2017-2018学年八年级数学下册 18 微专题 特殊平行四边形中的动手操作问题—折叠、剪切、拼接
八年级数学下册 第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形(第1课时)教案
18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形第1课时【教学目标】知识与技能:1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系.2.探索并证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问题.3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.过程与方法:经历探索矩形的概念和性质及推论的过程,发展合情推理的意识;掌握几何思维方法.情感态度与价值观:培养严谨的推理能力,及自主合作的精神,体会逻辑推理的思维价值.【重点难点】重点:理解矩形的定义,掌握矩形的性质.会用矩形的性质进行计算或证明.难点:掌握直角三角形斜边上的中线的性质及应用.会用矩形的性质进行计算或证明.【教学过程】一、创设情境,导入新课1.平行四边形有哪些性质?2.我们知道三角形具有稳定性,平行四边形也具有稳定性吗?3.在推动平行四边形的过程中,什么发生变化了?什么没变?4.在上述变化过程中,你有没有发现一种熟悉的、更特殊的图形?矩形是我们生活中常见的图形,你还能举出矩形在生活中应用的例子吗?你能总结出矩形的定义吗?矩形具有什么性质,这一节我们就来探究.二、探究归纳活动1:矩形的定义:(1)平行四边形有哪些性质?(动态课件演示)边:平行四边形的对边相等.角:平行四边形的对角相等,邻角互补对角线:平行四边形对角线互相平分对称性:中心对称图形(2)演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形?(小学学过的长方形)引出本课题及矩形定义.(3)矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).(4)矩形与平行四边形、四边形之间的联系与区别.矩形是我们最常见的图形之一,例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象.活动2:探究矩形的性质:1.问题探索:(1)改变平行四边形活动框架的一个内角α的大小,使α逐渐变为90°时,如图:在变化过程中,①平行四边形的内角度数发生了改变, 一个内角α变为90°,其余三个内角也都变为90°;②对角线发生了改变,变成相等;③平行四边形的边长没有改变,对边的位置关系没有改变.(2)变化后的平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形.2.思考:矩形的对角线具有什么性质?提示:相等且互相平分3.归纳:矩形的性质:(通过和学生一起逐一探究得到矩形的性质)(1)矩形的对边平行且相等.(2)角:矩形的四个角都是直角.(3)对角线:矩形的对角线相等.(4)对称性:矩形既是轴对称图形又是中心对称图形.(并与平行四边形的性质比较).活动3:探究直角三角形斜边上的中线的性质:1.问题:如图,通过以上对矩形性质的探究,你能进一步发现图中有多少个直角三角形吗?有多少个等腰三角形吗?你能发现线段AO,CO,BO,DO之间的大小关系吗?这四条线段与AC,BD又是什么关系呢?如果只看直角三角形ABC, BO是什么边上的什么线?你能说说这个结论吗?2.探索:教师引导学生探索:如图,一张矩形纸片,沿着对角线剪去一半,你能得到什么结论?在Rt△ABC中,BO是一条怎样的线段?它的长度与斜边AC有什么关系?一般地,这个结论对所有直角三角形都成立吗?3.归纳:直角三角形斜边上的中线的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.即BO=AC.活动4:例题讲解【例1】在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为点F.求证:DF=DC.分析:连接DE,由四边形ABCD是矩形,AE=AD,从而得出∠DEC=∠AED,由DF⊥AE,得出∠DFE=∠C=90°,证得△DFE≌△DCE,得出结论.证明:连接DE.∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°.∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE.∴DF=DC.总结:矩形的性质的应用:1.证明线段平行、相等或倍分关系.2.证明角相等或求角的度数.【例2】如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE 的周长为()A.20B.12C.14D.13分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,CD=BD,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC,然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.解:选C.∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,∴AD⊥BC,CD=BD=BC=4,∵点E为AC的中点,∴DE=CE=AC=5,∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.总结:直角三角形斜边上中线的性质及应用1.性质:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(2)直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形.2.作用:(1)证明线段的平行、相等或倍分关系.(2)证明角相等.(3)其逆定理可作为证明直角三角形的理论依据.三、交流反思这节课我们学习了矩形的定义和性质,以及直角三角形斜边上的中线的性质.应用性质解决问题.1.矩形:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形⇒3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4.矩形是轴对称图形,连接对边中点的直线是它的两条对称轴.四、检测反馈1.如图,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD相交于点O,则图中等腰三角形的个数是() A.8 B.6 C.4 D.22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边上的中线,则CD的长是()A.20B.10C.5D.3.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是()A.12B.24C.12D.164.如图,在△ABC中,AB=AC=8,AD是底边上的高,E为AC中点,则DE=________.5.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB=_____.6.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC于点E,O,连接CE,则CE的长为________.7.如图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为________.8.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是边AB,CD的中点,连接AF,CE.(1)求证:△BEC≌△DFA.(2)求证:四边形AECF是平行四边形.9.如图,已知矩形ABCD中, F是BC上一点,且AF=BC , DE⊥AF ,垂足是E,连接DF.求证:(1)△ABF≌△DEA.(2)DF是∠EDC的平分线.五、布置作业教科书第60页习题18.2第1题.六、板书设计18.2.1矩形第1课时一、矩形的定义二、矩形的性质三、直角三角形斜边上的中线的性质四、例题讲解五、板演练习七、教学反思矩形是一种特殊的平行四边形,安排在平行四边形与菱形、正方形之间,它既是学生前面学习平行四边形的有关知识的进一步延伸,研究矩形的思想方法又为我们学习后面菱形、正方形奠定了基础,起着承上启下的作用.学生在小学阶段已经学习了长方形和正方形的相关知识,而矩形就是长方形,所以学生对矩形的基本知识已经有一定的了解,而且通过前一章探究平行四边形有关知识的培养,学生具有一定的独立思考和探究的能力.所以本节课主要在学生已有的认知水平上,在实际问题情景中,由学生自主探索发现矩形性质定理,使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程,亲身体验数学思想方法,培养学生能力,促进学生发展.矩形的定义既揭示了矩形的本质属性,也是矩形的一种重要的判定方法,是探索和掌握其性质的前提.因此把本节课的教学重点定为:矩形的定义及其性质定理并补充了练习2,即利用定义来判定矩形.通过对例1的分析,学生对矩形的轴对称性已经可以理解,所以把难点定在矩形性质的应用上.处理时,通过例1的一系列问题串来突破难点.通过把问题设置到实际情境中,让学生进一步体会到数学来源于生活,又服务于生活.通过本节课的学习渗透了一种转化的数学思想,在复杂图形中分离出基本图形是学生分析几何问题的一种重要思想.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
精编新人教版八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形教案(6课时)
18．2 特殊的平行四边形(6课时)18．2.1 矩形第1课时矩形的性质1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．(难点)一、情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．二、合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】 运用矩形的性质求线段或角在矩形ABCD 中，O 是BC 的中点，∠AOD ＝90°，矩形ABCD的周长为24cm ，则AB 长为( )A ．1cmB ．2cmC ．2.5cmD ．4cm解析：在矩形ABCD 中，O 是BC 的中点，∠AOD ＝90°.根据矩形的性质得到△ABO ≌△OCD ，则OA ＝OD ，∠DAO ＝45°，所以∠BOA ＝∠BAO ＝45°，即BC ＝2AB .由矩形ABCD 的周长为24cm ，得2AB ＋4AB ＝24cm ，解得AB ＝4cm.故选D.方法总结：解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．【类型二】 运用矩形的性质解决有关面积问题如图，矩形ABCD 的对角线的交点为O ，EF 过点O 且分别交AB ，CD 于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( ) A.15 B.14 C.13 D.310解析：∵在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，OB ＝OD ，∴∠ABO ＝∠CDO .