1.1.1正弦定理教学案(必修5)
高中数学 1.1.1正弦定理教案 新人教A版必修5
《正弦定理》教学设计一、教学目标分析1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。
3、情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。
二、教学重点、难点分析重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。
三、教学基本流程1、引出问题：在三角形中，已知两角以及一边，如何求出另外一边；2、结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；3、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的类型；4、应用正弦定理解三角形。
五、教学反思1、新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，使学生在自主探究的过程中提高数学思维能力。
本设计创设了一系列数学问题情境来引导学生质疑、思考，让学生在“疑问”、“好奇”、“解难”中探究学习，激发了学生的学习兴趣，调动了学生自主学习的积极性，从而有效地培养学生了的数学创新思维。
2、新课标强调数学教学要注重“过程”，要使学生学习数学的过程成为在教师的引导下∠进行“再创造”过程。
本设计展示了一个先从特殊的直角三角形中正弦的定义出发探索A ∠的正弦的关系从而发现正弦定理，再将一般的三角形与直角三角形联系起来的正弦与B（在一般的三角形中构造直角三角形）进而在一般的三角形发现正弦定理的过程，使学生不但体会到探索新知的方法而且体验到了发现的乐趣，起到了良好的教学效果。
高中数学 1.1.1 正弦定理教案 新人教A版必修5
§1.1.1 正弦定理教学要求：（一）知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
（二）过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
（三）情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用；教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教学过程： 一、复习准备：1、讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形。
已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？二、讲授新课：1、教学正弦定理的推导：（1）特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin a A c =，sin bB c =，sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =，sin c c C =，sin sin sin a b cA B C ==。
（2）推广到斜三角形证明一：（传统证法）在任意斜ABC ∆中：111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===， 两边同除以abc 21即得：sin sin sin a b c A B C ==，证明二：（外接圆法）如图所示，A D ∠=∠，∴2sin sin a aCD R A D===，同理2sin b R B =，2sin c R C =。
人教版高中数学必修五导学案：1.1.1正弦定理
§ 正弦定理班级姓名学号学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验 ：固定 ABC 的边 CB 考： C 的大小与它的对边及AB B ，使边 AC 绕着极点的长度之间有如何的数C转动．思量关系？明显，边 AB 的长度跟着其对角确地表示出来？C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精二、新课导学 ※ 学习研究研究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就第一来 商讨直角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ， AC=b ， AB=c ，依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 asin A ，bsin B ，又 sin C 1c ， ccc 进而在直角三角形ABC 中，abcsin A sin B ．sin C研究 2：那么关于随意的三角形，以上关系式能否仍旧建立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD = asin B bsin A ，则 a b c bsin A ，同理可得 sin C ，a bc sin B sin B 进而sin A sin B ．sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧建立．请你试一试导.新知 ：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即abc ．sin A sin Bsin C试一试 ：（ 1）在ABC中，必定建立的等式是（）．A ．a sin A bsinB B .a cosA b cosBC. a sin B bsin A D .a cosB bcosA（ 2）已知△ ABC 中， a＝ 4， b＝ 8，∠ A＝ 30°，则∠ B 等于．[理解定理 ]（ 1）化边为角；（ 2）化角为边．（ 3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的随意两角及其一边能够求其余边，如a b sin A ；b．sin B②已知三角形的随意两边与此中一边的对角能够求其余角的正弦值，如sin A asin B ；sinCb ．（ 4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例 1. 在ABC中，已知 A45，B60 ，a 42cm，解三角形．变式：在ABC 中，已知B45 ， C 60 ，a12cm，解三角形．例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a 2,求 b和B, C ．变式 ：在 ABC 中， b3, B 60 , c 1, 求a 和A,C ．三、总结提高 ※ 学习小结1. 正弦定理：a b csin A sin B sin C2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和此中一边的对角．※ 知识拓展abc 为外接圆直径 .sin A sin B2R ，此中 2Rsin C学习评论1. 在 ABC 中，若cos Ab，则 ABC 是（） .cos B aA ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 2. 已知△ ABC 中， A ∶ B ∶ C ＝ 1∶ 1∶ 4，则 a ∶ b ∶ c 等于（ ） .A ．1∶ 1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶ 1∶ 3D ．2∶ 2∶ 33. 在△ ABC 中，若 sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（）.A. A BB. A BC. A ≥BD. A 、 B 的大小关系不可以确立4. 已知 ABC 中， sin A:sin B :sin C 1: 2:3 ，则 a : b: c = ．5. 已知ABC 中，A 60 ， a3 ，则a b c=．sin A sin B sin C课后作业1.已知△ ABC 中， AB ＝6，∠ A＝ 30°，∠ B＝120，解此三角形．2. 已知△ ABC 中， sinA∶ sinB∶ sinC＝ k∶ (k＋1)∶ 2k (k≠0)，务实数k 的取值范围为．。
高中数学必修5新教学案：1.1.1正弦定理
必修5 1.1.1 正弦定理（学案）【知识要点】1．正弦定理2．正弦定理的变形 【学习要求】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）1. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） （1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：c = .（2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：sin aA= . （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，AE = .,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin a C = ，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A as i n= = . 结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等面积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：Aasin = = .法二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ, ∴==R CD 2 . 同理2R = ＝ . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB= + .两边同乘以单位向量j 得j •AB= .即j •AC +j •CB =j •AB .∴ = . ∴A c C a sin sin = . ∴Aasin = . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin = ∴A a sin =B b sin =Ccsin . 3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=______； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= ； a=______,；b=______ ；c=_______；(4)sinA=_______；sinB=________；sinC=________. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1） ； （2） ．5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（1） 当A 为锐角（2） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA BA sin sin sin sin 2+-的值为___ __.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120 (2)a =9,b=l0,A= 60 (3)c=50,b=72,C= 135例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．例5 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ． （A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ． （A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=3，b=1，则c 等于( ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ． （A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6． 二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B=60，则ba ba +-=______ _ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__ __． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=____ ． 三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,200和求中，===∆9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB ．