2019-2020年初中数学联合竞赛试题(含解析) (III)

2019-2020年初中数学联合竞赛试题（含解析） (III)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知2=+b a ，4)1()1(2
2-=-+-a
b b a ，则ab 的值为（ ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．2
1. 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条
高线长的最大值为（ ）
A ．5.
B ．6.
C ．7.
D ．8.
3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，
由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）
A ．5组.
B ．7组.
C ．9组.
D ．11组.
5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，
则=AE （ ）
A ．21+.
B ．6.
C ．132-.
D ．31+.
6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4
111=++y x z ，则z
y x 432++的值为 （ ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．2
5. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
7．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A ．
8．二次函数c bx x y ++=2
的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B
两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则
=+c b 2 ．
9．能使2562+n 是完全平方数的正整数n 的值为 ．
10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线
与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 4
3=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB
F
B
A
＝ ．
第二试 （A ）
一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程
012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和
02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，
120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：
（1）︒=∠30PBD ；
（2）DC AD =．
三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m
-，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++．
（1）证明：3+=+p n m ；
（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．
第二试 （B ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，
120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且DS =2SB ．求证：DC AD =．
为正整数，n m <．设
三．（本题满分25分）已知p
n m ,,
C A B
(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且2OA ＋2OB ＋2OC ＝
3(OA ＋OB ＋OC ）
．求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式． 第二试 （C ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB
AC BC ,,的垂线，垂足分别为F E D ,,，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ．如
果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线．
三．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第三题相同.
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知2=+b a ，4)1()1(2
2-=-+-a
b b a ，则ab 的值为（ ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．2
1.
2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条
高线长的最大值为（ ）
A ．5.
B ．6.
C ．7.
D ．8.
3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，
由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）
A ．5组.
B ．7组.
C ．9组.
D ．11组.
5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ ）
A ．21+.
B ．6.
C ．132-.
D ．31+.
6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则z
y x 432++的值为 （ ） A ．1. B ．
23. C ．2. D ．2
5. 【答案】C. 【解析】已知等式得
2=+++z y x zx xy ，3=+++z y x xy yz ，4=+++z y x yz zx ，所以2
9=++++z y x zx yz xy ．
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
7．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A ．
8．二次函数c bx x y ++=2
的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．
c b c b 42422-=-，
10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 4
3=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ ．
第二试 （A ）
一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，
120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：
（1）
︒=∠30PBD ；
（2）DC AD =．
三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且)(32
22OC OB OA OC OB OA ++=++．
（1）证明：3+=+p n m ；
（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．
第二试 （B ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且DS =2SB ．求证：DC AD =．
三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)
A m -，(,0)
B n ，(0,)
C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且2OA ＋2OB ＋2OC ＝3(OA ＋OB ＋OC ）．求图象经
过C B A ,,三点的二次函数的解析式．
第二试 （C ）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ,,的垂线，垂足分别为F E D ,,，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ．如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线．
若11MM NN =，则1111)1(NN MM MM NN PD λλ-+===．
若11MM NN >，同理可证11)1(NN MM PD λλ-+=． ………15分
三．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第三题相同.。