在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠CDO ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA)，∴S △BOE＝S △DOF ，∴S 阴影＝S △AOB ＝14S 矩形ABCD .故选B. 方法总结：运用矩形的性质，通过证明全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键．【类型三】运用矩形的性质证明线段相等如图，在矩形ABCD 中，以顶点B 为圆心、边BC 长为半径作弧，交AD 边于点E ，连接BE ，过C 点作CF ⊥BE 于F .求证：BF ＝AE .解析：利用矩形的性质得出AD ∥BC ，∠A ＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC ≌△EAB ，进而得出答案．证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠FBC .∵CF ⊥BE ，∴∠BFC ＝∠A ＝90°.由作图可知，BC ＝BE .在△BFC和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠CFB ，∠AEB ＝∠FBC ，EB ＝BC ，∴△BFC ≌△EAB (AAS)，∴BF ＝AE .方法总结：涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明．【类型四】 运用矩形的性质证明角相等如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED .求证：AE 平分∠BAD .解析：要证AE 平分∠BAD ，可转化为△ABE 为等腰直角三角形，得AB ＝BE .又AB ＝CD ，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°.∵EF ⊥ED ，∴∠BEF ＋∠CED ＝90°.∴∠BFE ＝∠CED ，∴∠BEF ＝∠EDC .在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE ＝∠CED ，EF ＝ED ，∠BEF ＝∠EDC ，∴△EBF ≌△DCE (ASA)．∴BE ＝CD .∴BE ＝AB ，∴∠BAE ＝∠BEA ＝45°，∴∠EAD ＝45°，∴∠BAE ＝∠EAD ，∴AE 平分∠BAD .方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质如图，在△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．(1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长；(2)求证：EF 垂直平分AD .解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE ＝AE ＝12AB ，DF ＝AF ＝12AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．(1)解：∵AD 是△ABC 的高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE＝AE ＝12AB ＝12×10＝5，DF ＝AF ＝12AC ＝12×8＝4，∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18；(2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 、F 在线段AD 的垂直平分线上，∴EF 垂直平分AD .方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．三、板书设计1．矩形的性质矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂教学真正落实到学生的发展上．第2课时矩形的判定1．掌握矩形的判定方法；(重点)2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线相等且互相平分；2．四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．解析：首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥BC，即可得出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，再根据AD是高即可得出四边形ADCE是矩形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE是△BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可．探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA 到N ，ON ＝OB ，再延长OC 至M ，使CM ＝AN .求证：四边形NDMB 为矩形．解析：首先由平行四边形ABCD 可得OA ＝OC ，OB ＝OD .若ON ＝OB ，那么ON ＝OD .而CM ＝AN ，即ON ＝OM .由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝OC ，OD ＝OB .∵AN ＝CM ，ON ＝OB ，∴ON ＝OM ＝OD ＝OB ，∴MN ＝BD ，∴四边形NDMB 为矩形．方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形如图，▱ABCD 各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H .求证：四边形EFGH 是矩形．解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC＝180°.∵AH ，BH 分别平分∠DAB 与∠ABC ，∴∠HAB ＝12∠DAB ，∠HBA ＝12∠ABC ，∴∠HAB ＋∠HBA ＝12(∠DAB ＋∠ABC )＝12×180°＝90°，∴∠H ＝90°.同理∠HEF ＝∠F ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】矩形的性质和判定的运用如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF ＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC ＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC ＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43cm，∴S矩形ABCD＝4×43＝163(cm2)．方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．【类型二】 矩形的性质和判定与动点问题如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm/s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．(1)经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？解析：(1)设经过t s 时，四边形PQCD 是平行四边形，根据DP ＝CQ ，代入后求出即可；(2)设经过t ′s 时，四边形PQBA 是矩形，根据AP ＝BQ ，代入后求出即可．解：(1)设经过t s ，四边形PQCD 为平行四边形，即PD ＝CQ ，所以24－t ＝3t ，解得t ＝6；(2)设经过t ′s，四边形PQBA 为矩形，即AP ＝BQ ，所以t ′＝26－3t ′，解得t ′＝132. 方法总结：①证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；②题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．三、板书设计1．矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2．矩形的性质和判定的综合运用在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法．教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率．18.2.2 菱形(2课时)第1课时菱形的性质1．掌握的定义和性质及菱形面积的求法；(重点)2．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点)一、情境导入将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．二、合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】利用菱形的性质证明线段相等如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F.求证：CE＝CF.解析：连接AC.根据菱形的性质可得AC平分∠DAB，再根据角平分线的性质可得CE＝FC.证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【类型二】利用菱形的性质进行有关的计算如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm.过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.(1)求OC的长；(2)求四边形OBEC的面积．解析：(1)在直角三角形OCD中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角三角形OCD中，OC＝CD2－OD2＝52－32＝4(cm)；(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形．∵OB＝OD，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题．【类型三】运用菱形的性质证明角相等如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.解析：根据“菱形的对角线互相平分”可得OD＝OB，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得OH＝OB，∠OHB＝∠OBH，根据“两直线平行，内错角相等”求出∠OBH＝∠ODC，然后根据“等角的余角相等”证明即可．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝12BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.方法总结：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．【类型四】运用菱形的性质解决探究性问题感知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF.