模拟(六)

1. 化简:3 20 14 2 3 20 14 2.
x4
2. 若 , , 均为锐角, 且 cos2 cos2 cos2 1, 求 tan tan tan 的最小值.
解 由已知式结构特点,构造长方体, 使体对角线l 1, 与一个顶点出发的三 条棱所成的角分别为 , , , 则有
开启
智慧
数学的思想方法对提高人的整体 素质和文化修养有着重要意义。数学 方法和解题研究的现代复兴的又一标 志是，20世纪70年代以来，数学建模 已成为国际上的热点。
近半个世纪以来，计算机科学技术的 迅猛发展，在某种意义上说，计算机各种 应用的桥梁正是数学建模，这样，数学建 模就发展成为一个与多种学科相互作用的 新的数学领域。数学建模是实际问题数学 化的产物，它是一种解决问题的强有力的 数学方法。
抽象把问题表述得非常突出和清晰，并加以解决，后
来人们公认他为图论的创始人。
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图论就是运用直观的图形和数学方法来研究组和
关系的一门新兴学科，原是组和数学的一个重要课题，
由于发展迅速，现已成为一个独立的数学分支。它把 被研究系统中的各个元素作为点，元素之间的关系作 为线，然后画成图，通过对图形的研究，找出解决问 题的办法。
驶向胜利的彼岸
数学建模的迅速发展使得数学不再被局限于 作为一门基础科学的范围之内，在计算机的辅 助下，数学已成为解决问题的一种技术。美国 爱克逊研究和发展部总裁戴维（E.E.David）曾 说过:“很少有人认识到被如此称颂的高技术本质 上是一种数学技术。”在数学教育中，对数学 建模方法的研究，以及在大学、高中、初中怎 样开设好数学建模课程也成为当今数学教育改 革的重要方向。 我们可以说，对数学建模的重视的确是数学 方法和解题研究的复兴中的一个举世瞩目的现 象。
从这里打进德国，所以格尼斯堡是一座名城。同时这里也诞生
过许多伟大人物，其中包括18世纪著名的唯心主义哲学家康德 和19世纪的大数学家希尔伯特。 但是，最早给这座城市带来 声誉的横跨布列格尔河，把格尼 斯堡连成一体的七座桥梁。
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这一别致的桥群，引来了众多的游人，同时还引发了数学史 上一项重要的研究。
例4 已知0 y x