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,xB =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求)(x f y =的最大值.必修5 1.1.1 正弦定理（教案）【教学目标】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力． 【重点】理解正弦定理的及应用． 【难点】正弦定理的熟练变形运用．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）2. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） 在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin sin a b C B =，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A a s i n =B b sin =Cc sin 了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =.同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得j •(AC+CB )=j •AB .则j •AC +j •CB =j •AB .∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB|cos(90︒-A) .∴A c C a sin sin = . ∴A a sin =Ccsin . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin .3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______；sinA=__2a R _____；sinB=___2b R _____；sinC=____2c R____. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（3） 当A 为锐角（4） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断． 【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,C A B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要津】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形.解：根据三角形内角和定理，02.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理, )(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：根据三角形内角和定理，0105180=--=C A B .根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 0cm C B c b +===.根据正弦定理, )(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要津】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理, ,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，090180=--=B C A .(2) 根据正弦定理, ,23245sin 6sin sin 0===aAc C060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B 当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.解：根据正弦定理, .8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B 因为,18000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2) 当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120(2)a =9,b=l0,A=60 (4)c=50,b=72,C=135【审题要津】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性 质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数． 解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ， 所以此三角形只有一解． （2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（5） 当A 为锐角（6） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=，由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A 又因为,sin sin C B c b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路．例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A .53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴= ,15525321sin 212=∙∙==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a 又由正弦定理知： ,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S 【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A（C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B= 60，则b a b a +-=______562-_ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=__33__ ．三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理, )(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 000cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<<即该三角形有两解，故3432<<b 时，该三角形有两解．当,sin b a a A b >=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R =在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形.1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则AB 210 ． 2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++CB A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B ABC AC =∙= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=∙=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π ),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36。
1.1.1正弦定理教案
1.1.1正弦定理一、教学目标： 1、能力要求：①掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形； ②能够运用正弦定理解决某些与测量和几何有关的实际问题。
2、过程与方法：①使学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系——正弦定理。
②在探究学习中认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
二、教学重点、难点：重点： 理解和掌握正弦定理的证明方法。
难点： 理解和掌握正弦定理的证明方法；三角形解的个数的探究。
三、预习问题处理：1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。
那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 。
3、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。
4、用正弦定理可解决下列那种问题① 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。
5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？四、新课讲解：在ABC Rt ∆中，设90=C ，则1sin ,sin ,sin ===C c b B c a A ，即：C cc B b c A a c sin ,sin ,sin ===, CcB b A a sin sin sin ==。
问题一：对于一般的三角形，上述关系式是否依然成立呢？ 设ABC ∆为锐角三角形，其中C 为最大角。
如图（１）过点A 作BC AD ⊥于D ，此时有bADC c AD B ==sin ,sin ，所以C b B c sin sin =，即C c B b sin sin =．同理可得CcA a sin sin =， 所以CcB b A a sin sin sin ==。
人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理课程设计
人教版高中必修5(B版)1.1.1正弦定理课程设计一、前言正弦定理是高中数学中重要的几何知识点之一，它可以应用于解决各种三角形问题。
本课程设计旨在通过引导学生的实践操作，加深对正弦定理的认识和理解，提高学生的数学运算能力和解决实际问题的能力。
二、教学目标1.理解正弦定理的含义和应用场景；2.掌握使用正弦定理求解三角形内角、外角、边长的方法；3.能够熟练应用正弦定理解决实际问题。
三、教学内容1.正弦定理的定义及三角形内角、外角、边长的关系；2.正弦定理的应用场景及解题方法；3.正弦定理在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 课前预习复习三角函数的相关知识点，如正弦函数和余弦函数的定义及其图像。
2. 导入新知通过讲解正弦定理的定义及应用场景，引导学生了解正弦定理的概念和使用方法。
3. 自主探究在学生独立完成本课程设计中的练习题后，引导学生思考如何应用正弦定理解决习题中的问题，并引导学生互相交流讨论解题思路。
4. 师生互动在学生完成课堂练习后，由教师出示一些课外实际问题，并通过师生互动的方式引导学生运用正弦定理解决问题，同时也可以与学生分享教师个人经历中的实际问题。
5. 作业布置布置相关练习题，并鼓励学生结合实际问题，进一步巩固所学内容。
五、教学资源1.《人教版高中数学必修5(B版)》教材；2.教师自编习题；3.课件及黑板。
六、评价标准1.能够独立使用正弦定理解决三角形问题；2.能够掌握使用正弦定理解决实际问题的方法；3.能够在课外适当运用所学知识。
七、教学反思通过课程设计，学生能够熟练掌握正弦定理的应用，并培养了运用数学工具解决实际问题的能力。
同时，通过师生互动的方式，让学生不仅仅局限于纸上解题，而是能够运用所学知识解决实际问题，让学生更好地体会到数学知识的实际应用。
正弦定理
正弦定理(第一课时)教学设计一、教学内容分析本节课内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章1.1.1正弦定理。
本章“解三角形”内容既是必修4中三角函数与向量内容的延续，又包含求解三角形的重要数量关系，蕴含较强的理论性和应用性。
解三角形作为几何度量问题，突出了几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。
本节课作为本单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对一般三角形边角关系的量化探究，发现并初步掌握正弦定理，解决简单的两类解三角形问题，并为后续余弦定理等相关内容作知识和方法上的准备。
