李海-函数项和幂级数
幂级数的概念与幂级数的收敛半径
幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。
考研数学基础班讲义-微积分第18讲_函数项级数(优选.)
∞
∞
∑ ∑ an 相应于 an (x − 1)n 在 x = 2 处的数项级数，
n=1
n=1
而 x = 2 ∈ (−1, 3) ，所以绝对收敛。
例 18.3 求幂级数 n∑∞=191n x 2n−1 的收敛域。
【解】此时不能套用收敛半径的计算公式，而应直接用比率法求其收敛半径。
lim
k →∞
1 9k +1
的全体。 (2)一般来说，收敛域可能是较为复杂的集合。
18．2 幂级数的概念 幂级数是一类简单的函数项级数。只有真正理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数
在其收敛区间内的性质，才能掌握好收敛半径的求法，并能处理将函数展开为指定点的幂级
数和求简单级数的和的问题。 18．2．1 幂级数的定义与收敛域
∞
∑ 定义 18.4 设 {an }(n = 0,1,2,3,L) 是一实数列，则称形如 an (x − x0 )n 的函数项级数为 n=0
x 2k +1
1 9k
x 2k −1
= lim x2 k→∞ 9
=
x2 9
,
所以
当 x2 9
< 1,
即 | x |< 3 时，级数 n∑∞=191n
x 2n−1 绝对收敛；
∑ 当 x 2 > 1, 即 | x |> 3 时， lim 1 x 2n−1 = +∞ ，所以级数 ∞ 1 x 2n−1 发散。
n=0
的收敛半径为 R
，并不能保证
lim an+1 a n→∞
n
=1 R
或
lim n
n→∞
an
= 1 成立。 R
∑∞
（2）对于级数 an x n
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求幂级数的和函数在数学分析中是一个常见的问题，而求解和函数的方法与技巧也是学习数学的关键之一。
在求幂级数的和函数时，我们需要考虑到级数的收敛性、展开式、导数运算等方面，下面将介绍一些常用的方法与技巧。
一、使用对数或幂级数的性质在求解幂级数的和函数时，可以利用对数或幂级数的性质进行简化。
对幂级数进行对数运算，可以将幂级数转化为常数级数，然后利用级数性质求解。
利用级数的加法性质和乘法性质，可以将不同的级数相加或相乘，进一步简化求解过程。
二、利用级数收敛性判断在求解幂级数的和函数时，首先需要判断级数是否收敛。
常用的收敛判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
根据级数的收敛性，可以确定求幂级数的和函数的适用范围，避免在不收敛的情况下进行求解。
三、展开式与递推关系在求解幂级数的和函数时，可以利用展开式与递推关系简化求解过程。
通过展开级数，可以将级数转化为有限项求和的形式，进而求解和函数。
利用递推关系可以根据前一项的求和结果来求解后一项，从而加快求解速度。
四、使用导数运算五、利用变元替换在求解幂级数的和函数时，可以通过变元替换简化求解过程。
通过对级数的变元进行替换，可以将原级数转化为新的级数形式，从而简化求解过程。
利用变元替换的方法可以将级数转化为更容易求解的形式，提高求解效率。
求幂级数的和函数通常需要结合数学分析的知识和技巧进行求解。
在实际求解过程中，可以根据具体情况选择合适的方法与技巧，避免繁琐的计算过程，提高求解效率。
希望以上介绍的方法与技巧对您有所帮助，帮助您更好地理解和应用求幂级数的和函数的知识。
第二篇示例：求幂级数的和是数学分析中一个重要的问题，具有广泛的应用和理论意义。
通常来说，求幂级数的和需要使用一些方法和技巧来进行求解。
下面我们将介绍一些常用的方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决这个问题。
1. 泰勒级数展开法泰勒级数是一种将一个函数在某点附近用一个多项式来近似表示的方法。
4-2函数项级数及幂级数共37页文档
R, 收敛域 ( , ).
问题 如何求幂级数的收敛半径?
03.04.2020
13
定理2 如果幂级数 a n x n 的所有系数 an 0,
设
lim an1
a n n
n0
( 或 ln i mn an
)
(1)则当0时,R 1 ; (2)则当0时,R ;
(3)则当 时, R0.
一 函数项级数的概念
1.定义 设 u 1 (x )u ,2 (x ) ,,u n (x ) ,是定义 在 IR上的函数,则由其构成的表达式
u n (x ) u 1 (x ) u 2 (x ) u n (x )
n 1
称为定义在区间 I上的函数项无穷级数,简称
函数项级数.
例如级数 xn1xx2,
证明 对级数 a n x n 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 x n1 an xn
lim an1 n an
x
x,
03.04.2020
14
(1) 如果 liman1 (0) 存在
a n n
1
由比值审敛法, 当 | x |
时,级数 | an xn | 收敛,
n0
从而级数 a n x n 绝对收敛.
故级数的收敛域为
03.04.2020 { x |x 1 , 2 , , x } 5
3.8课前回顾
一、绝对收敛和条件收敛
二、常数项级数复习
1、掌握一些基本概念：级数,部分和,收敛,正项级数,交错级数 ,任意项级数，绝对收敛，条件收敛等
2、能用级数收敛的必要条件证明级数发散，掌握2个重要级 数：几何级数和p级数
和函数及函数展开
• 设函数f(x)定义在I上. 如果存在一个幂级数
Σanxn , 当x0属于I时, 成立:
f(x0)=Σanx0n
(★)
则称(★)为f(x)的幂级数展开式, 求展开式的
过程亦称为“把f(x)展开”, 或简称展开.
