等腰三角形和等腰梯形
等腰三角形的性质和判定的综合题目
-鼓励学生在课后继续思考、探索联系观点的内涵，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本章节的学习内容，培养学生的理论联系实际能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合本节课所学的联系观点，选取一个生活中的实例，分析其中包含的联系特征及其影养学生合作、探究的学习能力，提高学生在案例分析中运用联系观点分析问题的能力。
-引导学生运用比较法、分析法等学习方法，深入挖掘联系现象背后的本质规律。
3.情感态度与价值观方面的重难点：
-培养学生对联系观点的认同，使学生认识到联系是事物发展的内在规律，树立正确的价值观。
-增强学生的社会责任感，培养学生关注社会、关注生活的态度。
3.强化实践环节，引导学生关注现实生活中的联系现象，提高学生理论联系实际的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识与技能方面的重难点：
-理解联系的普遍性、多样性、条件性等特征，并能运用联系的观点分析实际问题。
-掌握联系的方法论，学会从联系的角度认识问题、分析问题，提高解决问题的能力。
2.过程与方法方面的重难点：
5.观察日记：要求学生观察身边的事物和现象，运用联系观点进行分析，记录在日记中。持续一周，每天至少记录一个实例，并写出自己的思考。
6.课后实践：鼓励学生参加社会实践活动，将所学联系观点运用到实际中，如参与环保活动、社区服务等。要求学生撰写实践报告，不少于1000字，内容需包括实践过程、联系观点的应用及收获。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以现实生活中的实例导入新课，如“互联网的发展与人们生活的联系”、“环境保护与经济发展的联系”等，引发学生对联系概念的思考。
等腰梯形角的特点_概述及解释说明
等腰梯形角的特点概述及解释说明1. 引言1.1 概述等腰梯形是一种具有特殊性质的四边形，其两个非平行边长度相等。
在几何学中，等腰梯形是一个重要的研究对象，它具有许多特点和应用。
了解等腰梯形角的特点对于我们理解几何学的基本原理以及在实际问题中的应用具有重要意义。
1.2 文章结构本文将从概述、定义和分类、特点的解释说明以及应用场景等方面进行论述。
首先将简要介绍什么是等腰梯形以及它的性质，然后详细讲解等腰梯形角的大小关系、几何解释以及与其他角度的关系。
接着，我们将通过实例分析等腰梯形角在建筑工程、几何推导和图像处理中的应用场景。
最后对文章进行总结并展望未来等腰三角形研究的方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍等腰梯形角的特点，并探讨其在实际应用中所起到的重要作用。
通过对等腰梯形角进行深入剖析，读者将更好地理解等腰梯形的性质和几何运算规律，从而为解决实际问题提供有益的参考和思路。
同时，本文还将展望未来等腰三角形研究的发展方向，为相关领域的学术研究提供一些启示和指导。
2. 等腰梯形角的特点2.1 什么是等腰梯形等腰梯形是一种四边形，其两组相邻边平行且非等长，且对角线不相交。
具体而言，顶底两边平行，而侧边则不平行。
此外，它还满足两组对应线段等长的条件。
2.2 等腰梯形的性质等腰梯形具有以下几个性质：- 对角线互相垂直：等腰梯形的对角线彼此垂直。
即通过连接边中点的对角线互相垂直。
- 中位线平行：连接等腰梯形两组相邻边中点的中位线是平行于底边和顶边的。
- 高度相等：通过顶点与底边垂直连接得到的高度长度在同一个等腰梯形中是相等的。
2.3 等腰梯形角的分类及定义根据其位置和性质，等腰梯形可以分为以下几种类型：- 顶角（顶部内角）：位于顶部内侧，由两条非平行边之间所夹成。
- 底角（底部内角）：位于底部内侧，由两条非平行边之间所夹成。
- 外角：位于顶部外侧或底部外侧，由一条内边与其相邻的一条外边之间所夹成。
这些角度拥有各自的定义和特点，并且在等腰梯形的性质理解和解决问题过程中起到重要的作用。
等腰梯形的性质及证明
等腰梯形的性质及证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边腰长相等。
在这篇文章中，我们将讨论等腰梯形的性质以及如何证明这些性质。
首先，我们来看一下等腰梯形的定义。
1.基角：等腰梯形的两个底边之间的角被称为基角。
2.腰角：等腰梯形的两个腰边与底边之间的角被称为腰角。
3.顶角：等腰梯形的两个腰边之间的角被称为顶角。
现在，我们来讨论等腰梯形的性质：性质1：等腰梯形的两个底边平行。
证明：我们可以利用反证法来证明这个性质。
假设等腰梯形的两个底边不平行，那么根据平行线的性质，腰边与底边之间的对应角也不相等。
这与等腰梯形的定义相矛盾，因此我们可以得出结论：等腰梯形的两个底边平行。
性质2：等腰梯形的两个腰边相等。
证明：我们可以利用切线与弦的性质来证明这个性质。
首先，我们将等腰梯形的两个腰边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与底边相交。
然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。
根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的顶角时，这两个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的两个腰边相等。
性质3：等腰梯形的基角相等。
证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。
首先，我们将等腰梯形的两个底边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与腰边相交。
然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。
根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的腰角时，这两个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的基角相等。
性质4：等腰梯形的对角线互相垂直。
证明：我们可以利用直角三角形的性质来证明这个性质。
首先，我们可以通过等腰梯形的两个腰边延长线的交点连接两个顶角，形成一个直角三角形。
根据直角三角形的性质，直角三角形的两条边互相垂直。
因此，我们可以得出结论：等腰梯形的对角线互相垂直。
性质5：等腰梯形的对边相等。
证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。
轴对称图形有哪些
轴对称图形有哪些
轴对称图形有:正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形.
