17春秋华师《初等数论》在线作业
初等数论第二次作业参考答案
初等数论第二次作业参考答案
填空题
1．9除28的商是 3 。
2．11除23的余数是 1 。
3．6的正因数是 1,2,3,6 。
4．{4.5}= 0.5 。
5．[8.3] +[-8.3] = -1 。
6．30的最小质因数是 2 。
7．在所有质数中，是偶数的是 2 。
8．在所有质数中，最小的奇质数是 3 。
9．大于4小于16的素数有___5,7,1,1,13__ ____。
10．不定方程c by ax =+有整数解的充分必要条件是 (a ,b )|c 。
11．模5的最小非负完全剩余系是 0,1,2,3,4 。
12．模4的绝对最小完全剩余系是 -1,0,1,2 。
13．5555的个位数是 5 。
14．77的个位数是_______ 3 ________。
15．316的十进位表示中的个位数字是 1 。
16．66的个位数是 6 。
17．710被11除的余数是 1 。
18．（1516，600）= 4 。
19．6的所有正因数的和是 12 _。
20．24与60的最大公因数是 12 。
21．35的最小质因数是 5 。
22．46的个位数是 6 。
23．8的所有正因数的和是 15 _。
24．18的标准分解式为 23218⨯= 。
25．20的欧拉函数值)20(ϕ= 8 。
20春华师《初等数论》在线作业2
C: 1,2,3,4,5
D: 0,1,2,3,4
正确答案: D
(单选题)14: 30！的标准分解式中，3的最高幂指数为（ ）
A: 12
B: 13
C: 14
D: 15
正确答案: C
(单选题)15: 设n，m为整数，如果3|n,3|m，则9（ ）nm
A: 整除
B: 不整除
D: 12
正确答案: C
(单选题)8: 如果b|a，a|b，则（ ）
A: a=b
B: a=-b
C: a < b
D: a=±b
正确答案: D
(单选题)9: (12345,678)=( ).
A: 3
B: 7
C: 9
D: 11
正确答案: A
(单选题)10: 120以内仅有10个正约数的自然数有（ ）个
C: 同余式5x≡13(mod43)有唯一解x=37
D: 同余式3x≡9(mod15)无解
正确答案: C
(单选题)19: 下列说法错误的是（ ）
A: 101是合数
B: 素数有无限多个
C: 奇数一定能表示为两平方数之差
D: 两个连续自然数互质
正确答案: A
(单选题)20: 不定方程525x+231y=210（ ）
A: n=5+7k,k是整数
B: n被7整除余5
C: n-5被7整除
D: n-7被5整除
正确答案: D
(单选题)5: 24871与3468的最大公因数是（ ）
A: 11
B: 13
C: 17
D: 19
正确答案: C
(单选题)6: 下列关于质数、合数的说法，正确的是（ ）
初等数论练习题一（含答案）
初等数论练习题⼀（含答案）《初等数论》期末练习⼆⼀、单项选择题1、=),0(b （）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a +3、⼩于30的素数的个数（）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定⽅程210231525=+y x （）.A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最⼤公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、⼤于20且⼩于40的素数有（）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最⼩⾮负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定⽅程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B ⽆解C ⽆法确定D 有⽆限个解⼆、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环⼩数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( )n ，⽽且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?2、求解不定⽅程2537107=+y x .（8分）3、求??563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定⽅程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平⽅剩余与平⽅⾮剩余.四、证明题1、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、⼀个能表成两个平⽅数和的数与⼀个平⽅数的乘积,仍然是两个平⽅数的和;两个能表成两个平⽅数和的数的乘积,也是⼀个两个平⽅数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习⼆答案⼀、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B⼆、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环⼩数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( 3 ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( 不⼤于 )n ，⽽且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（⼗进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871?=5073684 所以24871与3468的最⼩公倍数是5073684。
19秋华师《初等数论》在线作业 辅导资料
A.错误
B.正确
答：B
7.若a≡b(mod m)，则a^2≡b^2(mod m^2).
A.错误
B.正确
答：A
8.如果两个整数互相整除，则这两个数仅相差一个符号.
A.错误
B.正确
答：A
9.设p是素数，若p|ab，则p|a且p|b.
A.错误
B.正确
答：A
10.如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.
