高量3本征矢量和本征值
脑肿瘤磁共振影像DWI和DTI鉴别诊断PPT
ADC图
对指数图像(Exp)作算术运算可获ADC图： SI=SI0×Exp(-b×ADC)
SI=DWI组织体素的信号强度 SI0=T2WI（b=Osec/mm2）组织体素的信号
强度 b=弥散感敏因数
ADC图
DWI
假-DWI（指数图像）
ADC图
SI0×Exp×-b（ADC)
Exp ×-b（ADC)
DTI 的 物 理
本征矢量 本征值
神经束对MR机的三个轴(X,Y,Z,)的关系形成其在MR成像 中的方向性,并导致与方向有关的弥散测量(各向异性)
3-D弥散呈椭圆形,三个本征矢量代 表其弥散方向,本征值确定其形态
源于弥散方向性的 张量(ADC’)
本征值
三个本征矢 量的矩阵
弥散张量磁共振成像
通过对弥散张量的测算,可得出许多数字 系列或数字集（data set）；即应用简单 或复杂的算术公式以不同的方法计算， 或用基本的本征值再运算，可得出弥散 各向异性的各种测算值。
皮质脊髓束
矢状面
横断面
各神经束可随意标示为各种不同颜色
脑肿瘤的DWI和DTI
DWI高信号(低ADC值) 的脑部病变
D W I 高 信 号 病 灶(Ⅰ)
细胞毒性水肿
神经元/胶质细胞细胞毒性水肿
急性脑梗死
脑炎
早期坏死灶(未液化者)
脑病(如线粒体性脑病等)
缺氧缺血性脑病
Reys综合征
癫痫持续状态 脑外伤
脑肿瘤的DWI和DTI
什么是DWI和DTI？ DWI高信号(低ADC值)的病变。 脑肿瘤不同成分的DWI和ADC值。 脑部病变的神经束成像形态类型。 DWI和DTI在脑肿瘤诊断和鉴别诊断 中的作用。 常见脑肿瘤的DWI表现。
量子力学 第二章 算符理论
第二章（一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。
接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。
之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。
最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。
1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。
在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =⇔=αβ。
总之，方阵与线性变换一一对应。
由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。
②微分算子：在微积分中2222,,,ii x f x f dx f d dx df ∂∂∂∂ 也可简写成f f f D Df 22,,,∇∇。
前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。
简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f Dmixμ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。
考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ˆ，它的本征方程是ψ=ψλQˆ或λψψ=Q ˆ，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」（或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ，如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ）⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ˆ作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ˆ的本征值iλ。
高等量子力学本征矢量和本征值图文
xx年xx月xx日
目 录