探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展：如图③，在▱ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB ＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数．解析：探究：△ADE 与△DBF 全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD 为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE ≌△DBF ；拓展：因为点O 在AD 的垂直平分线上，所以OA ＝OD ，再通过证明△ADE ≌△DBF ，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE 的度数．解：探究：△ADE 与△DBF 全等．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD .∵AB ＝BD ，∴AB ＝AD ＝BD ，∴△ABD 为等边三角形，∴∠DAB ＝∠ADB ＝60°，∴∠EAD ＝∠FDB ＝120°.∵AE ＝DF ，∴△ADE ≌△DBF ；拓展：∵点O 在AD 的垂直平分线上，∴OA ＝OD .∴∠DAO ＝∠ADB ＝50°，∴∠EAD ＝∠FDB ＝130°.∵AE ＝DF ，AD ＝DB ，∴△ADE ≌△DBF ，∴∠DEA ＝∠AFB ＝32°，∴∠EDA ＝∠OAD －∠DEA ＝18°.方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质的综合运用，解题时一定要熟悉相关的基础知识并进行联想．探究点二：菱形的面积已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD ＝120°，AC ＝4，则该菱形的面积是( )A ．16 3B ．8 3C ．4 3D ．8解析：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，OA ＝12AC ＝2，OB ＝12BD ，AC ⊥BD ，∠BAD ＋∠ABC ＝180°.∵∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝4，∴OB ＝AB 2－OA 2＝42－22＝23，∴BD ＝2OB ＝43，∴S菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×4×43＝8 3.故选B.方法总结：菱形的面积有三种计算方法：①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；②对角线分得的四个全等三角形面积之和；③两条对角线的乘积的一半．三、板书设计1．菱形的性质菱形的四边条都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．2．菱形的面积S 菱形＝边长×对应高＝12ab (a ，b 分别是两条对角线的长)通过剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数需要教师加以引导．但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确还需要证明，因此问题就上升到证明这个环节．在整个新知生成过程中，探究活动起了重要的作用．课堂中学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气．第2课时菱形的判定1．掌握菱形的判定方法；(重点)2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC 的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE 是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC ＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD ＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．解析：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形．证明：(1)由作图知PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD ＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.在△AED与△CFD中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC＝∠FCA，∠AED＝∠CFD，AD＝CD，∴△AED≌△CFD(AAS)；(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．探究点二：菱形的判定的应用【类型一】菱形判定中的开放性问题如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF.同理ED＝CD.∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC⊥EF.方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】菱形的性质和判定的综合应用如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由．解析：(1)首先利用“SSS”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF .在△BCF 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°，∴∠EFD ＝∠BCD .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、板书设计1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形．2．菱形的性质和判定的综合运用在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用．18.2.3 正方形(2课时)第1课时正方形的性质1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点)2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】特殊平行四边形的性质的综合菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE ＝2x .∴2x ＝1－x ，解得x ＝2－1，即BE 的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】 利用正方形的性质解决角的计算或证明问题在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数．解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF 中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE .解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE . 证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE . 方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．【类型二】 有关正方形性质的综合应用题如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt△AED 和Rt△AFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt△AED ≌Rt△AFB (HL)，∴S △AED ＝S △AFB .∵S 四边形ABCD ＝24cm 2，∴S 正方形AFCE ＝24cm 2，∴AE ＝EC ＝26cm.根据勾股定理得AC ＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．三、板书设计1．正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形性质的综合应用通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．。
人教版八年级数学下册第十八章18.2特殊的平行四边形(教案)
最后，我意识到教学过程中与学生的互动非常重要。通过提问和鼓励学生回答问题，我可以更好地了解他们的学习情况，并及时调整教学策略。在未来的课堂中，我会更加注重与学生的互动，创造一个更加活跃和参与感强的学习环境。
另外，小组讨论的环节似乎很受学生们的欢迎。他们在这个环节中能够积极地交流想法，互相学习。不过，我也观察到有些小组在讨论时可能会偏离主题，或者花费太多时间在非关键的问题上。为了提高讨论的效率，我考虑在下次活动中提供更明确的讨论指导，并在讨论过程中适时地给予引导。
我还发现，在讲解难点时，用简单的语言和图示来解释复杂的几何关系非常有效。学生们反馈说，这样的讲解方式更容易帮助他们理解和记忆。因此，我会在今后的教学中继续采用这种方法，并且尝试找到更多有趣且直观的教学工具。
五、教学反思
在上完这节特殊的平行四边形的课程后，我有一些想法想要记录下来。首先，我发现学生们对于矩形、菱形和正方形的性质与判定的掌握程度参差不齐。在讲授过程中，我尽量通过生动的例子和直观的图形来解释这些概念，但显然，对于一些学生来说，这些知识点还是有一定的难度。
我注意到，当涉及到实际应用问题时，学生们往往不知道如何将所学的理论知识运用到具体情境中。这可能是因为我们在教学中缺乏足够的实际案例分析和练习。在未来的课程中，我需要增加更多的实际问题，让学生们有更多的机会去实践和运用。
4.培养学生团队合作意识，提高交流表达与概括总结能力，在学习过程中形成严谨的科学态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-矩形、菱形、正方形的性质与判定：这是本节课的核心内容，学生需要掌握这三种特殊平行四边形的基本性质，并能运用这些性质进行判定。
人教版数学八年级下册第18章平行四边形主题数学活动折纸做60、30、15角优秀教学案例
（五）作业小结
1.布置相关的作业，让学生巩固本节课所学的知识，提高学生的知识运用能力。
2.要求学生在作业中尝试运用所学知识解决实际问题学生的知识掌握和能力提高，鼓励学生的创新和探究精神。
3.教师对学生的学习过程和结果进行综合评价，关注学生的知识掌握和能力提高，鼓励学生的创新和探究精神。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用实物和模型，展示60度、30度、15度角的实际应用场景，激发学生的学习兴趣。
2.提出问题，引导学生思考这些角在实际生活中的重要性，激发学生的好奇心和求知欲。
3.引导学生回顾之前学过的几何知识，为新知识的学习做好铺垫。
2.引导学生运用所学知识，探讨并总结平行四边形的性质和判定方法。