教学过程中，可发挥学生的主动性，通过试验猜测、探究发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思维能力和推理水平。
二、学生学情分析对刚刚升入高中不久的学生来说，虽已具备一定的平面几何、解直角三角形、三角函数及向量等知识，也具有一定观察、分析、解决问题的能力，但对知识间的联系与综合有一定难度，思维灵活性受到制约；尤其是本课中涉及到推理证明的复杂性、多样性和从特殊到一般的思维方式等，对学生学习会形成较大障碍。
因此，教学中教师应适时引导，降低各环节之间的联系难度，多带动前后知识间的联想，引领学生直接参与分析问题、解决问题并体验获得成果的喜悦。
若能注意与生活实际相结合，注重知识的发生、发展过程，就更能激发学生学习兴趣和参与探索的积极性。
三、教学任务分析1、通过对特殊三角形边角数量关系的试验结论归纳，猜测出正弦定理；2、尝试从各种途径证明正弦定理；3、初步应用正弦定理求解三角形（两种基本情形）；4、自行归纳表述本课收获；四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。
(新课标)2019高中数学-1.1.1正弦定理教学设计-新人教A版必修5
(新课标)2019高中数学-1.1.1正弦定理教学设计-新人教A版必修5人教版高中数学必修精品教学资料1.1.1 正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系,与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系,与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时,让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时,提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较,由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联CcB b A a sin sin sin ==. 师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆,在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等,来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系． 师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题,我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90°,∠C =∠B′,∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=. ∴R Cc2sin =. 同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==.∴R Cc B b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==. 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.[知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C osθ,其中θ为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化.师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得AB CB AC =+而添加垂直于AC 的单位向量j 是关键,为了产生j 与AB、AC 、CB 的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程:(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j与CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)(由分配律可得AB j CB j AC •=•+.∴|j|ACCo s90°+|j|CBCo s(90°-C )=|j|ABCo s(90°-A ).∴A sin C =C sin A .∴CcA a sin sin =.另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角为90°-C ,j与AB 的夹角为90°-B )∴CcB b A a sin sin sin ==. (2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC垂直的单位向量j,则j 与AB的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .由AB CB AC =+,得j·AC+j ·CB =j·AB ,即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -90°),∴A sin C =C sin A .∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j,则j 与AC的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为90°+B .同理,可得C cB b sin sin =. ∴Cc B b simA a sin sin ==（形式1）. 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用.[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使A =ksin A ,B =ksin B ,C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式2). 我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. ①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边,如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题.②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.［例题剖析］【例1】在△ABC 中,已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理,C =180°-(A +B )=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;根据正弦定理,b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(c m); c =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c m).[方法引导](1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC 中,已知A =20c m,B =28c m,A =40°,解三角形（角度精确到1°,边长精确到 1c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解：根据正弦定理,sin B =2040sin 28sin oa Ab =≈0.899 9. 因为0°＜B ＜180°,所以B ≈64°或B ≈116°.（1）当B ≈64°时,C =180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°,C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c m).（2）当B ≈116°时,C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°,C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c m). [方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角.∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =≈0.513 1, ∴B ≈31°.∴C =180°-(A +B )=180°-(38°+31°)=111°.∴C =oo A C a 38sin 111sin 60sin sin =≈91.[方法引导]同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解.变式二：在△ABC 中,已知A ＝28,B ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形.解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =≈0.618 6,∴B ≈38°或B ≈142°(舍去).∴C =180°-（A +B ）=22°.∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导](1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解.师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字), (1)已知C =3,A =45°,B =60°,求B ; (2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A .解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°,CcB b sin sin =, ∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c ≈1.6.(2)∵BbA a sin sin =, ∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b ≈6.9. 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1):(1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A =45°;(3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A =120°.解： (1) ∵B bA a sin sin =. ∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a ≈0.909 1. ∴A 1≈65°,A 2≈115°.当A 1≈65°时,C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°,∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b ≈22. 当A 2≈115°时,C 2=180°-(B +A 2)=180°-(30°+115°)=35°,∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b ≈13. (2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a Ab ≈0.505 1, ∴B 1≈30°,B 2≈150°.由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角).∴C =180°-(45°+30°)=105°.∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a ≈38. (3)∵CcB b sin sin =, ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b ≈0.654 6. ∴B 1≈41°,B 2≈139°.由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去.∴当B =41°时,A =180°-(41°+115°)=24°,A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c ≈24. (4) sin B =20120sin 28sin ︒=a Ab =1.212＞1. ∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形.