新人教课标版九年级上册数学第二十一章实际问题与一元二次方程小结复习导学案-最新教育文档
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程(第3课时)导学案新人教版(最新
3。 如图 1，在宽为 20 米，长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分)， 余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为 540 平方米,求道路的宽。
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(1）求 S 与 x 的函数关 系式; （2）如果要围成面积为 45 米 2 的花圃，AB 的长是多少米?
5。 有一张长 6 尺，宽 3 尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的 面积 是桌面面积的 2 倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？(精确到 0。1 尺）
6。 某种服装进价每件 60 元,据市场调查，这种服装按 80 元销售时，每月可卖出 400 件， 若销售价每涨 1 元，就要少卖出 5 件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利 12000 元, 那么这种服装的销售价应定为多少时，可使顾客更实惠？
2018 年秋九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程（第 3 课时）导学案 （新版）新人教版
2018 年问题与一元 二次方程（第 3 课时）导学案 （新版）新人教版
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新人教课标版九年级上册数学第二十一章实际问题与一元二次方程小结复习导学案
新人授课标版九年级上册数学第二十一章实质问题与一元二次方程小结复习导教案21.3 实质问题与一元二次方程小结与复习（一）年级：九年级学科：数学课型：新讲课时间：2017年6月15日学习笔录主备：审查：九年级数学组【学习目标】1.会成立数学模型解决现实生活中的实质问题.2.领会一元二次方程在实质生活中的应用，经历将实质问题转变为数学识题的过程.【学习重、难点】要点：依据问题的条件列方程的方法；难点：怎样确立实质问题中的等量关系.【导学过程】一、温故知新（学法指导：课前独立达成下边问题，将每一步的注意事项、易错点或总结到的方法记在学习笔录一栏）问题：列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程方程解实质问题的一般步骤也可概括为：“、、、、、”六个步骤。
二、例题归类（学法指导：注意概括各种实质问题的解题方法，学会贯通融会，贯通融会）（一）流传问题：1、有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196 人患了流感，每轮传染中均匀一个人传染了几个人？假如依据这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？2、某栽种物的骨干长出若干数量的支干，每个支干又长出相同数量的小分支，骨干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？（二）互相问题（循环、握手、互赠礼物等）问题3、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场竞赛，共竞赛45 场竞赛，共有多少个队参加竞赛？4、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次竞赛，共竞赛90 场竞赛，共有多少个队参加竞赛？强管理，改良经营，使销售额稳步上涨，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的均匀增加率 .方法概括与总结：若 a 为开端量， b 为停止量， n 为增加或降低的次数，x 为均匀增加率或降低率，则均匀增加（或降低）率公式为：.（四）收益问题6、 水果店以每件 21 元的价钱购进一批商品，该商品能够自行订价，若每件商品售价a 元，则可卖出（ 350－10a ）件，但物价限制定每件商品的收益不得超出 20%，商铺计划要盈余400 元，需要进货多少件？每件商品应订价多少？（五）面积问题7、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm 的小正方形，折起来做成一个无盖的小盒子 . 已知铁皮的长是宽的 2倍，做成的小盒子的容积是 1536cm 3，求长方形铁皮的长与宽 .2X（六）数字问题8、 一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，求这个两位数为 .（七）动点几何问题9、已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm ，BC=6cm 。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程导学案3(新版)新人教版
21．3 实际问题与一元二次方程(3)1. 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一 个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2. 列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际 问题．难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．一、自学指导．(10 分钟)问题：如图，要设计一本书的封面，封面长 27 cm ，宽 21 cm ，正中央是一个与整个封 面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽 度？(精确到 0.1 cm )分析：封面的长宽之比是 27∶21＝__9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是__9∶7__， 若设中央的长方形的长和宽分别是__9a_cm __和__7a_cm __，由此得上下边衬与左右边衬的宽 度之比是__(27－9a)∶(21－7a)＝9∶7__．探究：怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题？请试一试．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5 分钟)在一幅长 8 分米，宽 6 分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成 一幅矩形挂图(如图②)．如果要使整个挂图的面积是 80 平方分米，求金色纸边的宽．解：设金色纸边的宽为 x 分米，根据题意，得(2x ＋6)(2x ＋8)＝80.解得 x 1＝1，x 2＝－8(不合题意，舍去)．答：金色纸边的宽为 1 分米．点拨精讲：本题和上题一样，利用矩形的面积公式做为相等关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分钟)4如图，某小区规划在一个长为 40 m 、宽为 26 m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽度 的马路，使其中两条与AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积 都是 144 m 2，求马路的宽．解：假设三条马路修在如图所示位置．设马路宽为 x ，则有(40－2x)(26－x)＝144×6，化简，得 x 2－46x ＋88＝0，解得 x 1＝2，x 2＝44，由题意：40－2x ＞0，26－x ＞0, 则 x ＜20.故 x 2＝44 不合题意，应舍去，∴x＝2.答：马路的宽为 2 m .点拨精讲：这类修路问题，通常采用平移方法，使剩余部分为一完整矩形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10 分钟)1．如图，要设计一幅宽 20 cm 、长 30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部 分)，横、竖彩条的宽度比为 3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何 设计彩条的宽度．(精确到 0.1 cm )解：设横彩条的宽度为 3x cm ，则竖彩条的宽度为 2x cm .1 根据题意，得(30－4x)(20－6x)＝(1－ )×20×30.解得 x 1≈0.6，x 2≈10.2(不合题意，舍去)．故 3x ＝1.8，2x ＝1.2.答：横彩条宽为 1.8 cm ，竖彩条宽为 1.2 cm .2．用一根长 40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为 75 cm 2.(1)求此长方形的宽是多少？(2)能围成一个面积为 101 cm 2 的长方形吗？若能，说明围法．(3)若设围成一个长方形的面积为 S(cm 2)，长方形的宽为 x(cm )，求 S 与 x 的函数关系 式，并求出当 x 为何值时，S 的值最大？最大面积为多少？解：(1)设此长方形的宽为 x cm ，则长为(20－x) cm .根据题意，得 x(20－x)＝75，解得 x 1＝5，x 2＝15(舍去)．答：此长方形的宽是5cm.(2)不能．由x(20－x)＝101，即x2－20x＋101＝0，知Δ＝202－4×101＝－4＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101cm2的长方形．(3)S＝x(20－x)＝－x2＋20x.由S＝－x2＋20x＝－(x－10)2＋100知，当x＝10时，S的值最大，最大面积为100cm2.点拨精讲：注意一元二次方程根的判别式和配方法在第(2)(3)问中的应用．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。
