高中数学2.4幂函数课时作业苏教版必修1

§2.4 幂函数
课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y ＝x ，y ＝
x 2
，y ＝x 3
，y ＝12
x ，y ＝x －1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．
1．一般地，把形如________的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2
，y ＝x 3
，y ＝12
x ，y ＝x －1
的图
象．
3．结合2中图象，填空．
(1)所有的幂函数图象都过点__________，在(0，＋∞)上都有定义． (2)若α>0时，幂函数图象过点________________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．
(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴． (4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．
(5)幂函数在第____象限无图象．
一、填空题
1．下列函数是幂函数的是________．(填序号)
①y ＝x ；②y ＝x 3；③y ＝2x ；④y ＝x －1
.
2．幂函数f (x )的图象过点(4，1
2)，那么f (8)的值为________．
3．下列是y ＝23
x 的图象的是________．(填序号)
4．图中曲线是幂函数y ＝x n
在第一象限的图象，已知n 取±2，±12
四个值，则相应于
曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为________． 5．设a ＝25
35⎛⎫ ⎪⎝⎭
，b ＝3
525⎛⎫
⎪⎝⎭，c ＝25
25⎛⎫
⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是________． 6．函数f (x )＝x α
，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f (x )>|x |成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是________． 7．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y ＝x α
的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α
在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________．
8．函数y ＝12
x ＋x －1
的定义域是________．
9．已知函数y ＝x －2m －3
的图象过原点，则实数m 的取值范围是____________________． 二、解答题
10．比较121.1、121.4、13
1.1的大小，并说明理由．
11．如图，幂函数y ＝x 3m －7
(m ∈N )的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求
此函数的解析式．
能力提升
12．已知函数f (x )＝(m 2
＋2m )·21
m m x +-，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数； (2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
13．点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，1
4
)在幂函数g (x )的图象上，问当x
为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．
§2.4 幂函数
知识梳理
1．y ＝x α
3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点 y 轴 (5)四 作业设计 1．①②④
解析 根据幂函数的定义：形如y ＝x α
的函数称为幂函数，③中自变量x 的系数是2，不符合幂函数的定义，所以③不是幂函数．
2.24
解析 设幂函数为y ＝x α
，依题意，12
＝4α，
即22α＝2－1
，∴α＝－12.
∴幂函数为y ＝12
x -，∴f (8)＝12
8
-
＝
18
＝
122
＝
24
. 3．②
解析 y ＝23
x ＝3x 2，∴x ∈R ，y ≥0，f (－x )＝
3
－x
2
＝3x 2
＝f (x )，即y ＝23
x 是偶函数，又∵2
3
<1，∴图象上凸．
4．2，12，－1
2
，－2
解析 作直线x ＝t (t >1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的． 5．a >c >b
解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝2
5
x 在x >0时是增函数，
所以a >c ，y ＝(25
)x
在x >0时是减函数，所以c >b .
6．2
解析 因为x ∈(－1,0)∪(0,1)， 所以0<|x |<1.
要使f (x )＝x α>|x |，x α
在(－1,0)∪(0,1)上应大于0， 所以α＝－1,1显然是不成立的． 当α＝0时，f (x )＝1>|x |；
当α＝2时，f (x )＝x 2＝|x |2
<|x |；
当α＝－2时，f (x )＝x －2＝|x |－2
>1>|x |. 综上，α的可能取值为0或－2，共2个． 7．④
解析 当α＝0时，函数y ＝x α
的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，
函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1
的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确． 8．(0，＋∞)
解析 y ＝12
x 的定义域是[0，＋∞)，y ＝x －1
的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取
交集．
9．m <－3
2
解析 由幂函数的性质知－2m －3>0，
故m <－3
2
.
10．解 考查函数y ＝1.1x
，∵1.1>1， ∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵12>1
3，∴121.1>1
31.1.
再考查函数y ＝12
x ，∵1
2
>0，
∴它在(0，＋∞)上是增函数． 又∵1.4>1.1，∴121.4>12
，
∴121.4>12>13
.
11．解 由题意，得3m －7<0.
∴m <73
.
∵m ∈N ，∴m ＝0,1或2，
∵幂函数的图象关于y 轴对称， ∴3m －7为偶数．
∵m ＝0时，3m －7＝－7， m ＝1时，3m －7＝－4， m ＝2时，3m －7＝－1.
故当m ＝1时，y ＝x －4符合题意．即y ＝x －4
.
12．解 (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
＋m －1＝1，
m 2
＋2m ≠0
⇒m ＝1.
(2)若f (x )为反比例函数，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
＋m －1＝－1，m 2
＋2m ≠0⇒m ＝－1.
(3)若f (x )为二次函数，则 ⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2
＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.
(4)若f (x )为幂函数，则m 2
＋2m ＝1，
∴m ＝－1± 2.
13．解 设f (x )＝x α
，则由题意，得
2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2
.
设g (x )＝x β，由题意，得14
＝(－2)β
，
∴β＝－2，即g (x )＝x －2
.
在同一平面直角坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示． 由图象可知：
(1)当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )；
(2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时， f (x )<g (x )．。