布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题.（二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲](1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.(2)余弦定理如何与向量产生联系.(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理1.正弦定理:2.证明方法:3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法(1)已知两角和一边(2)向量法(2)已知两边和其中一边的对角习题详解（课本第5页练习）1.解：（1）∵B b A aC c sin sin sin ==,∴a =︒︒=30sin 45sin 10sin sin C A c ≈14. B =180°-A -C =105°,∴b =︒︒=30sin 105sin 10sin sin C B c ≈19. （2）C =180°-A -B =180°-60°-45°=75°,∵B bA a C c sin sin sin ==, ∴a =︒︒=75sin 60sin 20sin sin C A c ≈18, b =︒︒=•75sin 45sin 20sin sin C B c ≈15. 2.解：（1）∵C cB b A a sin sin sin ==, ∴sin A =11101130sin 20sin =︒=b B a .又0°＜A ＜180°,∴A ≈65°或A ≈115°.①当A ≈65°时,C =180°-A -B =180°-65°-30°=85°,c =︒︒=30sin 85sin 11sin sin B C b ≈22. ②当A ≈115°时,C =180°-115°-30°=35°,c =︒︒=30sin 35sin 11sin sin B C b ≈13. (2)∵C c B b A a sin sin sin ==,∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b ≈0.007 2. 又B 为锐角,∴B ≈41°,A ≈24°,∴A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c ≈24.备课资料一、知识总结1.判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形,这类问题分为一解、二解和无解三种情况.一方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函数的有界性进行分析. 设已知A 、B 、A ,则利用正弦定理aAb B sin sin =, 如果sin B ＞1,则问题无解. 如果sin B ＝1,则问题有一解;如果求出的sin B ＜1,则可得B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断. 2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC ,设BC ＝A , CA ＝B ,AB ＝C ,作AD ⊥BC ,垂足为D .则Rt△ADB 中,ABADB =sin , ∴AD =AB ·sin B =c sin B .∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=•. 同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21sin 21=.∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 21sin 21sin 21==.∴ab sin c =bc sin A =ac sin B ,在等式两端同除以ABC ,可得bBa A c C sin sin sin ==. 即Cc B b A a sin sin sin ==.3.利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成A =2Rsin A ,B =2Rsin B ,C =2Rsin C 或sin A =RcC R b B R a 2sin ,2sin ,2==.（R 为△ABC 外接圆半径）这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用.二、典型例题1．若△ABC 中(A 2+B 2)sin(A -B )=(A 2-B 2)sin C ,则△ABC 是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形分析:运用正弦定理A =2Rsin A ,B =2Rsin B 以及结论sin 2A -sin 2B =sin(A +B )sin(A -B ),由（A 2+ B 2）sin(A -B ) = (A 2- B 2)sin C ,∴(sin 2A +sin 2B )sin(A -B ) =(sin 2A -sin 2B )sinC =sin(A +B )·sin(A -B )·sin C .若sin(A -B )= 0,则 A = B .若sin(A -B )≠0,则sin 2A +sin 2B =sin 2CA 2+B 2=C 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案选D .2.在△ABC 中,A =45°,B ∶C = 4∶5,最大边长为10,求角B 、C ,外接圆半径及面积S.分析：由A +B +C =180°及B ∶C =4∶5,可得B =4K,C =5K,则9K=135°,故K=15°.那么B =60°,C =75°.由正弦定理)26(575sin 210-=︒=R ,由面积公式32575sin sin 221sin 21-=••=•=A B R c A bc S .点评：求面积时B 未知但可转化为B =2Rsin B ,从而解决问题.3.在△ABC 中,已知A =30°,A 、B 分别为角A 、B 对边,且A =4,B =43,解此三角形.分析：由正弦定理知23sin sin 3430sin 4sin sin =⇒=︒⇒=B B B b A a . 那么B 1=60°,C 1=90°,C 1=8或B 2=120°,C 2=30°,C 2=4.点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角,如图可以看出满足条件的三角形有2个.4.已知△ABC 的三个内角成等差数列并且t a n A ·t a n C =2+3,（1）求A 、B 、C 的度数;（2）若AB 边上的高CD =43,求三边A 、B 、C 的长．分析：（1）由2B =A +C ,得B =60°,则A +C =120°,32cos cos sin sin 32tan tan +=••⇒+=•CA CA C A .即(2+3)CO s A ·CO s C -sin A ·sin C =0⇒(1+3)CO s A ·CO s C + (CO s A ·CO s C -sin A ·sin C )=0 ⇒(1+3)·21［CO s(A +C )+CO s(A -C )］+CO s(A +C )=0 ⇒231+［-21+CO s(A -C )］+CO s(A +C )=0.∴CO s(A -C )=23. 得|A -C |=30°.又∵A +C =120°.∴A =45°,C =75°或A =75°,C =45°.（2）如图,若A ＜B ＜C ,由正弦定理得A =8,B =46,C =BCO s A +ACO s B =4(3+1).同理,若A ＞B ＞C 时,则A =4(3+1),B =46,,C =8.点评：这类具有一定综合性的题目,恒等变形有一定的技巧.由三个角成等差得A +C =120°,恒等变形的目标就是寻找A 与C 的关系,用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化．此题还可以由t a n A ·t a n C =2+3求出t a n A +t a n C =3+3,运用韦达定理解出t a n A 和t a n C ,这对综合能力的训练大有益处．。
(完整版)1.1.1 正弦定理
第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理
学习目标
• 1. 掌握正弦定理的内容； • 2. 掌握正弦定理的证明方法； • 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
学习重点：
正弦定理的内容； 正弦定理的基本应用。
学习难点：
正弦定理的证明。
在初中阶段我们学过：在同一个三角形中，大 边对大角，小边对小角。
C 180°（A B）=105°
得 sin A a sin B 1 b2
由b c sin B sin C
∵ 在 ABC 中 a b
∴ A 为锐角
得c bsin C 4 sin B
2 sin105 sin 45
2
62
2
A 30
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在△ABC中，R为△ABC外接圆半径，sina
A
b sin B
c sin C
k
则k为( A )
A.2R B.R C.4R D.R
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问 题呢？
例1 在 ABC 中，已知 c 10, A 45,C 30 ，求a和b。
（保留两个有效数字）.
解 ： 根据正弦定理
ac sin A sin C
a
c sin A sin C
10sin 45 sin 30
人教版高中数学必修五学案7：1.1.1 正弦定理
1.1.1 正弦定理学习目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解决解三角形的两类基本问题.3.从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中,边与其对角的关系.4.通过观察、推导、比较,经历由特殊到一般的思维过程归纳出正弦定理.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:在Rt△ABC中,角C为直角,我们知道sin A=,sin B=,sin C=1=.这三个式子中都含有哪个边长?问题2:那么通过这三个式子,边长c有几种表示方法?c=此关系式能不能推广到任意三角形?二、信息交流,揭示规律同学们猜想:在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即.通过实验后,猜想成立,即有下面的结论:在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即.问题3:正弦定理如何表述?问题4:观察正弦定理,我们可以解决什么问题?三、运用规律,解决问题【例1】在△ABC中,已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形(边长精确到0.1cm).【例2】在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm).四、变式训练,深化提高【例3】已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.【例4】在△ABC中,c=,A=45°,a=2,求b和B,C.五、限时训练(一)选择题1.在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于()A.10+B.10(-1)C.+1D.102.在△ABC中,若,则B的值为()A.30°B.45°C.60°D.90°3.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则∠A等于()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°4.△ABC中,A,B的对边分别为a,b,且A=60°,a=,b=4,那么满足条件的△ABC()A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定5.在△ABC中,已知a=x,b=2,B=60°,如果△ABC有两组解,则x的取值范围是()A.x>2B.x<2C.2<x<D.2<x≤(二)填空题6.在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=.7.在△ABC中,a=5,B=135°,C=15°,则此三角形的最大边长为,外接圆半径为.8.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a=;b=.(三)解答题9.在△ABC中,已知AB=10,A=45°,在BC边的长分别为20,,5的情况下,求相应的角C.10.在△ABC中,b=,B=60°,c=1,求a和A,C.