相似三角形经典模型总结.docx
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（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
A
F
D
BEC
3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E
是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同
时交直线AD于点M，那么
x
①当点
F
在线段
的延长线上时，设
=
，
=
y
，求
y
关于
的函数解析式，并写出函数的定义
CD
BPx
DF
域；
②当SDMF
9SBEP时，求BP的长．
4
D
A
A
标准文案
实用文档
2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD;(2)ND2=NC·NB
3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E
是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE·DB
2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：（1）△∽△
；
（2）
BC
2
2BE C形
C
BDE
A
标准文案
EF
实用文档
例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
A
M
相似三角形常见模型(总结材料)
第一部分 相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）ABCDE（平行）CBA DE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC D E B2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
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第一部分相似三角形知识要点大全知识点 1. ．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。
（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读 ：（ 1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（ 2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（ 3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例 1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变． 解：是相似图形。
因为它们的形状相同，大小不一定相同．例 2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角 80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是 100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________( 填序号 ) ．解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形， 而圆、正多边形、 顶角为 100°的等腰三角形的形状不唯一， 它们都相似． 答案：②⑤⑥．知识点 2．比例线段对于四条线段 a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．bd解读 ：（ 1）四条线段 a,b,c,d成比例，记作a c（或 a:b=c:d ），不能写成其他形式，即比例线段b d有顺序性．（ 2）在比例式a c（或 a:b=c:d ）中，比例的项为 a,b,c,d，其中 a,d 为比例外项， b,c 为比例内项， dbd是第四比例项．（ 3）如果比例内项是相同的线段，即a bb或 a:b=b:c ，那么线段 b 叫做线段和的比例中项。
c(4) 通常四条线段 a,b,c,d 的单位应一致，但有时为了计算方便， a 和 b 统一为一个单位，c 和d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．例 3．已知线段 a=2cm, b=6mm, 求 a． b分析：求a即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．b例 4．已知 a,b,c,d成比例，且 a=6cm,b=3dm,d= 3dm ，求 c 的长度．2分析：由 a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d ，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c ．知识点 3．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读 ：（ 1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系． （ 2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．例 5．若四边形 ABCD 的四边长分别是 4， 6，8， 10，与四边形 ABCD 相似的四边形 A 1B 1C 1D 1 的最大边长为 30，则四边形 A 1B 1C 1D 1 的最小边长是多少？分析：四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1，再根据相似3多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长． 知识点 4．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读 ：（ 1）相似三角形是相似多边形中的一种；（ 2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （ 3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； （ 4）相似用“∽”表示，读作“相似于” ；（ 5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．注意 ：①相似比是有顺序的，比如△ABC ∽△ A 1B 1C 1，相似比为 k, 若△ A 1B 1C 1∽△ABC ，则相似比为1。
相似三角形模型分析大全
