垂直关系的性质
直线、曲线垂直的判定及其性质
直线、曲线垂直的判定及其性质
垂直是几何学中的重要概念，用于描述两条线段、线或曲线之
间的相对关系。
在判定直线或曲线是否垂直时，需要考虑两个主要
因素：斜率和相交关系。
直线垂直的判定方法
要判定两条直线是否垂直，可以根据它们的斜率来进行推断。
两条直线垂直的条件是它们的斜率之积为-1，即斜率为互为负倒数
的关系。
如果两条直线的斜率满足这个条件，那么它们就是垂直的。
曲线垂直的判定方法
与直线不同，曲线的判定方法更为复杂。
曲线之间的垂直关系
通常是通过它们的切线来确定。
两条曲线在某一交点处的切线斜率
相互乘积为-1时，可以判定它们在该点处垂直。
然而，需要注意的是，曲线之间的垂直性并非在所有点上都成立，而是在特定点的交
点处成立。
直线、曲线垂直的性质
如果两条直线或曲线垂直，那么它们在相交点处的角度为90度。
这是因为垂直的定义就是两个线段或线之间成直角的关系。
在几何学中，垂直具有一些重要的性质，例如：
- 垂直线段的长度相乘等于它们垂直线段的长度的平方。
- 两个垂直切线的斜率乘积为-1。
- 在直角三角形中，两条直角边互相垂直。
总之，垂直是几何学中重要的关系之一，用于描述直线和曲线之间的相对关系。
判定直线或曲线的垂直性可以通过斜率和相交关系来推断，而垂直的性质有助于我们在解决几何问题时的推导和证明。
更多关于直线和曲线垂直的知识可以通过几何学教材和学习资源进一步了解和深入研究。
第11讲 空间中垂直关系的判定与性质
空间中垂直关系的判定与性质一．基础知识整合1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理文字语言 符号语言 图形语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ⇒l ⊥α2.二面角（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理文字语言符号语言 图形语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫a αa ⊥β⇒α⊥β 4.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言 符号语言 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b文字语言图形语言 符号语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ⇒a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC . 证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD 为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ，∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥平面ABC .变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC . 证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ，AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG .证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ，所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG .变式训练2：如图，在空间四边形ABDC 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面BDG .证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平面BDG ⊥平面BEF .题型三：垂直关系的综合应用例3：如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠BCA＝90°.点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．证明：(1)∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角．由(1)知BC⊥平面P AC，又∵DE∥BC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE平面P AC，PE平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．又∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC.∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时，∠AEP＝90°.故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．变式训练3：如图所示，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝6，求二面角P—BC—A的大小．解：∵P A⊥平面ABC，BC平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又PC平面P AC，∴BC⊥PC.又BC⊥AC，∴∠PCA为二面角P—BC—A的平面角．在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝2，∴PC＝2.在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝2，∴AC＝ 2.∴在Rt△P AC中，cos∠PCA＝2，∴2∠PCA＝45°，即二面角P—BC—A的大小为45°.题型四：线面垂直性质定理的应用例4：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1平面BDD1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥平面AB1C?解：若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.题型五：面面垂直性质定理的应用例5：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.证明：如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，∵平面P AC⊥平面ABC，且平面P AC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面P AC，又∵P A平面P AC，∴DF⊥P A，同理DG⊥P A，又∵DF∩DG＝D且DF平面ABC，DG平面ABC，∴P A⊥平面ABC.变式训练5：如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.证明：如图连接AP.矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，又∵PD平面PDC，PC平面PDC，∴AD⊥PD，BC⊥PC，在Rt△P AD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(22)2＋22＝12，PM2＝PC2＋MC2＝22＋(2)2＝6，又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(22)2＝6，∴AP2＝PM2＋AM2，∴AM⊥PM.题型六：垂直关系的综合应用例6：如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.证明：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD ＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝90°，即EF⊥BE.因为BC平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.(2)取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊12AB綊PC，所以PMNC为平行四边形．所以PM∥CN.因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE.变式训练6：如图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD ＝1，SD＝2，BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.(1)证明：DE⊥平面SBC；(2)证明：SE＝2EB.证明：(1)连接BD，∵SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，又∵BC⊥BD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面BDS，∴BC⊥DE. 作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE. 又∵BK平面SBC，BC平面SBC，BK∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC. (2)由(1)知DE⊥SB，DB＝2AD＝ 2.∴SB＝SD2＋DB2＝6，DE＝SD·DBSB＝233，EB＝DB2－DE2＝63，SE＝SB－EB＝263，∴SE＝2EB.三.方法规律总结1．线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．2．在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直．3．空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：4．会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题．四：课后练习作业一、选择题1．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是(B)A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α【解析】A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(A)A．平面A1DCB1 B．平面DD1C1C C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCD—A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.3．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE，∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面P AE成立，平面P AE⊥平面ABC也成立．4．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(C) A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解析】A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.5．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b (B)A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行【解析】当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．6．空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影是△BCD的(A)A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】设A点在平面BCD内的射影为O.可知，△OAB≌△OAC≌△OAD.∴OB＝OC＝OD，∴点O为外心．7．下列说法中正确命题的个数为(B)①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；⑤如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线．A．0B．1C．2D．3【解析】如图(1)所示，l与α相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直．故①②错误；如图(2)所示，l与α平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故③④错误；如图(3)所示，直线l与平面α的垂线m垂直，但l不在平面α内；由线面垂直的定义可知，⑤正确．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(A)A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF【解析】∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(B)A．