六、反思小结,观点提炼通过本节课的研讨,请大家谈谈自己的体会.(1)在本节课中,学习了哪些知识?(2)包含了哪些数学思想和数学方法?参考答案一、设计问题,创设情境问题1:都含有边长c.问题2:二、信息交流,揭示规律问题3:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.问题4:①已知任意两个角和一边,可以求出另一角和另外两边.②已知两边和其中一边的对角,可以求出另一边和另外两角.三、运用规律,解决问题【例1】解:根据三角形内角和定理,C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°根据正弦定理,b=≈80.1(cm);根据正弦定理,c=≈74.1(cm).【例2】解:根据正弦定理,sin B=≈0.8999.因为0°<B<180°,所以B≈64°,或B≈116°.(1)当B≈64°时,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+64°)=76°,c=≈30(cm);(2)当B≈116°时,C=180°-(A+B)≈180°-(40°+116°)=24°,c=≈13(cm).四、变式训练,深化提高【例3】解:∵c=10,A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.由,得a==10;由,得b==20sin75°=20×=5+5.【例4】解:∵,∴sin C=.∵a<c,∴C=60°或120°.∴当C=60°时,B=75°,b=+1;∴当C=120°时,B=15°,b=-1.∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°.五、限时训练1.B2.B3.D4.C5.C6.1∶∶27.5 58.12(3-)12(-2)9.解:由正弦定理,得sin C=.(1)当BC=20时,sin C=,∵BC>AB,∴A>C,∴C=30°;(2)当BC=时,sin C=.∵AB·sin45°<BC<AB,∴C有两解,∴C=60°或120°;(3)当BC=5时,sin C=2>1,∴C不存在.10.解:∵,∴sin C=.∵b>c,B=60°,∴C<B,C为锐角,∴C=30°,A=90°,∴a==2.六、反思小结,观点提炼。
高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理教案 新人教
1.1.1正弦定理一、教学目标：1、掌握正弦定理的内容及其证明方法；能用正弦定理解决一些简单的三角度量问题；2、让学生从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、推导，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。
3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步学生培养探索精神和创新意识。
二、教学重点难点：教学重点：正弦定理的探索与发现。
教学难点：正弦定理证明及简单应用。
三、教学策略“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。
基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，在教师的启发引导下，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，结合现代多媒体教学手段，通过观猜想—验证--发现--证明--应用等环节逐步得到深化，体验数学知识的内在联系，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，逐步培养学生探索精神和创新意识。
四、教学过程探寻特例提出猜想1、回顾直角三角形中边角关系.引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解.利用c边相同，寻求形式的和谐统一发现在直角三角形中根据学生认知规律，由特殊三角形入手，让学生经历由特殊到一般的发现过程，从而体验数学的探索过程，激发了学生探究欲，突显了学生的主体地位。
2、问题1、发现对于锐角、钝角三角形成立吗？学生思考交流。
3、个例验证发现将两个全等的30°、60°的直角三角形，拼在一起验证.4、提出猜想：学生大胆猜想：对于直角、锐角、钝角三角形发现均成立。
逻辑推理证明猜想1、多媒体课件验证猜想。
（任意改变三角形形状，由计算机算出各边与对角正弦值的比，观察是否相等）教师演示，学生观察。
通过多媒体验证，学生从感性认识猜想的正确性。
2、问题2：你能通过严格的推理证明猜想吗？学生合作交流，探索证明方法。
2014年高中数学 1.1.1正弦定理教案(一)新人教A版必修5
1.1.1正弦定理讲授新课[合作探究]师那么对于任意的三角形，关系式CcB b A a sin sin sin ==是否成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =，同理，可得B bC c s i ns i n =.从而C cB b A a s i ns i n s i n ==.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcB b A a sin sin sin ==.师是否可以用其他方法证明这一等式？ 生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系． 师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=. ∴R Cc2sin =. 同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==.∴R CcB b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==. 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. [知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C osθ,其中θ为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化. 师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得=+而添加垂直于的单位向量j 是关键,为了产生j 与、、CB 的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用. 向量法证明过程:(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为90°-A ,j 与的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得=+,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到j j ∙=+∙)(由分配律可得j j ∙=∙+.∴Co s90°Co s(90°-C Co s(90°-A ).∴A sin C =C sin A .∴CcA a sin sin =. 另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹角为90°-C ,j与的夹角为90°-B )∴CcB b A a sin sin sin ==.(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-C .由=+,得j·+j·=j·, 即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -90°), ∴A sin C =C sin A . ∴CcA a sin sin = 另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹角为90°+B .同理,可得C cB b sin sin =.∴CcB b simA a sin sin ==（形式1）. 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立. 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. [教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使A =ksin A ，B =ksin B ，C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式2). 我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. ①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题. ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结. ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理， C =180°-(A +B )=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°; 根据正弦定理，b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(c m); c =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c m). [方法引导](1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC 中，已知A =20c m ，B =28c m ，A =40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解：根据正弦定理，sin B =2040sin 28sin oa Ab =≈0.899 9.因为0°＜B ＜180°，所以B ≈64°或B ≈116°.（1）当B ≈64°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°，C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c m). （2）当B ≈116°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°，C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c m). [方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字).分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角.∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =≈0.513 1,∴B ≈31°.∴C =180°-(A +B )=180°-(38°+31°)=111°.∴C =ooA C a 38sin 111sin 60sin sin =≈91. [方法引导]同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解.变式二：在△ABC 中,已知a ＝28,b ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形.解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =≈0.618 6, ∴B ≈38°或B ≈142°(舍去).∴C =180°-（A +B ）=22°. ∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导](1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解. 师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =3,A =45°,B =60°，求B ;(2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A .解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，CcB b sin sin =，∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c ≈1.6.(2)∵BbA a sin sin =，∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b ≈6.9. 