2011-5-15
Chapter12 Sequence and Series
16
♥ Lihai--2011.03.06 Math School, Sichuan University
• Property1: Σanxn±Σbnxn =A(x)±B(x)
• Property2: (Σanxn)(Σbnxn )=A(x)±B(x)
(按柯西积定义. Please review: 李海老师 的课件-《连加号的运算》)
• Property3: Σanxn/Σbnxn=A(x)/B(x), b0≠0.
中的每一项皆在(－∞, +∞)上有定义. 并且, 当|x|<1时收敛; |x|≥1时发散.
• Answer: 几何级数的收敛域为(－1, 1); 发散 域为(－∞,－1)∪(1, +∞).
• 并且, 此几何级数的和函数等于
∑∞
S( x) = axn =
a
x ∈(−1,1)
n=0
1− x
2011-5-15
Chapter12 Sequence and Series
18
♥ Lihai--2011.03.06 Math School, Sichuan University
分而治之, 各个击破
• Example2: 求Σ(2n+1)xn的收敛域及和函数. • Solution: 先求此幂级数的收敛半径R.
一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算
2012/6/4
24
x 1 x2 (1)n1 1 xn x (1, 1]
2
n
x 1 x2 1 xn x [1, 1)
2
n
例6、将 arctanx 展开为x 的幂级数。
25
例7、求
的和函数。
例8、证明对一切 x (1, 1) 成立，
并求
注意: 求幂级数的和函数或求函数的幂级数展开等 一定要考虑其收敛域。
0
0 1t
x (1, 1]
23
说明
1) 逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变，
但收敛域可能扩大或缩小。
2) 此题还得到以下结论:
(1)
1
(1)n xn
1 x n0
1 x x2
(2)
1
xn
1 x n0
1 x x2
(1)n xn x (1, 1) xn x (1, 1)
幂级数具有良好的性质。 如果函数能表示幂级数的形式, 对研究函数
的性质是很有效的。
解决两类问题:
在收敛域内， 幂级数
求和 展开
和函数
2012/6/4
32
（一）Taylor 级数与余项公式
Taylor公式
函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在该邻域内有:
f (x)
f ( x0 )
n0
an ( R)n
.
20
3、逐项可导性 (求导) 定理
设 S( x) anxn 的收敛半径为 R ,
n0
则和函数 S (x) 在 (-R , R) 可以逐项求导，即
S( x) ( anxn ) (anxn ) nanxn1
数学物理基本方法4.1数项级数、幂级数
幂级数在物理学中的应用
弹性力学
幂级数在弹性力学中用于 描述弹性体的应力和应变 关系。
热力学
热力学中的理想气体状态 方程就是通过幂级数来表 达的。
电磁学
在电磁学中，幂级数用于 描述电磁波的传播和电磁 场的分布。
数项级数与幂级数在金融领域的应用
复利计算
通过使用幂级数和数项级数，可以更精确地计算 复利，这对于金融投资和保险非常重要。
定义
数项级数与幂级数的乘法运算是 将两个级数的对应项相乘，得到
一个新的级数。
规则
乘法运算有特定的规则，如合并 同类项、调整系数等，需要细心
操作避免出错。
应用
数项级数与幂级数的乘法运算在 数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如求解物理问题、研究复
合材料的性质等。
Part
05
数项级数与幂级数的应用实例
数学物理基本方法 4.1数项级数、幂级 数
• 数项级数简介 • 幂级数简介 • 数项级数与幂级数的联系与区别 • 数项级数与幂级数的运算方法 • 数项级数与幂级数的应用实例
目录
Part
01
数项级数简介
数项级数的定义
01
数项级数是无穷序列的和，表示为 $sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中 $a_n$是序列中的第$n$项。
的时间序列数据。
Part
03
数项级数与幂级数的联系与区 别
数项级数与幂级数的共同点
01
两者都是无穷序列
数项级数和幂级数都是无穷序列，可以表示为无限多个项的和或乘积。
02
两者都有收敛和发散的概念
数项级数和幂级数都有收敛和发散的概念，收敛的级数或幂级数具有确
定的极限值，而发散的级数或幂级数则没有确定的极限值。
第十一章函数项级数,幂级数
第十一章 函数项级数、幂级数§1. 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性：⑴ ()n f x =(,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n= i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞⑶ (),1n nx f x nx=+ (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞⑸ 2233(),1n n x f x n x=+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞⑹ (),1n nx f x n x=++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1nn n x f x x=+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈iii) [,),1;x a a ∈+∞>⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈⑼ 1(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈⑽ ()ln ,n x x f x n n=(0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,);x ∈-∞+∞⑿ 2()(),x n n f x e --=i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ .2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()]()n nf x f x n= (1,2,)n =⋅⋅⋅. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x .3. 