平面ADC⊥平面BDCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°.∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在(A)A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上【解析】连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.若AP平面AB1C，则AP⊥BD1.这样只要P在B1C上移动即可．二、填空题11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．垂直【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵D1D⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD 1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.12．如图所示，已知P A⊥平面α，PB⊥平面β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，∠APB＝50°，则二面角α－l－β的大小为________．130°【解析】如图，设平面P AB∩l＝O，连接AO，BO，AB，∵P A⊥α，lα，∴P A⊥l.同理PB⊥l，而PB∩P A＝P，∴l⊥平面P AB，∴l⊥AO，l⊥BO，∴∠AOB即为二面角α－l－β的平面角．结合图形知∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠AOB＝130°.13．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD＝______.13 cm【解析】连接BC.因为平面α⊥平面β，且α∩β＝l，又因为BD平面β，且BD⊥l，所以BD⊥平面α.又∵BC平面α，∴BC⊥BD.所以△CBD也是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝32＋42＝5.在Rt△CBD中，CD＝52＋122＝13.所以CD长为13 cm.14．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α与β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.若①③④，则②(或若②③④，则①)【解析】利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．15．如图平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝_______a【解析】如图所示，取BC 的中点E ，连接ED ，AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∵平面ABC ⊥平面BDC .∴AE ⊥平面BDC ，∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ，∴在Rt △AED 中，AD ＝AE 2＋ED 2＝a .三、解答题16．如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，AN⊥PM ，垂足为N .求证：AN ⊥平面PBM .证明:设圆O 所在的平面为α，∵P A ⊥α，且BM α，∴P A ⊥BM .又∵AB 为⊙O 的直径，点M 为圆周上一点，∴AM ⊥BM ，∵直线P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN 平面P AM ，∴BM ⊥AN .这样，AN 与PM ，BM 两条相交直线垂直．故AN ⊥平面PBM .17．如图所示，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA ，SB ，SC 且∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC .【证明】（法一）取BC 的中点D ，连接AD ，SD .∵∠ASB ＝∠ASC ，且SA ＝SB＝AC ，∴AS ＝AB ＝AC .∴AD ⊥BC .又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD ＝SD .∴AD 2＋SD 2＝AD 2＋BD 2＝AB 2＝AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD .又∵SD ∩BC ＝D ，∴AD ⊥平面BSC .又AD 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC .（法二）同法一证得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，则∠ADS即为二面角A —BC —S 的平面角．∵∠BSC ＝90°，令SA＝1，则SD ＝22，AD ＝22，∴SD 2＋AD 2＝SA 2.∴∠ADS ＝90°.∴平面ABC ⊥平面BSC .18．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，分别交AC 、SC 于D 、E ，且SA ＝AB ＝a ，BC ＝2a . (1)求证：SC ⊥平面BDE ；(2)求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小．(1)证明：∵SA ⊥平面ABC ，又AB 、AC 、BD 平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，SA ⊥BD ，∴SB ＝SA 2＋AB 2＝2a .∵BC ＝2a ，∴SB＝BC .∵E 为SC 的中点，∴BE ⊥SC .又DE ⊥SC ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE .(2)由(1)及BD 平面BDE ，得BD ⊥SC .又知BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC .∴BD ⊥AC 且BD ⊥DE .∴∠CDE 为平面BDE 与平面BDC 所成二面角的平面角．∵AB ⊥BC ，AC ＝AB 2＋BC 2＝3a .∴Rt △SAC 中，tan ∠SCA ＝SA AC ＝33，∴∠SCA ＝30°.∴∠CDE ＝60°，即平面BDE 与平面BDC 所成二面角为60°.19.如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：DM APC ∥平面；（2）求证：ABC APC ⊥平面平面.证明:（1）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD //AP ,又MD不在平面APC 上，∴MD //平面APC .（2）∵△PMB 为正三角形，又D 为PB 中点. ∴MD ⊥PB .又由（1）知MD //A P , ∴AP ⊥PB . 又AP ⊥PC , 且PB ∩PC =P ，∴AP ⊥平面PBC , ∴AP ⊥BC , 又∵AC ⊥BC , 且AP ∩AC =A ∴BC ⊥平面APC , 又BC 在平面ABC 内，∴平面ABC ⊥平面APC .20．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中 点，MN ⊥平面A 1DC .求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. MD B P C A(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．21．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD . (1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ；(2)求证：AD ⊥PB .证明：(1)连接PG ，BD .由题知△P AD 为正三角形，G 是AD 的中点，∴PG ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PG 平面P AD ，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形且∠DAB ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG⊥AD .又AD 平面P AD ，PG 平面P AD ，且AD ∩PG ＝G ，∴BG ⊥平面P AD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又BG 平面PBG ，PG 平面PBG ，且BG ∩PG ＝G ，AD ⊥平面PBG ，∴AD ⊥PB .。
垂直关系的性质(最新课件)
1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是 棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1 都垂直的直线有( )条
A．1
B．2
C．3
D．无数条
解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满 足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB，又AB∥C1D1，则 l⊥C1D1， B1C1∩C1D1＝C1，∴l⊥平面B1C1D1. 同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又l与DD1都过M.这 是不可能的，因此只有DD1一条满足条件． 答案：A
3．(2011·郓城高一模块测试)如图，已知PA⊥平面ABC， 平面APB⊥平面BPC. 求证：AB⊥BC. 证明：平面PAB⊥平面CPB，且PB为交线． 如图，在平面PAB内，过A点作AD⊥PB，D为垂 足，则AD⊥平面CPB，又BC 平面CPB， 所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以 PA⊥BC，又PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB， 又AB 平面PAB，所以AB⊥BC.
[一点通] 线面平行和线面垂直是立体几何中经常 考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行)时 可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行)时考虑 判定定理．
5．(2011·南昌第一次模拟)已知α、β是平面，m、n
是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m β，则α⊥β；
②若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β；
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即 AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD.
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
高中数学 同步教学 垂直关系的性质
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
题型五
线面垂直性质的应用
【例2】 如图所示,在正方体ABCD- A1B1C1D1中,点E,F分别在
A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC.
求证:EF∥BD1.
分析:题目条件中给出了线线垂直,通过转化可证得线面垂直,要
证EF∥BD1,只需证明EF与BD1同垂直于某一平面即可,由条件可知
又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD.
∵BG⫋平面ABCD,∴PG⊥BG.
又四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,
∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.
这里选择平面AB1C.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
证明:连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示.
∵DD1⊥平面ABCD,AC⫋平面ABCD,∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1B1.
∵BD1⫋平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.
同理BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC,且AC ∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.