2
, tan x 3 tan y, 求u x y的最大值.
三角题的常规解题思路是恒等变 形，若能根据题目的特点构造模型， 常使解题思路突破常规，从而简捷、 精巧地解决问题。
解法一：
tan x tan y tan( x y ) 1 tan x tan y
1 x. 1 x A 则 AD AM , 取AB的中点M,则AM= AB, D M 2 2 从而AD=DM, 于是就有 CMD=A=x,MCB=CMD-B=x-y, 由SABC =2SMBC 及三角形面积公式有 1 1 CA CB sin C 2 CM CB sin u, 2 2 1 1 即 sin u sin C , 故u的最大值为 . 2 2 6 1 1 得 AD DB AB. 3 4
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2.欧拉与格尼斯堡七桥问题
1735年有几名大学生写信给当时正在俄国彼得堡科学院任 职的天才数学家欧拉，请他帮助解决。欧拉并未轻视生活中的 小问题，他似乎看到了其中隐藏某种新的数学方法。
7 事实上，要走遍七座桥的所有走法有 A7 7! 5040 种， 要想一一试验是不可能的，只能另找一种新方法。欧拉依靠他
四大块陆地变成了四个点；连线的长短曲直、交点的方位都无
关紧要，要紧的只是点线之间的相关位置或相互连接的情况， 如下两图都没有改变七桥问题“一笔画”的性质。
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后来布勒格尔河上又架起第八座桥来——铁路桥，这又使 人们想起了那有趣的问题。虽然一次不重复走遍七座桥不可能， 那八座桥呢？从图中可以已看出，“奇点”只有两个（D、C）， 所以可以一次不重复走遍八座桥。
其中一条线路可以是: A->B->A->BC->D->C->E->F->E->G->H->G->H->F->D->A
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从以上例子可以看到，作为18世纪的 数学大师欧拉，是怎样在解决数学发展过 程以及实际生活中提出来的数学问题时， 创造性地建立数学模型，运用类比、猜想 等数学方法，欧拉不仅出色地解决了这些 问题，还丰富了数学方法宝库，为后人树 立了不朽的典范。
（1）图形必须是连通的，即任一点通过一些线一定能达到
其他任意点。（2）图中的奇点数只能是0或2. 回头来看七桥问题，4个点全为奇点，故七桥问题无解。 欧拉当时发表这一结果时，震惊了当时的数学界。
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3.引申与推广
欧拉解决七桥问题的方法并不深奥，但他的新颖之处不仅在 于另辟蹊径的解题思路，更在于“一笔画”问题虽然是一个几 何问题，可是这种几何问题却是欧几里得几何里没有研究过的。 在“一笔画”问题里，长度、角度、面积、体积都没有了，
练一练
1. 化简: 20 14 2 20 14 2.
3 3Biblioteka 2. 若 , , 均为锐角, 且 cos cos cos 1,
2 2 2
求 tan tan tan 的最小值.
3.求f ( x) x 4 3x 2 4 x 8 x 4 x 2 1 的最小值。
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4.新学科的形成
欧拉对七桥问题的解决之所以著名，不仅是因为
它 的趣味性和欧拉解题思路的巧妙，更重要的是这个
问题的解决开创了一个新的数学分支——图论。
欧拉不拘泥于特殊问题，而是要解决一般问题，
这样才更具有科学价值，更能推动科学的发展；他并 非去如何走一遍， 而是去寻求一种一般的可能的判定 法则， 这是一种科学的思维方法；他将七桥问题化为 一个图论问题（仅仅用点和边来描述），这种高度的
深厚的数学功底，运用娴熟的变换技巧，经过一年的研究，于 1936年，29岁的欧拉向彼得堡科学院提交了一份为《格尼斯堡
七桥》的论文，圆满的解决了这一问题。欧拉不仅解决了七桥
问题，而且他提出飞思想导致了一门新的数学分支——“图论” 的诞生。
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欧拉是如何解决七桥问题的？又是如何证明要想一次走过七 座桥是不可能的呢？欧拉的方法十分巧妙： （1）不考虑4个地区的大小、形状，不妨将它们看成是链接桥 梁的4个点；
我们看一个现实世界中的具体问题，通过 抽象、概括归结出一个相应的“数学模型”的 生动、有趣的典型例子。
哥尼斯堡七桥问题
1.七桥漫步
哥尼斯堡城是由条顿骑士团在1308年建立，曾作为东普鲁 士的首府。第二次世界大战后，成为前苏联最大的海军基地。 现在的格尼斯堡位于立陶宛和波兰之间。 在第二次世界大战时，法军经这里入侵波兰。后来苏军也
（2）不考虑桥梁的曲直、长短，不妨将它们看成连接4个点的
7条线。 于是一座仪态万千的 格尼斯堡古城在欧拉笔 下就变成了一个结构简 单是几何图形。
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于是七桥问题就变成了用笔不重复的（笔不离开纸面）画出 这个几何图形的问题，即“一笔画”问题。如果可以画出来， 则必有一个起点和一个终点，如果这两点不重合，则与起点或 终点相交的线必为奇数条（称为奇点），如果起点与终点重合， 则与之相交的线必为偶数条（称为偶点），而除了起点与终点 外，其他点也必为偶点。据以上分析，如果一个图形可以一笔 画出来，则必须满足两个条件：
例3 化简3 2 5 3 2 5
解 这个算式含有立方根,直接化简较为繁难.
令 x 3 2 5 3 2 5, 两边立方并整理得: x3 4 3(3 2 5 3 2 5 ) 4 3x ,
由此可以看出
3
2 5 3 2 5,
是三次方程x3 3x 4 0的一个实根,
从而可以构造它的模拟题:
求方程 x3 3x 4 0的实根. 分解因式得 ( x 1)( x 2 x 4) 0. 方程x2 x 4 0,因为 1 4 4 0, 所以没有实根,
于是方程x3 3x 4 0有且只有一个实根 1, 即 3 2 5 3 2 5 1.
a c b c a b tan tan tan b a c
2 2 2 2 2 2
c a
b
1


2ac 2bc 2ab 2 2 b a c (当且仅当a b c时取等号)
所以 tan tan tan 的最小值为2 2.
2 tan y 2 tan y 3 2 1 3 tan y 2 3 tan y 3
x y

6
.
例4 已知0 y x

2
, tan x 3 tan y, 求u x y的最大值.
解 由题设x, y可以看成一个三角形的两个锐角,
构造一个三角形来观察, 找出构造模拟题的途径. 作ABC, 使A=x,B=y, C 过C作CD AB于D.因为0<B<A< , 2 所以D必在A,B之间, 由 tan A 3tan B. X -y
其中V、E、F分布是多面体的定点数、棱数和面数。
这就是高中关于凸多面体的欧拉定理。这个定理是拓 扑学的第一个定理，其使我们看到了几何问题更深刻 的内涵性质。拓扑学已成为当前最为丰富多彩的一个 数学分支。
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D3 A 3
B 5
C 3
1 4 2 2
3
3
1
国际奥林匹克运动会的会标，能否可以“一笔画” ？
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一天又一天，这七座桥上走过了无数的行人，脚下的七桥 触发了人们的灵感，一个有趣的问题在民间传开“能否在一次 散步中每座桥都走一次，而且只能走一次，最后又回到原来的 出发点？”
这个问题看似简单，人人都乐意去测试一下自己的智力，
可是把全城人的智力加在一起，也没有找到一条合适的路线。 这个问题传开以后，许多欧洲有学问的人也参与思考，同样是 一筹莫展。就这样，格尼斯堡这个“七桥问题”给人们提供了 丰富的乐趣和数学兴味，因而使得这座波罗的海的海滨古城闻 名遐迩。