参数α取什么值时，(),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =⋅⋅⋅在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使10lim()n n f x dx ->∞⎰可在积分号下取极限？4. 证明序列2()nx n f x nxe -=(1,2,)n =⋅⋅⋅在闭区间[0,1]上收敛，但 1100lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞->∞≠⎰⎰ 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又[,]n x a b ∈(1,2,)n =⋅⋅⋅，满足0lim n n x x ->∞=，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞= 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴ 0(1), [0,1];nn x x x ∞=-∈∑ ⑵ 1221(1), (,)(1)n n n x x x -∞=-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =⋅⋅⋅在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证：()n f x 在[,]a b 上一致有界.8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且1()[()()],n f x n f x f x n=+- 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '.9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列1()()xn n a f x f t dt +=⎰ (1,2,)n =⋅⋅⋅ 求证：{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于零.10. 设{()}n f x 在(,)a b 内一致收敛于()f x ，0(,)x a b ∈且0lim (),n n x x f x a ->= (1,2,)n =⋅⋅⋅.证明：lim n n a ->∞和0lim ()x x f x ->存在且相等，即 00lim lim ()lim lim ()n n n x x x x n f x f x ->∞->->->∞=. 11. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴1(,);n x ∞=∈-∞+∞⑵ 421, (,);1n x x n x∞=∈-∞+∞+∑ ⑶ 221(1)(1), [0,);n nx n e x n x -∞=--∈ +∞+∑ ⑷ 1sin , (2,);2n n nx x x ∞=∈-+∞+∑ ⑸521, (,);1n nx x n x ∞=∈-∞+∞+∑ ⑹21), ||2;2n n n x x x ∞-=+≤ ≤ ⑺ 21, [0,);nx n x ex ∞-=∈+∞∑ ⑻ 1ln , [0,1];!n n n x x x n ∞=∈∑ ⑼2, (,);n x ∞=∈-∞+∞∑⑽ 1, ||1;n n n x r x ∞=≥>∑⑾ 1ln(1), [,), 1.n n nx x a a nx ∞=+∈+∞> ∑ 12. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：⑴12cos (,);n n x π∞=∈-∞+∞ ⑵[0,2];n x π∞=∈ ⑶ 1(1), (1,);nn x x n∞=-∈-+∞+∑⑷ 1(1), (,);sin nn x n x ∞=-∈-∞+∞+∑⑸ 112sin, (0,);3n n n x x∞=∈+∞∑ ⑹(1)211) ||;n n n x a -∞=≤⑺1[1,0];n n x ∞=∈- ⑻ 211(1), [1,1].21n n n x x n +∞=-∈-+∑ 13. 设每一项()n x ϕ都是[,]a b 上的单调函数，如果()nx ϕ∑在[,]a b 的端点为绝对收敛，那么这级数在[,]a b 上一致收敛. 14. 证明级数1211(1)n n n x∞-=-+∑关于x 在(,)-∞+∞上为一致收敛，但对任何x 并非绝对收敛；而级数221(1)n n x x ∞=+∑虽在(,)x ∈-∞+∞上绝对收敛，但并不一致收敛. 15. 若1()n n u x ∞=∑的一般项|()|(), ,n n u x c x x X ≤∈并且1()nn c x ∞=∑在X 上一致收敛，证明1()nn u x ∞=∑在X 上也一致收敛且绝对收敛.§2. 幂级数1． 求下列各幂级数的收敛域.⑴ 1(2);!nn x n ∞=∑⑵ 11ln(1);1n n n x n ∞+=++∑⑶ 11;nn n n x n ∞=⎡⎤+⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑⑷ 21;2n n n x ∞=∑⑸ 13(1);nn n n x n∞=⎡⎤+-⎣⎦∑⑹ 13(2)(1);n nn n x n∞=+-+∑ ⑺ 1(2)!!;(21)!!n n n x n ∞=+∑⑻ 2111;n n n x n -∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑⑼1;nnn x ∞=⑽ 1;57nn n n x ∞=+∑⑾ 21(!);(2)!n n n x n ∞=∑⑿ 1111;2nn x n ∞=⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭∑⒀ 1;n n nx ∞=∑⒁ 211(2);(21)!n n x n -∞=--∑ ⒂ 21 (0<<1);n n n a x a ∞= ∑ ⒃ 1.np n x n ∞=∑2． 设幂级数0n nn a x ∞=∑的收敛半径为R ，0n n n b x ∞=∑的收敛半径为Q ，讨论下列级数的收敛半径：⑴ 21n nn a x ∞=∑；⑵ 1()n n n n ab x ∞=+∑；⑶ 1n n nn a b x ∞=∑.3． 设︱10n k k k a x=∑︱≤M 1(0,1,0)n x = ... ; > ，求证：当0＜x ＜1x 时，有 ⑴ 0nn n a x∞=∑收敛；⑵ 0n nn a x M ∞= ≤ ∑.4. 设0()nn n f x a x ∞==∑当︱x ︱＜r 时收敛，那么当101n n n a r n ∞+=+∑收敛时有 100()1r n n n a f x dx r n ∞+==+∑⎰， 不论0n nn a x ∞=∑当x r = 时是否收敛.5. 