反思当题中垂直条件很多,但又需证明两条直线平行时,就要考虑
用直线与平面垂直的性质定理,从而完成由垂直向平行的转化.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练2】 (1)本例中的“正方体ABCD-A1B1C1D1”换为“长方
D.若α⊥β,α∩β=m,l⫋α,l⊥m,则l⊥β
解析:对比面面垂直的性质定理可知,A项中缺少了条件l⫋α,B项
第11讲 空间中垂直关系的判定与性质
空间中垂直关系的判定与性质一．基础知识整合1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ⇒l ⊥α从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a αa ⊥β⇒α⊥β符号语言⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ⇒a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC .证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ， ∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥平面ABC .变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC .证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC .题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ，AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG .证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ，所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG .变式训练2：如图，在空间四边形ABDC中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面BDG .证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平面BDG ⊥平面BEF .题型三：垂直关系的综合应用例3：如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠BCA＝90°.点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由．证明：(1)∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .(2)存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角．由(1)知BC ⊥平面P AC ，又∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面P AC .又∵AE 平面P AC ，PE 平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE .∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角．又∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC .∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时，∠AEP ＝90°.故存在点E 使得二面角A —DE —P 是直二面角．变式训练3：如图所示，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝2，PB ＝6，求二面角P —BC —A 的大小．解：∵P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，∴P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .又PC 平面P AC ，∴BC ⊥PC .又BC ⊥AC ，∴∠PCA 为二面角P —BC —A 的平面角．在Rt △PBC 中，∵PB ＝6，BC ＝2，∴PC ＝2.在Rt △ABC 中，∵AB ＝2，BC ＝2，∴AC ＝ 2.∴在Rt △P AC 中，cos ∠PCA ＝22，∴∠PCA＝45°，即二面角P —BC —A 的大小为45°.题型四：线面垂直性质定理的应用例4：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1.证明：如图所示，连接AB 1、B 1C 、BD .∵DD 1⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD .∴DD 1⊥AC .又∵AC ⊥BD ，且BD ∩DD 1＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1. ∵BD 1平面BDD 1，∴BD 1⊥AC .同理可证BD 1⊥B 1C .∴BD 1⊥平面AB 1C .∵EF ⊥A 1D ，A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C .又EF ⊥AC ，且AC ∩B 1C ＝C ，∴EF ⊥平面AB 1C ，∴EF ∥BD 1.变式训练3：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在A 1D 、AC上，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .若G 是AB 的中点，则E 在A 1D 上什么位置时，能使EG ⊥平面AB1C?解：若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.题型五：面面垂直性质定理的应用例5：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.证明：如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，∵平面P AC⊥平面ABC，且平面P AC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面P AC，又∵P A平面P AC，∴DF⊥P A，同理DG⊥P A，又∵DF∩DG＝D且DF平面ABC，DG平面ABC，∴P A⊥平面ABC.变式训练5：如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.证明：如图连接AP.矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，又∵PD平面PDC，PC平面PDC，∴AD⊥PD，BC⊥PC，在Rt△P AD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(22)2＋22＝12，PM2＝PC2＋MC2＝22＋(2)2＝6，又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(22)2＝6，∴AP2＝PM2＋AM2，∴AM⊥PM.题型六：垂直关系的综合应用例6：如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.证明：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD ＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°.又因为∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝90°，即EF ⊥BE .因为BC 平面BCE ，BE 平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE .(2)取BE 的中点N ，连接CN ，MN ，则MN 綊12AB 綊PC ，所以PMNC 为平行四边形．所以PM ∥CN . 因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，所以PM ∥平面BCE .变式训练6：如图，四棱锥S －ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD＝1，SD ＝2，BC ⊥BD ，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .(1)证明：DE ⊥平面SBC ；(2)证明：SE ＝2EB .证明：(1)连接BD ，∵SD ⊥平面ABCD ，故BC ⊥SD ，又∵BC ⊥BD ，BD ∩SD ＝D ，∴BC ⊥平面BDS ，∴BC ⊥DE . 作BK ⊥EC ，K 为垂足，因平面EDC⊥平面SBC ，故BK ⊥平面EDC ，BK ⊥DE . 又∵BK 平面SBC ，BC 平面SBC ，BK ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面SBC .(2)由(1)知DE ⊥SB ，DB ＝2AD ＝ 2.∴SB ＝SD 2＋DB 2＝6，DE ＝SD ·DB SB ＝233，EB ＝DB 2－DE 2＝63，SE ＝SB －EB ＝263，∴SE ＝2EB . 三.方法规律总结1．线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．2．在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直．3．空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：4．会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题．四：课后练习作业一、选择题1．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是(B) A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α【解析】A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(A)A．平面A1DCB1 B．平面DD1C1C C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCD—A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.3．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE，∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面P AE成立，平面P AE⊥平面ABC也成立．4．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(C) A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解析】A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.5．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b (B)A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行【解析】当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．6．空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A点在平面BCD的射影是△BCD的(A)A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】设A点在平面BCD内的射影为O.可知，△OAB≌△OAC≌△OAD.∴OB＝OC＝OD，∴点O为外心．7．下列说法中正确命题的个数为(B)①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；⑤如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线．A．0B．1C．2D．3【解析】如图(1)所示，l与α相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直．故①②错误；如图(2)所示，l与α平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故③④错误；如图(3)所示，直线l与平面α的垂线m垂直，但l不在平面α内；由线面垂直的定义可知，⑤正确．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是(A)A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF【解析】∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(B)A．平面ADC⊥平面BDCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°.∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在(A)A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上【解析】连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.若AP平面AB1C，则AP⊥BD1.这样只要P在B1C上移动即可．二、填空题11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．垂直D⊥平面ABCD，AC平面【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵DABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.12．如图所示，已知P A⊥平面α，PB⊥平面β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，∠APB＝50°，则二面角α－l－β的大小为________．130°【解析】如图，设平面P AB∩l＝O，连接AO，BO，AB，∵P A⊥α，lα，∴P A⊥l.同理PB⊥l，而PB∩P A＝P，∴l⊥平面P AB，∴l⊥AO，l⊥BO，∴∠AOB即为二面角α－l－β的平面角．结合图形知∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠AOB＝130°.13．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，则CD＝______.13 cm【解析】连接BC.因为平面α⊥平面β，且α∩β＝l，又因为BD平面β，且BD⊥l，所以BD⊥平面α.又∵BC平面α，∴BC⊥BD.所以△CBD也是直角三角形．在Rt △BAC 中，BC ＝32＋42＝5.在Rt △CBD 中，CD ＝52＋122＝13.所以CD 长为13 cm.14．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α与β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.若①③④，则②(或若②③④，则①)【解析】利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．15．如图平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝_______a【解析】如图所示，取BC 的中点E ，连接ED ，AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC ，∵平面ABC ⊥平面BDC .∴AE ⊥平面BDC ，∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ，∴在Rt △AED 中，AD ＝AE 2＋ED 2＝a .三、解答题16．如图所示，AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上任意一点，AN ⊥PM ，垂足为N .求证：AN ⊥平面PBM .证明:设圆O 所在的平面为α，∵P A ⊥α，且BM α，∴P A ⊥BM .又∵AB 为⊙O 的直径，点M 为圆周上一点，∴AM ⊥BM ，∵直线P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM .又AN 平面P AM ，∴BM ⊥AN .这样，AN 与PM ，BM 两条相交直线垂直．故AN ⊥平面PBM .17．如图所示，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA ，SB ，SC 且∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC .【证明】（法一）取BC 的中点D ，连接AD ，SD .∵∠ASB ＝∠ASC ，且SA ＝SB＝AC ，∴AS ＝AB ＝AC .∴AD ⊥BC .又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD ＝SD .∴AD 2＋SD 2＝AD 2＋BD 2＝AB 2＝AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD .又∵SD ∩BC ＝D ，∴AD⊥平面BSC .又AD 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC .（法二）同法一证得AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，则∠ADS 即为二面角A —BC —S 的平面角．∵∠BSC ＝90°，令SA ＝1，则SD ＝22，AD ＝22，∴SD 2＋AD 2＝SA 2.∴∠ADS ＝90°.∴平面ABC ⊥平面BSC .18．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，分别交AC 、SC 于D 、E ，且SA ＝AB ＝a ，BC ＝2a .(1)求证：SC ⊥平面BDE ；(2)求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小．(1)证明：∵SA ⊥平面ABC ，又AB 、AC 、BD 平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，SA ⊥BD ，∴SB ＝SA 2＋AB 2＝2a .∵BC ＝2a ，∴SB ＝BC .∵E 为SC 的中点，∴BE ⊥SC .又DE ⊥SC ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE .(2)由(1)及BD 平面BDE ，得BD ⊥SC .又知BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC .∴BD ⊥AC 且BD ⊥DE .∴∠CDE 为平面BDE 与平面BDC 所成二面角的平面角．∵AB ⊥BC ，AC ＝AB 2＋BC 2＝3a .∴Rt △SAC中，tan ∠SCA ＝SA AC ＝33，∴∠SCA ＝30°.∴∠CDE ＝60°，即平面BDE 与平面BDC 所成二面角为60°.19.如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：DM APC ∥平面；（2）求证：ABC APC ⊥平面平面.证明:（1）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD //AP ,又MD不在平面APC 上，∴MD //平面APC.（2）∵△PMB 为正三角形，又D 为PB 中点. ∴MD ⊥PB .又由（1）知MD //A P , ∴AP ⊥PB . 又AP ⊥PC , 且PB ∩PC =P ，∴AP ⊥平面PBC , ∴AP ⊥BC , 又∵AC ⊥BC , 且AP ∩AC =A ∴BC ⊥平面APC , 又BC 在平面ABC 内，∴平面ABC ⊥平面APC .20．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中 点，MN ⊥平面A 1DC .求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1. MD B P C A(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 21．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面P AD ；(2)求证：AD ⊥PB .证明：(1)连接PG ，BD .由题知△P AD 为正三角形，G 是AD 的中点，∴PG ⊥AD .又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PG 平面P AD ，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形且∠DAB ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG ⊥AD .又AD 平面P AD ，PG 平面P AD ，且AD ∩PG ＝G ，∴BG ⊥平面P AD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又BG 平面PBG ，PG 平面PBG ，且BG ∩PG ＝G ，AD ⊥平面PBG ，∴AD ⊥PB .。
垂直线的性质与判定方法
垂直线的性质与判定方法在几何学中，垂直线是一种重要的概念，常用于描述线段、直线或平面之间的关系。
本文将详细探讨垂直线的性质以及判定方法，旨在帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、垂直线的性质1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线或线段之间相互垂直的关系。
两条垂直线之间的角度为90度，也即是直角。
2. 垂直线的特点垂直线有以下几个主要特点：- 两条垂直线之间的夹角为90度，即两者之间是直角。
- 垂直线与水平线相交，形成交角为90度的交点。
- 垂直线可以用于确定两个平面之间的关系，若两个平面相互垂直，则它们的交线为垂直线。
3. 垂直线与平行线的关系垂直线和平行线是几何学中的两个重要概念。
两条垂直线之间不存在平行关系，但垂直线与同一直线上的一条平行线呈直角关系。
二、判定垂直线的方法1. 角度判定法通过测量两条线或线段之间的夹角来判定垂直线的存在。
若两条线之间的夹角为90度，则可以断定它们是垂直的。
这种方法适用于平面上的直线、线段、射线等形态。
2. 斜率判定法斜率判定法适用于已知两条直线的斜率的情况。
若两条直线的斜率之积为-1，则可以确定它们是垂直的。
即设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则当k1 * k2 = -1时，L1与L2垂直。
3. 三角形判定法此判定法适用于已知三角形的情况。
如果一个三角形的两条边互相垂直，那么可以判定它们所在的线段或直线是垂直线。
4. 垂直平分线判定法垂直平分线是指将一条线段垂直平分的线，该线段的两个中点通过这条线都与线段呈90度的角。
若已知一条垂直平分线，则可以判定被它垂直平分的线段是垂直线。
总结：本文介绍了垂直线的性质以及判定方法。
垂直线是指两条直线或线段之间垂直的关系，具有直角特点。
判定垂直线的方法包括角度判定法、斜率判定法、三角形判定法和垂直平分线判定法。
通过运用这些方法，我们可以准确地判断垂直线的存在与否，进一步应用于解决几何问题中。
在实际应用中，我们要善于使用这些判定方法，以提高几何问题的解决效率。
垂直的性质
垂直的性质
垂直是一种相对于水平或平均面的方向。
在日常生活中，垂直通常被视为上下方向的垂直，与地球表面垂直的方向是重力所指向的方向。
在数学和几何学中，垂直是指两条线或两个平面相互交于90度角的关系。
垂直的概念
垂直性质在几何学中非常重要，它定义了两者之间的垂直关系。
垂直性质也可以用来描述建筑结构、地形地貌等自然现象。
在数学中，垂直关系可以用直角三角形来解释，直角三角形的两条边及其对应的角度便构成了垂直关系。
垂直的特征
垂直的特征是其与水平方向的垂直性。
而垂直性质体现了相互之间成90度角的关系，这一特征在几何学中起着至关重要的作用。
垂直性质还可应用于解决各种实际问题，例如建筑工程中的楼梯设计、道路交叉口设计等。
垂直的世界
在自然界中，垂直性质也是普遍存在的。
例如，大多数植物的生长方向是垂直向上的，以获取更多的阳光。
而在地球科学中，地球的磁力线也与地球表面垂直，形成磁场。
这些例子展示了垂直性质在自然界中的广泛应用。
垂直与水平的平衡
在生活中，垂直与水平的平衡是非常重要的。
建筑物、桥梁、汽车等都需要在水平和垂直方向上保持平衡，以确保它们的稳定性。
故而设计者需要充分考虑垂直性质来保证事物的稳定性和安全性。
结语
垂直的性质是世界上普遍存在的一种方向与关系，它在数学、几何学、自然科学中都有重要作用。
理解垂直性质不仅有助于我们解决问题，还能帮助我们更好地理解世界的运行规律。
生活中处处都有垂直性质的存在，我们应该认真对待这一概念，探求其中的更深层次含义。
6.2垂直关系的性质2
A．SG⊥平面 EFG C．GF⊥平面 SEF
B．SD⊥平面 EFG D．GD⊥平面 SEF
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二） Nhomakorabea答案 A
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3．下列五个正方体图形中，如图，l 是正方体的一条对角线， 点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l⊥面 MNP 的图形 的序号是__________(写出所有符合要求的图形序号)．
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探究 2 (1)计算也是论证的一种方法； (2)勾股定理、余弦定理是常用的工具．
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◎思考题 2 如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1A ＝AD＝a，AB＝2a，E 为棱 C1D1 的中点．
求证：DE⊥平面 BCE.
