(全等三角形周考1)
全等三角形证明题专项练习题Word版
证明三角形全等专项练习姓名 号数1.如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ． (1)求证：ABE ≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数．2.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .3.如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN的数量关系，并证明你的结论．OCEBDAB CA DMN4.在⊿ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E ，过E 点作BC 的平行线交AC 于F ，交外角∠ACD 的平分线于G 。
求证：F 为EG 的中点。
5.在⊿ABC 中，∠B ＝60。
，∠BAC 和∠BCA 的平分线AD 和CF 交于I 点。
试猜想：AF 、CD 、AC 三条线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明。
6.在直角⊿ABC 中，CA ＝CB ，BD 为AC 上的中线，作∠ADF ＝∠CDB ，如图，连结CF 交BD于E ，求证：CF ⊥BD 。
（提示：作AC 的中线CO ）GOEFDBCA7、以⊿ABC 的边AB 、AC 为边向形外作等边⊿ABM 、⊿CAN ，BN 和CM 交于一点P 。
试判断：第5题 第6题∠APM 、∠APN 的大小关系，并加以证明。
8. 在∆ABC 中，AB=AC ，DE∥BC.（1）试问∆ADE 是否是等腰三角形，说明理由.（2）若M 为DE 上的点，且BM 平分ABC ∠，CM 平分ACB ∠，若ADE ∆的周长20，BC=8.求ABC ∆的周长.9. 如图, 已知: 等腰Rt △OAB 中,∠AOB=900, 等腰Rt △EOF 中,∠EOF=900, 连结AE 、BF. 求证:(1) AE=BF; (2) AE ⊥BF.10. 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线BG于点G ，DE ⊥GF 交AB 于点E ，连接EG 。
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠CC．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．65°5．如图EF=CF，BF=DF则下列结论不一定正确的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADEC．DC=AC D．AB=AD6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为12，DE =2，AB = 7，则 AC 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是．10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，若BD＝4cm，CE＝3cm则DE= cm．12．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．13．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A(−3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为.三、解答题14．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°（1）求证：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度数．15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A ＝25°，∠D ＝15°，求∠ACB 的度数.16．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE.（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，在ABC 中90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在BC 上，连接DF ，且AD DF =． (1)求证：CF AE =；(2)若3AE =，BF=4，求AB 的长．18．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠FAE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF+DE ．1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．AC ＝DC （答案不唯一）10．811．712．613．(2，-1)14．（1）证明：∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ，AE=CE在△ADE 与△CDE 中：DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE （SSS ）；（2）解：∵△ADE ≌△CDE ．∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：（1）∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =．（2）解：由（1）可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10．18．（1）证明：∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△；（2）解：∵90CAE ∠=︒，AC=AE∴45E ∠=︒由（1）知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）证明：延长BF 到G ，使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+．。
人教版八年级数学上册全等三角形测试题及答案(含知识点)
2021-2022学年度 秋季 八年级上学期 人教版数学 全等三角形测试题 一．选择题：1． 在△ABC 和△A ’B ’C ’中, AB=A ’B ’, ∠B=∠B ’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC ≌△A ’B ’C ’, 则补充的这个条件是( )A ．BC=B ’C ’ B ．∠A=∠A ’ C ．AC=A ’C ’D ．∠C=∠C ’2． 直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（ ）A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．都不对3． 现有两根木棒，它们的长分别是40cm 和50cm ，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（ ）A ．10cm 的木棒B ．40cm 的木棒C ．90cm 的木棒D ．100cm 的木棒4．根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC 的是（ ）A ． AB ＝3，BC ＝4，AC ＝8；B ． AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30；C ． ∠A ＝60，∠B ＝45，AB ＝4；D ． ∠C ＝90，AB ＝65．如图3，D ，E 分别是△ABC 的边BC ，AC 上的点，若∠B ＝∠C ，∠ADE ＝∠AED ，则（ ）A ． 当∠B 为定值时，∠CDE 为定值 B ． 当∠α为定值时，∠CDE 为定值C ． 当∠β为定值时，∠CDE 为定值D ． 当∠γ为定值时，∠CDE 为定值 二、填空题： 6．三角形ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A ＋∠B 还大12度，则这个三角形是＿＿三角形． 7．以三条线段3、4、x －5为这组成三角形，则x 的取值为＿＿＿＿． 8．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿． 9．△ABC 中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠A 的平分线交BC 于点D ，若CD ＝8cm ，则点D 到AB 的距离为＿＿＿＿cm ． 10.AD 是△ABC 的边BC 上的中线，AB ＝12，AC ＝8，则边BC 的取值范围是＿＿＿＿；中线AD 的取值范围是＿＿＿＿． 三、解答题： 11． 已知：如图13－4，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ， 求证：△EAD ≌△CAB ． C B E D 图13－4 B 图13－312． 如图13－5，△ACD 中，已知AB ⊥CD ，且BD>CB, △BCE 和△ABD 都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形：①△ABC ≌△DBE ；②△ACB ≌△ABD ； ③△CBE ≌△BED ；④△ACE ≌△ADE ．这些三角形真的全等吗？简要说明理由． 13． 已知，如图13－6，D 是△ABC 的边AB 上一点, DF 交AC 于点E, DE=FE, FC ∥AB,求证：AD=CF ．14． 如图5－7，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D, F 为垂足, DE ⊥AB 于E ，且AB>AC ， 求证：BE －AC=AE ． （第14题图）15． 阅读下题及证明过程：已知：如图8， D 是△ABC 中BC 边上一点，E 是AD 上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE ．证明：在△AEB 和△AEC 中，∵EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，AE=AE ， ∴△AEB ≌△AEC ……第一步∴∠BAE=∠CAE ……第二步 问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依 据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．16．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．A B D C E 图13－5 A B FC D E 图13－6 A B D F C C A B D E 图8 A GH CD F参考答案提示1． C ．（提示：边边角不能判定两个三角形全等．）2． C ．（提示：由三角形内角和为180°可求，要注意有两个不同的角．）3． B ．（提示：利用三角形三边的关系，第三根木棒x 的取值范围是：10cm ＜x ＜90cm ．＝4．C ． (提示：A 不能构成三角形，B 满足边边角，不能判定三角形全等，D 项可画出无数个三角形．)5．B ．（提示：∠CDE ＝∠B ＋∠α－∠γ＝∠γ－∠B ，故得到2（∠B －∠γ）＋∠α＝0．又∵∠γ－∠B ＝∠γ－∠C ＝∠CDE ，所以可得到∠CDE ＝2α，故当∠α为定值时，∠CDE 为定值．） 6．钝角．（提示：由三角形的内角和可求出∠A 、∠B 和∠C 的度数） 7．6＜x<12．（提示：由三边关系可知：4－3＜x －5＜4＋3． 8．三角形的稳定性． 9．8．（提示：点D 到AB 的距离与CD 的长相等．） 10．4＜BC ＜20；2＜AD ＜10．（提示：要注意三角形一边上的中线的取值范围是大于另两边之差的一半，小于两边之和的一半．） 11． 提示：先证∠EAD=∠CAB ，再由SAS 即可证明． 12． ①△ABC ≌△DBE ，BC=BE ，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BD ，符合SAS ；②△ACB 与△ABD 不全等，因为它们的形状不相同，△ACB 只是直角三角形，△ABD 是等腰直角三角形；③△CBE 与△BED 不全等，理由同②；④△ACE 与△ADE 不全等，它们只有一边一角对应相等． 13． 提示：由ASA 或AAS ，证明△ADE ≌△CFE ． 14． 过D 作DN ⊥AC, 垂足为N, 连结DB 、DC 则DN=DE ，DB=DC ，又∵DE ⊥AB, DN ⊥AC, ∴Rt △DBE ≌Rt △DCN ， ∴BE=CN ．又∵AD=AD ，DE=DN ，∴Rt △DEA ≌Rt △DNA ，∴AN=AE ，∴BE=AC+AN=AC+AE ，∴BE －AC=AE ． 15．上面证明过程不正确; 错在第一步. 正确过程如下：在△BEC 中，∵BE=CE ， ∴∠EBC= ∠ECB ， 又∵∠ABE=∠ACE ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC. 在△AEB 和△AEC 中, AE=AE. BE=CE, AB=AC, ∴△AEB ≌△AEC, ∠BAE=∠CAE. 16．如图11所示，过B 点作BH ⊥BC 交CE 的延长线于H 点． ∵∠CAD ＋∠ACF ＝90°，∠BCH ＋∠ACF ＝90°， ∴∠CAD ＝∠BCH ．在△ACD 与△CBH 中, ∵∠CAD ＝∠BCH ，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBH ＝90°， ∴△ACD ≌△CBH ．∴∠ADC ＝∠H ① CD ＝BH ， ∵CD ＝BD ，∴BD ＝BH ． ∵△ABC 是等腰直角三角形，∠CBA ＝∠HBE ＝45°A B C D E F H 图11人教版八年级数学上册必须要记、背的知识点第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外八年级上册12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角 线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线. 第十二章 全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称一、知识框架：人教版数学二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P(,).x yx y关于x轴对称的点的坐标为'P(,)②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y .⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）. ③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线： ⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形： ⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短. 第十四章 整式的乘除与分解因式 一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()nm mn a a = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法： ⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式. 5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-人教版数学②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法 ⑸添项法第十五章 分式一、知识框架 ： 二、知识概念：1.分式：形如A B ，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用11 字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.整数指数幂：⑴m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()nn n ab a b =（n 是正整数） ⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1n n a a -=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
八年级全等三角形专题练习(解析版)
一、八年级数学全等三角形解做题压轴题〔难〕1. 〔1〕如图〔1〕,：在△ ABC中,N BAC=90.,AB二AC,直线m经过点A, 8口,直线m, CE J_直线m,垂足分别为点D、E.证实:DE=BD+CE.〔2〕如图〔2〕,将〔1〕中的条件改为：在△ ABC中,AB=AC, D、A、E三点都在直线m 上,并且有N BDA=Z AEC=Z BAC=.,其中.为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立,请你给出证实;假设不成立,请说明理由.〔3〕拓展与应用：如图〔3〕 , D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点〔D、A、E 三点互不重合〕,点F为N BAC平分线上的一点,且△ ABF和^ ACF均为等边三角形,连接BD、CE,假设N BDA=Z AEC=Z BAC,试判断△ DEF 的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3) 4DEF为等边三角形【解析】解：(1)证实：BDL直线m, CEJ_直线m,,N BDA=N CEA=900.: Z BAC=90°, /. Z BAD+Z CAE=90°.•/ Z BAD+Z ABD=90°, /. Z CAE=Z ABD.又AB二“AC〞,「・△ ADB合△ CEA (AAS) . /. AE=BD, AD=CE./. DE=,,AE+AD=H BD+CE.(2)成立.证实如下：: Z BDA =Z BAC=a , /. Z DBA+Z BAD=Z BAD+Z CAE=180°-O r . /. Z DBA=Z CAE.Z BDA=Z AEC=., AB=AC,「・△ AD於△ CEA (AAS). /. AE=BD, AD=CE.DE二AE+AD=BD+CE.(3)△ DEF为等边三角形.理由如下：由(2)知,△ ADB合△ CEA, BD=AE, Z DBA =Z CAE,: △ ABF 和^ ACF 均为等边三角形,J Z ABF=Z CAF=60°.・•, Z DBA+Z ABF=Z CAE+Z CAF. /. Z DBF=Z FAE.; BF=AF,,•・丛DBF合△ EAF (AAS) . /. DF=EF, Z BFD=Z AFE.・•, Z DFE=Z DFA+z AFE=Z DFA+Z BFD=60°.・•.A DEF为等边三角形.(1)由于DE=DA+AE,故由AAS证△ ADB合4 CEA,得出DA=EC, AE=BD,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证实△ ADB2 J CEA,得出BD=AE, AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由△ ADB2△ CEA得BD=AE, NDBA=N CAE,由△ ABF和△ ACF均等边三角形,得Z ABF=Z CAF=60°, FB=FA,所以N DBA+N ABF=N CAE+N CAF,即N DBF二N FAE,所以△ DBF^ △ EAF,所以FD=FE, Z BFD=Z AFE,再根据N DFE=Z DFA+Z AFE=Z DFA+Z BFD=60°得到△ DEF是等边三角形.2.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE, PE 交CD 于 F〔1〕证实：PC=PE；〔2〕求N CPE的度数：〔3〕如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当N ABC=12〔T时,连接【答案】(1)证实见解析(2) 90° (3) AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC, ZABP=ZCBP=45%结合PB=PB得出aABP g^CBP,从而得出结论：⑵、根据全等得出NBAP=NBCP, ZDAP=ZDCP,根据PA=PE得出NDAP=NE,即ZDCP=ZE,易得答案；(3)、首先证实4ABP和^CBP全等,然后得出PA=PC, NBAP=NBCP,然后得出NDCP二NE,从而得出NCPF=NEDF=60°,然后得出AEPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】⑴、在正方形ABCD 中,AB=BC, ZABP=ZCBP=45%在ZkABP 和4CBP 中,XV PB=PB AAABP^ACBP (SAS) , ,PA=PC, VPA=PE>:.PC=PE；⑵、由(1)知,A ABP^ACBP,.\ZBAP=ZBCP, JNDAP=NDCP,VPA=PE, .\ZDAP=ZE> /. ZDCP=ZE. VZCFP=ZEFD (对顶角相等), A180° - ZPFC - ZPCF=1800 - ZDFE - NE, BPZCPF=ZEDF=90<>：⑶、AP = CE理由是：在菱形ABCD 中,AB=BC, NABP二NCBP,在2\ABP ^lACBP 中,XV PB=PB /.△ABP^ACBP (SAS),,PA二PC, NBAP=NDCP,VPA=PE,,PC=PE,,NDAP=NDCP, V PA=PC,/DAP=NE, A ZDCP=ZE V ZCFP=ZEFD (对顶角相等),A180°- ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - NE, RPZCPF=ZEDF=180° - ZADC=180° - 120°=60°, AAEPC 是等边三角形,,PC=CE, AAP=CE考点：三角形全等的证实3.