第一部分 相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景BDEBDEJ OADBCAB CDBDD（五）一线三直角型：（六）双垂型：D二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展共享性一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1、已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．CB EDAGABCEFACDEB例2、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD △BC 于D ，CG △AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE 相关练习：1、如图，梯形ABCD 中，AD △BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE △CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ⋅=2．2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．3、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．ACBPD E（第4题图）双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED解答：证明：（1）∵CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ， ∴∠AFB=∠AEC ，∠A 为公共角，∴△ABD ∽△ACE （两角对应相等的两个三角形相似）． （2）由（1）得AB ：AC=AD ：AE ，∠A 为公共角，∴△ADE ∽△ABC （两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） (3)∵△ADE ∽△ABC ∴AD ：AB=DE ：BC 又∵∠A=60° ∴BC=2ED共享型相似三角形1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,△DAE= 120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.DEC如图∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60° 又∵DBCE 在一条直线上∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60° ∵∠DAE=120°∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=120°-60°=60° 由上可知∠ADB=∠CAE ，∠DAB=∠CAE ∴△DAB ∽△AEC∵三角形相似对应边成比例 ∴BD ／AC=AB ／CE ∵BD=1，CE=3 ∴AB=AC=√32、已知：如图，在Rt△ABC 中，AB =AC ，△DAE =45°．求证：（1）△ABE △△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22．解答：证明：（1）在Rt △ABC 中， ∵AB=AC ，∴∠B=∠C=45°． （1分）∵∠BAE=∠BAD+∠DAE ，∠DAE=45°，AB C EC A∴∠BAE=∠BAD+45°． （1分） 而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，（1分） ∴∠BAE=∠CDA ． （1分） ∴△ABE ∽△DCA ． （2分） （2）由△ABE ∽△DCA ，得． （2分）∴BE •CD=AB •AC ． （1分） 而AB=AC ，BC 2=AB 2+AC 2， ∴BC 2=2AB 2． （2分） ∴BC 2=2BE •CD ． （1分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．一线三等角型相似三角形例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，△EDF =60° （1）求证：△BDE △△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴∠B=∠C=60°∵∠EDF=60°∴∠CDF+∠EDB=180°-∠EDF=120° ∠BED+∠EDB=180°-∠B=120°∴∠CDF=∠BED∵∠B=∠C ∴△BDE 相似△CFD 2、∵BD=1 ∴CD=BC-BD=6-1=5∵△BDE 相似△CFD ∴BE/CD=BD/CFCADBEFBE/5=1/3 BE=5/3例2、已知在梯形ABCD 中，AD △BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足△BPC ＝△A ． ①求证；△ABP △△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足△BPE ＝△A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．解答：解：（1）∵ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AB=DC ． ∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A ∴∠ABP=∠DPC ， ∴△ABP ∽△DPC ∴，即：解得：AP=1或AP=4．（2）①由（1）可知：△ABP ∽△DPQ ∴，即：，∴（1＜x ＜4）．②当CE=1时，AP=2或．点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关CBADCBA DCDA BP系是求解的关键．例3：如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF △△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长1.证明:∵AB=CD.∴梯形ABCD 为等腰梯形,∠B=∠C;又∠EMF=∠B,则:∠CMF=180度-∠EMF-∠BME=180度-∠B-∠BME=∠BEM. ∴⊿CMF ∽⊿BEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE. ∵MF/EM=BM/BE;∠EMF=∠B. ∴△MEF ∽△BEM.2.解:当BM=BE=3时:MF/ME=BM/BE=1,则MF=ME.∴EF ∥BC;又BE=3=AB/2.故EF 为梯形的中位线,EF=(AD+BC)/2=9/2; 当ME=BM=3时:∠MEB=∠B=∠C=∠FMC.连接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM 平行BM,则四边形ABMD 为平行四边形. ∴∠DMC=∠B=∠FMC,即F 与D 重合,此时EF=CD=6. 3.解:∵EF ⊥CD;∠CFM=∠BME=∠EFM. ∴∠EFM=45°=∠BME.作EG ⊥BM 于G,则EG=GM;作AH ⊥BM 于H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=√(AB ²-BH ²)=3√15/2. 设EG=GM=X,则BG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(3√15/2),X=(45-3√15)/14. BE/BA=EG/AH,即BE/6=[(45-3√15)/14]/(3√15/2),BE=(6√15-6)/7.练习：如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ， （1）写出图中与BEF ∆相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （4）若1AE =，试求GMN ∆的面积．一线三直角型相似三角形例：已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。