人教版九年级数学上第21章《一元二次方程》导学案
21.1 一元二次方程（第 1 课时）一、学习目标1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、学习重点、难点重点：建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。
难点：在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。
三、学习过程1.回答以下问题。
（ 1）一元二次方程的定义：等号两边都是，只含有个求知数（一元），并且求知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（ 2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：(a≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项。
2．新课应用 :1、下列方程是一元二次方程的是有：（ 1），（2） (x+1)(x-1)=0，2x2110，（5），（ 6）2x2 3 y 5 0（ 3），（ 4）x2、一元二次方程4x 2x25x 1 化为一般形式是：；其二次项是：；一次项是：；常数项是：.3、若(m3)x n23nx30 是关于x的一元二次方程，则（） .A m≠0， n=3B m≠3， n=4C m≠0， n=4D m≠3， n≠04、已知：关于 x 的方程k2 1 x2k 1 x20 .（ 1）当 k 取何值时，此方程为一元一次方程.（ 2）当 k 取何值时，此方程为一元二次方程.四、达标过关测试1. 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（） .A . 3 x 12 2 x 1B .11 2 0 C. ax2bx c 0 D. x22x x 21x 2x2．一元二次方程(13x)( x3) 2 x21化为一般形式为：，二次项系数为：___，一次项系数为：____，常数项为：_____.3．关于 x 的方程(m1)x 2(m1)x3m20 ,当 m________时为一元一次方程；当m ___________时为一元二次方程 .4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16 元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为 x ，则根据题意可列方程为．21.1 一元二次方程（第2 课时） ----一元二次方程的根一、学习目标1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程章末复习导学案新版新人教版
第二十一章一元二次方程一、复习导入1.导入课题:通过对一元二次方程这章的学习,你记得学习了哪些知识吗？各知识点间有什么联系呢？如何运用这些知识解决问题呢？(板书课题)2.复习目标:(1)梳理本章的知识结构网络,回顾与复习本章知识.(2)能选择适当的方法,快速、准确地解一元二次方程,知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系,并能利用它们解决有关问题.(3)列一元二次方程解决实际问题.(4)进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想(即降次)的理解与运用.3.复习重、难点:重点:(1)一元二次方程的解法；(2)列一元二次方程解决实际问题.难点:列一元二次方程解决实际问题.二、分层复习1.复习指导:(1)复习内容:教材第1页到第26页(第二十一章一元二次方程).(2)复习时间:10分钟.(3)复习方法:阅读课本,运用图表梳理本章知识结构网络.(4)复习参考提纲:①知识点搜集:A. 一元二次方程的概念,一般形式分别是什么？如何验根？B. 一元二次方程有哪几种解法？一般情况下如何选择最优解法？C. 若一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)有实数根x1,x2,则其求根公式是根与系数的关系是:x1+x2＝-,x1x2＝D. 判别一个一元二次方程是否有实根,只需确定b2-4ac的符号:当b2-4ac>0时,方程有两个不等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根.e.列一元二次方程可以解决许多实际问题,解题的一般步骤是:审、设、列、解、验、答.②根据上述知识点,试画出本章知识结构框图:2.自主复习:学生可结合复习指导来复习.3.互助复习:(1)师助生:①明了学情:明了学生对本章知识结构框图的构建情况.②差异指导:根据学情进行个别或分类指导.(2)生助生:同桌交流,小组合作,组组研讨.4.强化:本章的知识结构框图.1.复习指导:(1)复习内容:典例剖析.(2)复习时间:10分钟.(3)复习方法:观察、思考、归纳.(4)复习参考提纲:①用适当的方法解下列方程.④某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若以每千克50元销售,一个月能售出500kg,销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,针对这种水产品情况,商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应为多少?解:设销售单价为x元.则月销售量为［500-10(x-50)］kg.由题意,得(x-40)［500-10(x-50)］=8000,解得x1=60,x2=80,又40［500-10(x-50)］≤10000.解得x≥75,∴x=80.答:销售单价应为80元.2.自主复习:学生可结合复习提纲进行复习.3.互助复习:(1)师助生:①明了学情:明了学生对复习提纲中四道题的答题情况.②差异指导:根据学情,个别或分类指导,解决易错点.(2)生助生:同桌交流,小组讨论.4.强化:(1)一元二次方程的解法,选用合适的方法解一元二次方程.(2)点评易混点、易错点.(3)运用一元二次方程知识解决实际问题的一般思路.(4)本章所涉及的主要数学思想:方程思想、分类思想、转化思想(即降次).三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标):通过复习你弥补了以前学习中的哪些不足？有哪些新的收获和新问题？2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生的学习参与性、小组协作情况及学习效果和不足之处等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本节课为复习课,所以首先要让学生了解本章的知识体系,该掌握哪些知识点,所以教学的展开都以问题的解决为中心,使教学过程成为在老师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程,在探索中体现数学思想方法的渗透、应用,巩固知识内容.(2)本章的内容,关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,一元二次方程是初中阶段最重要的方程,它是解答数学问题的重要工具和方法,并且对学习函数,尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用,它在中考试题中占有一定的比例.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)用配方法解下列方程,其中应在左右两边同时加上4的是(C)A. x2－2x=5B. 2x2－4x=5C. x2+4x=5D. x2+2x=52.(10分) 一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共有(C )A. 12人B. 18人C. 9人D. 10人3.(10分) 某超市一月份的营业额为200万元,一、二、三月份的总营业额为1000万元,设平均每月营业额的增长率为x,则由题意列方程为(D)A. 200+200×2x=1000B. 200(1+x)2=1000C. 200+200×3x=1000D. 200［1+(1+x)+(1+x)2］=10004.(10分)方程(2x＋1)(x－3)＝x2+1化成一般形式为x2-5x-4=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,-5,-4.5.(10分)若x1,x2是方程x2-5x+3＝0的两根,则.6.(20分)解下列方程:(1)x2-4x-3＝0; (2)(x-3)2+2x(x-3)＝0.解:x2-4x+4=7, 解:(x-3)(x-3+2x)=0,(x-2)2=7, 3(x-3)(x-1)=0,x-2=±, x1=3,x1=2+, x2=1.x2=2-.二、综合应用(20分)7.(10分)一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,且个位数字的平方恰好等于这个两位数,求这个两位数.解:设十位数字是x,则个位数字是x+3,根据题意,得(x+3)2=10x+x+3.整理,得x2-5x+6=0.解得x1=2,x2=3.当x=2时,x+3=5；当x=3时,x+3=6.∴这个两位数是25或36.8.(10分)用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如果能,说明围法；如果不能,说明理由.解:设矩形的长为x cm,则矩形的宽为(20-x)cm.令x(20-x)=75,解得x1=5,x2=15.∴围成的面积为75cm2的矩形的长为15cm,宽为5cm.令x(20-x)=101.化简得(x-10)2+1=0.方程无实数根,∴不能围成面积为101cm2的矩形.三、拓展延伸(10分)9.(10分)一张桌子的桌面长为6米,宽为4米,台布面积是桌面面积的2倍,如果将台布铺在桌子上,各边垂下的长度相同,求这块台布的长和宽.解:设各边垂下的长度为x米.依题意(6+2x)(4+2x)=6×4×2,解得x1=1,x2= -6(舍去),∴x=1,台布长为6+2×1=8(米),宽为4+2×1=6(米).。
