.【答案】(1,2)15．（2013届房山区一模理科数学）已知复数z 满足(1)2z i i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z = .【答案】1i -+。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(17计数原理、二项式定理)
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17计数原理、二项式定理）、选择题:1 . (2013江西理)卜2—X2 5展开式中的常数项为()A . 80 B80 C. 40 D 40答案C解析T r+1= C5(x2)5—r—V = C5(—2)r x10—5r,令10 —5r = 0 得r = 2. A常数项为T3= C2(—2)2= 40.2. （2013辽宁理）使得N +的展开式中含有常数项的最小的n为I xjx 丿A. 4 B . 5 C . 6 D . 7【答案】B【解析】通项C：(3x)z1 n」r(1 )r=C；3n"x 2, 常数项满足条件n = 5 r，所以r = 2时n = 5最小x x23. （2013全国大纲文）（x+ 2）7 8的展开式中x9的系数是（）.A . 28B . 56C . 112D . 224答案：C解析：丁2+1= C；x8 2 22= 112x6.故选C .4. （2013全国大纲理）（1 + x）8（1 + y）4的展开式中x2y2的系数是（）.A. 56B. 84C. 112D. 168答案：D解析：因为（1 + x）8的展开式中x2的系数为C , （1 + y）4的展开式中y2的系数为C2 , 所以x2y2的系数为C8C4 =168.故选D.5 . （2013全国新课标n理）已知（1 + ax）（1 + x）5的展开式中x2的系数为5,则a等于（）A . —4 B. —3 C. —2 D. —1答案D解析（1 + ax）（1 + x）5中含x2的项为：（C5+ C：a）x2，即C；+ C：a = 5, a=—1.6、（2013全国新课标I理）设m为正整数，（X • y）2m展开式的二项式系数的最大值为a, （x y）2m 17（2013山东理）用0, 1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（A）243 （B）252 （C）261 （D）279【答案】B展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7 b，则m =（）A、5B、6C、7D、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题【解析】由题知a = C2T m 解得m=6，故选B.即13 (2m)! _ 7 (2m 1)!m!m! (m + 1)!m! b=C2m11 ‘•••13c2T m=7c幕,9x10x10=900。
新课标全国统考区2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编13：统计
新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编13：统计一、选择题1 ．（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）已知实数:x ,y 取值如下表:从所得的散点图分析可知::y 与:r 线性相关,且yˆ==0. 95x+a ,则a 的值是 （ ）A ．1.30B ．1. 45C ．1. 65D ．1. 80【答案】B2 ．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）为防止某种疾病,今研制一种新的预防药,2K 的观测值为3.2079,则在犯错误的概率不超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”参考数据:（ ）A ．0.025B ．0.05C ．0.010D ．0.10【答案】D3 ．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计,得到了如图所示的频率分布直方图,如果该公司共有员工200人,则收到125条以上的大约有（ ）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人【答案】C4 ．（河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）给定一组数据x 1,x 2,,x 20若这组数据的方差为3,则 数据2x 1+3,2x 2+3,,2x 20+3的方差为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】C二、填空题5 ．（云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word 版） ）一个射击训练,某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况,且该小组的平均成绩为8.15环,设该小组成绩为7环的有x 人,成绩为8环、9环的人数情况见下表:那么=_________________.【答案】56 ．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）在一次考试中,5名学生的数学和物理成绩如下表:(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)现已知其线性回归方程为∧∧+=a x y 36.0,则根据此线性回归方程估计数学 得90分的同学的物理成绩为_______________.(四舍五入到整数)【答案】737 ．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）已知某化妆品的广告费用x(万元)与销售额y(百万元)的统计数据如下表所示:从散点图分析,y 与x 有较强的线性相关性,且a x yˆ95.0ˆ+=,若投入广告费用5万元,预计销售额为_________百万元.【答案】7.358 ．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）给出下列5种说法:①在频率分布直方图中,众数左边和右边的直方图的面积相等;②标准差越小, 样本数据的波动也越小;③回归分析就是研究两个相关事件的独立性;④在回归分 析中,预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的;⑤相关指数2R 是用来刻画回归效果的,2R 的值越大,说明残差平方和越小,回归模型的拟合效果越好.其中说法正确的是____________(请将正确说法的序号写在横线上). 【答案】【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想,是一道中档难度的综合试题.【试题解析】由统计学的相关定义可知,②④⑤的说法正确.三、解答题 9 ．