程序正确性证明

程序正确性定义
程序设计过程：问题 程序规约 程序
衡量一个程序的正确性，主要看程序是否实现了问 题所要求的功能。若程序实现了问题所要求的功能， 则称它为正确的，否则是不正确的。 对程序的正确性理解，可以分为两个层次：
从广义来说，一个程序的正确性取决于该程序满足问题 实际需求的程度。 从狭义而言，如果一个程序满足了它的程序规约就是正 确的。
程序规约的基本分类
非形式化程序规约 非形式化程序规约采用自然语言描述程序功能， 简单、方便，但存在二义性，因此，不利于程序的 正确性证明。 形式化程序规约 采用数学化的语言描述程序功能，描述精确， 无二义性，便于程序的正确性证明。
程序规约的实例
在书写程序规约时，使用Q表示前置断言，R表示 后置断言，S表示问题求解的实现程序。在前置断 言Q之前，还必须给出Q和R中所出现的标识符的 必要说明。
程序正确性定义
程序规约Q{S}R是一个逻辑表达式，其取值为真或 假。 其中取值为真的含义是指：给定一段程序S，若 程序开始执行之前Q为真，S的执行将终止，且终止 时R为真，则称为 “程序S，关于前置断言Q和后置 断言R是完全正确的”。
程序正确性定义
部分正确： 部分正确 若对于每个使得Q(i)为真，并且程序S计算终止的输入信息i， R(i,S(i))都为真，则称程序S关于Q和R是部分正确的。 程序终止： 程序终止 若对于每个使得Q(i)为真的输入i，程序S的计算都终止，则 称程序S关于Q是终止的。 完全正确： 完全正确 若对于每个使得Q(i)为真的输入信息i，程序S的计算都将终 止，并且R(i,S(i))都为真，则称程序S关于Q和R是完全正确 的。 一个程序的完全正确，等价于该程序是部分正确，同时又是 终止的。
不变式断言法实例1(建立检验条件)
通路3：
P(x1,x2,y1,y2) ∧ y1<>y2 ∧y1<y2 => P(x1,x2,y1,y2-y1)
x1>0 ∧x2>0 ∧ y1>0 ∧ y2>0 ∧ gcd(y1,y2)=gcd(x1,x2) ∧ y1<>y2 ∧ y1<y2 => x1>0 ∧ x2>0 ∧ y1>0 ∧ y2-y1>0 ∧ gcd(y1,y2-y1)=gcd(x1,x2)
通路2：
若y1&g2) =gcd(x1,x2)
通路3:
若y2>y1, gcd(y1,y2)=gcd(y1,y2-y1) =gcd(x1,x2)
通路4:
若y1=y2,gcd(y1,y2) =gcd(x1,x2)=y1=y2=z P(x1,x2,y1,y2) ∧ y1=y2 => O(x1,x2,z)
通路3：B->C
P(x,y1,y2,y3) ∧ y2>x =>O(x,y1) y12 ≤ x ∧ y2=(y1+1)2 ∧y3 = 2y1+1∧ y2>x => y12 ≤ x<(y1+1)2
不变式断言法实例2
检验条件2 y12 ≤ x ∧ y2=(y1+1)2 ∧ y3 = 2y1+1 ∧ y2 ≤ x => (y1+1) 2 ≤ x ∧ y2+y3+2=(y1+1+1) 2 ∧ y3+2=2(y1+1)+1 证明： x≥(y1+1)2 ——(y2 ≤ x , y2=(y1+1)2 ) y2+y3+2 = (y1+1)2 + 2y1 + 1+2 = (y1+1)2 +2 (y1+1)+1= (y1+1+1)2 y3+2=2y1+1+2=2(y1+1)+1 检验条件3 y12 ≤x ∧ y2=(y1+1)2 ∧y3 = 2y1+1 ∧ y2>x => y12 ≤x<(y1+1)2 证明： y12 ≤x x<y2,y2=(y1+1)2 =>x<(y1+1)2
不变式断言法实例2
检验条件：I ∧ R => O 通路1：A->B
I(x)=> P(x,0,1,1) x>0=> 0 ≤ x ∧ 1=(0+1) 2 ∧ 1=2*0+1
通路2：B->D->B
P(x,y1,y2,y3) ∧ y2≤x => p(x,y1+1,y2+y3+2,y3+2) y12≤x ∧ y2=(y1+1)2 ∧ y3 = 2y1+1 ∧ y2≤x => (y1+1) 2 ≤ x ∧ y2+y3+2=(y1+1+1) 2 ∧ y3+2=2(y1+1)+1
完全正确性的方法
A. Hoare公理化方法的推广 B. Burstall的间发断言法 C. Dijkstra的弱谓词变换方法以及强验证方法
循环不变式断言
把反映循环变量的变化规律 变化规律，且在每次循环体的执 变化规律 行前后均为真的逻辑表达式称为该循环的不变式断 不变式断 言。