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要点 1 直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直 线 l 与平面 α 互相垂直，记作 l⊥α(如图甲)．
甲
乙
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要点 2 直线与平面垂直的判定定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直． (2)图形表示：图乙． (3)符号表示：m⊂α，n⊂α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n⇒l⊥ α.
由(1)知 AC⊥HD′，又 AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以 AC⊥
平面 BHD′，于是 AC⊥OD′.
又由 OD′⊥OH，AC∩OH＝O，
所以 OD′⊥平面 ABC.
又由AECF ＝DDOH得 FE＝92.
垂直关系知识点总结
垂直关系知识点总结在数学中，垂直关系是指两条直线或向量相交且相交点的角度为90度。
垂直关系是几何中非常重要的概念，它在计算几何、向量、三角函数等领域都有着广泛的应用。
本文将对垂直关系的基本概念、性质、相关定理及其应用进行总结。
一、垂直关系的基本概念1.垂直线段：在平面几何中，如果两条线段的端点可以连成垂直直角，那么这两条线段就是垂直的。
两条垂直线段的特点是它们的端点组成的角是90度。
2.垂直平面：在空间几何中，如果一个平面与另一个平面相交，且它们相交的直线为垂直线，则这两个平面为垂直平面。
3.垂直向量：在向量的概念中，如果两个向量的点积为0，则这两个向量是垂直的。
4.垂直角：在直角坐标系中，如果两条线的斜率乘积为-1，则这两条线是垂直的，它们的夹角为90度。
二、垂直关系的性质1.垂直线段的性质：两条垂直线段的长度乘积等于它们的端点之间的距离的平方。
2.垂直平面的性质：两个垂直平面的法线向量互相垂直。
3.垂直角的性质：垂直角的度数为90度。
4.垂直向量的性质：如果两个向量垂直，则它们的点积为0。
5.坐标系中的垂直关系：在直角坐标系中，两条相交直线的斜率乘积为-1，即两条直线的斜率互为倒数。
三、垂直关系的相关定理1.垂直平分线定理：如果一条直线垂直于两条平行线，则它们的交点到两条平行线的距离相等。
2.垂直平分角定理：如果一条直线垂直于两条相交直线，并且把这两条相交直线的交点分成相等的两部分，则这条直线是这两条相交直线的平分线。
3.垂直高线定理：在直角三角形中，垂直于斜边的高线等于三角形两直角边之一的乘积除以斜边的长度。
4.垂直平方定理：在直角三角形中，斜边上任意一点到斜边的垂直高线和三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方。
5.垂直向量的判定定理：两个非零向量垂直的充分必要条件是它们的点积为0。
四、垂直关系的应用1.建筑领域：在建筑设计中，经常需要考虑建筑物的垂直关系，如墙壁、柱子、楼梯等的垂直度对建筑物的稳定性、美观性等有重要影响。
第一章第六节垂直关系的性质
§6.2垂直关系的性质【教材分析】本节课的教学内容是《数学必修2》第一章§6.2垂直关系的性质，本节课共一课时．本节课主要学习垂直关系的性质，包括“直线垂直于平面的性质和平面垂直于平面的性质”两部分内容，这是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点．学习的关键在于面面关系、线面关系和线线关系的转化，找出图形语言和符号语言之间的关系，利用已有的概念定理进行推理证明．本节课对直线垂直于平面和平面垂直于平面的性质定理不仅要求直观感知、操作确认，还要求逻辑上的严格证明，所以教师应当提供多样的变式练习，让学生体验综合的证明过程，掌握立体几何的学习方法，体会数学的严密性．【学情分析】在学习本节课之前，学生已学习了“空间中点、线、面的关系，平行关系的判定和性质，垂直关系的判定”，具备了对空间几何图形的想象能力和一定的逻辑推理能力．立体几何意在培养学生的抽象思维，而学生正处于形象思维到抽象思维的转化阶段，仍然需要从具体实际的材料来抽象出几何关系．所以本课需要借助生活中的实例，特别是长方体模型来猜想归纳、论证垂直关系的性质，我们要强调过程，不仅仅告诉学生是什么？还要告诉学生为什么是这样？防止按照套路照搬，不能真正培养起学生分析问题的能力．【教学目标】1．知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理的内容及其证明；（2）能运用性质定理证明一些简单命题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．2．过程与方法让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识．3．情感与态度通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力．【重点难点】本节课的重点是对直线垂直于平面和平面垂直于平面性质的理解以及三种数学语言的转换．本节课的难点是用综合法对几何命题的证明．【教学过程】一、回顾复习教师：前两节课我们学习了垂直关系的判定，其中有直线和平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定．回顾一下两者的定义和定理．学生：（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直．判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（2）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面相互垂直 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．教师：在平面内，如果两条直线同垂直于另外一条直线，那么这两条直线平行．那么，在空间中有相同或相似的结论吗？看下图两正方体，我们知道：直线a 和直线b 都垂直于平面α，这时，a ∥b ．那么一般地在空间中，也都有这样的性质吗？设计意图：回顾直线和平面及平面与平面垂直的定义和判定，利用平面中类似的定理进行迁移，探究新的性质定理，培养学生的迁移和探究的能力．二、直线垂直于平面的性质探究如图，若直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ?教师：若从正面去证明a ∥b ，则较困难．而利用反证法来完成此题，相对较为容易．那么如果从反面去证，需要做什么假设？ 图一图二学生：假设b 不平行于a教师：设o a b =⋂,过o 点做a 的平行线b '，因为a α⊥，所以也有b α⊥，这样过点o 有两条直线和平面垂直，矛盾．因此, a ∥b ．定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．（直线和平面垂直的性质定理）例3.如下图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，⊥PA 平面ABC ，A 在PC PB ，上的射影分别为E 和F ，求证：PB ⊥平面A FE ．图三提示：若直线l 垂直于平面α，则l 垂直于α上的任意直线．总结判定两直线平行的结论：（1）若a ∥b ，b ∥c ，就有a ∥c ．（2）若β∥γ，α∩β=a ，α∩γ=b ，则a ∥b ．设计意图：本性质的探究从定理的迁移猜想开始，利用长方体模型进行验证，再对其进行逻辑证明，证明用到了反证法，教师须注重培养学生反向思维论证的能力．三、平面垂直于平面的性质探究教师：在我们判定平面与平面垂直时知道“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．”即由线面垂直可以得到面面垂直．下面我们看一下由面面垂直可否得到线面垂直．也就是看“当平面βα⊥时，是否对于任意α⊂a ，都有β⊥a ”． 学生：不一定，比如长方体中，βα⊥，但α的对角线显然不垂直于β．教师：那α上满足什么条件的直线才垂直于β呢？请大家观察下图：图四可以看到βα⊥，α内的直线a 垂直于α和β的交线b ,这时β⊥a ．定理6.4 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．证明：如右图，在平面β内，过D 作AB DE ⊥，因为 AB CD ⊥，CD ⊂α，所以 ， CDE ∠是α-AB -β的平面角，又 α⊥β，所以CDE ∠ =90°．即，DE CD ⊥．又，AB β，DE β， 图五故， CD ⊥β．此命题就是面面垂直的性质定理．设计意图：由面面垂直的判定定理知可从线面垂直到面面垂直，现逆向分析，通过观察长方体推测面面垂直的性质，建立知识之间的连接，有利于知识体系化．此外，面面垂直的性质定理为判定和作出线面垂直提供依据．四、操作练习例4 如右图，长方体D C B A AB CD ''''-中，MN 在平面C B B C ''内，B C MN ⊥，判断MN 和AB 的关系，并说明理由．提示：利用平面垂直于平面的性质定理．1. 证明：垂直于同一平面的两平面是平行的．2. 三个两两垂直的平面的交线两两垂直． 图六3．已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，求证：l ⊥γ．（如果两相交面同时垂直于底面．则交线也垂直于该面．）证明：过l 上任一点P 作直线l '，使l '⊥γ， 由P ∈α，α⊥γ知l '⊂α同理可证l '⊂β． 因此，l '＝α∩β＝l ，l ⊥γ．（此题证明，采取的是同一法，作出直线l '，使之符合条件，使l 与l '重合．）设计意图: 教师提供相应的练习题以实现知识的迁移和论证思维的发展．l l '图七五、课堂小结知识内容：线面垂直的性质定理；面面垂直的性质定理．请指出下列转化的依据：线线垂直线面垂直面面垂直六、作业布置P 40第2题，B组第2题．【专家点评】本节课对直线垂直于平面和平面垂直于平面的性质定理不仅要求直观感知、操作确认，还要求逻辑上的严格证明，所以整节课以问题为驱动，以多样化的教学活动为中介，让学生在直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算、变式练习的过程中来体验综合的证明过程，掌握立体几何的学习方法，体会数学的严密性。
高中数学必修2课件：第一章 6 垂直关系的性质
预习课本P39～41，思考并完成以下问题
(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(2)面面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？
(3)应用面面垂直性质定理时应注意什么？
1．直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 平行 ． (2)图形语言：
[活学活用] 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足 为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB. 求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.同理l⊥EB. 又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a， 又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB. 由线面垂直的性质定理，得a∥l.
(1)如图，在菱形ABCD中， 连接BD， 由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)如图，连接PG. ∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD. 又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG. 而PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
面面垂直性质定理的应用
[典例] 已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平 面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
[证明]
如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD 平面PAC，且AD⊥PC， ∴AD⊥平面PBC， 又BC 平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC.BC 平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC 平面PAC，∴BC⊥AC.