利用上题证明12011(1)1n n x dx x n ∞=-= - ∑⎰. 6. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：⑴ 1nn x n ∞=∑; ⑵ 1n n nx∞=∑;⑶ 1(1)n n n n x ∞=+∑; ⑷ 121(1)(21)n n n x n n -∞=--∑;⑸ 211!2n n n n x n ∞=+∑; ⑹ 31(1)(1)!n n n n x n ∞=-+∑;⑺ 41041n n x n -∞=+∑; ⑻ 10(21)n n n x ∞+=-∑; ⑼ 211n n n x∞-=∑;⑽ 2211(21)!n n n x n ∞+=+∑. 7. 求下列级数的和：⑴ 1212n n n ∞=-∑; ⑵11(21)n n n ∞=+∑. 8. 证明：⑴ 40(4)!nn x n ∞=∑满足方程(4)y y =；⑵ 20(!)nn x n ∞=∑满足方程'''0xy y y +-=.9. 设()f x 是幂级数0n nn a x ∞=∑在(,)R R -上的和函数，若()f x 为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若()f x 为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项.10. 设21()1(1)nn x f x n n n ∞==+∑. ⑴ 求证：()f x 在[1,1]-连续，'()f x 在(1,1)-内连续；⑵ 求证：()f x 在点1x =-可导；⑶ 求证：1lim '()x f x -→ = +∞ ； ⑷ 求证：()f x 在点1x =不可导.11. 利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为麦克劳林级数，并说明收敛区间. ⑴ 1,0a a x≠-; ⑵ 21;(1)x + ⑶ 31;(1)x + ⑷ 2cos x ;⑸ 3sin x ;⑹⑺ (1)x x e -+;⑻1(n x +⑼21;132x x-+ ⑽ arcsin x ; ⑾ 21(1);n x x ++⑿arctan x x -⒀0sin ;x t dt t ⎰ ⒁ 20cos .xt dt ⎰12. 利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式：⑴ 1(1);1n x x++ ⑵ 2(arctan )x ;⑶ 21(1).n x -13. 将下列函数在指定点0x 展开为泰勒级数：⑴01,();x b a a x=≠- ⑵ 0211,1;22n x x x =-++ ⑶ 0ln ,2x x =;⑷ 0, 1.x e x =14. 试将()ln f x x = 展开成11x x -+的幂级数. 15. 展开1()x d e dx x -为x 的幂级数，并推出11.(1)!n n n ∞==+∑ 16. 设函数()f x 在区间(,)a b 内的各阶导数一致有界，即存在M ＞0，对一切(,)x a b ∈，有()|()|,1,2,n f x M n ≤ = ...,证明：对(,)a b 内任意点x 与0x ，有()000()()().!n n n f x f x x x n ∞==-∑。
数列与级数的函数项级数与幂级数
数列与级数的函数项级数与幂级数数列与级数是数学中重要的概念和研究对象，它们在各个领域都有广泛的应用。
而函数项级数和幂级数则是数列与级数的两种特殊形式，它们在解析学、微积分以及物理学等领域都有重要的作用。
本文将介绍函数项级数和幂级数的定义、性质以及应用。
一、函数项级数函数项级数是指数列的通项是一个函数，而不是常数。
函数项级数的一般形式可以表示为∑(n=1到∞) an(x)。
其中，an(x)是一个关于自变量x的函数，并且随着n的增大而变化。
函数项级数可以看作是由一系列函数组成的序列。
函数项级数的收敛性是指当x取某个值时，级数的部分和不断逼近于某个有限值。
如果函数项级数的部分和收敛于有限值，那么我们称该函数项级数在该点收敛。
函数项级数的收敛性可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比较判别法、积分判别法以及魏尔斯特拉斯判别法等。
函数项级数在分析学、微积分和物理学等领域都有广泛的应用。
例如，泰勒级数是一种特殊的函数项级数，它可以将任意函数近似为一系列幂函数的和。
这在微积分的应用中非常重要。
此外，函数项级数还有在物理学中解决波动方程、热传导方程和扩散方程等问题中的应用。
二、幂级数幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它的通项是幂函数。
幂级数的一般形式可以表示为∑(n=0到∞) cn(x-a)^n。
其中，cn是常数系数，x 是自变量，a是常数。
幂级数可以看作是由一系列幂函数组成的序列。
幂级数的收敛性同样可以通过一系列的测试方法进行判断，比如比值判别法、根值判别法和柯西-阿达玛公式等。
与函数项级数类似，幂级数在分析学、微积分和物理学等领域都有重要的应用。
在解析学中，我们可以使用幂级数来表示一些常见函数，比如指数函数、三角函数和对数函数等。
幂级数在数值计算和近似计算中也有广泛的应用。
此外，幂级数还可以用来解决差分方程、微分方程和边值问题等。
总结：数列与级数是数学中重要的概念，在函数项级数和幂级数的框架下有着广泛的应用。
高等数学第14章第1节幂 级 数
第十四章 幂 级 数§1 幂 级 数一 引言前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数的性质．从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier 级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广泛的应用）．二 什么样的函数项级数是幂级数1 定义（幂级数）：形如20010200()()()n n n a x x a a x x a x x ∞=-=+-+-+∑ （1） 的函数项级数称为幂级数．2 特例：当00x =，即在点零处展开的幂级数为20120n nn a x a a x a x ∞==+++∑ （2）3 若在（1）中令0x x t -=，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，一般研究在点零处的展开幂级数即可．4 幂级数形式上的特点：一般项为0()n n a x x -，从而所求的和是多项式（最简单函数），是一种比较简单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质．如收敛域一定是区间（退化区间——点）．又在收敛域内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数．