如图,在AA8C中,NAC8为锐角,点£＞为射线8C上一动点,连接AO.以AO为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.图①图②图③〔1〕假设A3 = AC, ABAC = 90°①当点.在线段BC上时〔与点3不重合〕,试探讨CF与8.的数量关系和位置关系：②当点O在线段C的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中而出相应的图形并说明理由；〔2〕如图3,假设ABwAC, ABAC90° , ZBC4 = 45°,点.在线段8C上运动,试探究CF与8.的位置关系.【答案】〔1〕①CF_LBD,证实见解析：②成立,理由见解析：〔2〕 CF1BD,证实见解析.【解析】【分析】〔1〕①根据同角的余角相等求出NCAF=NBAD,然后利用"边角边"证实4ACF和4ABD全等,②先求出NCAF=NBAD,然后与①的思路相同求解即可：〔2〕过点A作AE_LAC交BC于E,可得4ACE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE, NAED=45.,再根据同角的余角相等求出NCAF=NEAD,然后利用“边角边〞证实4ACF 和4AED全等,根据全等三角形对应角相等可得NACF=NAED,然后求出ZBCF=90°,从而得到CFJ_BD.【详解】解：〔1〕①•••NBAC=90°, 4ADF是等腰直角三角形,.\ZCAF+ZCAD=90% ZBAD+ZACD=90°,.\ZCAF=ZBAD,在4ACF和4ABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF,.,.△ACF^AABD〔SAS〕,.・.CF=BD, ZACF=ZABD=45",ZACB=45",AZFCB=90°,.-.CF±BD：②成立,理由如下：如图2：VZCAB=ZDAF=90%,ZCAB+ ZCAD= ZDAF+ ZCAD, 即NCAF=NBAD,在aACF和AABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF, AAACF^AABD(SAS), ACF=BD, NACF=NB,VAB=AC, ZBAC=90%AZB=ZACB=45%/. Z BCF= ZACF+ ZACB=45o+45o=90°,ACF1BD：(2)如图3,过点A作AE_LAC交BC于E,•/ ZBCA=45",••.△ACE是等腰直角三角形,,AC=AE, NAED=45°, VZCAF+ZCAD=90°, ZEAD+ZCAD=90%,NCAF=NEAD,在4ACF和4AED中,VAC=AE, NCAF=NEAD, AD=AF,.•.△ACF^AAED(SAS), /. ZACF=ZAED=45\,ZBCF= ZACF+ ZBCA=45o+45°=90°, ACF1BD.【点睛】此题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4.如图〔1〕,在△A3C中,ZA = 90°, A3 = AC,点.是斜边8C的中点,点E, 产分别在线段A3, 4c上,且NEDF = 90..〔1〕求证：△.所为等腰直角三角形：〔2〕假设△ABC的面积为7,求四边形AEDF•的面积：〔3〕如图〔2〕,如果点E运动到A8的延长线上时,点尸在射线C4上且保持ZEDF = 90°,△.石尸还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕 3.5：〔3〕是,理由见解析.【解析】【分析】〔1〕由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△ BD年△ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.瓦'为等腰直角三角形；〔2〕由题意分析可得S网边形AEDF=S MDF+S AADE=S ABDE+S ACDF,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；〔3〕根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△ BDE^ △ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.所为等腰直角三角形.【详解】解：〔1〕证实：如图①,连接AD.「N BAC=90°,AB=AC,点D是斜边BC的中点,/. AD±BC , AD=BD,・•, Z 1=Z B=45°,Z EDF=90% Z 2+Z 3=90%又,Z 3+Z 4=90°,/. Z 2=Z 4,在^ BDE 和^ ADF 中,Z 1=Z B, AD=BD,Z 2=Z 4,/. △ BDE合 , ADF(ASA),・•, DE二DF,又；Z EDF=90\・•・ ADEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF, NON 6=45., 又「N 2+N 3=90°, Z 2+Z 5=90%J Z 3=Z 5,A ADE级△ CDF,・' S N边H,AEDF=S AADF+S CADE二S ABDE+S^CDF,S MBC=2 S 网边毛AEDF,S wijn；AEDF=3.5.(3)是,如图②,连接AD.•/ Z BAC=90\ AB=AC, D 是斜边BC 的中点,/. AD±BC Z AD=BD ,「・Z 1=45°,Z DAF=180°-Z l=180°-45°=135% Z DBE=180°-Z ABC=180°-45°=135%/. Z DAF=Z DBE,「Z EDF=90\/. Z 3+Z 4=90%又；Z 2+Z 3=90°,「・Z 2=Z 4,在仆BDE 和a ADF 中,Z DAF=Z DBE, AD=BD,N 2=Z 4,△ BDE合△ ADF(ASA),・•.DE=DB又：Z EDF=90\.•.A DEF为等腰直角三角形.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.5.如图,在MBC中,ZC = 90°, AC = 3, BC = 7,点.是8c边上的动点,连接AD,以AO为斜边在A.的下方作等腰直角三角形AO石.(1)填空：AABC的面积等于—；(2)连接CE,求证：CE是NAC3的平分线；(3)点.在6C边上,且CO = 1,当.从点.出发运动至点3停止时,求点E相应的运动路程.王O 1 _【答案】〔I〕—：〔2〕证实见解析：〔3〕 3点【解析】【分析】〔1〕根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得：〔2〕如下图作出辅助线,证实△AEM名ADEN 〔AAS〕,得至I] ME=NE,即可利用角平分线的判定证实：〔3〕由〔2〕可知点E在NACB的平分线上,当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=!〔AC + C.〕,根据CD的长度计算出CE的长度即可.【详解】解：〔1〕 ZC = 90°, AC = \ BC = 7= -ACxBC = -x3x7 = — ,故答案为：—2〔2〕连接CE,过点E作EMLAC于点M,作EN_LBC于点N,AZEMA=Z END=90°,XVZACB=90SAZMEN=90%AZMED+Z DEN=90°,•••△ADE是等腰直角三角形AZAED=90\ AE=DEA ZAEM+Z MED=90%, ZAEM=Z DEN,在△AEM 与ZkDEN 中,ZEMA=Z END=90% ZAEM=Z DEN, AE=DEAAAEM^ADEN 〔AAS〕/. ME=NE,点E 在NACB 的平分线上, 即CE 是NAC3的平分线工(3)由(2)可知,点E 在NACB 的平分线上,・•・当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,VAAEM^ADEN,AM=DN,即 AC-CM=CN-CD在 RtZiCME 与 RtZkCNE 中,CE=CE, ME=NE,ARtACME^RtACNE (HL)ACM=CN.,.CN=；(AC + CO),又YNMCE 二NNCE=45°, ZCME=90\・,. CE= y/2CN = —(AC + CD).2当 AC=3, CD=CO=1 时,CE=](3 + 1) = 2&当 AC=3, CD=CB=7 时,5CE=r (3 + 7) = 5 虚,点E 的运动路程为：50-20 = 30,£【点睛】此题考查了全等三角形的综合证实题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角 形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.6.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm, BC=12 cm,点P 从点B 出发,以2cm/s 的 速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts.(1) PC=—cm ：(用含t 的式子表示)■I) I)(2)当t 为何值时,△ABPg^DCP?.(3)如图2,当点P从点B开始运动,此时点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得某时刻4ABP与以P, Q, C为顶点的直角三角形全等？假设存在,请求出v的值：假设不存在,请说明理由.【答案】(1) (12-2/)； (2)1 = 3;(3)存在,P = 2或忏1【解析】【分析】(1)根据P点的运动速度可得BP的长,再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长：(2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP,列方程求解即得；(3)先分两种情况：当BP=CQ, AB=PC 时,△ABPgZ\PCQ：或当BA=CQ, PB=PC 时,△ABPgaQCP,然后分别列方程计算出t的值,进而计算出v的值.【详解】解：(1)当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时3P = 2/57•・• BC = \2cin：.PC = BC-BP = (n-2i)cm故答案为：(12—27)(2) MBP = ^DCP・•. BP = CP・•・ 2/= 12-2/解得1 = 3.(3)存在,理由如下：①当BP=CQ, AB=PC 时,ZiABP名△PCQ,1. PC=AB=5.•.BP=BC-PC=12-5=7•・• BP = Item：.2t=7解得t=3.5.\CQ=BP=7,那么 3.5v=7解得y = 2.②当B4 = C.,PB = PC 时,MBP = \QCP,: BC = ncm,BP = CP = -BC = 6c7〃 2V BP = Item:.2t = 6解得/ = 3CQ = 3vcm,: AB = CQ = 5cm, 3v = 5解得U3综上所述,当u = 2或i,=,时,A48尸与以P, Q,C为顶点的直角三角形全等.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.7.：在MBC中,AB = AC,ZBAC = 90° ,尸Q为过点4的一条直线,分别过B、C两点作8M_LP0,CN_L尸.,垂足分别为M、N.(1)如图①所示,当P.与BC边有交点时,求证：MN = CN — BM ；(2)如图②所示,当与6C边不相交时,请写出线段8M、CN和MN之间的数量关系,并说明理由. 【答案】(1)见解析：(2) MN = BM + CN (或BM = MN — CN或CN = MN-BM ),理由见解析【解析】【分析】(1)根据条件先证AAA/i运ACN4,得到AM = CN,BM = AN,即可证得MN = CN — BM： (2)由(1)知AAMBYACNA,得到4M =CN,8M = AN,即可确定MN = BM + CN.【详解】证实：・・・BM_LPQ,CN_LP0,・•. ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,AZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NMM)・•. ZBAM = ZACN,在AAMB和ACN4中,'ZAMB = 4CNA・.• ZBAM = AACN , AB = CA:.AAM“ACN4(A4S),.・.AM =CN,BM =AN,,: MN = AM-AN,:.MN = CN — BM.(2) MN = BM + CN (或BM=MN-CN或CN = MN-BM) .理由：•.・BM_LPQ,CN_LP.,・•・ ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,.\ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NBAM ),:.ZBAM = ZACN,在AAMB和ACNA中,'AAMB = ZCNAZ.B\M = ZACN , AB = CA：.AAM*ACNA( AAS),.・.AM =CN,BM =AN,:.MN = AN + AM = BM+CN.【点睛】此题考察三角形全等的应用,正确确定全等三角形是解题关键,由此得到对应相等的线段,确定它们之间的和差关系得到80、CN和MN之间的关系式.8.操作发现：如图,己知"配和"DE均为等腰三角形,AB=AC, AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点8, D, E在同一直线上,连接CE.(1)如图1, ZABC= ZACB= ZADE= ZAED=55Q,求证：△BADgZkCAE；(2)在(1)的条件下,求N8EC的度数：拓广探索：(3)如图2,假设NC48=NEAD=120.,8D=4, CF为aBCE中8E边上的高,请直接写出讦的长度.【答案】(1)见解析：(2) 70°； (3) 2【解析】【分析】(1)根据SAS证实△BADg/kCAE即可.(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.(3)同法可证4BAD丝ZkCAE,推出EC=BD=4,由NBEC=NBAC=12O0,推出NFCE=30°即可解决问题.(1)证实：如图1中,图1Z ABC=^ ACB = Z ADE=N AED, /. Z EAD=Z CAB,：.Z EAC=A DAB,AE=AD. AC=AB9：.△ BAD^ & CAE (SAS).(2)解：如图1中,设AC交8E于O. •「N A8C=N4C8 = 55°,/. Z 84c=180° - 110° = 70°,BAD^△ CAE,Z ABO=Z ECO,Z EOC=ZAOB,・•, Z CEO = Z 840=70°,即 N BEC= 70°.(3)解：如图2中,A图2Z C48 = N EAD=120\•. Z BAD=A CAE,：AB=AC, AD=AE.△ BAD^ 4 CAE 〔SAS〕,•. Z BAD=A ACE. 8D=EC=4,同理可证N BEC- 8AC=120°,Z F£C=60%CFLEF,Z F=90",•. Z FCE=30\1•. EF=-EC=2. 2此题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.9.在等边aABC中,点.是边8C上一点.作射线AO,点3关于射线AO的对称点为点E.连接CE并延长,交射线AO于点〔1〕如图,连接AE,①AE与AC的数量关系是；②设NBA尸=a,用.表示NBCF的大小；〔2〕如图,用等式表示线段A尸,CF.所之间的数量关系,并证实.【答案】⑴①AB二AE；②NBCF=.：(2)AF-EF=CF,理由见详解.【解析】【分析】(1)①根据轴对称性,即可得到答案；②由釉对称性,得：AE二AB, NBAF=NEAF=.,由△A3C是等边三角形,得AB=AC, ZBAC=ZACB=60° ,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可求解：(2)作NFCG=60°交AD于点G,连接BF,易证AFCG是等边三角形,得GF=FC,再证△ACG会ABCF(SAS),从而得AG=BF,进而可得至lj结论.【详解】(1)①•・•点4关于射线的对称点为点E , AAB和AE关于射线AD的对称,AAB=AE.故答案是:AB=AE;②•.•点3关于射线的对称点为点E , ,AE二AB, NBAF=NEAF=.,•二△A3c是等边三角形,AAB=AC, ZBAC=ZACB=60" ,：.ZEAC=60° -2a, AE=AC,ZACE=1[180 - (60 - 2a)] = 60 +6?,A ZBCF=ZACE-ZACB=60 +a-60°=a .(2) AF-EF=CF,理由如下：作NFCG=60.交AD于点G,连接BF,•••NBAF=NBCF=a , NADB=NCDF,A ZABC=ZAFC=60c ,••.△FCG是等边三角形,AGF=FC,•二△A3c是等边三角形,ABC=AC, ZACB=60° , AZACG=ZBCF=« .在AACG和ABCF中,CA = CBZACG = ABCF , CG = CF,AACG 仝ABCF(SAS),.,.AG=BF,•・•点4关于射线AO的对称点为点E , .\AG=BF=EF,VAF-AG=GF,.\AF-EF=CE【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.10.如图,AA8C是等边三角形,点.在边4c上〔“点D不与A,C重合〕,点石是射线5c上的一个动点〔点E不与点8,C重合〕,连接OE,以OE为边作作等边三角形hDEF,连接CF.〔1〕如图1,当.石的延长线与A3的延长线相交,且CF在直线OE的同侧时,过点D 作DG//AB, DG 交BC 于点、G ,求证：CF = EG ；〔2〕如图2,当.石反向延长线与A8的反向延长线相交,且.,尸在直线OE的同侧时,求证：CD = CE+CF；〔3〕如图3,当OE反向延长线与线段A8相交,且.,厂在直线O石的异侧时,猜测CD、CE、CP之间的等量关系,并说明理由.【答案】〔1〕证实见详解；〔2〕证实见详解：〔3〕 CF = CO-CE,理由见详解.【解析】【分析】(1)由AABC 是等边三角形,DG//AB,得NCDG=NA=60° , NACB=60.,ACDG 是等边三角形,易证AGDE仝ACDF(SAS),即可得到结论：(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝△ CDF(SAS),即可得到结论；(3)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝A CDF(SAS),即可得到结论.【详解】(1)•・• AA3C是等边三角形,DG//AB, ：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° , ・•. ACQG是等边三角形,.\DG=DC.是等边三角形, .,.DE=DF, ZEDF=60° , A ZCDG-ZGDF=ZEDF-ZGDF,即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和八CDF中,DE = DFNGDE = NCDF ,DG = DC.,.△GDE^A CDF(SAS),：.CF = EG ；(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,如图2,•・• AABC是等边三角形,DG//AB、：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,••・ACDG是等边三角形,:.DG=DC.•••ADE/是等边三角形,,DE=DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZCDE=ZEDF-ZCDE> 即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和^ CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF ,DG = DC.,.△GDE^ACDF(SAS),:・CF = GE,••. CD = CG = CE+GE = CE+CF(3)CF = CD + CE,理由如下：过点D作DG〃AB交BC于点G,如图3,•・・AA8C是等边三角形,DGUAB, .,.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,,ACDG是等边三角形, ADG=DC=GC.•・• ADEF是等边三角形, ,DE=DF, ZEDF=60° ,A ZCDG+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即：NGDE=NCDF, 在A GDE和4 CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF , DG = DCAAGDE^ACDF(SAS),,CF = G£=GC+CE=CD+CE.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.。
全等三角形题库(精品)(70题)-含答案