• 量子力学本征矢量概念及分类 • 量子力学本征值的基本理论 • 量子力学中的矩阵表示与本征值求解 • 量子力学中的近似方法与本征值求解 • 量子力学本征值的物理意义及应用 • 量子力学本征值求解的局限性及未来发展
01
量子力学本征矢量概念及分类
能量守恒的体现
本征值实际上是系统能量的可能取值，系统的总能量是各个 本征值的代数和，因此本征值是能量守恒的体现。
本征值的实际应用及案例分析
原子能级计算
通过求解薛定谔方程得到原子能级对应的本征值，可以预测原子光谱的频率 和波长，为原子光谱学提供基础数据。
量子隧穿效应
在量子力学中，微观粒子能够穿越高于其能量的势垒，这种现象被称为量子 隧穿效应。本征值可以描述微观粒子在势垒中的行为，预测隧穿效应发生的 可能性。
本征矢量与分离变量法
通过分离变量法，可以将多维问题转化为多个一维问题，每个一维问题对应 一个本征矢量和本征值。
本征矢量的分类及求解方法
本征矢量的分类
根据本征矢量所对应的本征值是否为实数，可将本征矢量分为实空间本征矢量和复空间本 征矢量。
实空间本征矢量求解方法
实空间本征矢量可以通过分离变量法，将多维问题简化为多个一维问题，每个一维问题对 应一个实空间本征矢量和实数本征值。
复空间本征矢量求解方法
复空间本征矢量需要利用量子力学中的波函数和能量算符来求解。首先需要构造哈密顿算 符的完全集，然后通过求解算符的矩阵元来得到复空间本征矢量和复数本征值。
02
量子力学本征值的基本理论
哈密顿算符与本征值问题
哈密顿算符定义
量子力学中的哈密顿算符是描述系条件的微分方程，可以得到本征函数和本征值的具体数值 。
脑肿瘤的MR DWI和DTI诊断和鉴别诊断
脑肿瘤的DWI和DTI
常见脑肿瘤的DWI和DTI表现
胶质母细胞瘤vs化脓性脑脓肿
T2WI
T1WIC+
化脓性脑脓肿DWI上脓 腔显示为高信号。
DWI
胶质母细胞瘤肿瘤已液化之坏 死腔在DWI上显示为低信号。
常规MRI难于区别二者，DWI区别二者：敏感性=93.3，特 异性=90.9%，PPV=93.3，NPV=90.9，（有例外）。
ADC图
巨大中央帆腔(箭头)，由于残余T2效应，出现弥散降低的假阳性 表现。在假弥散上与脑脊液信号一致。
脑肿瘤的DWI和DTI
弥散张量磁共振成像
DTI是一种用于研究中枢神经系统神经 束弥散各向异性和显示白质纤维解剖 的磁共振技术。 神经束成像术（用连续跟踪法制成） 能显示白质纤维的走行轨迹。
DTI 的 物 理
脑肿瘤的DWI和DTI
DWI高信号(低ADC值) 的脑部病变
D W I 高 信 号 病 灶(Ⅰ)
细胞毒性水肿
神经元/胶质细胞细胞毒性水肿
急性脑梗死
脑炎
早期坏死灶(未液化者) 脑病(如线粒体性脑病等)
缺氧缺血性脑病
Reys综合征
癫痫持续状态 脑外伤
透神经元性变性(Transneuronal degeneration)与兴奋性毒性有关
D W I 高 信 号 病 灶（Ⅱ）
细胞毒性水肿
轴索水肿 弥漫性轴索损伤（DAI） Wallerian变性
髓鞘内（裂）水肿（神经髓鞘细胞水肿） 早期多发性硬化症 中毒性和代谢性脑病 （包括氟和钾中毒等）
D W I 高 信 号 病 灶（Ⅲ）
本征值
对于 x3 1 ，解
1 得基础解为 3 0 1
1 0 1 x1 0 2 0 x2 0 1 0 1 x 3
A的属于特征值 – 1 的全部特征向量为 c3 3 (c3 0)
4. A的属于不同特征根的特征向量线性无关.
nn A F , 为A的一个特征根，则 练习1：已知
（1） kA ( k F ) 必有一个特征根为 （ 2） A
m
k
; ; ; .
(m Z ) 必有一个特征根为
1
m
A 必有一个特征根为 （3）A可逆时，
* A （4）A可逆时， 必有一个特征根为
的本征向量.
注：
① 几何意义：本征向量经线性变换后方向保持
相同 ( 0) 或相反 ( 0). 0 时 , ( ) 0. ② 若 是 的属于特征值 的本征向量，则
k ( k F , k 0) 也是 的属于 的本征向量.
( k ) k ( ) k ( ) ( k )
1
A
f ( ) f ( x ) F [ x ], f ( A ) （ 5） 则 必有一个特征根为 .
练习2：已知3阶方阵A的特征根为：1、－1、2，
则矩阵 B A3 2 A2 的特征根为：
行列式 B ＝ 0 .