带余整数除法问题： 为非负整数， 为正整数 为正整数， 例 带余整数除法问题：设x为非负整数，y为正整数，求 为非负整数 x除以 的商 ，以及余数 。 除以y的商 除以 的商q，以及余数r。 程序： 程序： q＝0；r＝x； ＝ ； ＝ ； while( r ≥ y) //该循环不变式断言： 该循环不变式断言： 该循环不变式断言 { //(x＝y×q＋r )∧ r ≥ 0 ＝ × ＋ ∧ r ＝ r－y； － ； q ＝ q＋1； ＋ ； }
程序规约的实例
例2：求两个非负整数的最大公约数。 ：求两个非负整数的最大公约数。 [in a,b :integer; out y:integer] Q: {a ≥ 0 ∧ b ≥ 0} S R:{y ＝ MAX(i: 1 ≤ i ≤min(a,b) ∧ (a mod i ＝ 0) ∧ (b mod i ＝ 0))}
START
· ·
T T
a b
I(x1,x2) P(x1,x2,y1,y2)
(x1,x2)->(y1,y2) y1<>y2
·g
F
F
z:=y1
·c
STOP e
O(x1,x2,z)
y1>y2
d
·
·
y1:=y1-y2
y2:=y2-y1
不变式断言法实例1(建立检验条件)
检验条件： I ∧ R => O 通路1：
第5讲 程序正确性证明
5.1 程序正确性概述
什么样的程序才是正确的？ 如何来保证程序是正确的？
关于程序正确性的认识
什么样的程序才是正确的？ 测试” 调试” “测试”或“调试”方法 根据问题的特性和软件所要实现的功能，选 择一些具有代表性的数据，设计测试用例。通 过用例程序执行，去发现被测试程序的错误。 采用“测试”方法可以发现程序中的错误， 采用“测试”方法可以发现程序中的错误， 但却不能证明程序中没有错误！ 但却不能证明程序中没有错误！ 因此，为保证程序的正确性， 因此，为保证程序的正确性，必须从理论 上研究有关“程序正确性证明”的方法。 上研究有关“程序正确性证明”的方法。
不变式断言法实例2
对任一给定的自然数x，计算 ＝ 的平方根取整。 对任一给定的自然数 ，计算z＝[ x ]，即计算 的平方根取整。 ，即计算x的平方根取整 1＋3＋…(2n+1)=(n+1)2 开始 y1=n; I(x) y3=2×y1+1; · A (0,0,1)－>(y1,y2,y3) y2= (y1+1)2 输入断言： I(x):x>0 y2+y3－>y2 输出断言： · B P(x,y1,y2,y3) 2 ≤ x<(z+1)2 O(x,z):z y2>x y1－>z ·D 循环不变式： T P(x,y1,y2,y3)： · C O(x,z) F y12 ≤ x ∧ y2=(y1+1)2 ∧ (y1+1,y3+2)－>(y1,y3) 结束 y3 = 2y1+1
程序正确性的证明方法分类
证明部分正确性的方法
A. Floyd的不变式断言法 的不变式断言法 B. Manna的子目标断言法 的子目标断言法 C. Hoare的公理化方法 的公理化方法
终止性证明的方法
A. Floyd的良序集方法 的良序集方法 B. Knuth的计数器方法 的计数器方法 C.Manna等人的不动点方法
不变式断言法实例1
例：设x,y为正整数，求x,y的最大公约数z的程序，即 z=gcd(x,y)。
Function gcd(x1,x2:integer); var y1,y2,z : Integer; Begin y1:=x1;y2:=x2; while (y1<>y2) do if (y1>y2) y1:=y1-y2 else y2:=y2-y1 z:=y1; write(z); End
程序正确性证明发展历程
20世纪50年代 Turing开始研究。 1967年，Floyd和Naur提出不变式断言法。 1969年，Hoare提出公理化方法。 1975年，Dijkstra提出最弱前置谓词和程序推导方法， 解决了断言构造难的问题，可从程序规约推导出正 确程序，使正确性证明变得实用。 程序正确性理论是十分活跃的课题，不仅可 程序正确性理论是十分活跃的课题， 以证明顺序程序的正确性， 以证明顺序程序的正确性，而且还可以证明非确 定性程序，以及并行程序的正确性。 定性程序，以及并行程序的正确性。
I(x1,x2)=> P(x1,x2,y1,y2) x1>0 ∧ x2>0 => x1>0∧ x2>0 ∧ y1>0 ∧Y2>0 ∧ gcd(y1,y2)=gcd(x1,x2)