用二分法求方程的近似解 优秀教案
《用二分法求方程的近似解》教学设计
《用二分法求方程的近似解》教学设计1. 引言1.1 背景介绍二分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于计算机科学、数学和工程领域。
它通常用于寻找数值解的逼近值，特别是在无法准确求解的情况下。
二分法的基本原理是将求解区间逐步缩小，直到满足精度要求为止。
在实际应用中，我们常常需要解决一些复杂的方程，例如非线性方程、传统解法求解困难的方程等。
这时候，二分法就成为了一种简单而有效的求解方法。
通过不断缩小求解区间，逐步逼近方程的解，我们可以快速得到一个近似解。
在本次教学设计中，我们将重点介绍二分法的原理、算法步骤和示例演示，帮助学生更好地理解和掌握这一数值计算方法。
通过本次教学，我们旨在引导学生掌握二分法的基本思想和应用技巧，提高他们的数值计算能力，为进一步学习和研究相关领域打下坚实的基础。
1.2 问题提出问题提出：在数学中，求解方程是一个常见的问题。
特别是对于非线性方程，往往无法用代数方法得到精确解析解。
我们需要借助数值计算方法来求得近似解。
二分法是一种简单且常用的数值计算方法，可以用来求解单调函数的根。
在实际应用中，我们经常遇到需要求解方程的情况，比如物理问题中的牛顿定律、化学问题中的化学反应速率等等。
掌握二分法求方程的近似解有着重要的意义。
本教学设计将重点介绍二分法的原理及应用，帮助学生掌握这一实用的数值计算方法。
1.3 目的本教学设计的目的是帮助学生了解和掌握二分法求解方程的基本原理和方法，通过实际的示例演示和练习，培养学生解决实际问题的能力和思维。
通过本教学设计，学生将能够掌握二分法的具体步骤，理解其优缺点，掌握其应用范围，并能将所学知识运用到实际生活和工作中。
通过本教学设计的学习，学生将不仅能够提高数学解题的能力，还能培养逻辑思维和分析问题的能力，为将来深入学习数学和相关领域打下扎实的基础。
本教学设计也旨在培养学生的团队合作和沟通能力，鼓励学生通过合作学习和讨论来促进自身的学习效果。
通过本教学设计，学生将不仅能够学会求解方程的方法，还能够培养自主学习和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
用二分法求方程的近似解教学设计及教学反思
“用二分法求方程的近似解〞教学设计与教学反思【教学设计】一、容与容解析本节是人教A版?普通高中标准试验教科书·数学1〔必修〕?第三章“函数的应用〞中第一节“函数与方程〞的第二块容，是在学习了集合与函数概念、根本初等函数后，研究函数与方程关系的容。
本节课的教学容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
本节容是课标教材中新增的容。
在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。
对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定准确度的近似解。
经过本节容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。
二、目标和目标解析本节课要求学生懂得解决“如何求方程的近似解〞这么一个问题，而二分法是解决这类问题的常用解法或通解法，既然是“近似解〞，那么引导学生的思维模式由“求〞转变为“找〞显得更加贴切，也更好理解。
本节课的主要目标就是要求学生理解二分法的思想，真正理解怎么去“找〞近似解。
本节课的教学目标是：〔1〕理解二分法的根本思想，能够借助计算器用二分法求给定方程满足一定准确度的近似解；〔2〕引导学生通过观察和计算体会二分法，感受函数与方程的思想，使学生在学习过程中体会近似思想、逼近思想、算法思想；〔3〕帮助学生了解数学在人类文明开展中的作用，形成正确的数学观，通过生活实例培养学生的数学应用意识，激发学生的学习兴趣。
教学重点：理解二分法的根本思想，把找方程近似解转化为缩小函数零点所在区间，对函数与方程的关系及化归思想有更深入的认识。
教学难点：对准确度的理解，用二分法求近似解中，在不断缩小区间时，对区间端点的循环迭代替换的理解.三、学生诊断分析学生在学习本节容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，特别是在“循环迭代与替换区间端点〞这一环节的理解上相比照拟困难，对准确的理解耶比较困难。
§..用二分法求方程的近似解教案人教版
科目
授课时间节次
--年—月—日（星期——）第—节
指导教师
授课班级、授课课时
授课题目
（包括教材及章节名称）
§..用二分法求方程的近似解教案人教版
教材分析
本节课的教学内容是“用二分法求方程的近似解”。该内容是高中数学人教版必修四第四章“不等式”中的一个重要知识点。在此之前，学生已经学习了函数、方程和不等式的基础知识，通过这些知识的学习，学生已经掌握了函数的性质、解方程的方法等。
-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。
学生活动：
-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。
-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。
-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。
教学方法/手段/资源：
-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
- "The history and applications of the bisection method"：这篇文章详细介绍了二分法的历史背景及其在各个领域的应用，有助于学生更好地理解二分法的地位和作用。
在线资源：
- GeoGebra：这是一个免费的数学软件，学生可以通过它来绘制函数图像，实践二分法求解方程的近似解。
d.案例研究环节：提供几个不同类型的方程，让学生运用二分法进行求解，并分析解题过程中的关键步骤。
e.项目导向学习环节：让学生分组选择一个方程，运用二分法编写程序求解，并展示解题过程和结果。
3.确定教学媒体和资源的使用：为了支持教学活动和提高学生的学习效果，将使用以下教学媒体和资源：
a. PPT：制作精美的PPT，用于展示二分法的原理、步骤和实例，提供直观的学习材料。
教案(用二分法求方程的近似解)
课题：用二分法求方程的近似解
广饶一中艺体中心张士祥
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．
初步应用二分法解
1．二分法为什么可以逼近零点的再分析；2．追寻阿贝尔和伽罗瓦．。
【参考教案2】《用二分法求方程的近似解》(数学人教必修一)
《用二分法求方程的近似解》教材分析本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二节课内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。
本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
本节内容是新教材中新增的内容。