1, 3,0
，
作业
P285-287
1, 4, 7
设 是 的本征值，它的一个本征向量 在基
1 , 2 ,
x1 , n下的坐标记为 , x n
x1 x1 A , x x n n
本征值
A = aij
( )
x − a11 − a12 ... − a1 n a x − a22 ... − a2 n xI − A = − 21 ... ... − an 1 − an 2 ... x − ann
= x n − (a11 + a22 + L + ann ) x n−1 + L + ( −1)n A
−1 得基础解为 α3 = 0 1
−1 0 −1 x1 0 −2 0 x2 = 0 −1 0 −1 x 3
A的属于特征值 – 1 的全部特征向量为 c3α3 (c3 ≠ 0) 的属于特征值
三、 本征值与本征向量的性质
一、 本征值与本征向量 的定义 二、 本征值与本征向量的求法 三、 本征值与本征向量的性质
一、特征值与特征向量的定义
设 空间V的一个线性变换， 定义： σ 是数域F上向量空间 的一个线性变换， 定义： 是数域 上 空间 的一个线性变换 若对于F中的一个数 存在一个V的非零向量 若对于 中的一个数 λ , 存在一个 的非零向量 ξ , 使得
1 0 −1 1 0 −1 0 0 0 → 0 0 0 −1 0 1 0 0 0
0 1 得基础解系: 得基础解系: α1 = 1, α2 = 0 0 1
A的属于特征值 的全部特征向量为 c1α1 + c2α2 (c1, c2不全为零) 的属于特征值1的全部特征向量为 的属于特征值 对于 x3 = −1 ，解
， 的属于 的一个基础解系 αi1 ,αi2 ,L,αis 则A的属于 xi 的全部
特征向量为
c1αi1 + c2αi2 +L+ csαis（ c1, c2 ,L, cs 不全为零）
高分子构象及模拟方法简介
高分子构象及模拟方法简介******学号：**********一、高分子链构象的表征和模型1.1、引言高分子（polymer）在化学技术以及生物技术中扮演了重要的角色。
羊毛、蚕丝、纤维丝、淀粉和橡胶是天然高分子，塑料则是合成高分子，与生命活动密切相关的蛋白质、DNA也是高分子。
它们的共同特征是出很长的链组成，正是这种特殊的结构决定了它们具有特殊的性质。
例如，我们日常生活中见到的高分子液体（如蛋清、口香糖、生面团）表现出与普通液体（如水）明显不同的流动性质。
又比如，如果我们拉长口香糖并快速释放，它会像橡胶一样收缩，但它又是一种液体可以充满任何形状的容器。
高分子材料有着不同于小分子物质的结构特征，表现出独特的宏观性质，如我们最熟悉的橡胶，常温下是柔软而富有弹性的材料，但是冷冻到摄氏零下100多度时，便成了象玻璃一样硬而脆的固体。
对高分子内部分子运动情况的研究是理解高分子的各种复杂性质的基础，是联系高分子微观结构和多种宏观性质的桥梁。
高分子内部分子运动的最主要的宏观表现是高分子链的构象性质。
高分子是由很大数目的重复单元键合而成的长链状、网状、星形状等分子，分子量（重复单元数目）一般在104以上。
高分子链中存在着许多可以旋转的单键，单键的内旋转形成了许多构象（conformation），并且由于热运动，任何一种特定的构象还将不断地变成别的构象。
因此，与构象密切相关的高分子的构象性质是统计性的（statistical）。
高分子构象性质的研究在高分子科学中具有重要的地位，高分子溶液和本体的许多性质与构象性质均有密切的关系高分子溶液的性质与小分予溶液的性质有许多不同之处，下面我们以粘度（viscosity）为例说明这一问题。
假设流体的粘度来自于溶液中的单分子的贡献让我们比较一下高分子溶液与小分子溶液的粘度的区别。
假设有相同大小和构象的两条高分子链：一条由球形链节（segment）组成，而另一条则由三角形链节组成，如图1.1a和1.1b所示，这时体系的粘度是相等的，与链节的形状几乎无关。
本征值和本征向量
例2、令 F[ x] 是数域 F 上一切一元多项 : f ( x) xf ( x) 是 F [ x] 式所成的向量空间， 的一个线性变换。求 的本征值和本 征向量。