3.鼓励学生分享自己的观点和经验，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的内容，让学生明确平行四边形的性质、判定方法和制作60度、30度、15度角的方法。
2.强调平行四边形在实际生活中的应用，让学生认识到学习几何学科的重要性。
5.综合评价：本节课对学生的学习过程和结果进行综合评价，关注学生的知识掌握和能力提高。教师不仅注重学生的知识与技能的培养，还关注学生的过程与方法、情感态度与价值观的培养。这种全面评价能够更好地促进学生的全面发展，使学生在学习中不断进步和成长。
（二）问题导向
1.教师提出问题，引导学生思考，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生的问题解决能力。
2.教师设计具有挑战性和探究性的问题，引导学生进行深入的思考和探索，提高学生的几何思维能力。
3.教师引导学生通过小组合作、讨论等方式，共同解决问题，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
八年级数学下册《特殊的平行四边形》教案、教学设计
2.提高题：完成课本第76页第7-10题，旨在培养学生运用特殊平行四边形知识解决实际问题的能力。
3.拓展题：选择一道与特殊平行四边形相关的拓展题，要求学生在课后查阅资料、思考讨论，提高学生的自主学习能力。
4.小组作业：以小组为单位，共同完成一道特殊平行四边形的综合应用题，培养学生团队合作精神和解决问题的能力。
6.加强学习评价，关注学生的个体差异，提高教学质量。
-过程性评价：关注学生在课堂上的表现，如发言、讨论、作业等，给予及时的反馈和指导。
-总结性评价：通过测试、竞赛等形式，检验学生对特殊平行四边形知识的掌握程度，为后续教学提供依据。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-利用多媒体展示生活中常见的特殊平行四边形实物，如窗户、桌面、魔方等，引发学生对特殊平行四边形的关注。
-讲解矩形、菱形、正方形的性质，如对边平行、对角相等、邻边垂直等。
-结合实例，讲解特殊平行四边形的判定方法。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，每组选择一种特殊平行四边形，探讨其性质和判定方法。
-小组内部分工合作，共同完成探讨任务。
2.教学目的：
-培养学生的合作意识和团队精神。
4.掌握特殊的平行四边形在实际生活中的应用，如建过观察、猜想、验证等环节，让学生自主探究特殊的平行四边形的性质，培养他们的观察力和动手操作能力。
2.利用小组合作、讨论交流等形式，引导学生发现并解决问题，提高合作意识和团队精神。
3.运用实际问题，激发学生的学习兴趣，让他们在解决问题的过程中，掌握数学思维方法，提高分析问题和解决问题的能力。
【小初高学习]2017-2018学年八年级数学下册 18 微专题 特殊平行四边形中的动手操作问题—折
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微专题：特殊平行四边形中的动手操作问题——折叠、剪切、拼接【河北热点】【河北中考分布：河北2017T11考查正方形的剪切，河北2016T13考查平行四边形的折叠，河北2015T16考查矩形的剪拼】◆类型一折叠问题中求角度和长度1．如图，将矩形ABCD折叠，AE是折痕，点D恰好落在BC边上的点F处，如果∠BAF ＝50°，那么∠DEA等于( )A．40°B．50°C．60°D．70°2．(2017·舟山中考)已知一张矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝2，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段DG的长为( )A. 2 B．2 2 C．1 D．23．(2017·河北模拟)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )A．3 B．4 C．5 D．6第3题图第4题图4．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合．如果∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数为________．5．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长为________．6．(唐山乐亭县模拟)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，且BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，则BG的长是________．7．(2017·定州期中)如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E.(1)求证：△BEA≌△DEF；(2)若AB＝2，AD＝4，求AE的长．◆类型二特殊四边形的剪切与拼接8．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为( )A．30° B．45° C．60° D．90°第8题图第9题图9．(河北中考)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n不可能是( )A．2 B．3 C．4 D．510．(河北中考)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼成一个与原来面积相等的正方形，则( )A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以11．(2017·保定二模)如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A、B两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D.“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为( )A．2∶1 B.10∶1 C．3∶1 D．23∶112．(2017·廊坊文安县期中)请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中的每一个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)，依题意，割补前后图形的面积相等，有x2＝5，解得x＝ 5.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形(直接画出图形，不需写过程)．13．★(2016·张家口宣化县模拟)如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图②，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值．参考答案与解析1．D 2.A 3.B 4.56°5．2－ 2 解析：∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，∴AE＝ 2.由折叠易得△ABB ′为等腰直角三角形，∴BB ′＝AB 2＋AB ′2＝22，∴CB ′＝BB ′－BC ＝22－2.∵AB ∥CD ，∴∠FCB ′＝∠B ＝45°.又由折叠的性质知，∠B ′＝∠B ＝45°，∴△B ′CF 为等腰直角三角形，∴CF 2＋B ′F 2＝B ′C 2，即2B ′F 2＝B ′C 2，∴B ′F ＝2－ 2.6．8 解析：由折叠可知EF ＝EC ＝12BC ＝6，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG＝∠A ＝90°.在Rt△ADG 和Rt△FDG中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DF ，DG ＝DG ，∴Rt△ADG ≌Rt△FDG (HL)，∴AG ＝FG .设AG ＝FG ＝x ，则EG ＝x ＋6，BG ＝12－x ，由勾股定理得EG 2＝BE 2＋BG 2，即(x ＋6)2＝62＋(12－x )2，解得x ＝4，∴AG ＝4，∴BG ＝8.7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°.由折叠得FD ＝CD ，∠F ＝∠C ＝90°，∴AB ＝FD ，∠A ＝∠F .在△BEA 和△DEF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠FED ，∠A ＝∠F ，AB ＝FD ，∴△BEA ≌△DEF .(2)解：∵△BEA ≌△DEF ，∴BE ＝DE ＝AD －AE ＝4－AE .设AE ＝x ，则BE ＝4－x .在Rt△BAE 中，由勾股定理得AB 2＋AE 2＝BE 2，∴22＋x 2＝(4－x )2，解得x ＝32，∴AE ＝32.8．B9．A 解析：如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n 可以为3，4，5，故n 不可能为2.10．A 解析：所拼图形如图所示，甲、乙都可以拼成一个与原来面积相等的正方形．故选A.11．A 解析：如图，易知四边形ACBE 是正方形，AB 与CE 是正方形的对角线，则CD＝DE＝AD＝BD，则组成的这个矩形的长与宽的比为2∶1，故选A.12．解：如图所示．13．解：如图①为第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图．N1N2＝EN1＋EN2＝NB＋NC＝BC，M1M2＝M1G＋GM＋MH＋M2H＝2(GM＋MH)＝2GH＝BC(三角形中位线定理)．∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是平行四边形，其周长为2N1N2＋2M1N1＝2BC＋2MN.∵BC＝6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．如图②是剪拼之前的完整示意图，过点G，H作BC边的平行线，分别交AB，CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即PB2＋BC2＝42＋62＝213.四边形M1N1N2M2的周长为2BC ＋2MN＝12＋2MN，∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12＋2×4＝20，最大值为12＋2×213＝12＋413.故拼成的四边形纸片的周长的最小值为20，最大值为12＋413.。
吉州区四中八年级数学下册 第十八章 平行四边形 小专题训练(六) 平行四边形与特殊平行四边形中的动点
归纳：
10n= 1 =0.00 01．
100 0
n个0
n个0
思考：
如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？
0.003 5=3.5×0.001 =3.5× 1 0 3
0.000 098 2=9.82×0.000 01=9.82×1 0 5
观察上面两个等式 , 10的指数与什么有关呢 ？
〔2〕 a 3 b 2 b 9 a 2b 3 9 a
2.用科学记数法表示以下各数 :
〔1〕0.001 = 1 0 - 3
;
〔2〕-0.000001 = 10-6
;
〔3〕0.001357 =1.35710-3 ;
〔4〕-0.000504 =5.0410-4 .