A.错误
B.正确
答：B
D. 2，3，5，7，12，13，15，17
答：B
8.整数6的正约数的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答：D
9.下列各组数哪一组是模8的完全剩余系（）.
A. 1,3,5,7,9,11,13,15
B. 2,4,6,8,17,21,23
C. -7,-12,-17,-22,-27,-32,-37,-42
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华师《初等数论》在线作业
一、单选题（共20道试题，共60分。）
1.同余方程58x≡87(mod47)的解为（）.
A. x≡25(mod47)
B. x≡29(mod47)
C. x≡35(mod47)
D. x≡37(mod47)
D. –2,–7,11,15,18,21,24,27
答：C
10.同余方程6x≡18(mod3)解的个数为（）.
A. 1个解
B. 2个解
C. 3个解
D. 4个解
答：C
11.同余方程3x≡6(mod12)解的个数为（）.
19春福师《初等数论》在线作业一
(单选题)1: 被3除余1，被5除余4，被11除余5的最小正整数一定处于（）的区间A: [10,20]B: [20,30]C: [30,40]D: [40,50]标准解答:(单选题)2: 。
A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)3: p为素数是2^(2^p)+1为素数的（）A: 充分条件B: 必要条件C: 充要条件D: 既非充分也非必要条件标准解答:(单选题)4: 题见图片A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)5: 恰有10个正约数的最小正整数是（）A: 24B: 48C: 96D: 162标准解答:(单选题)6: 题见图片A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)7: 题见图片A: AC: CD: D标准解答:(单选题)8: k是正整数，则k^2+k+1（）完全平方数A: 一定是B: 一定不是C: 有可能是有可能不是D: 无法判断标准解答:(单选题)9: 。
A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)10: 题见图片A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)11: p为素数是2^p-1为素数的（）A: 充分条件B: 必要条件C: 充要条件D: 既非充分也非必要条件标准解答:(单选题)12: 100!最高能被45的（）次幂整除A: 20B: 23C: 24D: 48标准解答:(单选题)13: 题见图片A: AB: BC: C标准解答:(单选题)14: 。
A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)15: a,b大于1且互素，则不定方程ax-by=ab的正整数解的个数是（）A: 0B: 1C: 2D: 无穷标准解答:(单选题)16: 9x-11y=100的正整数解的个数是（）A: 0B: 1C: 2D: 无穷标准解答:(单选题)17: 9x+11y=99的正整数解的个数是（）A: 0B: 1C: 2D: 无穷标准解答:(单选题)18: 题见图片A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)19: 题见图片A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)20: 题见图片 A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)21: 9x+11y=100的正整数解的个数是（）A: 0B: 1C: 2D: 无穷标准解答:(单选题)22: 整数p,q互素，则p+q一定与（）互素A: p-qB: p*qC: p^2+q^2D: p!+q!标准解答:(单选题)23: 题见图片A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)24: 。
《初等数论》习题集及答案
《初等数论》习题集第1章 第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
华师17春秋学期竞赛数学在线作业
华师《竞赛数学》在线作业一、单项选择题（共30道试题，共60分。
）V1.有5今日文书，7本英文书，10本中文书，从中取两本不同文字的书，有几种方案（）。
2.不定方程x^3+y^3=1072的所有正整数解为（）。
=9,y=7=7,y=9C.选项A和B都是正整数解D.无正整数解3.某三位数，个位不为1，十位不为2，百位不为3，且三个数字均不相等，那么这种三位数的个数为（）。
4.已知△ABC的内切圆恰好将它的中线AM分成三等分，那么BC:CA:AB=（）。
：3：5：3：5：1：1：5：135.函数f是概念在正整数有序对的集合上，并知足：f(x,x)=x；f(x,y)=f(y,x)；(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)，那么f(14,52)=（）。
6.在小于1000的正整数中，既不能被5整除也不能被7整除的数有多少个（）。
7.考虑平面上的正方形，它的四个极点对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x^4+px^3+qx^2+rx+s=0的四个根，那么该正方形面积的最小值为（）。
8.设x,y为实数，且知足两个方程：(x-1)^3+1997(x-1)=-1；(y-1)^3+1997(y-1)=1,那么x+y=（）。
9.假设2^n-1为7的倍数，那么正整数n（）。
+1D.任意正整数10.概念域为正整数的分段函数f(n)知足：当n≥1000时，f(n)=n-3；当n<1000时，f(n)=f(f(n+7))，那么f(90)=（）。
≥5是素数，且2p+1也是素数，那么4p+1为（）。
A.质数B.素数C.合数D.无法判定12.方程2x1+x2+x3+…+x10=3有多少个非负整数解（）。
^2005被17除的余数为（）。
14.函数方程f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy的解为（）。
(x)=acosx(x)=bsinx(x)=acosx+bsinx(x)=acos2x+bsin2x（a,b均为任意常数）15.已知四边形ABCD中，∠ABD=∠ADB=15°,∠CBD=45°,∠CDB=30°,那么△ABC为（）。
《初等数论》习题集40813
《初等数论》习题集40813《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