最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)
最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式a某2＋b某＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为某cm，则盒底的长为__(100－2某)cm__，宽为__(50－2某)cm__．列方程__(100－2某)·(50－2某)＝3600__，化简整理，得__某2－75某＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__437＝28__．设应邀请某个队参赛，每个队要与其他__(某－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共某（某－1）某（某－1）__场．列方程__＝28__，化简整理，得__某2－某－56＝0__．②22探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于某的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：a某2＋b某＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__a某2__是二次项，__a__是二次项系数，__b某__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)某3－2某2＋5＝0；(2)某2＝1；13(3)5某2－2某－＝某2－2某＋；45(4)2(某＋1)2＝3(某＋1)；(5)某2－2某＝某2＋1;(6)a某2＋b某＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3某(某－1)＝5(某＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3某2－3某＝5某＋10.移项，合并同类项，得3某2－8某－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于某的方程(m2－8m＋17)某2＋2m某＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2某2＋10某＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以某＝－2或某＝－3是一元二次方程2某2＋10某＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－某2＝0;(2)2(某2－1)＝3y；12(3)2某2－3某－1＝0;(4)2－＝0；某某(5)(某＋3)2＝(某－3)2;(6)9某2＝5－4某.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若某＝2是方程a某2＋4某－5＝0的一个根，求a的值．解：∵某＝2是方程a某2＋4某－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，3解得a＝－.43．根据下列问题，列出关于某的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长某；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长某.解：(1)4某2＝25，4某2－25＝0；(2)某(某－2)＝100，某2－2某－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式a某2＋b某＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(某＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如某2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(某＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为某dm，则一个正方体的表面积为__6某2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__1036某2＝1500__，由此可得__某2＝25__，根据平方根的意义，得某＝__±5__，即某1＝__5__，某2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2某－1)2＝5及方程某2＋6某＋9＝4方程(2某－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2某－1＝±5__，即将方程变为__2某－1＝5和__2某－1＝－5__两个一元一1＋51－5次方程，从而得到方程(2某－1)2＝5的两个解为某1＝__，某2＝____．22在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程某2＋6某＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(某＋__3__)2＝4，进行降次，得到__某＋3＝±2__，方程的根为某1＝__－1__，某2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成某2＝p(p≥0)或(m某＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得某＝±p或m某＋n＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(某－8)2＝50；(3)(2某－1)2＋4＝0;(4)4某2－4某＋1＝0.解：(1)2y2＝8，(2)2(某－8)2＝50，y2＝4，(某－8)2＝25，y＝±2，某－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；某－8＝5或某－8＝－5，∴某1＝13，某2＝3；(3)(2某－1)2＋4＝0，(4)4某2－4某＋1＝0，(2某－1)2＝－4<0，(2某－1)2＝0，∴原方程无解；2某－1＝0，1∴某1＝某2＝.2点拨精讲：观察以上各个方程能否化成某2＝p(p≥0)或(m某＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3某＋1)2＝7;(2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式a某2＋b某＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？－b＋b2－4ac问题：已知a某＋b某＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根某1＝，某2＝2a2－b－b2－4ac.2a分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程a某2＋b某＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式a某2＋b某＋c＝0，当b2－4ac≥0时，－b±b2－4ac将a，b，c代入式子某＝就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数2a根．－b±b2－4ac(2)某＝叫做一元二次方程a某2＋b某＋c＝0(a≠0)的求根公式．2a(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程a某2＋b某＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2某2－3某＝0；(2)3某2－23某＋1＝0；(3)4某2＋某＋1＝0.3解：(1)某1＝0，某2＝；有两个不相等的实数根；2(2)某1＝某2＝3；有两个相等的实数根；3(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程某2－4某＋4＝0的根的情况是(B)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)某2－(2m－3)某＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？111解：(1)m＜；(2)m＝；(3)m＞.4443.已知某2＋2某＝m－1没有实数根，求证：某2＋m某＝1－2m必有两个不相等的实数根.证明：∵某2＋2某－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程某2＋m某＝1－2m，即某2＋m某＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴某2＋m某＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：3(1)2某2－3某－＝0;(2)16某2－24某＋9＝0；2(3)某2－42某＋9＝0;(4)3某2＋10某＝2某2＋8某.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)某2＋某－12＝0;(2)某2－2某－＝0；4(3)某2＋4某＋8＝2某＋11;(4)某(某－4)＝2－8某；(5)某2＋2某＝0;(6)某2＋25某＋10＝0.解：(1)某1＝3，某2＝－4；(2)某1＝2＋32－3，某2＝；22(3)某1＝1，某2＝－3；(4)某1＝－2＋6，某2＝－2－6；(5)某1＝0，某2＝－2;(6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程a某2＋b某＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把－b±b2－4ac2a，b，c的值代入某＝(b－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；2a(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定出b2－4ac的值、．