【成功方案】2013届高考数学一轮复习课时检测 第六章 第三节 基本不等式 理
2013届高考数学一轮复习课时检测 第六章 第三节 基本不等式 理
第六章 第三节 基本不等式一、选择题1．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为 ( )A ．2 2B ．4C ．12D ．6解析：由a ⊥b 得a ·b ＝0，即(x －1,2)·(4，y )＝0. ∴2x ＋y ＝2.则9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ·3y ＝232x ＋y ＝29＝6. 当且仅当32x ＝3y 即x ＝12，y ＝1时取得等号．答案：D2．(2011·重庆高考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是 ( )A.72 B ．4 C.92D ．5解析：依题意得1a ＋4b ＝121a ＋4b )(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4a b a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.答案：C3．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是 ( ) A ．(－∞，－1] B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：y ＝log 2x ＋log x (2x )＝1＋(log 2x ＋log x 2)． 如果x >1，则log 2x ＋log x 2≥2， 如果0<x <1，则log 2x ＋log x 2≤－2， ∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：D4．(2012·温州模拟)已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0，则xzy 2的 ( )A ．最小值为8B ．最大值为8C ．最小值为18D ．最大值为18解析：xz y 2＝xz x ＋2z 2＝xz x 2＋4xz ＋4z 2＝1x z ＋4z x＋4≤18. 当且仅当x z ＝4zx，x ＝2z 时取等号． 答案：D5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2解析：∵x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y)＝4＋4y x ＋xy ≥4＋24yx·x y＝8，当且仅当4y x＝xy，即4y 2＝x 2， x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.答案：D6．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于 ( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－a ＋b 2ab，而a ＋b 2ab＝b a ＋a b＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b 2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.答案：C 二、填空题7．(2011·湖南高考)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x2＋4y 2)·的最小值为________．解析：(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，则|xy |＝22时等号成立． 答案：98．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数ƒ(x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是____．解析：由题意知：P 、Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限中的点，则m＞0，n ＞0，n ＝2m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4(m 2＋4m 2)≥16(当且仅当m 2＝4m2，即m ＝2时，取等号)，故线段PQ 长的最小值是4. 答案：49．(2012·徐州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)， 则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________． 解析：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0， 因此有4ac －14a ＝0，从而c ＝14a>0， ∴c ＋2a ＋a ＋2c ＝(2a ＋8a )＋(14a2＋4a 2)≥2×4＋2＝10， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，，即a ＝12时取等号．故所求的最小值为10.答案：10 三、解答题10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值． 解：(1)∵x >0，y >0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy 即xy ≥8xy ，∴xy ≥8， 即xy ≥64. 当且仅当2x ＝8y即x ＝16，y ＝4时，“＝”成立． ∴xy 的最小值为64.(2)∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， ∴2x ＋8y ＝xy ，即2y ＋8x＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )·(2y ＋8x )＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋22xy·8yx＝18当且仅当2x y ＝8yx，即x ＝2y ＝12时“＝”成立．∴x ＋y 的最小值为18.11．已知a ，b >0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b证明：∵a b 2＋b a 2≥2a b 2·b a 2＝21ab >0，a ＋b ≥2ab >0，∴(a b2＋b a2)(a ＋b )≥21ab·2ab ＝4.∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a b 2＝b a2a ＝b，取等号．即a ＝b 时，不等式等号成立．12．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数． (2)该企业2012年的促销费投入多少万元时， 企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 解：(1)由题意可设3－x ＝k t ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32(3－2t ＋1＋3. 当销售x (万件)时，年销售收入为 150%[32(3－2t ＋1)＋3]＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1＝50－(t ＋12＋32t ＋1)≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42(万元)， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42， ∴当促销费定在7万元时，年利润最大。
高考数学一轮复习课件6.3基本不等式
•1．“1”的代换是解决问题的关键，代换变 形后能使用基本不等式是代换的前提，不能 盲目变形．
•2．利用基本不等式证明不等式，关键是所 证不等式必须是有“和”式或“积”式，通 过将“和”式转化为“积”式或将“积”式 转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时， 也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应 注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
当且仅当
3y x
＝
4x y
且x＋y＝1，即x＝－3＋2
3 ，y＝4－
2 3时等号成立，
∴3x＋4y的最小值是7＋4 3. (2)由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy， ∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋（x＋4 y）2，
解得－2 3 3≤x＋y≤2 3 3，
∴x＋y的最大值为23
3 .
【答案】
b a
的最小值为( )
A．16 2
B．8 2
C．83 4
D．43 4
【解析】 由m＝|log2x|，得xA＝(12)m，xB＝2m. 同理，xC＝(12)2m8＋1，xD＝22m8＋1.
∴a＝|xA－xC|＝（12）m－（12）2m8＋1， 8
b＝|xB－xD|＝|2m－22m＋1|.
∴ba＝2－2mm－－22－2m28＋m8＋1 1＝
当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时等号成立．
∴y＝2x－5x2的最大值ymax＝15.
(2)由x＞0，y＞0，且x＋3y＝5xy，得53x＋51y＝1. ∴3x＋4y＝(3x＋4y)(53x＋51y) ＝153＋35xy＋152xy≥153＋2 35xy·152xy＝5， 当且仅当x＝2y＝1时，等号成立． ∴3x＋4y的最小值为5.
元的函数；
(2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的
高考数学一轮复习 6.3基本不等式及其应用课件 文
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21
【拓展探究】 若本例(1)中的“－6≤a≤3”改为 “0≤a≤3”，结果如何？
解：∵ 3－aa＋b＝ －a＋322＋841 且f(a)＝－a＋322＋841在[0,3]上为减函数，∴原式的最大值为 3 2.
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考点二 利用基本不等式证明不等式 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情
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考点三 基本不等式的实际应用 应用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)仔细阅读题目，透彻理解题意； (2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示
() A．(0，＋∞) B.15，＋∞
C．[1,4)
D．(0,4)
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解析：a≥x2＋3xx＋1＝x＋1x1＋3，又x>0，∴x＋1x≥2， ∴x＋1x1＋3≤15，∴a≥15.故选B.
答案：B
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13
3．已知函数f(x)＝4x＋
a x
(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，
第
六
不等式、推理与证明
章
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1
第三节
基本不等式及其应用
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2
高考导航
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3
基础
知识回顾
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4
1．基本不等式
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5
2.常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．
(2)ab ≤ a＋2 b2(a，b∈R)．
a2＋b2 (3) 2
≥
a＋2 b2(a，b∈R)．
由基本不等式可知，
3－aa＋6
≤
2013届高考数学一轮复习课时检测 第六章 第一节 不等关系与不等式 理
第六章 第一节 不等关系与不等式一、选择题1．设a ，b ∈R ，若b －|a |>0，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．a －b >0 B ．a ＋b >0 C ．a 2－b 2>0D ．a 3＋b 3<0解析：由b >|a |，可得－b <a <b .由a <b ，可得a －b <0，所以选项A 错误．由－b <a ，可得a ＋b >0，所以选项B 正确．由b >|a |，两边平方得b 2>a 2，则a 2－b 2<0，所以选项C 错误．由－b <a ，可得－b 3<a 3，则a 3＋b 3>0，所以选项D 错误．答案：B2．(2011·天津高考)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件．答案：A3．若a >b ，则下列不等式正确的是 ( ) A.1a <1bB ．a 3>b 3C ．a 2>b 2D ．a >|b |解析：若a ＝1，b ＝－3，则1a >1b，a 2<b 2，a <|b |，知A 、C 、D 错误；函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0，函数f (x )＝x 3为增函数，若a >b ，则a 3>b 3.答案：B4．(2012·枣庄模拟)设a ，b 为正实数，则“a <b ”是“a －1a <b －1b”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵a >0，b >0，a <b ，∴1a >1b ，由不等式的性质a －1a <b －1b.∴由a <b 可得出a －1a <b －1b；当a －1a b －1b 时，可得(a －b )－(1a －1b，即(a －b )(1＋1ab)<0.又∵a >0，b >0，∴a －b <0.∴a <b ，故由a －1a b －1b可得出a <b .∴“a <b ”是“a －1a <b －1b”成立的充要条件．答案：C5．已知0＜a ＜1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不能确定解析：∵0＜a ＜1b，∴1＋a ＞0,1＋b ＞0,1－ab ＞0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b ＝2－2ab 1＋a 1＋b 0.答案：A6．