全等三角形题库（70题）一、解答题（本大题共70小题，共560.0分）1.如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD.AG．(1)求证：AD=AG；(2)AD与AG的位置关系如何．【答案】解：(1)∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠AFC=∠BFC=∠BEC=∠BEA=90°∴∠BAC+∠ACF=90°，∠BAC+∠ABE=90°，∠G+∠GAF=90°，∴∠ABE=∠ACF．在△ABD和△GCA中，{BD=AC∠ABE=∠ACF AB=CG，∴△ABD≌△GCA(SAS)，∴AD=GA，(2)结论：AG⊥AD．理由：∵△ABD≌△GCA(SAS)，∴∠BAD=∠G，∴∠BAD+∠GAF=90°，∴AG⊥AD．【解析】(1)先由条件可以得出∠ABE=∠ACF，就可以得出△ABD≌△GCA，就有AD= GA，∠BAD=∠G；(2)结论：AG⊥AD.由(1)可以得出∠GAD=90°，进而得出AG⊥AD．本题考查了全等三角形的判定及性质的运用、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用等量代换证明垂直，属于中考常考题型．2.如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点；【答案】解：作DM⊥AF于M，EN⊥AF于N，∵BC⊥AF，∴∠BFA=∠AMD=90°，∵∠BAD=90°，∴∠1+∠2=∠1+∠B=90°，∴∠B=∠2，在△ABF与△DAM中，{∠BFA=∠AMD ∠B=∠2AB=AD,∴△ABF≌△DAM(AAS)，∴AF=DM，同理，△ACF≌△EAN(AAS)，AF=EN，∴EN=DM，∵DM⊥AF，EN⊥AF，∴∠GMD=∠GNE=90°，在△DMG与△ENG中，{∠DMG =∠ENG ∠DGM =∠EGN DM =EN, ∴△DMG≌△ENG(AAS)，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点．【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．作DM ⊥AF 于M ，EN ⊥AF 于N ，根据余角的性质得到∠B =∠2，根据全等三角形的性质得到AF =DM ，同理AF =EN ，求得EN =DM ，由全等三角形的性质得到DG =EG ，于是得到点G 是DE 的中点．3. 如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =12∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．【答案】解：猜想：DE +BF =EF.证明：延长CF ，作∠4=∠1，如图：∵将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF = 12∠DAB ，∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5，∵∠4=∠1，∴∠2+∠3=∠4+∠5，∴∠GAF =∠FAE ，在△AGB 和△AED 中，{∠4=∠1AB =AD ∠ABG =∠ADE, ∴△AGB≌△AED(ASA)，∴AG =AE ，BG =DE ，在△AGF 和△AEF 中，{AG =AE ∠GAF =∠EAF AF =AF, ∴△AGF≌△AEF(SAS)，∴GF =EF ，∴DE +BF =EF ．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助角，将DE 和BF 放在一起，便于数量关系的猜想和证明．通过延长CF ，将DE 和BF 放在一起，便于寻找等量关系，通过两次三角形全等证明，得出结论．4. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，点C 重合).以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．(1)如图1，当点D 在边BC 上时．①求证：△ABD≌△ACE ；②直接判断结论BC =DC +CE 是否成立(不需证明)；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，请写出BC ，DC ，CE 之间存在的数量关系，并写出证明过程．【答案】解：(1)①∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠BAC =∠DAE =60°，AB =BC =AC ，AD =DE =AE ．∴∠BAC −∠DAC =∠DAE −∠DAC ，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中{AB=AC∠BAD=∠EAC AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．②∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE．∵BC=BD+CD，∴BC=CE+CD．(2)BC+CD=CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠EAC．在△ABD和△ACE中{AB=AC∠BAD=∠EAC AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD=CE．∵BD=BC+CD，∴CE=BC+CD；【解析】(1)①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE；②由△ABD≌△ACE就可以得出BC= DC+CE；(2)由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE= AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE．本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．5.已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°.过点C作CE⊥AB，垂足为E．(1)如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；(2)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；(3)如图3，在(2)的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G.若BG=1，DF=2，求线段DB的长．【答案】(1)证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵∠CBE+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△BCE和△DCF中，{∠CBE=∠CDF∠CEB=∠CFD=90°CE=CF，∴△BCE≌△DCF(AAS)∴BC=DC；(2)解：AD−AB=2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，AE=AF，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠CDF=∠CBE，在△BCE和△DCF中，{∠CBE=∠CDF∠CEB=∠CFD=90°CE=CF，∴△BCE≌△DCF(AAS)，∴DF=BE，∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE，∴AD−AB=2BE；(3)解：如图3，在BD上截取BH=BG，连接OH，∵BH=BG，∠OBH=∠OBG，OB=OB在△OBH和△OBG中，{BH=BG∠OBH=∠OBG OB=OB，∴△OBH≌△OBG(SAS)∴∠OHB=∠OGB，∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH=∠ODF，∵∠OHB=∠ODH+∠DOH，∠OGB=∠ODF+∠DAB，∴∠DOH=∠DAB=60°，∴∠GOH=120°，∴∠BOG=∠BOH=60°，∴∠DOF=∠BOG=60°，∴∠DOH=∠DOF，在△ODH和△ODF中，{∠DOH=∠DOF OD=OD∠ODH=∠ODF，∴△ODH≌△ODF(ASA)，∴DH=DF，∴DB=DH+BH=DF+BG=2+1=3．【解析】(1)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；(2)过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE=CF，AE=AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF=BE，结合图形解答即可；(3)在BD上截取BH=BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB=∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH=∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH=DF，计算即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)找出图中与∠1、∠2相等的角(直接写出结论，不需证明)．【答案】(1)证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中{AB=AD∠BAC=∠DAE AC=AE，∴△ABC≌△ADE(SAS)；(2)解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D，∵∠AMB=∠DMF，∴∠1=∠MFD，∵∠MFD=∠NFC，∴∠1=∠NFC，∴与∠1、∠2相等的角有∠NFC，∠MFD．【解析】(1)根据等式的性质可得∠BAC=∠DAE，然后利用SAS判定△ABC≌△ADE；(2)利用三角形内角和定理可得∠1=∠MFD，再由对顶角相等可得∠1=∠NFC．此题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．7.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时，求证：①△ADC≌△CEB.②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE=AD−BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，请写出DE，AD，BE之间的等量关系．【答案】解：(1)①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠ACB=90°=∠CEB，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，{∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE；(2)证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠CAD=∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，{∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)；∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE−CD=AD−BE；(3)当MN旋转到题图(3)的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE=BE−AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠CAD=∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，{∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CD−CE=BE−AD．【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．(1)①根据AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB=90°，得出∠CAD=∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE=AD，CD=BE，进而得到DE=CE+CD=AD+BE；(2)先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，进而得出∠CAD=∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB，进而得到CE=AD，CD=BE，最后得出DE=CE−CD=AD−BE；(3)DE=BE−AD，与(2)同理，即可证明：DE=BE−AD．8.如图，已知∠AOB=∠COD=90°，AB=CD，OA=OC．求证：(1)△AOB≌△COD(2)DE=BF．【答案】证明：(1)∵∠AOB=∠COD=90°，∴在Rt△AOB和Rt△COD中，{AB=CDOA=OC，∴Rt△AOB≌Rt△COD(HL)，即△AOB≌△COD；(2)∵△AOB≌△COD∴OD=OB，∠A=∠C，∵∠AOB=∠COD=90°∴∠AOB−∠EOF=∠COD−∠EOF，即∠AOE=∠COF在△AOE和△COF中，{∠AOE=∠COF OA=OF∠A=∠C，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF，∵OD=OB，∴OD−OE=OB−OF，即DE=BF．【解析】(1)根据题意，利用HL定理可以证明结论成立；(2)根据(1)中的结论，再根据三角形全等的性质和判定，可以证明结论成立．本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求结论需要的条件，利用数形结合的思想解答．9. 以点A 为顶点作两个等腰直角三角形(△ABC,△ADE)，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD ，CE ．(1)试说明：BD =CE ；(2)延长BD 交CE 于点F ，求∠BFC 的度数；(3)若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．【答案】解：(1)∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，∴AB =AC ，∠BAD =∠EAC =90°，AD =AE ，∵在△ADB 和△AEC 中，{AD =AE ∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴BD =CE ．(2)∵△ADB≌△AEC ，∴∠ACE =∠ABD ，而在△CDF 中，∠BFC =180°−∠ACE −∠CDF ，又∵∠CDF =∠BDA ，∴∠BFC =180°−∠DBA −∠BDA =∠DAB =90°.(3)BD =CE 成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC =90°．理由如下：∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠EAD =90°，∵∠BAC +∠CAD =∠EAD +∠CAD ，∴∠BAD =∠CAE ，∵在△ADB 和△AEC 中，{AD =AE ∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴BD =CE ，∠ACE =∠DBA ，【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰直角三角形的性质．(1)根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则BD=CE；(2)由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理可以得到∠BFC= 180°−∠ACE−∠CDF=180°−∠DBA−∠BDA=∠DAB=90°；(3)与(1)一样可证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠CAB=90°．10.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：(1)EC=BF；(2)EC⊥BF．【答案】证明：(1)∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵{AE=AB∠EAC=∠BAF AF=AC，∴△ABF≌△AEC(SAS)，∴EC=BF；(2)如图，根据(1)，△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等)，∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°−∠ABF−∠BDM=180°−90°=90°，所以EC⊥BF．【解析】(1)先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证．本题考查了全等三角形的判定与性质，根据条件找出两组对应边的夹角∠EAC=∠BAF 是证明的关键，也是解答本题的难点．11.如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAE的度数；(3)求证：CD=2BF+DE．【答案】证明：(1)∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，{AB=AD∠BAC=∠DAE AC=AE，(2)∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由(1)知△BAC≌△DAE，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；(3)延长BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，{BF=GF∠AFB=∠AFG AF=AF，∴△AFB≌△AFG(SAS)，∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，∵∠GCA=∠DCA=45°，在△CGA和△CDA中，{∠GCA=∠DCA ∠CGA=∠CDA AG=AD，∴△CGA≌△CDA(AAS)，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．(1)根据题意和题目中的条件可以找出△BAC≌△DAE的条件；(2)根据(1)中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；(3)根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．12.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的动点(不与B，C重合)，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，EF、AF分别与CD交于点M、N，作FG⊥BC于点G；(1)求证：BE=CG(2)探究线段BE、EN、DN间的等量关系，并说明理由；(3)如图2，当点E运动到BC的中点时，若AB=6，求MN的长．【答案】(1)证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE与△EGF中，{∠ABE=∠EGF ∠BAE=∠GEF AE=EF，∴△ABE≌△EGF(AAS)，∴AB=EG，∴BE=CG．(2)解：结论：EN=BE+DN．理由：如图1中，延长EB到K，使得BK=DN．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠D=∠ABC=∠ABK=90°，∵DN=BK，∴△ADN≌△ABK(SAS)，∴AK=AN，∠BAK=∠DAN，∵EA=EF，∠AEF=90°，∴∠EAF=45°，∴∠KAE=∠BAK+∠BAE=∠DAN+∠BAE=45°，∴∠EAK=∠EAN=45°，∵AE=AE，∴△EAK≌△EAN(SAS)，∴EN=EK，∵EK=BK+BE=DN+BE，∴EN=BE+DN．(3)解：如图2中，作FK⊥AB于K，交CD于J．∵BE=CE=3，∴FG=BE=CG=3，∵AB//CD，∴∠FKB=∠FJC=90°，∵∠G=∠JCG=90°，∴四边形FGCJ是矩形，∵CG=FG，∴四边形FGCJ是正方形，CG=FG=3，∵EC=CG，CM//FG，∴CM=12FG=32，∴JM=CJ−CM=32，∵四边形BGFK是矩形，∴FK=BG=9，BK=FG=AK=3，∵JN//AK，∴NJAK =FJFK，∴NJ3=39，∴NJ=1，∴MN=NJ+JM=1+32=52．【解析】(1)根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等即可解决问题．(2)结论：EN=BE+DN.如图1中，延长EB到K，使得BK=DN.构造全等三角形解决问题即可．(3)如图2中，作FK⊥AB于K，交CD于J.分别求出NJ，JM即可解决问题．此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．13.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，(1)如图1，若∠ACD=60゜，则∠AFB=________；(2)如图2，若∠ACD=α，则∠AFB=_____________(用含α的式子表示)；(3)将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上)，如图3.试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．【答案】解：(1)120°；(2)180°−α；(3)∠AFB=180°−α，证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCB CE=CB，∴△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∴∠AFB=∠AEC+∠CEB+∠EBD=∠DBC+∠CEB+∠EBC=∠CEB+∠EBC=180°−∠ECB=180°−α，即∠AFB=180°−α．