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相似三角形经典模型总结经典模型平移旋转 180°∽平行型平行型翻折 180°翻折 180°一般特别翻折 180°斜交型斜交型特别一边平移一般平移特别双垂直斜交型双垂直一般【精选例题】“平行型〞【例 1】如图，EE1∥FF1∥MM1，假设AEEF FM MB ，那么S AEE: S四边形EE FF : S四边形FF M M : S四边形MM CB_________111111AE E1FF 1MM1B C【例 2】如图，AD∥EF∥MN∥BC，假设AD9，BC18 ， AE:EM :MB2:3:4,那么EF _____ ， MN _____A DE FMNB C【例 3】，P为平行四边形ABCD 对角线， AC 上一点，过点P 的直线与 AD ， BC ， CD 的延长线， AB 的延长线分别订交于点 E ， F ， G ， H求证： PE PHPF PGG D CE PFA B H【例 4】：在ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且AE2, BE、 CD订交于点 F ，EC求BF的值EFADF EB C【例 5】：在ABC 中， AD 1BD，延长 BC到F ,使CF1B C,连接FD交 AC于点 E 23求证：① DE EF ② AE2CEADEBFC【例 6】：D，E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ，BD: DE AB: AC求证：CEF 为等腰三角形ACDEB F【例 7】如图， AB / / EF / /CD ，假设 AB a ， CD b ， EF c ，求证：11 1 .c a bC AEB F D【例 8】如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论.CAEB F D【例 9】如图，四边形ABCD中，BD90，M是AC上一点，ME AD于点EMF BC，于点 FMF ME求证：1DEMA CFB【例 10】如图，在ABC 中， D 是 AC 边的中点，过 D 作直线 EF 交 AB 于 E ,交 BC 的延长线于 F 求证： AE BF BE CFAEDBC F【例 11】如图，在线段AB 上，取一点 C ，以 AC ， CB 为底在 AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC 和CEB， AE交 CD于点 P， BD交 CE于点Q,求证： CP CQDEP QA C B【例 12】阅读并解答问题 .在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG，使 D， E落在 BC边上， F ， G分别落在AC , AB 边上，作法以下：ABC 两边上的正方形D'E'F 'G'如图，第一步：画一个有三个极点落在第二步：连接 BF ' 并延长交 AC 于点 F第三步：过 F 点作 FE BC ,垂足为点 E第四步：过 F 点作 FG∥BC 交 AB 于点 G第五步：过 G 点作 GD BC ，垂足为点 D四边形 DEFG 即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形⑵在 ABC 中，若是BC63，ABC45 ,BAC 75 ,求上述正方形DEFG 的边长AG FG'F'B D' E'D EC“平行旋转型〞图形梳理：E'F'AAAF'E'AEF'EFFFEE'FEF'BCBCBBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’CAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到AE ‘F ’特别情况： B 、 E'、 F '共线AAEF'EF'E'FE'FBCBCAEF 旋转到AE ‘ F ’AEF 旋转到AE ‘ F ’C ， E'， F '共线E'AE'AEFEF'FF'BCBCAEF 旋转到 AE ‘ F ’AEF 旋转到 AE ‘ F ’【例 13】梯形 ABCD ， AD ∥BC ，对角线AC 、 BD 互相垂直，那么①证明： AD 2 BC 2AB 2 CD 2ADOB C(word完满版)相似三角形经典模型总结(更正版),文档【例 14】当AOD ，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转度〔090 〕，问上面的结论可否成立，请说明原由DAOB C【例 15】〔全国初中数学联赛武汉选拔赛试题〕如图，四边形ABCD 和 BEFG 均为正方形，求AG : DF : CE_________.A DGFB CE“斜交型〞【例 16】如图，ABC 中， D 在 AB 上，且 DE∥BC 交 AC 于 E ， F 在 AD 上，且 AD2AF AB ，求证：AEF :ACDAFD EB C AGF BE【例 17】如图，等边三角形ABC中，D，E分别在BC，AB上，且CD BE，AD CE订交于M，，求证 :EAM :ECAAEMB D C【例 18】如图，四边形ABCD 的对角线订交于点O ，BAC CDB ,求证：DAC CBDADOB C【例 19】如图，设ABBCCA，那么 1 2 吗？AD DE EAA1DE2B C【例 20】在锐角三角形ABC 中， AD ， CE 分别为 BC ， AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于 18和 2 ， DE 2，求 AC 边上的高AEB D C【例 21】如图，在等边ABC 的边 BC 上取点 D ，使BD 1，作CH AD，H为垂足，连接BH。
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相似三角形知识点总结知识点 1 有关相似形的概念(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．知识点 2 比例线段的相关概念（ 1）如果选用同一单位量得两条线段 a, b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是am，或写成 a : b m : n ．注：在求线段比时，线段单位要统一。
bn（ 2）在四条线段 a,b,c,d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和 d 的比，那么这四条线段 a, b, c, d 叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是 b, c, d 的第四比例项，那么应得比例式为：bd ．② 在比例式 a c(a ： b c ：d )中，a 、 d 叫比例外项， b 、 c 叫比例c a b d内项 , a 、c 叫比例前项， b 、d 叫比例后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，即 a ：b b ：d 那么b 叫做 a 、 d 的比例中项， 此时有 b 2 ad 。
