高三数学人教版一轮课件：第六篇第4节 基本不等式

m
m
2 m 4 +5=9,当且仅当 m=2 时取等号,故 ymin=9. m
又当 m→+∞或 m→0 时,y→+∞,故原函数的值域是[9,+∞).
答案:(2)[9,+∞)
反思归纳 (1)形如 f(x)= ax2 bx c 的最值问题,只要分母 x+d>0,都可以将 f(x)
xd
转化为 f(x)=a(x+d)+ e +h(这里 ae>0,若 ae<0,可以直接利用单调性等方法求最 xd
第4节 基本不等式
考纲展示 1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最 大(小)值问题.
知识梳理自测 考点专项突破 易混易错辨析
知识梳理自测
把散落的知识连起来
【教材导读】
1.不等式 a2+b2≥2ab 与 a+b≥2 ab 的应用条件是什么?
提示:在 a2+b2≥2ab 中,a,b∈R,而在 a+b≥2 ab 中要求 a>0,b>0.
x
x
故其值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
而函数 y=x+ 1 (x≥2)不能直接利用基本不等式求值域,因为取“=”号的条件不成立, x
可利用函数的单调性求解,函数 y=x+ 1 (x≥2)在[2,+∞)上单调递增,故其值域为 x
[ 5 ,+∞). 2
知识梳理
1.基本不等式: ab ≤ a b 2
则 ab≤ M 2 ,等号当且仅当 a=b 时成立.(简记:和定积最大)
4
(2)两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若a,b为正实数,且ab=P,P 为定值,则a+b≥2 p ,等号当且仅当a=b 时成立.(简记:积定和最小)
3.几个常用的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
(2)ab≤( a b )2(a,b∈R). 2
24 当且仅当 m=n= 1 时上式取等号,
2 所以 log2m+log2n=log2mn≤log2 1 =-2.
4 答案:-2
4.(2017·福建厦门模拟)若当 x>-3 时,不等式 a≤x+ 2 恒成立,则 a 的取值范围 x3
是
.
解析:设 f(x)=x+ 2 =(x+3)+ 2 -3,
x3
x3
因为 x>-3,所以 x+3>0,
故 f(x)≥2 (x 3) 2 -3=2 2 -3, x3
当且仅当 x= 2 -3 时等号成立, 所以 a 的取值范围是(-∞,2 2 -3]. 答案:(-∞,2 2 -3]
考点专项突破
考点一 利用基本不等式求最值★★★
在讲练中理解知识
【例 1】 (1)若 log4(3a+4b)=log2 ab ,则 a+b 的最小值是( )
2.函数 y=x+ 1 的值域,以及函数 y=x+ 1 (x≥2)的值域均能利用基本不等式求解吗?若
x
x
能,请求出其值域.若不能请说明理由?
提示:对于函数 y=x+ 1 可以利用基本不等式求解. x
当 x>0 时,y=x+ 1 ≥2(当且仅当 x=1 时取“=”); x
当 x<0 时,y=x+ 1 =-(-x+ 1 )≤-2(当且仅当 x=-1 时取“=”);
(1)基本不等式成立的条件 a>0,b>0.
(2)等号成立的条件当且仅当 a=b
时取等号.
(3)其中 a b 称为正数 a,b 的 算术平均数 , ab 称为正数 a,b 的 几何平均数 .
2 2.利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a,b 为正实数,且 a+b=M,M 为定值,
000=1.75(y- 800 )2+ 120000 (0<y< 400 ),
7
7
3
当 y= 800 时,PQ 有最小值 200 21 ,此时 x= 200 .
7
7
7
即 AP 长为 200 米,AQ 长为 800 米时,可使竹篱笆用料最省.
7
7
反思归纳 建立关于x的函数关系式是解决本题的关键,在运用基本不等式求 最小值时,除了“一正,二定,三相等”以外,在最值的求法中,使用基本不等式 次数要尽量少,最好是在最后一步使用基本不等式,如果必须使用几次,就需要 查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾,有矛盾则应调整解法.
2
2
⇔a+b+1+2 (a 1 )(b 1 ) ≤4 22
⇔ (a 1 )(b 1 ) ≤1. 22
由基本不等式,
(a 1 )(b 1 ) ≤ 1 [(a 1) (b 1)] =1,
2 22 2
2
所以原不等式成立.
反思归纳 利用基本不等式证明不等式的策略 (1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方 法对要证不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件. (2)若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系,当 已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换. (3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立.
解:设 AP=x 米,AQ=y 米.
(1)则 x+y=200,△APQ 的面积 S= 1 xy·sin 120°= 3 xy.所以 S≤ 3 ( x y )2 =2
2
4
42
500 3 .
当且仅当
x x

y, y
200,
即
x=y=100
时取“=”.
即 AP 与 AQ 的长度都为 100 米时,可使得三角形地块 APQ 的面积最大.
xx yy zz
xyz
当且仅当 x=y=z 时等号成立.
考点三 基本不等式实际应用
【例3】 导学号 18702290 如图,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开 辟为水果园种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200米,现在边界 AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆. (1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?
4 a
+
3 b
)=7+
4b a
+
3a b
≥7+2 4b 3a =7+4 3 ,当且仅当 4b = 3a 时取等号,故选 D.
ab
ab
答案:(1)D
(2)函数 y= (x 5)(x 2) (x>-1)的值域为
.
x 1
解析:(2)因为 x>-1,所以 x+1>0,令 m=x+1,则 m>0,且 y= (m 4)(m 1) =m+ 4 +5≥
y2
y2
当且仅当 y-2= 16 ,即 y=6,x=12 时等号成立. y2
故 x+y 的最小值为 18.
法二 由 2x+8y-xy=0,得 8 + 2 =1, xy
则 x+y=( 8 + 2 )·(x+y) xy
=10+ 2x + 8y ≥10+2 2x 8y =18,
yx
yx
当且仅当 y=6,x=12 时等号成立.
值),再利用基本不等式求其最值.(2)当不等式条件较复杂时,要逐一分析,牢记基本 不等式使用条件—一正、二定、三相等,特别注意等号成立条件要存在.
跟踪训练1:已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求: (1)xy的最小值;
解:(1)由 2x+8y-xy=0,得 8 + 2 =1,又 x>0,y>0, xy
(3)( a b )2≤ a2 b2 (a,b∈R).
2
2
(4) b + a ≥2(ab>0). ab
(5) 2 ≤ 11
ab ≤ a b ≤ 2
a2 b2 (a>0,b>0). 2
ab
双基自测
1.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( C )
(A)80
(B)77
(C)81
跟踪训练4:如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2 m的无盖长方 体的沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔排出,设箱体的长度为a m的乘积ab成反比.现有制箱材料 60 m2,问a,b各为多少时,经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔 面积忽略不计).
(A)6+2 3
(B)7+2 3
(C)6+4 3
(D)7+4 3
解析:(1)因为 log4(3a+4b)=log2 ab ,所以 log4(3a+4b)=log4(ab),即 3a+4b=ab,且
3a ab

4b 0,

0,
即
a>0,b>0,所以
4 a
+
3 b
=1(a>0,b>0),a+b=(a+b)·(
跟踪训练 3:已知 x>0,y>0,z>0.
求证:( y + z )( x + z )( x + y )≥8. xx yy zz
证明:因为 x>0,y>0,z>0,
所以 y + z ≥ 2 yz >0, x + z ≥ 2 xz >0, x + y ≥ 2 xy >0,