【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，三角形的内角和定理(1)求出∠ACE=∠DCB，证△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根据三角形内角和定理求出即可；(2)求出∠ACE=∠DCB，证△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根据三角形内角和定理求出即可；(3)求出∠ACE=∠DCB，证△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CEB+∠CBE，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCB CE=CB∴△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE=∠CDA+∠DAE+∠BAE=∠CDA+∠DAC=180°−60°=120°，故答案为：120°；(2)解：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCB CE=CB∴△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE=∠CDA+∠DAE+∠BAE=180°−∠ACD=180°−α，故答案为：180°−α；(3)见答案．14.(1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【答案】解：(1)AE=BD，AE⊥BD；(2)结论：AD=2CM+BD，理由：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°．∴∠ADB=∠BDC−∠CDE=135°−45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．∴AD=DE+AE=2CM+BD．【解析】【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．(1)结论：AE=BD，AE⊥BD.如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O.只要证明△ACE≌△BCD(SAS)，即可解决问题；(2)结论：AD=2CM+BD，只要证明△ACE≌△BCD(SAS)，即可解决问题．【解答】解：(1)结论：AE=BD，AE⊥BD．理由：如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案为AE=BD，AE⊥BD．(2)见答案．15.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，D在线段BC上，E是线段AD上一点．现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．(1)如图1，求证：∠CAE=∠CBF；(2)当A、E、F三点共线时，取AF的中点G，连接CG，求证：AE2+EF2=4CG2；(3)如图3，若AC=BC=3√3，∠BAD=15°，连接DF，当E运动到使得∠ACE=30°时，求△DEF的面积．【答案】(1)证明：∵△ABC，△ECF都是等腰直角三角形，∴CA=CB，CE=CF，∠ACB=∠ECF=90°，∴∠ACE=∠BCF，∴△ACE≌△BCF(SAS)，∴∠CAE=∠CBF；(2)解：延长AC至点H，使CH=AC，连接HF，BE．由(1)得：△ACE≌△BCF，∴AE=BF，且∠CAD=∠DBF，∵∠ADB=∠CAD+∠ACD=∠DBF+∠DFB，∴∠DFB=∠ACD=90°，∴BF2+EF2=BE2，易证△CEB≌△CFH，∴BE=HF=2CG，∴BF2+EF2=BE2=4CG2；(3)解：过点F作FH⊥BC于H，如图3所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠BAD=15°，∴∠CAE=45°−15°=30°，∴∠ACE=∠CAE=30°，∴AE=CE=CF，同(1)得：△ACE≌△BCF(SAS)，∴BF=AE，∠ACE=∠BCF=30°，∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF=30°，∵FC=FB，FH⊥BC，∴CH=BH=12BC=3√32，FH=√33CH=32，CF=BF=2FH=3，∵∠CED=∠CAE+∠ACE=60°，∠ECD=90°−30°=60°，∴△ECD是等边三角形，∴EC=CF=CD=3，∴S△DEF=S△ECD+S△CDF−S△ECF=√34×32+12×3×32−12×3×3=9√3−94．【解析】(1)证明△ACE≌△BCF(SAS)，即可解决问题；(2)延长AC至点H，使CH=AC，连接HF，BE，由(1)得△ACE≌△BCF，进而得到BF2+ EF2=BE2，易证△CEB≌△CFH，即可解决问题；(3)过点F作FH⊥BC于H，如图3所示，同(1)得△ACE≌△BCF，再证明△BCF是底角为30°的等腰三角形，再求出CH，FB，CF的长，然后根据S△DEF=S△ECD+S△CDF−S△ECF 计算即可．本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．16.平面直角坐标系中，A(a,0)，B(b,b)，C(0,c)，且满足：√a−4+(2b−a−c)2+|b−c|=0，E、D分别为x轴和y轴上动点，满足∠DBE=45°．(1)求A、B、C三点坐标；(2)如图1，若D为线段OC中点，求E点坐标；(3)当E，D在x轴和y轴上运动时，试探究CD、DE和AE之间的关系．【答案】解：(1)∵√a−4+(2b−a−c)2+|b−c|=0，∴a=4，b=c，2b−a−c=0，∴b=4，c=4，∴点A(4,0)，点B(4,4)，点C(0,4)；(2)如图1，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∵点A(4,0)，点B(4,4)，点C(0,4)，∴OA=OC=BC=AB=4，∵D为线段OC中点，∴CD=DO=2，∵将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∴BD=BH，∠CBD=∠HBA，CD=AH=2，∵∠DBE=45°，∴∠CBD+∠EBA=45°，∴∠EBA+∠ABH=45°=∠HBE=∠DBE，且BD=BH，BE=BE，∴△DBE≌△HBE(SAS)∴DE=EH，∵OH=OA+AH=4+2=6，∴DE=EH=6−OE，∵DE2=OD2+OE2，∴(6−OE)2=4+OE2，∴OE=8，3,0)；∴点E坐标为(83(3)如图1，若点E在x轴正半轴，点D在y轴正半轴上，由(2)可知：DE=EH，AH=CD，∴DE=AE+AH=AE+CD，如图2，点E在x轴负半轴，点D在y轴正半轴，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH=90°，∴BD=BH，∠CBD=∠HBA，CD=AH，∵∠DBE=45°，∴∠DBE=45°=∠HBE，且BD=BH，BE=BE，∴△DBE≌△HBE(SAS)∴DE=EH，∴AE=AH+EH=CD+DE；如图3，点E在x轴正半轴，点D在y轴负半轴，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，∴△BCD≌△BAH，∠DBH=90°，∴BD=BH，∠CBD=∠HBA，CD=AH，∵∠DBE=45°，∴∠DBE=45°=∠HBE，且BD=BH，BE=BE，∴△DBE≌△HBE(SAS)∴DE=EH，∴CD=AH=AE+EH=AE+DE．【解析】(1)由非负性可求a，b，c的值，即可求解；(2)将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAH，可得BD=BH，∠CBD=∠HBA，CD= AH=2，由“SAS”可证△DBE≌△HBE，可得DE=EH，由勾股定理可求OE的长，即可求E点坐标；(3)分三种情况讨论，由旋转的性质，全等三角形的性质可求解．本题是四边形综合题，考查了非负性，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．17.如图，在锐角三角形AOB中，分别以OA、OB为腰在△AOB外作等腰直角三角形OAE和等腰直角三角形OBD．(1)如图1，连接BE、AD，求证：BE=AD．(2)如图2，以O为原点、AB边上的高OC所在的直线为y轴．建立平面直角坐标系，连接ED与y轴交于点F．①若A点坐标为(n,m)，请用n、m表示；E点的坐标(________，________)及D点的横坐标为________．②△AOB的面积S△AOB与△EOD的面积S△EOD有什么数量关系？请写出你的结果，并给出证明．【答案】解：(1)∵△OAE、△OBD均为等腰直角三角形，∴OD=OB，OA=OE，∠DOB=∠AOE=90°．∴∠EOA+∠AOB=∠BOD+∠AOB，即∠EOB=∠AOD．在Rt△EOB和Rt△AOD中，∴Rt△EOB≌Rt△AOD．∴BE=AD．(2)①m；−n；−m．②S△AOB=S△EOD,证明如下：如图所示：过点B作BN⊥OA，垂足为N，过点D作DM⊥OE，垂足为M．∵∠EOD+∠DOM=180°，∠EOD+∠NOB=180°，∴∠DOM=∠NOB．在△OBN和△ODM中，∴△OBN≌△ODM．∴MD=BN．又∵AO=OE，∴12AO⋅BN=12OE⋅DM，即S△AOB=S△EOD．【解析】【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，点的坐标的确定等知识的综合运用．(1)依据等腰直角三角形的性质可得到OD=OB，OA=OE，∠DOB=∠AOE=90°，然后依据等式的性质可证明∠EOB=∠AOD，接下来，依据SAS可证明Rt△EOB≌Rt△AOD，最后，依据全等三角形的性质可得到BE=AD．(2)①过点E作EG⊥y轴，垂足为G，过点D作DH⊥x轴，垂足为H.先证明∠OEG=∠AOC，然后再证明△OEG≌△AOC，依据全等三角形的性质可得到OG=AC，EG=OC，从而可得到点E的坐标，接下来再证明△ODH≌△OBC.从而可得到OH=OC，故此可得到点D的横坐标；②过点B作BN⊥OA，垂足为N，过点D作DM⊥OE，垂足为M，先证明△OBN≌△ODM，从而可得到MD=BN，最后，依据三角形的面积公式求解即可．【解答】(1)见答案；(2)①如图所示：过点E作EG⊥y轴，垂足为G，过点D作DH⊥x轴，垂足为H．∵∠EOA=90°，∴∠EOG+∠AOC=90°．又∵∠EOG+∠OEG=90°，∴∠OEG=∠AOC．在△OEG和△AOC中，∴△OEG≌△AOC．∴OG=AC，EG=OC．∵A(n,m)∴E(m,−n)．∵∠DOH+∠HOB=90°，∠HOB+∠BOC=90°，∴∠DOH=∠BOC．在△ODH和△OBC中，∴△ODH≌△OBC．∴OH=OC．∴点D的横坐标为−m．故答案为：m；−n；−m；②见答案．18.已知，△ABC是等边三角形，D是直线BC上一点，以D为顶点做∠ADE=60°.DE交过C且平行于AB的直线于E，求证：AD=DE；当D为BC的中点时，(如图1)小明同学很快就证明了结论：他的做法是：取AB的中点F，连结DF，然后证明△AFD≌△DCE.从而得到AD=DE，我们继续来研究：(1)如图2、当D是BC上的任意一点时，求证：AD=DE(2)如图3、当D在BC的延长线上时，求证：AD=DE(3)当D在CB的延长线上时，请利用图4画出图形，并说明上面的结论是否成立(不必证明)．【答案】(1)证明：在AB上截取AF=DC，连接FD，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∴△BDF是等边三角形，∴∠BFD=60°，∴∠AFD=120°，又∵AB//CE，∴∠DCE=120°=∠AFD，而∠EDC+∠ADE=∠ADC=∠FAD+∠B∠ADE=∠B=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中{∠FAD=∠CDE AF=CD∠AFD=∠DCE，∴△AFD≌△DCE(ASA)，∴AD=DE；(2)证明：在BA的延长线上截取AF=DC，连接FD，如图3所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∴△BDF是等边三角形，∴∠F=60°，又∵AB//CE，∴∠DCE=60°=∠F，而∠FAD=∠B+∠ADB，∠CDE=∠ADE+∠ADB，又∵∠ADE=∠B=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中，{∠FAD=∠CDEAF=CD∠F=∠DCE，∴△AFD≌△DCE(ASA)，∴AD=DE；(3)解：AD=DE仍成立．理由如下：在AB的延长线上截取AF=DC，连接FD，如图4所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴∠FAD+∠ADB=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∵∠DBF=∠ABC=60°，∴△BDF是等边三角形，∴∠AFD=60°，又∵AB//CE，∴∠DCE=∠ABC=60°，∴∠AFD=∠DCE，∵∠ADE=∠CDE+∠ADB=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中，{∠FAD=∠CDE AF=CD∠AFD=∠DCE，∴△AFD≌△DCE(ASA)，∴AD=DE．【解析】(1)在AB上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形，得出∠BFD=60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论；(2)在BA的延长线上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形得出∠F=60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论；(3)在AB的延长线上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形，得出∠BFD= 60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论．本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．19.如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE．(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为______，数量关系为______；②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；(2)如图3，如果AB≠AC∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE ⊥BC ？小明通过(1)的探究，猜想∠ACB =45°时，CE ⊥BC.他想过点A 做AC 的垂线，与CB 的延长线相交，构建图2的基本图案，寻找解决此问题的方法．小明的想法对吗？如不对写出你的结论；如对按此方法解决问题并写出理由．【答案】垂直 相等【解析】解：(1)CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE =BD ．理由：如图1，∵∠BAD =90°−∠DAC ，∠CAE =90°−∠DAC ，∴∠BAD =∠CAE ．又BA =CA ，AD =AE ，∴△ABD≌△ACE (SAS)∴∠ACE =∠B =45°且CE =BD ．∵∠ACB =∠B =45°，∴∠ECB =45°+45°=90°，即CE ⊥BD ．故答案为：垂直，相等；②都成立∵∠BAC =∠DAE =90°，∴∠BAC +∠DAC =∠DAE +∠DAC ，∴∠BAD =∠CAE在△DAB 与△EAC 中，{AD =AE ∠BAD =∠CAE AB =AC∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴CE =BD ，∠B =∠ACE ，∴∠ACB +∠ACE =90°，即CE ⊥BD(2)小明的想法对的当∠ACB =45°时，CE ⊥BD理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 的延长线于点G ，则∠GAC =90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°−∠ACB，∴∠AGC=90°−45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，在△GAD与△CAE中，{AC=AG∠DAG=∠EAC AD=AE∴△GAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE=∠AGC=45°，∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，即CE⊥BC(1)①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；(2)先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．本题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．20.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足为D、E．求证：(1)△ABD≌△CAE；(2)DE=BD+CE．【答案】证明：(1)∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D=∠E=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠DBA=∠DAB+∠EAC，∴∠DBA=∠EAC；在△ABD与△CAE中，∵{∠DBA=∠EAC ∠BDA=∠AEC AB=AC，∴△ABD≌△CAE(AAS)，(2)由(1)得：△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE．【解析】证明∠DBA=∠EAC，这是解决该题的关键性结论；证明△ABD≌△CAE，得到BD=AE，AD=CE，即可解决问题．该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出命题中隐含的等量关系，是证明全等三角形的关键．21.(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE．(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE= BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】证明：(1)∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；(2)∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE=∠ABD是解题关键．(1)根据BD⊥直线l，CE⊥直线l得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD= CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；(2)利用∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．22.如图①，已知CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=ɑ，AD、BE相交于点M，连接CM．(1)求证：BE=AD;(2)用含ɑ的式子表示∠AMB的度数(3)当ɑ=90°时，AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明．【答案】解：(1)如图①，∵∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{CA=CB;∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE=AD；(2)如图①，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°−α，∴∠BAM+∠ABM=180°−α，∴△ABM中，∠AMB=180°−(180°−α)=α；(3)△CPQ为等腰直角三角形．证明：如图②，由(1)可得，BE=AD，∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP=BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，{CA=CB∠CAP=∠CBQ AP=BQ，∴△ACP≌△BCQ(SAS)，∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB=90°，∴∠BCQ+∠PCB=90°，∴∠PCQ=90°，∴△CPQ为等腰直角三角形．【解析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理的综合应用.等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．解题时注意掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等的运用．(1)由CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；(2)根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，即可得到∠AMB=∠ACB=α；(3)先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，最后根据∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．23.据图回答问题(1)如图①，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；(2)拓展：如图②，将(1)中的条件改为：△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE= BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．【答案】(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，。