（3）黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，即 AC 2AB BC ，叫 做把 线段 AB 黄金 分割，点 C 叫做线 段 AB 的黄 金分割点，其 中AC5 1 AB ≈0.618 AB ．即ACBC5 1 简记为： 长 ＝短＝5 12 ABAC2全 长2 注：黄金三角形：顶角是 360 的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3 比例的性质（ 注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质：① a : bc : dad bc ；② a : b b : cb 2a c ．（2）反比性质 ( 把比的前项、后项交换 ) ：ac bd ．bdac（3）等比性质：如果ac e m(b dfn 0) ，那么ac e m a ． bd fnbd f nb可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ac e a2c3e a 2c 3ea；其中 b 2d 3 f 0 ．b d f b2d 3 f b 2d 3 f b知识点 4比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理 : 平行于三角形一边的直线截其它两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .A由 DE∥BC可得：ADAE 或 BD EC 或 AD AEDB EC AD EA AB ACD EBC①结论：平行于三角形的一边 , 并且和其它两边相交的直线, 所截的三角形的三边与原三角形三边对．．．．．．．．．．．．应成比例 .②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 . 那么这条直线平行于三角形的第三边 .此定理给出了一种证明两直线平行方法, 即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线 , 但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条直线 , 所截得的对应线段成比例 . A D已知 AD∥ BE∥CF,EB可得ABDE 或 AB DE 或 BC EF 或 BC EF 或 AB BC 等.BC EF AC DF AB DE AC DF DE EFCF知识点 5三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理 2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
(2021年整理)相似三角形常见模型(总结)
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第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）(平行)B(不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型)（平行) (不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形)或者等边三角形为背景(五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ,对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中,点E 在中线AD 上, ABCDEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； (2）DAC DCE ∠=∠．例3:已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证:EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线,EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．ACD EB2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N.求证:(1)△AME ∽△NMD; （2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
(完整版)相似三角形模型分析大全(非常全面-经典)
相似三角形模型分析大全1、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6）双垂型：2、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。
8字型拓展B一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：．OE OA OC ⋅=2例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ．ABC DEB ∠=∠求证：（1）； （2）．DA DE DB ⋅=2DAC DCE ∠=∠ACDEB例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：．EG EF BE ⋅=2相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：．FC FB FD ⋅=22、已知：AD 是Rt△ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND =NC·NB23、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。
4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BCGBM90求证：∠=︒5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高A（第25题图）求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=6，求：点B 到直线AC 的距离。
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相似三角形经典模型总结经典模型【精选例题】 “平行型”【例 1】 如图，EEJ FF ,// MM ,，若 AE EF FM MB ,则S REE ,:瓯边形EE^F ： S 四边形FF i M i M1C:S 四边形MM ,CB ____________________平移平行型数学公益教学博客。