三 幂级数的收敛区间定理 14.1 （ Abel 定理 ） 若幂级数∑n n x a 在点0≠=x x 收敛 ， 则对满足不等式|| ||x x <的任何x ，幂级数∑n nx a 收敛而且绝对收敛 ；若在点x x =发散 ，则对满足不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散. 证 ∑n n x a 收敛, {n n x a }有界. 设|n n x a |≤M , 有 |n n n n n n Mr x x x a x a ≤⋅=|||||, 其中 1 ||<=xx r . ∑+∞<,n Mr ⇒ ∑∞+< ||n n x a .定理的第二部分是第一部分的逆否命题.定义（收敛半径）由定理1，幂级数∑n n x a 的收域是以原点为中心的区间，若以R 2表示该区间长度，则称R 为幂级数∑n n x a 的收敛半径 R.定理14.2（幂级数的收敛半径）对于幂级数∑∞=0n n n x a设 n n n a ∞→=lim ρ， 则 1）+∞<<ρ0 时，幂级数的收敛半径 ρ1=R 2）0=ρ 时，幂级数的收敛半径 +∞=R3）+∞=ρ 时，幂级数的收敛半径 0=R证 ∞→n lim=n n n x a ||∞→n lim ||||||x x a n n ρ=, ( 强调开方次数与x 的次数是一致的). ⇒ …… 由于∞→n lim , ||||1⇒=+ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径. 推论 若 ||lim 1n n n a a +∞→=ρ， 则幂级数的收敛半径 ρ1=R 四 求收敛半径和收敛域的例子例 1 求级数 ∑∞=12n nn x 的收敛区域．解 两种方法都得到 1=ρ，即 1=R ，收敛区间为 )1,1(-，又 1±=x 时，级数为∑∞=121n n ，所以原级数收敛，即收敛区域为]1,1[-．例2 求幂级数 ++++nx x x n22的收敛域 . () 1 , 1 [- ) 例3 求下列幂级数的收敛域: (i) ∑∞=0!n nn x ; (ii) ∑∞=0!n n x n .例4 求幂级数 ++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 解 ++++74533234333231x x x x ∑∞=++=02131n n n x n x 是缺项幂级数 . ∞→n lim , 31||||1⇒=+n n a a 3=R . 收敛区间为) 3 , 3 (-. 由于 3±=x 时, 通项0→/. 因此, 该幂级数的收敛域为) 3 , 3 (-.例5 求级数 ∑∞=-0)1(21n n n x 的收敛域 . 解 令 11-=x t , 所论级数成为幂级数 ∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=0022n n n n n t t .由几何级数的敛散性结果, 当且仅当22<<-t 时级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛02n nt 收敛. 因此当且仅当2112<-<-x , 即 21 |1|>-x 时级数 ∑∞=-0)1(21n n n x 收敛. 所以所论级数的收敛域为 ) , 23 () 21 , (∞+⋃∞-.例6 求幂级数∑23n n x 的收敛半径 .解 ∞→n l i m =23n n ∞→n l i m 1 , 13=⇒=R n . 五 幂级数的性质1 性质1（阿贝尔第二定理）：若00()n n n a x x ∞=-∑的收敛半径为R ，则此级数在收敛域内部00(,)x R x R -+上内闭一致绝对收敛；在收敛域00,x R x R <-+>上内闭一致收敛． 2 性质 2 ：设幂级数00()n n n a x x ∞=-∑的收敛半径为R ，和函数为()s x ，则和函数在收敛域00,x R x R <-+>上连续，于收敛域内部00(,)x R x R -+上可以逐项积分和逐项微分，即： 对00(,)x R x R -+上任一点x ，有000000()()()1x x n n n n x x n n a a t t dt x x s t dt n ∞∞==-=-=+∑∑⎰⎰ 10000[()]()()n n n n n n d d a x x na x x s x dx dx ∞∞-==-=-=∑∑， 并且逐项求导和逐项积分后的级数（仍为幂级数），其收敛半径仍为R ．六 幂级数的运算定义 两个幂级数∑∞=0n n n x a 和∑∞=0n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.定理14.9∑∞=0n n n x a =∑∞=0n n n x b ,) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n .定理14.10 幂级数∑∞=0n n n x a和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为a R 和b R , },min{b a R R R =, 则 i) ∑∑=n n n n x a x a λλ, λ , ||a R x <— Const ， 0≠λ.ii) ∑∞=0n n n x a+∑∞=0n n n x b =n n n n x b a )(0+∑∞=, R x ||<. iii ) (∑∞=0n n n x a)(∑∞=0n n n x b )=n n n x c ∑∞=0, ∑=-=nk k n k n b a c 0, R x ||<. 例1: 求幂级数11(1)()n n n x s x n ∞-=-=∑的和函数()s x . 例2: 求21n n nx ∞=∑的和函数()s x . 例3: 求210(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数()s x . 例4: 求0nn x n ∞=∑的和函数()s x . 作业：P50 1（2）（3）（4）（6），3, 4。
幂级数
间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径. 事实上, 收 敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的
上确界. 所以有
(i) 当 R 0 时, 幂级数(2)仅在 x 0 处收敛; (ii) 当 R 时, 幂级数(2)在 ( , )上收敛;
(iii)当 0 R 时, 幂级数(2)在 ( R, R) 内收敛; 对
例5 级数
( x 1)n x 1 ( x 1)2 2n n 2 22 2
( x 1)n n 2 n
, (6)
由于
1 n 1 2n1 ( n 1) ( n ), 1 2( n 1) 2 2n n
所以级数(6)的收敛半径 R 2 , 从而级数(6)的收敛 区间为 | x 1 | 2 即 ( 1, 3).