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心. 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1): (1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A =45°; (3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A =120°.解： (1) ∵B bA a sin sin =.∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a ≈0.909 1.∴A 1≈65°，A 2≈115°.当A 1≈65°时，C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°，∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b ≈22.当A 2≈115°时，C 2=180°-(B +A 2)=180°-(30°+115°)=35°,∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b ≈13.(2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a A b ≈0.505 1,∴B 1≈30°，B 2≈150°.由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角). ∴C =180°-(45°+30°)=105°.∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a ≈38.(3)∵CcB b sin sin =, ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b ≈0.654 6.∴B 1≈41°,B 2≈139°.由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去. ∴当B =41°时，A =180°-(41°+115°)=24°,A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c ≈24. (4) sin B =20120sin 28sin ︒=a A b =1.212＞1. ∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍. 课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形. 布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题. （二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲](1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.(2)余弦定理如何与向量产生联系.(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理1.正弦定理:2.证明方法:3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法 (1)已知两角和一边 (2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角。
高中数学 1.1.1正弦定理教学设计 新人教A版必修5(1)
第一章解三角形1.1.1正弦定理教材分析与导入三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学重点发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。
正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。
正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。
教学难点用向量法证明正弦定理。
虽然学生刚学过必修4中的平面向量的知识，但是要利用向量推导正弦定理，有一定的困难。
突破此难点的关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和内角的三角函数联系起来。
用平面向量的数量积方法证明这个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例。
教学建议正弦定理是刻画三角形边和角关系的基本定理，也是最基本的数量关系之一。
此节内容从地位上讲起到承上启下的作用：承上，可以说正弦定理是初中锐角三角函数（直角三角形内问题）的拓广与延续，是对初中相关边角关系的定性知识的定量解释，即对“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”这一定性知识的定量解释，即正弦定理得到这个边、角的关系准确的量化的表示，实现了边角的互化。
它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用，同时教材这样编写也体现了新课标中“体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学”这一指导思想；启下，正弦定理解决问题具有一定的局限性，产生了余弦定理，二者一起成为解决任意三角形问题重要定理。
高中数学 1.1.1 正弦定理教案 新人教B版必修5
1.1.1 正弦定理整体设计教学分析本节内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．在初中学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力．本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了．若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间．本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理．三维目标1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．2．通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力．通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神．重点难点教学重点：正弦定理的证明及其基本运用．教学难点：正弦定理的探索和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC 中的边角关系，若∠C 为直角，则有a ＝csinA ，b ＝csinB ，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到a sinA ＝b sinB，进一步提问，等式能否与边c 和∠C 建立联系？从而展开正弦定理的探究．思路2.(情境导入)如图，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A 和B ，某日两个观测点的林场人员分别测到C 处有火情发生．在A 处测到火情在北偏西40°方向，而在B 处测到火情在北偏西60°方向，已知B 在A 的正东方向10千米处．现在要确定火场C 距A 、B 多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC 中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB ＝10千米，求AC 与BC 的长．”这就是一个解三角形的问题．为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此展开新课的探究学习．推进新课新知探究提出问题1阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系？3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍然成立？ 4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？ 5什么叫做解三角形？ 6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢？活动：教师引导学生阅读本章引言，点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性．如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识．让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题．关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系．先观察特殊的直角三角形．如下图，在Rt△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a c ＝sinA ，b c ＝sinB ，又sinC ＝1＝c c ，则a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝c.从而在Rt△ABC 中，a sinA ＝b sinB ＝c sinC.那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？教师引导学生画图讨论分析． 如下图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角的三角函数的定义，有CD ＝asinB ＝bsinA ，则a sinA ＝b sinB .同理，可得c sinC ＝b sinB .从而a sinA ＝b sinB ＝c sinC.(当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成)通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立．教师点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sinA ＝b sinB ＝c sinC上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明．教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系．因为如果∠A＜∠B，由三角形性质，得a ＜b.当∠A、∠B 都是锐角，由正弦函数在区间(0，π2)上的单调性，可知sinA ＜sinB.当∠A 是锐角，∠B 是钝角时，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函数在区间(π2，π)上的单调性，可知sinB ＞sin(π－A)＝sinA ，所以仍有sinA ＜sinB.正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法．讨论结果：(1)～(4)略．(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形．(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：①已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”．这类问题的解是唯一的．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”．这类问题的答案有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论．应用示例例1在△ABC 中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a ＝42.9 cm ，解此三角形．活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解∠C，b ，c.此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，直接应用正弦定理可求出边b ，若求边c ，则先求∠C，再利用正弦定理即可．解：根据三角形内角和定理，得∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)； c ＝asinC sinA ＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)． 