2 、求法 现设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空 间。取定 V 的一个基 { , ,, } ,令 线性 变换 关于这个基的矩阵为 A (aij ) nn 设 0 是 的属于本征值 的本征向 量。
A A
A
例3、设 R 上三维向量空间的线性变 换 关于基{1 , 2 , 3 } 的矩阵是
， 求 的本征值和相应的本征向量。 例4、求矩阵
0 5 0 A 0 3 2 0 2 3 3 2 3 A 1 1 2 3 1 0
(1)
0 以上齐次线性方程组 (1) 有非零解 系数行列式
a11
a12 an2 a1n a 21 det(I A) a n1
a 22
a2n 0
( 2)
a nn
反过来，若 F 满足等式 (2) ，则齐 次线性方程组有非零解 ( x1 , x2 ,, xn ) ，因 为 x x x 满足 ( ) ，即 是 的一个本征值。
的迹 trA 与 f
A
( x)
的常
数项
f A (0)
。
的 特征根和相应的特征向量。
二、相似矩阵的特征多项式的关系 定理：相似的矩阵有相同的特征多 项式。 例5、已知
2 0 0 A 0 0 1 0 1 a
Hale Waihona Puke 与2 0 0 B 0 b 0 0 0 1
相似，
物理中本征值
物理中本征值本征值是物理学中一个重要的概念，它在量子力学、振动力学、电磁场理论等领域有着广泛的应用。
本文将从量子力学的角度出发，介绍本征值及其在物理学中的意义和应用。
量子力学是研究微观粒子行为的理论，它描述了微观粒子的运动和相互作用。
在量子力学中，粒子的状态可以用波函数来描述，而本征值则是描述量子系统的性质和状态的一个重要参数。
本征值是对应于某个物理量的特定测量结果，它代表了量子系统在测量该物理量时可能得到的结果。
在量子力学中，物理量都是由一个算符来表示的，而本征值则是该算符的特征值。
例如，对于位置算符，其本征值就表示粒子可能出现的位置；对于动量算符，其本征值则表示粒子可能具有的动量值。
本征值的求解可以通过求解本征方程来实现。
本征方程是一个形式为A|ψ⟩=λ|ψ⟩的方程，其中A表示物理量对应的算符，|ψ⟩表示波函数，λ表示本征值。
解本征方程可以得到一系列的本征值和对应的本征态，它们描述了量子系统可能的不同状态。
本征值在量子力学中有着广泛的应用。
首先，它可以用于描述量子系统的能级结构。
在量子力学中，量子系统的能量是离散的，只能取特定的值，这些特定的能量值就是本征值。
例如，氢原子的能级结构可以通过解氢原子的薛定谔方程得到，其能级就是薛定谔方程的本征值。
本征值可以用于描述量子系统的量子态。
量子态是描述量子系统状态的一个概念，它可以用波函数表示。
本征值和本征态是一一对应的，每个本征值都对应一个本征态。
例如，对于自旋算符，其本征值可以是自旋向上或向下，对应的本征态就是自旋向上或向下的态。
本征值还可以用于描述量子系统的测量结果。
在量子力学中，测量结果是随机的，只能得到本征值中的某个值。
例如，对于位置算符，测量粒子的位置会得到一个具体的本征值，而测量动量则会得到对应的动量本征值。
本征值是量子力学中一个重要的概念，它描述了量子系统的性质和状态。
通过解本征方程可以得到一系列的本征值和本征态，它们在描述量子系统的能级结构、量子态和测量结果等方面有着广泛的应用。
高等量子力学2-4——3-3
Proof： 利用Parseval等式证明。
幺正变换
幺正算符U 作用 矢量空间的全部矢量 U (**)
不改变： 矢量的模 内积 正交性
U
（2.29）——矢量的幺正变换
(*)
| U | U | | U | U | i | j U i | U j i | j
2 P123 i i i 1 3
j 1
3
j
j i ij i i i P
i , j 1 i 1
3
3
123
讨论整个空间的投影，这时投影算符 P i i P i i 完全性定理(2)
i i
A(C )=aC ( )
A 1 =a 1 若 （ a A 1 2 ） （ 1 2 ） A 2 =a 2 满足, 则算符A的属同一本征值a的本征矢量全体 本征子空间的维数S —称所属本征值的简并度， 这个本征值或这组本征矢称是S 重简并的。S 1，称无简并。 指出S维本征子空间，只需给其中一组S 个线性无关的本征矢。 有时说，某本征值有S 个 本征矢。
RA( R
i 1, 2, ...