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求积后得到的幂级数
a1 2a2 x 3a3 x 2
与
a1 2 a2 3 a0 x x x 2 3 的收敛区间.
nan x n1
an n1 x n 1
(7)
(8)
定理14.7 幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收
敛区间.
证 这里只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间就可 以了, 因为对(8)逐项求导就得到(2).
n
幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法, 可以参考第十二章的相关说明.
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2 a n x n1 1( n ), 例1 级数 2 , 由于 2 an ( n 1) n
n
所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 ( 1, 1) ; 而当
( 1)n 1 1 x 1 时, 有 2 , 由于级数 2 收敛, 所 2 n n n
高数第9章函数项级数、幂级数
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数学分析
说明: 虽然函数序列 s n ( x ) x 在( 0, 1 )内处处
n
收敛于 s( x ) 0 , 但 sn ( x )在( 0, 1 )内各点处收 敛于零的“快慢”程度是不一致的．
从左图可以看出:
y
y sn ( x ) x n
n1
(1,1)
注意：对于任意正数r 1， 这级数在[0, r ] 上一致收敛． o
数学分析
第九章 函数项级数
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I 函数项级数的一致收敛
一、函数项级数的概念
设 u1 ( x ), u2 ( x ),, un ( x ),是定义在 I R 上的函数, 则 un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
( x )在[ a , b ]上一致收敛， u ( x )，并且级数 u n n
n 1
则级数 un ( x )在[ a , b ]上也一致收敛，且可逐
n 1
项求导，即
( x ) u s( x ) u1 ( x ) u ( x) 2 n
(5)
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所以原级数不可以逐项求导．
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四、一致收敛性简便的判别法：
定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）
n 1
如果函数项级数 un ( x ) 在区间 I 上满足条件:
(1) (2)
当 x x 0 时，有 s( x ) s( x0 ) .
(3)
s( x ) 在点 x0 处连续， x0 在 [ a , b ] 上是任意 所以 而
函数项级数、幂级数的概念
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念
§10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
函数项级数、幂级数的概念
一 函数项级数的概念
1 定义 设 u1( x), u2( x),, un ( x), 是定义在数集E 上的一个函
n0
lim a xn 0
n n 0
根据数列极限的性质有常数 M 0 使
a xn n0
M ,(n
1,2,),
因此
n
n
an xn
an
x0n
(
x x0
)n
an x0n
x x0
M x x0
n
即
a n
x
n
M
x x0
因为
x x0
时，
级数
M
n
x 的公比满足
n0
x 0
q x 1, x0
所以
M
n
n0
都绝对收敛，于是 R .
3. 如果 l , 这时
ห้องสมุดไป่ตู้
an
x n
对
x0
收敛，对非零 x
n0
都发散，于是 R 0 .
例
求幂级数 (1)n1 x n 的收敛半径与收敛域。
n 1
n
解:
l
lim
a n1
lim (1)n
n
1 ，所以 R 1 。
a n n
n n 1 (1)n1
当 x 1 时, (1)n1 (1)n 1 发散；
u n n
n an xn
求幂级数的和函数步骤
一、函数项级数的基本概念与收敛域的求解方法1、函数项级数相关的基本概念设函数u n(x)在集合D⊂R上有定义，称为D上的函数序列(或函数列). 称为定义在集合D上的函数项级数.如果对于任意一点x∈I⊂D，均存在u(x)，使得则称函数序列{ u n(x)}在点x处收敛，u(x)称为函数序列{ u n(x)}的极限函数，I称为函数序列{ u n(x)}收敛域.如果对于任一点x∈I⊂D，均存在S(x)，使得则称x为函数项级数的收敛点，I称为该函数项级数的收敛域，并且称函数S(x)为I上的函数项级数的和函数.若用S n(x)表示函数项级数前n项的和，即则称S n(x)为函数项级数前n项部分和函数. 并称为收敛域上的余项函数，并且有如果对于任一点x∈I⊂D，级数发散，则为函数项级数的发散点，I称为该函数项级数的发散域.2、函数项级数收敛域求解思路与步骤因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就发散区间+发散的端点=发散域 .二、幂级数的基本概念与收敛域的求解方法1、幂级数相关的基本概念幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 幂级数的一般形式为特别令，则有其中a0,a1,…,a k,…都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换x-x0=t，可以将幂级数的一般形式(1)转换为形式(2)．因此只需要讨论幂级数(2)的形式. 对于该级数也称为麦克劳林级数.2、求一般幂级数收敛域的基本步骤幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤.一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由令ρ(x)<1，解不等式求得幂级数的收敛区间。
第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性。
