实验三 对偶理论

实验三对偶理论一、实验目的掌握WinQSB软件求解对偶规划，进行灵敏度分析和参数分析。

二、实验平台和环境Windows9X/ME/NT/2000/XP平台下，WinQSB V1.0版本已经安装在C:\WinQSB中。

三、实验内容和要求熟悉WinQSB软件子菜单.能用WinQSB软件求解运筹学中常见的数学模型。

用WinQSB软件完成下列问题例3.1 max Z=4x1+2x2+3x3利润2 x1+2 x2+4 x3≤100 材料1约束3 x1+ x2+6 x3≤100 材料2约束3 x1+ x2+2 x3≤120 材料3约束x1，x2，x3≥01.写出对偶线性规划，变量用y表示。

2.求原问题及对偶问题的最优解。

3.分别写出价值系数cj及右端常数的最大允许变化范围。

4.目标函数系数改为C＝(5，3，6)，常数改为b＝(120，140，100)，求最优解。

5.增加一个设备约束6x1+5x2+x3≤200和一个变量x4，系数为(c4，a14，a24，a34，a44)=(7，5，4，1，2)，求最优解。

6.在第5问的模型中删除材料2的约束，求最优解。

7.原模型的资源限量改为b＝(100+μ，100+3μ，120－μ)T，分析参数的变化区间及对应解的关系，绘制参数与目标值的关系图。

四、实验操作步骤1．问题命名条件，条件设定并保存（1）启动线性规划与整数规划程序；(Linear and Integer Programming)，建立新问题例3.1，根据题意知道变量（Number of V ariables）和约束条件(Number of Constraints)各有三个，设置如下图。

图3-1（2）其余选择默认即可。

点”OK”得到下表，根据实验条件输入数据并存盘。

图3-22 得到对偶问题极其模型（1）点击Format Switch to Dual Form，得到对偶问题的数据表如下：图3-3（2）点击Format→Switch to Normal Model Form，得到对偶模型。

图3-4（3）点击Edit→V ariable Name.分别将变量X修改变量名为y图3-5（4）点上图中的“ok”, 得到以y为变量的对偶模型图3-6（5）返回原问题求出最优解及最优值再求一次对偶返回到原问题，求解模型显示最优解为X=(25,25,0)，最优值为Z=150。

查看最优表中影子价格(Shadow Price)对应列的数据就是对偶问题的最优解为Y=(0.5,1.0，0)见表5，还可以根据性质求出，显示最终单纯形表。

松弛变量检验数的相反数就是对偶问题的最优解。

图3-7及右端常数的最大允许变化范围3．求价值系数cj.在综合分析报告表中查找Allowable min(max)对应列，写出价值系数及右端常数的允许变化范围。

由表最后两列价值系数C j (j=1,2,3) 取最大允许范围分别是[2，6] [1.3333,4][-∞,8]右端常数b i(9=1,2,3)的最大允许变化范围分别是[66.6667,200][50,120][100, +∞]4 修改目标函数系数，常数向量并求最优解（1）修改系数和常数向量，把原条件的C=（4，2，3）变为（5，3，6）常数由（100，100，120）变为（120，140，100）。

修改后如下：图3-8（2）按下(solve and analyze)得到下表：图3-9由表中可以得到修改模型的最优解为X=(20,20,10 )。

最优值为Z=220.5. 改变约束条件和系数求解（1）插入约束条件点击Edit→Insert a Contraint 选择在结尾处插入变量（The end）再按下“ok”图3-10插人一个约束6x1+5x2+x3≤200，图3-11(2)修改相应系数如（1）中一样操作，点击Edit→Insert a V ariable插入一个变量，选择在末尾添加。

改变系数：(c4，a14，a24，a34，a44)=(7，5，4，1，2)，图3-12按下solve and analyze得到下列结果：图3-13由H表中可以查得：最优解为：X=(14.2857,0,0,14.2857),最优值为Z=157.1429.6. 删除约束条件操作其操作类似于添加约束条件：点击Edit Delete a Contraint，选择要删除的约束C2点“ok”再求解即可。

得到如下结果：图3-14由表中可以查得：最优解为X=(30.7692,0,0,7.6923),最优值为Z=176.9231.7. 改变资源限量并分析绘图（1）返回到原问题数据表，先求解。