a，b，c的值，再算．最后代入求根公式求解．．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3因式分解法1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/的速度竖直上抛，那么经过某物体离地的高度(单位：m)为10某－4.9某2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01)设物体经过某落回地面，这时它离地面的高度为0，即10某－4.9某2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：某(10－4.9某)＝0，于是得某＝0或10－4.9某＝0，②∴某1＝__0__，某2≈2.04．上述解中，某2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，而某1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(某＋1)(某－1)＝0，那么__某＋1＝0或__某－1＝0__，即__某＝－1__或__某＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)某(某－8)＝0；(2)(3某＋1)(2某－5)＝0.15解：(1)某1＝0，某2＝8；(2)某1＝－，某2＝.322．用因式分解法解下列方程：(1)某2－4某＝0;(2)4某2－49＝0；(3)5某2－20某＋20＝0.77解：(1)某1＝0，某2＝4;(2)某1＝，某2＝－；22(3)某1＝某2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5某2－4某＝0；(2)3某(2某＋1)＝4某＋2；(3)(某＋5)2＝3某＋15.4解：(1)某1＝0，某2＝；521(2)某1＝，某2＝－；32(3)某1＝－5，某2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4某2－144＝0；(2)(2某－1)2＝(3－某)2；13(3)5某2－2某－＝某2－2某＋；44(4)3某2－12某＝－12.解：(1)某1＝6，某2＝－6；4(2)某1＝，某2＝－2；311(3)某1＝，某2＝－；22(4)某1＝某2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)某2＋某＝0;(2)某2－23某＝0；(3)3某2－6某＝－3;(4)4某2－121＝0；(5)(某－4)2＝(5－2某)2.解：(1)某1＝0，某2＝－1；(2)某1＝0，某2＝23；(3)某1＝某2＝1；1111(4)某1＝，某2＝－；22(5)某1＝3，某2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为某m.则可列方程2π某2＝π(某＋5)2.解得某1＝5＋52，某2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52)m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得a＝0或b＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4一元二次方程的根与系数的关系bc1.理解并掌握根与系数的关系：某1＋某2＝－，某1某2＝.aa2.会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表：方程某2－5某＋6＝0某2＋3某－10＝0问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；某122某23－5某1＋某25－3某1某26－10答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②某2＋p某＋q＝0的两根某1，某2用式子表示你发现的规律.答：某1＋某2＝－p，某1某2＝q.自学2：完成下表：方程2某2－3某－2＝03某2－4某＋1＝0某1213某21－21某1＋某23243某1某2－113问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②a某2＋b某＋c＝0的两根某1，某2用式子表示你发现的规律．bc答：某1＋某2＝－，某1某2＝.aa自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)－b＋b2－4ac－b－b2－4aca某＋b某＋c＝0的两根某1＝____，某2＝____．2a2a2bc某1＋某2＝－，某1某2＝.aa二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)某2－3某－1＝0；(2)2某2＋3某－5＝0；1(3)某2－2某＝0.3解：(1)某1＋某2＝3，某1某2＝－1；(2)某1＋某2＝－，某1某2＝－；22(3)某1＋某2＝6，某1某2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)某2－6某－15＝0;(2)3某2＋7某－9＝0；(3)5某－1＝4某2.解：(1)某1＋某2＝6，某1某2＝－15；7(2)某1＋某2＝－，某1某2＝－3；351(3)某1＋某2＝，某1某2＝.44点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c.2．已知方程2某2＋k某－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．3解：另一根为，k＝3.2点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将某＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程某2－3某－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．11(1)＋；(2)α2＋β2；(3)α－β.αβ3解：(1)－；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)某2－3某＝15;(2)5某2－1＝4某2；(3)某2－3某＋2＝10;(4)4某2－144＝0.解：(1)某1＋某2＝3，某1某2＝－15；(2)某1＋某2＝0，某1某2＝－1；(3)某1＋某2＝3，某1某2＝－8；(4)某1＋某2＝0，某1某2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是(C)A．7某2－12某＋5＝0B．6某2－13某－5＝0C．4某2＋21某＋5＝0D．某2＋15某－8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a，b，c.2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．bc3．要注意比的符号：某1＋某2＝－(比前面有负号)，某1某2＝(比前面没有负号)．aa学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了某个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__某__人，第一轮后共有__(某＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__某__人，第二轮后共有__(某＋1)(某＋1)__人患了流感．则列方程：__(某＋1)2＝121__，解得__某＝10或某＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__某__，则十位数字为__(6－某)__，则原两位数为__10(6－某)＋某，新两位数为__10某＋(6－某)__．依题意可列方程：[10(6－某)＋某][10某＋(6－某)]＝1008__，解得某1＝__2__，某2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有某名学生，根据题意，列出方程为()A．某(某＋1)＝2550B．某(某－1)＝2550C．2某(某＋1)＝2550D．某(某－1)＝255032分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(某－1)张相片，全班共送出某(某－1)张相片，可列方程为某(某－1)＝2550.故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出某个小分支，则有1＋某＋某2＝91，即某2＋某－90＝0，解得某1＝9，某2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为某，则列方程为：__某2＋(某＋4)2＝10(某＋4)＋某－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2.对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1.会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±某)n＝b，其中a是原有量，某为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为某，则一年后甲种药品成本为__5000(1－某)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－某)2__元．依题意，得__5000(1－某)2＝3000__．