1
R
R ) i =ai R i
即 B ( R i ) ai ( R i ) 0,因为R有逆
( )
1
所有的ai也都是B的本征值（或许B还有别的本征值，本征矢？）
反过来，设已知B的全部本征值和相应的本征矢满足： B i =bi i
物理上称矢量的幺正变换为矢量在多维空间中的转动。
对算符也可以做幺正变换
磁共振基本原理及读片
较大量瘤细胞浸润？
T1WI C-
T1WI C+
T2WI
常规MRI显示脑膜瘤的典型表现
FLAIR
脑膜上皮型脑膜瘤
胶元纤维构 成的包膜。
肿瘤呈神 经束推移 型表现， 提示瘤周 无肿瘤细 胞浸润， 为良性肿 瘤，符合 脑膜瘤诊 断。
放射冠
彩色编码的FA图
神经束成像图
上纵束向下移位
彩色编码的FA图
在彩色编码的FA图和神经束成像图上显示一良性肿瘤所造成的神 经束推移征，即上纵束和放射冠被推移，但仍保持原来色彩，符 合脑膜瘤的诊断。显示胶元纤维所构成之肿瘤包膜 （箭）
脑弥散加权成像（DWI）是使用一对大小相 等、方向相反的扩散敏感梯度场。该梯度场对 静止组织作用的总和为零，但水分子在不断扩 散，受该梯度场影响而产生相位变化。梗死区 域水含量增加，其早期细胞毒性水肿使水分子 扩散下降，而在产生T2信号改变之前，在DWI 显示出早期的脑梗死。
T2加权像无 异常
右侧急性轻瘫，症状4小时
1946 1971 1973 1974 1976 1977 1980 2003
磁共振发展史
发生事件
发现磁共振现象
Bloch Purcell
发现肿瘤的T1、T2 Damadian
做出两个充水试管MR图像 Lauterbur
活鼠的MR图像
Lauterbur等
人体胸部的MR图像
Damadian
源于弥散方向性 的张量(ADC’)
本征值
三个本征矢 量的矩阵
弓形纤维的神经束图
弓形纤维
短联合纤维束
胼胝体的神经束图
a
冠状面 (与彩色 编码的FA 图融合）
横断面
矢状面
高等量子力学 第三章 本征矢量和本征值
征子空间，它们只能相差常数倍：
B i bi i
即 i 也同时是 B 的本征矢量，常数 bi 就是 B 的本征值。如果 A 的所
有本征值都没有简并，那么{ i } 就是 A 和 B 的共同本征矢量完全集。
（2）问题在于 A 的那些有简并的本征值。在 A 的二维以上的 本征子空间中随便取一个矢量，未必就是 B 的本征矢量。设 A 的
定理： 若A和B 两算符相似，即对于有逆算符R 有
B RAR1
则A和B有相同的本征值谱，而且每一本征值都有相同的简并度。 证明： 设已知A的全部本征值和相应本征矢量；
Ai ai i ,
i 1, 2, 3,
利用 R1R 1的性质，并用 R 从左作用上式两边，得
RAR1R i ai R i ,
为 aiaj ij 等等。这样会给行文带来方便。而这样一来，对于一部
分连续而另一部分离散的那种本征值谱，随便写成一种形式（取 和或积分）就可以了。
上述矢量成为B的本征矢量的条件是
B j b j
B j c b j c
B j c b j c
用 j 同上式作内积，利用 j j 得
m
j B j c bc
1
( 1,2,m)
这是一个{c }的线性齐次方程组，设其系数 j B j B ，
这一方程组有解的条件是系数行列式为零：
B11 b B12
示各本征值序号的集合，而用{ ai } 表示它们的共同本征矢量，
简单的写成
A ai ai ai
共同本征矢量的完全性关系简写成
ai ai 1
i
§3-4 无穷维空间的情况
本征值与本征向量
七． 线性变换的本征值和本征向量的定义
八． 本征值和本征向量的计算方法
. .
九． 与本征值和本征向量相关的几个问题
三
一
重
内
点
容
难
二.教学目的
分
点
布
线性变换(矩阵)的特征值 和特征向量的求法
一．
理解本征值和本征向量的 概念
二．
熟练掌握求线性变换(矩 阵)的本征值和本征向量 ○ 的方法
复习与引入:
1 0 1 1 0 1
0
2
0
0
1
0
1 0 1 0 0 0
由于
该齐次组的所有解为 ( a , 0 , a ) , a F
因此,属于特征－1的特征向量是
( a ,0 ,a ),a F ,且 a0
由于
0
0
0
0
0
0
1 0 1 0 0 0
该齐次组的所有解为
( a , b , a ) , a , b F
因此,属于特征1的特征向量是
( a ,b ,a ) ,a ,b F 且 a ,b 不 全 为 零 对于 1,有齐次线性方程组
1 0 1 x1 0
0
2
0
x2
0
1 0 1 x3 0
由于矩阵A是线性变换 关于向量空间Ｖ中基的矩阵，
因此，矩阵Ａ的特征多项式就是线性变换 的特征多项式，
记为 f(x)，即 f(x)fA ( ．x)
于是又有：
定理7.5.2 设 L(V，) 是Fσ的一个特征值的充要
条件是 是 的特征多项式 f (的x )一个根．