若x >y >1，且0<a <1，则①a x <a y ；②log a x >log a y ；③x －a >y －a；④log x a <log y a . 其中不成立的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵x >y >1,0<a <1，∴a x <a y ，log a x <log a y ，故①成立，②不成立．x a >y a >0，∴x －a <y －a ，③不成立．又log a x <log a y <0，∴1log a x >1log a y .即log x a >log y a ，∴④也不成立． 答案：C 二、填空题7．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b2＋b a2－(1a ＋1b)＝a －b b2＋b －a a2＝(a －b )(1b 2－1a 2)＝a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴a ＋b a －b 2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b . 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b8．以下四个不等式：①a <0<b ，②b <a <0，③b <0<a ，④0<b <a ，其中是1a <1b成立的充分条件有________．解析：a <0<b ⇒1a <1b ，但1a <1ba <0<b ，故①符合要求；b <a <0⇒1a <1b ，但1a <1b b <a <0，故②符合要求；b <0<a1a <1b ，因此③不是1a <1b成立的充分条件；0<b <a ⇒1a <1b0<b <a ，因此④正确．答案：①②④9．已知－π2≤α＜β≤π2，则α＋β2的取值范围是________；α－β2的取值范围是________．解析：∵－π2≤α＜π2，－π2＜β≤π2， ∴－π＜α＋β＜π，∴－π2＜α＋β2＜π2. ∵－π2≤－β＜π2，∴－π≤α－β＜π. ∴－π2≤α－β2＜π2. 又∵α－β＜0，∴－π2≤α－β2＜0.答案：(－π2，π2) [－π2，0) 三、解答题10．比较x 3与x 2－x ＋1的大小．解：x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)． ∵x 2＋1>0，∴当x >1时，(x －1)(x 2＋1)>0，即x 3>x 2－x ＋1； 当x ＝1时，(x －1)(x 2＋1)＝0，即x 3＝x 2－x ＋1； 当x <1时，(x －1)(x 2＋1)<0，即x 3<x 2－x ＋1. 11．若a >b >0，c <d <0，e <0， 求证：e a －c 2>e b －d 2.证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1a －c 2<1b －d 2.又∵e <0，∴e a －c 2>e b －d 2.12．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，求x 3y4的最大值．解：法一：由题设知，实数x ，y 均为正实数，则条件可化为lg3≤lg x ＋2lg y ≤lg8，lg4≤2lg x －lg y ≤lg9， 令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧lg3≤a ＋2b ≤3lg22lg2≤2a －b ≤2lg3，又设t ＝x 3y4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b ，令3a －4b ＝m (a ＋2b )＋n (2a －b )，解得m ＝－1，n ＝2， 即lg t ＝－(a ＋2b )＋2(2a －b )≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴x 3y4的最大值是27. 法二：将4≤x 2y ≤9两边分别平方得，16≤x 4y2≤81，①又由3≤xy 2≤8可得，18≤1xy 2≤13，②由①×②得，2≤x 3y 4≤27，即x 3y4的最大值是27.。
高考数学一轮复习第六章不等式3基本不等式课件
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2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b 同号)； (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)； (4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)； (5)a2＋abb≤ ab≤a＋2 b≤ a2＋2 b2(a>0，b>0)．
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2．会用基本不等式 运算与转化化归思想．
解决简单的最大 (小)值问题.
2．命题情境不断创新，注重与函数、 充分必要条件、实际应用等交汇．在
求函数的最值时，应特别注意等号
成立的条件.
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01知识(zhī shi)梳理 诊断自 测
03微突破 提升素养
02考点(kǎo diǎn)探究 明晰 规律
课时(kèshí)作业
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01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
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知识点一
基本不等式
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝B．
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≥2
2，当且仅当 a－b＝
2时取等号，联立aa＋ －bb＝ ＝
3， 2，
解得
a＝
3＋ 2
2，
b＝
3－ 2
2，
∴当 a＝ b＝
3＋ 2
3－ 2
2， 2
时，
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a＋b＋a－b＋a＋3 b＋a－2 b≥2 2＋2 3， 即 2a＋a＋3 b＋a－2 b取得最小值 2 2＋2 3.
【创新设计】高三数学一轮复习 6-3基本不等式 ab≤a+b2(a≥0,b≥0)随堂训练 理 苏教版
第3课时 基本不等式 ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)一、填空题1．已知x ＞0，y ＞0且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＝1，∴x ＋4y ＝1≥24xy ，∴xy ≤116.答案：1162．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为______． 解析：∵0＜x ＜1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3×[x ＋(1－x )2]2＝34，此时x ＝1－x ，∴x ＝12. 答案：123．(江苏省启东中学高三质量检测)已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时x ，y 的值分别为________，________. 解析：xy ≥2x ·4y ＋5，当且仅当x ＝4y 时取等号，令xy ＝t (t ＞0)，则不等式为t2－4t －5≥0，解得t ≥5或t ≤－1(舍去)．∴xy ＝t ＝5，又x ＝4y ，则x ＝10，y ＝52.答案：10 524．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．解析：由x －2y ＋3z ＝0得y ＝x ＋3z2，代入y 2xz 得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z 时取“＝”．答案：35．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋2n的最小值为________．解析：∵A (－2，－1)，A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0， 即2m ＋n ＝1，mn ＞0，∴m ＞0，n ＞0.1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2nn＝2＋n m＋4mn＋2≥4＋2·n m ·4mn＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．故1m ＋2n的最小值为8.答案：86．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：由x ∈(0，＋∞)、y ∈(0，＋∞)、a ∈(0，＋∞)知：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝a ＋1＋y x ＋ax y ≥a ＋1＋2a ＝(a ＋1)2.当且仅当y x ＝ax y 时，等号成立，即(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a＋1)2.又(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9恒成立，∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4，即a 的最小值为4.答案：47．(江苏省高考命题研究专家原创卷)如果实数x 、y 满足x 2＋4y 2＝4，则(1＋2xy )(1－2xy )的最小值为________． 解析：由4＝x 2＋4y 2≥2x 2·4y 2得，4x 2y 2≤4，当且仅当x 2＝4y 2＝2时“＝”号成立． ∴(1＋2xy )(1－2xy )＝1－4x 2y 2≥－3.∴(1＋2xy )(1－2xy )的最小值为－3. 答案：－3 二、解答题8．对于任意x ∈R，不等式2x 2－a x 2＋1＋3＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：原不等式可化为a ＜2x 2＋3x 2＋1＝2x 2＋2＋1x 2＋1＝2x 2＋1＋1x 2＋1恒成立．问题转化为求f (x )＝2x 2＋1＋1x 2＋1的最小值．令u ＝x 2＋1≥1 而函数f (u )＝2u ＋1u在[1，＋∞)上单调递增，∴f (u )≥f (1)＝2＋1＝3，∴f (x )min ＝3，∴a ＜3. 9．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，试证：(1)bc a ＋ac b ＋ab c ≥a ＋b ＋c ；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .证明：(1)∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)，∴bc a ＋acb ≥2 bc a ·acb＝2c ， 同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bc a ≥2b ，∴2(bc a ＋ac b ＋ab c )≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .(2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a 2b＋b ≥2a ①同理b 2c ＋c ≥2b ②c 2a＋a ≥2c ③ ①＋②＋③得a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .10. 某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动力消费的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问：这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值． 解：设这台机器的最佳使用年限是n 年，则n 年的保养、维修、更换易损零件的总费用为：0.2＋0.3＋0.4＋…＋0.1(n ＋1)＝n 2＋3n20，这n 年机器的总费用是：7＋0.2＋0.2n ＋n 2＋3n20＝7.2＋n 2＋7n20，这n 年机器的平均费用是：y ＝7.2＋n 2＋7n20n＝0.35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 20＋7.2n ， 又n 20＋7.2n ≥2 7.230＝1.2，等号当且仅当n 20＝7.2n， 即n ＝12时成立．故这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元．1．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝ (x ＜0)，则m ，n 之间的大小关系为________． 解析：m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4(a ＞2)，当a －2＝1a －2，即a ＝3时取等号．又x ＜0，∴x 2－2＞－2，∴n ＝ ＝4.∴m ＞n . 答案：m ＞n2．(2009·江苏徐州六县联考)徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a 元(a >0)． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500v，全程运输成本为y ＝a ·500v ＋0.01v 2·500v ＝500a v＋5v ，故所求函数及其定义域为y ＝500av＋5v ，v ∈(0,100]．(2)依题意知a ，v 都为正数，故有500av＋5v ≥100a ，当且仅当500a v＝5v ，即v ＝10a 时上式中等号成立．①若10a ≤100，即0<a ≤100时则当v ＝10a 时，全程运输成本y 最小．②若10a >100，即a >100时，则当v ∈(0,100]时，有y ′＝－500a v 2＋5＝5(v 2－100a )v2<0. ∴函数y 在v ∈(0,100]上单调递减．也即当v ＝100时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当0<a ≤100时行驶速度应为v ＝10a 千米/时； 当a >100时行驶速度应为v ＝100千米/时．。
高考数学一轮复习 第6章 不等式课件 理
－z＝0，则当xzy取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为(
)．
9
A．0
B．1
C.4
D．3
由 x2－3xy＋4y2－z＝0 可得 z＝x2－3xy＋4y2，
xy
xy
1
1
故
z
＝
x2－3xy＋4y2＝x 4y ≤ y＋ x －3
2
4－3＝1，当且仅
当xy＝4xy即 x＝2y 时等号成立，这时 z＝x2－3xy＋4y2＝2y2.