解得__某1≈0.23，某2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为某，则11月份的营业额为__5000(1＋某)__元，12月份的营业额为__5000(1＋某)(1＋某)__元，即__5000(1＋某)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋某)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为某，则一月(或一年)后产量为a(1＋某)；二月(或二年)后产量为a(1＋某)2；n月(或n年)后产量为a(1＋某)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋某)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为某，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000某·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000某·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为某，则1000＋2000某·80%＋(1000＋2000某·80%)某·80%＝1320，整理，得1280某2＋800某＋1600某＝320，即8某2＋15某－2＝0，解得某1＝－2(不符，舍去)，某2＝0.125＝12.5%.答：所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)青山村种的水稻2022年平均每公顷产7200kg，2022年平均每公顷产8460kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设年平均增长率为某，则有7200(1＋某)2＝8460，解得某1＝0.08，某2＝－2.08(舍)．即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义．2.若平均增长(降低)率为某，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±某)n＝b(常见n＝2)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(3)1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2.列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．一、自学指导．(10分钟)问题：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)分析：封面的长宽之比是27∶21＝__9∶7，中央的长方形的长宽之比也应是__9∶7__，若设中央的长方形的长和宽分别是__9a_cm__和__7a_cm__，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是__(27－9a)∶(21－7a)＝9∶7__．。
新人教版第二十一章一元二次方程全章导学案
x21.1 一元二次方程一、一元二次方程问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？思考：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是_________，方程中含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____. 归纳：1.一元二次方程定义：2. 一元二次方程的一般形式: 二、应用举例:例：1.将方程(82)(52)18x x --=化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．2.下列方程是一元二次方程的是有 ： （1），（2）(x+1)(x-1)=0， （3），（4）01122=-+xx ，（5）， （6）05322=-+y x3. 若21(3)50m m x x -+-=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．4.若033)3(2=++--nx x m n 是关于x 的一元二次方程，则（ ）.A m≠0，n=3B m≠3，n=4C m≠0，n=4D m≠3，n≠0 5.已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k .（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.6.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： ⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x; ⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x 。
三.一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
九年级数学上册第21章一元二次方程小节与复习教案2(新版)新人教版
D.
3、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
4、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元， 为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现， 如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
一元二次方程
课 题
21一元二次方程复习小结
课时
第2课
课型
复习课
修改意见
教学目标
掌握一元二次方程的概念和解法
掌握一元二次方程与实际问题的应用
教学重点
一元二次方程的解法
教学难点
根与系数的关系（韦达定理）
学情分析
学生学习了一元二次方程 的解法和一元方程的应用题，对于学习一元二次方程 有帮助
学法指导
讨论与交流
教 学 过 程
教学内容
教师活动
学生活动
效果预测
及补救措施
修Байду номын сангаас意见
一、
复习回顾
二、
例题讲解
……
一、情境导入：
解方程的一般步骤：
二、例题讲解：
例1 将进价为40元的商品按50元的价格出售时，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，在保证赚取8 000元的利润的同时，又要使顾客得到实惠，那么每件商品售价应定为多少元？
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
1、学生复习并回答
2、学生回答
……
学生与教师一起学习
学生训练
学生练习
人教版-数学-九上-数学九上人教新课标21-3实际问题与一元二次方程1 导学案
《第二十一章一元二次方程实际问题与一元二次方程1》导学案导学案序号： 21,9 课型：新授课总课时： 13 分课时：第9课时学习目标掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．学习重点用“倍数关系”建立数学模型学习难点用“倍数关系”建立数学模型学习方法类比——探究——归纳．学习准备多媒体投影底片．备课组补充教学流程一、新知准备1.列方程解应用题的步骤：① .② . ③ . ④ . ⑤ . ⑥ .2.据调查，初春是流感盛行的季节，（1）经研究流感在每轮传染中平均一个人传染10人，请问:一人患流感一轮传染后共有人患了流感；经过两轮传染后共有人患了流感。
（2）如果设流感在每轮传染中平均一个人传染x人，请问:一人患流感一轮传染后共有人患了流感；经过两轮传染后共有人患了流感。
二、探索新知探究1: 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析: 设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮传染后共有人患了流感，第二轮传染后共有人患了流感.,列方程得：。
解方程,得。
检验：。
答: .三.巩固练习.1.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,3.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?四、课堂小结利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．五、布置作业教材21页第2、3题预习实际问题与一元二次方程“增长率”问题课后反思。
九年级上册数学第二十一章21.3实际问题与一元二次方程导学案
课题 21.3实际问题与一元二次方程（1）课型 新授 主备 审核 班级 姓名 时间学习 目标 1、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据实际问题中的意义检验所得的结果是否合理。
2、经历“问题情境—建立模型---求解---解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析，解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解决应用题的步骤和关键。
重点 列出方程解决实际问题。
难点 找出实际问题中的数量关系。
学习过程学（教）记录 【自助学习】1、某校九年级毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留念，全班共送了2250张相片；如果全班有x 名同学，根据题意列方程为（ ）A 、2250)1(=-x xB 、2250)1(=+x xC 、2250)1(2=+x x2、某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为700吨，平均每月增长率为x ，列方程得（ ）A 、500（1+2x ）=720B 、500(1+x)2=720C 、500(1+x 2)=720D 、720(1+x)2=5003、某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x ，则可列方程为： 。
【互助探究】探究1 ：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?思考下列问题：（1）设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感。
