(浙江专用)高考数学第八章立体几何与空间向量5第5讲直线、平面垂直的判定及其性质高效演练分层突破

第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质[基础题组练]1．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为棱CD 的中点，则( ) A ．A 1E ⊥DC 1 B ．A 1E ⊥BD C ．A 1E ⊥BC 1D ．A 1E ⊥AC解析：选C.由正方体的性质，得A 1B 1⊥BC 1，B 1C ⊥BC 1，所以BC 1⊥平面A 1B 1CD ，又A 1E ⊂平面A 1B 1CD ，所以A 1E ⊥BC 1，故选C.2.如图，O 为正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是( )A ．A 1DB ．AA 1C ．A 1D 1D ．A 1C 1解析：选D.由题易知A 1C 1⊥平面BB 1D 1D .又B 1O ⊂平面BB 1D 1D ，所以A 1C 1⊥B 1O . 3．(2020·温州中学高三模考)如图，在三棱锥D ­ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BCDC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE D ．平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE解析：选C.因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理，DE ⊥AC ，由于DE ∩BE ＝E ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选C.4．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( )A.64 B.104 C.22D.32解析：选A.如图所示，取A 1C 1的中点D ，连接AD ，B 1D ，则可知B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以∠DAB 1即为直线AB 1与平面ACC 1A 1所成的角，不妨设正三棱柱的棱长为2，所以在Rt △AB 1D 中，sin ∠DAB 1＝B 1D AB 1＝322＝64，故选A.5．(2020·浙江省高中学科基础测试)在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，BA ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，PA ＝3，PA ⊥底面ABCD ，E 是棱PD 上异于P ，D 的动点，设PE ED＝m ，则“0<m <2”是“三棱锥C ­ABE 的体积不小于1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.过E 点作EH ⊥AD ，H 为垂足，则EH ⊥平面ABCD .因为V C ­ABE ＝V E ­ABC ，所以三棱锥C ­ABE 的体积为23EH .若三棱锥C ­ABE 的体积不小于1，则EH ≥32，又PA ＝3，所以PEED ＝m ≤1，故选B.6．(2019·高考浙江卷)设三棱锥V ­ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点(不含端点)．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P ­AC ­B 的平面角为γ，则( )A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β解析：选B.由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等，因为点P 是棱VA 上的点(不含端点)，所以直线PB 与平面ABC 所成的角β小于直线VB 与平面ABC 所成的角，而直线VB 与平面ABC 所成的角小于二面角P ­AC ­B 的平面角γ，所以β<γ；因为AC ⊂平面ABC ，所以直线PB 与直线AC 所成的角α大于直线PB 与平面ABC 所成的角β，即α>β.故选B.7.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．解析：作CH ⊥AB 于H ，连接PH .因为PC ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AB ，PH 为PM 的最小值，等于27.答案：278.如图所示，在四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两垂直，且BC ＝CD ＝1.直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，则线段AB 的长度为________．解析：如图，过点B 作BH ⊥AC ，垂足为点H ，连接DH .因为CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ，所以BH ⊥平面ACD . 所以∠BDH 为直线BD 与平面ACD 所成的角． 所以∠BDH ＝30°， 在Rt △BDH 中，BD ＝2， 所以BH ＝22. 又因为在Rt △BHC 中，BC ＝1， 所以∠BCH ＝45°.所以在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1. 答案：19．