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）为了研究玉米品种对产量的影响,某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000 株的生长情况进行研究,现采用分层抽样方法抽取50株作为样本,统计结果如下:(1) 再从这10株玉米中随机 选出3株,求选到的3株之中既有圆粒玉米又有皱粒玉米的概率;(2) 根据对玉米生长情况作出的统计,是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下 认为玉米的2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++)【答案】【命题意图】本小题通过统计与概率的相关知识,具体涉及到随机变量的分布列、数学期望的求法和统计案例中独立性检验等知识内容,考查学生对数据处理的能力,对考生的运算求解能力、推理论证能力都有较高要求. 本题属于统计概率部分综合题,对考生的统计学的知识考查比较全面,是一道的统计学知识应用的基础试题.【试题解析】解:(1) 现采用分层抽样的方法,从样本中取出的10株玉米中圆粒的有6株,皱粒的有4株,所以从中再次选出3株时,既有圆粒又有皱粒的概率为1221646431045C C C C P C +==.(2) 根据已知列联表:所以2250(1171319)3.860 3.84130202426K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.又2( 3.841)0.050p K=≥,因此能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关.。
2013年全国高考题目分类解析——复数部分
1.（安徽文科、理科第1题） 设 i 是虚数单位，复数ai i1+2-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 12 答案：A 解：5)12()2(5)2)(1(21i a a i ai i ai ++-=++=-+为纯虚数，则2=a 。
2.（北京理科第2题） 复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+ 解：i i i i i i ==-+-=+-555)21)(2(212，选A 3.（北京文科第2题）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ 答案：A4.（福建理科第1题）i 是虚数单位，若集合S={}1,0,1-，则A.i S ∈B.2i S ∈C. 3i S ∈D.2S i ∈ 答案：B5.（福建文科2） i 是虚数单位1+i 3等于A.iB.-iC.1+iD.1-i答案：D6.（广东理科1）设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -（B ）．22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++- 7.（广东文科1）设复数z 满足iz=1，其中i 为虚数单位，则A.i -B.iC.1-D.1解：A8.（湖北理科1）i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A .9.（湖南理科1、文科2）若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
新课标全国统考区2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编11：二项式定理
新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编11：二项式定理一、选择题1 ．（黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试 理科数学 Word 版含答案）二项式(x + a )n展开式中各项二项式的系数和为32,各项系数和为243,则展开式中的第4项为 A ．80x 2B ．80xC ．10x 4D ．40x 3【答案】A2 ．（山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）若n的展开式中第四项为常数项,则n=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B n的展开式中第四项为35331332211()()22n n nn C xx C x ---⋅-=-,又第四项为常数项,所以502n -=,从而5n =,故选 B ．3 ．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）在(nxx )123-的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是 （ ）A ．一7B ．7C ．一28D ．28【答案】B4 ．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）设函数na x x f )()(+=,则)(x f 的展开式中4x 的系数为 （ ）A ．-360B ．360C ．-60D ．60【答案】D5 ．（云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word 版） ）在291()x x-的二项式展开式中,常数项是 （ ）A ．504B ．84C ．84-D ．504-【答案】B6 ．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）二项式5的展开式中常数项为（ ）A ．5B ．10C ．20-D ．40【答案】【命题意图】本小题通过二项展开式考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力,本小题是一道基本题.【试题解析】D 由题可知,展开式中的常数项为2325(40C =,故选D ．7 ．（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）设⎰=πsin xdxa 则二项式8)1(xax -的展开式中x 2项的系数是（ ）A ．-1120B ．1120C ．-1792D ．1792【答案】B二、填空题8 ．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）4101()4x +的展开式中常数项的值是________________(数字作答); 【答案】 459 ．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知611e n dx x =⎰,那么3()n x x-展开式中含2x 项的系数为________________.【答案】13510．（山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）设⎰=πsin xdx a,则二项式6)1(xx a -的展开式中的常数项等于________.【答案】160-11．（河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）设(x-1)5(2x+l )=a 0+a 1(x+1)+a 2(x+1)2++a 6(x+1)6,则a 1+a 2++a 6的值为_____【答案】33-12．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）为64,则展开式的常数项为____. 【答案】540-13．（黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）二项式523)1(xx -的常数项为____________________.(用数字作答)【答案】10-;14．（黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word 版 ）已知0>a ,若26(1)(1)xax ++的展开式中各项系数的和为1458,则该展开式中2x 项的系数为___________【答案】61。