（2）在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又【疑难摘录】传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感。
（3）根据等量关系列方程并求解。
为什么要舍去一解？（4）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？【求助交流】问题：某非法组织由头目一人发展到若干人的下线成员，每个下线成员再发展同样的数目的下线成员，经过两轮后，非法组织的成员共有421人，问，在每轮发展中平均一个成员发展下线多少人？【补助练兵】1．某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，求每轮繁殖中平均一个细菌繁殖多少个细菌？2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=500【共助反馈】1、某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支主干，枝干和小分支的总数是91，每个枝干长出多少小分支？2.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到45吨.求这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率。
新人教九年级上册第21章第1课时 实际问题与一元二次方程(1)(导学案)
新人教九年级上册第21章21.3 实际问题与一元二次方程第1课时实际问题与一元二次方程(1)一、导学1.导入课题：问题1：列方程解应用题的基本步骤有哪些？问题2：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？本节课我们学习一元二次方程的应用.(板书课题)2.学习目标：列一元二次方程解有关传播问题的应用题.3.学习重、难点：重点：建立一元二次方程模型解决实际问题.难点：探究传播问题中的等量关系.4.自学指导:(1)自学内容：教材第19页“探究1”.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①设每轮传染中平均每人传染了x人.第一轮传染后共有x+1人患了流感；第二轮传染中的传染源为x+1人，第二轮后共有x+1+x(x+1)人患了流感.根据等量关系“经过两轮传染后，有121人患了流感”列出方程x+1+x(x+1)=121.本题的解答过程：设每轮传染中平均每人传染了x人.由题意列式可得x+1+x(x+1)=121,解方程.得x1=10,x2=-12(不符合题意，舍去).平均一个人传染了10个人.②能有更简单的解方程的方法吗？怎样求解？对方程左边提取公因式.(x+1)(x+1)=121③如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？n轮后呢？经过三轮传染后共有121×10+121=1331(人)患流感n轮后患流感的人数为(1+10)n=11n.④某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.依题意1+x+(1+x)x=81,(1+x)2=81,x+1=9或x+1=-9.解得x=8或x=-10(舍去).三轮感染后被感染的电脑台数为(1+x)2+(1+x)2x=(1+x)3=(1+8)3=729>700.答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三轮感染后，被感染的电脑台数会超过700台.⑤某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少个小分支?设每个支干长出x个小分支.根据题意，得1+x+x2=91，即(x-9)(x+10)=0.解得x1=9,x2=-10(舍去).∴每个支干长出9个小分支.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：了解学生是否会寻找等量关系、列方程，对“两轮传染”是否真正理解.(2)差异指导：指导学生寻找等量关系、列方程的过程.2.生助生：小组内互相交流、研讨.四、强化1.点一名学生口答探究提纲第③题，点两名学生板演第④、⑤题，并点评.2.“传播问题”的两种模型：问题④：传染源参与两轮传染；问题⑤：传染源只参与第一轮传染.3.总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、找、列、解、答，最后要检验根是否符合实际意义.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、小组相互交流情况以及不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)教师引导熟悉列一元二次方程解决实际问题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解决实际问题的一般思路，有利于学生掌握列一元二次方程解决实际问题的方法.(2)传播类问题是一元二次方程中的重点问题，经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，进一步锻炼学生分析问题、解决问题的能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是(B)A. x(x+1)=182B. x(x-1)=182C. 2x(x+1)=182D. x(1-x)=182×22.(30分)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人.依题意1+x+(1+x)x=64,即(x+1)2=64,解得x1=7，x2= -9(舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)第三轮被传染的人数为(1+x)2·x=(1+7)2×7=448.答：第三轮将有448人被传染.3.(30分)参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛(双循环比赛)，共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？解：设共有x个队参加了比赛.依题意x(x-1)=90.解得x1=10, x2=-9(舍去).答：共有10个队参加了比赛.二、综合应用(20分)4.(20分)有一人利用手机发送短信，获得信息的人也按他的发送人数发送了该条短信息，经过两轮短信发送，共有90人的手机上获得同一信息，则每轮平均一个人向多少人发送短信？解：设每轮平均一个人向x人发送短信.由题意，得x+x2=90.解得：x1=9, x2= -10(舍去).答：每轮平均一个人向9个人发送短信.三、拓展延伸(10分)5.(10分)一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296,则这个两位数是多少？解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x),原数为10x+(10-x)=9x+10.对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x.依题意(9x+10)(100-9x)=2296.解得.x1=8,x2=2.当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.答：这个两位数是82或28.。
【考试重点】新九年级数学上册-第二十一章1.3-实际问题与一元二次方程(第2课时)导学案新人教版
【考试重点】新九年级数学上册-第二十一章1.3-实际问题与一元二次方程(第2课时)导学案新人教版21.3实际问题与一元二次方程第2课时一、学习目标：1、能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；2、通过实际问题中的增降情况，会将应用问题转化为数学问题，能够列一元二次方程解有关增降率的问题；3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.二、学习重难点：重点：列一元二次方程解决增降率问题等难点：掌握列方程解应用题的步骤和关键探究案三、合作探究复习旧知用一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？活动内容3：典例精析例美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。
某城市近几年来通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）。
（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2018年底的绿地面积为__________公顷，比2017年底增加了__________公顷；在2016年，2017年，2018年这三年中，绿地面积增加最多的是__________年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2020年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求2019年,2020年两年绿地面积的年平均增长率。