AD// EF // MN // BC ,若 AD 9 , BC 18 , AE:EM:MB 2:3: 4,则,MN【例2】EF【例3】 已知，P 为平行四边形 ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD , BC , CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点 E , F , G , H求证： PE PHPF PG【例4】 已知：在 ABC 中, BF求 的值EFD 为AB 中点,E 为AC 上一点，且【例5】 已知：在ABC 中，AB=3AD 延长 BC 到 F ,使 CF求证：①DEEF ② AE 2CEAEEC2, BE 、CD 相交于点F ,-BC ,连接FD 交AC 于点E 3N C已知：D ，E 为三角形 ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ,BD:DE AB: AC求证：CEF 为等腰三角形【例6】 【例7】如图，已知 AB//EF//CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ,求证: 【例8】 如图，找出S ABD 、S BED 、 S BCD 之间的关系，并证明你的结论如图，四边形ABCD 中，B 于点F… MFME , 求证：一1AB CDD 90，M 是 AC 上一点，ME AD 于点E ，MF BC【例bC【例10】如图，在ABC中，D是AC边的中点，过D作直线EF交AB于E,交BC的延长线于F 求证：AE BF BE CF【例11】如图，在线段AB上，取一点C,以AC，CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q,求证：CP CQ【例12】阅读并解答问题.在给定的锐角三角形ABC中，求作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F , G分别落在AC , AB 边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在ABC两边上的正方形D'E'F'G'如图，第二步：连接BF'并延长交AC于点F第三步：过F点作FE BC,垂足为点E第四步：过F点作FG // BC交AB于点G第五步：过G点作GD BC，垂足为点D四边形DEFG即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG为正方形⑵在ABC中，如果BC 6 .3 , ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形DEFG的边长B D' E' D“平行旋转型”图形梳理：【例13】已知梯形ABCD , AD // BC，对角线AC、BD互相垂直，则2 2 2 21.证明：AD BC AB CD△AEF旋转到/\AE ' AAEF旋转至U f .AE ''AAEF 旋转到AAE 'F'色AEF旋转到己AE '丄AEF旋转至U AE ' F'△AEF旋转至U匚AE 'F'△A EF旋转至U丄AE '“斜交型”【例15】如图， ABC 中，D 在AB 上，且DE // BC 交AC 于E , F 在AD 上，且AD 2 AF AB ,求证：AEF : ACD【例16】如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O , BAC CDB ,求证： DAC CBD2.当 AOD ，以点0为旋转中心，逆时针旋转 度（0由90 ），问上面的结论是否成立，请说明理【例14】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，求AG : DF : CE __________GFBEDCDB CAB BC CA【例17】如图，设BC CA ，贝y 12吗?AD DE EA等于18和2 , DE 2，求AC 边上的高【例20】已知：在正三角形 ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD CE ,直线CD与AE 相交于点F求证：① DC AE ,② AD 2 DC DF【例19】如图， BD 1 在等边 ABC 的边BC 上取点D ，使BD 1，作CHCD 2 求证：DBH DABAD , H 为垂足，连结BH 。
相似三角形模型分析大全非常全面
角 形 模 型 分 析 大 全」、相似三角形判定的基本模型认识（一） A 字型、反A 字型（斜 A 字型）（二） 8字型、反8字型（蝴蝶型）（三） 母子型 （四） 一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五） 一线三直角型： （六） 双垂型：二、相似三角形判定的变化模型（平行） （不平行）旋转型：由A 字型旋转得到CAb C8字型拓展一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1 :如图，梯形 ABCD 中，AD // BC ,对角线 AC 、BD 交于点O , BE // CD 交CA 延长线于 E . 求证：OC 2 OA OE .已知：如图，△ ABC 中，点E 在中线AD 上，DEB ABC .求证：(1) DB 2 DE DA ; (2) DCE DAC .例3:已知：如图，等腰△ ABC 中，AB = AC , AD 丄BC 于D , CG / AB ,相关练习:1、如图，已知 AD ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线.求证:2、已知：AD 是 Rt △ ABC 中/A 的平分线，/C=90°, EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M EF 、BC 的延长线交于一点M 求证： ⑴△ AM 3A NMD;（2）ND 2 =NC ・ NB3、 已知：如图，在△ ABC 中，/ ACB=90 , CDL AB 于D, E 是AC 上一点，CF 丄BE 于F 。
求证：EB- DF=AE- DB4. 在 ABC 中，AB=AC 高AD 与 BE 交于H, EF BC ，垂足为F ,延长AD 到G,使DG=EF M 是AH 勺中点。
求证： GBM 905. （本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）求证：BE 2 EF EG .A已知：如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°, BC=2, AC=4, P是斜边AB上的一个动点，PDLAB交边AC 于点D （点D与点A C都不重合），E是射线DC上一点, P两点的距离为x,A BEP的面积为y.（1）求证：AE=2PE（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当厶BEP-与^ ABC相似时，求△ BEP的面积.双垂型（第25题图）1、如图，在△ ABC中，/ A=60°, BD CE分别是AC AB上的高求证：(ABD^A ACE (2)△ ADE^A ABC (3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ ABC , AD、CE分别是BC、AB边上的高, DE=6 、2 , 求：点B到直线AC的距离。
(完整word版)相似三角形知识点大总结
相似三角形知识点大总结知识点1 有关相似形的概念（1）形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。
(2）如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数）．知识点2 比例线段的相关概念（1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是nmb a =,或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