1、正方形:是特殊的平行四边形,两组对边分别平行且相等;四条边都相等;对角线互相垂直平分;具有不稳定性(易变形);
2、长方形:有一个角是直角的平行四边形叫做长方形;两条对角线相等;对边平行且相等;具有稳定性;
3、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;顶角是直角;底边上的高等于腰上的高;等腰三角形的性质:两条边相等的三角形是等边三角形;等腰三角形的判定:在同一个三角形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等;
4、等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形;
5、等腰梯形:有一个角是直角的梯形叫做等腰梯形;等腰梯形的判定:在同一个梯形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等;
6、菱形:具有一个角为直角的平行四边形叫做菱形;
7、圆:圆是一种特殊的平行四边形,它的定义域是所有的实数;
8、扇形:由圆心角的角度和弧度决定的图形叫做扇形;
9、圆锥:由圆锥面、底面圆和母线组成的几何体叫做圆锥;10、球:在地球表面,由坚硬的岩石组成的天然形体叫做球;11、椭圆:定义:过焦点的圆叫做椭圆;12、双曲线:定义:过焦点的双曲线;13、抛物线:定义:与x 轴有两个交点的曲线叫做抛物线;14、直线:无限长的,平行于x 轴y 轴的线段叫做。
等腰梯形的性质与判定
等腰梯形的性质与判定等腰梯形是指具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
在几何学中，等腰梯形是一种特殊的多边形，具有一些独特的性质和判定方法。
本文将探讨等腰梯形的性质以及如何判定一个四边形是否为等腰梯形。
一、等腰梯形的性质1.等腰梯形的两底角相等：等腰梯形的两底角（非对顶角）相等。
证明如下：连接等腰梯形的两个非平行边，可以得到两个全等的三角形，根据三角形的性质可知，两个三角形的对应角相等，因此两底角相等。
2.等腰梯形的对顶角互补：等腰梯形的两对顶角互补（角的和为180度）。
证明如下：连接等腰梯形的两个对角，可以得到两个对顶的全等三角形，根据全等三角形的性质可知，两个对顶角互补。
3.等腰梯形的对边平行：等腰梯形的两条对边平行。
证明如下：连接等腰梯形的两个对顶点和两个底边的中点，可以得到一对全等的三角形和一对等腰三角形。
根据全等三角形的性质可知，两个底边的中点连线平行于顶点连线，即证得两对边平行。
二、判定一个四边形是否为等腰梯形1.判定条件一：两底边相等且两腰边相等。
如果一个四边形的两条底边相等且两条腰边相等，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的定义，即两组对边相等。
2.判定条件二：两底角相等。
如果一个四边形的两个底角相等，那么这个四边形可能是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即两底角相等。
但需要注意的是，仅满足该条件并不能确定一个四边形为等腰梯形，因为它可能是其他类型的四边形，如矩形或平行四边形。
3.判定条件三：对角线平分一个角。
如果一个四边形的对角线能够平分其中一个角，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即对角线平分一个角。
总结起来，判定一个四边形为等腰梯形的充分条件是：两底边相等且两腰边相等，或者两底角相等，或者对角线能够平分一个角。
但需要注意的是，这些条件并不一定都是必要条件，因为其他类型的四边形也可能满足这些条件。
结论等腰梯形是具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
梯形的变形公式
1、周长公式
梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：
等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+c+2b 。
2、面积公式
梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：
变形：h=2S÷（a+c）；变形2：a=2s÷h-c；变形3：c=2s÷h-a。
梯形中平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。
一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。
等腰梯形是一种特殊的梯形，其判定方法与等腰三角形判定方法类似。
扩展资料
特殊梯形
1、等腰梯形
定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（isosceles trapezium ）
性质：等腰梯形的两条腰相等；等腰梯形在同一底上的两个底角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）；等腰梯形的两条对角线相等。
2、直角梯形
定义：一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
性质：直角梯形其中1个角是直角；有一定的稳定性，但弱于非直角梯形。
等腰梯形的性质
等腰梯形的性质等腰梯形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍等腰梯形的定义、性质和应用。
1. 定义等腰梯形是指具有两条平行边，并且两个非平行边的边长相等的四边形。
其中，两条平行边称为底边，两个非平行边称为腰，而腰之间的距离称为高。
2. 性质（1）底边平行：等腰梯形的底边是平行的，即两条底边之间的距离保持相等。
（2）腰相等：等腰梯形的两个非平行边的边长相等。
（3）底角相等：等腰梯形的两个底角是相等的。
这是因为当两个边长相等时，根据等腰三角形的性质可知，其对应的角度也是相等的。
（4）顶角补角相等：等腰梯形的两个顶角的补角也相等。
即相等角和它们的补角和等于180度。
（5）对角和相等：等腰梯形的对角和（顶角和底角的合）是固定的，等于360度。
3. 应用等腰梯形在几何中有着广泛的应用，以下将介绍一些常见的应用场景。
（1）计算面积：等腰梯形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式为：面积 = （底边1 + 底边2）×高 ÷ 2。
这个公式是由梯形面积公式演变而来，由于等腰梯形的两条底边相等，所以可以简化计算。
（2）建筑设计：在建筑设计中，等腰梯形常用于楼梯的设计。
楼梯的横截面通常为等腰梯形，以确保上下楼层之间的坡度和台阶高度相等。
（3）几何推理：在几何证明中，等腰梯形常用作基本图形之一。
通过研究等腰梯形的性质，可以推导出其他形状的性质和定理，进而解决更复杂的几何问题。
（4）解题方法：在解决数学题目时，等腰梯形常作为一种解题方法。
通过将题目中的形状转化为等腰梯形，并利用等腰梯形的性质，可以简化问题，更便于求解。
综上所述，等腰梯形是一种具有特定性质和特点的四边形。
通过了解等腰梯形的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一几何形状。
无论是在几何研究、建筑设计还是数学解题中，等腰梯形都发挥着重要的作用。
等腰三角形性质
等腰三角形性质等腰三角形是初中数学中一个重要的概念，它具有许多特点和性质。
在本文中，我将为大家详细介绍等腰三角形的性质，并通过具体的例子来加深理解。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
它的性质有以下几点：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等。