利用排除法，
设 x＝3.2，则[－x]＝[－3.2]＝－4，而－[x]＝－[3.2]
ab C．若c2<c2，则 a<b
D．若 a>b，c>d，则 a－c>b－d
由不等式的性质知 C 正确．
C
2．已知 x，y 都为正实数，且 3x＋y＝1，则 xy 的最大
值为( )．
1
1
A.12
B.3
C. 3
D．2 3
∵x，y 都为正实数，∴3x＋y＝1≥2 3x·y，得 xy
1 ≤12，故
xy
1 的最大值为12.
四、极值定理
1．若 x，y∈R＋，积 x·y＝p(定值)，则和 x＋y 有最小
值__2 p__，当且仅当__x＝y__时，取“＝”；
2．若 x，y∈R＋，和 x＋y＝s(定值)，则积 x·y 有最大
值__s42__，当且仅当__x＝y__时，取“＝”．
即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”．
a －b ＝ log36－ log510＝ 1＋ log32－ (1 ＋ log52) ＝ log32－log52＞0，∴a＞b.
b－c＝log510－log714＝1＋log52－(1＋log72)＝log52 －log72＞0，∴b＞c.∴a＞b＞c.
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第3节 基本不等式课时分层训练 文 新
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课时分层训练（三十四) 基本不等式A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．已知x>－1，则函数y＝x＋错误!的最小值为（）【导学号：31222211】A．－1 B．0C．1 D．2C［由于x>－1,则x＋1>0，所以y＝x＋1x＋1＝(x＋1)＋错误!－1≥2错误!－1＝1，当且仅当x＋1＝错误!,由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．]2．设非零实数a,b，则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的( )【导学号：31222212】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝（a－b)2≥0,即a2＋b2≥2ab，而错误!＋错误!≥2⇔ab〉0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”的必要不充分条件．]3．(2016·吉林东北师大附中等校联考）函数f（x)＝a x－1－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx－ny－1＝0上，其中m〉0，n〉0，则错误!＋错误!的最小值为( ）【导学号：31222213】A．4 B．5C．6 D．3＋22D［由题意知A(1,－1)，因为点A在直线mx－ny－1＝0上，所以m＋n＝1，所以错误!＋错误!＝错误!(m＋n)＝3＋错误!＋错误!，因为m>0，n>0，所以错误!＋错误!＝3＋错误!＋错误!≥3＋2错误!＝3＋2错误!。
高考数学(文)(新课标)一轮复习配套课件：第六章不等式、推理与证明第3讲基本不等式
第六章不等式、推理与证明序■.第3讲基本不等式3.利用基本不等式求最值问题已知兀>0, j>0,则⑴如果积与是定值P，那么当且仅当兀=丿时,x+y有最小值是$壬.（简记：积定和最小）⑵如果和兀+y是定值p,那么当且仅当兀=丿时,xy 有最大值是4•（简记:和定积最大）［做一做］1.已知a, bU(O, +°°),若ab = l f贝!| a+b的最小值为12;若a+b = l,则ab的最大值为二•解析：由基本不等式得a^b^2y［ab=29当且仅当"=方=1时取到等号=£当且仅当a=b=l时取到等号.要点整合1.辨明两个易误点⑴使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可；(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.2.活用几个重要的不等式a2^rb2^2ab(a9 DGR)；：+亍$2(°, b同号)•一/ + 沪_W—牙—(a9方WR).3.巧用“拆” “拼” “凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件•［做一做］2. "a>0且〃>0”是“与色M 颗”成立的（A ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件4 4解析：兀+戸=兀—1+尸+&4+1=5・D. 3.若兀＞1,贝||兀+既不充分也不必要条件 占的最小值为—空当日何当,即x=3时等号成立.f典例剖析・考点突破名师导悟以例说法考点一利用基本不等式证明不等式利用基本不等式求最值（高频考点）二利用基本不等式解决实际问题考点一利用基本不等式证明不等式求证:(1++)(1+詐9・［证明］法一：V«>0, b>0, a+b = l t/.1+-=1+—=2+-.同理，l+£=2+% a a a b b=5 + 2亡+彳）$5 + 4 = 9,当且仅当号=彳，即a=b 时取 .•.(1+£)(1+詐9,当且仅当“=»=£时等号成立. 法二：(1+典例1 己知。
高考数学一轮复习全套教案第6章第3节基本不等式
第三节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．[常用结论]重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ≥b .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4. ( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件． ( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82C [xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．故选C.] 3．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0， ∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.]4．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________． 5 [x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥2(x －1)×4x －1＋1＝5，当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．]5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．22[由xy＝1得x2＋2y2≥22x2y2＝2 2.当且仅当x2＝2y2时等号成立．]利用基本不等式求最值►【例1】(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________．(2)已知x＜54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．(1)14(2)1[(1)由题知a－3b＝－6，因为2a＞0,8b＞0，所以2a＋18b≥2×2a×18b＝2×2a－3b＝14，当且仅当2a＝18b，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．(2)因为x＜54，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x＋15－4x＋3≤－2(5－4x)·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.]►考法2常数代换法求最值【例2】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为________．4 [因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b 时，等号成立．][拓展探究] (1)若本例条件不变，求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值；(2)若将本例条件改为a ＋2b ＝3，如何求解1a ＋1b 的最小值． [解] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． (2)因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1.所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a ≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223.当且仅当a ＝2b 时，等号成立．[规律方法] 利用基本不等式求最值的三种思路,利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路：(1)利用基本不等式直接求解.(2)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(3)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.(1)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋2B ．1＋ 3C ．3D ．4(2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥15 B ．a ＞15 C ．a ＜15D ．a ≤15(3)已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________． (1)C (2)A (3)92 [(1)当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3，选C.(2)由x ＞0，得x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立．则a ≥15，故选A.(3)∵正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2， 则2x ＋1y ＝12(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ＋2x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×2y x ·2x y ＝92，当且仅当x ＝y ＝23时取等号． ∴2x ＋1y 的最小值为92.]基本不等式的实际应用【例3】 某厂家拟定在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ [解] (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，所以 2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y ma x ＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． [规律方法] 利用基本不等式解决实际问题的3个注意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t ，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值． [解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t －4t ，20<t ≤30.(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t ＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t －4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323， 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．。
高考数学(理)一轮复习分层演练：6.3基本不等式(含答案)
第3讲 基本不等式[学生用书P122]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可． (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 D [解析] 因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·a b＝2. 2．(2017·郑州模拟)设a >0，b >0，若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8C [解析] 由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝12时，取等号，所以最小值为4.3．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．[解析] x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．[答案] 54.教材习题改编 若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．[解析] 设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10， 所以S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号． [答案] 25 m 2利用基本不等式求最值(高频考点)[学生用书P123]利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值；(3)求参数的值或范围．[典例引领](1)(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2 B ．2C ．2 2D ．4(2)(2017·甘肃定西通渭榜罗中学期末)已知a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋4b 的最小值是________．(3)(2015·高考重庆卷)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 【解析】 (1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”， 所以ab 的最小值为2 2.(2)因为ln(a ＋b )＝0，所以a ＋b ＝1， 又因为a ＞0，b ＞0，所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ×4ab＝9. 当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝23时取“＝”．(3)令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2（a ＋1）（b ＋3）＝9＋2（a ＋1）（b ＋3）≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.所以 t max ＝18＝3 2. 【答案】 (1)C (2)9 (3)32利用基本不等式求最值需满足的三个条件(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．[题点通关]角度一 知和求积的最值1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82 C [解析] xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C. 角度二 知积求和的最值2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是( )A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12A [解析] 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.角度三 求参数的值或范围3．(2017·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32 C ．1D ．2C [解析] 由题意可得a ＞0，①当x ＞0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a时取等号；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.利用不等式解决实际问题[学生用书P123][典例引领]某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图中阴影部分所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？【解】 (1)由题意可得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y (x ＞3，y ＞3)．(2)法一：S ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1 800x ＝45，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值． 法二：设S ＝f (x )＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x (x ＞3)， 则f ′(x )＝4 800x 2－3＝3（40－x ）（40＋x ）x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝40，当3＜x ＜40时，f ′(x )＞0；当x ＞40时，f ′(x )＜0. 所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． [解] (1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.[学生用书P124]——忽视最值取得的条件致误(1)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x ＜0)的最小值为________．