小结：求线性变换 的特征值和特征向量的方法．
L(V) , {1,2, ,n}
本征值 本征向量
本征值本征向量本征值和本征向量是线性代数中重要的概念。
它们在许多领域中得到广泛应用，包括物理、工程和计算机科学等。
了解本征值和本征向量的概念，能够帮助我们更好地理解线性代数的基础，以及它们在实际应用中的实际意义。
本征值和本征向量是什么？本征值 (eigenvalue) 是一个数，它表示一个矩阵在某个特定向量方向上的伸缩因子。
换句话说，一个矩阵A 的本征值是使得一个非零向量v在矩阵A下成比例缩放的标量λ，即Av=λv。
本征向量(eigenvector) 是与这个本征值相关联的向量。
它是矩阵A的一个非零向量v，这个向量在矩阵A下的伸缩和本征值λ成正比，即Av=λv。
这个向量和矩阵的作用类似于一个“不变量”，因为它保持在矩阵作用下方向不变。
本征值和本征向量的搜索在线性代数中，求解本征值和本征向量是一项常见的任务。
有两种方法可以实现这个任务：矩阵特征值分解和幂迭代。
矩阵特征值分解方法，是将一个矩阵分解为一个特征向量矩阵和一个特征值矩阵。
特征向量矩阵包含本征向量作为列向量，而特征值则构成了对角线矩阵。
这个方法可以用来求解对称矩阵的本征值和本征向量。
但是，这个方法的计算复杂度较高，难以用于大型稀疏矩阵。
幂迭代法是一种基于向量迭代的方法。
它的思想是，如果一个矩阵的本征向量v只与其本征值λ相关，那么如果我们用v来表示矩阵的某个向量，然后将它应用于矩阵A，再用得到的向量作为新的v重复应用矩阵A，最终v将趋于一个本征向量。
解决这个问题的方法是进行归一化，每次迭代都要保证向量v的长度为1.0。
应用本征值和本征向量的应用是非常广泛的。
它们被广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域的问题中。
举个例子，本征值和本征向量可以用来寻找力学系统中的固有振动。
本征值和本征向量可以用来解决其他问题，例如线性回归、因子分析和傅里叶变换等。
在计算机图形学中，本征值和本征向量可以用来进行特征提取和数据降维。
总结本文简要介绍了本征值和本征向量这两个重要的线性代数概念。
高量3本征矢量和本征值
An1
An2 Ann a
这是一关于a 的n次方程，称为久期方程，有n个根
a(1) , a(2) ,, a(n) 当这些根互不相同时，对于每一个根 a(k )，上述方程有 一组非零解{ci(k )}；
所求得的那些根 a(k)，就是厄米算符A的本征值。 当每个 a(k) 都不同时，可得线性方程组的n组解 {ci(k)}, k 1,2,,
i 1
在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢，
甚至用厄米算符的本征矢量去 “构造” 一个 Hilbert 空间，
原因在此。
﹟
17
§3.3 厄米算符完备组 一、基矢的选择问题
对于一个Hilbert空间，每一个厄米算符的全部线性无关 的本征矢量都可以用来构成空间的基矢,即正交归一完全集 （条件是厄米算符的定义域和值域都应是全空间）。
即 B | i 也是A的属于本征值 ai 的本征矢量。 下面分两种情况讨论。
1°A的本征值无简并
这时B | i 与 | i 属于同一个一维本征子空间，它们只 能差一个常数倍：
20
B | i bi | i
即| i 也同是B的本征矢量，常数 bi 就是B的本征值。 如果所有A的本征值都没有简并，则 {| i }就是A和B的
定理：在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量 构成正交完全集。
[证]：设空间是n维的，厄米算符为A。我们只需证 明在A的本征矢量中有n个线性无关的即可。
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A的本征值方程为 A | a |
为求| ，在此空间中取一组已知的基矢
{| i } {| i }, (i 1,2,, n)
§3.1 定义 一、本征矢量和本征值 对于算符A，若有非零矢量 | 满足下式
第四章本征值和本征向量
4-2 方法原理 Jacobi方法求实对称矩阵的本征值和本征向量 基本思想： 通过一组平面旋转变换（正交相似变换），将实对称 矩阵A化为对角矩阵。 对角矩阵中对角线上的元素λi即为本征值； 每一步的平面旋转矩阵的乘积的第i列即为λi对应的本征向量。 i
三种质子核自旋有8种可能的组合
F 状态 K
z K
自旋函数 ααα ααβ αβα βαα αββ βαβ ββα βββ
总自旋 +3/2 +1/2 +1/2 +1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -3/2
1 2 3 4 5 6 7 8
