重庆市南开中学高2011届高三10月月考理科数学试题

重庆南开中学 高2011级高三10月月考数学试题（理科）本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷 （选择题，共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人员将答题卡收回。

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分。

1．已知数列{}n a 的通项公式是2,1n n a n =+那么这个数列是（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列 2．8852(02,)k k Z πααπ-+≤≤∈ 化成的形式是（ ）A ．11412ππ--B ．13612ππ-+C ．13412ππ-+D ．11612ππ-+3．已知全集3{1,2,3,4},{|||2,},{|0,}1x U M x x x U N x x U x-==≤∈=≥∈-，则U U C M C N =（ ）A ．{1，2}B ．{4}C ．{3，4}D ．{1，3，4}4．已知在等比数列4354{},,23,23,n n a S n a S a S =+=+中为其前项和且则此数列的公比q 为（ ）A ．2B ．12C ．3D ．135．下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上单调递增的函数为 （ ）A ．cos y x =B ．2y x =-C ．lg 2xy =D ．||x y e =6．正项等比数列563132310{},9,log log log n a a a a a a ⋅=+++ 中若则=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+7．已知函数11()(sin cos )|sin cos |,()22f x x x x x f x =+--则函数的值域是（ ）A ．[—1，1] B．[,1]2-C．[1,2-D．[1,2--8．已知函数()sin ,()sin(),(),()2f x xg x x x m f x g x π==-=直线与的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值是（ ）A ．1B ．2C2D9．定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有1||||n n a a d ++=（d 为常数），则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”1{},2n a a =中，“绝对公和”2d =，则其前2010项和2010S 的最小值为（ ）A ．—2006B ．—2009C ．—2010D ．—201110．函数22)24()2cos x x xf x x xπ+++=+的最大与最小值分别为M 、N ，则 （ ）A ．2M N -=B ．2M N +=C ．4M N -=D ．4M N +=第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡上（只填结果，不要过程） 11．函数313log (4)y x x =-的定义域为 。

12．已知2*()()(1)(1)(1,),(1)1,(2)2,(6)f n f n f n f n n n N f f f =-+>∈==满足若则= 。

13．已知函数sin()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则点(,)P ωϕ的坐标为 。

14．函数()cos 2sin f x x x =+的值域是 。

15．已知集合1111{1,,,,},{,,}(,,)242n A B m n p m n p A -==∈ 称集合其中为集合A 的一个三元子集，设A 的所有三元子集的元素之和是2,limn n n S S n→∞则= 。

三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（本不上题满分13分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前6项和为60，且6121a a a 是和的等比中项。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列*11{}:(),{}.n n n n n n b b n N b n S a a +=∈⋅满足求数列的前项和17．（本小题满分13分） 已知函数()cos(2)2sin()sin().344f x x x x πππ=-+-+（1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数()(,)122f x ππ-在区间上的值域。

18．（本小题满分13分）已知数列}{n a }满足：).(41)1(,41*11N n a a a n n ∈=⋅-=+（I ）令}1{:),(21nn n b N n a b 求证*∈-=为等差数列；（II ）求.lim n n a ∞→19．（本小题满分12分）已知函数.sin2)cos (sin )(22x x x x f -+=（I ）若将函数)(x f y =的图象向左平移)0(>a a 个单位长度得到的图象恰好关于点)0,4(π对称，求实数a 的最小值；（II ）若函数)](83,4[)(*N b b bx f y ∈=ππ在上为减函数，试求实数b 的值。

20．（本小题满分12分）已知函数)(),(),1(log )(0021x f y y x P x x f =+=在当点的图象上移动时，点)()(,2100x g y R t y t x Q =∈⎪⎭⎫⎝⎛+-在函数的图象上移动。

（I ）点P 的坐标为（1，-1），点Q 也在)(x f y =的图象上，求t 的值； （II ）求函数)(x g y =的解析式； （III ）若方程12log)2(21+=x xxg 的解集是φ，求实数t 的取值范围。

21．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列}{n a 满足： )(3)1(32*1321N n a a nna a a a nn∈+=++++（I ）求321,,a a a 的值，猜测n a 的表达式并给予证明； （II ）求证：;2sinnna a ≥π（III ）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1sin n n a a π的前n 项和为.231:,π<<nn S S 求证参考答案一、选择题ABDCD BCDAB 二、填空题：11．(,2)(0,2)-∞- 12．3213．⎪⎭⎫⎝⎛-6,2π 14．]89,2[- 15．1三、解答题16．解：（I ）设}{n a 的公差为d ，则3225)20()5(60156111211+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+=+n a d a d a a d a d a n （II ）),11(21111++-=⋅=n n n n n a a a a b叠加得)52(5)11(2111+=-=+n na a S n n17．解：（I ）)62sin()(π-=x x f)(32)(262,Z k k x Z k k x T ∈+=⇒∈+=-=∴ππππππ令最小正周期即为函数图象的对称轴方程。