【解析】 (1)因为x ＞0，y ＞0， 所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，所以当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)因为x ＜0，所以y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 【答案】 (1)3＋22 (2)1＋2 6利用基本不等式求最值的注意事项(1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．如本例(2)易忽视x ＜0.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件是否一致．在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．1.(2017·合肥市第二次质量检测)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [解析] 因为a ，b 都是正数，所以⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号，选项C 正确．2．当3＜x ＜12时，函数y ＝（x －3）（12－x ）x的最大值为________．[解析] y ＝（x －3）（12－x ）x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋15 ≤－2x ·36x＋15＝3. 当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时，y max ＝3. [答案] 33．已知a ，b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0，1)，则1a ＋1b 的最小值是________．[解析] 依题意得2a e 0＋b ＝2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ·(2a ＋b )＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋2a b ≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时取等号，所以1a ＋1b的最小值是3＋2 2.[答案] 3＋2 2[学生用书P354(独立成册)]1．当x ＞0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2B [解析] f (x )＝2x ＋1x≤22x ·1x＝1.当且仅当x ＝1x ，x ＞0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [解析] 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而ab ＋b a ≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba≥2”的必要不充分条件． 3．(2017·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [解析] 因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy ≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1. 4．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3D [解析] 由题意得⎩⎨⎧ab ＞0，3a ＋4b ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )， 即3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a ≥7＋23a b ·4ba＝7＋4 3. 当且仅当3a b ＝4ba时取等号．故选D.5．一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( ) A.L 28 B.L 24 C.L 22D ．L 2A [解析] 设菜园的长为x ，宽为y ，则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ， 因为x ＋2y ≥22xy . 所以xy ≤（x ＋2y ）28＝L 28.当且仅当x ＝2y ＝L2，即x ＝L 2，y ＝L4时，S max ＝L 28，故选A.6．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C [解析] 根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min，因为a b ＋ba ≥2a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．7．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则ab的最大值为________．[解析] 由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取到等号． [答案] 2 148．(2017·郑州市第二次质量检测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________．[解析] 由题意得，y ＝3－x 22x ，所以2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．[答案] 39．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a ＞1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________． [解析] 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1＝4＋3a －1.又因为a ＞1，所以b ＞0.所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋6a －1＋9＝6(a －1)＋6a －1＋15. 因为a －1＞0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26（a －1）×6a －1＋15＝27.当且仅当6(a －1)＝6a －1(a ＞1)，即a ＝2时取等号．[答案] 2710．(2017·厦门模拟)若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．[解析] 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3， 因为x >－3，所以x ＋3>0， 故f (x )≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立， 所以a 的取值范围是(－∞，22－3]． [答案] (－∞，22－3]11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x ＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝nv 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜8，14＜s 2＜17. (1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？[解] (1)由试验数据知，s 1＝25n ＋4，s 2＝710n ＋494，所以⎩⎨⎧6＜25n ＋4＜8，14＜710n ＋494＜17，解之得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜10，52＜n ＜9514. 又n ∈N ，所以n ＝6.(2)由(1)知，s ＝3v 50＋v 2400，v ≥0. 依题意，s ＝3v 50＋v 2400≤12.6， 即v 2＋24v －5 040≤0，解得－84≤v ≤60.因为v ≥0，所以0≤v ≤60.故行驶的最大速度为60 km/h.13．(2017·湖南省东部六校联考)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2 B.13C.3＋223D.34C [解析] 由已知可得AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →＝13x AM →＋13yAN →，又M 、G 、N 三点共线，故13x ＋13y ＝1，所以1x ＋1y＝3，则x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎫1x ＋1y ·13＝13⎝⎛⎭⎫3＋2y x ＋x y ≥3＋223(当且仅当x ＝2y 时取等号)．故选C.14．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |ax 2＋bx ＋c ≤0}，若A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ，则b 2a ＋a c2的最小值为________． [解析] 因为x 2－2x －3＞0，所以x ＜－1或x ＞3，因为A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ，所以B ＝{x |－1≤x ≤4}，所以－1和4是ax 2＋bx ＋c ＝0的根，所以－1＋4＝－b a ，(－1)×4＝c a， 所以b ＝－3a ，c ＝－4a ，且a ＞0，所以b 2a ＋a c 2≥2b 2c 2＝－2b －c ＝6a 4a ＝32， 当且仅当b 2a ＝a c2时取等号． [答案] 3215．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)1x ＋1y的最小值． [解] (1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥ 120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103. 所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 16．(2017·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？[解] 设AP ＝x 米，AQ ＝y 米．(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝12xy ·sin 120°＝34xy .所以S ≤34⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝2 500 3. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y ＝200，即x ＝y ＝100时取“＝”． (2)由题意得100×(x ＋1.5y )＝20 000，即x ＋1.5y ＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ＝(200－1.5y )2＋y 2＋(200－1.5y )y＝1.75y 2－400y ＋40 000＝1.75⎝⎛⎭⎫y －80072＋120 0007⎝⎛⎭⎫0<y <4003，当y ＝8007时，PQ 有最小值200217，此时x ＝2007.。
(广东专用)高考数学一轮复习 第六章第三节基本不等式配套课件 文
3 4 (1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，且 ＋ 的 x y 最小值是________． (2)(2013· 深圳调研)设x，y为实数，若x2＋y2＋ xy＝1，则x＋y的最大值是________． 【解析】 (1)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1， 3 4 3 4 3y 4x ∴x＋y＝(x＋y)(x＋y)＝ x ＋ y ＋7 3y 4x ≥2 · ＋7＝7＋4 3， x y
第三节 基本不等式
a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2 a＞0，b＞0 ． (1)基本不等式成立的条件：____________ (2)等号成立的条件：当且仅当_________ a＝b 时等 号成立． a＋b 算术平均数， ab (3)其中 2 称为正数a，b的__________ 几何平均数 ． 称为正数a，b的_____________
3y 4x 当且仅当 x ＝ y 且x＋ y＝1，即x＝－3＋ 2 3，y＝4－2 3时等号成立， 3 4 ∴ ＋ 的最小值是7＋4 3. x y (2)由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋ y)2－xy， 2 （ x ＋ y ） ∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋ ， 4 2 3 2 3 解得－ 3 ≤x＋ y≤ 3 ， 2 3 ∴x＋ y的最大值为 3 . 2 【答案】 (1)7＋4 3 (2)3 3
【提示】 当等号取不到时，利用函数的单调性求解．
2．设a＞0，b＞0，你能比较 的大小吗？ 1 1 ＋ a b 2
a2＋b2 与 2
2ab 2ab 【提示】 1 1＝ ≤ ＝ ab， a＋b 2 ab ＋ a b 且 ∴ a2＋b2 2ab ≥ ＝ ab， 2 2 a2＋b2 2 2 ≥1 1. a＋b
3．常用不等式 2ab (1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)． a＋b 2 (2)ab≤( ) (a，b∈R)． 2 a＋b 2 a2＋b2 (3)( 2 ) ≤ 2 (a，b∈R)． b a (4)a ＋b ≥2(a，b同号)．
高考数学一轮复习第六章第三节基本不等式课时作业理含解析北师大版
第三节 基本不等式授课提示：对应学生用书第335页〖A 组 基础保分练〗1．（2021·荆门一中期中测试）函数f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8〖解 析〗f （x ）＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为4．〖答 案〗B 2．（2021·钦州期末测试）已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是（ ） A ．15 B ．12 C ．5 D ．3 〖解 析〗因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5． 〖答 案〗C3．（2021·烟台期中测试）已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x ＋14y 的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．256〖解 析〗∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4，∴2x ＋14y ≥22x －2y ＝8，当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立，∴2x ＋14y 的最小值为8．〖答 案〗B 4．（2021·湖南衡阳期末）已知P 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界），若△P AB ，△P AC和△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则y ＋z x ＋1y ＋z的最小值是（ ）A ．23＋13B ．3＋23C ．13D ．3〖解 析〗因为x ＋y ＋z ＝1，0<x <1，0<y <1，0<z <1，所以y ＋z x ＋1y ＋z ＝1－x x ＋11－x ＝1－x x ＋1－x ＋x 1－x ＝1－x x ＋x1－x＋1≥21－x x ·x 1－x ＋1＝3，当且仅当x 1－x＝1－x x ，即x ＝12时等号成立，所以y ＋z x ＋1y ＋z 的最小值为3．〖答 案〗D5．（2021·北京通州区期中测试）设f （x ）＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f （ab ），q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12（f（a ）＋f （b ）），则下列关系式中正确的是（ ） A ．q ＝r <p B ．q ＝r >p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r >q〖解 析〗∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，∵f （x ）＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数，∴f （ab ）<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，又f （a ）＋f （b ）2＝ln ab <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2， ∴f （a ）＋f （b ）2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，∴p ＝r <q ． 〖答 案〗C6．（2021·鹰潭模拟）已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为（ ）A ．4B ．2 2C ．8D ．16 〖解 析〗因为a ＞0，b ＞0，所以根据a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，可得ab ＝1，所以1a ＋2b≥21a ·2b＝22，当且仅当b ＝2a ＝2时等号成立． 〖答 案〗B7．已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．〖解 析〗由a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1，所以a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b2a ≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋3．〖答 案〗2＋ 38．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系为y ＝－x 2＋18x －25（x ∈N ＋），则该公司年平均利润的最大值是 万元．