这是等腰三角形的最基本性质之一。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
根据定义，我们可以得出∠B=∠C。
这个性质可以通过实际测量角度来验证。
2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（即顶点的角）平分底边。
这意味着顶角的两个角度与底边的两个角度相等。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
根据定义，我们可以得出∠A=∠B=∠C。
这个性质可以通过实际测量角度来验证。
3. 等腰三角形的高线：等腰三角形的高线是从顶点到底边中点的线段，它与底边垂直。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
我们可以通过实际绘制图形来验证高线的垂直性。
二、等腰三角形的应用等腰三角形的性质在数学中有广泛的应用。
下面，我将介绍一些常见的应用情况。
1. 判定等腰三角形：当我们遇到一个三角形，需要判断它是否为等腰三角形时，可以利用等腰三角形的性质进行判断。
例如，我们可以考虑一个三角形ABC，其中AB=AC。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠A=∠B=∠C，从而判定这个三角形为等腰三角形。
2. 求等腰三角形的面积：当给定等腰三角形的底边长度和高线长度时，我们可以利用等腰三角形的性质求解其面积。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，高线AD与底边BC垂直，且AD=h。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出BC=2AD。
因此，等腰三角形的面积S=1/2×BC×h=AD×h。
三、等腰三角形的拓展等腰三角形的性质还可以进一步拓展到其他几何概念中。
1. 等腰梯形：等腰梯形是指两边平行且等长的梯形。
等腰梯形知识点总结
等腰梯形知识点总结一、定义等腰梯形是一个四边形，它具有两组对边相等的性质。
具体地说，等腰梯形的两条底边和两条斜边都是相等的。
这意味着等腰梯形的上底和下底、左斜边和右斜边是相等的。
二、性质1. 对边性质：等腰梯形的两组对边是相等的，即上底等于下底，左斜边等于右斜边。
2. 对角性质：等腰梯形的对角线交点平分底边。
3. 对角线性质：等腰梯形的对角线长度相等。
三、面积等腰梯形的面积可以通过以下公式来计算：\[ S = \frac{(a + b) \times h} {2} \]其中，a和b分别表示上底和下底的长度，h表示等腰梯形的高。
四、周长等腰梯形的周长可以通过以下公式来计算：\[ C = a + b + 2l \]其中，a和b分别表示上底和下底的长度，l表示等腰梯形的斜边的长度。
五、性质证明1. 等腰梯形的对角线性质证明：等腰梯形的两对角线相等。
我们可以证明这一性质，从而利用等腰三角形的性质来得证。
证明：连接等腰梯形上底和下底的中点，可以得到两个等腰三角形。
因为等腰三角形的性质是两个底角相等，所以等腰梯形的两对角线相等。
2. 等腰梯形的面积计算证明：等腰梯形的面积可以通过将其视为一个矩形和两个直角三角形的和来进行计算。
具体来说，我们可以将等腰梯形的上底和下底之和视为矩形的长度，高为等腰梯形的高；而等腰梯形的底边与高构成两个直角三角形，通过计算这两个直角三角形的面积并加上矩形的面积，就可以得到等腰梯形的面积。
六、应用等腰梯形在现实生活中有许多应用。
例如，等腰梯形的性质常常用于建筑和工程设计中，用来计算各种结构的面积和周长。
此外，等腰梯形的性质还可以在数学题中用来解决各种几何问题。
七、总结等腰梯形是一个重要的几何概念，具有多种性质和应用。
通过本文的介绍，我们可以了解到等腰梯形的定义、性质、面积和周长的计算方法，以及它在现实生活中的应用。
掌握了这些知识，我们可以更好地理解和运用等腰梯形的概念，在解决各种数学问题和实际应用中发挥作用。
等腰三角形
等腰三角形知识要点1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，又叫正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
2、等腰三角形的性质：（1）、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（2）、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
（3）、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
（4）、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
（5）、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
（6）、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
（7）、等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
3、等腰三角形的判定：（1）、在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。
（2）、在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
4、等边三角形的性质：⑴、等边三角形的三边都相等，内角都相等、且均为60度。
⑵、等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
⑶、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
5、等边三角形的判定：⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形(有两个角等于60度的三角形是等边三角形)。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
6、含30°角的直角三角形的重要结论：30°角所对的直角边是斜边的一半。
7、常做辅助线的方法：“遇到等腰常做高.角平分线，中线。
或者或者构造等腰三角形。
”遇到中线常延长中线，构造全等三角形。
遇到线段和差，常截取线段等于已知线段。
构造等腰三角形例题：1.（1）已知等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为9cm，求它的周长；（2）在等腰三角形中，一条边长为4cm，另一条边长为5cm，求它的周长。
等腰梯形怎么画
等腰梯形怎么画
方法一：先画等腰三角形用平行于底边直线截等腰三角形腰构四边形等腰梯形
方法二：画好下底边与两个腰。
过底边的两个端点做底边的两条垂线。
同时偏移两条垂线相同的距离，让这两条垂线的距离等于上底边。
连接两条垂线与腰的交点。
多余的线用修剪或者删除。
这就是你想要的梯形了。
方法三：1、先画一正方形，2、在一条边上左右两边端点各画一条延长等距线段A和B 3、在对面的线上的另两个端点与新的线段的两个端点A和B连线。
人教版八年级数学上册说课稿13.3等腰三角形
人教版八年级数学上册说课稿13.3 等腰三角形一. 教材分析等腰三角形是八年级数学上册第十三章《三角形》的一个小节，本节内容主要让学生掌握等腰三角形的性质，并能运用等腰三角形的性质解决一些实际问题。
在教材中，通过引入等腰三角形的定义，让学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，探究等腰三角形的性质，从而培养学生的动手操作能力和探究能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了三角形的概念、性质和分类，对三角形有了一定的了解。