3.以下是用科学记数法表示的数 , 试写出它 的原数.
求证 : 〔1〕OC = OD ; 〔2〕OP 是 CD 的垂直平分线.
CA
O
EP
DB
证明 : 〔1〕P 是∠AOB 角平分线上的一 点 , PC⊥OA , PD⊥OB ,
∴PC = PD〔角平分线上的点到角两边的 距离相等〕.
在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中 , O OP = OP , PC = PD , ∴Rt△OPC≌ Rt△OPD〔HL〕. ∴OC = OD〔全等三角形对应边相等〕.
C
B
课堂小结
三角形的三个内角的角 平分线交于一点．这一点到 三角形三边的距离相等．
结束语
八年级数学下册第一章三角形的证明4角平分线 第2课时三角形三个内角的平分线课件新版北师 大版7
4. 已知 : 如下图 , 四边形 ABCD 中 , AC 平
分∠BAD , CE⊥AB 于 E , 且∠B +∠D = 180° ,
人教版八年级下册第十八章18.2特殊平行四边形的应用(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质及判定方法的掌握。
-矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等；矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形。
-菱形的性质：对边平行，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；菱形的判定：邻边相等的平行四边形。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的基本概念。它们是一类特殊的平行四边形，具有独特的性质和应用。了解这些性质有助于我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了特殊平行四边形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在上完这节课后，我认真回顾了整个教学过程，有一些深刻的体会和反思。首先，关于特殊平行四边形的应用这一部分内容，我发现学生们在理解性质和判定方法上存在一定难度。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重引导学生从几何直观和实际案例出发，帮助他们更好地理解和掌握这些核心概念。
在讲授过程中，我尝试采用了问题驱动的教学方法，让学生们通过分组讨论、实验操作等方式，主动探索特殊平行四边形在实际生活中的应用。这种教学方式取得了较好的效果，学生们积极参与，课堂氛围活跃。但同时，我也发现部分学生在讨论过程中过于依赖同学，缺乏独立思考的能力。因此，在今后的教学中，我将更加关注培养学生的独立思考能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调特殊平行四边形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
人教版八年级数学下册第十八章平行四边形数学活动探折纸、找原理教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师出示一张平行四边形的纸片，引导学生观察并提问：“同学们，你们认识这个图形吗？它有什么特点？”
2.学生回答后，教师总结：“这个图形叫做平行四边形，它有两组对边分别平行且相等。今天我们将通过折纸活动来探索平行四边形的性质。”
（4）注重分层教学，针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题，使每个学生都能得到提高。
2.教学过程：
（1）导入：通过展示平行四边形的实物，激发学生的兴趣，为新课的学习做好铺垫。
（2）探究：组织学生进行折纸活动，引导他们观察、分析、归纳平行四边形的性质。
（3）讲解：在学生自主探究的基础上，教师进行讲解，总结平行四边形的性质和判定方法。
然而，学生在面对较为复杂的几何问题时，可能会出现思路不清晰、解决问题方法单一等情况。因此，在本章节的教学中，教师应关注学生的思维发展，引导他们从不同角度分析问题，培养他们解决问题的策略和思维方法。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：平行四边形的性质及其判定方法，运用折纸方法探索平行四边形的性质。
3.设计富有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，引导学生运用所学的知识解决实际问题，培养解决问题的策略和思维方法。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，激发他们学习数学的热情，使他们体会到数学在生活中的广泛应用。
2.培养学生勇于探究、积极思考的精神，使他们善于从不同角度观察和分析问题，形成良好的思维习惯。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结平行四边形的性质、判定方法及其在实际生活中的应用。
2.学生分享学习心得，交流学习方法和技巧。
(精品人教)2020年八年级数学下册18微专题特殊平行四边形中的动手操作问题—折叠、剪切、拼接习题
微专题：特殊平行四边形中的动手操作问题——折叠、剪切、拼接【河北热点】【河北中考分布：河北2017T11考查正方形的剪切，河北2016T13考查平行四边形的折叠，河北2015T16考查矩形的剪拼】◆类型一折叠问题中求角度和长度1．如图，将矩形ABCD折叠，AE是折痕，点D恰好落在BC边上的点F处，如果∠BAF＝50°，那么∠DEA等于( )A．40°B．50°C．60°D．70°2．(2017·舟山中考)已知一张矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝2，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段DG 的长为( )A. 2 B．2 2 C．1 D．23．(2017·河北模拟)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )A．3 B．4 C．5 D．6第3题图第4题图4．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合．如果∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数为________．5．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长为________．6．(唐山乐亭县模拟)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，且BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，则BG的长是________．7．(2017·定州期中)如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E.(1)求证：△BEA≌△DEF；(2)若AB＝2，AD＝4，求AE的长．◆类型二特殊四边形的剪切与拼接8．