全等三角形——经典试题汇编 含答案
全等三角形——经典试题汇编含答案全等三角形是初中数学中一个重要的概念，它在几何题中经常出现，并且是解题的基础。
本文将为大家汇编一些经典的全等三角形试题，并提供详细的解答。
让我们一起来学习和巩固这个重要概念。
一、判断题1. 如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形一定全等。
（√）解答：这个结论是正确的，根据三角形全等的基本条件之一——对应角相等，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定全等。
2. 如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形一定全等。
（√）解答：这个结论也是正确的，根据三角形全等的基本条件之二——对应边相等，如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们一定全等。
3. 如果两个三角形的一对对应边相等，且夹角相等，则这两个三角形一定全等。
（√）解答：这个结论同样是正确的，根据三角形全等的基本条件之三——一对对应边夹角相等，如果两个三角形的一对对应边相等且夹角相等，那么它们一定全等。
二、选择题1. 若两个等腰直角三角形的腰长相等，那么它们一定全等的条件是（B）。
(A) 顶角相等(B) 对边相等(C) 锐角相等(D) 钝角相等解答：由于题中提到了等腰直角三角形，因此我们知道它的两个锐角相等为45度。
所以，选项（C）和（D）可以排除。
对于等腰直角三角形，若腰长相等，则两条腰对应边相等。
所以，选项（B）为正确答案。
2. 已知三角形ABC和三角形ADC的角A分别是60°和120°，且边AC相等，那么它们一定全等的条件是（C）。
(A) 角B等于角D(B) 边AB等于边AD(C) 边BC等于边CD(D) 度数之和等于180°解答：根据题意，角A分别是60°和120°，且边AC相等。
根据三角形全等条件之一——对应角相等，我们知道角B等于角D，所以选项（A）是正确答案。
三、应用题1. 如下图所示，三角形ABC和DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，且AC=DF，那么它们一定全等。
中考数学总复习《全等三角形》专项测试卷含答案
中考数学总复习《全等三角形》专项测试卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.如图,用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,则说明∠CAD=∠DAB的依据是( )A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA',BB'的中点,只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C.两条直线被一组平行线所截,所得对应线段成比例D.两点之间线段最短3.如图,在2×3的正方形方格中,每个小正方形方格的边长都为1,则∠1和∠2的关系是( )A.∠2=2∠1B.∠2-∠1=90°C.∠1+∠2=180°D.∠1+∠2=90°4.如图,△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=15,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交MN的长为半径画弧,两弧交于点BA,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于12E,作射线BE交AC于点D,则线段AD的长为.5.如图,已知D是△ABC内一点,DA=DB,∠CAD=∠CBD.求证:∠ADC=∠BDC.小红的解答如下:证明:在△ADC和△BDC中∵DA=DB,∠CAD=∠CBD,CD=CD∴△ADC≌△BDC,……第一步∴∠ADC=∠BDC.……第二步(1)小红的证明过程从第步开始出现错误;(2)请写出你认为正确的证明过程.6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=√21.(1)尺规作图:作∠BAC的平分线交BC于点P(不写作法,保留作图痕迹);(2)在(1)所作图形中,求△ABP的面积.【B层·能力提升】7.如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于( )A.180°-αB.180°-2αC.90°+αD.90°+2α8.已知,如图,在△ABC中,点D是AB上一点,CD平分∠ACB,∠A=2∠ADC,BD=6 AC=4,则BC的长为.9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.(1)求证:△ADE≌△ADF;(2)若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.【C层·素养挑战】10.(2024·遂宁中考)在等边△ABC三边上分别取点D,E,F,使得AD=BE=CF,连接三点得到△DEF,易得△ADF≌△BED≌△CFE,设S△ABC=1,则S△DEF=1-3S△ADF.如图①当ADAB =12时,S△DEF=1-3×14=14;如图②当ADAB =13时,S△DEF=1-3×29=13;如图③当ADAB =14时,S△DEF=1-3×316=716;…直接写出,当ADAB =110时,S△DEF=73100.参考答案【A层·基础过关】1.如图,用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图,则说明∠CAD=∠DAB的依据是(D)A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA',BB'的中点,只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是(A)A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C.两条直线被一组平行线所截,所得对应线段成比例D.两点之间线段最短3.如图,在2×3的正方形方格中,每个小正方形方格的边长都为1,则∠1和∠2的关系是(D)A.∠2=2∠1B.∠2-∠1=90°C.∠1+∠2=180°D.∠1+∠2=90°4.如图,△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=15,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于1MN的长为半径画弧,两弧交于点2.E,作射线BE交AC于点D,则线段AD的长为2455.如图,已知D是△ABC内一点,DA=DB,∠CAD=∠CBD.求证:∠ADC=∠BDC.小红的解答如下:证明:在△ADC和△BDC中∵DA=DB,∠CAD=∠CBD,CD=CD∴△ADC≌△BDC,……第一步∴∠ADC=∠BDC.……第二步(1)小红的证明过程从第步开始出现错误;【解析】(1)∵由DA=DB,∠CAD=∠CBD,CD=CD不能证明△ADC≌△BDC,∴从第一步开始出现错误;答案:一(2)请写出你认为正确的证明过程.【解析】(2)∵DA=DB,∴∠DAB=∠DBA∵∠CAD=∠CBD∴∠CAD+∠DAB=∠CBD+∠DBA∴∠CAB=∠CBA,∴AC=BC在△ADC 和△BDC 中,{DA =DB∠CAD =∠CBD AC =BC∴△ADC ≌△BDC (SAS),∴∠ADC =∠BDC. 6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB =5,BC =√21.(1)尺规作图:作∠BAC 的平分线交BC 于点P (不写作法,保留作图痕迹); 【解析】(1)如图所示:AP 即为所求;(2)在(1)所作图形中,求△ABP 的面积.【解析】(2)在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB =5,BC =√21,∴AC =√AB 2-BC 2=2,过点P 作PD ⊥AB 于点D ,∵AP 是∠BAC 的平分线,∴PD =PC ,∵S △ACP +S △ABP =S △ABC ∴12AC ·PC +12AB ·PD =12AC ·BC∴2PD +5PD =2√21,解得PD =2√217∴S △ABP =12AB ·PD =12×5×2√217=5√217.【B 层·能力提升】7.如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A ,B ,C ,D ,E 均在小正方形方格的顶点上,线段AB ,CD 交于点F ,若∠CFB =α,则∠ABE 等于(C)A.180°-αB.180°-2αC.90°+αD.90°+2α8.已知,如图,在△ABC 中,点D 是AB 上一点,CD 平分∠ACB ,∠A =2∠ADC ,BD =6 AC =4,则BC 的长为 10 .9.如图,在△ABC 中,AB =AC ,AD 为△ABC 的角平分线.以点A 圆心,AD 长为半径画弧,与AB ,AC 分别交于点E ,F ,连接DE ,DF .(1)求证:△ADE ≌△ADF ;【解析】(1)∵AD 为△ABC 的角平分线 ∴∠BAD =∠CAD ,由作图可得AE =AF 在△ADE 和△ADF 中,{AE =AF∠BAD =∠CAD AD =AD∴△ADE ≌△ADF (SAS).(2)若∠BAC =80°,求∠BDE 的度数.【解析】(2)∵∠BAC =80°,AD 为△ABC 的角平分线 ∴∠EAD =40°,由作图可得AE =AD ∴∠ADE =70°∵AB =AC ,AD 为△ABC 的角平分线 ∴AD ⊥BC ,∴∠BDE =20°.【C 层·素养挑战】10.(2024·遂宁中考)在等边△ABC三边上分别取点D,E,F,使得AD=BE=CF,连接三点得到△DEF,易得△ADF≌△BED≌△CFE,设S△ABC=1,则S△DEF=1-3S△ADF.如图①当ADAB =12时,S△DEF=1-3×14=14;如图②当ADAB =13时,S△DEF=1-3×29=13;如图③当ADAB =14时,S△DEF=1-3×316=716;…直接写出,当ADAB =110时,S△DEF=73100.【解析】如图①当ADAB =12时,S△DEF=1-3×14=1-3×2-122=14;如图②当ADAB =13时,S△DEF=1-3×29=1-3×3-132=13;如图③当ADAB =14时,S△DEF=1-3×316=1-3×4-142=716;…当ADAB =1n时,S△DEF=1-3×n-1n2;故当ADAB =110时,S△DEF=1-3×10-1102=73100.。
全等三角形测试题及答案
全等三角形测试题及答案一、选择题1. 下列选项中，哪两个三角形是全等的？A. ∠A=∠B，AB=BCB. ∠A=∠B，AC=BDC. ∠A=∠C，AB=ACD. ∠A=∠B，AB=BC，AC=BD2. 如果两个三角形的对应边成比例，且夹角相等，这两个三角形是：A. 相似但不全等B. 必然全等C. 不一定全等D. 无法判断二、填空题3. 根据全等三角形的性质，如果两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，那么这两个三角形是_________。
4. SAS全等条件指的是_________。
三、判断题5. 如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形一定全等。
（）6. 根据HL全等条件，直角三角形中，如果斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
（）四、解答题7. 已知三角形ABC和三角形DEF，其中∠A=∠D=90°，AB=DE，AC=DF，求证：三角形ABC全等于三角形DEF。
8. 如图所示，三角形ABC和三角形DEF在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(4,5)，C(1,1)，点D(-1,-2)，E(1,-1)，F(-2,-4)。
若AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF，请证明三角形ABC全等于三角形DEF。
五、综合题9. 在三角形ABC中，点D在BC上，若AD平分∠BAC，且BD=DC，求证：AB=AC。
10. 已知三角形ABC和三角形DEF，其中AB=DE，∠B=∠D，∠C=∠E，求证：三角形ABC全等于三角形DEF。
答案：一、选择题1. 答案：D2. 答案：A二、填空题3. 答案：相似4. 答案：边角边三、判断题5. 答案：正确6. 答案：正确四、解答题7. 解：由于∠A=∠D=90°，AB=DE，AC=DF，根据直角三角形的HL全等条件，我们可以得出三角形ABC全等于三角形DEF。
8. 解：由于AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF，根据SAS全等条件，我们可以得出三角形ABC全等于三角形DEF。
全等三角形考试题及答案
全等三角形考试题及答案一、选择题1. 两个三角形全等的条件是：A. 两个角相等B. 三条边相等C. 两边夹一角相等D. 两角夹一边相等答案：D2. 已知△ABC≌△DEF，其中AB=DE，AC=DF，∠A=∠D，那么BC与EF 的关系是：A. BC=EFB. BC>EFC. BC<EFD. 不能确定答案：A二、填空题1. 如果两个三角形的对应边成比例，且对应角相等，则这两个三角形______。
答案：相似2. 在△ABC中，∠A=∠B=50°，则∠C=______。
答案：80°三、解答题1. 已知△ABC≌△DEF，且AB=5cm，BC=7cm，求DE的长度。
答案：DE=5cm2. 已知△ABC≌△DEF，且∠A=∠D=60°，∠B=∠E=50°，求∠C和∠F 的度数。
答案：∠C=∠F=70°四、证明题1. 已知△ABC≌△DEF，且∠A=∠D=90°，AB=DE，AC=DF，证明：BC=EF。
答案：根据直角三角形全等的判定定理HL，因为∠A=∠D，AB=DE，AC=DF，所以△ABC≌△DEF，因此BC=EF。
2. 已知△ABC≌△DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E，证明：∠C=∠F。
答案：根据全等三角形对应角相等的性质，因为△ABC≌△DEF，所以∠C=∠F。
五、应用题1. 一块三角形的木板ABC需要与另一块三角形的木板DEF进行拼接，已知AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E，判断两块木板是否可以拼接。
答案：可以拼接，因为根据SAS判定定理，△ABC≌△DEF。
2. 已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠A=50°，求∠B和∠C的度数。
答案：因为AB=AC，所以∠B=∠C，又因为三角形内角和为180°，所以∠B=∠C=(180°-50°)/2=65°。
全等三角形全套练习题
全等三角形一、全等三角形1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
特征：形状相同、大小相等、完全重合。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2、全等三角形的表示：“全等”用“≌”表示，“∽”表示两图形的形状相同，“=”表示大小相等，读作“全等于”。
注意：记两三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。
全等三角形的对应元素：对应顶点，对应边，对应角3、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
4、全等三角形的判定（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”）（2）边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）ASA”）AAS”）HL”）2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意的问题（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。
F E D C B A1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ．求证∠A=∠D ．４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D.５．如图，AD ＝BC ，AB ＝DC ，DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.A D C B1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC ，OB=OD ．求证DC ∥AB ．2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD 与A D ''有什么关系？证明你的结论．3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。
全等三角形练习题(很经典)
第十二章全等三角形第Ⅰ卷（选择题共30 分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列说法正确的是（）2. 如图所示，a,b,c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）3.如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（）A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE4. 在△ABC和△A/B/C/中,AB=A/B/,∠B=∠B/,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A/B/C/,则补充的这个条件是( )A．BC=B/C/B．∠A=∠A/C．AC=A/C/D．∠C=∠C/5.如图所示，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A.△ACE≌△BCDB.△BGC≌△AFCC.△DCG≌△ECFD.△ADB≌△CEA6. 要测量河两岸相对的两点A,B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C,D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A,C,E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）7.已知：如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A与∠D互为余角B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠28. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件（）第3题图第5题图第7题图第2题图第6题图A B C DA.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F 9.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于 点E ．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD ≌△CBE ； ②△BAD ≌△BCD ；③△BDA ≌△CEA ；④△BOE ≌△COD ；⑤△ACE ≌△BCE ，上述结论一定正确的是（ ）A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④10、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( ) A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个 二、填空题（每题3分，共21分）11．如图６，ＡＣ＝ＡＤ，ＢＣ＝ＢＤ，则△ＡＢＣ≌ ；应用的判定方法是 ．12．如图７，△ＡＢＤ≌△ＢＡＣ，若ＡＤ＝ＢＣ，则∠ＢＡＤ的对应角为 ．13．已知ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且ＤＥ＝３cm ，则点Ｄ到ＡＣ的距离为 ．14．如图８，ＡＢ与ＣＤ交于点Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＤ＝ＯＢ，∠ＡＯＤ＝ ，根据 可得△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，从而可以得到ＡＤ＝ ． 15．如图９，∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，ＡＣ＝ＤＢ，欲使ＯＢ＝ＯＣ，可以先利用“ＨＬ”说明 ≌ 得到ＡＢ＝ＤＣ，再利用“ ”证明△ＡＯＢ≌ 得到ＯＢ＝ＯＣ． 16．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是 ．17．如图10，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带________去配，这样做的数学依据是是 ． 三、解答题（共29分）18. （6分）如右图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理Ｂ Ｃ ＤＡ 图6 D OCBA 图8 A D CB图7 第9题图 图10由．解： ∵AD 平分∠BAC∴∠________＝∠_________（角平分线的定义） 在△ABD 和△ACD 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∴△ABD ≌△ACD （ ）19． （8分）如图，已知△≌△是对应角．