但等腰三角形作为一种特殊的三角形，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会引导学生运用已学的知识，通过观察、操作、猜想、验证等方法，探究等腰三角形的性质，从而加深学生对三角形知识的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握等腰三角形的性质，并能运用等腰三角形的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的动手操作能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在探究等腰三角形性质的过程中，体验到数学的乐趣，增强对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质。
2.教学难点：如何引导学生运用已学的知识，通过观察、操作、猜想、验证等方法，探究等腰三角形的性质。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、小组合作法等。
2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的相关知识，引出等腰三角形的概念。
2.探究等腰三角形的性质：（1）让学生观察等腰三角形的模型，引导学生发现等腰三角形的两腰相等。
（2）让学生用几何画板画出一个等腰三角形，并测量其角度，引导学生发现等腰三角形的底角相等。
（3）让学生分组讨论，总结等腰三角形的性质，并展示成果。
3.验证等腰三角形的性质：（1）让学生运用已学的知识，通过观察、操作、猜想、验证等方法，探究等腰三角形的性质。
（2）教师引导学生进行总结，得出等腰三角形的性质。
轴对称重点和难点
轴对称图形主要内容：轴对称与轴对称图形、轴对称的性质、设计轴对称图案、线段、角的轴对称性、等腰三角形的轴对称性、等腰梯形的轴对称性。
重点：垂直平分线、角平分线、等腰三角形（直角三角形、等边三角形）的性质、等腰梯形的常用辅助线；难点是如何灵活应用所学知识解决问题。
难点：通过具体的轴对称图形实例,让学生经历观察、比较、分析等数学活动,从而让学生认识轴对称图形,知道轴对称与轴对称图形之间的区别,而后通过线段与角、等腰三角形、等腰梯形等轴对称图形加深对轴对称图形的理解。
变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。
等腰三角形和等腰梯形
学员编号：年级：初一课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题等腰三角形和等腰梯形授课日期及时段年月日1、认识等腰三角形和等腰梯形的性质教学目的2、学会判断等腰三角形和等腰梯形教学内容等腰三角形的轴对称性知识点一等腰三角形的性质（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴（2）等腰三角形的两个底角相等（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）例1 填写下表文字语言图形语言符号语言在△ABC中，因为AB=AC所以在△ABC中，AB=AC若，那么AD⊥BC，BD=CD若，那么∠BAD=∠CAD，AD⊥BC若，那么∠BAD=∠CAD，BD=CD知识点二等腰三角形的判定（1）两边相等的三角形是等腰三角形（2）若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等例2 在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，试判断△ABC是什么三角形？知识点三直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，那么CD= ，理由是知识点四等边三角形定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形性质：（1）等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴（2）等边三角形每个角等于60°判定：（1）三个角相等的三角形是等边三角形（2）两个角等于60°的三角形是等边三角形（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形例4 如图，△ABC为等边三角形（1）AB= = ，∠B= = = ；（2）试画出它的对称轴典型例题一图形的识别例1 如图，△ABC中，AB=AC，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB.过点O作DE∥BC分别交AB、AC于点E、D.试写出图中所有的等腰三角形，并任选一个说明理由二运用性质解题例2 如图，△ABC中，AB=AC，DE为AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点D，若∠A=40°，求∠DBC的度数例3 如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE.试说明AH=2BD例4 如图，AD、BE是△ABC的高，F为DE中点，G是AB的中点，试说明GF⊥DE本节中的数学思想方法例5 有一个等腰三角形，一个角为50°，求其余两个角的度数例6 有一个等腰三角形，其中一个角是另一个角的4倍，求这个三角形的三个内角综合型试题例7 如图，等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm，（1）求BE的长（2）试说明BD=ED例8 如图，等腰Rt△ABC，∠A=90°，CD平分∠ACB。
说课稿人教版数学八年级上册《等腰三角形》
《等腰三角形》各位评委老师：大家好！我是应聘初中数学01号考生，今天我抽到的说课题目是等腰三角形。
下面我将从说教材、说学情、说教法、说学法、说教学程序和板书设计这六个方面展开。
接下来开始我的说课。
一、说教材等腰三角形是人教版八年级上册第十二章第三节《等腰三角形》第一课时。
本节内容学习是在理解了轴对称以及了解了全等三角形的判定的基础上实行的所以具有一定的知识积累，。
通过对本节内容等腰三角形的“等边对等角”和“等腰三角形的三线合一”的性质等知识的学习。
为今后学习等边三角形和等腰梯形等知识打下基础，所以本节课无论是在本章教学中，还是初中数学教学中都占有非常重要的位置。
基于以上对教材地位和作用的分析，依照《新课程标准》的教学要求，结合教材和学生的年龄特点，确定本节课的三维教学目标如下：知识技能：能够探究，归纳，验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质。
过程与方法：通过实践，观察，证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理水平和演绎推理水平。
通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察，分析，归纳问题的水平。
情感、态度与价值观：引导学生对图像的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在使用数学知识解答问题的活动中获取成功的喜悦，建立学习的自信心。
通过对数学课程标准理解及对教材分析的基础上，在新课改理念的指导下，我确立了如下教学重点、难点重点：掌握等腰三角形的性质并能使用该性质解决一些实际问题。
难点：理解等腰三角形性质的证明的过程。
二、说学情现代教育理论强调：“任何教学活动都必须以满足学习者的需要为出发点和落脚点。