〖解 析〗每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．〖答 案〗89．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22．（1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若（a －b ）2≥4（ab ）3，求ab 的值．〖解 析〗（1）由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以a 2＋b 2的最小值是1．（2）由（a －b ）2≥4（ab ）3得⎝⎛⎭⎫1a －1b 2≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab≤2，又ab＋1ab ≥2，所以ab ＋1ab＝2，所以ab ＝1． 10．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？〖解 析〗（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100，当且仅当12x ＝45 000x ，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．（2）获利．设该单位每月获利为s 元，则s ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12（x －400）2＋35 000．因为x ∈〖300，600〗，所以s ∈〖15 000，35 000〗．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．〖B 组 能力提升练〗 1．（2021·吕梁月考）一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0（a >b ）的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2a －b的最小值是（ ） A ．1 B ．2C ． 2D ．2 2〖解 析〗∵一元二次不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，∴a >0且Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，且a >b >0，∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b ≥22，当且仅当a ＝6＋22，b ＝6－22时等号成立，∴a 2＋b 2a －b 的最小值为22．〖答 案〗D2．设函数f （x ）＝x a －x 2－12对任意x ∈〖－1，1〗，都有f （x ）≤0成立，则a ＝（ ）A ．4B ．3C ． 2D ．1 〖解 析〗由a －x 2≥0对任意x ∈〖－1，1〗恒成立得a ≥1；又由f （x ）＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0得a ≤1，所以a ＝1． 〖答 案〗D3．（2021·吉安期中测试）设正数x ，y 满足x ＋y ＝1，若不等式1x ＋ay≥4对任意的x ，y 成立，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．〖4，＋∞） B ．（1，＋∞） C ．〖1，＋∞） D ．（4，＋∞）〖解 析〗∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，a >0，∴1x ＋a y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋a y （x ＋y ）＝a ＋1＋y x ＋axy ≥a ＋1＋2a ，∴a ＋2a ＋1≥4，即a ＋2a －3≥0，解得a ≥1．〖答 案〗C4．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是边BC 上的动点，且|AB →|＝3，|AC →|＝4，AD →＝λAB →＋μAC→（λ>0，μ>0），则当λμ取得最大值时，|AD →|的值为（ ）A ．72B ．3C ．52D ．125〖解 析〗∵点D 是边BC 上的动点且AD →＝λAB →＋μAC →（λ>0，μ>0），∴λ＋μ＝1，∴λμ≤（λ＋μ）24＝14，当且仅当λ＝μ＝12时等号成立，λμ取得最大值，此时点D是边BC 的中点，∴|AD →|＝12|BC →|，∵|AB →|＝3，|AC →|＝4，∠BAC ＝90°，∴|AD →|＝12|BC →|＝52．〖答 案〗C 5．（2021·上海普陀区月考）设正数a ，b 满足2a ＋3b ＝ab ，则a ＋b 的最小值是________．〖解 析〗∵2a ＋3b ＝ab ，a >0，b >0，∴3a ＋2b ＝1，∴a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝2a b ＋3b a ＋5≥26＋5，当且仅当2a 2＝3b 2时等号成立，∴a ＋b 的最小值为26＋5． 〖答 案〗26＋56．（2021·鹤岗一中月考）已知x <0，且x －y ＝1，则x ＋12y ＋1的最大值是________．〖解 析〗∵x <0，且x －y ＝1，∴x ＝y ＋1，y <－1，∴x ＋12y ＋1＝y ＋1＋12y ＋1＝y ＋12＋12y ＋12＋12，∵y ＋12<0，∴y ＋12＋12y ＋12＝ －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫y ＋12＋12－⎝⎛⎭⎫y ＋12≤－2，当且仅当y ＝－1＋22时等号成立，∴x ＋12y ＋1≤12－2，∴x ＋12y ＋1的最大值为12－2．〖答 案〗12－ 27．（2021·唐山模拟）已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1． （1）求证：a ＋b ≤2；（2）判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．〖解 析〗（1）证明：由题意得（a ＋b ）2＝3ab ＋1≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号．解得（a ＋b ）2≤4，又a ，b >0， 所以a ＋b ≤2． （2）不能成立．理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立． 因为a ＋b ≤2，所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2．因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d2＋1≥ac ＋bd ，故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．〖C 组 创新应用练〗1．已知f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0）在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b的最小值为（ ）A ．3＋223B ．3＋2 2C ．3D ．2 2〖解 析〗由f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0），得f ′（x ）＝x 2＋2ax ＋b －4．由题意得f ′（1）＝12＋2a ＋b －4＝0，则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×2a ＋b 3＝13⎝⎛⎭⎫2a ＋1b （2a ＋b ）＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3，当且仅当2b a ＝2a b ，即a ＝b ＝1时，等号成立．故2a ＋1b 的最小值为3． 〖答 案〗C2．若直线l ：ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则1a ＋1b的最小值为（ ） A ．2 2 B ． 2C ．22＋1D ．2＋32〖解 析〗直线ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，即圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心（－1，2）在直线ax －by ＋2＝0上，可得－a －2b ＋2＝0，即a ＋2b＝2，所以1a ＋1b ＝12（a ＋2b ）⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝32＋12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a b ≥32＋ 2b a ·a b ＝32＋2，当且仅当2b a ＝a b时等号成立，所以1a ＋1b 的最小值为32＋2．〖答 案〗D3．已知棱长为6的正四面体ABCD ，在侧棱AB 上任取一点E （与A ，B 不重合），若点E 到平面ACD 与平面BCD 的距离分别为a ，b ，则43a ＋1b的最小值为（ ）A ．72 B ．7＋336C ．7＋436D ．76〖解 析〗如图，连接CE ，DE ，设O 为底面三角形BCD 的中心，连接OA ，则正四面体的高OA ＝2．因为V A -BCD ＝V E BCD ＋V E -ACD ，所以a ＋b ＝2，所以43a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫43a ＋1b （a ＋b ）＝12⎝⎛⎭⎫73＋4b 3a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫73＋24b 3a ·a b ＝7＋436，当且仅当4b 3a ＝a b ，即b ＝32a 时取等号．〖答 案〗C。
高考数学一轮复习 第6章 不等式 6.3 基本不等式学案
6.3 基本不等式[知识梳理] 1．基本不等式设a >0，b >0，则a 、b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24(简记：和定积最大)．注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )， 2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R )． (6)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．[诊断自测] 1．概念思辨(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(必修A5P 99例1(2))设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82答案 C解析 由基本不等式18＝x ＋y ≥2xy ⇔9≥xy ⇔xy ≤81，当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值81，故选C.(2)(必修A5P 100A 组T 2)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．答案 15152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号． 3．小题热身(1)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. (2)已知x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案 18解析 ∵2xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝14，∴xy ≤18⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时取“＝”号.∴xy 的最大值为18.题型1 利用基本不等式求最值角度1 直接应用典例 (2018·沈阳模拟)已知a ＞b ＞0，求a 2＋1b (a －b )的最小值．直接应用基本不等式．解 ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0. ∴a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当b ＝a －b ，a 2＝2，a＞b ＞0，即a ＝2，b ＝22时取等号． ∴a 2＋1b (a －b )的最小值是4.角度2 变号应用典例 求f (x )＝lg x ＋1lg x的值域．注意分类讨论．解 f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．当0＜x ＜1时，lg x ＜0， ∴－f (x )＝－lg x ＋1－lg x ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝110时等号成立，即f (x )≤－2. 当x ＞1时，lg x ＞0，f (x )＝lg x ＋1lg x≥2(当且仅当x ＝10时等号成立)． 综上f (x )的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 角度3 寻求定值应用典例 求f (x )＝4x －2＋14x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x <54的最大值．配凑成积定的式子．解 因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.角度4 常量代换法求最值(多维探究)典例 (2015·福建高考)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5注意巧用1的代换．答案 C解析 因为直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)， 所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.[条件探究] 将典例条件变为“x ＞0，y ＞0且1x ＋9y＝1”，求x ＋y 的最小值．解 ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9且x ＝yy －9.∴x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y ＞9，∴y －9＞0. ∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16. 当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号． 又1x ＋9y＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16. 方法技巧利用基本不等式求最值的方法1．知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．2．知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．3．构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．见角度4典例．冲关针对训练1．已知a ＞0＞b ＞－1，且a ＋b ＝1，则a 2＋2a ＋b 2b ＋1的最小值为( )A.3124 B.3112 C.3＋22D.3＋222答案 D解析 a 2＋2a ＋b 2b ＋1＝a ＋2a ＋(b ＋1)2－2(b ＋1)＋1b ＋1＝a ＋2a ＋b ＋1－2＋1b ＋1，又a ＋b ＝1，a ＞0，b ＋1＞0，所以a ＋2a ＋b ＋1－2＋1b ＋1＝2a ＋1b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ＋12＝32＋b ＋1a ＋a 2(b ＋1)≥32＋2b ＋1a ·a 2(b ＋1)＝3＋222，当且仅当b ＋1a ＝a2(b ＋1)，即a ＝4－22，b ＝22－3时取等号，所以a 2＋2a ＋b 2b ＋1的最小值为3＋222，故选D.2．(2018·广西三市调研)已知m ，n 为正实数，向量a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)，若a ∥b ，则1m ＋2n的最小值为________．答案 3＋2 2解析 ∵a ∥b ，∴m －(1－n )＝0，即m ＋n ＝1，又m ，n 为正实数，∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m＋n )＝n m ＋2mn＋3≥2n m ·2mn＋3＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧n m ＝2m n ，m ＋n ＝1，即⎩⎨⎧m ＝2－1，n ＝2－2时，取等号.题型2 基本不等式的综合应用角度1 利用基本不等式比较大小典例 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ，若0＜a ＜b ，P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，Q ＝f (ab )，R ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22，则( ) A ．P ＜Q ＜R B ．P ＜R ＜Q C ．R ＜Q ＜PD ．R ＜P ＜Q用导数法．答案 D 解析 f ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1(x ＞－1)，由f ′(x )>0解得－1<x <0，由f ′(x )<0解得x >0，所以f (x )在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．当0＜a ＜b 时，0＜ab ＜a ＋b2＜a 2＋b 22，∴Q ＝f (ab )＞P ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞R ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22.故选D. 角度2 利用基本不等式证明不等式典例 已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.左边因式分别使用基本不等式．证明 因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以 1x－1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y－1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z－1＝1－z z＝x ＋y z>2xy z，③又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1z －1>8.