初等数论作业答案
初等数论1：[单选题]已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）。
A：0B：2C：5D：9参考答案：C2：[单选题]下面的（）是模4的一个简化剩余系。
A：4,17B：1,15C：3,23D：13,6参考答案：B3：[单选题]小于20的正素数的个数是（）。
A：11B：10C：9D：8参考答案：D 4：[单选题]下面的数是3的倍数的数是（）。
A：19B：119C：1119D：11119参考答案：C5：[单选题]-4除-39的余数是（）。
A：3B：2C：1D：0参考答案：C6：[单选题]一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n 是（）。
A：1110B：1101C：1011D：1001参考答案：A7：[单选题][[4.5]+[3.7]]等于（）。
A：3B：4C：7D：8参考答案：C8：[单选题]{{1.8}+{2.9}}等于（）。
A：0.4B：0.5C：0.6D：0.7参考答案：D 9：[单选题]100与44的最小公倍数是（）。
A：4400B：2200C：1100D：440参考答案：C10：[单选题]使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。
A：6B：2C：3D：13参考答案：A11：[单选题]设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。
A：0B：1C：2D：3参考答案：A12：[单选题]下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。
A：x=0,y=3B：x=2,y=1C：x=4,y=2D：x=2,y=2参考答案：D13：[单选题]下面的（）是模4的一个完全剩余系。
A：9，17，-5，-1B：25，27，13，-1C：0，1，6，7D：1，-1，2，-2参考答案：C14：[单选题]下面的（）是模12的一个简化剩余系。
A：0，1，5，11B：25，27，13，-1C：1，5，7，11D：1，-1，2，-2参考答案：C15：[单选题]若a，b均为偶数，则a + b为（）。
《初等数论》版习题解答
《初等数论》版习题解答第⼀章整数的可除性§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3定理3 若12n a a a ，，，都是m 得倍数，12n q q q ，，，是任意n 个整数，则1122n n q a q a q a +++是m 得倍数．证明：12,,n a a a 都是m 的倍数。
∴存在n 个整数12,,n p p p 使 1122,,,n n a p m a p m a p m ===⼜12,,,n q q q 是任意n 个整数1122n nq a q a q a ∴+++1122n n q p m q p m q p m =+++1122()n n p q q p q p m =+++即1122n n q a q a q a +++是m 的整数2．证明 3|(1)(21)n n n ++ 证明(1)(21)(1)(2n n n n n n n ++=+++-(1)(2)(1)(n n n n n n =+++-+ ⼜(1)(2)n n n ++，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n ∴+++-+从⽽可知3|(1)(21)n n n ++3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最⼩整数，则00()|()ax by ax by ++．证：,a b 不全为0,x y Z ?∈，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最⼩整数知0r =00|ax by ax by ∴++00|ax by ax by ++ （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b ∴++ 00|(,).ax by a b ∴+ ⼜有(,)|a b a ，(,)|a b b 00(,)|a b ax by ∴+故00(,)ax by a b +=4．若a ，b 是任意⼆整数，且0b ≠，证明：存在两个整数s ，t 使得||,||2b a bs t t =+≤成⽴，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯⼀存在的．当b 是偶数时结果如何？证：作序列33,,,,0,,,,2222b b b bb b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在⼀个整数q ，使122q q b a b +≤<成⽴ ()i 当q 为偶数时，若0.b >则令,22q qs t a bs a b ==-=-，则有 02222b q q qa bs t ab a b b t ≤-==-=-<∴<若0b < 则令,22q qs t a bs a b =-=-=+，则同样有2b t <()ii 当q 为奇数时，若0b >则令11,22q q s t a bs a b ++==-=-，则有1102222b b q q t a bs a b a b t ++-≤=-=-=-<∴≤ 若 0b <，则令11,22q q s t a bs a b ++=-下证唯⼀性当b 为奇数时，设11a bs t bs t =+=+则11()t t b s s b -=-> ⽽111,22b bt t t t t t b ≤≤∴-≤+≤ ⽭盾故11,s s t t == 当b 为偶数时，,s t 不唯⼀，举例如下：此时2b为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t ?=?+=?+-=≤§2 最⼤公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同．证：设d '是a ，b 的任⼀公因数，∴d '|a ，d '|b 由带余除法111222111111,,,,,0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b---++-=+=+=+==≤<<<<∴(,)n a b r =∴d '|1a bq -1r =， d '|122b r q r -=，┄, d '|21(,)n n n n r r q r a b --=+=,即d '是(,)a b 的因数。
初等数论练习题二(含答案)
四、证明题
1、证明对于任意整数,数是整数. (10分)
证明 因为==,
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,
并且(2,3)=1,
所以从和有,
即是整数.