在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。
对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。
经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。
教学目标【知识与能力目标】通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．【过程与方法】借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．【情感、态度与价值观】通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。
通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重难点【教学重点】过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．【教学难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．课前准备多媒体课件、教具等．教学过程一、问题引入实际问题：某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电停了。
据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工，如何迅速查出故障所在? (线路长10km ，每50m 一棵电线杆）如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。
《用二分法求方程的近似解》教学设计与反思
—１＿ ＿
探 索 发 现
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合作 探 究
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知 识 拓 展
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学 以致用
借助信息技术求方程近似解的步骤 Ｍ ｉｒｓｆＥ ｃｌ后 六 步 ｃｏ ｏｔ ｘ ｅ 程 序 框 图 介绍ＱＢＡＳＣ Ｉ 语言 的应用渗透算法思想 程序语句
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尝试练习 — — 尝试用信 息技术求方程近似解 自学ＱＢ Ｉ ＡＳＣ或其他计算机语言 查找资料追寻阿贝尔和伽罗瓦— — 激发学习热情并感受数学文化熏陶 将本节课的感受在学校论坛交流
２１ ０ １年第 ４ 期
数 学 教 育 研 究
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《 用二 分 法求 方程 的近 似解 》 学设 计 与反 思 教
李 勇 （ 省枣庄市薛 山东 城舜 耕中学 ２７０） ７００
１ 教 学 目标
知 识 与技 能 通 过 具 体 实 例 理 解 二 分 法 的概 念 及 其 适 用条 件 ， 解 二 分 法 是 求 方 程 近 似 解 的 常 用 方 法 ， 了 能 借助 计 算 器 、 息技 术 用 二 分 法求 方 程 的近 似解 ， 中 信 从 体会 函数 与方 程之 间 的联 系及其 在 实际 问题 中 的应用 ． 过 程 与 方 法 在 用 计 算 器 、 息 技 术 求 方 程 近 似 信 解 的过 程 中 了解 二 分 法 的数 学 思 想 ， 为 学 习 算 法 做 并 准备． 情 感 、 度 、 值 观 体 会 数 学 逼 近 过 程 ， 受 精 态 价 感
用 课 件 播 放 “ 外 历 史 上 的方 程 求 解 ” 频 ， 绍 中 音 介
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２ ・ ６
数 学教 育研 究
２１ ０ １年第 ４ 期
高中数学必修一《用二分法求方程的近似解》教案
3.1.2用二分法求方程的近似解【学习目标】A 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；B通过用二分法求方程的近似解，体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.C体会二分法的思想，掌握二分法求解方程根的步骤一、预习(自主预习课本P89—91)探究：二分法的思想及步骤问题：有12枚硬币中一枚质量稍轻的假币，用天平最少需几次称量才能将假币区分出来要求次数越少越好,解法：第一次，两端各放枚硬币，高的那一端一定有假币；第二次，两端各放枚硬币，高的那一端一定有假币；第三次，两端各放枚硬币，如果平衡，剩下的就是假币，否则，高的就是假币.思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求=+-的零点所在区间？如何找出这个零点？ln26y x x小组归纳：给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢二、 例题例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解.变式训练：求函数3()22f x x x x =+--的一个正数零点（精确到0.1） 零点所在区间中点函数值符号区间长度四、课后练习与提高1. 若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上（ ）.三、当堂练习求方程0.90.10x x -=的实数解个数及其大致所在区间.A. 至少有一个零点B. 只有一个零点C. 没有零点D. 至多有一个零点2.根据下表中的数据,可以断定方程02=--x e x 的一个根所在的区间为________x-1 0 1 2 3 x e0.37 1 2.72 7.39 20.0 2+x123453下列函数图象与x 轴有公共点,当不宜用二分法求交点横坐标的是______A B C D 4. 函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为（ ）. A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6)5. 用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5) 5.625f =，那么下一个有根区间为 .y0 xyxyxy6. 函数()lg27=+-的零点个数为，大致所在区间f x x x为.7. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数3=-的零点（精确到0.01）.f x x()2五、自我小结（本节课的知识网络图，数学方法）。
33156_《用二分法求方程的近似解》教案3
课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似
解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算
法做准备．