随堂检测1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为___________________________.3. 某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？4. 雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？5. 2015年4月30日，由中国某民营旅游投资企业斥资3.8亿元，在凤阳山国家级自然保护区内投资开发旅游度假区正式对外开放.到2017年4月30日，该企业的投资已经达5.2亿元.求2015年4月30日到2017年4月30日，该企业投资的年平均增长率（精确到0.1%）.6.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.课堂小结通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获_____________________________________ _________________________________________ _________________________________________ ___________________________________新人教部编版初高中精选试题新人教部编版初高中精选试题参考答案复习旧知（1）审题，分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设；（3）寻找数量关系，列出方程，要注意方程两边的数量相等，方程两边的代数式的单位相同；（4）选择合适的方法解方程；（5）检验，注意一方面检验结果是不是方程的根，另一方面检验结果是否符合实际意义；（6）作答.活动1：小组合作5000(1-x), 22.5%,22.5%活动2：探究归纳经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.活动内容3：典例精析（1）60 4 2017（2）解：设2019年,2020年两年绿地面积的年平均增长率为x，根据题意，得 60 (1＋x)2＝72.6(1＋x)2=1.21∴1＋x=±1.1∴x1 = 0.1=10%=－2.1(不合题意,舍去)x2答： 2019年,2020年两年绿地面积的年平均增长率为10%．随堂检测1.B2.2（1+x)+2(1+x)2=83.解：设平均每次降息的百分率为a%，依题意可列方程为：2.25%（1-a%）²=1.98%解得a1≈6.19，a2≈193.81（不合题意，舍去）即平均每次降息的百分率约为6.19%.4.解：设平均每年增长的百分率为x,根据题意，得1+x=±1.2（舍去），答：平均每年增长的百分率为20%.5. 设2015年4月30日至2017年4月30日该企业投资的年平均增长率为x，列关系式为:即解得：∵，∴不合题意，舍去.答：2015年4月30日至2017年4月30日该企业投资的年平均增长率为16.9%.6.解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2=3.2，解得x1=20%，x2=1.8 （舍去）∴平均每次下调的百分率为20%;(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元），∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠.。
九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程章末小结教案 (新版)新人教版
一元二次方程章末小结※教学目标※【知识与技能】进一步加深对一元二次方程及其解法的理解，能选择适当的方法解一元二次方程，掌握用一元二次方程解决实际问题的思路方法，加强对应用问题的分析和解决.【过程与方法】经历分析问题和解决问题的过程，拓展对一元二次方程的认识.【情感态度】进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力，增强数学应用的兴趣和意识，感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性，培养开拓创新精神.【教学重点】理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式，加强构建一元二次方程解决应用问题的能力.【教学难点】综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题.会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性. ※教学过程※一、整体把握二、加深理解1.一元二次方程的一般形式为20ax bx c++=(,,a≠)，这里二次项系a b c为常数，且0数0a≠是必要条件，而这一点往往在解题过程中易忽视，而导致结论出错.思考若关于x的一元二次方程()22-++-+=有一根为0，则常数m的m x x m m15320值为 .（答案：2）2.一元二次方程的解法有：开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于具体的方程，一定要认真观察，分析方程特征，选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程，降次思想是它的基本思想.3.根的判别式及根与系数的关系：（1）根的判别式24b ac ∆=-与0的大小关系可直接确定方程的根的情况，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.（2）根与系数的关系：若方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为12,x x ，则12b x x a+=-，12c x x a =.（3）利用根与系数的关系确定方程的待定字母系数时，千万应注意验证24b ac ∆=-是否大于等于0，否则所求出的值就不合题意应舍去，这点应引起学生的高度重视.4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现，如解决传播类问题、增长率类问题、利润问题及几何图形的计算问题等，而解决这些实际问题的关键是弄清题意，找出其中的等量关系，恰当设未知数，建立方程并予以求解，需注意的是，应根据问题的实际意义检验结果是否合理.三、复习新知例1 已知关于x 的方程()()()2110m n m n x m n x mn +++--++=是一元二次方程，则m n +的值为 .分析：由题意应有()212m n ++=，故()21m n +=，∴1m n +=±，又因为一元二次方程的饿二次项系数10m n +-≠，∴1m n +≠，从而可知1m n +=-.答案：-1例2 已知a 是方程2201410x x -+=的一个根，求代数式22201420131a a a -++的值.解：根据方程的定义有2201410a a -+=，从而220131a a a -=-.212014a a +=，故原式=211201412013a a a a a a a a-+--+===. 例3 已知关于x 的方程()22210x m x m -++=有两个实数根，试求m 的最小整数值.解：由题意有()222141840m m m ∆=-+-⨯⨯=+≥⎡⎤⎣⎦，∴12m ≥-，故m 的最小整数值为0.例4 已知关于x 的方程220x x a --=.（1）若方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）若次方程的两个实数根为12,x x ，则1211x x +的值能等于23吗？如果可以，请求出a 的值；如果不能，请说明理由.解：在（1）中，可直接由24440b ac a ∆=-=+>，得1a >-；在（2）中，不妨先令121123x x +=，从而有1212223x x x x a +==-，解得3a =-.而当3a =-时，原方程没有实数根，故1211x x +的值不可能为23. 例5 某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元销售时，每月能卖出210件，假定每月销售件数y （件）是价格x 的一次函数.（1）试求y 与x 之间的关系式；（2）当销售价定为多少时，每月获得1800元利润？（3）每月的利润能达到2000元吗？为什么？解：在（1）中，设y kx b =+，把（20，360），（25，210）代入，可得30960y x =-+（16≤x ≤32）；在（2）中，设获利为W (元），则()()1630960W x x =--+，当1800W =时，有()()16309601800x x --+=，解得122x =，226x =，故销售价定为22元或26元时，每月可获得1800元利润；在（3）中，令()()16309602000x x --+=，整理，得2314417360x x -+=，此时，()224144431736960b ac ∆=-=--⨯⨯=-<，原方程无解，即每月利润不可能为2000元.四、巩固练习1.若方程()22210m x --=有一根为1，则m 的值是多少？2.若方程23520x x --=有一根为a ，则2610a a -的值是多少？3.已知关于x 的方程()()()222110a x a x a ---++=，a 为何非负整数时：（1）方程只有一个实数根？（2）方程有两个相等实数根？（3）方程有两个不相等实数根？4.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，在对顾客利益最大基础上，那么每件童装应降价多少元？答案：1.m =（1）2a =；（2）3a =；（3）0a =或1a = 4.每件降价20元.五、归纳小结通过这节课的学习，你对本章知识你有哪些新的认识？你有哪些体会？※布置作业※从教材复习题21中选取．※教学反思※本章的内容，关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用，它在中考试题中占有一定的比例.。
九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第2课时导学案(新版)新人教