4-3 应用示例
E 核自旋哈密顿方程： H
H——8x 8阶的哈密顿矩阵 Ψ——由8个可能的自旋态的线性组合（跃迁强度） E——相应于8个状态之一的能量特征值（跃迁频率）
( A I ) x 0
(HБайду номын сангаасEI)C=0
（久期方程式）
本征值E：所求体系的单电子分子轨道的能量，可用来确定
这些轨道的能级次序， 导出的它们电子构型以及分子的总状态。 单电子轨道能量数值本身也可用来估计分子的某些性质，如 分子的电离势、电跃迁能量等。
特征向量Cj：其数值与分子中电子密度的分布以及各个原于
k
D 1 , 2 , 3 , n ——本征值
T T T T V 1 2 3 k k——各列向量是A的各个本征值的本征向量
V k1 AV k D AV k Vk D
4-3 应用示例 质子NMR谱的模拟 ABC体系例如CH2CHCN，具有三种磁不等价的质子。
2 11 2 2 n n
本征值与本征向量
本征值与本征向量本征值与本征向量是线性代数中重要的概念和工具，它们在很多实际问题中有着广泛的应用。
在本文中，我们将详细介绍本征值与本征向量的定义、性质及其应用。
一、本征值与本征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X，使得下式成立：AX = λX其中，λ为一个常数，称为矩阵A的本征值（Eigenvalue），X称为矩阵A对应于本征值λ的本征向量（Eigenvector）。
本征值与本征向量的求解可以通过以下步骤进行：1. 确定矩阵A。
2. 解方程AX = λX，找到满足条件的解向量X。
3. 将解向量X进行标准化处理，即使其模长为1。
二、本征值与本征向量的性质本征值与本征向量具有以下重要性质：1. 一个矩阵的特征方程的根就是该矩阵的本征值。
特征方程是指n阶方阵A满足 |A-λI| = 0 的方程，其中I为单位矩阵。
解特征方程可得到矩阵的本征值。
2. 本征向量与本征值之间存在一一对应关系。
给定一个本征值λ，可以找到唯一的本征向量X。
反之亦然。
3. 当矩阵A是对称矩阵时，本征向量X之间正交。
对称矩阵的本征向量对应不同本征值的本征向量之间是正交的。
三、本征值与本征向量的应用本征值与本征向量在实际问题中有着广泛的应用，以下是其中几个典型的应用场景。
1. 特征值与特征向量的求解。
在物理、化学等科学领域中，特征值与特征向量的求解是研究问题的重要一步。
例如，在量子力学中，本征值与本征向量的求解可以用来描述能量量子态。
2. 矩阵的对角化。
对于一个n阶方阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵D，那么矩阵A就可以对角化。
对角化的好处是方便进行运算和求解。
3. 幂迭代法求解矩阵的最大本征值与最大本征向量。
幂迭代法是一种求解矩阵最大本征值与最大本征向量的迭代算法。
该方法简单易行，且收敛速度较快。
4. 主成分分析（PCA）。
主成分分析是一种常用的数据分析方法，它利用矩阵的本征值与本征向量对数据进行降维和特征提取。
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用反证法：
如果 R | i1 , R | i2 , R | i3 线性相关，则存在 c j ，从而有
cj R | ij 0
j
比如由此可以得到
R | i1 c1R | i2 c2R | i3
因为R有逆 R1，上式两边用R1作用后有
| i1 c1 | i2 c2 | i3 这与| i1 ,| i2 ,| i3 , 线性无关相矛盾。
一个确定的空间中，一组正交归一矢量集的完全 性的含义是：
空间内所有矢量都能表为这个矢量集的线性叠加。
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一组正交归一矢量集的封闭性的含义是，这个空间 中不存在其它与集内所有矢量都正交的矢量（否则此 矢量集应再加一矢量）。
二者的等价性是明显的。对于一般的Hilbert空间， 二者是等价的。
对有限维空间予以证明：
所以所有 ai 也都是B的本征值。
下面设A的一个本征值是s重简并的，属于这个本 征值的s个线性无关本征矢量记为 | i1 ,| i2 ,,| is 。 由于R有逆，R | i1 , R | i2 ,, R | is 也必为线性无关。
所以算符B的属于本征值 ai 的本征矢量至少为s个， 即简并度不会比A小。另外利用 A R1BR 用同样的 方法证明B的简并度也不会比A大。证毕。
§3 本征矢量和本征值
§3.1 定义 一、本征矢量和本征值 对于算符A，若有非零矢量 | 满足下式
A| a |
式中a为常数。则 | 称为算符A的本征矢量， 而a为相应的本征值。
上式称为本征值方程。 本征值一般是复数，但也可以为0.