平面几何中的垂直性质
平面几何中的垂直性质平面几何是研究平面上点、线、面等几何要素及它们之间相互关系的数学分支。
在平面几何中，垂直性质是其中一个重要的概念。
本文将介绍垂直性质的定义、性质以及常见的应用。
一、垂直性质的定义在平面几何中，垂直性质指的是两条线段、线或直线与平面之间的相互关系。
两条线段、线或直线如果相互之间成直角，则称它们是垂直的。
用符号"⊥"表示，例如AB ⊥ CD。
垂直性质是建立在直角的概念之上的，因此首先需要了解直角的性质。
在直角三角形中，直角是指两条边相互垂直的角，它的度数为90度。
二、垂直性质的性质1. 垂直性质是对称的。
如果AB ⊥ CD，则CD ⊥ AB。
即如果一条线段与另一条线段垂直，那么另一条线段也与第一条线段垂直。
2. 垂直性质可以传递。
如果AB ⊥CD且CD ⊥EF，则AB ⊥EF。
即如果两条线段或直线分别与第三条线段或直线垂直，那么它们之间也是垂直的。
3. 垂直性质与平行性质存在关系。
如果AB ⊥ CD且CD ∥ EF，则AB ⊥ EF。
即如果一条线段与一条直线垂直，另一条直线与第一条直线平行，那么第一条线段与第二条直线也是垂直的。
三、垂直性质的应用垂直性质在平面几何的各个领域广泛应用，以下将介绍几个常见的应用。
1. 垂直平分线在平面几何中，如果一条线段的中垂线与另一条线段相交于该线段的中点，则称该中垂线为垂直平分线。
垂直平分线具有将一个线段分成两个等分部分和垂直于线段的性质。
2. 垂直二分线在平面几何中，如果一条直线将另一条直线分成两个相等的部分，并且两条直线垂直交于分点，则称该直线为垂直二分线。
垂直二分线具有将一条直线分成两个相等部分和与原直线垂直的性质。
3. 切线与半径的垂直关系在圆的几何中，切线与半径垂直于圆的性质是十分重要的。
根据该性质，可以确定切线与半径的垂直关系，并且利用该性质可以解决与切线、半径有关的各种问题。
4. 垂直辅助线的应用在解决几何问题的过程中，常常需要引入一些辅助线来帮助解题。
直线与平面的垂直关系与判定
直线与平面的垂直关系与判定直线与平面的垂直关系一直是几何学中的重要概念。
在几何学中，垂直被定义为与直角（90度）相交或成直角的关系。
本文将探讨直线与平面垂直关系的性质，并介绍几种判定直线与平面垂直的方法。
一、直线与平面的垂直性质1. 定理1：如果一条直线与一个平面垂直，则与这条直线在同一平面内的另外一条直线也与这个平面垂直。
证明：首先，设一条直线L与一个平面P垂直。
在平面P内，我们可以找到另外一条直线M与直线L垂直。
如果我们在直线M上选取一点N，并以N为中心作一个圆，圆上的任意点都在平面P内。
因此，直线M上任意一点到平面P的距离都是相等的，即直线M与平面P垂直。
2. 定理2：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
证明：设一条直线L与平面P内的两条相交直线AB和CD垂直。
构造两个平面，一个是由直线L和线段AB所确定的平面，另一个是由直线L和线段CD所确定的平面。
这两个平面的交线就是直线L，因此，直线L与平面P的夹角为90度，即直线L与平面P垂直。
二、判定直线与平面垂直的方法1. 方法1：通过判定直线的方向向量与平面的法向量是否相互垂直来确定直线与平面的垂直关系。
- 若直线的方向向量与平面的法向量相互垂直，即两个向量的点积为0，则可以判定直线与平面垂直。
- 例如，给定直线L：(x,y,z) = (1+t, 2+2t, 3+3t)，平面P：2x + 4y + 6z = 10。
直线L的方向向量为(1, 2, 3)，平面P的法向量为(2, 4, 6)。
计算两个向量的点积(1*2 + 2*4 + 3*6)，得到的结果是20，不为0，所以直线L与平面P不垂直。
2. 方法2：通过判定直线上的一点到平面的距离是否为0来确定直线与平面的垂直关系。
- 若直线上的一点到平面的距离为0，则可以判定直线与平面垂直。
- 例如，给定直线L：(x,y,z) = (1+t, 2+2t, 3+3t)，平面P：x - 2y + z = 4。
空间几何中的垂直关系
空间几何中的垂直关系垂直关系是空间几何中的重要概念之一，它与直线和平面的相互关系密切相关。
本文将就空间几何中的垂直关系进行详细探讨。
一、垂直关系的定义和性质在空间几何中，我们称两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，当且仅当它们的夹角为90度（或称直角）。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系是相对的：两条直线或一个直线和一个平面相互垂直，可以理解为它们相互垂直的方向互为补角，即互为垂线。
2. 垂直关系具有传递性：如果直线AB垂直于直线BC，那么直线AB也将垂直于直线AC。
这个性质可以通过夹角定义和垂线的性质进行推导。
3. 平面与直线的垂直关系：当一条直线与一个平面垂直时，它与该平面的任意直线均垂直。
这一性质为建立空间几何中的垂直关系提供了便利。
4. 垂直关系与平行关系之间的关系：如果两个平面相互垂直，那么它们的任意一条公共直线与这两个平面都垂直；反之，如果两个平面的任意一条公共直线与这两个平面都垂直，那么这两个平面互相垂直。
二、垂直关系的应用垂直关系在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用场景：1. 建筑学中的垂直关系：在建筑设计与施工中，垂直关系是十分重要的，用来确保建筑结构的稳定和整体美观。
例如，墙面的垂直性要求、柱子与楼梯之间的垂直关系等都是基于几何理论的。
2. 地质学中的垂直关系：地层与地层之间的垂直关系是地质学家研究地壳演化和地层分析的基础。
通过研究地质层的垂直关系，可以推断出地层的变动和地质历史的变迁。
3. 数学建模中的垂直关系：在数学建模中，垂直关系被广泛应用于平面几何、三维几何以及向量分析等学科中。
它在描述和解决实际问题时，起到了重要的作用。
4. 导航和测量中的垂直关系：在导航和测量领域，垂直关系被用于确定方向、角度和高度。
例如，地球上的经线与纬线垂直相交，使得我们可以准确测量位置和方向。
三、总结空间几何中的垂直关系是一种重要的几何概念，它与直线和平面之间的关系密不可分。
直线与平面的垂直关系
直线与平面的垂直关系直线与平面的垂直关系是几何学中经常讨论的问题之一。
当一条直线与一个平面相交时，我们可以根据它们的特征以及定义来确定它们的垂直关系。
1. 定义与性质在几何学中，垂直是指两个物体或者两个对象之间的角度为90度的关系。
一个直线与一个平面垂直，意味着它们之间的夹角为90度。
2. 判断两条直线与平面的垂直关系要判断一条直线是否与一个平面垂直，我们可以利用以下几种方法：2.1 法向量判断法我们可以通过计算直线的方向向量和平面的法向量之间的点积是否为零来确定它们的垂直关系。
如果点积为零，则直线与平面垂直。
2.2 直线与平面的交点另一种方法是判断直线是否与平面上的一点相交。
如果直线与平面上的一点相交，并且该直线与平面上的两个相互垂直的向量成90度夹角，那么这条直线与平面垂直。
2.3 平面的法线向量如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则这条直线与平面垂直。
我们可以通过求直线的方向向量和平面的法向量的点积，若结果为零，则表明直线与平面垂直。
3. 直线与平面的垂直关系的应用3.1 解题技巧在解决几何问题时，判断直线与平面的垂直关系是一个常见的技巧。
通过确定直线与平面是否垂直，可以帮助我们得到其他线段、角度以及点的性质。
3.2 三维几何中的应用在三维几何中，直线与平面的垂直关系决定了直线是否穿过平面，以及直线和平面之间的夹角大小。
这对于解决三维空间中的问题非常重要。
4. 实际应用举例4.1 建筑设计在建筑设计中，直线与平面的垂直关系用来确定墙壁、楼板等结构元素的位置和角度，保证建筑的稳定性和美观性。
4.2 机械设计在机械设计中，直线与平面的垂直关系用于确定零件的相对位置和定位方式，保证机械装置的正常运行。
4.3 光学原理在光学中，直线与平面的垂直关系决定了光线的反射和折射方向。
光学设备的设计和使用都离不开对直线与平面垂直关系的理解。
结论：直线与平面的垂直关系在几何学中具有重要的意义。
通过判断直线与平面的垂直关系，我们可以解决各种几何问题，并应用于各个领域，如建筑设计、机械设计和光学原理等。
2.3垂直关系的判定与性质
C
【变式 3】 如图所示，PA⊥平面 ABC，PA＝ 2，AB＝1，BC ＝ 3，AC＝2， 求证：平面 PBC⊥平面 PAB.
