数学建模课件1

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§9.2 循环比赛的名次
•n 支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。

•根据比赛结果排出各队名次
方法1：寻找按箭头方向通过全部顶点的路径---完全路径。

312456146325方法2：计算简单得分：1队胜4场，2与3队各胜3场，4与5队各胜2场，6队胜1场。

无法排名
2与3队、4与5队无法排名
竞赛图: 每对顶点间都有边一条边相连的有向图
……
1
23(2,1,0)
1
2
3
(1,1,1)
3、4阶竞赛图的讨论3个顶点的竞赛图
名次
{(1,2,3)}并列
{}
123→→
1
2
31
34
1
34
1
2
3(3,2,1,0)
(3,1,1,1)
(2,2,2,0)
(2,2,1,1)
基于简单积分的排名结果
1
2
31
34
1
34
1
2
3{}
1234→→→(){}
12,3,4→(){}
1,2,34→()(){}
1,23,4→
基于简单积分的排名算法的缺陷
1
2
34
()(){}
1,23,4→{}
1243→→→OR
OR other results?
竞赛图的
•具有唯一的完全路径，如图(3,2,1,0)；3种形式
•双向连通图——任一对顶点存在两条有
向路径相互连通，如图(2,2,1,1)；
•其他，如(3,1,1,1)、(2,2,2,0) 。

竞赛图的性质
定理：任一)2(≥∀n n 阶竞赛图),(E V G 都存在完全路径。

定理：存在唯一完全路径的)2(≥∀n n 阶竞赛图),(E V G 在
同构的意义下唯一。

进一步讲，若设
n n v v v v 121...-为G 中的{}
T
k k e e A s
)
1,,1,1(,)
(Λ==其中级得分向量1~)1,1,2,2()
1(T
Ae s ==级得分向量2~)2,1,2,3()1()2(T
As s ==⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=00
01
1000
11000110
A ⎩
⎨
⎧∉∈=E v v E v v a j i j i ij ,0,1双向连通竞赛图的名次排序邻接矩阵T
n s s s s )
,,,(21Λ=得分向量
T
T
s
s
)
3,3,5,5(,
)3,2,3,3()
4()
3(==T
T
s s )8,5,8,9(,)5,3,6,8()6()5(==ΛΛT T s s )13,9,17,21(,)9,8,13,13()8()7(==1
2
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双向连通竞赛图的名次排序
•对于n (>3)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数r ，使邻接矩阵A 满足A r >0，A 是一个素阵
e
A As
s k
k k ==-)
1()
(用s 排名
定理1：素阵A 的模最大特征根对应一正单根λ，其特征向量的全部分量正负一致。

若s 表示A 的关于特征根λ的符合归一化条件的特征向量，则
s e
A e e
A k T k
k =∞→lim
双向连通竞赛图的名次排序
e
A As
s k
k k ==-)
1()
(⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=00
1
100011000110
A 排名为
T
s )
230.0,167.0,280.0,323.0(,
4.1==λ定理1：素阵A 的模最大特征根对应一正单根λ，其特征向量的全部分量正负一致。

若s 表示A 的关于特征根λ的符合归一化条
件的特征向量，则s
e A e e
A k T k
k =∞→lim 用s 排名1
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{}
1243→→→
1
2
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条数
的路径的个顶点为起点的步长为第中以
表示竞赛图分量其第
...
,
1
)(1
)
(1
)
(21
)(1)
(k i G a i a a a e A s
n
j k ij T
n
j k nj
n
j k j
n
j k j k
k ∑
∑
∑
∑
====⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
==()
的条数
的路径
顶点步长为顶点到第中从第表示竞赛图则若记 , )
()(k j i G
a a A k ij n n k ij k
⨯=S 值的合理性
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=00010
10010011000000101111100011101
0A T
T
T
T s s
s
s )
16,25,21,32,28,38(,)9,12,7,16,10,15()
3,4,3,9,5,8(,
)1,2,2,3,3,4()
4()
3()2()1(====6支球队比赛结果
T
s )
104.0,150.0,113.0,231.0,164.0,238.0(,232.2==λ1
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{}
645231→→→→→排名次序为
⎩⎨⎧+++=⋅=)()2()1()()(...k k k
k S
S S H e A S ()
⎪⎩
⎪⎨⎧+=⋅=⋅==⇒+++)1()()1()()1()1()1(k k k k k S H H S
A S e A S H S 值的局限性& H 值的提出
H-值的优点
● 直观性好，更符合我们的日常经验和判断模式；
● 对于双向连通的竞赛图排名，在具有与S-值排名结果一致的前提下，收敛性更好；
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1 2
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唯美主义与平庸性假定——
一般竞赛图的排名
1
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1 2
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几个相关的结果
定理2：任一)2(≥∀n n 阶竞赛图),(E V G 都存在完全路径。

证明（数学归纳法）：
ο
1：2=n 时，如下图，命题真；
ο
2：设k n =时命题真；
ο3：当1+=k n 时，设{}121,,,+=k k v v v v V Λ为顶点集，记
{}k v v v V Λ,,21~=，~G 为图),(E V G 关于{}k v v v V Λ
,,21~=的生成子图； 由归纳假设ο
2，在~G 中存在完全路径，不失一般性，设k k v v v v 121...-为~G 中的一条完全路径，考虑顶点1+k v 与{}k v v v V Λ,,21~=的
邻接关系，有如下三种情形：
推论：设G ~、G 是两个竞赛图，且G ~是G 一个子图。

若G ~的完全路径不唯一，则G 的完全路径也必不唯一
定理3：存在唯一完全路径的)2(≥∀n n 阶竞赛图)
,(E V G 在同构的意义下唯一。

进一步讲，若设
n n v v v v 121...-为G 中的唯一的一条完全路径，则{}n j i j i v v E j i ≤<≤∀=1,,|。

证明（数学归纳法）： ο
1：2=n 时，命题真； ο2：设k n =时命题真 123456
7
ο
3：当1+=k n 时，设{}121,...,,+=k k v v v v V 为顶点集，不妨设
1121...+-k k k v v v v v 为G 中的唯一的一条完全路径；记{}k v v v V ...,,21~=，~
G 为图),(E V G 关于{}k v v v V ...,,21~=的生成子图； ο1.3此时k k v v v v 121...-为~
G 中的唯一的一条完全路径，否则，由（定理1）推论可得不同于
1121...+-k k k v v v v v 的G 中的另一条完全路径，这与题设矛盾；
ο
2.3以下只须证明1+k v 负于任意k i v i ..1,=：（反证）设1+k v 胜某k i v i ≤≤1, ，如下图，可以找到一条不同于1121...+-k k k v v v v v 的G 中的另一条完全路径
i k k k i i v v v v v v v v 111121...+-+-Λ，
这同样与题设矛盾。

k
i i i v v v v v v 1121+-1
+k v
好的数学思想与作品，无一例外的表明，数学创作如同其它任何一项工作，应当扎根于现实世界的真实存在与生产生活实践，那种基于直观的、得益于日常生活经验的判断和启示总是最有价值的——任何背离这一原则的虚妄性制作最终只能被证明是虚妄的！。