2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系——上课用

[拓展3]若E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，
CD，DA上的中点，且AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH
为 正方形 . (你会证明吗？不妨一试)
A
H E
D G
B
F
C
二.讲授新课—3.空间等角定理
思考：在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
公理4 1.文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
2.数学符号语言：设空间中的三条直线分别为a, b, c,
若 a∥b
a∥c
c∥b
3.作用：判断空间两条直线平行.
4.实质:平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
二.讲授新课—2.平行公理
例1.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形. NhomakorabeaA
H
E
D G
B
F
C
二.讲授新课—2.平行公理
说明：空间四边形：如图，顺次连接不共面的四点A，B， C，D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C，B与D的连线AC，
BD叫做这个空间四边形的对角线.
B
D
C
二.讲授新课—2.平行公理
例1.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
C
A
B
两条直线 既不平行 也不相交
二.讲授新课—1.空间两直线的位置关系
m
P l′ l
图1
m m′
图2
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平
行、空间中两直线之间的这种关系称为异面直线.
二.讲授新课—1.空间两直线的位置关系
1.异面直线的定义：
我们把不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直 线.（既不相交也不平行的两条直线）
[拓展1]若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC， CD，DA上的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH为 菱形 .
(你会证明吗？不妨一试)
A
H
E
D G
B
F
C
二.讲授新课—2.平行公理
例1.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
二.讲授新课—2.平行公理
思考：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线 平行，那么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似 的规律？
如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中, BB′∥AA′,
DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行吗?
D'
C'
BB′与DD′平行
A' D
A
B' C
B
二.讲授新课—2.平行公理
二.讲授新课—1.空间两直线的位置关系
练习3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判 断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是____平__行__； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是____异__面__； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是____相__交__； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是____异__面__．
二.讲授新课—1.空间两直线的位置关系
小结：空间两条直线的位置关系 ①从有无公共点的角度
有且仅有一个公共点——相交直线
没有公共点—— ②从是否共面的角度
平行直线 异面直线
不同在任何一个平面内——异面直线
在同一平面内——
相交直线 平行直线
二.讲授新课—1.空间两直线的位置关系
练习1.判断： (1)下图中的直线m和l是异面直线吗?
A
B
C
D
F
E
2.定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别
平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
二.讲授新课—4.两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点 O，过O点分别作 a、b的平行线 a′和 b′， 则这两条线 所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角.
注意: 分别在某两个平 面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能 相交,也可能平行.
注：概念应理解为:
“经过这两条直线无法作出一个平面” .
或 “不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．
二.讲授新课—1.空间两直线的位置关系
2.异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个 平面内的特点
证明：连接BD. 因为 EH是△ABD的中位线， 所以EH∥BD,且EH=1 BD. 同理，FG∥BD，且2FG=1 BD.
2 因为EH∥FG，且EH =FG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
A
H
E
D G
B
F
C
二.讲授新课—2.平行公理
例1.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
b a′ ？ OP a
”.在空间中,结论是否仍然成立呢? 观察思考：如图,∠ADC与∠A′D′C′，∠ABC与
∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系 如何？
∠ADC与∠A′D′C′相等， ∠ABC与∠A′B′C′相等.
二.讲授新课—3.空间等角定理
1.空间等角定理 ：空间中如果两个角的两边分别对应
平行，那么这两个角相等或互补.
[拓展2]若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，
CD，DA上的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH为 矩形 .
(你会证明吗？不妨一试)
A
H
E
D G
B
F
C
二.讲授新课—2.平行公理
例1.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
2.1.2 空间中直线与直线之间
的位置关系
教学目标：
1.理解空间两直线的位置关系，并掌握异面直线的定义.（重点） 2.掌握平行公理、等角定理及其推论，并会应用它们去解决简单 问题.（重点） 3.理解异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角. （难点）
一.新课导入
立交桥
一.新课导入
六角螺母
D
m
β
m
l
α
l
不是
是
(2)
,则 a与b是异面直线. 错
(3)a,b不同在平面α内,则a与b是异面直线. 错
二.讲授新课—1.空间两直线的位置关系
练习2.下图是一个正方体的展开图，如果将它还原 成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是 异面直线的有几对？
CA
G DB
HE F
解：三对 AB与CD AB与GH EF与GH