情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识． 难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
初步应用二分法解决
． 二分法为什么可以逼近零点的再分析；
． 追寻阿贝尔和伽罗瓦．
教学过程与操作设计：。
精 品 教 学 设 计4.1.2利用二分法求方程的近似解
精 品 教 学 设 计1.2利用二分法求方程的近似解一、教学目标1、理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；2、体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法得到解决的快乐。
二、教学重点与难点1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．三、教学过程设计（一）温故知新 问题1：对于函数1()f x x=，显然有(1)10,(1)0f f -=-<>，能否说方程()0f x =在[]1,1-内有实数解？为什么？问题2：如图是函数()f x 的图像，由图可知(1)10,(5)0,f f -=-><，能否说方程()0f x =在[]1,5-内有实数解？问题3：如何求出()0f x =的实数解呢？（二）分析理解如何求出()0f x =的实数解呢？ ①取[]1,5-的中点2，因为(5)0,(2)0f f <> 所以方程()0f x =在[]2,5内有解。
②于是再取[]2,5的中点3.5，因为(3.5)0,f f <所以方程()0f x =在[]2,3.5内有解。
③然后又取[]2,3.5的中点2.75，如此继续下去…如果取到某个区间的中点0x ，恰使0()0f x =，则0x 就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，可得到一个满足要求的近似解。
④定义形成象这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法，称为二分法。
二分法求方程的近似解教案
3.1 函数与方程
【课题】：3.1.2 用二分法求方程的近似解
【教学目标】：
（1）知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用。
（2）过程与方法：学生通过观察和实践，能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备。
（3）情感态度与价值观：在学习中体会数形结合的思想、近似的思想、逼近的思想和算法的思想等数学思想，感受精确与近似的相对统一。
【教学重点】：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。
【教学难点】：对二分法求方程近似解的算法理解。
【课前准备】：Powerpoint或投影片。
用二分法求方程的近似解 说课稿 教案 教学设计
用二分法求方程的近似解●三维目标1．知识与技能(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系；(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解；(3)培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及辨证思维的能力．2．过程与方法(1)通过对生产、生活实例的介绍，使学生体验逼近的思想和二分法的思想；(2)通过具体实例和具体的操作步骤，体验算法的程序化思想．3．情感、态度与价值观(1)通过二分法的生活实例，使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣；(2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．●重点难点重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：对二分法概念的理解，精确度的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解．重难点的突破：以李咏主持的幸运52猜商品价格创设情境，导入二分法，激发学生情趣的同时初步体会二分法的含义，并尝试总结二分法解决实际问题的步骤及隐含的思想——逼近思想，难点之一得以突破．在此基础上，提出问题：如何探寻方程在某一区间上的零点，引导学生借助零点存在性定理，类比案例分组协作，交流意见，归纳、总结利用“二分法”求方程的近似解的过程，基于二分法求解步骤的重复性，学生存在运算无限的茫然性，此时引出精确度的概念，化难为易，难点之二精确度的作用得以破解．课标解读1.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤．(重点) 2．会用二分法求方程的近似解，并能用计算器辅助求解．(重点) 3．会用二分法思想解决其他的实际问题．(难点)二分法的定义【问题导思】在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在800元～1200元之间的一款手机，选手开始报价：选手：1000.主持人：低了．选手：1100.主持人：高了．选手：1050.主持人：祝贺你，答对了．1．主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？【提示】[1000,1200]．2．选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？【提示】报价值为竞猜前手机价格所在范围的中间值．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【问题导思】在上述猜物品价格的实例中，竞猜的过程是否有规律可循？【提示】竞猜过程归结为：设原价为x，则(1)给定价格区间[a，b]；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)若c>x，则在区间(a，c)内竞猜；若c<x，则在区间(c，b)内竞猜；(4)依次类推，直到猜出原价x.给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)，若f(c)＝0，则c就是零点；若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)～(4).二分法的定义下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()逐项【思路探究】图象在零点附近连续――→该零点左右函数值异号判断【自主解答】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.【答案】 B判断一个函数能否用二分法求零点的依据是：函数图象在零点附近是连续不断的，且该零点是变号零点．下列函数中不能用二分法求零点的是( ) A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln x【解析】 结合函数f (x )＝|x |的图象可知，该函数在x ＝0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．