(2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为:a d c b =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2b ad =。
(3)黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为:长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件:分母不能为0)(1） 基本性质：①bc ad dc b a =⇔=::;②2::a bb c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =,除了可化为d c b a ::=,还可化为d b c a ::=，b a d c ::=,c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=,a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项）：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质（把比的前项、后项交换）：a cb db d a c=⇔=．（4）合、分比性质:a c abc db d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．(5)等比性质:如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322;其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1。
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学科教师辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：吴猛授课类型T(同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期及时段2016-07-27相似三角形模型总结模型一：A型或反A型1．（2011•河北模拟）将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（）A．B．4 C．或2 D．4或考点：相似三角形的性质；解一元一次方程；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题；压轴题．分析：根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到=，设BF=x，则CF=8﹣x，即可求出x的长，得到BF的长，即可选出答案．解答：解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合，∴BF=B′F，设BF=x，则CF=8﹣x，∵当△B′FC∽△ABC，∴=，∵AB=6，BC=8，∴=，解得：x=，即：BF=，当△FB′C∽△ABC，，，解得：x=4，当△ABC∽△CB′F时，同法可求B′F=4，故BF=4或，故选：D．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，折叠问题，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是设BF=x，能正确列出方程．1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。
2、求证：3、BDA CFE答案：证明：（方法一）如图延长AE到M使得EM=AE，连接CM∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴△BEA≌△CEM ∴CM=AB，∠1=∠B ∴AB∥CM∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF ∴∵CM=AB，AD=AC ∴（方法二）过D作DG∥BC交AE于G则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF∴，∵AD=AC，BE=CE ∴模型二：X型和反X型1．（2012•朝阳）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12，则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为80π﹣160．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；正多边形和圆．专题：压轴题．分析：首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．解答：解：连接AC，∵AE丄EF，EF丄FC，∴∠E=∠F=90°，∵∠AME=∠CMF（对顶角相等），∴△AEM∽△CFM，∴，∵AE=4，FC=12，∴，∴EM=2，FM=6，在Rt△AEM中，AM==2，在Rt△FCM中，CM==6，∴AC=8，在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8×=4，∴S正方形ABCD=AB2=160，圆的面积为：π•（）2=80π，∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．故答案为：80π﹣160．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．2、如图，弦和弦相交于内一点，求证：.思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接，.在∴∽∴.3．如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC．DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A．O、C．E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个【答案】D模型三：字母型1．如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD，AC 交BD 于点E ，CE=2，CD=3，则AE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5 【答案】B. 2．（2015•南通）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB=6，AD=5，则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.2考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理． 专题： 压轴题． 分析：连接BD 、CD ，由勾股定理先求出BD 的长，再利用△ABD ∽△BED ，得出=，可解得DE 的长，由AE=AD﹣DE 求解即可得出答案．解答： 解：如图1，连接BD 、CD ，，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴BD=，∵弦AD 平分∠BAC ，∴CD=BD=，∴∠CBD=∠DAB ，在△ABD 和△BED 中，∴△ABD ∽△BED ，∴=，即=，解得DE=， ∴AE=AD ﹣DE=5﹣=2.8．故选：B点评： 此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD ∽△BED ．3、已知如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 于F 。