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为( )A．30° B．45° C．60° D．90°第8题图第9题图9．(河北中考)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n不可能是( )A．2 B．3 C．4 D．510．(河北中考)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼成一个与原来面积相等的正方形，则( )A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以11．(2017·保定二模)如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A、B两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D.“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为( )A．2∶1 B.10∶1 C．3∶1 D．23∶112．(2017·廊坊文安县期中)请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中的每一个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)，依题意，割补前后图形的面积相等，有x2＝5，解得x＝ 5.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形(直接画出图形，不需写过程)．13．★(2016·张家口宣化县模拟)如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图②，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC 上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H 点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值．参考答案与解析1．D 2.A 3.B 4.56°5．2－ 2 解析：∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ＝ 2.由折叠易得△ABB ′为等腰直角三角形，∴BB ′＝AB 2＋AB ′2＝22，∴CB ′＝BB ′－BC ＝22－2.∵AB ∥CD ，∴∠FCB ′＝∠B ＝45°.又由折叠的性质知，∠B ′＝∠B ＝45°，∴△B ′CF 为等腰直角三角形，∴CF 2＋B ′F 2＝B ′C 2，即2B ′F 2＝B ′C 2，∴B ′F ＝2－ 2.6．8 解析：由折叠可知EF ＝EC ＝12BC ＝6，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°.在Rt△ADG和Rt△FDG中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DF ，DG ＝DG ，∴Rt△ADG ≌Rt△FDG (HL)，∴AG ＝FG .设AG ＝FG ＝x ，则EG ＝x ＋6，BG ＝12－x ，由勾股定理得EG 2＝BE 2＋BG 2，即(x ＋6)2＝62＋(12－x )2，解得x ＝4，∴AG ＝4，∴BG ＝8.7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°.由折叠得FD ＝CD ，∠F ＝∠C ＝90°，∴AB ＝FD ，∠A ＝∠F .在△BEA 和△DEF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠FED ，∠A ＝∠F ，AB ＝FD ，∴△BEA ≌△DEF .(2)解：∵△BEA ≌△DEF ，∴BE ＝DE ＝AD －AE ＝4－AE .设AE ＝x ，则BE ＝4－x .在Rt△BAE 中，由勾股定理得AB 2＋AE 2＝BE 2，∴22＋x 2＝(4－x )2，解得x ＝32，∴AE ＝32.8．B9．A 解析：如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n 可以为3，4，5，故n 不可能为2.10．A 解析：所拼图形如图所示，甲、乙都可以拼成一个与原来面积相等的正方形．故选A.11．A 解析：如图，易知四边形ACBE 是正方形，AB 与CE 是正方形的对角线，则CD ＝DE ＝AD ＝BD ，则组成的这个矩形的长与宽的比为2∶1，故选A.12．解：如图所示．13．解：如图①为第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图．N1N2＝EN1＋EN2＝NB＋NC＝BC，M1M2＝M1G＋GM＋MH＋M2H＝2(GM＋MH)＝2GH＝BC(三角形中位线定理)．∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是平行四边形，其周长为2N1N2＋2M1N1＝2BC＋2MN.∵BC＝6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．如图②是剪拼之前的完整示意图，过点G，H作BC边的平行线，分别交AB，CD于P点、Q点，则四边形PBCQ 是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即PB2＋BC2＝42＋62＝213.四边形M1N1N2M2的周长为2BC＋2MN＝12＋2MN，∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12＋2×4＝20，最大值为12＋2×213＝12＋413.故拼成的四边形纸片的周长的最小值为20，最大值为12＋413.。
株洲县第六中学八年级数学下册 第十八章 平行四边形 小专题训练(六) 平行四边形与特殊平行四边形中的
由前边的作图比较过程 , 我们可以得出什么结论 ？
两边和它们的夹角対应相等的两个三角形全
等Байду номын сангаас简写成〞边角边”或〞SAS”
用符号语言表达为 :
A
在△ABC与△DEF中
AB=DE ∠A=∠D
B
C
D
探究新知2
⑵边－边－角
〔角不夹在两边的中间 , 形成两边一対角 〕
做一做 已知两条线段和一个角 , 以长的线段为已知角
AB=AE
4、如下图 , AB平分∠DAC , 要用SAS条件确定 △ABC≌△ADB,还需要有什么条件 ？
C
AC=AD
B A
寻找相等的対应角
D
角平分线
寻找相等的対应边
全品P25 8题、9题
证明线段相等---先证明三角形全等〔SAS)
寻找相等的対应角 根据平行线的性质 〔内错角相等、同位角相等〕 直角三角形〔直角〕
√(3) AB=DE AC=DF ∠A=∠D A D
B
CE
F
例2: 在人工湖的岸边有A、B两点 , 难以直 接量出A、B两点间的距离。你能设计一 种量出A、B两点之间距离的方案吗 ？
A
B C
B′
A
C
A′
B
解 : 在岸上取可以直接到达A , B的一点C,连接 AC , 延长AC到点A′ , 使A′C=AC ; 连接BC,并 延长BC到点B′ , 使B′C=BC.连接A′ B′ , 量出的 长度 , 就是AB两点间距离.