”新课程标准也强调“数学教育要面向全体学生”，接下来我对学情实行分析。
这是八年级的课程，处在该年级的学生在生理上的特点是，学生的思维逐步由具体形象思维向抽象逻辑思维转变，观察水平，抽象水平和想象水平也随着迅速度完成长。
通过前面的学习，学生已具备一些分析问题、解决问题的水平，这些都是我在教学中较为注意的地方。
初中数学《等腰三角形的性质及应用》单元教学设计以及思维导图
等腰三角形的性质及应用适用年初中二年级级所需时2课时间主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500) 《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。
安排在轴对称图形的认识之后，明确了等腰三角形的性质与轴对称图形的联系，起到承上启下的作用。
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的重要的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛，为进一步学习等边三角形、等腰梯形、平行四边形等知识打下重要的基础。
本单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，其中等腰三角形的性质和判定是重点、难点内容，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据。
在本主题单元设计中，我设计成两个专题。
专题一，等腰三角形的性质及应用，通过学生实际画图操作、总结得出等腰三角形的性质，理解、掌握等腰三角形中“等边对等角”、“三线合一”等性质，应用其性质解决简单的题目；专题二，等腰三角形的判定及应用，通过实例，让学生思考交流救牛船同时到达出事地点的条件，从而得出等腰三角形的判定方法。
重点是等腰三角形的性质的探索及应用。
让学生通过动手操作、独立思考、主题单元规划思维导图主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1、探究等腰三角形的性质及判定定理。
2、等腰三角形性质的应用。
过程与方法：1、通过学生自己动手剪等腰三角形，根据剪出来的图形折叠探索等腰三角形的性质。
2、通过实际例子（海上救牛船救援事例），探索等腰三角形的判定。
情感态度与价值观：1、通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯。
2、通过对等腰三角形的判定定理的探究，让学生体会探究、交流、合作学习的乐趣，通过对性质、判定定理的应用，进一步加深认识理解，培养学生分析、解决实际问题的能力。
第4讲 等腰三角形
第4讲 等腰三角形考点·方法·破译 1．等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）2．等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．3．构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形 ⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形 ⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形21321(4)(3)(2)(1)经典·考题·赏析【例１】 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为________________.【解法指导】 若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三角形内的情况．解：如图1，当一腰上的高在三角形内时，∠ACD ＝400，∴∠A ＝500 ∴∠B ＝∠ACB ＝如图2，当一腰上的高在三角形外时，∠ACD ＝400，∠DAC ＝500∴∠DAC ＝∠B ＋∠ACB ＝2∠B ∴∠B ＝∠ACB ＝250，故填650或250.C AD BACD B图2图1【变式题组】01．（呼和浩特）在等腰⊿ABC 中，AB ＝AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A .7B .11C .7或11D ．7或1002.（黄冈）在⊿ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为500，则∠B ＝___________度．03.（襄樊）在⊿ABC 中，AB ＝AC ＝12cm ，BC ＝6cm ,D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动．设运动时间为t ，那么当t ＝_________秒时，过D 、P 两点的直线将⊿ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【例２】 如图，在⊿ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，AD ＝BD ＝BC ，求∠A 的度数．【解法指导】 图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数．解：设∠A ＝x ,CABD∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，∵AB＝AC，∴∠ C＝∠ABC＝2x，∵在△ABC中, ∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，∴∠A＝36°．【变式题组】01．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度数．02．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ ED＝EA，求∠A的大小．【例３】已知坐标原点O和点A（2，－2），B是坐标轴上的一点．若⊿AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有（）个A．4 B．5 C．6 D．8A BCDPE【解法指导】 ⊿AOB 是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种情况进行说明①AO ＝OB ,②OA ＝AB ,③BA ＝BO ,又∵B 是坐标轴上的点．要考虑x 轴与y 轴两种情况．解：①如图1，当OA 是底边时，B 在OA 的中垂线上，又B 在坐标轴上，因而B 是OA 中垂线与坐标轴的交点；②如图2，当OA 为腰时，若O 为顶点，则B 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，又B 在坐标轴上，因而B 是圆与坐标轴的交点；③如图3，当OA 为腰时，若A 为顶点，则B 在以A 为圆心，OA 为半径的圆上，又B 在坐标轴上，因而B 是圆与坐标轴的交点.故选D .【变式题组】01．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy 内，已知A （3，－3），点P 是y 轴上一点，则使⊿AOP 为等腰三角形的点P 共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个02．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1，0),点B 的坐标是（0，），点C在坐标平面内．若以A 、B 、C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C 有_________个．图3图2图1第2题图第3题图第4题图03.