浙江省2013届高三最新理科数学(精选试题17套+2008-2012五年浙江高考理科试题)分类汇编16：复数
浙江省2013届高三最新理科数学（精选试题17套+2008-2012五年浙江高考理科试题）分类汇编16：复数一、选择题1 ．（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则z 为（ ）A ．3+5iB ．3-5iC ．-3+5iD ．-3-5i【答案】A2 ．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word 版） ）已知i 是虚数单位,若1()i z i += ,则复数z 对应的点在复平面的第( )象限.（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】A3 ．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）已知11mni i=-+,其中,m n R ∈，i 为虚数 单位,则m ni += （ ）A ．12i +B ．2i +C ．12i -D ．2i -【答案】B4 ．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）设,a b 为实数,若复数121ii a bi+=++,则 （ ）A ．31,22a b == B ．3,1a b == C ．13,22a b == D ．1,3a b == 【答案】A5 ．（2008年高考（浙江理））已知a 是实数,1a ii-+是纯虚数,则a = （ ）A ．1B ．1-CD ．【答案】（ ）A ．6 ．（2010年高考（浙江理））对任意复数()i ,R z x y x y =+∈,i 为虚数单位,则下列结论正确的是（ ）A ．2z z y -=B ．222z x y =+ C ．2z z x -≥D ．z x y ≤+【答案】 答案:D解析:可对选项逐个检查,A 项,y z z 2≥-,故A 错,B 项,xyi y x z 2222+-=,故B 错,C 项,y z z 2≥-,故C 错,D 项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义,属中档题7 ．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）若复数x 满足z (2-i )=11+7i (i为虚数单位),则z 为（ ）A ．3-5iB ．3+5iC ．-3+5iD ．3-5i【答案】B8 ．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知i 是虚数单位,则11i ii i++=+ （ ）A ．1322i -+ B ．1322i - C ．3122i + D ．3122i - 【答案】D9 ．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知复数122,34,z m i z i =+=-若12z z 为实数,则实数m 的值为（ ）A ．83B ．32C ．83-D ．32-【答案】D10．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）设复数 z =(1-i)n(其中i 为虚数单位,n ∈N*).若z ∈R,则n 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B11．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）复数22i i+-(i 是虚数单位)表示复平面内的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A12．（2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江理)）设1zi =+（i 是虚数单位），则22z z+= （ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】答案：D 【解析】对于2222(1)1211z i i i i z i+=++=-+=++ 13．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则3+i1i-= （ ）A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i【答案】 【解析】3+i 1i -=()()3+i 1+i 2=2+4i2=1+2i.【答案】D 14．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）若复数i i ai -=++3)2)(1(,则实数a 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．±2D ．-2【答案】B15．（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题 ）集合{n i |*n N ∈}(其中i 是虚数单位)中元素的个数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．无穷多个【答案】C16．（浙江省嘉兴市2013届高三4月教学测试数学（理）试卷及参考答案 (1)）在复平面内,复数i 1i31-+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B;17．（2011年高考（浙江理））把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位.若1z i =+,则(1)z z +⋅=（ ）A ．i -3B ．i +3C ．i 31+D ．3【答案】 【答案】A【解析】∵i z +=1,∴i z -=1,∴i z z z z -=-+=∙+3)1)(2()1(.二、填空题18．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知i 为虚数单位,则13i1i+-=______.【答案】12i -+19．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知i 是虚数单位,复数iiz ++=121的虚部是__________.【答案】1220．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）若1(,),1ia bi ab a b i-=+∈-+R 则的值是_______.【答案】121．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）已知ni m i n m ni im+-=+则是虚数单位是实数其中,,,,11的虚部为__________; 【答案】1;22．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）已知i 为虚数单位,若i ibia +=++21(∈b a ,R),则=ab ____;【答案】。