点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理180°求出第三个角，再利用正弦定理．(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．变式训练在△ABC 中(结果保留两个有效数字)，(1)已知c ＝3，A ＝45°，B ＝60°，求b ；(2)已知b ＝12，A ＝30°，B ＝120°，求a.解：(1)∵C＝180°－(A ＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，b sinB ＝c sinC， ∴b＝csinB sinC ＝3sin60°sin75°≈1.6.(2)∵a sinA ＝b sinB， ∴a＝bsinA sinB ＝12sin30°sin120°≈6.9.例2已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1)：(1)∠A＝60°，∠B＝45°，a ＝10；(2)a ＝3，b ＝4，∠A＝30°；(3)b ＝36，c ＝6，∠B＝120°.活动：教师可引导学生先画图，加强直观感知，明确解的实际情况，这样在求解之后，无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的明确，思路清晰流畅，同时体会分析问题的重要性，养成解题前自觉判定解题策略的良好习惯，而不是盲目乱试，靠运气解题．解：(1)因为∠C＝180°－60°－45°＝75°，所以由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝10sin45°sin60°＝1063≈8.2，c ＝asinC sinA ＝10si n75°sin60°≈11.2(如图1所示)．图1(2)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4sin30°3＝23， 因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如图2所示)．图2当∠B≈41.8°时，∠C≈180°－30°－41.8°＝108.2°，c ＝asinC sinA ＝3sin108.2°sin30°≈5.7； 当∠B≈138.2°时，∠C≈180°－30°－138.2°＝11.8°，c ＝asinC sinA ＝3sin11.8°sin30°≈1.2(如图2所示)． (3)由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝6sin120°36＝6×3236＝22， 因此∠C＝45°或∠C＝135°. 因为∠B＝120°，所以∠C ＜60°.因此∠C＝45°，∠A＝180°－∠B－∠C＝15°.再由正弦定理，得a ＝bsinA sinB ＝36sin15°32≈2.2(如图3所示)．图3点评：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形．当然对于不符合题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的变式训练来体会．变式训练在△ABC 中，已知a ＝60，b ＝50，A ＝38°，求B(精确到1°)和c.(保留两个有效数字)解：∵b＜a ，∴B＜A ，因此B 也是锐角．∵sinB＝bsinA a ＝50sin38°60≈0.513 1， ∴B≈31°.∴C＝180°－(A ＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.∴c＝asinC sinA ＝60sin111°sin38°≈91.例3如图，在△ABC 中，∠A 的角平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD DC ＝AB AC. 活动：这是初中平面几何中角平分线的性质定理，用平面几何的方法很容易证得．教材安排本例的目的是让学生熟悉正弦定理的应用，教师可引导学生分析相关的三角形的边角关系，让学生自己证明．证明：如图，在△ABD 和△CAD 中，由正弦定理，得BD sinβ＝AB sinα，① DC sinβ＝AC sin 180°－α＝AC sinα，② ①÷②，得BD DC ＝AB AC. 点评：解完此题后让学生体会是如何通过正弦定理把所要证的线段连在一起的．本例可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用．例4在△ABC 中，A ＝45°，B∶C＝4∶5，最大边长为10，求角B 、C ，外接圆半径R 及面积S.活动：教师引导学生分析条件B∶C＝4∶5，由于A ＋B ＋C ＝180°，由此可求解出B 、C ，这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形，显然其解唯一，结合正弦定理的平面几何证法，由此可解三角形，教师让学生自己探究此题，对于思路有阻的学生可给予适当点拨．解：由A ＋B ＋C ＝180°及B∶C＝4∶5，可设B ＝4k ，C ＝5k ，则9k ＝135°，故k ＝15°，那么B ＝60°，C ＝75°.由正弦定理，得R ＝102sin75°＝5(6－2)， 由面积公式S ＝12bc·sinA＝12c·2RsinB·sinA＝75－25 3. 点评：求面积时，b 未知但可转化为b ＝2RsinB ，从而解决问题．1.在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sinC ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案：D解析：运用正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB 以及结论sin 2A －sin 2B ＝sin(A ＋B)·sin(A－B)，由(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sinC ，∴(sin 2A ＋sin 2B)sin(A －B)＝(sin 2A －sin 2B)sinC.∴(sin 2A ＋sin 2B)sin(A －B)＝sin(A ＋B)·sin(A－B)·sinC.若sin(A －B)＝0，则A ＝B.若sin(A －B)≠0，则sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选D.2．已知△ABC 中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1∶3∶2 D．2∶3∶1答案：C 知能训练1．在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S 的值是( )A. 2B.3＋1C.12(3＋1) D ．2 2 2．在△ABC 中，已知a ＝5，B ＝105°，C ＝15°，则此三角形的最大边长为__________．3．在△ABC 中，若(3b －c)cosA ＝acosC ，则cosA ＝__________.答案：1．B 解析：由正弦定理a sinA ＝c sinC ，得c ＝asinC sinA＝22，B ＝180°－A －C ＝105°， ∴△ABC 的面积S ＝12acsinB ＝12×2×22sin105°＝3＋1. 2.532＋66 解析：∵B＝105°，C ＝15°，∴A＝60°.∴b 为△ABC 的最长边． 由正弦定理，得 b ＝asinB sinA ＝5sin105°sin60°＝532＋66.3.33解析：由正弦定理，知 a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC(R 为△ABC 的外接圆半径)． ∴(3sinB －sinC)cosA ＝sinA·cosC， 化简，得3sinB·cosA＝sin(A ＋C)＝sinB. ∵0＜sinB≤1， ∴cosA＝33. 课堂小结1．先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形需要注意的问题，特别是两解的情况应怎样理解．2．我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想，以“直角三角形”作问题情境，由此展开问题的全面探究，正弦定理的证明方法很多，如平面几何法、向量法、三角形面积法等．让学生课后进一步探究这些证明方法，领悟这些方法的思想内涵．3．通过例3引入了三角形外接圆半径R 与正弦定理的关系．但应引起学生注意，R 的引入能给我们解题带来极大的方便．作业习题1—1A 组1、2、3.设计感想本教案设计思路是：立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受创造的快乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到较好的落实．本教案的设计时刻注意引导并鼓励学生提出问题．一方面鼓励学生大胆地提出问题；另一方面注意妥善处理学生提出的问题，启发学生抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深入．根据上述设想，引导学生从感兴趣的实际问题到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的情况，从而形成猜想，激起进一步探究的欲望，然后引导学生对猜想进行严格的逻辑证明，并让学生通过自己的努力发现多种证法，开阔学生视野．备课资料一、知识扩展1．判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题分为一解、两解和无解三种情况．一方面，我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析．设已知a 、b 、A ，则利用正弦定理 sinB ＝bsinA a，如果sinB ＞1，则问题无解； 如果sinB ＝1，则问题有一解；如果求出的sinB ＜1，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．2．利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，常常将正弦定理写成a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC 或sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R ，sinC ＝c2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后具体应用． 3．正弦定理的其他几种证明方法 (1)三角形面积法如图，已知△ABC，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，作AD⊥BC，垂足为D.则Rt△ADB 中，sinB ＝ADAB ，∴AD＝AB·sinB＝csinB. ∴S △ABC ＝12a·AD＝12acsinB.同理，可得S △ABC ＝12absinC ＝12bcsinA.∴acsinB＝absinC ＝bcsinA. ∴sinB b ＝sinC c ＝sinA a ，即a sinA ＝b sinB ＝csinC. (2)平面几何法如图，在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，作△ABC 的外接圆，O 为圆心，连结BO 并延长交圆于C′点，设BC′＝2R ，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，∴sinC＝sinC′＝c 2R .∴c sinC ＝2R.同理，可得a sinA ＝2R ，bsinB ＝2R.∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R. 这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式a sinA ＝bsinB ＝c sinC. 这种证明方法简洁明快．在巩固平面几何知识的同时，将任意三角形与其外接圆联系在一起，并且引入了外接圆半径R ，得到a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R 这一等式，其变式为a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，可以更快捷地实现边角互化．特别是可以更直观地看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利．(3)向量法①如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →，为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →，由分配律可得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →.∴|j ||AC →|cos90°＋|j ||CB →|cos(90°－C)＝|j ||AB →|cos(90°－A)． ∴asinC＝csinA.∴a sinA ＝csinC .同理，可得c sinC ＝bsinB .∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC. ②如图，△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°，过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →，得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →， 即a·cos(90°－C)＝c·cos(A－90°)， ∴asinC＝csinA.∴a sinA ＝csinC.同理，可得b sinB ＝c sinC .∴a sinA ＝b sinB ＝csinC .③当△ABC 为直角三角形时，a sinA ＝b sinB ＝c sinC显然成立． 综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立． 二、备用习题1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( )A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 62．△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sinB ＝12，sinC ＝32，则a∶b∶c 等于 … ( )A ．1∶3∶2 B．1∶1∶ 3C ．1∶2∶ 3D ．2∶1∶3或1∶1∶ 33．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于 … ( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 24．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且B ＝2A ，则ba 的取值范围是 …( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(1，3)D ．(2，3) 5．在△ABC 中，若∠A＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________． 6．在△ABC 中，已知a ＝334，b ＝4，A ＝30°，则sinB ＝________.7．在△ABC 中，cosA ＝－513，cosB ＝35，(1)求sinC 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积． 参考答案：1．D 解析：由正弦定理，知b sinB ＝a sinA ，即b sin60°＝10sin45°，解得b ＝5 6. 2．D 解析：由题意，知C ＝60°或120°，B ＝30°，因此A ＝90°或30°.故选D. 3．D 解析：由正弦定理得6sin120°＝2sinC ，得sinC ＝12，于是有C ＝30°或C ＝150°(不符合题意，舍去)．从而A ＝30°.于是△ABC 是等腰三角形，a ＝c ＝ 2.4．D 解析：由正弦定理知b a ＝sinBsinA ，又∵B＝2A ，∴b a ＝sin2A sinA ＝2cosA. ∵△ABC 为锐角三角形，∴0°＜B ＜90°.∴0°＜2A ＜90°. ∴0°＜A ＜45°.又∵0°＜C ＜90°， ∴A＋B ＞90°.∴3A＞90°. ∴A＞30°.∴30°＜A ＜45°. ∴2＜2cosA ＜3， 即2＜ba ＜ 3.故选D.5.1534 解析：由正弦定理，得AB sinC ＝BC sinA ，即5sinC ＝7sin120°，∴sinC＝57×32＝5314. 因此sinB ＝3314，所以S △ABC ＝12×5×7×3314＝1534.6.839 解析：由正弦定理，得4sinB ＝334sin30°，解得sinB ＝839. 7．解：(1)由cosA ＝－513，得sinA ＝1213.由cosB ＝35，得sinB ＝45，∴sinC＝sin(A ＋B)＝sinA·cosB＋cosA·sinB＝1665.(2)由正弦定理，得 AC ＝BC×sinBsinA ＝5×451213＝133，∴△ABC 的面积S ＝12×BC×AC×sinC＝12×5×133×1665＝83.。
1.1.1正弦定理导学案(必修五)
§1.1.1 正弦定理 学习目标 1。
掌握正弦定理的内容； 2。
掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．(简:大角对大边)能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ,AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:当∆ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=， 同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=． 试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ )．A ．sin sin a A bB = B 。
cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4,b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理](1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2)sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C． （3)正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C = ． （4）一般地，把三角形的三个角A ，B,C 和它们的对边,,a b c 叫做 。
高中数学《1.1.1 正弦定理》教案 新人教A版必修5
福建省长乐第一中学高中数学必修五《1.1.1 正弦定理》教案第一课时 1.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =cb sin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C==. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b c A B C==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C . 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a CD R A D===， 同理 sin b B =2R ，sin c C＝2R . 证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 ② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角 ③练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆==中，求和.在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ） ④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b c A B C ++++. 2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题.。
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1.1.1 正弦定理 一、本节重点：正弦定理的探究与获得，利用正弦定理及相关知识解三角形.
二、本节难点：正弦定理及变形公式的灵活应用，解三角形个数讨论.
三、知识梳理：
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：________________.
2、解三角形：一般地，把三角形的三个角,,A B C 和它们的对边,,a b c 叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求____________的过程叫做解三角形.
3、正弦定理的变形公式：设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则有
2sin sin sin a b c R A B C
===. （1）::____________a b c =；（2）sin sin sin ,,sin sin sin a A a A b B b B c C c C
===； （3）sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++===++；（4）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===. 四、推荐例题：
例题1：课本第3页例1 （已知任意两角及一边解三角形）
例题2：课本第4页例4 （已知两边及其中一边的对角解三角形）
例题3：在ABC ∆中，若sin 2sin cos A B C =，且222sin sin sin A B C =+，试判断ABC ∆的形状.
例题4：在ABC ∆
中，已知02,60a b A ===，则________.B =
五、课堂练习：
1、在ABC ∆中，004,45,60a A B ===，则边b 的值为（ ）
A. 1
B. 1
C.
D. 2+
2、在ABC ∆
中，已知3sin b B =，且cos cos B C =，角A 是锐角，则ABC ∆的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
3、在ABC ∆
中，060,1b B c ==，则________.a =
4、在ABC ∆
中，已知,24c A a π
==，则________.b =
5、（1）已知在ABC ∆中，0010,45,30c A C ===，解三角形；
（2）已知在ABC ∆中，05,2,120a b B ===，解三角形.
设计:赵龙老师
六、课时作业：
1、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin a A =，则sin B =（ ）
A. B. C. D.
2、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若00105,45,A B b ===则c =（ ）
A.
B. 1
C.
D. 2 3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知85,2b c C B ==，则c o s C =（ ） A. 725 B. 725- C. 725± D. 2425
4、在ABC ∆中，若sin sin A B >，则有（ ）
A. a b <
B. a b ≥
C. a b >
D. ,a b 的大小无法判定
5、在ABC ∆中，若2cos c a B =，则ABC ∆的形状为（ ）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 不等边三角形
6、在ABC ∆中，0045,60AB A B ==，则________.BC =
7、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知,1,6
A a b π
===，则________.B = 8、下列条件判断三角形解的情况，正确的是____________.
①08,16,30a b A ===，有两解； ②018,20,60b c B ===，有一解；
③015,2,90a b A ===，无解； ④040,30,120a b A ===，有一解. 9、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知向量2cos ,sin ,22A A m n ⎛⎫== ⎪⎝
⎭
cos ,2sin , 1.22A A m n ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝
⎭ （1）求cos A 的值； （2）若2a b ==，求c 的值.
10*、在锐角三角形ABC 中，2,,,A B a b c =所对的角分别为,,A B C ，求： （1）B 的范围；
（2）
a b
的范围.。