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上一点，∠BEG＞600，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片中的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．104．（济南）如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝，点E 是折线段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例４】 （枣庄）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．【解法指导】 判断⊿MEC 为等腰直角三角形，M 为直角顶点，即想证∠EMC ＝900，而⊿ABD 为等腰三角形，M 是BD 的中点，若连接AM 则有∠AMD ＝900,因而只需证∠DME ＝∠AMC ,利用全等三角形即可．解：EMC △的形状是等腰直角三角形，理由如下： 连接AM ，由题意得： 90DE AC DAE BAC =+=︒，∠∠． 90DAB ∴=︒∠． 又DM MB =，1452MA DB DM MAD MAB ∴====︒，∠∠．1059M D EM A C D M A ∴==︒=︒，∠∠∠．E D M C A ∴△≌△．DME AMC EM MC ∴==，∠∠．又90DME EMA +=︒∠∠，A CBMDE(例4题90EMA AMC ∴+=︒∠∠． C M E M ∴⊥．所以ECM △的形状是等腰直角三角形． 【变式题组】01．如图，在等腰直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 的中点,以P 为直角顶点的两边分别与边AB 、AC 交于点E 、F ，当∠EPF 绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，⊿PEF 也始终是等腰三角形，请你说明理由．02．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝900，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ． ⑴求证：AD ⊥CF ;⑵连接AF ，试判断⊿ACF 的形状，并说明理由．03．如图，⊿ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ,CO 为中线．现将一直角三角板顶点放在点O 上并绕点O 旋转，若三角板的两直角边分别交AC 、CB 的延长线于点G 、H ．⑴试写出图中除AC ＝BC ,OA ＝OB ＝OC 外其他所有相等的线段；⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．【例５】 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； ⑵如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；⑶在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．【解法指导】 证明两条线段相等时，若两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相等．若两条线段在不同的三角形中，则证它们所在的两个三角形全等，若三角形不全等，即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题．解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等⑵答：与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ），四边形DBCE 是等对边四边形； ⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ．证法一：如图1，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于∵∠DCB ＝∠EBC ＝∠A ，BC 为公共边， ∴△BCF ≌△CBG ， ∴BF ＝CG ，D图1∵∠BDF ＝∠ABE ＋∠EBC ＋∠DCB ，∠BEC ＝∠ABE ＋∠A ， ∴∠BDF ＝∠BEC ， 可证△BDF ≌△CEG ， ∴BD ＝CE∴四边形DBCE 是等边四边形．证法二：如图2，以C 为顶点作∠FCB ＝∠DBC ，CF 交BE 于F 点． ∵∠DCB ＝∠EBC ＝∠A ，BC 为公共边，∴△BDC ≌△CFB ，∴BD ＝CF ，∠BDC ＝∠CFB ， ∴∠ADC ＝∠CFE ，∵∠ADC ＝∠DCB ＋∠EBC ＋∠ABE ，∠FEC ＝∠A ＋∠ABE ， ∴∠ADC ＝∠FEC ， ∴∠FEC ＝∠CFE ， ∴CF ＝CE ，∴BD ＝CE ， ∴四边形DBCE 是等边四边形． 【变式题组】01．如图，在ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 为∠BAC 的平分线．求证：AC ＝AB ＋BD .02．(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠BAD ＝1050，∠ABC ＝∠ADC ＝450，若AB ＝2，求CD 的长．DEF图203．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD＝CF．求证DE＝EF.【变式题组】01．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．200B．1200C．200或1200D．360002．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（）A．9 B．15 C．15 D．12或1503.（云南）如图，等腰ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为（）A．13 B．14 C．15 D．1604．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A ＝180，则∠GEF的度数是（）A．800B．900C．1000D．108005．如图，Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B.CH＝CE＝EF C.CH＝HD D.AC＝AF06．如图，ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（）A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．①07.（武汉）如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC , ∠ABC ＝∠ADC ＝700,则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（ ）A ．700B ．1100C ．1400D ．150008．（滨州）已知等腰ABC 的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是__________. 09．如图所示，在ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝360，BC ＝2，BD 是ABC 的角平分线，则AD ＝___________.10．