角度3 基本不等式中的恒成立问题典例 (2018·太原模拟)正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)用转化法．答案 D解析 a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥16⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝12时取“＝”，故只需－x 2＋4x ＋18－m ≤16，得x 2－4x ＋m －2≥0恒成立，即Δ＝16－4(m －2)≤0，解得m ≥6.故选D.角度4 基本不等式与其他知识的综合问题典例 已知直线l ：x ＝my ＋2(m ∈R )与x 轴的交点是椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >0)的一个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 的左焦点为F 1，是否存在m 使得△ABF 1的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．根据题意得出三角形面积表达式，求最值时，用基本不等式法．解 (1)易知直线l ：x ＝my ＋2与x 轴的交点坐标为(2,0)，∴椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >0)的一个焦点坐标为(2,0)，∴c ＝2，∴a 2＝c 2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆C 的方程为x 25＋y 2＝1.(2)存在．将x ＝my ＋2代入x 25＋y 2＝1并整理得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0，Δ＝(4m )2－4(m 2＋5)×(－1)＝20m 2＋20>0， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4mm 2＋5， y 1y 2＝－1m 2＋5，∴|AB |＝1＋m 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m m 2＋52－－4m 2＋5＝1＋m 2·20m 2＋20(m 2＋5)2， ∵椭圆C 的左焦点为F 1(－2,0)，∴F 1到直线l 的距离d ＝|－2－2|1＋m 2＝41＋m2，∴S △ABF 1＝12·1＋m 2·20m 2＋20(m 2＋5)2·41＋m2＝45·m 2＋1(m 2＋5)2＝45·m 2＋1(m 2＋1)2＋8(m 2＋1)＋16＝45·1m 2＋1＋16m 2＋1＋8≤45·12(m 2＋1)·16m 2＋1＋8＝ 5.当且仅当m 2＋1＝16m 2＋1，即m ＝±3时，S △ABF 1取得最大值． ∴存在m ＝±3使得△ABF 1的面积最大． 方法技巧基本不等式的综合运用常见题型及求解策略1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，如角度1典例，结合函数的单调性进行大小的比较．2．证明不等式的成立性，如角度2典例．3．利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如角度3典例． 4．与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如角度4典例中利用基本不等式求三角形面积的最大值时参数的取值．冲关针对训练(2017·广西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b .∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.(2)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba，同理，1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab≥5＋4＝9.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 题型3 基本不等式在实际问题中的应用典例 某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？由题意得出函数解析式，求最值时用基本不等式法．解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1. 由题意可知每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2017年的利润y ＝1.5x ·8＋16x x －8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元． 方法技巧利用基本不等式求解实际问题的求解策略1．根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 3．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．4．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立． 冲关针对训练某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．解 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x (x ＋1)．设每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x[9x (x ＋1)＋900]＋6×1800＝900x＋9x ＋10809≥2900x·9x ＋10809＝10989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号．所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800×0.90＝900x＋9x ＋9729(x ≥35)．由对勾函数的性质易知f (x )＝x ＋100x在[10，＋∞)上单调递增，故当x ＝35时，y 2取得最小值，约为10069.7，此时y 1＞y 2，所以该厂可以考虑接受此优惠条件．1.(2017·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1答案 C解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b ＞0，1b ＝1－1a＞0，∴b ＞1，a ＞1， 则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立， ∴1a －1＋9b －1的最小值为6.故选C. 2．(2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg (a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋b )得lg (ab )＝lg (a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b＝1，所以a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.故选C.3．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3600x ＋4x 万元．因为3600x＋4x ≥23600x·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．4．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab ＞0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b4＋1ab的最小值为4.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．若x ＞0，则x ＋2x的最小值是( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2答案 D解析 由基本不等式可得x ＋2x≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2x即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.故选D.2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3.故选C. 3．(2018·河南平顶山一模)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15C ．a ＜15D ．a ≤15答案 A解析 因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max，而对x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1时等号成立，∴a ≥15.故选A.4．在方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的区域内(包括边界)任取一点P (x ，y )，则z ＝xy 的最大值为 ( )A.12B.13C.14D.18答案 C解析 根据题意如图所示，要保证z 最大，则P 应落在第一或第三象限内，不妨设P 点落在线段AB 上，故z ＝xy ＝x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝12时，等号成立，故z的最大值为14.故选C.5．(2018·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32 C ．1 D ．2答案 C解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.故选C.6．(2017·浙江考试院抽测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33D.233答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B. 7．已知实数a >0，b >0，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by>m ，对任意的正实数x ，y恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)答案 D解析 因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．故选D. 8．(2017·忻州一中联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12答案 A解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，∴S n ＋8a n＝n (n ＋1)2＋8n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92.故选A. 9．(2018·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8 D ．9答案 D解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， 若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →，∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1， 又a >0，b >0，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a＋2ab≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．故选D.10．(2018·河南洛阳统考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2B.6－2 C ．22＋2 D ．22－2答案 B解析 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1， 且4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a－1，则t ≥0. 当t ＞0时，b 2a 2＋2c2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝62时等号成立，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2.故选B.二、填空题11．(2014·福建高考)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析 设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160.(当且仅当x ＝y 时取等号)故该容器的最低总造价是160元．12．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．答案 12解析 ∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8， ∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12， 当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号， ∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12. 13．(2018·泰安模拟)正实数a 、b 满足2a ＋2b ＋12a ＋b＝6，则4a ＋5b 的最小值是________．答案 32解析 正实数a 、b 满足2a ＋2b ＋12a ＋b＝6， 令a ＋2b ＝m,2a ＋b ＝n ，则正数m ，n 满足2m ＋1n＝6，则4a ＋5b ＝2m ＋n ＝16(2m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2n m ＋2m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22n m ·2m n ＝32， 当且仅当2n m ＝2m n 即m ＝n ＝12时取等号，此时a ＝b ＝16，故4a ＋5b 的最小值为32.14．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≥0，2x －y －2≤0，且目标函数z ＝ax ＋by (a ，b ＞0)的最大值为4，则4a ＋2b的最小值为________．答案 3＋2 2解析 画区域如图，易知目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2，所以4a ＋2b ＝2(a ＋b )a＋a ＋b b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·ab＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab ，即⎩⎨⎧a ＝4－22，b ＝22－2时，取等号．故4a ＋2b的最小值为3＋2 2.三、解答题15．(2017·太原期末)如图，围建一个面积为100 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x (单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求当x 为何值时，y 取得最小值，并求出此最小值． 解 (1)由题意得矩形场地的另一边长为100x米，∴y ＝56x ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2·100x－2×200＝256x ＋40000x－400(x ＞0)．(2)由(1)得y ＝256x ＋40000x－400≥2256x ·40000x－400＝6000，当且仅当256x ＝40000x时，等号成立，即当x ＝252米时，y 取得最小值6000元．16．(2018·南昌模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋(1＋p )x ＋p ＋2＝0的两个实根，c ＝4.(1)求角C 的大小；(2)求△ABC 面积的取值范围．解 (1)由题意得tan A ＋tan B ＝－1－p ，tan A ·tan B ＝p ＋2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1－p1－(p ＋2)＝1，故△ABC 中，A ＋B ＝π4，所以C ＝3π4.(2)由C ＝3π4，c ＝4及c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得42＝a 2＋b 2－2ab ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22， 整理得16＝a 2＋b 2＋2ab ，即16－2ab ＝a 2＋b 2， 又a >0，b >0，所以16－2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ， 得ab ≤162＋2，当且仅当a ＝b 时取等号，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×ab ×22≤12×162＋2×22＝422＋2＝42－4，所以△ABC 面积的取值范围为(0,42－4]．。
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第35讲