2013年高考数学试题(15)复数
1.（安徽文科、理科第1题） 设 i 是虚数单位，复数ai i1+2-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 12 答案：A 解：5)12()2(5)2)(1(21i a a i ai i ai ++-=++=-+为纯虚数，则2=a 。
2.（北京理科第2题）复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+ 解：i i i i i i ==-+-=+-555)21)(2(212，选A 3.（北京文科第2题）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ 答案：A4.（福建理科第1题）i 是虚数单位，若集合S={}1,0,1-，则A.i S ∈B.2i S ∈C. 3i S ∈D.2S i∈ 答案：B5.（福建文科2） i 是虚数单位1+i 3等于A.iB.-iC.1+iD.1-i答案：D6.（广东理科1）设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -（B ）．22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++- 7.（广东文科1）设复数z 满足iz=1，其中i 为虚数单位，则A.i -B.iC.1-D.1解：A8.（湖北理科1）i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A .9.（湖南理科1、文科2）若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
2013年高考真题理科数学解析分类汇编17 选考内容2013年高考真题理科数学解析分类汇编17
2013年高考真题理科数学解析分类汇编17 选考内容一选择题1.2013安徽理（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和【答案】B【解析】在极坐标系中，圆心坐标232.101ππθθρ或故左切线为，半径，====r .2cos 2:.2cos 2cos ===⇒=θρπθθρρθ和即切线方程为右切线满足所以选B二填空题2.上海7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________答案：解析：⟹⟹ρ=，ρ=所以ρ=3.[湖南]9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 3 .【答案】 3 【解析】303)0,3(149,:22=⇒-=-⇒-=+-=a a y x C a x y l 的右顶点程：椭圆方方程直线4.上海3．若2211x xx y y y =--，则______x y += 答案0 解析：⟹⟹x+y=05..已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 .【答案】 12【解析】 .考察柯西不等式12943631211))3()2(()111(2222222222≥++⇒=⋅+⋅+⋅≥++⋅++c b a c b a c b a ）（时，取最小值且当32,1,2===c b a .6..如图2，在半径为7的O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【答案】 23 【解析】23)2(5,422=-===⇒⋅=⋅PC r d CD DC PC PC DP PB AP 的距离，圆心到由相交弦定理得7.湖北 18.江西15（1）、（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c 的极坐标方程为 的快乐”“要敢于说不化学教案不要害怕拒绝他人化学教案前提是自己的理由是合理的、正当的”试卷试题15（2）、（不等式选做题）在实数范围内，不等式211x --≤的解集为9.陕西15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 2 . 【答案】2【解析】利用柯西不等式求解，212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am （,且仅当n m bmbnan am =⇒=时取最小值 2 B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝.6 . 【答案】.6 【解析】..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠∴且在圆中E DO AB.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2 .【答案】R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθθθ,sin cos cos 2【解析】 222)21()21=+-⇒y x （圆的方程21=⇒r 圆的半径θθθθθθθsin cos sin ,cos cos cos 2cos 2⋅=⋅==⋅=⇒=⋅=⇒OP y OP x r OP 。
2013年山东省高考理科数学试卷解析版
2013年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位)，则z的共轭复数为(）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答:解：∵(z﹣3）(2﹣i)=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评:本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2．(5分）（2013•山东）已知集合A=｛0,1，2｝，则集合B=｛x﹣y｜x∈A，y∈A｝中元素的个数是（）A．1B．3C．5D．9考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题．分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0,1，2｝,从而可得答案．解答：解:∵A={0，1，2｝,B={x﹣y|x∈A，y∈A｝，∴当x=0,y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1,﹣2;当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0,1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2｝，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键,考查分析运算能力,属于中档题．3．（5分）（2013•山东)已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f(﹣1）=（）A．﹣2 B．0C．1D．