(威海)如图，AB ＝AC ，BD ＝BC ,若∠A ＝400，则∠ABD 的度数是_________. 11．(乌鲁木齐) 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形．请你已知：求证：AED△是等腰三角形． 证明：C12．（泰安） 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；⑵证明：DC BE ⊥．13.（包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．⑴如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？⑵若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？图图EQ C14.（临沂）如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =∠，把一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转． ⑴在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ． ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．F1F图2E图3B培优升级·奥赛检测01．如图，∠BAC 与∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ,PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，下列结论：①GA ＝GP ;②③BP 垂直平分CE ；④FP ＝FC ;其中正确的判断有（ ）A ．只有①②B ．只有③④C ．只有①③④D ．只有①②③④02．如图，点A 是网格图形中的一个网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A 为其中的一个顶点，面积等于2.5的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ）A .10个B .12个C .14个D .16个03．如图，在ABC 中，AB ＝BC ,MN ＝NA , ∠BAM ＝∠NAC ,则∠MAC ＝______. 04．如图，AA ’、BB ’分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线，若AA ’＝BB ’＝AB .则∠BAC 的度数为______________.05．(全国联赛)在等腰Rt ABC 中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE ⊥AM 于E ,交AB 于F ．则 ＝_____________06．如图，在ABC 中，AB ＝AC ,EF 为过点A 的任意一条直线，CF ⊥BC ,BE ⊥BC .求证：AE ＝AF .07．（湖州市竞赛试题）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC,交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB08.(四川省初二数学联赛试题)有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，求等腰三角形纸片的顶角的度数．09.如图，在ABC中，∠ABC＝460，D是边BC上一点，DC＝AB, ∠DAB＝210，求∠CAD的度数．10.（浙江省杭州市中考试题）如图，在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E ，连接BP 交AC 于点F . (1) 证明：CBF CAE ∠=∠； (2) 证明：BF AE =；(3) 以线段BF AE ,和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别为ABC S ∆和ABG S ∆，如果存在点P ，能使得ABG ABC S S ∆∆= , 求∠C 的取值范围.11．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝900，AD ＝AE , AF ⊥BE 交BC 于F ，过F作FG ⊥CD 交BE 的延长线于G ．求证：BG ＝AF ＋FG。
等腰梯形与等腰三角形的关系
等腰梯形与等腰三角形的关系等腰梯形与等腰三角形是几何学中两种常见的图形形状。
它们的形态和特性有着密切的联系，这在几何学中是一个重要的概念。
本文将详细讨论等腰梯形与等腰三角形的关系，包括它们的定义、性质以及它们之间的相互转化。
一、等腰梯形的定义等腰梯形是指具有两条平行边，并且两个非平行边的长相等的四边形。
根据定义，等腰梯形有两个对称轴，其中一条轴是平行底边的中线，另一条轴是两个非平行边的中线。
等腰梯形的两个底边长度可以不相等，但是两个斜边的长度必须相等。
二、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两个等长的边和两个等大的角的三角形。
它的两条边被称为腰，另外一条边被称为底边。
根据定义，等腰三角形有一个对称轴，即通过顶点和底边中点的中线。
三、等腰梯形和等腰三角形的关系等腰梯形和等腰三角形的关系可以通过以下几个方面进行描述和理解。
1. 边长关系：等腰梯形的两个斜边长度相等，而等腰三角形的两个腰长度相等。
因此，可以将等腰梯形看作是两个等腰三角形的底边长度相等时的组合形式。
2. 角度关系：等腰梯形的两个斜边的夹角和等腰三角形的两个腰所对应的顶角是等大的。
这是因为在等腰梯形中，两个斜边的长度相等，所以它们与底边的夹角也必然相等。
在一个等腰三角形中，两个腰所对应的顶角也是等大的。
3. 相互转化：等腰梯形和等腰三角形可以相互转化。
具体而言，当一个等腰梯形的两个斜边长度相等时，可以通过将底边上的两个顶点连线得到一个等腰三角形。
反之亦成立，一个等腰三角形的腰长度相等时，可以通过将两个腰延伸并相交于某点，然后连接该点与底边两个顶点得到一个等腰梯形。
综上所述，等腰梯形和等腰三角形之间存在着密切的关系。
它们在边长和角度上有着相似的特性，并且可以相互转化。
了解和掌握等腰梯形和等腰三角形之间的关系，有助于我们更好地理解和应用几何学中的相关概念和定理。
在实际应用中，等腰梯形和等腰三角形的性质和关系常常用于解决各种几何问题。
例如，在建筑设计中，我们可以利用等腰梯形的性质确定楼房的坡度或者升降台的设计；在地质测量中，我们可以利用等腰三角形的性质推断岩石的形态和结构等等。
等腰梯形与等腰三角形的计算与应用
等腰梯形与等腰三角形的计算与应用等腰梯形和等腰三角形是初中数学中常见的几何形状，它们具有一些特殊的性质和应用。
本文将详细介绍等腰梯形和等腰三角形的计算方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、等腰梯形的计算方法等腰梯形是指两条平行边等长的梯形，其它两条边也可以不等长。
在计算等腰梯形时，我们可以利用以下公式：1. 等腰梯形的面积公式：等腰梯形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式为：面积 = （上底 + 下底）×高 ÷ 2这个公式是根据梯形面积公式推导出来的，由于等腰梯形的两个底边相等，所以可以简化为上下底和高的和再除以2。
2. 等腰梯形的周长公式：等腰梯形的周长可以通过边长和斜边长度来计算，公式为：周长 = 上底 + 下底 + 两斜边的长度由于等腰梯形的两个底边相等，所以可以简化为上下底和两斜边长度的和。
通过以上计算公式，我们可以准确计算出等腰梯形的面积和周长，从而更好地理解和应用这一几何形状。