பைடு நூலகம்
-----（1分）
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分） 证明 因为,
所以只需证明. 而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成, 所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1，7，1，19，7. 对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以 所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
三、计算题 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程. 3、解同余式. 4、求,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=? 6、求解不定方程. 7、解同余式. 8、求17的平方剩余与平方非剩余.
四、证明题 1、证明对于任意整数,数是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和. 4、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数. 5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.
《初等数论》期末练习一
一、单项选择题 1、如果，，则( ). A BCD 2、如果，，则15（ ）. A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果,是任意整数,则 A BCD 5、如果( ),则不定方程有解. ABCD 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果，，则30（ ）. A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 8、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 9、模5的最小非负完全剩余系是( ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被( )整除. A3 B5 C7 D9
初等数论作业3-第二章
初等数论作业3-第二章
姓名：成绩：亳州师专《初等数论》自考助学作业《初等数论》作业题3（第二章）
第二章复习要点：
1. 用辗转相除法解二元（三元）不定方程. ★
2. 不定方程ax+by=c有整数解?(a,b)|c.
3. 不定方程ax+by+cz=d有整数解?(a,b,c)|d.
4. (P25)定理1,一切解：x=x0-b1t, y=y0+a1t. t∈Z.
第二章作业题：
一、填空题
1. 不定方程2x+3y=1有一组解为x=2, y=-1, 则所有整数解为 .
二、解答题
1. 求不定方程17x+40y=28的所有整数解.
2. 求不定方程21x+35y=98的所有整数解.
3.(P31)求不定方程15x+25y=100的所有整数解.
4. (P31) 求不定方程306x-360y=630的所有整数解.
5. (P31)把100分成两份，使一份可被7整除，一份可被11整除.
6. (P34)把17/60写成分母为两两互质的三个既约分数之和.。
《初等数论》各章习题参考解答
《初等数论》各章习题参考解答第一章习题参考解答1.解:因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是，所以满足条件的最小正整数11111111100a =。
2.解：3在100!的分解式中的指数()1001001001003100!33113148392781⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 在100!的分解式中的指数()1001001001001002100!50251261942481664⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴ ()9448474847100!2343123,,61k k k k =⋅⋅=⋅⋅=⋅=。
故 max 47n =，min 3M k =，(),61k =。
故 当M 最小值是3的倍数，但不是2的倍数。
3.解：112121n n n n x x ++++++等价于()()21221n n n x x x ++-+-，从而3x ³（n 就不会太大，存在反向关系）。
由()()22121n nn x x x -+-?+，得()()2212n n n x x -+?，即()()()121122nn x x -+?。
若2n ³，则()()()()251221114242nn x xx x-?+??，导致25140x x -+?，无解。
所以，只有1n =，335314x x x +-?，只能是37,14x +=，从而4,11x =。
综上所述，所求正整数对()()(),4,111,1x n =、。
4.解：按题意，2m n >>，记*,m n k k N =+?；则()222211111n n k nk n k k a a a a a a a a a a a a +++-+-?-+--++-22211111n k k n k k a a a a a a a a a ++?---+?-+-，故 存在无穷多个正整数a 满足2111n k k a a a a ++-+-。
《初等数论》作业.