2考点: 函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f(﹣1）=﹣f（1）,即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f(x)=x2+,∴f（﹣1）=﹣f(1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．考点: 直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解:如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==,解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．5．（5分）（2013•山东）函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．考点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析:利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f(x）=sin（2x+φ)，则f(x+）=sin［2(x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f(x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为（）A．2B．1C．D．考点: 简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点(0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解:不等式组表示的区域如图，当M取得点A(3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同,转化为q是¬p的充分不必要条件,是解答的关键．8．（5分)（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（)A．B．C．D．考点：函数的图象．专题: 函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质,考查了函数的值，是基础题．9．(5分）(2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程;直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析:由题意判断出切点（1，1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答:解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过（1，1）,B、D不满足题意;另一个切点的坐标在（1,﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．点评:本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．10．（5分)（2013•山东)用0，1，2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．279考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用0，1，2，…,9十个数字,所有三位数个数为:900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有:9×9×8=648,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．11．（5分)（2013•山东)抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程;双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系,把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M(）,则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得,代入M点得M（）把M点代入①得:．解得p=．故选D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．（5分)(2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0B．1C．D．3考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣3xy+4y2，又x,y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“="），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键,考查配方法求最值，属于中档题．二、填空题13．（4分）（2013•山东)执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0。
2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选理科试题(大部分详解)分类汇编15：复数
备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编15：复数一、选择题1 ．（甘肃省兰州一中2013届高三上学期12月月考数学（理）试题）设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =.A 2 .B 1 .C 0 .1D -【答案】D 【解析】()()222()1221a i i a ai i a a i +=-+=-+-，因为2()a i i +为正实数，所以210120a a a ⎧-==-⎨->⎩，解得。
2 ．（贵州省遵义四中2013届高三第四月考理科数学）2012201311i i+=- （）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】D 【解析】201220131112(1)2(1)111(1)(1)2i i i i i i i i ++++====+---+，选 D ．3 ．（贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试（二）理科数学 word 版含答案）已知i 是虚数单位,m和n 都是实数,且(1)5m i ni+=+,则2()m ni m ni+-=（） A ．iB ．-iC ．1D ．-1【答案】D ．4 ．（云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （） A ．23,p pB ．12,p pC ．,p p 24D ．,p p 34【答案】C 【解析】22(1)2211(1)(1)2i izi i i i ----====---+-+--，所以z =z 的虚部为1-，所以1p 错误，4p 正确。
222(1)(1)2z i i i =--=+=，所以2p 正确。
z 的共轭复数为1z i =-+，所以3p 错误。