【答案】 C用二分法求函数的零点用二分法求函数f (x )＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)． 【思路探究】 确定f (1)与f (1.5)的符号→按二分法求零点的步骤求解【自主解答】 经计算，f (1)<0，f (1.5)>0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x 0. 取区间(1,1.5)的中点x 1＝1.25，经计算f (1.25)<0，因为f (1.5)·f (1.25)<0，所以x 0∈(1.25,1.5)．如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表： (a ，b ) (a ，b )的中点f (a ) f (b ) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 (1,1.5) 1.25 f (1)<0 f (1.5)>0 f (1.25)<0 (1.25,1.5) 1.375 f (1.25)<0 f (1.5)>0 f (1.375)>0 (1.25,1.375) 1.312 5 f (1.25)<0 f (1.375)>0 f (1.312 5)<0 (1.312 5， 1．375) 1.343 75 f (1.3125)<0 f (1.375)>0 f (1.343 75)>0 (1.312 5， 1．343 75)1.328 125f (1.312 5)<0 f (1.343 75) >0f (1.328 125) >0(1.312 5， 1．328 125) 1.320 312 5 f (1.312 5)<0f (1.328 125) >0 f (1.320 312 5) <0确度为0.01的近似零点可取为1.328125.1．用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m ，n ](一般采用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的平均数c ，计算f (c )，确定有解区间是[m ，c ]还是[c ，n ]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀 定区间，找中点，中值计算两边看． 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口．已知f (x )＝1x －ln x 在区间(1,2)内有一个零点x 0，若用二分法求x 0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>0，区间长度⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－32＝0.5>0.2，分二次，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫74>0，区间长度⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－74＝0.25>0.2，分三次f ⎝⎛⎭⎪⎫158<0，区间长度⎪⎪⎪⎪⎪⎪74－158＝18<0.2，所以最多分三次可以使x 0的近似值达到精确度0.2. 【答案】 A用二分法求方程的近似解用二分法求方程2x ＋3x －3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)． 【思路探究】 构造函数f (x )＝2x 3＋3x －3→确定初始区间(a ，b )→二分法求方程的近似解→验证|a －b |<0.1是否成立→下结论【自主解答】 令f (x )＝2x 3＋3x －3，经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，f (0)·f (1)<0， 所以函数f (x )在(0,1)内存在零点，即方程2x 3＋3x ＝3在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0，又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a ，b ) 中点c f (a ) f (b ) f (a ＋b 2) (0,1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0 (0.625,0.75)0.687 5f (0.625)<0f (0.75)>0f (0.687 5)<0由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以方程2x 3＋3x －3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f (x )＝0的近似解，即按照用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤求解．用二分法求2x ＋x ＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x2.182.382.592.833.083.363.67区间 区间中点值x n f (x n )的值及符号 (1,2) x 1＝1.5 f (x 1)＝0.33>0 (1,1.5) x 2＝1.25 f (x 2)＝－0.37<0 (1.25,1.5) x 3＝1.375f (x 3)＝－0.035<0(1.375,1.5)x巧用二分法求根式的近似值(12分)求32的近似值(精确到0.01)．【思路点拨】设x＝32→32就是方程x3－2＝0的根→32就是函数y＝x3－2的零点【规范解答】设x＝32，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值.2分以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.4分用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值[1,2] 1.5 1.375[1,1.5] 1.25－0.046 9[1.25,1.5] 1.3750.599 6[1.25,1.375] 1.312 50.261 0[1.25,1.312 5] 1.281 250.103 3[1.25,1.281 25] 1.265 6250.027 3[1.25,1.265 625] 1.257 81－0.01[1.257 81,1.265 625]由于区间[1.257 81,1.265 625]的长度1.265 625－1.257 81＝0.007 815<0.01，所以这个区间的中点1.26可以作为函数f(x)零点的近似值，即32的近似值是1.26.12分1．求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，利用函数零点的性质，通过二分法求解．2．二分法思想实质上是一种逼近思想，所求值与近似值间的差异程度取决于精确度ε.小结1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)<0.上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.。