（II ）,65,3622,12⎪⎭⎫⎝⎛-∈-⇒⎪⎭⎫⎝⎛-∈πππππx x )2,12()(ππ-∴在区间x f 上的值域为⎥⎦⎤⎝⎛-1,23。

18．解：（I ）由,2121+=-=n n n n b a a b 得代入41212141)1(11=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅-++n n n n b b a a 得 )(211,02121*111N n b b b b b b nn n n n n ∈-=-∴=--∴+++，}1{nb ∴是以-4为首项，以-2为公差的等差数列。

（II ）由（I ）可知122,nn b =--即)1(222121,221+=+-=∴+-=n n n a n b n n21lim =∴∞→n n a19．解：（I ）由条件)42sin(2)(π+=x x f将函数)(x f y =的图象向左平移)0(>a a 个单位长度得到函数)422sin(24)(2sin 2)(ππ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a x a x x f 的图象)0,4()422sin(2ππ关于点函数++=a x y 对称，m in 22,443,8230,,41,.8a k k Z k a k Z a k k a ππππππ∴⨯++=∈∴=-+∈>∴>∴==又当时（II ）)](83,4[)42sin(2*N b b b x y ∈+=πππ在 上为减函数， 又Z k k k x y ∈+++=],85,8[:)42sin(2πππππ的递减区间为,8738354213835421858348≤+≤++≤≤+∴+≤≤≤+∴k k k kb k k b b k 得由ππππππ,3521,0≤≤∴=∴∈b k Z k又.1,*=∴∈b N b20．解：（I ）当点P 坐标为（1，-1），点Q 的坐标为2(,1)2t --，)(x f y Q =也在点 的图象上，.0)121(log121=⇒+-=-∴t t（Ⅱ）设(,)()Q x y y g x =在的图象上，则00001212x t x x t x y y y y-+⎧=+-=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩而点00(,)()P x y y f x =在的图象上。

010122log (1):()log (2)2t y x y g x x t x ⎛⎫∴=+==+>-⎪⎝⎭代入得即为所求 （Ⅲ）原方程可化为2101xt x x x x ⎧=+⎪+⎨⎪><-⎩或令()22[(1)]311x h x x x x x =-=-+++++①当0x >时，2(1)11x x x ++≥=+时取等号）()3h x ∴≤-②当21,(1)11x x x x <-++≤-=-+时时取等号），()3h x ∴≥+故方程()h x t =的解集为φ时，t 的取值范围为(33.-+21．解：（Ⅰ）1232,3,4a a a ===， 猜测：1n a n =+ 下用数学归纳法①当11,112n a ==+=时，猜想成立；②假设当(1)n k k =≥时猜想成立，即1k a k =+由条件123(1)233n nn n a a a a a na +++++=111231(1)(1)23(1)(2)3n n n n a a a a a n a n ----+∴++++-=≥两式相减得： 11(1)(1)(1)33n nn n n n a a n a a na --+-+=-则当1n k =+时， 21111(1)(1)(1)(1)2(2)033k k kk k k k a k a a k a a a k k ++++++++=-⇒--+=12k a k +∴=+即当n=k+1时，猜想也成立故对一切的*,1n n N a n ∈=+成立（Ⅱ）设2()sin 02f x x x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭由22()cos 0arccosf x x x ππ'=-=⇒=由cos y x =的单调性知()f x 在(0,]2π内有且只有一个极大值点，且(0)02f f π⎛⎫==⎪⎝⎭0,()03f x π⎛⎫∴> ⎪⎝⎭在内 即2sin (0).2x x x ππ><<令,2nx n a π=≥当时有20,,sin 2n n n a a a πππ⎛⎫∈∴> ⎪⎝⎭ 又当21,,sin2nnnn a a a πππ==∴=时*2sin()nnn N a a π∴≥∈（Ⅲ）1116,0,2n n n n a a a a π++⎛⎫≥∴∈ ⎪⎝⎭由（Ⅱ）可知112n n n n sina a a a π++>sinsinsin2334(1)(2)n S n n πππ∴=+++⋅⋅+⋅+11111111122233412223n n n ⎛⎫⎛⎫>-+-++-=-≥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭即对一切*1,.3n n N S ∈>又0,sin 2x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭在内sinsinsin2334(1)(2)n S n n πππ∴=+++⋅⋅+⋅+11111111233412222n n n πππ⎛⎫⎛⎫<-+-++-=-<⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭即对一切*,.2n n N S π∈<1.32n S π∴<<。