算符A虽然可以不加限制，但是量子力学中用 到的主要是厄米算符的本征值问题。
命题得证。
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§3.2 本征矢量的完全性 一. 问题的提出 在一个确定的Hilbert空间中，一个厄米算符A的本 征矢量的情况有两种：
1）不简并的本征矢量是彼此正交的；
2）s 重简并的本征值所对应的本征矢量构成一个s 维的本征子空间，并与那些本征值为其它值的本征 矢量正交。
如在上述s维子空间中选出s个互相正交的本征矢 作为代表，那么其线性叠加都是算符A的对应于同 一本征值的本征矢量。
定理：在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量 构成正交完全集。
[证]：设空间是n维的，厄米算符为A。我们只需证 明在A的本征矢量中有n个线性无关的即可。
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A的本征值方程为 A | a |
为求| ，在此空间中取一组已知的基矢
{| i } {| i }, (i 1,2,, n)
1
二、厄米算符本征值问题的两个重要性质 1.在复空间中，厄米算符的本征值都是实数 [证]若A是厄米算符，用 | 左乘式 A | a | 两边，有
| A| a |
已经知道 | A | 是实数
所以a必为实数。
2. 厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互 正交
i 1
i 1
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n
n
j | A | i ci a j | i ci ac j
i 1
i 1
式中 j | A | i Aji 是复数，对于给定的A，它们是已 知的，而 ci 是待求的。
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在进行归一化后,算符 A 的所有不简并和简并的 本征矢量为代表就构成了一个正交归一矢量集。 若取不简并的本征值的简并度为1,则这个正交归一
矢量集里矢量总数是所有本征值简并度之和 si 。
i
这个总数亦可能是无穷大。
问题：一个厄米算符A的本征矢量正交归一集在所 在空间中是否完全？
二、完全性和封闭性
2.简并 本征子空间的维数 s 称为所属本征值的简并度。
这个本征值或这组本征矢量称为是 s 重简并的。
当简并度为1时，通常称为无简并。
为了指出 s 维本征子空间，只需给出其中一组 s 个线性无关的本征矢量即可。
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3.相关的定理
定理：若A,B两算符相似，即对于有逆算符R，有
B RAR1
则A,B有相同的本征值谱，且每一本征值都 有相同的简并度。
若| 是A的一个本征矢量，则| c也是属于同一个 本征值的本征矢量；
若|1 , | 2 都是 A 的本征矢量且本征值相同，则 它们的线性叠加 |1 c1 | 2 c2 也是A 的属于同一本 征值的本征矢量。
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所以算符A的属于同一个本征值 a 的本征矢量全 体构成Hilbert空间中的一个子空间。这个子空间称 为算符A的属于本征值a的本征子空间。
这组基矢共有n个。
将矢量| 按照这组基矢展开
n
n
| | i i | | i ci
i 1
i 1
其中 ci i | 。知道了一组ci 就知道了一个| 。
将| 的展开式代入本征值方程，并用 j | 与方程
两边作内积，得
n
n
j | A | i ci a j | i ci ac j
[证]设已知A的全部本征值和相应的本征矢量，
A | i ai | i i 1,2,
利用 R1R I，用R从左作用上式两边，得
RAR 1R | i ai R | i
即
BR | i ai R | i
6
BR | i ai R | i
因为R有逆，所以 R | i 不为零
由此得 a1 2 |1 a2 2 |1
即
(a1 a2 ) 2 |1 0
但
a1 a2
所以
2 |1 0
即厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交。
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三、本征矢量问题—简并性 1.问题的提出
厄米算符A属于本征值a的本征矢量有多少个？
这实际上是一个简并度的问题。
[证]设 A |1 a1 |1 , A | 2 a2 | 2 但 a1 a2
2
则
2 | A |1 |1 A 2 |1
a2 2 |1
a2* 2 |1
a2 2 |1