第35讲 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__a >0，b >0__. (2)等号成立的条件：当且仅当__a ＝b __时取等号． 2．几个重要的不等式： (1)a 2＋b 2≥__2ab __(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab≥__2__(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为__a ＋b2__，几何平均数为，基本不等式可叙述为__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__.4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当__x ＝y __时，x ＋y 有最__小__值是简记：积定和最小)；(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当__x ＝y __时，xy 有最__大__值是__p 24__(简记：和定积最大)．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(3)x ＞0，y ＞0是x y ＋y x ≥2的充要条件．( × ) (4)若a ＞0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )解析 (1)错误．因为x 没有确定符号，所以不能说最小值为2. (2)错误．利用基本不等式时，等号不成立． (3)错误．不是充要条件，当x <0，y <0时也成立． (4)错误．最小值不是定值，故不正确．2．已知m ＞0，n ＞0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( A ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243解析 ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．3．若M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( A )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]解析 M ＝a 2＋4a ＝a ＋4a，当a >0时，M ≥4；当a <0时，M ≤－4.4．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为__5__. 解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立． 5．若x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为__2__.解析 由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可知xy ＝10. 则2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10.即x ＝2，y ＝5时等号成立．一 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的方法(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【例1】 (1)已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.(2)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 (1)∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x≥2yzx＞0，x y ＋z y ≥2xz y ＞0，x z ＋y z ≥2xy z＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．(2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．二 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应注意的问题(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解．【例2】 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( B ) A ．13 B ．12 C ．34D ．23(2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( C ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4解析 (1)∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(1－x )22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，“＝”成立．(2)∵x >2，∴x －2>0， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2·(x －2)·1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2， 即(x －2)2＝1时，等号成立，∴x ＝1或3.又∵x >2，∴x ＝3，即a ＝3.【例3】 (1)(2018·山东烟台期末)已知正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m恒成立，则实数m 的取值范围是( B )A ．(－2,4)B ．(－4,2)C ．(－∞，2]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)(2)(2018·福建南平一模)已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8(x ＋2)(y ＋4)的最小值为( B )A ．14 B ．12 C ．1D ．2(3)(2018·河南许昌二模)已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为( C )A ．24B ．32C ．20D ．28解析 (1)因为x >0，y >0，2x ＋1y＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24yxxy＝8，当且仅当x ＝4，y ＝2时取等号，所以x ＋2y 的最小值是8.所以m 2＋2m <8，解得－4<m <2，故选B ．(2)因为x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，所以x ＋2＋y ＋4＝8.所以8≥2(x ＋2)(y ＋4)，则1(x ＋2)(y ＋4)≥116，当且仅当x ＝2，y ＝0时取等号，所以8(x ＋2)(y ＋4)≥816＝12，故选B ．(3)因为x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16， 则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4 ＝6⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝⎛⎭⎪⎫2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4≥6⎝⎛⎭⎪⎫2＋2x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4≥20， 当且仅当x ＝y ＝10时取等号 ，所以x ＋y 的最小值为20，故选C ．三 基本不等式的实际应用(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【例4】 某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解析 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(元)，∴2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216m ＋1·(m ＋1)＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．1．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( B ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .∵3x＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.2．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号． 3．若2x＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是__2__. 解析 因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.4．(2018·山东济宁二模)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4，若P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，则1a ＋9b的最小值为__8__.解析 由题意知，圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4两个方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，即x ＋y ＝2，又点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，所以a ＋b ＝2，则1a ＋9b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋9a b ＝5＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋9a b ≥5＋12×2b a ·9ab＝8⎝⎛ 当且仅当b ＝3a ，即a ＝12，⎭⎪⎫b ＝32时，等号成立，所以1a ＋9b 的最小值为8.易错点 不会凑出常数错因分析：式子的最大、最小值应为常数，为凑出常数，需要“拆”“拼”“凑”等技巧．【例1】 已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则λ的最小值为________. 解析 由已知得λ≥x ＋22xyx ＋y恒成立．∵x ＋22xy x ＋y ＝x ＋2x ·2y x ＋y ≤x ＋x ＋2yx ＋y＝2，(当且仅当x ＝2y 时取等号)∴λ≥2，λ的最小值为2.答案 2【跟踪训练1】 已知x 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解析 因为x >0， 所以x ·1＋y 2＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22≤22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22. 又x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋y 22＋12＝32.所以x 1＋y 2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＝324，当且仅当x 2＝12＋y 22，即x ＝32时，等号成立．故(x 1＋y 2)max ＝324. 课时达标 第35讲[解密考纲]考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现．在解答题中也渗透基本不等式的应用．一、选择题1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( C )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析 ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时，取等号．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( C ) A ．a ＋b ≥2abB ．1a ＋1b>1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2>2ab解析 ∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( C ) A ． 2 B ．4 C ．2D ．2 2解析 ∵a ≥0，b ≥0，∴a ＋2b ≥0，又∵a (a ＋2b )＝4，∴4＝a (a ＋2b )≤(a ＋a ＋2b )24，当且仅当a ＝a ＋2b ＝2时等号成立．∴(a ＋b )2≥4，∴a ＋b ≥2.4．函数y ＝^x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( A )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号． 5．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( B ) A ．1 B ．94 C ．9 D ．16解析1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，b ＋1＝2(a ＋1)时取等号，故选B ．6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( A ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析 设甲、乙两地相距s ，则平均速度v ＝2ssa ＋s b＝2aba ＋b .又∵a ＜b ，∴2ab a ＋b ＞2abb ＋b＝a .∵a ＋b ＞2ab ， ∴2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ，∴a ＜v ＜ab . 二、填空题7．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为解析 因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．8．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为__9__. 解析 由已知得x ＋2y2＝1，则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋216)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．9．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 的最大值为解析 由a ＋b2≤a 2＋b 22得3x ＋2y ≤2(3x )2＋(2y )2＝23x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号．三、解答题10．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． 解析 (1)∵x <32，∴2x －3<0，∴3－2x >0，∴y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3－2x )＋163－2x ＋32≤－12·2(3－2x )·163－2x ＋32＝－4＋32＝－52，当且仅当3－2x ＝163－2x ，即x ＝－12时，y max ＝－52.∴函数y 的最大值为－52.(2)∵0<x <2,4－2x >0， ∴y ＝x (4－2x )＝12·2x (4－2x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋4－2x 22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，y max ＝ 2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解析 (1)∵x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ，∴xy (xy －8)≥0，又xy ≥0，∴xy ≥8即xy ≥64.当且仅当x ＝4y 即8y ＋8y －4y 2＝0时，即y ＝4，x ＝16时取等号， ∴xy 的最小值为64.(2)∵2x ＋8y ＝xy >0，∴2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝2y 即4y ＋8y －2y 2＝0时，即y ＝6，x ＝12时取等号，∴x ＋y的最小值为18.12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？ 解析 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1， 所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400·⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x (x 2＋x ) ＝96 000x＋240x －160. 因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ＜240.故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x＋240x －160(0＜x ＜240)． (2)y ＝96 000x ＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立， 此时k ＝240x －1＝24020－1＝11. 故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．。
高考数学(文)一轮复习文档：第六章 不等式 第3讲基本不等式 Word版含答案