(2020·台州市书生中学月考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，PD ＝AD ＝DC ＝2AB ，则异面直线PC 与AB 所成角的大小为________；直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值为________．解析：因为AB ∥CD ，所以∠PCD 即为异面直线PC 与AB 所成的角，显然三角形PDC 为等腰直角三角形，所以∠PCD ＝π4.设AB ＝1，则可计算得，PB ＝3，而点B到平面PDC 的距离d 等于AD 的长为2，所以直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值为d PB ＝23.答案：π4 2310．(2020·浙江名校新高考联盟联考)如图，已知正四面体D ­ABC ，P 为线段AB 上的动点(端点除外)，则二面角D ­PC ­B 的平面角的余弦值的取值范围是________．解析：当点P 从A 运动到B ，二面角D ­PC ­B 的平面角逐渐增大，二面角D ­PC ­B 的平面角最小趋近于二面角D ­AC ­B 的平面角，最大趋近于二面角D ­BC ­A 的平面角的补角，故余弦值的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 11.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若PA ＝AC ，D 为PC 的中点．求证：PB ⊥AD . 证明：(1)设⊙O 所在的平面为α，由已知条件PA ⊥α，BC 在α内，所以PA ⊥BC . 因为点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，AB 是⊙O 的直径，所以∠BCA 是直角，即BC ⊥AC .又因为PA 与AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线，所以BC ⊥平面PAC . 又因为BC 在平面PBC 内， 所以平面PAC ⊥平面PBC .(2)因为PA ＝AC ，D 是PC 的中点，所以AD ⊥PC .由(1)知平面PAC ⊥平面PBC ，且平面PAC ∩平面PBC ＝PC . 因为AD ⊂平面PAC .所以AD ⊥平面PBC . 又PB ⊂平面PBC ，所以PB ⊥AD .12．(2020·浙江名校协作体高三质检)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ＝1，DA ＝2，DP ⊥平面ABP ，O ，M 分别是AD ，PB 的中点．(1)求证：PD ∥平面OCM ；(2)若AP 与平面PBD 所成的角为60°，求线段PB 的长． 解：(1)证明：设BD 交OC 于点N ，连接MN ，OB ， 因为O 为AD 的中点，AD ＝2，所以OA ＝OD ＝1＝BC . 又因为AD ∥BC ，所以四边形OBCD 为平行四边形，所以N 为BD 的中点，因为M 为PB 的中点，所以MN ∥PD .又因为MN ⊂平面OCM ，PD ⊄平面OCM ，所以PD ∥平面OCM . (2)由四边形OBCD 为平行四边形，知OB ＝CD ＝1， 所以△AOB 为等边三角形，所以∠A ＝60°， 所以BD ＝1＋4－2×1×2×12＝3，即AB 2＋BD 2＝AD 2，即AB ⊥BD .因为DP ⊥平面ABP ，所以AB ⊥PD . 又因为BD ∩PD ＝D ，所以AB ⊥平面BDP ，所以∠APB 为AP 与平面PBD 所成的角，即∠APB ＝60°， 所以PB ＝33. [综合题组练]1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，给出下列四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面BDF ⊥平面BCF ；④平面DCF ⊥平面BCF ，则上述结论可能正确的是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④解析：选B.对于①，因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交但不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立；对于②，设点D 在平面BCF 上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时就有BD ⊥FC ，而AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D 在平面BCF 上的射影P 落在BF 上时，DP ⊂平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，所以③正确；对于④，因为点D 在平面BCF 上的射影不可能在FC 上，所以④不成立．2．(2020·绍兴诸暨高考模拟)已知三棱锥A ­BCD 的所有棱长都相等，若AB 与平面α所成角等于π3，则平面ACD 与平面α所成角的正弦值的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－66，3＋66B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－66，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－36，22＋36 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－36，1 解析：选A.因为三棱锥A ­BCD 的所有棱长都相等， 所以三棱锥A ­BCD 为正四面体，如图：设正四面体的棱长为2，取CD 中点P ，连接AP ，BP ， 则∠BAP 为AB 与平面ADC 所成角．AP ＝BP ＝3，可得cos ∠BAP ＝33，sin ∠BAP ＝63. 