第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：收敛区间+收敛的端点=收敛域3、阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：定理1：(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散．定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散．并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域.规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞．4、求标准幂级数收敛域的一般步骤标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后形式的级数，对于这样的级数由如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：(1) 收敛半径：(2) 收敛区间即为(-R,R).(3) 判断端点x=±R的收敛性，收敛区间+收敛的端点=收敛域，发散区间+发散的端点=发散域 .【注】该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.三、幂级数的运算性质1、幂级数的加减运算性质2、幂级数逐项可导，逐项可积性质（幂级数的和函数的连续性）幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续．反复应用上述结论可得：幂级数的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数．3、三个最基本函数的麦克劳林级数及其收敛域四、求幂级数和函数的基本步骤第一步：求收敛域.【注1】这一步也可以放在第二步后.第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。
“数学分析”课程中幂级数收敛性问题求解的探讨
“数学分析”课程中幂级数收敛性问题求解的探讨作者：杨婷梅龙能来源：《理科爱好者(教育教学版)》2021年第05期【摘要】数学分析是数学专业一门重要的基础课程，其逻辑性、理论性很强。
数学分析这门课程，不仅可以培养学生的逻辑思维能力，而且还能培养学生的创新思维。
本文主要探讨了数学分析课程中幂级数的收敛性问题，引导学生学会独立思考，总结归纳，不断激发学生学习数学的兴趣。
【关键词】数学分析;幂级数;收敛性问题【中图分类号】G712 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）28-0009-02在函数项级数中，有一类结构相对简单、应用非常广泛的函数项级数——幂级数。
对于幂级数的研究主要讨论其和函数的分析性质，以及将函数展成幂级数的条件和展开公式，本文主要讨论幂级数的收敛性问题。
1 幂级数的基本定义和定理不妨把形如anxn=a0+a1x+a2x2+...anxn+...的幂级数记为“标准型”幂级数。
显然，该幂级数在x=0收敛，对于幂级数在非0点的敛散性，由以下定理判断：定理1（阿貝尔第一定理）：（1）若幂级数anxn在x0≠0收敛，则幂级数在都绝对收敛。
（2）若幂级数在x1≠0发散，则幂级数在都发散。
定理2：若给出幂级数anxn=a0+a1x+a2x2+...anxn+...，则其收敛半径为，其中an为前一项的系数，an+1为后一项的系数[1]。
利用该定理可求解标准型的幂级数的收敛半径，从而得到收敛区间。
对于一般型的幂级数可换元转化为标准型求解，但对于形如anx2n，anx2n+1等有缺项的幂级数时，则采用以下定理求解。
定理3：在幂级数anxn有缺项的情况下，采用比值法求收敛半径，即令，求解得到−r<x<r，其中通项un（x）=anxn。
对于在收敛区间幂级数anxn和函数的求解，主要有两种情况。
先判断幂级数的系数an为整式还是分式，若为整式，可对幂级数逐项积分，得到关于变量x的函数，再左右微分;若为分式，则对幂级数逐项微分，再左右积分，从而得到在收敛区间上的和函数[2-5]。
函数项级数和幂级数的区别
函数项级数和幂级数的区别
如何理解函数项级数与幂级数的关系？
但是，从两个概念所包含的内容看，它们是不同的。
函数项级数仅仅是把一个函数表达式分解为若干个自变量之间的关系；而幂级数则反映的是一个“超越函数”。
这就是说，前者是对已知的函数进行
求和（累加），即一般情况下只能对一个或几个参数进行求和；而后
者则是求一个函数值，即可以用来表示多个参数之间的关系。
函数项级数是无穷多项级数的统称，其中每一项级数都对应着一个基本函数。
而幂级数只是最简单形式的多项式级数。
二者的结构也不相同。
在解析式中，项级数是函数对自变量的微分项，是各个自变量乘积的总和；而幂级数则是以底数项为变量的函数对自变量的导数项，在导数项中不包含任何未知函数。
所以说，项级数是“集合”；而幂
级数是“等式”。
级数的收敛性与和函数有关。
项级数无论是在开区
间还是闭区间上都是严格收敛的，而幂级数的开区间收敛、闭区间则发散。
由于函数项级数中的项无限多，因此所有的级数都没有和函数；而幂级数的项有限多，因此函数是其和函数。
3。
解析式：函数对自变量的导数= f（ x）=x^x这样的解析式中，那么函数导数可以是负数吗？
4。
高等代数问题求解： a= x^3-5b＝ x^3-3x-2这个解析式中a 为什么可以是-3，为什么可以是-2呢？
5。
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♥ Lihai--2013.03.06 Math School, Sichuan University
From numbers to functions
• Definition: 若x的一系列函数 u1(x), u2(x), …, un(x), … 皆在区间I(开或闭)上有定义, 则称有序函数 集合{un(x)}为区间I上的函数项序列 上的函数项序列. • Special: 若x0∈I, 则每个un(x)都相应有函数 值un(x0). • 于是, {un(x0)}构成一个数项 构成一个数项序列 数项序列, 即数列.
2013-12-10 Chapter7 Sequence and Series
5
♥ Lihai--2012.03.06 Math School, Sichuan University
函数项无穷级数
逐点收敛性: 定义和判别 区间上的收敛性 幂级数的收敛半径
2013-12-10 Mathematics I-(1), 2013
2013-12-10 Chapter7 Sequence and Series
8
2 3 n a x = a + a x + a x + a x + ... ∑n 0 1 2 3 n=0
∞
♥ Lihai--2013.03.06 Math School, Sichuan University
2013-12-10
条件收敛和绝对收敛 条件收敛和绝对收敛
• Property1: Σ|un|收敛则Σ 收敛则Σun必收敛. • Property2: Σun发散则Σ 发散则Σ|un|必发散. • Property3: 设Σun是正项级数, 则: 若Σun收 敛, Σun必绝对收敛的 绝对收敛的. • Property4: 设Σun是交错级数, 则:若Σun收 敛, Σun未必绝对收敛的 未必绝对收敛的. • Property5: 若Σ|un|由比值法(或根式法)判 断为发散, 则Σun必发散.