《用二分法求方程的近似解》教案及教案
解的常用方法之一，体现了函数与方程的联系，体现了数学的工具性、应用性，同时
也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想。
在本节之前， 关于方程根的求解的学习， 都是在等式状态下研究方程的变化关系，
通过公式化的方式诸如求根公式、因式分解来求解方程的根，并以精确形式表示求解
结果。而以“数形结合”为导引，以“零点存在定理”为理论基础，用“区间逼近”
本质，为学生总结归纳二分法的定义和步骤奠定基础。
课堂练习是例题的变式，目的是让学生对求一个函数零点（方程根的近似解）的
探究有更完整的认识。
课堂小结使学生明确本节课的知识体系，提升数学思想。
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四、教学反思 本节课是在采用信息技术和数学知识整合的基础上从生活实际中提炼教学素材，
使学生在熟悉的背景下，在认知冲突中展开学习，学生在试验、探究活动中获取原始 数据， 进而运用抽象建模， 数形类比， 在老师的引导、 启发下领悟二分法的思想方法， 通过二分法的运用，实现学生在学习过程中对知识的探究、发现的完整经历，调动了 学生学习的主动性和积极性，学生在亲身经历知识的探究中获得对数学价值的新认 识。
二、 新 课 学 习
1．模仿尝试，体会思想方法
例 1：求 2 的近似值。
解析：即求解方程 x2- 2=0 设 f (x)=x2- 2
f (1)= –1<0,f(2)= 2>0, 1<x1<2 f (1)= –1<0, f (1.5)=0. 25>0, 1<x2<1.5 f (1.25)=–0.4375<0, f (1.5)= 0.25>0, 1.253<<x1.5 f (1.375)=–0.109<0, f (1.5)= 0.25>0, 1.3754<<x1.5 f (1.375)=–0.109<0,f(1.4375)= 0.066>0, 1.375<x4<1.4375x4=1.40625 ... ... 2．归纳总结，提炼升华 二分法（bisection：) 对于在区间[a,b]上连续不断且
《用二分法求方程的近似解》示范课教案【高中数学】
《用二分法求方程的近似解》教学设计1．探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，渗透极限思想．2．能借助计算工具用二分法求方程近似解．3．通过提炼二分法的一般步骤，使学生经历由特殊到一般的归纳过程，了解二分法求方程近似解具有一般性，让学生感受算法的思想，并提升数学抽象核心素养． 教学重点：用二分法求方程近似解的思路与步骤．教学难点：用二分法求方程近似解的算法．PPT 课件，计算器．（一）整体感知，明确任务引导语：因为大多数方程都没有求根公式，所以这些方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．而在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．通过前一节课的学习，我们已经知道，求方程()0f x =的实数解，就是确定函数()y f x =的零点．根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质，可以确定在某一区间内方程实数解的个数．进一步的问题是，如何求出这些实数解？本节课我们将研究这个问题．设计意图：确定了方程有实数解和解的个数后，自然会思考怎么求出这些实数解．引起学生思考，明确本节课要研究的内容．（二）新知探究1．探索方法，解决问题问题1：我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？师生活动：学生讨论交流，教师引导学生：将零点所在的范围尽量缩小．图1设计意图：学生通过重复相同的步骤，初步体会二分法的具体过程，为提炼二分法的一般步骤作铺垫．另外，通过具体的计算，列表展示函数值的变化趋势，结合图象的变化趋势，数形结合地使学生感受逼近和算法的思想．追问4：根据填好的表格，请你给出函数()ln26f x x x=+-在精确度为0.01的零点的近似值．师生活动：学生回答，教师予以补充完善．预设的答案：因为2.539 062 5 2.531 25.007 812 50.01=-，所以区间(2.531 25，2.5390<062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值．为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x=2.531 25作为函数()ln26=+-零点的近似值，也即方程f x x x+-=的近似值．x xln260设计意图：通过求具体函数()ln26f x x x=+-的零点在精确度0.01下的近似值，再次明确精确度的含义．在精确度ε限制下的近似值为所在满足精确度要求的区间中的任意值，即近似值有无数个，所以可以任取一个作为近似值．2．提炼方法，规范步骤问题2：像上面这种求函数()ln26f x x x=+-的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？师生活动：学生交流后回答，教师予以补充完善．这里要注意的是，虽然我们是通过+-=这个不能用公式求解的方程，探索出了二分法，但并不意味着二分法只适用x xln260于不能用公式求零点的函数．学生可能会在这里产生惯性思维，教师要注意引导．预设的答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x *与其准确值x 的接近程度．近似值x *的误差不超过某个数ε，即*x x ε-<，就说它的精确度是ε．所以当a b ε-<时，零点x 0所在的区间[a ，b ]中任意一个值与x 0的误差都不超过a b -，当然也就不超过ε．所以区间[a ，b ]中任意一个值都是零点x 0满足精确度ε的近似值．设计意图：使学生进一步理解精确度的含义．3．初步应用，深化理解例2 借助信息技术，用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度为0.1）．师生活动：先由学生说出解决问题的思路，然后师生共同利用信息技术解答．预设的答案：解：原方程即2370x x +-=，令()237x f x x =+-，用信息技术画出函数()y f x =的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）．表3x0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273观察图2或表3，可知()()120f f <，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x 0．取区间(1，2)的中点1 1.5x =，用信息技术算得()1.50.33f ≈．因为()()1 1.50f f <，所以x 0∈(1，1.5)． 