第3讲 基本不等式, )1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号且都不为0)；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1.教材习题改编将正数m 分成两个正数a 与b 之和，则ab 的范围为( ) A ．(0，m 22]B ．(0，m 24]C ．[m 22，＋∞)D ．[m 24，＋∞)B a ＋b ＝m ≥2ab ， 所以ab ≤m 24，故选B.2.教材习题改编函数f (x )＝x ＋1x的值域为( )A ．B ．∪ 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2.当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪ 设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)．则x ＋y ＝a2.因为x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14(x ＋y )2＝a 216，即S 矩形≤a 216. 当且仅当x ＝y ＝a 4时，(S 矩形)max ＝a 216.故选D.4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1， 即x ＝3时等号成立． 55．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．因为xy ＝1，所以y ＝1x，所以x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥2x 2·2x2＝2 2.即x 2＋2y 2的最小值为2 2. 2 2利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．(1)(2017·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)(2017·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16【解析】 (1)因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．故选C.(2)由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a＝2b，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B. 【答案】 (1)C (2)B角度一 知和求积的最值1．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”， 所以ab 的最小值为2 2.角度二 知积求和的最值 2．已知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n＝－1上，且m ，n >0，则3m ＋n 的最小值为________．易知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A (－3，－1)．又因为点A 在直线x m ＋y n＝－1上， 所以3m ＋1n＝1.所以3m ＋n ＝(3m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3m n ＋3n m ≥10＋23m n ·3nm＝16，当且仅当m ＝n 时，等号成立， 所以3m ＋n 的最小值为16. 16角度三 求参数的值或范围3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 4利用基本不等式解决实际问题小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋100x－38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2., )——忽视最值取得的条件致误(1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．【解析】 (1)因为x >0，y >0，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，所以当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)因为x <0，所以y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 【答案】 (1)3＋2 2 (2)1＋2 6(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件，如本例(2)易忽视条件x <0而误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．当3＜x ＜12时，函数y ＝（x －3）（12－x ）x的最大值为________．y ＝（x －3）（12－x ）x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x， 即x ＝6时，y max ＝3. 3, )1．(2017·海口调研)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( )A ．1B ．14C ．12D ．22B 因为a ，b ∈(0，＋∞)， 所以1＝a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C 因为x <0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．3．(2017·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A 因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.4．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．8C y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5， 因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1， 即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号， 所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.5．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8C 由已知得x ＋3y ＝9－xy ，又因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号，(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6.6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．7．(2017·郑州检测)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．838．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．f (x )＝4x ＋ax≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.369．正实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y的最小值是______． 利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y.因为x ＋2y ＝2， 所以3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y，即x ＝1，y ＝12时取等号．610．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min，因为a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．(－2，1)11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.12．(2017·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( ) A ．4B ．92C ．8D ．9 D 因为AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)，若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →，所以(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1，又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b ) ＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2a b＝9， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立． 13．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)1x ＋1y的最小值． (1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥ 120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103. 所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 14．(2017·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值． (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8，450)． (2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x ≥22x ×7 200x＝240. 当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.。
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第六章 第三节 基本不等式
一、选择题
1．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x
＋3y
的最小值为 ( )
A ．2 2
B ．4
C ．12
D ．6
解析：由a ⊥b 得a ·b ＝0，即(x －1,2)·(4，y )＝0. ∴2x ＋y ＝2.
则9x
＋3y
＝32x
＋3y ≥232x ·3y ＝23
2x ＋y
＝29＝6.
当且仅当32x ＝3y
即x ＝12，y ＝1时取得等号．
答案：D
2．(2011·重庆高考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4
b
的最小值是 ( )
A.7
2 B ．4 C.9
2
D ．5
解析：依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥1
2(5＋2
b a ×4a b )＝9
2
，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝2
b a ＝
4a b a >0，b >0
，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是9
2
.
答案：C
3．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是 ( ) A ．(－∞，－1] B ．[3，＋∞)
C ．[－1,3]
D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：y ＝log 2x ＋log x (2x )＝1＋(log 2x ＋log x 2)． 如果x >1，则log 2x ＋log x 2≥2， 如果0<x <1，则log 2x ＋log x 2≤－2， ∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：D
4．(2012·温州模拟)已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0，则xz
y
2的 ( )
A ．最小值为8
B ．最大值为8
C ．最小值为1
8
D ．最大值为1
8
解析：
xz y 2＝xz x ＋2z
2
＝
xz x 2
＋4xz ＋4z 2＝
1x z ＋4z x
＋4≤1
8
. 当且仅当x z
＝4z
x
，x ＝2z 时取等号．
答案：D
5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y
＝1，若x ＋2y >m 2
＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m ≥4或m ≤－2
B ．m ≥2或m ≤－4
C ．－2<m <4
D ．－4<m <2
解析：∵x >0，y >0，且2x ＋1
y
＝1，
∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y
)＝4＋4y x ＋x
y ≥4＋2
4y
x
·x y
＝8，当且仅当4y x
＝x y
，即4y 2＝x 2， x ＝2y 时取等号，又2
x ＋1
y
＝1，此时x ＝4，y ＝2，
∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2
＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2
＋2m 恒成立，即8>m 2
＋2m ，解得－4<m <2.
答案：D
6．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋k
a ＋
b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于 ( )
A ．0
B ．4
C ．－4
D ．－2
解析：由1a ＋1b ＋k
a ＋
b ≥0得k ≥－
a ＋
b 2
ab
，而
a ＋
b 2
ab
＝b a ＋a b
＋2≥4(a ＝b 时取等
号)，所以－
a ＋b
2
ab
≤－4，因此要使k ≥－
a ＋b
2
ab
恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的
最小值等于－4.
答案：C 二、填空题
7．(2011·湖南高考)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x
2＋4y 2
)·的最小值为________．
解析：(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2
＋1x 2y
2≥1＋4＋2
4x 2y 2
·
1
x 2y
2
＝9，当且仅当
4x 2y 2
＝
1
x 2y
2
时等号成立，则|xy |＝
2
2
时等号成立． 答案：9
8．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数ƒ(x )＝2
x
的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是____．
解析：由题意知：P 、Q 两点关于原点O 对称，不妨设P (m ，n )为第一象限中的点，则m ＞0，n ＞0，n ＝2m ，所以|PQ |2＝4|OP |2＝4(m 2＋n 2)＝4(m 2＋4m 2)≥16(当且仅当m 2
＝4m
2，即m
＝2时，取等号)，故线段PQ 长的最小值是4.
答案：4
9．(2012·徐州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2
－x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)， 则
c ＋2a ＋a ＋2
c
的最小值为________． 解析：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0， 因此有
4ac －1
4a
＝0， 从而c ＝1
4a >0，
∴
c ＋2a ＋a ＋2c ＝(2a ＋8a )＋(14a
2＋4a 2
)≥2×4＋2＝10， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
2
a ＝8a ，
1
4a 2
＝4a 2
，
，即a ＝1
2
时取等号．故所求的最小值为10.
答案：10 三、解答题
10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值． 解：(1)∵x >0，y >0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy 即xy ≥8xy ，∴xy ≥8， 即xy ≥64. 当且仅当2x ＝8y
即x ＝16，y ＝4时，“＝”成立． ∴xy 的最小值为64.
(2)∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0， ∴2x ＋8y ＝xy ，即2y ＋8
x
＝1.
∴x ＋y ＝(x ＋y )·(2y ＋8x )＝10＋2x y ＋8y
x ≥10＋2
2x
y
·8y
x
＝18
当且仅当2x y ＝8y
x
，即x ＝2y ＝12时“＝”成立．
∴x ＋y 的最小值为18.
11．已知a ，b >0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b
. 证明：∵a b 2＋b a 2≥2a b 2·b a 2
＝2
1
ab >0，a ＋b ≥2ab >0，
∴(a b
2＋b a
2)(a ＋b )≥21
ab
·2ab ＝4.
∴a b 2＋b a 2≥
4a ＋b
. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
a b 2＝b a
2
a ＝b
，取等号．
即a ＝b 时，不等式等号成立．
12．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数． (2)该企业2012年的促销费投入多少万元时， 企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用) 解：(1)由题意可设3－x ＝k t ＋1
，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.
∴x ＝3－
2
t ＋1
. 当年生产x 万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x ＋3＝32(3－
2
t ＋1
)＋3. 当销售x (万件)时，年销售收入为 150%[32(3－
2t ＋1)＋3]＋12
t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2
＋98t ＋35
t ＋
(t ≥0)．
(2)y ＝－t 2＋98t ＋35t ＋＝50－(t ＋12＋32
t ＋1)≤50－
2
t ＋1
2
×
32
t ＋1＝50－216＝42(万元)， 当且仅当
t ＋1
2
＝
32
t ＋1
，即t ＝7时，y max ＝42， ∴当促销费定在7万元时，年利润最大。