2013-12-10 Chapter7 Sequence and Series
14
♥ Lihai--2013.03.06 Math School, Sichuan University
Summary: 收敛值与和函数
Σun(x)
前n项部分和 部分和收敛值 余项 x取特定值x0 Sn(x0) S0=S(x0) x取任意值 Sn(x) S=S(x)
2013-12-10 Chapter7 Sequence and Series
2
♥ Lihai--2013.03.06 Math School, Sichuan University
敛散性判别法
• 若un→0 (n→∞), 则无穷级数Σ 则无穷级数Σun发散. • 若{Sn}收敛则 收敛则Σun收敛: Sn→S则Σun →S. • 正项级数的判别法 正项级数的判别法: 比较审敛法 比较审敛法: 大敛则小敛; 小散则大散. 比值审敛法 比值审敛法: 观察un+1 /un的趋势决定敛散性 的趋势决定敛散性. 极限审敛法 极限审敛法: un为无穷小的阶决定其敛散性 为无穷小的阶决定其敛散性. • 交错级数的判别法 交错级数的判别法(充分性定理): 若un单调降 且趋于零则收敛.
和函数是有间断点的分段函数
• 已知: Sn(x) =x+(x2－x)+…+ (xn－xn－1) =xn 且:
Chapter7 Sequence and Series
∞ x x x x x
∞
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函数项级数的逐点收敛性
• 设函数项无穷级数Σ 函数项无穷级数Σun(x) 定义在区间I上. • Definition: 设x0∈I, 对于相应的常数项级数 Σun(x0)=u1(x0) +u2(x0) +…+un(x0) +… (1) 若Σun(x0)收敛到则S0, 则称x0是Σun(x) 的收敛点, 且记: Σun(x0)= S0; (2) 若Σun(x0)发散, 称x0是Σun(x)的发散点.
x=x0 r0=S0－S(x0) r=S－S(x) x=x0
Chapter7 Sequence and Series
Remark: 设所有x0和x都属于Σun(x) 的收敛域.
2013-12-10
15
♥ Lihai--2013.03.06 Math School, Sichuan University
• Example0:一些常见函数项级数
x x x x ∑ n! = 1 + x + 2 + 6 + ... + n! + ... n=0
∞
n
2
3
n
∑sinnx = sin x + sin2 x + ... + sinnx + ...
n=1
∞
sinnx sin2 x sin3 x ∑ n = sin x + 2 + 3 + ... n=1 n n 2 3 4 ∑ n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n + ... n 2 3 4 n=1 n
1 H ( p) = ∑ p n=0 n
± ∞ n
( 1) H ( p) = ∑ p n=0 n
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( p > 0收敛 . )
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几何级数的收敛域及和函数
• Example1: 下面几何级数, Ga(x): G(x)=Σaxn=a+ax+ax2+…+axn+… (a≠0) 中的每一项皆在(－∞, +∞)上有定义. 并且, 当|x|<1时收敛; |x|≥1时发散. • Conclusion: 几何级数的收敛域为(－1, 1); 发散域则为(－∞,－1)∪(1, +∞). • 并且, 此几何级数的和函数 此几何级数的和函数等于 和函数等于
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函数项级数的和函数
• 设x属于Σ 属于Σun(x)的收敛域: S= S(x) (当n→∞时 →∞时Σun(x)→S) • Definition: 称S(x)为Σun(x)的和函数, 记为: Σun(x) = S(x) ( x∈收敛域) • 按上面定义来理解, 函数S(x)的定义域就是 Σun(x)的收敛域, 其值域就是所有的收敛值 S所成之集.
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• Remark: 若Σun(x0)发散, Σun(x0)无定义值.
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收敛域和发散域
• Definition: 设级数Σ 级数Σun(x) 定义在区间I上. (1) Σun(x)的所有收敛点之集合, 称为 此函数项级数的收敛域 此函数项级数的收敛域; (2) Σun(x)的所有发散点之集合, 称为 此函数项级数的发散域 此函数项级数的发散域. • Remark: 函数项级数的收敛域可以是开区 间, 闭区间, 半开半闭区间, 或仅有孤立点. • 总之, I =收敛域+发散域. (I之外未予考虑)
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和函数和余项函数
• 设x0属于Σ 属于Σun(x)的收敛域. • 记Σun(x0)的前n项部分和为Sn(x0), 则Sn(x0) 必收敛到S(x0), 记为: [按序列收敛意义] Sn(x0)→S(x0) • 若x属于Σ 属于Σun(x)的收敛域, 仍定义: rn(x) =S(x)－Sn(x) 为Σun(x)的余项. 显然: rn(x) →0 (n→∞)
0, 0 ≤ x < 1; n lim S n ( x ) = lim x = 1, x = 1; n →∞ n →∞ NE , Other .
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函数项级数的收敛值之集合 函数项级数的收敛值之集合
• 设x0属于Σ 属于Σun(x)的收敛域, 且此常数项级数 Σun(x0)收敛到S0. 则令此S0与此x0相对应: (当n→∞时 x0→S0 →∞时Σun(x0)→S0) • Σun(x)的收敛域里的每个x都与某个S相对 应. 以S记这些S所成集合. • 显然, S是x的函数, S由x决定, 记为: S=S(x) (x属于收敛域) 或者 S: x→S (n→∞)
a S ( x ) = ∑ ax = 1− x n= 0
n
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∞
x ∈ ( −1,1)
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