再取区间(1，1.5)的中点2 1.25x =，用信息技术算得()1.250.87f ≈-．因为()()1.25 1.50f f <，所以x 0∈(1.25，1.5)．同理可得，x 0∈(1.375，1.5)，x 0∈(1.375，1.437 5)．由于11.437 51.02.3 750.650-=<，所以，原方程的近似解可取为1.375．设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解．（三）归纳小结，布置作业图2问题4：回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充．预设的答案：二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想．在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想．设计意图：回顾本节课所学二分法的一般步骤，让学生体会其中蕴含的数学思想．问题5：通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解．图3师生活动：学生课后自行完成．设计意图：拓展学生思路，鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题．问题6：阅读教科书“阅读与思考—中外历史上的方程求解”，了解方程求解的发展过程是怎样的？二分法对于方程求解的重要性是什么？师生活动：学生课后自行完成．设计意图：让学生进一步了解二分法对于方程求解的重要意义，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．借助信息技术，用二分法求函数()32=++-在区间(0，1)内零点的1.10.9 1.4f x x x x近似值（精确度为0.1）．设计意图：考查用二分法求函数零近似值的能力．2．借助信息技术，用二分法求方程3lg=-在区间(2，3)内的近似解（精确度为0.1）．x x设计意图：考查用用二分法求方程解的近似值的能力．参考答案：1．0.625．2．2.625．。
用二分法求方程的近似解教学设计(2中)
《用二分法求方程的近似解》教学设计兰州二中陈煜一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学I必修本（A版）》的第三章3.1.2《用二分法求方程的近似解》.《函数的应用》独立成章是本套教材的一个独特做法，体现了本套教材的数学应用意识，所以应用意识的培养与数学思想的渗透是本章教学的一个重要任务，应该将这一任务渗透在全章的教学中.二分法是一个重要的数学思想方法，至少蕴含三个思想：近似思想，逼近思想和算法的思想.近似思想是数学应用的一个重要的指导思想，在很多时候，我们只需要给定精度的近似值，要的是“够用的解”；而且利用二分法，在理论上我们可以无限“逼近”任意精度下的解，从而使得误差任意小，足以保证我们能够求出“够用的解”另外，二分法具有明显的程序化特征，可以让学生提前感受程序化处理问题的思想，这是算法的重要思想.本节课“承前”是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸，“启后”是渗透近似思想、逼近思想、程序化处理问题的思想等重要内容在函数的应用中的重要体现.从上述意义上说：本节课是一节重要的课，在本章教学中具有不可替代的地位.因此要求学生结合具体的函数图象能够借助计算机或计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，它既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，这样在教学过程中可以让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.二、学生学习情况分析高一学生对函数知识的理解可能是抽象的，他们想问的问题可能就是“函数知识有什么用？”尽管已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想．具有了一定的抽象理解能力，但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．三、设计理念倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合.（一）、教法分析1.设计活动，创设情境，激发兴趣:引例设计了让学生不超过三次猜教师手中牌的大小这一活动，通过活动让学生感受二分法的神奇，同时也对二分法处理问题的主要思想和步骤有了初步了解2.以任务驱动教学，引导自主探究，适时介入指导：引例中的任务是“让学生不超过三次猜手中牌的大小”，例题中的任务是“用二分法求给定方程的近似解”.引例中的任务完成后，学生基本了解了二分法的思想和步骤，然后引导学生思考如何完成例题中的任务，对主要过程（解答思路、过程中的计算以及过程的终止等）应由学生探索完成.（二）、学法分析在实施新课程改革实验工作中，我们应当倡导自主学习、合作学习、探究学习，以便学生全面发展自身素质，形成终身学习的能力；本课学习过程中，教师也要注意引导学生完成知识的自我建构.主要学法建议是：教师创设情境，学生独立或者分组进行讨论，捕捉其中有用信息，然后联系本课学习内容进行归纳总结，完成对新知识的内化过程.四、教学目标知识与技能目标：（1）了解二分法是求方程近似解的一种方法.（2）进一步体会函数的零点与方程根之间的联系，培养学生形成用函数观点去处理问题的意识.（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解.过程与方法目标：（1）通过经历“用二分法求方程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等.（2）通过设置数学学习环境，让学生了解更多的获取知识的手段和途径.情感态度与价值观目标：（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一.（2）在探究解决问题的过程中，培养学生合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神.五、教学重、难点：重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤.难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括.六、教学过程设计1、教学过程流程图近似值第一步应做什么？思考2:为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？思考3：若f(c)=0说明什么？若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ，则分别说明什么？思考4:若给定精确度ε，如何选取近似值？思考5：对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？