B
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB 是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上 不同于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC.
P
C A O
B
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面 为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M 为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面 PCD.
P
F
E
D A M
B
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径， P C是圆周上不同于A，B的任 意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC C 又∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC, A BC平面ABC O ∴BC⊥平面PAC (2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
B
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
A
O
D
C
B
三.随堂练习：
1.如图，直四棱柱ABCD ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时AC B D ？
A D
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．
B
C
A D B
C
2. 在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
1.6.2 垂直关系的性质
1.6.2 垂直关系的性质导入新课大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土．一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？图2如图2，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱AA ′，BB ′，CC ′，DD ′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？新知探究提出问题①回忆空间两条直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系.④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行．它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法．②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面．图3③如图4，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱AA ′，BB ′，CC ′，DD ′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图4 图5棱AA ′，BB ′，CC ′，DD ′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间互相平行． ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行．直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒b ∥a . 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系．提出问题①如图6，若α⊥β，α∩β＝CD ，AB ⊂α，AB ⊥CD ，AB ∩CD ＝B .图6请同学们讨论直线AB 与平面β的位置关系．②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明．③设平面α⊥平面β，点P ∈α，P ∈a ，a ⊥β，请同学们讨论直线a 与平面α的关系． ④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点．⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀．活动：问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β的关系．问题②引导学生进行语言转换．问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a 与平面α的关系．问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点． 问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀．讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β垂直，如图6.②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面．两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图6.两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βAB ⊂αα∩β＝CD AB ⊥CD AB ∩CD ＝B ⇒AB ⊥β. 两个平面垂直的性质定理证明过程如下： 如图7，已知α⊥β，α∩β＝a ，AB ⊂α，AB ⊥a 于B . 求证：AB ⊥β.图7证明：在平面β内作BE ⊥CD 垂足为B ，则∠ABE 就是二面角αCD β的平面角． 由α⊥β，可知AB ⊥BE .又AB ⊥CD ，BE 与CD 是β内两条相交直线，∴AB ⊥β.③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．下面给出证明．如图8，已知α⊥β，P ∈α，P ∈a ，a ⊥β.求证：a ⊂α.图8证明：设α∩β＝c ，过点P 在平面α内作直线b ⊥c ，∵α⊥β，∴b ⊥β.而a ⊥β，P ∈a ，∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直，∴直线a 应与直线b 重合．那么a ⊂α. 利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点：一是作出符合题意的直线b ，不易想到；二是证明直线b 和直线a 重合，相对容易些．点P 的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上．④立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它．两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理．⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线．”应用示例例1 如图9，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，PA⊥平面ABC，A在PB，PC上的射影分别为E，F，求证：PB⊥平面AFE.图9证明：可以证明BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF.又AF⊥PC，PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC.从而AF⊥PB.又AE⊥PB，AF∩AE＝A，因此PB⊥平面AFE.变式训练如图10，已知直线a⊥b，b⊥α，a⊄α.求证：a∥α.图10证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a，b′作平面β，设α∩β＝a′，∵b′∥b，a⊥b，∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b，∴b′⊥α.又∵a′⊂α，∴b′⊥a′.由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.点评：反复使用线面垂直的性质定理和判定定理，是解决立体几何垂直问题的常用策略.例2 如图11，长方体ABCD—A′B′C′D′中，MN在平面BCC′B′内，MN⊥BC于M.判断MN与AB的位置关系，并说明理由．图11解：显然，平面BCC′B′⊥平面ABCD，交线为BC.因为MN在平面BCC′B′内，且MN⊥BC，所以MN⊥平面ABCD.从而MN⊥AB.变式训练如图12，已知平面α交平面β于直线a.α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.图12 图13证明：如图13，(1)设α∩γ＝AB，β∩γ＝AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.同理，PN⊥a.又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ.(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.同理，b∥a2.∵a1，a2同过Q且平行于b，∴a1，a2重合．又a1⊂α，a2⊂β，∴a1，a2都是α，β的交线，即都重合于a.∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.点评：面面垂直的性质定理的作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线．”课堂练习：P40知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等．思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题．课后作业：P41习题1—6 B组第2,3题．。
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D
E
B
C
定理: 垂直于同一个平面的两条直 线平行 (直线与平面垂直的性质定理)
ab α
a b
a
/
/b
理论迁移
例1 如图，已知 l,CA ,
于点A，CB
求证：a // l .
于点B，a
≠
,
a
AB,
C β
B
α
l
A
a
a b,b , a .
例2 如图，已知 a b,b , a .
两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，则在一个平面
内垂直交线的直线与另一个平面垂直.
α l
β
l
m
l
.
m
l m
结论1：如果两个平面互相垂直，那么经过 一个平面内一点且垂直于另一个平面的直 线，必在这个平面内.
α
A
B β
结论2：如果两个相交平面都垂直于另一个 平面，那么这两个平面的交线垂直于这个 平面.
求证：a //.
β
b
Aa
l
B α
例3 PA 如图，已知 PA 矩形ABCD所 在平面，M、N分别是AB、PC的中点 求证： （1）MN CD; （2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P
A
M B
E N
D
C
例 4、如图，正方体 A1B1C1D1-ABCD 中，EF 与异面 直线 AC、A1D 都垂直相交．求证：EF∥BD1.
l α
β γ
l
l
理论迁移
例1 如图，已知α⊥β，l⊥β，
l ，试判断直线l与平面α的位
置关系，并说明理由.
α a
β
ml
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩 形，AB=2，BC 2 ，侧面PAB是等边 三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. 证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
P
A