所以选C ．5 ．（贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）i 是虚数单位，则复数2=1iz i -在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】22(1)22=11(1)(1)2i i i i z i i i i +-===---+-，所以对应点位(1,1)-，在第四象限，选D ．6 ．（甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试 数学（理）试题）设复数z=2+bi (b ∈R)且z=22，则复数z 的虚部为（） A ．2B ．±2iC ．±2D ．±22【答案】C7 ．（云南省昆明市2013届高三复习适应性检测数学（理）试题）复数ii+12(i 是虚数单位)的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】 C ．8 ．（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）在复平面内，复数311i i+-对应的点位于（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】A 【解析】1i 22z =-对应的点是1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故选A ．9 ．（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且1xi y i-=-+，则(1x yi++的值为（） A ．2B ．2i -C ．4-D ．2i【答案】D 【解析】由1xi y i-=-+得1,1x y ==，所以2(1)(1)2x y i i i ++=+=，选 D ．10．（甘肃省天水一中2013届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）已知11mni i=-+,其中,m n R ∈， i为虚数单位,则m ni +=（）A ．12i +B ．2i +C ．12i -D ．2i -【答案】B ．11．（云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解））复数211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭(i是虚数单位)化简的结果是（） A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】B ．12．（云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理科数学）若复数2)1(ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （） A ．1±B ．1-C ．0D ．1【答案】A 【解析】2222(1)1212ai ai a i a ai+=++=-+，要使复数是纯虚数，则有210a -=且20a ≠，解得1a =±，选A ．13．（【解析】贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）在复平面内，复数11+i所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】21111ii i i+=+=-，对应的坐标为(1,1)-，在第四象限，选 D ．14．（云南省部分名校2013届高三第一次统一考试理科数学（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中））复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（）A ．），（11B ．），（11-C ．）（1,1--D ．）（1,1-【答案】D 【解析】21111ii i i+=+=-，对应的坐标为(1,1)-，选 D ．15．（甘肃省兰州一中2013高考冲刺模拟(一)数学（理））已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi ++的值为（） A ．2B ．2i -C ．4-D ．2i【答案】D16．（云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学理）已知复数21,,,aibi a b i i-=-∈R 其中是虚数单位，则||a bi +=（） A ．12i -+B ．1C ．5D【答案】D 【解析】由21,aibi i-=-得22(1)ai i bi i bi b i -=-=-=+，所以2,1b a =-=，即1,2a b =-=，所以||1a bi +=-，选D ．17．（【解析】云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理科数学）复数z 1=3+i,z 2=1-i,则复数21z z 的虚部为（） A ．2B ．-2iC ．-2D ．2i【答案】A 【解析】123(3)(1)24=121(1)(1)2z i i i i i z i i i ++++===+--+，所以虚部为2，选A ．18．（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）已知i 为虚数单位，则复数133ii-+的虚部是（） A ．1-B ．1C ．iD ．i -【答案】A 【解析】原式=13(13)(3)103(3)(3)10i i i i i i i i ----===-++-，则复数13i3i-+的虚部是1-.选 A ． 19．（云南省部分名校（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）2013届高三下学期第二次统考数学（理）试题）在复平面内,复数1i i-的共轭复数的对应点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D ．20．（云南省玉溪一中2013届高三第三次月考理科数学）复数12ii+ (i 是虚数单位)的虚部是 （） A ．15B ．25C ．5iD ．5i -【答案】A 【解析】(12)22112(12)(12)555i i i i i i i i -+===+++-，所以虚部是15，选A ．21．（甘肃省2013届高三第一次诊断考试数学（理）试题）i 是虚数单位，复数231i i -⎛⎫=⎪+⎝⎭（）A ．-3－4iB ．-3 +4iC ．3－4iD ．3+4i【答案】A 【解析】()()()22234338634121i i i i i i i i i i i --⋅--⎛⎫====-- ⎪+⋅⎝⎭+。
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2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编17：复数
一、选择题
1 ．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）i 为虚数单位)的虚部是
（ ）
A B C D 【答案】B
2 ．（黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题 word 版 ）已知R a ∈,若复数i