第2课时实际问题与一元二次方程(2)一、导学1.导入课题：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?本节课我们学习增长率问题.(板书课题)2.学习目标：列一元二次方程解有关增长率的问题.3.学习重、难点：重点：建立一元二次方程模型解决实际问题.难点：探究增长率问题中的等量关系.4.自学指导：(1)自学内容：探究问题：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t 乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?教材第19页到第20页“探究2”.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？②如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为5000(1-x)，再次下降后的成本变为5000(1-x)2.(用代数式表示)③设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等量关系终成本=原成本×(1-下降率)2可得方程5000(1-x)2=3000，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数.④设乙种药品成本平均每年的下降率为y，则由等量关系终成本=原成本×(1-下降率)2可得方程6000(1-y)2=3600.⑤成本下降额较大的药品，它的成本下降率也一定较大吗？成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大.⑥解决下面的问题，它与探究2有什么不同？某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率.解：设总产值的年平均增长率为x.依题意100(1+x)2=121，解得:x1=0.1, x2=-2.1(舍去)，∴年平均增长率为10%.与探究2相比，一个是计算增长率，一个是计算下降率.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：观察学生能否顺利地把这个问题转化为数学问题，并建立增长率模型列方程求解.(2)差异指导：从寻找等量关系、列方程到解方程并解答等方面对学困生进行指导.2.生助生：小组内互相交流、研讨，并相互改正.四、强化⑥题并点评.2.连续两次下降，求下降率的数学模型，以及连续两次增长，求增长率的数学模型.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、小组相互交流情况以及不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.(教学反思)：增长率问题是现实生活中常见的一类应用题，在教学过程中先让学生独立思考，自主探究，找出题目中的数量关系，并能构建合适的一元二次方程来解决，加深对知识的领悟.由于增长率问题具有一定的抽象性，在学生学习过程中，给予学生充分的帮助，让学生真正理解这类问题.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(70分)1.(20分)某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程为(B )A. 500(1+2x)=720B. 500(1+x)2=720C. 500(1+x2)=720D. 720(1+x)2=5002.(20分)受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为(A)A. 10%B. 20%C. 19%D. 25%3.(30分)某种药品原售价为125元/盒，连续两次降价后售价为80元/盒.假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率.解：设这种药品每次降价的百分率为x.由题意125(1-x)2=80.解得：x1=0.2,x2=1.8(舍去).答：这种药品每次降价的百分率为20%.二、综合应用(20分)4.(20分)商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？解：设平均每月降价的百分率为x.依题意，(1-x)2=1-36%.解得x1=0.2,x2=1.8(舍去).答：平均每月降价20%.三、拓展延伸(10分)5.(10分)某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月的增长率相同.求二、三月份各应发行图书多少万册？解：设平均每月的增长率为x.依题意，32+32(1+x)+32(1+x)2=122.解得x1=0.25,x2=-3.25(舍去).二月份发行图书32×(1+0.25)=40(万册))2=50(万册)答：二月份发行图书40万册，三月份发行图书50万册.。
【新人教版】九年级数学上册：《实际问题与一元二次方程》导学案
21.1 、一元二次方程（1）学习目标： 1、会依据详细问题列出一元二次方程，领会方程的模型思想，提升概括、剖析的能力。
2、理解一元二次方程的观点；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
教课过程：一、自学前言部分，走进一元二次方程剖析：设下部高x 米，则可列方程：去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想想你从前学过什么方程，它的特色是什么？研究新知：自学课本 2 页问题 1、问题 2（列方程、整理后与课本比较），并达成以下各题：问题 1 可列方程：整理得②问题 2 可列方程：整理得③1、一个正方形的面积的 2 倍等于 50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是 150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？察看上述三个方程以及①②两个方程的构造特色，类比一元一次方程的定义，自己试着概括出一元二次方程的定义：展现反应： 1 、判断以下方程能否为一元二次方程。
(7)对于 x的方程 mx 23x 2 0,(8)对于 y的方程( a21) y2(2a 1) y 5 a 0【我学会了】1、只含有个未知数，而且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：,此中是二次项，是一次项，是常数项，是二次项系数，是一次项系数。
3、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即便一元二次方程等号左右两边相等的 _______________的值。
自主研究：1、将以下一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（ 1）4x281（） 3x( x 1) 5( x 2)22、判断以下方程后边所给出的数，那些是方程的解；（ 1）2x( x1)4( x1)±1±2；（ 2）x22x 8 0± ，±24【稳固练习】教材第4页练习 2概括小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程顶用了哪些数学方法？3、确立一元二次方程的项及系数时要注意什么？达标测评1、判断以下方程是不是一元二次方程;（1）2x 1230 （）（）2y 5 0( ) x22 2x3(3) ax2bx c 0（） (4) 4x217 0 ()x2、将以下方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（ 1） 3x2－ x=2；（2）7x－3=2x2;（3）(2x－1)－ x x－2)=0（）x x－1)=3(x＋5)－4.3 (4 2(3、把方程mx2nx mx nx2q p (m n0)化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
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年级：九年级 学科：数 学课型：新授课时间： 2019年6月15日
主备பைடு நூலகம்审核：九年级数学组
学习笔记
【学习目标】
1.会建立数学模型解决现实生活中的实际问题.
2.体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程.
【学习重、难点】
重点：根据问题的条件列方程的方法；难点：如何确定实际问题中的等量关系.
9、已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm。某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D出发沿DA方向以2 的速度向A点匀速运动，则经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 ？
三、课后反思：
杭六中“ ”教学模式导学案
（一）传播问题：
1、有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
（二）相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题
【导学过程】
一、温故知新（学法指导：课前独立完成下面问题，将每一步的注意事项、易错点或总结到的方法记在学习笔记一栏）
问题：列一元二次方程解应用题的一般步骤：
列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：
“、、、、、”六个步骤。
二、例题归类（学法指导：注意归纳各类实际问题的解题方法，学会举一反三，触类旁通）
（五）面积问题
7、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，折起来做成一个无盖的小盒子.已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽.
（六）数字问题
8、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，求这个两位数为.
（七）动点几何问题
3、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
4、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？
（三）平均增长率（下降率）问题
5、某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
方法归纳与总结：若a为起始量，b为终止量，n为增长或降低的次数，x为平均增长率或降低率，则平均增长（或降低）率公式为：.
（四）利润问题
6、水果店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但××局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？