《初等数论》作业.《初等数论》作业第⼀次作业：⼀、单项选择题1、=),0(b （）. A b B b - C b D 02、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）. A a B b C 1 D b a +4、⼩于30的素数的个数（）. A 10 B 9 C 8 D 75、⼤于10且⼩于30的素数有（）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不⼀定 7、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C ⽆限多D 不⼀定⼆、计算题1、求24871与3468的最⼤公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=? 三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 3、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第⼆次作业⼀、单项选择题1、如果( A ),则不定⽅程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(2、不定⽅程210231525=+y x （A ）.A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解⼆、求解不定⽅程 1、144219=+y x .解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原⽅程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。
初等数论作业(3)答案
第三次作业答案：一、选择题1、整数5874192能被( B )整除.A 3B 3与9C 9D 3或92、整数637693能被(C )整除.A 3B 5C 7D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,44、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ）A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x .解 因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)44(mod 715≡x .我们再解不定方程74415=-y x ,得到一解(21,7).于是定理4.1中的210=x .因此同余式的3个解为)132(mod 21≡x ,)132(mod 65)132(mod 313221≡+≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡⨯+≡x .（2）)45(mod 01512≡+x解 因为(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的100=x .因此同余式的3个解为)45(mod 10≡x ,)45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 345210≡⨯+≡x .（3）)321(m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)107(mod 2537≡x .我们再解不定方程2510737=+y x ,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的80-=x .因此同余式的3个解为)321(mod 8-≡x ,)321(mod 99)321(mod 33218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 332128≡⨯+-≡x .（4）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为).494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡x（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)三、证明题1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.因为10≡0(mod5), 所以我们得到)5(mod 0a a ≡所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .证明 因为)3(mod 12-≡,所以)3(mod 1)1(12+-≡+n n .于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .从而有)3(mod 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .。
华师《初等数论》在线作业-00021E00465A-12
B:正确
答案：B
－11,-4,18,20,32是模5的一个完全剩余系.
A:错误
B:正确
答案：B
同余式x^2≡438(mod593)无解.
A:错误
B:正确
答案：B
大于3的任意两素数的平方差是24的倍数.
A:错误
B:正确
答案：B
B:（12，15）不整除7
C:7不整除（12，15）
D:7不整除[12，15]
答案：B
取1元、2元、5元的硬币共10枚，付出18元，有（ ）种不同的付法
A:1
B:2
C:3
D:4
答案：C
（54,198）=（ ）
A:3
B:6
C:9
D:18
答案：D
若6k+5对模4与7同余，则数k满足关系式（ ）
A:k=1
华师《初等数论》在线作业-0002
设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（ ）
A:0
B:1
C:2
D:3
答案：A
下列方程哪个无整数解（ ）
A:16x-37y=7
B:3x+6y-12=0
C:2x+6y-1=4
D:5x+6y=52
答案：C
如果（a,b)=1，则(ab,a+b)=（ ）
B:k≡1(mod4)
C:k=1+7t (t∈Z)
D:k=5
答案：B
(12345,678)=( ).
A:3
B:7
C:9
D:11
答案：A
如果b|a，a|c，则（ ）
A:b=c
B:b=-c
华师《初等数论》在线作业-0003.BA51D0E4-74F8-4C
417被-15除的带余除法表达式是（ ）
A:417 = (-15)(-30)-33
B:417 = (-15)(-26)+27
C:417 = (-15)(-28)+(-3)
D:417 = (-15)(-27)+12
答案：D
如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（ ）
A:奇数
A:错误
B:正确
答案：B
50!中2的指数是46.
A:错误
B:正确
答案：A
奇数一定能表示为两平方数之差.
A:错误
B:正确
答案：B
若(n,p)=1, n是模p的二次剩余的充要条件是n^(p-1/2)≡-1(mod p).（^表示上标)
A:错误
B:正确
答案：A
A:38
B:48
C:58
D:68
答案：C
（1/5）=（ ）
A:-1
B:0
C:1
D:2
答案：C
设n，m为整数，如果3|n,3|m，则9（ ）nm
A:整除
B:不整除
C:等于
D:小于
答案：A
如果（a,b)=1，则(ab,a+b)=（ ）
A:a
B:b
C:1
D:a+b
答案：C
1050与858的最大公因数是（ ）
A:错误
B:正确
答案：B
同余式28x≡21(mod 35)有7个解.