二、等腰梯形的应用等腰梯形在实际中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 报纸、杂志版面设计：在报纸和杂志的版面设计中，常常会使用等腰梯形的形状。
通过计算等腰梯形的面积和周长，可以帮助设计师更好地安排版面，使得页面更加美观和合理。
2. 楼梯设计：楼梯的台阶形状通常采用等腰梯形。
通过计算等腰梯形的面积和周长，可以帮助建筑师合理设计楼梯的尺寸，使得楼梯稳固且符合人体工程学，提供更好的使用体验。
三、等腰三角形的计算方法等腰三角形是指两边长度相等的三角形，另一边称为底边。
在计算等腰三角形时，我们可以利用以下公式：1. 等腰三角形的面积公式：等腰三角形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式为：面积 = 底边 ×高 ÷ 2这个公式和普通三角形的面积公式一样，只是普通三角形的底边替换为等腰三角形的底边。
2. 等腰三角形的周长公式：等腰三角形的周长可以通过边长来计算，公式为：周长 = 底边 + 两边的长度由于等腰三角形的两边长度相等，所以可以简化为底边和两边的长度的和。
初中数学 等腰梯形的对角线有什么特点
初中数学等腰梯形的对角线有什么特点
等腰梯形的对角线是指连接等腰梯形的非邻边顶点的线段。
在初中数学中，我们研究了等腰梯形的对角线的特点。
特点：
1. 对角线相等：等腰梯形的对角线相等。
即等腰梯形的两条对角线长度相等。
证明：设等腰梯形的上底长度为a，下底长度为b，腰的长度为c。
根据等腰梯形的性质，腰是相等的。
连接等腰梯形的非邻边顶点，形成两个三角形。
根据三角形的边相等性质，我们可以得到两个等腰三角形。
因此，通过等腰三角形的性质可知，等腰梯形的对角线相等。
2. 对角线垂直相交：等腰梯形的对角线垂直相交。
即等腰梯形的两条对角线相交于一个直角的顶点。
证明：连接等腰梯形的邻边顶点，形成两个等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，对边角相等。
因此，通过对边角的性质可知，等腰梯形的对角线垂直相交。
3. 对角线平分顶角：等腰梯形的对角线平分顶角。
即等腰梯形的对角线所形成的两个角，每个角的度数是顶角度数的一半。
证明：连接等腰梯形的邻边顶点，形成两个等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，对边角相等。
因此，通过对边角的性质可知，等腰梯形的对角线平分顶角。
综上所述，等腰梯形的对角线具有相等、垂直相交和平分顶角的特点。
熟练掌握等腰梯形的对角线的特点，有助于解决与等腰梯形相关的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学员编号：年级：初一课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
课题等腰三角形和等腰梯形
授课日期及时段年月日
1、认识等腰三角形和等腰梯形的性质
教学目的
2、学会判断等腰三角形和等腰梯形
教学内容
等腰三角形的轴对称性
知识点一等腰三角形的性质
（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴
（2）等腰三角形的两个底角相等
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
例1 填写下表
文字语言图形语言符号语言
在△ABC中，因为AB=AC
所以
在△ABC中，AB=AC
若，那么AD⊥BC，BD=CD
若，那么∠BAD=∠CAD，AD⊥BC
若，那么∠BAD=∠CAD，BD=CD
知识点二等腰三角形的判定
（1）两边相等的三角形是等腰三角形
（2）若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等
例2 在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，试判断△ABC是什么三角形？
知识点三直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，那么CD= ，理由是
知识点四等边三角形
定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形
性质：（1）等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
（2）等边三角形每个角等于60°
判定：（1）三个角相等的三角形是等边三角形
（2）两个角等于60°的三角形是等边三角形
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
例4 如图，△ABC为等边三角形
（1）AB= = ，∠B= = = ；
（2）试画出它的对称轴
典型例题
一图形的识别
例1 如图，△ABC中，AB=AC，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB.过点O作DE∥BC分别交AB、AC于点E、D.试写出图中所有的等腰三角形，并任选一个说明理由
二运用性质解题
例2 如图，△ABC中，AB=AC，DE为AB的垂直平分线，交AB于
点E，交AC于点D，若∠A=40°，求∠DBC的度数
例3 如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且
AE=BE.试说明AH=2BD
例4 如图，AD、BE是△ABC的高，F为DE中点，G是AB的中点，试说
明GF⊥DE
本节中的数学思想方法
例5 有一个等腰三角形，一个角为50°，求其余两个角的度数
例6 有一个等腰三角形，其中一个角是另一个角的4倍，求这个三角形的三个内角
综合型试题
例7 如图，等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm，
（1）求BE的长
（2）试说明BD=ED
例8 如图，等腰Rt△ABC，∠A=90°，CD平分∠ACB。
试说明BC=AC+AD
等腰梯形的轴对称性
知识点一等腰梯形的定义
两腰相等的梯形叫等腰梯形
知识点二等腰梯形的性质
（1）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴为过两底中点的直线
（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等
（3）等腰梯形的对角线相等
例1 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，连接AC、BD，则
（1）= ；（2）= ；（3）= ；
知识点三等腰梯形的识别
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
一简单说理题
例1 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E为BC的中点，试说明AE=DE
二简单的计算
例2 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=AD=BC，DC=BD,AC，求梯形各内角的度数
三本节中的数学思想方法
例3 若等腰梯形的三边长分别为5,6,17，则这个等腰梯形的周长为
（）
A.33
B.45
C.33或45
D.33或34或35
四探索题
例4 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD,E为CD的中点，AE与BC的延长线交于点F。
（1）判断S△ABF和S梯形ABCD有何关系，并说明理由
（2）判断S△ABE和S梯形ABCD有何关系，并说明理由
（3）上述结论对于一般梯形是否成立？为什么？。