（1）写出相等的线段与相等的角；（2）若EF=2.1 cm ，FH=1.1 cm ，HM=3.3 cm ，求MN 和HG 的长度.20．（7分）如图，A 、B 两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B 点出发沿河岸画一条射线BF ，在BF 上截取BC ＝CD ，过D 作DE ∥AB ，使E 、C 、A 在同一直线上，则DE 的长就是A 、B 之间的距离，请你说明道理．21．（8分）已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．第19题图 DCBA四、解答题（共20分）22．（10分）已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF ⊥BC ．23．（10分）如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4， 求证: ∠5=∠6．CA12章·全等三角形（详细答案）一、选择题 CBDCD BDCDC二、填空题 11、△ABD SSS 12、∠ABC 13、3cm 14、∠COB SAS CB 15、△ABC △DCB AAS △DOC 16、相等 17、○3 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等三、解答题18、AD CAD AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD SAS19、B 解：(1)EF=MN EG=HN FG=MH ∠F=∠M ∠E=∠N ∠EGF=∠MHN (2)∵△EFG ≌△NMH ∴MN=EF=2.1cm∴GF=HM=3.3cm ∵FH=1.1cm ∴HG=GF －FH=3.3－1.1=2.2cm 20、解：∵DE ∥AB ∴∠A=∠E在△ABC 与△CDE 中∠A=∠E BC=CD∠ACB=∠ECD∴△ABC ≌△CDE(ASA) ∴AB=DE21、证明：∵AB ∥DE ∴∠A=∠EDF ∵BC ∥EF ∴∠ACB=∠F ∵AD=CF ∴AC=DF 在△ABC 与△DEF 中∠A=∠EDFAC=DF ∠ACB=∠F △ABC ≌△DEF(ASA)全等三角形练习一、填空题：1.如图，△ABC ≌△DEB ，AB =DE ，∠E =∠ABC ，则∠C 的对应角为 ，BD 的对应边为 .2.如图，AD =AE ，∠1=∠2，BD =CE ，则有△ABD ≌△ ，理由是 ，△ABE ≌△ ，理由是 .（第1题） （第2题） （第4题） 3.已知△ABC ≌△DEF ，BC =EF =6cm ，△ABC 的面积为18平方厘米，则EF 边上的高是cm.4.如图，AD 、A´D´分别是锐角△ABC 和△A´B´C´中BC 与B´C´边上的高，且AB = A´B´，AD = A´D´，若使△ABC ≌△A´B´C´，请你补充条件 （只需填写一个你认为适当的条件） 5. 若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、 或 与另一个三角形完全重合.6. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度（第6题） （第7题） （第8题） 7．已知：如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，则DN ＋MN 的最小值为__________．8．如图，在△ABC 中，∠B ＝90o ，D 是斜边AC 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ，若 ∠DAC ：∠DAB ＝2：5，则∠DAC ＝___________．MND CBAEDCBA9．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90o ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AB ＋AD ＝8cm ，则底边BC 上的高为___________．10．如图，锐角三角形ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝__________度．（第9题） （第10题） （第13题）二、选择题：11．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠A =56°，则高BD 与BC 的夹角为（ ）A ．28°B ．34°C ．68°D ．62°12．在△ABC 中，AB =3，AC =4，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ，则AD 的长的取值范围为（ ）A ．1＜AD ＜7B ．2＜AD ＜14C ．2.5＜AD ＜5.5 D ．5＜AD ＜1113．如图，在△ABC 中，∠C =90°，CA =CB ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6，则△DEB 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 14．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明 ∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是A ．（S ．S ．S ．）B ．（S ．A ．S ．）C ．（A ．S ．A ．）D ．（A ．A ．S ．15. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ）A.∠α=60º，∠α的补角∠β=120º，∠β>∠αB.∠α=90º，∠α的补角∠β=900º，∠β=∠αC.∠α=100º，∠α的补角∠β=80º，∠β<∠αD.两个角互为邻补角16. △ABC 与△A´B´C ´中，条件①AB = A´B´，②BC = B´C´，③AC =A´C´，④∠A=∠A´，⑤∠B =∠B´，⑥∠C =∠C´，则下列各组条件中不能保证△ABC ≌△A´B´C´的是（ ） A. ①②③ B. ①②⑤ C. ①③⑤ D. ②⑤⑥17．如图，在△ABC 中，AB =AC ，高BD ，CE 交于点O ，AO 交BC 于点F ，则图中共有全等三角形（ ）A ．7对B ．6对C ．5对D ．4对D CBA18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若△DEB 的周长为10cm ，则斜边AB 的长为（ ）A ．8 cmB ．10 cmC ．12 cmD ． 20 cm19．如图，△ABC 与△BDE 均为等边三角形，AB ＜BD ，若△ABC 不动，将△BDE 绕点B 旋转，则在旋转过程中，AE 与CD 的大小关系为（ ）A ．AE =CDB ．AE ＞CDC ．AE ＜CD D ．无法确定20．已知∠P =80°，过不在∠P 上一点Q 作QM ，QN 分别垂直于∠P 的两边，垂足为M ，N ，则∠Q 的度数等于（ ）A ．10°B ．80°C ．100°D ．80°或100° 三、解答题（每小题5分，共30分）21.如图，点E 在AB 上，AC =AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为 ，你得到的一对全等三角形是∆ ∆≅ .（第21题）22.如图，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明.①AB =AC ，②DE =DF ，③BE =CF ， 已知：EG ∥AF ， = ， = ， 求证： 证明：（第22题）ECD BA23. 如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明. ①AB =DE ，②AC =DF ，③∠ABC =∠DEF ，④BE =CF（第23题）24. 如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上.连结AE 、BF ，给出下列五个关系式：①AD ∥BC ；②DE =CE ③. ∠1=∠2 ④. ∠3=∠4 . ⑤AD +BC =AB 将其中的三个关系式作为假设，另外两个作为结论，构成一个命题.(1)用序号写出一个真命题，书写形式如：如果……，那么……，并给出证明； (2)用序号再写出三个真命题（不要求证明）；（3）真命题不止以上四个，想一想就能够多写出几个真命题25.已知，如图，D 是△ABC 的边AB 上一点,DF 交AC 于点E , DE =FE , AB ∥FC . 问线段AD 、CF 的长度关系如何？请予以证明.（第25题）EDAC 4321FB26.如图，已知ΔABC 是等腰直角三角形，∠C =90°.（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C 重合，使这个角落在∠ACB 的内部，两边分别与斜边AB 交于E 、F 两点，然后将这个角绕着点C 在∠ACB 的内部旋转，观察在点E 、F 的位置发生变化时，AE 、EF 、FB 中最长线段是否始终是EF ？写出观察结果.（2）探索：AE 、EF 、FB 这三条线段能否组成以EF 为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明.四、探究题 （每题10分，共20分）27.如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.OPAMN EB CD FACEFBD图①图②图③28.如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现）ACF BE ACFB图a 图b参考答案一、1.∠DBE， CA 2.△ACE， SAS，△ACD， ASA（或SAS）3. 64.CD=C´D´（或AC=A´C´，或∠C=∠C´或∠CAD=∠C´A´D´）5.平移，翻折6. 907. 10 8. 20º 9.28- 10. 454=∠=、、△ACE≌△ADE或△ACB≌△ADB等.∠CABBDCE=BCDABDE22.结合图形，已知条件以及所供选择的3个论断，认真分析它们之间的内在联系可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；推理过程为：∵EG∥AF，∴∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA，∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∴∠B=∠BGE∴BE=EG，在△DEG和△DFC中，∠GED=∠CFD，DE=DF，∠EDG=∠FDC，∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，而EG=BE，∴BE=CF；若选①AB=AC，③BE=CF为条件，同样可以推得②DE=DF，23.结合图形，认真分析所供选择的4个论断之间的内在联系由④BE=CF还可推得BC=EF，根据三角形全等的判定方法，可选论断：①AB=DE，②AC=DF，④BE=CF为条件，根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，进而推得论断③∠ABC=∠DEF，同样可选①AB=DE，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF为条件，根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，进而推得论断②AC=DF.24. （1）如果①②③，那么④⑤证明：如图，延长AE交BC的延长线于F因为AD∥BC 所以∠1=∠F又因为∠AED =∠CEF，DE=EC所以△ADE≌△FCE，所以AD=CF,AE=EF因为∠1=∠F ,∠1=∠2 所以∠2=∠F所以AB=BF.所以∠3=∠4所以AD+BC=CF+BC=BF=AB（2）如果①②④，那么③⑤;如果①③④，那么②⑤;如果①③⑤，那么②④.(3) 如果①②⑤，那么③④;如果②④⑤，那么①③;如果③④⑤，那么①②.25.（1）观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE，使CG=AC，连结EG，FG，∴ΔACE≌ΔGCE，∴∠A=∠1，同理∠B=∠2，∵∠A+∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠EGF=90°，EF为斜边.四、27.（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD（2）答：（1）中的结论FE=FD仍然成立图①图②证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG∵∠1=∠2，AF=AF，AE=AG ∴△AEF≌△AGF∴∠AFE=∠AFG，FG=FE∵∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线∴∠2+∠3=60°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°∴∠CFG=60°∵∠4=∠3，CF=CF，∴△CFG≌△CFD∴ FG=FD∴FE=FD图⑤证法二：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H∵∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线∴∠2+∠3=60°∴∠GEF=60°+∠1,FG=FH∵∠HDF=∠B+∠1 ∴∠GEF=∠HDF∴△EGF≌△DHF∴FE=FD28. （1）AF=BE.证明：在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60.∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.(2)成立. 理由：在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°. ∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB.即∠ACF=∠BCE. ∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.(3)此处图形不惟一，仅举几例.如图，(1)中的结论仍成立.(4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：如图a，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE.。
8年级数学全等三角形经典例题
8年级数学全等三角形经典例题一、全等三角形经典例题1。
例1：如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，求证：△ABD≌△ACD。
解析：1. 在△ABD和△ACD中：- 已知AB = AC（题目中给出的等腰三角形的两腰相等）。
- 因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD（中线的定义）。
- AD = AD（公共边）。
2. 根据SSS（边边边）全等判定定理，可得△ABD≌△ACD。
二、全等三角形经典例题2。
例2：已知：如图，AB = AD，∠B = ∠D，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE。
解析：1. 因为∠1 = ∠2，所以∠1+∠DAC = ∠2+∠DAC，即∠BAC = ∠DAE。
2. 在△ABC和△ADE中：- 已知AB = AD。
- ∠B = ∠D。
- 且∠BAC = ∠DAE（已证）。
3. 根据ASA（角边角）全等判定定理，可得△ABC≌△ADE。
三、全等三角形经典例题3。
例3：如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，AB = 6cm，求△DEB的周长。
解析：1. 因为AD平分∠CAB，∠C = 90°，DE⊥AB，根据角平分线的性质，可知CD = DE。
2. 在Rt△ACD和Rt△AED中：- AD = AD（公共边）。
- CD = DE（已证角平分线性质）。
- 根据HL（斜边直角边）定理，可得Rt△ACD≌Rt△AED。
- 所以AC = AE。
3. 因为AC = BC，AB = 6cm，设AC = BC=x，根据勾股定理AC^2+BC^2=AB^2，即x^2+x^2=6^2，2x^2=36，x^2=18，x = 3√(2)。
4. 又因为AE = AC = 3\sqrt{2}\)，所以BE=AB - AE = 6 - 3\sqrt{2}\)。
5. 而△DEB的周长为DE+DB+BE，因为CD = DE，BC = BD + CD，所以△DEB的周长为BC+BE = 3\sqrt{2}+6 - 3\sqrt{2}=6cm。
南昌一中八年级上周练一及答案(全等三角形)
1南昌一中周练一 全等三角形（45分钟，满分100分）出卷人 余艳红一．填空题(每题4分,共24分)1.如图,△ABD ≌△ACE,对应角是___________________________,对应边是__________________．2. 已知:如图,△ABC ≌△FED,且BC=DE.则∠A=__________,A D=_______．3. 如图,△ABD ≌△ACE,则AB 的对应边是_________,∠BAD 的对应角是______．4．如图，∠1=∠2，由AAS 判定△ABD ≌△ACD ，则需添加的条件是____________.1 2 3 45．如图, 已知：∠1=∠2 , ∠3=∠4 , 要证BD=CD , 需先证△AEB ≌△A EC , 根据是_________再证△BDE ≌△______ , 根据是__________．6．如图，ABC △中，∠B ＝∠C ，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，且BD CE ，=DEF B ∠∠ 求证：=ED EF ．证明：∵∠DEC ＝∠B ＋∠BDE （ ）， 又∵∠DEF ＝∠B （已知），∴∠______＝∠______（等式性质）．在△EBD 与△FCE 中， ∠______＝∠______（已证）， ______＝______（已知），∠B ＝∠C （已知）， ∴EBD FCE △≌△( )．∴ED ＝EF ( )． 5 6二．选择题(每题5分,共40分)7． 下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边8. 如图,已知:△ABE ≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是 （ ）=AC B.∠BAE=∠CAD =DC =DEAB C D 12A D EC B F 4321ED B A28 99. 图中全等的三角形是 （ ）A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅣC.Ⅱ和ⅢD.Ⅰ和Ⅲ10. AD=AE , AB=AC , BE 、CD 交于F , 则图中相等的角共有（除去∠DFE=∠BFC ）对 对 对 对 （ ）11．如图,OA=OB,OC=OD, ∠O=60°, ∠C=25°则∠BED 的度数是 ( )° B. 85° C. 65° D. 以上都不对12. 已知:如图,△ABC ≌△DEF,AC ∥DF,BC ∥EF.则不正确的等式是 （ ）=DF =BE =EF =EF10 11 12 13 1413．如图 , ∠A=∠D , OA=OD , ∠DOC=50°, 求∠DBC 的度数为 （ ）° ° ° °14. 如图 , ∠ABC=∠DCB=70°, ∠ABD=40°, AB=DC , 则∠BAC= （ ）° ° ° °三．解答题(每题9分，共36分)15. 已知:如图 , 四边形ABCD 中 , AB ∥CD , AD ∥BC ．求证：△ABD ≌△CDB.16. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．F GE D CB AC ED BO A317.如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ．18．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的： ①分别在BA 和CA 上取BE CG =；②在BC 上取BD CF =；③量出DE 的长a 米，FG 的长b 米．如果a b =，则说明∠B 和∠C 是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？答案和BC,CD 和CA,BD 和AB 和AC,AD 和AE,BD 和CE 3. ∠F,CF , ∠CAE 5. ∠ADC,AD DEC SAS 9. ∠B=∠C10.40℃ 17. A 21.由ASA 可证 22. 因为AC=CD EC=BC ∠ACB=∠ECD 所以 △ABC ≌△CED AB=ED 23.证△ABC ≌△FED 得∠ACB=∠F 所以AC ∥DF 24.证△BED ≌△CFD 得∠E=∠CFD 所以CF ∥BE 25.由AAS 证△ABC ≌△CED AC=EF.A D E CB F G。
全等三角形(历年中考题)
全等三角形专题（一） 姓名：1.如图，OP 平分,MON PA ON∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ）A.1B.2C.3D. 42.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。