F C 在△ABF和△DCE中 ,
寻找対应相等的边角边
BF=CE
∠B=∠C
3、如下图 , 已知寻AB找=相AE等,A的C角=AD,∠BAD=∠EAC,
人教版数学八年级下册专题训练：特殊平行四边形中的解题方法.doc
学校班级姓名解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．第1题图第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．变式题(1)图变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．◆类型二正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF ＝S△ABE＋S△ADF.6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.求证：BP＋CP＝2OP.参考答案与解析1.245解析：如图，过点Q 作QE ⊥AC 交AB 于点E ，则PQ ＝PE .∴DP ＋PQ ＝DP ＋PE .当点D ，P ，E 三点共线的时候DP ＋PQ ＝DP ＋PE ＝DE 最小，且DE 即为所求．当DE ⊥AB 时，DE 最小．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝4，OB ＝12BD ＝3，∴AB ＝5.∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝AB ·DE ，∴12×8×6＝5·DE ，∴DE ＝245.∴DP ＋PQ 的最小值为245.2．6 解析：如图，设BE 与AC 交于点P ，连接BD .∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE ，即P 为AC 与BE 的交点时，PD ＋PE 最小，为BE 的长度．∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB ＝6.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝6.故所求最小值为6.故答案为6.3.245解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OB ＝OC ＝12AC ＝5.如图，连接OP ，∵S △OBP ＋S △OCP ＝S △OBC ，∴OB ·PF 2＋OC ·PE2＝S △OBC ，∴5·PF 2＋5·PE 2＝S △OBC .∵S △OBC ＝14S矩形ABCD ＝14AB ·BC ＝14×6×8＝12，∴5·PF 2＋5·PE 2＝12，∴PE ＋PF ＝245.【变式题】(1)52 解析：∵菱形ABCD 的周长为40，面积为25，∴AB ＝AD ＝10，S △ABD＝252.连接AP ，则S △ABD ＝S △ABP ＋S △ADP ，∴12×10(PE ＋PF )＝252，∴PE ＋PF ＝52. (2)22 解析：连接BP ，过点E 作EH ⊥BC 于H .∵S △BPE ＋S △BPC ＝S △BEC ，∴BE ·PM2＋BC ·PN 2＝BC ·EH 2.又∵BE ＝BC ，∴PM 2＋PN 2＝EH 2，即PM ＋PN ＝EH .∵△BEH 为等腰直角三角形，且BE ＝BC ＝1，∴EH ＝22，∴PM ＋PN ＝EH ＝22. 4．3 25．证明：延长CB 到点H ，使得HB ＝DF ，连接AH .∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABH ＝∠D ＝90°，AB ＝AD .∴△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后能和△ABH 重合，∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF .∵∠HAE ＝∠HAB ＋∠BAE ＝∠DAF ＋∠BAE ＝90°－∠EAF ＝90°－45°＝45°，∴∠HAE ＝∠EAF ＝45°.又∵AE ＝AE ，∴△AEF 与△AEH 关于直线AE 对称，∴S △AEF ＝S △AEH ＝S △ABE ＋S △ABH ＝S △ABE ＋S △ADF .6．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠BOC ＝90°.将△OCP 顺时针旋转90°至△OBE (如图所示)，∴OE ＝OP ，BE ＝CP ，∠OBE ＝∠OCP ，∠BOE ＝∠COP .∵BP ⊥CP ，∴∠BPC ＝90°.∵∠BOC ＋∠OBP ＋∠BPC ＋∠OCP ＝360°，∴∠OBP ＋∠OCP ＝180°，∴∠OBP ＋∠OBE ＝180°，∴E ，B ，P 在同一直线上．∵∠POC ＋∠POB ＝∠BOC ＝90°，∠BOE ＝∠COP ，∴∠BOE ＋∠POB ＝90°，即∠EOP ＝90°.在Rt △EOP 中，由勾股定理得PE ＝OE 2＋OP 2＝OP 2＋OP 2＝2OP .∵PE ＝BE ＋BP ，BE ＝CP ，∴BP ＋CP ＝2OP .中考数学知识点代数式 一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形作业设计新版新人教版
18.2 特殊的平行四边形同步练习一、选择题1.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是()A. 4.8B. 5C. 6D. 7.22.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DD⊥DD于H，连接OH，∠DDD=20∘，则∠DDD的度数是()A. 20∘B. 25∘C. 30∘D. 40∘3.以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是()A. DD=DD，DD=DD，∠D=90∘B. DD=DD=DD=DDC. DD=DD，DD//DD，DD=DDD. DD=DD，DD//DD，DD=DD，DD=DD4.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是()A. 17B. 16C. 8√2D. 8√35.已知菱形的面积为24DD2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的边长是()厘米．A. 8B. 5C. 10D. 4.86.如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若DD=6，则AF等于()A. 4√3B. 3√3C. 4√2D. 87.如图，在周长为12的菱形ABCD中，DD=1，DD=2，若P为对角线BD上一动点，则DD+DD的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 48.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为D1，D2，则D1：D2等于()A. 1：√2B. 1：2C. 2：3D. 4：99.如图：A，D，E在同一条直线上，DD=3，DD=1，BD，DF分别为正方形ABCD，正方形DEFG的对角线，则三角形△DDD的面积为()A. 4.5B. 3C. 4D. 210.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点D′的坐标为()A. (√3,1)B. (2,1)C. (1,√3)D. (2,√3)二、填空题11.一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为______ DD2．12.如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线.将△DDD绕着点D顺时针旋转45∘得到△DDD，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接DD.则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△DDD≌△DDD③∠DDD=112.5∘④DD+DD=1.5其中正确的结论是______．13.如图：在矩形ABCD中，DD=6，DD=8，P为AD上任一点，过点P作DD⊥DD于点E，DD⊥DD于点F，则DD+DD=______ ．14.如图，四边形ABCD是菱形，DD=24，DD=10，DD⊥DD于点H，则线段BH的长为______．15.正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC上，∠DDD=∠DDD=15∘，G是AD上另一点，且∠DDD=120∘，连接EF、BG、FG、EF、BG交于点H，则下面结论：①DD=DD；②△DDD是等边三角形；③∠DDD=45∘；④DD=DD+DD中，正确的是______(请填番号)三、计算题16.如图，在△DDD中，DD=DD，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．(1)求证：四边形BDEF是菱形；(2)若DD=12DD，求菱形BDEF的周长．17.如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠.点B落在E点，AE交DC于F点，已知DD=8DD，DD=4DD.求折叠后重合部分的面积．18.如图1，四边形ABCD是正方形，DD=4，点G在BC边上，DD=3，DD⊥DD于点E，DD⊥DD于点F．(1)求BF和DE的长；(2)如图2，连接DF、CE，探究并证明线段DF与CE的数量关系与位置关系．【答案】1. A2. A3. D4. A5. B6. A7. C8. D9. B10. D11. 12012. ①②③13. 24514. 501315. ①②④16. (1)证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，∴DD//DD，DD//DD，∴四边形BDEF是平行四边形，又∵DD=12DD，DD=12DD，且DD=DD，∴DD=DD，∴四边形BDEF是菱形；(2)解：∵DD=12DD，F为AB中点，∴DD=6DD，∴菱形BDEF的周长为6×4=24DD．17. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠D=90∘，DD=DD，∵将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，∴DD=DD，∠D=∠D，∴DD=DD，∠D=∠D，在△DDD和△DDD中，{∠D=∠D∠DDD=∠DDD DD=DD，∴△DDD≌△DDD，∴DD=DD，DD=DD，设DD=D，则DD=8−D，在DD△DDD中，DD2+DD2=DD2，即(8−D)2+16=D2，解得：D =5，即DD =5DD ， ∴折叠后重合部分的面积=12DD ×DD =10DD 2． 18. 解：(1)如图1，∵四边形ABCD 是正方形， ∴DD =DD =4，∠DDD =90∘， ∵DD ⊥DD ，DD ⊥DD ， ∴∠DDD =∠DDD =90∘， 在DD △DDD 中，DD =√32+42=5， ∵12⋅DD ⋅DD =12⋅DD ⋅DD ， ∴DD =3×45=125，∴DD =√DD 2−DD 2=√42−(125)2=165，∵∠DDD +∠DDD =90∘，∠DDD +∠DDD =90∘， ∴∠DDD =∠DDD ， 在△DDD 和△DDD 中 {∠DDD =∠DDD∠DDD =∠DDD DD =DD，∴△DDD ≌△DDD ，∴DD =DD =165；(2)DD =DD ，DD ⊥DD .理由如下： 作DD ⊥DD 于H ，如图2， ∵△DDD ≌△DDD ，∴DD =DD =125，∴DD =DD −DD =45，与(1)的证明方法一样可得△DDD ≌△DDD ，∴DD =DD =165，DD =DD =125， ∴DD =DD −DD =45， ∴DD =DD ，在△DDD 和△DDD 中{DD=DD∠DDD=∠DDD DD=DD，∴△DDD≌△DDD，∴DD=DD，∠DDD=∠DDD，∵∠1=∠2，∴∠3=∠DDD=90∘，∴DD⊥DD．。
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微专题：特殊平行四边形中的动手操作问题——折叠、剪切、拼接【河
北热点】
【河北中考分布：河北2017T11考查正方形的剪切，河北2016T13考查平行四边形的折叠，河北2015T16考查矩形的剪拼】
◆类型一折叠问题中求角度和长度
1．如图，将矩形ABCD折叠，AE是折痕，点D恰好落在BC边上的点F处，如果∠BAF ＝50°，那么∠DEA等于( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
2．(2017·舟山中考)已知一张矩形纸片ABCD，AB＝3，AD＝2，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则线段DG的长为( )
A. 2 B．2 2 C．1 D．2
3．(2017·河北模拟)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
第3题图第4题图
4．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合．如果∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数为________．
5．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE
为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，
AB′与CD边交于点F，则B′F的长为________．
6．(唐山乐亭县模拟)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，且BE＝EC，将
△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，则BG的长是________．
7．(2017·定州期中)如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E.
(1)求证：△BEA≌△DEF；
(2)若AB＝2，AD＝4，求AE的长．
◆类型二特殊四边形的剪切与拼接
8．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
第8题图第9题图9．(河北中考)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n不可能是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．(河北中考)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼成一个与原来面积相等的正方形，则( )
A．甲、乙都可以
B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以
D．甲可以、乙不可以
11．(2017·保定二模)如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A、B两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D.“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为( )
A．2∶1 B.10∶1 C．3∶1 D．23∶1
12．(2017·廊坊文安县期中)请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中的每一个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)，依题意，割补前后图形的面积相等，有x2＝5，解得x＝ 5.由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形(直接画出图形，不需写过程)．
13．★(2016·张家口宣化县模拟)如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；
第二步：如图②，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值．
参考答案与解析
1．D 2.A 3.B 4.56°
5．2－ 2 解析：∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，∴AE
＝ 2.由折叠易得△ABB ′为等腰直角三角形，∴BB ′＝AB 2＋AB ′2
＝22，∴CB ′＝BB ′－BC ＝22－2.∵AB ∥CD ，∴∠FCB ′＝∠B ＝45°.又由折叠的性质知，∠B ′＝∠B ＝45°，
∴△B ′CF 为等腰直角三角形，∴CF 2＋B ′F 2＝B ′C 2，即2B ′F 2＝B ′C 2
，∴B ′F ＝2－ 2.
6．8 解析：由折叠可知EF ＝EC ＝1
2BC ＝6，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG
＝∠A ＝90°.在Rt△ADG 和Rt△FDG
中，⎩
⎪⎨⎪⎧DA ＝DF ，DG ＝DG ，∴Rt△ADG ≌Rt△FDG (HL)，∴AG ＝FG .
设AG ＝FG ＝x ，则EG ＝x ＋6，BG ＝12－x ，由勾股定理得EG 2
＝BE 2
＋BG 2
，即(x ＋6)2
＝62
＋(12
－x )2
，解得x ＝4，∴AG ＝4，∴BG ＝8.
7．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°.由折叠得FD ＝CD ，∠F ＝∠C ＝90°，∴AB ＝FD ，∠A ＝∠F .在△BEA 和△DEF 中⎩⎪⎨⎪
⎧∠AEB ＝∠FED ，∠A ＝∠F ，
AB ＝FD ，∴△BEA ≌△DEF .
(2)解：∵△BEA ≌△DEF ，∴BE ＝DE ＝AD －AE ＝4－AE .设AE ＝x ，则BE ＝4－x .在Rt△BAE 中，由勾股定理得AB 2＋AE 2＝BE 2，∴22＋x 2＝(4－x )2
，解得x ＝32，∴AE ＝32
.
8．B
9．A 解析：如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n 可以为3，4，5，故n 不可能为2.
10．A 解析：所拼图形如图所示，甲、乙都可以拼成一个与原来面积相等的正方形．故选A.
11．A 解析：如图，易知四边形ACBE 是正方形，AB 与CE 是正方形的对角线，则CD
＝DE＝AD＝BD，则组成的这个矩形的长与宽的比为2∶1，故选A.
12．解：如图所示．
13．解：如图①为第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图．
N1N2＝EN1＋EN2＝NB＋NC＝BC，M1M2＝M1G＋GM＋MH＋M2H＝2(GM＋MH)＝2GH＝BC(三角形中位线定理)．∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是平行四边形，其周长为2N1N2＋2M1N1＝2BC＋2MN.∵BC＝6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．如图②是剪拼之前的完整示意图，过点G，H作BC边的平行线，分别交AB，CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即PB2＋BC2＝42＋62＝213.四边形M1N1N2M2的周长为2BC ＋2MN＝12＋2MN，∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12＋2×4＝20，最大值为12＋2×213＝12＋413.故拼成的四边形纸片的周长的最小值为20，最大值为12＋413.
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