相似三角形”A“字模型(含详细答案)-经典.docx
教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时△ ABC与厶AB C ■相似，AH是厶ABC中BC边上的高线，AH ■是△ ABC ■中BC ■边上的高线，则有AB _ BC AB^BCAC AHk =AC AH（k为相似比）.进而可得S∆ ABCS∆ ABC1BC AH211BC AH2BC AH 2kBC AH、相似三角形的判定1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.2•如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.3•如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.4. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.5. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.6•直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底三、相似证明中的基本模型A字形图①A字型，DE//BC ;结论: AD _ AE _ DE AB 一AC 一BC，【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在∆ABC中，点D, E, F分别在边AB, AC, BC上，且DE// BC, DF// AC, 求证：∆ADEs∆ DBF.证明：①又∙∙∙DF//AC,②∙∙∙DE// BC,③∙∙∙∠ A= ∠ BDF,④∙∙∙∠ ADE=∠ B,A.③②④①B.②④①③C.③①④②D.②③④①【解答】证明：②I DE// BC,④∙∠ADE=∠ B,①又∙∙∙DF// AC,③∙∠A= ∠ BDF,•••△ ADE^∆DBF.故选：B.故选：A .【练1】如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90, BC=16cm, AC=12cm ,点P 从点B 出发，以2cm∕秒的速度向点 C 移 动，同时点Q 从点C 出发，以1cm∕秒的速度向点 A 移动，设运动时间为与厶ABC 相似.【解答】 解：CP 和CB 是对应边时，△ CPQ^△ CBA 所以，C e ICB CA即-■ -I --t1512解得t=4.8;CP 和CA 是对应边时，△ CPQ^△ CAB, 所以，丄二二，CA CBIMtt 12^16 解得t=-综上所述，当t=4.8或斤一时，△ CPQ 与厶CBA 相似. 故答案为4.8或〒二.AE AD DE 图②反A 字型，∠ ADE ∠ B 或∠仁∠B 结论：==AC AB BCt 秒，当t= 4.8或空秒时，△ CPQ---------- 11-【例2】如同，在△ ABC 中，点D , E 分别在边AB , AC 上，下列条件中不能判断厶 ABC^△ AED 的是（ ）AD AE AB =AC AD AC-'AB【解答】 解：τ∠ DAE=∠ CAB,•••当∠ AED=∠ B 或∠ ADE=∠ C 时，△ ABC ^△ AED; AD .AC'AE∙≠∙件二 ι∙WA . B.C.∠ ADE=∠ C D .∠ AED=∠ B时，△ ABC ^△ AED. 当—昱L 二一―即【例3】如图，P 是厶ABC 的边AB 上的一点.（不与A 、B 重合）当∠ ACP=∠ B 时，△ APC 与厶ABC 是否相 似；当 AC AP 、AB 满足 丄二丄 时，△ ACP 与厶ABC 相似.— AC AB-【解答】解：τ∠ A= ∠ A ,∠ ACP=∠ B ,故答案为：B ；寺二二【练习1】如图，D 、EABC 的边AC 、AB 上的点，当 ∠ ADE=∠ B 时，△ ADE ^△ ABC.其 中D 、E 分别对应B 、C.（填一个条件）. 【解答】解：当∠ ADE=∠ B ,∙∠ EAD=∠ CAB,• △ ADE ^△ ABC. 故答案为∠ ADE=∠ B .【练习2】如图，在△ ABC 中，D E 分别在AB 与AC 上，且AD=5, DB=7, AE=6, EC=4 求证：△ ADE ^△ ACB.【解答】证明：• AD=5, DB=7, AE=6, EC=4, • AB=5+7=12, AC=6+4=10,.AD = 5 _1 AE = 6 _1 • AC 10 T r AB 12 = 2， .AP =Ag• AC AB ， 又∙∠ A= ∠ A , • △ ADE ^△ ACB.【练习3】如图，AB=AC, ∠ A=36° , BD 是∠ ABC 的角平分线，求证：△ ABC^△ BCD. 【解答】证明：• AB=AC, ∠ A=36°, ∙∠ ABC=∠ C=72 , • BD 是角平分线，∙∠ ABD=∠ DBC=36 , ∙∠ A= ∠ CBD, 又∙∠ C=∠ C, • △ ABC^△ BCD.•丄二丄''[I∠ A= ∠ A ,【练习4】已知：如图，△ ABC 中，∠ ACD=∠ B ,求证：△ ABC^△ ACD. 【解答】 证明：τ∠ ACD=∠ B ,∠ A= ∠ A ,【例4】如图，在△ ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，∠ AED=∠ ABC,∠ BAC 的平分线 AF 交DE 于点G ,• △ ABC^△ AED.τ∠ AED=∠ ABC,∠ EAG=∠ BAF,• △ AEG^△ ABF.【练习5】如图，已知 AD?AC=AB?AE 求证：△ ADE^△ ABC. 【解答】证明：I AD?AC=AE?AB— =AEAB AC在厶ABC 与厶ADE 中 ■: 一.AEAB AC• △ ABC^△ ADE.【练习6】已知：如图，在厶ABC 中，D , E 分别为AB 、AC 边上的点，且AD 匚AE,连接DE.若AC=4, AB=5.求 证：△ ADE ^△ ACB【解答】证明：∙∙∙ AC=3, AB=5, ADjL 匕,5.AC _ AB厂-Λ,τ∠ A= ∠ A ,• △ ADE ^△ ACB.图③双A 字型交BC 于点F .(1)试写出图中所有的相似三角形，并说明理由.3'2BC的值. 【解答】 解：(1 )∙∙∙∠ AED=∠ ABC,∠ EAD=∠ BAC,,∠ A= ∠ A , R3(2)若,求小τ∠ EDG=∠ ACF, ∠ DAG=∠ CAF , •••△ ADG sA ACF.•••△ ADG sA ACF,」丄 .A.-. 3GF 5【练习1】如图，在△ ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 上的点，AE=4, AB=6, AD : AC=2: 3,A ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F .(1) 请你直接写出图中所有的相似三角形； (2) 求AG 与GF 的比.【解答】 解：(1 )△ ADG sA ACF △ AGE^A AFB,A ADE sA ACB;(2).