有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ； ③O 为BC 的中点； ④AG ：DE =3：4，其中正确结论的序号是 .（错填得0分，少填酌情给分）3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．4．八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案： ACDEON（Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线. （Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.（2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.5．（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .求证：（1）FC =AD ； （2）AB =BC +AD6．（2010江苏扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC ，AB =6，AC =7，BC =8．如果跳蚤开始时在BC 边的P 0处，BP 0=2．跳蚤第一步从P 0跳到AC 边的P 1（第一次落点)处，且CP 1=CP 0；第二步从P 1跳到AB 边的P 2（第一次落点)处，且AP 2=AP 1；第三步从P 2跳到BC 边的P 3（第三次落点)处，且BP 3=BP 2；……；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n 次落点为P n （n 为正整数），则点P 2007与P 2010之间的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2010安徽蚌埠）在ABC ∆中，E D 、分别是AC BC 、上的点，CD BD CE AE 2,2==， BE AD 、交于点F ，若3=∆ABC S ，则四边形DCEF的03第8题面积为________。
八年级上册数学全等三角形必考题
八年级上册数学全等三角形必考题全文共5篇示例，供读者参考八年级上册数学全等三角形必考题1《全等三角形的判定》这一课，要求学生会通过观察几何图形识别两个三角形全等，并能通过正确的分类动手探索出两个三角形全等的条件。
具体说：（1）正确识别两个三角形全等——会将两个三角形相等的边和角对应重叠在一起，看是否重合；（2）相信判定两个三角形全等不一定要3条边和3个角都相等，可能一边或一角相等就足够（这个判断不一定要正确，但要有这种想法，探索命题的真假才有可能）；（3）能正确地将三角形的6个元素按条件的个数分成：①一个元素：一个边或一条角对应相等。
②两个元素：两边或一边一角或两角对应相等。
③三个元素：三边或两边和一角或一边和两角或三角对应相等。
或者按：①边（一条边或两条边或三条边分别对应相等）。
②角（一个角或两个角或三个角分别对应相等）。
③边和角[一条边和一个角或一条边和两个角（又分为角边角和角角边两种）或两条边和一个角（又分为边角边和边边角两种）分别对应相等]；（4）能将分好的三大类（12小类）条件用画图的方法进行验证，找出能判定两个三角形全等的三条公理和一条定理；（5）能用这四个判定，直接判定两个三角形是否全等或能补充一个条件使两个三角形全等。
基于知识的完整性和分类的数学思想的渗透，我认为这个教学设计体现了知识与技能目标。
增强学生的观察、猜想和动手操作能力。
八年级上册数学全等三角形必考题2一、制订好复习课的复习目标复习要对以前多节新课中的知识点或数学思想方法进行压缩整理，所以要制订好复习课的复习目标。
首先，选择合适的知识范围非常重要。
其次，应确定对所选知识点中重点的复习深度，过易会让学生索然无味，过难会让学生畏惧前行，失去信心。
我对这节课的难度把握是保全突尖，教学流程本身有梯度，例题与配套变式也有梯度。
不过对于例3“求证两线段相等”这个问题既需要添加辅助线，又要连续两次证全等。
问题的梯度设置过大，许多学生还观察不出。
全等三角形考题精选(带答案)
全等三角形考题精选(带答案)全等三角形考题精选全等三角形是初中数学中的重要概念之一，也是很多考试中常见的题型。
通过解答全等三角形的问题，可以帮助学生加深对几何图形的理解和应用能力。
以下是一些常见的全等三角形考题以及详细的解析。
希望对你的学习和备考有所帮助。
题目一：已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，AC=DF。
若∠B=60°，证明△ABC≌△DEF。
解析：首先，已知AB=DE，AC=DF，根据SSS（边边边）全等条件，我们可以得出△ABC≌△DEF的结论。
另外，根据∠B=60°，我们还可以使用SAS（边角边）全等条件来证明。
设△ABC与△DEF的对应边分别为BC和EF。
由于AB=DE，AC=DF，我们可以得知△ABC与△DEF的对应边也相等，即BC=EF。
又因为∠B=60°，∠D=∠A，根据三角形内角和的性质可知∠C=∠F=180°-(∠A+∠B) = 120°。
综上所述，我们在△ABC和△DEF中分别找到了两组对应边和对应角相等，因此可以得出△ABC≌△DEF。
题目二：在平面直角坐标系中，已知点A(-3,2)、B(1,4)、C(4,1)和D是线段AC的中点，证明△ABC≌△BDC。
解析：首先，我们可以计算出线段AC的中点坐标为M(((-3+4)/2),(2+1)/2) = (0.5, 1.5)。
然后，我们可以计算出线段AB和CD的斜率分别为：k1 = (4-2)/(1-(-3)) = 2/4 = 1/2k2 = (1.5-4)/(0.5-4) = -2.5/-3.5 = 5/7由于AB和CD的斜率相等且AM=DM，根据SAS（边角边）全等条件，我们可以得出△ABC≌△BDC的结论。
题目三：在△ABC中，AB=BC，<ABC=40°，<ACB=140°。
点D在线段BC 上，且AD=BC，求∠BAC的度数。
全等三角形考题精选(带答案)
DO CB A A BCDEF全等三角形一、选择1、（2008 台湾）如图，有两个三角锥ABCD 、EFGH ，其中甲、乙、丙、丁分别表示❒ABC 、❒ACD 、 ❒EFG 、❒EGH 。
若∠ACB =∠CAD =∠EFG =∠EGH =70︒，∠BAC =∠ACD =∠EGF =∠EHG =50︒,则下列叙述何者正确？ （ ）（A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B ） 甲、乙全等，丙、丁不全等（C ） 甲、乙不全等，丙、丁全等 (D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等2．（2008年江苏省无锡市）如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80到OCD △的位置,已知45AOB ∠=，则AOD ∠等于（ ） Ａ．55 Ｂ．45 Ｃ．40 Ｄ．353、（2008山东潍坊)如图, Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AD ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，交A D 于E ，EF ∥AC ,下列结论一定成立的是( ）A 。
AB =BF B.AE =EDC 。
AD =DC D.∠ABE =∠DFE ，二、填空1。
(2008佳木斯市3）如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD =（只添一个即可）．2。
（2008年江苏省南通市)已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.3、(2008年荷泽市）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A,E 重合),在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P,BE 与CD 交于点Q,连结PQ ．以下五个结论：① AD=BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP=BQ； ④ DE=DP；G 50︒ ABCDE F 70︒50︒ 70︒50︒70︒50︒70︒ H甲乙 丙丁ABCE DO PQ⑤ ∠AOB=60°．恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上)．4。
全等三角形专项训练及答案解析
46．如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．
47．如图，AD=BC，AC=BD，求证：△EAB是等腰三角形．
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
41．如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角Байду номын сангаас，并说明理由．
42．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D
在同一条直线上．求证：BD=CE．
方案二：小军想出了这样一个方法，如图②所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A、B的点C，连结AC并延长到点D，使CD＝CA，连结BC并延长到E，使CE＝CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离.你能说明一下这是为什么吗？
50．MN、PQ是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C等距离的B、E两处，这时他们分别从B、E两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A、D两点，他们的行走路线AB、DE平行吗？请说明你的理由.
（2）归纳与叙述：
由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论.
49．有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的能够粗略地测量出鱼池两端A、B的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.
方案一：小明想出了这样一个方法，如图①所示，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，测得DE的长就是AB的长.你能说明一下这是为什么吗？
《全等三角形》测试题
《全等三角形》测试题
一、全等三角形测试题
1. 描述全等三角形的特性
答：全等三角形是一种特殊的三角形，它三个角都相等，也就是都是60度，正三角形。
三边也相等，是三等份，所以也叫做等边三角形。
2. 如何用三条线在一个平面图中作出一个全等三角形？
答：首先，在一个平面图中画上三条斜线；然后，从每条线的尽头，画一条垂线，相交的三个点就是要求的全等三角形的三个顶点；最后，可以用笔或铅笔将三点连起来。
3. 圆的内切圆是什么？
答：圆的内切圆就是一个圆的内部的一个小圆，它的圆心在大圆的内部，而且它的半径是比大圆小的，从而使得小圆的边界与大圆的边界总是相切。
专题01 全等三角形【考题猜想,35题12种题型】(解析版)
专题01 全等三角形（35题12种题型）一、全等图形的识别（共2小题）1．（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意；C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．2．（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）A．①和②B．②和③C．①和③D．③和④【答案】A【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．二、利用全等三角形求正方形网格中的角度之和（共2小题）3．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点∠-∠-∠的度数为（）．均为格点，则123A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】B【分析】根据网格特点，可得出190∠=o ，24∠∠=，3445∠+∠=o ，进而可求解．【详解】解：如图，则190∠=o ，24∠∠=，3445∠+∠=o ，∴123∠-∠-∠904545=-=o o o ，故选：B ．【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．4．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】B 【分析】首先利用SAS 定理判定△ABC ≌△DBE ，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB ，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】∵在△ABC 和△DBE 中AB BD A D AC ED ìï∠∠íïî＝＝＝，∴△ABC ≌△DBE （SAS ），∴∠3=∠ACB ，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B ．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．三、全等三角形的识别（共2小题）5．（2022秋·四川乐山·八年级统考期中）已知ABC DEF ≌△△，且A ∠与D ∠是对应角，B ∠和E ∠是对应角，则下列说法中正确的是（ ）A ．AC 与DF 是对应边B ．AC 与DE 是对应边C ．AC 与EF 是对应边D ．不能确定AC 的对应边【答案】A【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．【详解】解：A Q ∠与D ∠是对应角，B ∠和E ∠是对应角，C \∠和F ∠是对应角，AC \与DF 是对应边，故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．6．（2022秋·河南开封·八年级统考期末）下列说法中，正确的有（ ）①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若ABC DEF ≌△△，则A D ∠=∠，AB EF=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据全等的定义和性质判断即可．【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；④若ABC DEF ≌△△，则A D ∠=∠，AB DE =，故④错误；故正确的有1个．故选：A【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义．四、全等三角形的性质（共3小题）7．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，若ADB EDB EDC V V V ≌≌，则C ∠的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】D 【分析】根据EDB EDC V V ≌，推出90,DEB DEC DBE DCE ∠=∠=°∠=∠，再由ADB EDB V V ≌，得到90,DAB DEB DBA DBE ∠=∠=°∠=∠，利用直角三角形中两个锐角互余即可得出.【详解】∵EDB EDC V V ≌，∠DEB +∠DEC =180°，∴90,DEB DEC DBE DCE ∠=∠=°∠=∠，又∵ADB EDB V V ≌，∴90,DAB DEB DBA DBE∠=∠=°∠=∠∴90DBA DBE DCE ∠+∠+∠=°，即30DBA DBE DCE ∠=∠=∠=°故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形两个锐角和等于90°，掌握全等的性质是解题的关键.8．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，若ABC ADE △△≌则下列结论中不成立的是（ ）A ．BAD CAE ∠=∠B ．BAD CDE ∠=∠C ．DA 平分BDE ∠D ．AC DE=【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得出∠B ＝∠ADE ，∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AD ，∠E ＝∠C ，再逐个判断即可．【详解】解：A ．∵△ABC ≌△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC −∠DAC ＝∠DAE −∠DAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，故本选项不符合题意；B ．如图，∵△ABC ≌△ADE ，∴∠C ＝∠E ，∵∠AOE ＝∠DOC ，∠E ＋∠CAE ＋∠AOE ＝180°，∠C ＋∠COD ＋∠CDE ＝180°，∴∠CAE ＝∠CDE ，∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＝∠CDE ，故本选项不符合题意；C ．∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B ＝∠ADE ，AB ＝AD ，∴∠B ＝∠BDA ，∴∠BDA ＝∠ADE ，∴AD 平分∠BDE ，故本选项不符合题意；D ．∵△ABC ≌△ADE ，∴BC ＝DE ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．9．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则123∠+∠+∠的度数是（ ）A ．90oB ．120oC ．135oD ．180o【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得123456360,578180°°∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=，即123360180°°∠+∠+∠=-．【详解】解：如图所示：∵图中是三个全等三角形，∴48,67∠=∠∠=∠,又∵三角形ABC 的外角和123456360°=∠+∠+∠+∠+∠+∠=，又578180°∠+∠+∠=，即564180∠+∠+∠=°，∴123360180018°°∠+∠+=∠=-°，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质以及三角形的内角和定理， 解题关键点：熟记全等三角形的性质．五、利用“SSS”证明两个三角形全等（共4小题）10．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．【详解】解：由题意可知,OC OD MC MD==在OCM ODM △和△中OC OD OM OMMC MD =ìï=íï=î∴OCM ODM @△△(SSS )∴COM DOM∠=∠∴OM 就是AOB ∠的平分线故选：D【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．11．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）如图，通过尺规作图得到A O B AOB '''∠=∠的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA 【答案】A△△【分析】根据作图过程利用SSS可以证明OCD≌【详解】解：根据作图过程可知，14．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期中）如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=°，25B D ∠=∠=°，120EAB ∠=°，则EGF ∠的度数为（ ）A．120°B．135A．60°B．【答案】B【分析】先证△BAE ≌△CAD ，得出∠B=∠C，再证∠CFB=∠BAC=90°即可．【详解】解：∵AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，∴∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAE=∠CAD ，在△BAE 和△CAD 中，BA CA BAE CAD AE AD =ìï∠=∠íï=î,∴△BAE ≌△CAD ，∴∠B=∠C ，∵∠BGA=∠CGF ，∴∠CFB=∠BAC=90°,∴∠BFD =90°,故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是确定全等三角形并通过8字型导角求出度数．16．（2022秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CE ，BE ＝CF ，若∠A ＝50°，则∠DEF 的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】B 【分析】首先证明△DBE ≌△ECF ，进而得到∠EFC ＝∠DEB ，再根据三角形内角和计算出∠CFE ＋∠FEC 的度数，进而得到∠DEB ＋∠FEC 的度数，然后可算出∠DEF 的度数．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△DBE 和△ECF 中，BD CE B C BE CF =ìï∠=∠íï=î，∴△DBE ≌△ECF （SAS ），∴∠EFC ＝∠DEB ，∵∠A ＝50°，∴∠C ＝（180°−50°）÷2＝65°，∴∠CFE ＋∠FEC ＝180°−65°＝115°，∴∠DEB ＋∠FEC ＝115°，∴∠DEF ＝180°−115°＝65°，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是180°．17．（2022秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，已知C D ∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③12∠=∠；④B E ∠∠=．其中能使ABC V ≌AED △的条件有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．