i
a z +-=
12为纯虚数,则=-|3|ai （ ）
A ．13
B ．13
C ．10
D ．10
【答案】B
3 ．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ,
则0P 关于直线 （ ）
A ．i +1
B ．i -1
C ．i -
D ．i
【答案】D
4 ．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单
位,b 是实数),则b = （ ）
A ．2
B ．
1
2
C ．12
-
D ．2-
【答案】A
5 ．（山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）设复数
i i
x -=
12(i 是虚数单位),则
2013
2013201333201322201312013x
C x C x C x C +⋯+++=
（ ）
A ．i
B ．i -
C ．i +-1
D ．i +1
【答案】C
6 ．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）关于复数2
(1)1i z i
+=-,下列说法中正确的是
（ ）
A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限
B ．复数z 的共轭复数1z i =-
C ．若复数1z z b =+()b ∈R 为纯虚数,则1b =
D ．设,a b 为复数z 的实部和虚部,则点(,)a b 在以原点为圆心,半径为1的圆上
【答案】【命题意图】本小题通过复数的运算与性质考查学生的运算求解能力,本题将复数的考点考查
的比较全面,是一道复数的综合题,属于基本题. 【试题解析】C 由题可知2(1)2111i i
z i i i
+===-+--,若z b +()b ∈R 为纯虚数, 则1b =,故
选
C ．
7 ．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）设,a b 为实
数,若复数121i
i a bi +=++,则
（ ）
A ．
31,22a b ==
B ．1,3a b ==
C ．
13
,22a b ==
D ．3,1a b == 【答案】A
8 ．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）设a 是实数,若复数
112
a i
i -+
-(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线0x y +=上,则a 的值为 （ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
9 ．（内蒙古包头市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）i 是虚数单位,
i
33i += 的实部与虚部之
和为 （ ）
A ．3-3
12
B ．3+312
C ．3-36
D ．3+36
【答案】
B ．
10．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）复数2
31i i -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
（ ）
A ．i 43－
B ．i 43+－
C ．i 43－－
D ．i 43+
【答案】C
11．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）复数
2
43(2)i
i +-=
（ ）
A ．1
B ．-1
C ．i
D ．-i
【答案】C
12．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知复数22cos
sin
33
z i ππ
=+(i 为虚数单位),则3
z 的虚部为 （ ）
A ．-1
B ．0
C ．i
D ．l
【答案】B
13．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）复数
i
i
a 212+-(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 （ ）
A ．4
B ．一4
C ．1
D ．一1
【答案】A
14．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）设复数
bi a i
i -=+-13
2,则a+b= （ ）
A ．1
B ．3
C ．-1
D ．-3
【答案】D
15．（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）已知x ,y
则x +y 的值为
（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
16．（云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word 版） ）已知i 是虚数单位,复数z 的共
轭复数是z ,如果||84z z i +=-,那么z 等于 （ ）
A ．34i --
B ．34i -+
C ．43i +
D ．34i +
【答案】D
17．（山西省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）在复平面内,复数341i
z i
+=
-对应的点在
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】∵34(34)(1)17171(1)(1)222i i i i x i i i i +++-+=
===-+--+, ∴点17,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在第二象限,故选 B ．
18．（河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）已知i 是虚数单位,则复数
i
i
-+131,则z 的共轭复数的模为 （ ）
A ．1
B ．5
C ．7
D ．5
【答案】B
19．（黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知复数i z
+=1,则
2
1
z z += （ ） A ．
12
i - B ．
12
i + C ．12
i -
- D ．12
i -
+ 【答案】A
20．（2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）已知复数122,34,z m i z i =+=-若
1
2
z z 为纯虚数,则实数m 的值为 （ ）
A ．3
2
-
B ．
32
C ．83
-
D ．
83
【答案】D 二、填空题
21．（黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试 理科数学 Word 版含答案）i 为虚数单位,复数(a + i )i
的实部与虚部互为相反数,则实数a 的值为__________
【答案】1
22．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）i 为虚
数单位,则复数i i
43105-+的虚部是____________.
【答案】 2。