垂直关系1

例2 已知：bα，c α,b∩c=E， β∩γ=a，c⊥β，d⊥γ。 a 求证：a⊥α。
β
γ
α
b
E
c
证明： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵
b⊥β， β∩γ=a， b⊥a ； c⊥γ，β∩γ=a， c⊥a ； β b∩c=E， bα， cα, b α ∴ a⊥α。
a
γ
E
c
例3 已知：正方体 中，AC是面对角线， D′ BD’是与AC 异面的 A′ 体对角线。 求证：AC⊥BD’
6.1 直线与平面垂直的判定
一、直线与平面垂直的定义
• 如果一条直线 l 和一个平面α内的任意一 条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面α 互相垂直，记作 l ⊥α。（如图） • 直线 l 叫做平面α的垂线。 • 平面α叫做直线 l 的垂面。 • 直线 l 和平面α的交点叫做垂足。
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线画 成和表 示平面的平行四边形横边垂直。
例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 （此定理可看作线面垂直的判定公理二） a b 已知：a∥b，a ⊥α 求证：b⊥α α
m
n
证明：在平面α内作两条相交直线m，n ∵ a⊥α
∴ a⊥m ,a⊥n
∵ b∥a ∴ b⊥m ，b⊥n ∴ b⊥α α
a
b m
n
C′ B ′ C
D A
B
证明： 连接BD ∵正方体ABCD-A’B’C’D’ ∴DD’⊥正方体ABCD A’ ∵AC、BD 为对角线 ∴AC⊥BD ∵DD’∩BD=D ∴AC⊥△D’DB ∴AC⊥BD’ A
D’ B’ D
C’
C
B
A
l
B m
α
g
n D
C
E
A’
l
AE=A’E
B m
α
g
n D
C
E
A’
A
l
AE=A’E AB=A’B
B m
α
g
n D
C
E
A’
A
l
AE=A’E AB=A’B
B g
α
E
A’
A
l
AE=A’E AB=A’B
B
l ⊥g
E
α
g
A’

直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
注：m α nα m∩n=B l⊥m l⊥n

C A’
A
l
AD=A’D
B m
α
g
n D
C
E
A’
A
l
B m
α
g
n D
C
E
CD=CD
A’
A
l
△ACD≌△A’CD
B m
α
g
n D
C
E
A’
A
l
∠ACE=∠A’CE
m
α
B g n D
C
E
A’
AC=A’C CE=CE
A
l
B m
α
g
n D
C
E
A’
A
l
B m
α
g
n D
C
E
A’
△ACE≌△A’CE
A
返回
二、直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
三、线面垂直判定定理的证明
已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥ m， l ⊥ n。 求证： l ⊥α。
l
B m
α
n
l
l
B m
α
n
l
B m
α
n
l
B m
α
n
g
l
B m
α
g
n
g
l
AB=A’B
A
B m
α
g
n
A’
l
AB=A’B
A
B m
α
g
n
A’
l
A
AB=A’B
B m
α
g
n
A’
l
A
B m
α
g
n
A’
A
l
B m
α
g
n D
C
E
A’
A
l
B m
α
g
n D
C
E
A’
A
l
l ⊥m
B m
α
g
n D
C
E
A’
A
l
l ⊥m
B m
α
C A’
l ⊥m
A
l
AC=A’C
B m
α

l ⊥α
小结
这个定理还说明这样一个事实，的确 存在着和一个平面内一切直线都垂直的直 线，从而得证了直线和平面垂直的合理性。 这个定理不仅提供了判定直线和平面 垂直得一种方法，而且还是证明直线和直 线互相垂直的一种常用的方法，即要想证 明a⊥b，只需证a与b所在平面内的两条相 交直线垂直（或证b与a所在平面内的两条 相交直线垂直）。
练习
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？
2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直 线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
练习
4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中 任一条直线是否垂直于另两条直线确定的 平面？为什么？ 5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边， 能否断定这条直线和三角形的第三条边垂 直？为什么？