(图略))(af·)(b f0<，给定精确度ε；2 求区间()b a,的中点c；3、计算()f c：（1）若()f c=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)·f(c)<0,则令b=c（此时零点0(,)x a c∈）；（3）若f(c)·f(b)<0，则令a=c（此时零点0(,)x c b∈）；4、判断是否达到精确度ε：即若||a bε-<，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2—4．5、二分法求方程近似解的使用范围：函数)(x fy=在区间上连续[]b a,.纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力.强化训练巩固新知练习：1、用二分法求图象是连续不断的函数)(xfy=在x∈(1,2)内零点近似值的过程中得到)1(<f,0)5.1(>f,)25.1(<f,则函数的零点落在区间（）.(A)(1,1.25)(B)(1.25,1.5) (C)（1.25,1.5）(D)（1.5,2）2、下列函数中能用二分法求零点近似值的是（）.3、借助计算机或计算器用（1）通过问题2使学生进一步明确二分法求方程近似解的使用范围：函数)(x fy=在区间上连续[]b a,（2）两人一组合作完成，并进一步明确用二分法求方程近似解的步骤这个练习鼓励学生自行尝试完成，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐，此例让学生体会用二分法求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法A BC D. xyo二分法求方程237x x+=的近似解课堂小结回顾反思（1）理解二分法可以求函数零点的近似值，但要保证函数在零点所在区间内是连续不断；（2）用二分法求近似解的步骤；（3）本节课的学习过程中我们主要用到了哪些数学思想学生归纳，互相补充，老师总结：（1）帮助学生梳理知识，形成完整的知识结构，同时让学生理解二分法定义的关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化.（2）注重数学方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力课外作业书面作业（P92页1-4题）课外思考：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？巩固本节课内容，并能够进行知识迁移，应用于实际附表1。
用二分法求方程的近似解教学设计
《用二分法求方程的近似解》教学设计学校：南陵中学授课教师：詹步创授课班级：高一（3）班时间：20XX年11月19日3.1.2用二分法求方程的近似解一、本节课内容分析与学情分析1、本节课内容分析本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解。
通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点。
引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系。
本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。
2、本节课地位、作用“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性（定理）”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、近似思想、逼近思想和算法思想等。
3、学生情况分析学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备。
但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。
二、教学目标根据教材内容和学生的实际情况，本节课的教学目标设定如下：1、通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想。
2、借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备．3、通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识。
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用二分法求方程的近似解一、教学内容分析本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系。
教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系。
然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面的体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系。
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。
它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间为依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。
求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据。
二、学生学习情况分析同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。
其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”。
三、设计理念本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。
四、教学目标1、理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；2、体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法得到解决的快乐。
五、教学重点与难点教学重点是能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。
根所在区间的确定及逼近的思想；难点是对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小。