目标函数系数由两部分构成，记住参数u的系数（1，3，-1）对原问题求解后，点击Results Perform Parametric Analysis，在参数分析对话框中选择目标函数（Objective Function）,图3-15（2）输入参数u的系数(1，3，-1)，图3-16（3）确定后显示下表。

表中没有显示参数在区间内的最优解，这是因为最优解是参数u的函数，只有给定了具体参数值才能得到具体的最优解，图3-17（4）由上表知，将参数u奉承5个区间讨论，在不同区间显示了目标函数值的变化区间及其变化率（slope）,出基变量和进基变量（Leaving V ariable Entering V ariable）点击Results —Graphic—Parametric analysis打印参数与目标值的关系图。

显示下图图3-18五、数据处理和分析1．题目中对数据进行插入约束变量插入的时候要首先把变量个数由原来的3个替换为4个然后才可以添加，否则由于个数为做改变新变量会覆盖旧变量。

2 . 7个问题是独立求解和分析，每个问题都是针对原线性规划分析和求解，每一步都必须回到原模型。

技巧：做完一个问题后退出所有活动窗口，打开刚才保存的原向题文件。

这样不必修改数据六、分析讨论题1. 某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150单位，C不少于180单位。

此人准备每天从6种食物中摄取这三种营养成分。

已知6种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表所示（1）试建立此人在满足健康所需要的基础上花费最少的数学模型（2）假定有一个厂商计划生产一种药丸，售给此人服用，药丸中含有A，B，C三种营养成分试为厂商制定一个药丸的合理价格，既要此人愿意购买，又使厂商能获利最大，建立数学模型。

表3-1(1)根据题目意思得到下列数学模型：其中变量X 为6中食物前面的系数为其含量，由A ，B ，C 得到3个约束条件Min 0.5x 1+0. 4x 2+0.8 x 3+0.9x 4+0. 3x 5+0.2 x 6 花费 13x 1+25x 2+14 x 3+40x 4+8x 5+11 x 6=80 A 营养约束 24x 1+9x 2+30 x 3+25x 4+12x 5+15 x 6=150 B 营养约束 18x 1+7x 2+21 x 3+34x 4+10x 5 =180 C 营养约束 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， x 6 0（2）从厂商来看当然是0.5x 1+0. 4x 2+0.8 x 3+0.9x 4+0. 3x 5+0.2 x 6 越大越好，但从此人来看他的支付越少越好。

厂商只有在先满足此人能接受的情况下制定一个药丸的合理价格，为此得到如下的数学模型：Min 0.5x 1+0. 4x 2+0.8 x 3+0.9x 4+0. 3x 5+0.2 x 6 花费13x 1+25x 2+14 x 3+40x 4+8x 5+11 x 6 >=80 A 营养约束24x 1+9x 2+30 x 3+25x 4+12x 5+15 x 6 >=150 B 营养约束18x1+7x2+21 x3+34x4+10x5 >=180 C营养约束x1，x2，x3，x4，x5，x6≥02. 现有线形规划问题max Z=5x1+5x2+13x3－x1+ x2+3 x3≤20 ①12 x1+ 4x2+10 x3≤90 ②x1，x2，x3≥0先用单纯形法求出最优解，然后分析在各种情况下，最优解分别有什么变化？（1）约束条件①的右端常数由20变为30；（2）约束条件②的右端常数由90变为70；（3）目标函数中x3的系数由13变为8；（4）x1的系数列向量由（－1，12）变为（0，5）（5）增加一个约束条件③2 x1+ 3x2+5 x3≤50 ；（6）将原约束条件②改变为10 x1+ 5x2+10 x3≤100 ；解答：（1）按步骤求解得到如下表格：图3-19由表中可以看出其最优解为x=( 0.625,20.625,0),最大值为z=106.25(1) 约束条件①的右端常数由20变为30, 求解得到：x=(0,0,9), 最大值为z=117(2) 约束条件②的右端常数由90变为70, 求解得到：x=(0,5,5), 最大值为z=90(3) 目标函数中x3的系数由13变为8, 求解得到：x=(0.625,20.625,0), 最大值为z=106.25(4) x1的系数列向量由（－1，12）变为（0，5）,求解得到：x=(2,20,0), 最大值为z=110(5) 增加一个约束条件③2 x1+ 3x2+5 x3≤50, 求解得到：x=(10,10,0), 最大值为z=100(6) 将原约束条件②改变为10 x1+ 5x2+10 x3≤100,求解得到：x=(0,20,0), 最大值为z=100。