A:错误
B:正确
答案：B
a,b的公倍数是它们的最小公倍数的倍数.
A:错误
B:正确
答案：B
若a≡b(mod m)，则a^2≡b^2(mod m^2).
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B.正确
正确答案：
7. -8是模53的平方剩余.
A.错误
B.正确
正确答案：
8.如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.
A.错误
B.正确
正确答案：
9.存在无穷多个形如4n-1的素数.
A.错误
B.正确
正确答案：
10.形如3n-1的数不是平方数.
A.错误
B.正确
正确答案：
A. 48
B. 49
C. 50
D. 51
正确答案：
9. 20!的标准分解式中5的指数为（）.
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
正确答案：
10.因为（），所以不定方程12x+15y=7没有整数解。
A. [12，15]不整除7
B.（12，15）不整除7
C. 7不整除（12，15）
D. 7不整除[12，15]
正确答案：
11.如果3|n，5|n，则15（）n
A.整除
B.不整除
C.等于
D.不一定整除
正确答案：
12. 9x-11y=100的正整数解的个数是（）.
A. 0BLeabharlann 1C. 2D. 3
正确答案：
13.小于30的素数的个数为（）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
正确答案：
14.已知2x+3≡5(mod7),则x≡（）(mod7)
3.下列表述中与n≡5 (mod7)不等价的是（）
A. n=5+7k,k是整数
B. n被7整除余5
C. n-5被7整除
D. n-7被5整除
正确答案：
4.下列说法错误的是（）
A. 101是合数
B.素数有无限多个
C.奇数一定能表示为两平方数之差
D.两个连续自然数互质
正确答案：
5. (12345,678)=( ).
A.错误
B.正确
正确答案：
3. 2x+6y-1=4有整数解.
A.错误
B.正确
正确答案：
4.模9的最小非负完全剩余系0,1,2,3,4,5,6,7,8.
A.错误
B.正确
正确答案：
5.模7的最小非负完全剩余系是0、1、2、3、4、5、6.
A.错误
B.正确
正确答案：
6.若x通过模m的完全剩余系,则x+b(b是整数)通过模m的完全剩余系.
A. 120
B. 130
C. 140
D. 150
正确答案：
18.如果a≡b(modm),c是任意整数，则（）
A. ac≡cb(modm)
B. a=b
C. a=c
D. a≡bc(modm)
正确答案：
19. 47的50次方的个位数为（）.
A. 1
B. 3
C. 7
D. 9
正确答案：
20.同余方程58x≡87(mod47)的解为（）.
华师《初等数论》在线作业
一、单选题（共20道试题，共60分。）
1.设n，m为整数，如果3|n,3|m，则9（）nm
A.整除
B.不整除
C.等于
D.小于
正确答案：
2.一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n是（）
A. 1110
B. 1101
C. 1011
D. 1001
正确答案：
A. x≡25(mod47)
B. x≡29(mod47)
C. x≡35(mod47)
D. x≡37(mod47)
正确答案：
华师《初等数论》在线作业
二、判断题（共10道试题，共40分。）
1.同余方程4x^2+27x-9≡0(mod15)有两个解.
A.错误
B.正确
正确答案：
2. 200到500的整数中7的倍数的个数为43
A. 3
B. 7
C. 9
D. 11
正确答案：
6.模4的最小非负完全剩余系是（）
A. -2,-1,0,1
B. -4,-3,-2,-1
C. 1,2,3,4
D. 0,1,2,3
正确答案：
7. 1050与858的最大公因数是（）
A. 2
B. 3
C. 6
D. 12
正确答案：
8.从236到781的整数中是11倍数的整数个数为（）.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
正确答案：
15.同余方程8x≡9(mod11)解为（）.
A. x≡6(mod11)
B. x≡7(mod11)
C. x≡8(mod11)
D. x≡9(mod11)
正确答案：
16. 1001！中末尾0的个数为（）
A. 200
B. 238
C. 248
D. 249
正确答案：
17.能被4,5,7整除的最小的正整数是（）.