设∠BAP ＝θ.当CD 与α平行且AB 在平面ACD 上面时，平面ACD 与平面α所成角的正弦值最小，为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝sin π3cos θ－cos π3sin θ＝32×33－12×63＝3－66；当CD 与α平行且AB 在平面ACD 下面时，平面ACD 与平面α所成角的正弦值最大，为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝sin π3cos θ＋cos π3sin θ＝32×33＋12×63＝3＋66， 所以平面ACD 与平面α所成角的正弦值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－66，3＋66.故选A.3．(2020·杭州市高三期末)在△ABC 中，∠ABC＝π3，边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，直线AB 与平面α所成角为θ.若平面ABC 与平面α所成的二面角为π3，则sin θ＝________．解析：过A 作AO ⊥α，垂足是O ，过O 作OD ⊥BC ，交BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，所以∠ADO 是平面ABC 与平面α所成的二面角，即∠ADO ＝π3，∠ABO 是直线AB 与平面α所成的角，即∠ABO ＝θ，设AO ＝3， 所以AD ＝2，在Rt △ADB 中， ∠ABD ＝π3，所以AB ＝2sinπ3＝433，所以sin θ＝AO AB ＝3433＝34.答案：344．(2020·浙江“七彩阳光”新高考联盟联考)已知直角三角形ABC 的两条直角边AC ＝2，BC ＝3，P 为斜边AB 上一点，沿CP 将此三角形折成直二面角A ­CP ­B ，此时二面角P ­AC ­B 的正切值为2，则翻折后AB 的长为________．解析：如图，在平面PCB 内过P 点作直二面角A ­CP ­B 的棱CP 的垂线交边BC 于点E, 则EP ⊥平面ACP .于是在平面PAC 中过P 作二面角P ­AC ­B 的棱AC 的垂线，垂足为D ，连接DE ，则∠PDE 为二面角P ­AC ­B 的平面角，且tan ∠PDE ＝EPPD＝2，设DP ＝a ，则EP ＝2a .如图，设∠BCP ＝α，则∠ACP ＝90°－α，则在直角三角形DPC 中，PC ＝a sin （90°－α）＝a cos α，又在直角三角形PCE 中，tan α＝PEPC，则acos α·tan α＝2a，sin α＝2cos2α，所以α＝45°，因为二面角A­CP­B为直二面角，所以cos∠ACB＝cos∠ACP·cos∠BCP，于是AC2＋BC2－AB22·AC·BC＝cos∠ACP·sin∠ACP＝12，解得AB＝7.答案：75．(2020·浙江名校模拟)如图，在四棱锥E­ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AD＝ED＝3，EC＝2.(1)证明：AB⊥平面BCE；(2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．解：(1)证明：因为∠DAB＝∠ABC＝90°，所以四边形ABCD是直角梯形，因为AB＝BC＝1，AD＝ED＝3，EC＝2.所以CD＝12＋（3－1）2＝5，所以CE2＋DC2＝DE2，所以EC⊥CD，因为平面EDC⊥平面ABCD，平面EDC∩平面ABCD＝DC，所以CE⊥平面ABCD，所以CE⊥AB，又AB⊥BC，BC∩CE＝C，所以AB⊥平面BCE.(2)过A作AH⊥DC，交DC于点H，则AH⊥平面DCE，连接EH，则∠AEH是直线AE与平面DCE所成的角，因为12×DC×AH＝AD＋BC2×AB－12×AB×BC，所以AH＝12×（3＋1）×1－12×1×112×5＝355，AE＝AB2＋（CE2＋BC2）＝6，所以sin∠AEH＝3010，所以直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值为3010.6．(2020·鲁迅中学高考方向性测试)四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，E 为AB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为64. (1)在棱PD 上求一点F ，使AF ∥平面PEC ； (2)求二面角D ­PE ­A 的余弦值．解：(1)分别取PD ，PC 的中点F ，G ，连接AF ，FG ，GE ， 则FG ∥CD ∥AB ，FG ＝ 12CD ＝12AB ＝AE ， 所以四边形AEGF 为平行四边形， 所以AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ， 所以AF ∥平面PEC ， 所以PD 的中点F 即为所求．(2)易知，∠CPE 即为PC 与平面PAB 所成的角， 在Rt △PEC 中，CE CP＝64，即33＋1＋PA2＝64， 解得PA ＝2，过D 作BA 的垂线，垂足为H ，过H 作PE 的垂线，垂足为K ，连接KD ， 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥DH ，又DH ⊥BA ，所以DH ⊥平面PBA ， 所以DH ⊥PE ，所以PE ⊥平面DHK ，所以PE ⊥DK ， 所以∠DKH 即为所求的二面角的平面角， 在Rt △DHK 中，DH ＝3， 由于PE ·HK ＝EH ·PA ，所以HK ＝EH ·PA PE ＝45， 从而DK ＝3＋165＝315， 所以cos ∠DKH ＝HK DK ＝43131，即二面角D ­PE ­A 的余弦值为43131.。