【详解】解：①C D ∠∠=Q ，AC AD =，AB AE =，ABC \V 和AED △不一定全等，故①不符合题意；②C D ∠∠=Q ，AC AD =，BC DE =，ABC \V ≌()SAS AED V ，故②符合题意；③12∠∠=Q ，12EAB EAB ∠∠∠∠\+=+，CAB DAE ∠∠\=，C D ∠∠=Q ，AC AD =，ABC \V ≌()ASA AED V ，故③符合题意；④B E ∠∠=Q ，C D ∠=∠，AC AD =，ABC \V ≌()D AAS AE V ，故④符合题意；所以，增加上列条件，其中能使ABC V ≌AED △的条件有3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．七、利用“SSS”证明两个三角形全等（共3小题）A ．3cm 2B ．4cm 【答案】C 【分析】证△ABP ≌△EBP ，推出12S PBC S ABC D =D ，代入求出即可．∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠EBP ，∵AP ⊥BP ，∴∠APB ＝∠EPB ＝90°，在△ABP 和△EBP 中，∠ABP ＝∠EBPA ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAA【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上；得∠A =∠D ，∵AC =DF ，∴∠ACB =∠DFE =90°，∴判定△ABC ≌△DFE 的理由是ASA ．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．21．（2021秋·吉林长春·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，过点A 作ABC ∠的平分线的垂线AD 交ABC V 内部于点P ，交边BC 于点D ，连结CP ，若ABP V ，CDP △的面积分别为4、2，则ABC V 的面积是（ ）A ．24B ．12C ．8D ．6【答案】B 【分析】根据ASA 可证ABP DBP @V V ，由全等的性质可得，AP DP =，即P 是AD 中点，由等底同高可得，DBP ABP S S =V V ，APC DPC S S =V V ，从而计算ABC ABP DBP APC DPC S S S S S =+++V V V V V ，故得出答案．【详解】由题可得：ABP DBP ∠=∠，BP AD ^，90BPA BPD \∠=∠=°，在ABP V 与DBP V 中，ABP DBP BP BPBPA BPD ∠=∠ìï=íï∠=∠î，()ABP DBP ASA \@V V ，AP DP \=，4DBP ABP S S \==V V ，2APC DPC S S ==V V ，442212ABC ABP DBP APC DPC S S S S S \=+++=+++=V V V V V ．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，求等底同高的面积，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．八、利用“AAS”证明两个三角形全等（共小题）A ．50B ．62【答案】A 【分析】由AE AB ^，EF FH ^，BG ^以证明EFA ABG @V V ，所以AF BG =，A ．30B ．32【答案】B 【分析】根据角的和差关系可得∠AEF =∠BAG ，利用可证明△CDH ≌△BCG ，可得CH =BG ，CG =DH 形EFHD -2S △ABC ，利用梯形和三角形面积公式即可得答案．24．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是高，能直接判断ABD ACD @△△的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．HLD ．ASA【答案】C【分析】根据直角三角形的全等证明即可判断．【详解】证明：∵AD ⊥BC∴ABD △和ACD V 是直角三角形，∵AB AC =，AD =AD （公共边），所以ABD △≌ACD V （HL ）故选C【点睛】本题主要考查直角三角形的全等证明，掌握直角三角形的全等证明方法是解题的关键．25．（2023春·河北张家口·八年级统考期中）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，DB ＝DC ，DE AB ^，DF AC ^，垂足分别为E ，F ，DE ＝DF ．求证：Rt Rt DEB DFC ≌△△．以下是排乱的证明过程：①∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，②∴()Rt Rt DEB DFC HL ≌△△．③∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，④∵在Rt DEB △和Rt DFC △中，DB DC DE DF =ìí=î，证明步骤正确的顺序是（ ）A ．③→②→①→④B ．③→①→④→②C ．①→②→④→③D ．①→④→③→②【答案】B【分析】根据垂直定义得出∠BED =∠CFD =90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【详解】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED =∠CFD =90°，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，BD CD DE DF =ìí=î，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC （HL ），即选项B 正确；选项A 、选项C 、选项D 都错误；故选：B ．【点睛】本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．26．（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，CA ⊥AB ，垂足为点A ，AB ＝12米，AC ＝6米，射线BM ⊥AB ，垂足为点B ，动点E 从A 点出发以2米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED ＝CB ，当点E 经过t 秒时，由点D 、E 、B 组成的三角形与△BCA 全等．请问t有几种情况？（ ）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】D【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6，∴BE＝6，∴AE＝12﹣6＝6，∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6，∴BE＝6，∴AE＝12+6＝18，∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，∵AB＝12，∴BE＝12，∴AE＝12+12＝24，∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），综上所述t的值为：0，3，9，12．共4种情况．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在于找到所有符合题意的情况．27．（2021秋·河北沧州·八年级统考期末）如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向DF的长度相等，则（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF．其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【分析】由已知条件判断两个直角三角形全等，根据全等三角形的性质逐一分析即可.【详解】解：由题意知90BAC EDF ∠=∠=o在Rt BAC V 和Rt EDF V 中：∵BC EF AC DF=ìí=î∴Rt BAC Rt EDF @△△(HL )∴AB DE =，ABC DEF∠=∠∴（1）、（3）正确∵+90DEF DFE ∠∠=o ，ABC DEF∠=∠∴+90ABC DFE ∠∠=o∴（2）正确故选：D【点睛】本题考查两个直角三角形全等的判定和性质，牢记相关的定理和性质内容是解题的关键．十、添加一个条件使两个三角形全等（共小题）28．（2023春·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB =DEB ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∥FD【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：Q BF =EC ，BC EF\=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E=∠=∠Q ()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D又,BC EF B E=∠=∠Q ()ABC DEF AAS \V V ≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC ≌△DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∥FDACB EFD\∠=∠又,BC EF B E=∠=∠Q ()ABC DEF ASA \V V ≌故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．29．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，点B 、E 在线段CD 上，若A DEF ∠=∠，则添加下列条件，不一定能使ABC EFD V V ≌的是（ ）A ．C D ∠=∠，AC DE=B ．BC DF =，AC DE =C ．ABC DFE ∠=∠，AC DE=D ．AC DE =，AB EF=【答案】B 【分析】利用三角形全等的判定方法进行分析即可．【详解】解：A ．添加∠C =∠D ，AC =DE 可利用ASA 判定△ABC ≌△EFD ，故此选项不合题意；B ．添加BC =FD ，AC =ED 不能判定△ABC ≌△EFD ，故此选项符合题意；C ．添加∠ABC =∠DFE ，AC =DE 可利用AAS 判定△ABC ≌△EFD ，故此选项不合题意；D ．添加AC =DE ，AB =EF 可利用SAS 判定△ABC ≌△EFD ，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．十一、尺规作图与三角形全等（共3小题）故答案为：④．【点睛】本题考查了利用SSS 定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．31．（2021秋·浙江宁波·八年级统考期末）已知：两边及其夹角，线段a ，c ，a ∠．求作：ABC V ，使BC a =，AB c =，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．请你根据所学的知识，说明尺规作图作出ABC a ∠=∠，用到的是三角形全等判定定理中的______，作出的ABC V 是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的______．【答案】作图见解析；SSS ，SAS ．【分析】（1）首先根据一个角等于已知角的方法作∠B=∠α，再在角的两边分别截取BC=a ，AB=c ，再连接AC ；（2）根据三角形全等的判定定理可得．【详解】解：（1）如图所示：（2）尺规作图作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS ，作出的△ABC 是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的SAS ．【点睛】本题主要考查用尺规作三角形，全等三角形的判定定理，关键是掌握作一个角等于已知角的方法以及全等三角形的判定方法．32．（2021秋·重庆梁平·八年级校联考期中）用尺规作图的方法，画出与下面△ABC 全等的△DEF （保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】分析根据SSS 画一个△DEF 与△ABC 全等即可．【详解】作法：作射线EM，在EM上截取线段EF，使EF=BC；分别以E点和F点为圆心，以BA、CA长为半径画弧，两弧相交于D点；连接ED，FD．则△DE F即为所求作的三角形．【点睛】本题主要考查了利用尺规作图法作全等三角形．可以根据全等三角形的判定方法SSS，SAS，ASA 选择一种方法即可．熟练掌握基本的尺规作图是解题的关键．十二、证明两个三角形全等（共3小题）33．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．【答案】（1）甲、丙；（2）见详解【分析】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A=∠D，只需要添加一个能得出对应边相等的条件，即可证明两个三角形全等，添加AC//DF不能证明△ABC≌△DEF；（2）添加AB=DE，再由条件AB∥DE可得∠B＝∠DEC，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【详解】（1）解：∵AB//DE，∴∠B＝∠DEC，又∵∠A=∠D，∴添加AB=DE，可得△ABC≌△DEF（ASA）；添加BE=CF，可得BC=EF，可得△ABC≌△DEF（AAS）∴说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）选“甲”，理由如下：证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEC ，在△ABC 和△DEF 中A DB DEF AB DE ∠∠ìï∠∠íïî＝＝＝ ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．34．（2021秋·江西抚州·八年级统考期中）如图，从①AB AC =；②AD AE =；③BD CE =；④ADB E ∠=∠；⑤BAC DAE ∠=∠五个条件中，选出三个条件，利用全等三角形的判定定理，可使ABD ACE ≌△△，你能想出几种方法，罗列出来，并挑选其中一种方法写出你的证明过程．【答案】可选①②③或①②⑤或①④⑤或②③④或③④⑤或②④⑤ ，证明见解析【分析】根据全等三角形的判定定理，即可求解．【详解】解：可选①②③或①②⑤或①④⑤或②③④或③④⑤或②④⑤选①②③，证明：在ABD △与ACE △中，∵AB AC =，AD AE =，BD CE = ，∴()ABD ACE SSS V V ≌；选①②⑤，证明：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，∴()ABD ACE SAS △≌△；选①④⑤，证明：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵ADB E ∠=∠，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，（1）求证：FC AD =；（2）若4AE =，4BE =【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用ASA 证明（2）根据题意，ABCD S 四边形。
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《全等三角形复习习题1》编制人：康振华马尉平审阅：审批：2011.9.30
一．选择题
1.下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C．AB=DE，BC=EF，△ABC
的周长= △DEF的周长
D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
2.在△ABC与△DEF中，给出下列六个条件：
（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F，
以其中三个条件为已知，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）
Ａ．（1）（5）（2）Ｂ．（1）（2）（3）
Ｃ．（4）（6）（1）Ｄ．（2）（3）（4）
3.下列几种说法①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；
③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等。
其中正确的是
（） A. ①② B. ②③ C. ③④ D.①④
4.△ABC和△DEF中，∠B＝∠E 、∠C＝∠F,添加下列条件不能得出△ABC
≌△DEF的是（）
A. BC＝EF
B. AB＝DE
C. AC＝DE
D. AC＝DF
5.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④
∠B=∠E,其中能使ΔABC≌ΔAED的条件有( )个.
A.4
B.3
C.2
D.1
6 .如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若
∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（）
A．80°B．100°C．60°D．45°．
7.如图,AD是ABC
△的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且
DE DF
，连结BF，CE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；
③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）
A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对
9.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全
等的图形是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
10.已知：如图10，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，则图中共有全等三角形（）
A．5对B．4对C．3对D．2对
二.填空题：
1. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则图中全等三角形有____________对。
2.如图，已知在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若
A
B C
D
E F
第5题
A
E
A
D
E
C
B
第10题
F
G
第9题
E
第1题
第2题第3题2
1
E
C
B
A
2 15cm BC =，则DEB △的周长为 cm ．
3.如图，ΔABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD 分为三个三角形，则S ABO ∆：S BCO ∆：S CAO ∆等于______.
4.已知，△ABC ≌△DEF, BC ＝EF ＝6cm ，△ABC 的面积为18cm 2 ，则EF 边上的高的长是__________。
5 .一个三角形三边长分别为3、4、5，另一个三角形的三边为a 、b 、c ，且满足 a ＝b ＋1，b ＝c ＋1，a ＋c ＝8，那么这两个三角形的关系是_________________________。
6.如图，直线a.b.c 表示三条相互交叉 的公路,现在拟建一个货物中转站,要求它到 三条公路的距离都相等,刚可供选择的地址 有: 处;（在图上作出位置）
7.如图：在四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连接AE 、BE 并延长AE 交BC 的延
长线于点F ，给出下列5个关系式：：①AD
∥BC ，②，DE=EC
③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB 。
将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。
请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果……那么……）（1） ；（2） ；
8. 如图，△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ，AE 是∠BAC 的平分线， 点E 到AB 的距离等于3cm ，则CF=_____cm 。
9. 如图，在Rt ΔABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，交于点D ，若CD=n ，AB=m ，则ΔABD 的面积是_______
BC 上的中线，AB ＝12，AC ＝8，则边BC 的取值范围是＿＿＿＿；中线AD 的取值范围是＿＿＿＿．
三、解答题：（每小题11分，共22分）
1．如图，AD 、A ′D ′分别是锐角△ABC 和△A ′B ′C ′中BC ，B ′C ′边上的高，且AB=A ′B ′，AD=A ′D ′，若使△ABC ≌△A ′B ′C ′，请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条件)
2. 如图，已知AB ∥DE ，AB=DE ，AF=DC ，请问图中有哪几对全等三角形？ 并任选其中一对给予证明．
3. 已知BD 、CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，BP=AC ，点Q 在CE 上，CQ=AB 。
判断线段AP 和AQ 的位置.大小关系，并证明.
3
4 a b
c
B
第8题
A 第9题。