六、教学过程设计1．教学基本流程图七、教学过程设计（一）创设情境，提出问题问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子．10km 长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成深入探索发现问题提出课题“如何求函数零点？” 经历游戏过程探索一般规律“二分法”解决问题“如何应用二分法求函数的零点”应用所得方法解决实际问题“求出函数的零点”通过练习与作业进行巩固与提高课堂小结将所得到的知识进行归纳整理加入已有的知识链通过游戏感受身边的数学学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的角度解决问题．[学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法：思路1：直接一个个电线杆去寻找．思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点．老师从思路2入手，引导学生解决问题：如图，维修工人首先从中点C．查用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近．师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件）．在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）．[设计意图] 从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用．（二）师生探究,构建新知问题2：假设电话线故障点大概在函数()ln26=+-的零点位置，请同f x x x学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x轴相交，即方程()0f x=在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础）．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．2．我们已经知道，函数()ln26ff x x x=+-在区间（2，3）内有零点，且(2)＜0，(3)f＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.师：如何有效缩小根所在的区间？生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.引导学生分析理解求区间(,)a b 的中点的方法2a b x +=． 合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．）步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)0.0840f ≈-<. 由(3)f ＞0，得知(2.5)(3)0f f ⋅<，所以零点在区间(2.5，3)内。
步骤二：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得(2.75)0.5120f ≈>.因为(2.5)(2.75)0f f ⋅<，所以零点在区间(2.5，2.75)内.结论:由于(2，3) (2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)⊃⊃，所以零点所在的范围确实越来越小了. 如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质．[学情预设]学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x 轴的交点的横坐标，故它的零点在区间（2，3）内．进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围，利用计算器通过将自变量改变步长减少很快得出表3—2，找出零点的大概位置．[设计意图]从问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点．通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．3.问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的初始区间取区间中点 中点函数值为零 取新区间 满足精确度 结束 否 是 否 是 近似解呢？引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤．对于在区间a [，]b 上连续不断且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注意引导学生分化二分法的定义（一是二分法的适用范围，即函数)(x f y =在区间a [，]b 上连续不断，二是用二分法求函数的零点近似值的步骤）．给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：1、确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精确度ε；2、求区间a (，)b 的中点c ；3、计算()f c ：（1）若()f c =0，则c 就是函数的零点；（2）若)(a f ·()f c <0，则令b =c （此时零点0(,)x a c ∈）；（3）若()f c ·)(b f <0，则令a =c （此时零点0(,)x c b ∈）；4、判断是否达到精确度ε：即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2—4．利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用下图表示．[学情预设] 学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数()ln 26f x x x =+-的图象去体会二分法的思想．结合二次函数图象和标有a 、b 、0x 的数轴理解二分法的算法思想与计算原理．[设计意图]以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利与学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解．学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求方程近似解的过程，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想．（三）例题剖析，巩固新知例：借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x 的近似解（精确度0.1）. 两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评.本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐.此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法.思考：问题（1）：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？问题（2）：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流. 反思二分法的特点，进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法.[设计意图]及时巩固二分法的解题步骤,让学生体会二分法是求方程近似解的有效方法.解题过程中也起到了温故转化思想的作用．（四）尝试练习，检验成果1、下列函数中能用二分法求零点的是（ ）.(A)(B) (C) (D) 。