• AE _4」2 AD _2(∙ TiTE =可，疋=可胚. -AE)AB '又 τ∠ DAE=∠ CAB,• △ ADE sA ACB,∙∠ ADG=∠ C ,∙∙∙ AF 为角平分线，∙∠ DAG=∠ FAE• △ ADG sA ACF,AG. 3GF 2(2)AG . Ar 2 ^^' AC 3 =2.AG GF图④内含正方形 A 字形，结论AH a=_^ ( a 为正方形边长) AH BC【例5】如图，△ ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm ,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH 使它的一边EF 在BC 上，顶点 G 、H 分别在 AC, AB 上，AD 与HG 的交点为 M .(2)的周长;(3)是否存在一个实数 a ,当HEFa 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在,请说明理由.【解答】(1)证明：•••四边形 HEFG 为矩形, ∙∙∙ HG // EF, 而 AD ⊥ BC,∙ AM 丄 BC, •••△ AHGsA ABC,AJfl HGAD - S BC(2)解：设 HE=X HG=2X,•这个矩形 EFGH 的周长=2x+4x=6x=72 (Cm );(3) 存在.AD BC(1)求证:30-x i 2x30 - _40,解得x=12,则30-a . .HG 30当HE=a,则• HG=- 430_ 2X 〔申 即当HEF Cm 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大.4• S 矩形 HEFG Fa (- a+30) F -a 2+30a ,当a=- 454时，S 矩形HEFG 最大, 试求出a ；若不存在,【练习1】如图，△ ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边BC 上的高，BC=80cm , AD=60cm ,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH 使它的一边 EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC, AB 上,AD 与HG 的交点为M .(2)求这个矩形 EFG H 的面积.∙∙∙ EF// GH, ∙∙∙∠ AHG=∠ ABC,又 τ∠ HAG=∠ BAC,AJI L L … ADBC(2)解：设 HE=XCm, MD=HE=xcm , ■/ AD=60cm ,• AM= (60 - x ) Cm , ∙∙∙ HG=2HE, • HG=2xcm,AD ~BC'解得，x=24, 故 HE=24, HG=2x=48, 则矩形 EFGH 的面积=24 × 12=1152cm 2.【例6】如图，在△ ABC 中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，且 求证：AD=EB【解答】证明：过D 点作DH / BC 交AB 于H,如图, ∙/ DH // BC, • △ AHD ^△ ABC,∙/ DH // BE ,M L .HG AD BC的理由;(1)试说明:&0-x. -2x60 ' SO可得【解答】(1)证明：I 四边形 EFG H 为矩形,AD DH AC CS B CAD ACBC,即GH5DED-2.-EF HD DP , AC EFBC ' -Il =■> DF ADHD DH,∙∙∙ AD=EB.【例7】如图，在△ ABC中，∠ BAC=90, BC的垂直平分线交BC于点E,交CA的延长线于D,交AB于点F,求证：AE=EF?ED【解答】解：τ∠BAC=90 ,∙∠B+∠ C=90, ∠ D+∠ C=90 ,∙∠B=∠ D,∙∙∙ BC的垂直平分线交BC于点E,∠ BAC=90 .• BE=EA∙∠B=∠ BAE∙∠D=∠ BAEτ∠FEA=∠AED,• △ FEA^△ AED,.恆=DE•EP =AE•AE=EF?ED旋转型”相似三角形，如图•若图中∠仁∠ 2,∠ B=∠ D（或∠ C=∠ £）,则厶ADE∞^ABC,该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的.【例8】如图，在厶ABC与厶ADE中，∠ BAC=∠ D,要使△ ABC与厶ADE相似，还需满足下列条件中的（）AC AB AD=AE AC BC AD==DE【解答】解：τ∠BAC=∠D, • △ ABC^△ ADE.AC ABAD=DEAC ABADAC BCAE ==AEA. B.C D.E故选：C.【练习1】如图所示，在厶ABC 与厶ADE 中，AB?ED=AE?BC 要使△ ABC 与厶ADE 相似，还需要添加一个条件, 这个条件是∠ B=∠ E （答案不唯一）（只加一个即可）并证明.【解答】解：条件①，∠ B=∠ E 证明：∙∙∙ AB?ED=AE?BCAEECAD•••△ ABC^△ AED.故答案为：∠ B=∠ E （答案不唯一）【练习 2】如图，已知：∠ BAC=∠ EAD, AB=20.4, AC=48, AE=17, AD=40. 求证：△ ABC^△ AED.【解答】证明：I AB=20.4, AC=48, AE=17, AD=40. • AB =20. 4 =1 2 AC 座=1 2• AE .,而 40 .， •塑座'二=「，∙∙∙∠ BAC=∠ EAD,• △ ABC^△ AED.【练习3】如图，在△ ABC 和厶ADE 中，已知∠ABC^△ ADE.【解答】 解：如图，τ∠ BAD=∠ CAE, ∙∠ BAD+ ∠ BAE=∠ CAE+ ∠ BAE , 即 ∠ DAE=∠ BAC. 又τ∠ B= ∠ D ,• AB - BCAE F.C∙∙∙∠ B= ∠ E ,• △ ABC^△ AED.条件②, AD==AEAC证明：•• • AB? ED=AE?BC• AB = BCAE EC-AE --- ,AC AB AB =BC = AC B= ∠ D ,∠ BAD=∠ CAE 求证：△C• △ABC^△ADE.【练习4】如图，△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠ PDE=90 .(1)若将△ DEP的顶点P放在BC上(如图1) , PD PE分别与AC、AB相交于点F、G.求证:(2)若使△ DEP的顶点P与顶点A重合(如图2), PD、PE与BC相交于点F、似吗？为什么？【解答】(1)证明：如图1,•••△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形,∙∙∙∠B=∠ C=∠ DPE=45 ,∙∙∙∠BPG+∠ CPF=135,在厶BPG 中，τ∠B=45,∙∠BPG+∠ BGP=135 ,∙∠BGP=∠ CPF,τ∠B=∠C,•••△ PBG∞^ FCP(2)解：△ PBG与厶FCP相似.理由如下：如图2, •••△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形,∙∠B=∠C=∠DPE=45 ,∙∙∙∠ BGP=∠C+∠CPG=45 + ∠CAG,∠CPF=Z FPGF ∠CAG=45 + ∠CAG,∙∠AGP=∠CPF,τ∠B=∠C,•••△ PBG∞^ FCP.课堂小结: △ PBG∞^ FCPG.试问△ PBG与厶FCP还相。
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相似三角形经典模型总结经典模型
【精选例题】
“平行型”
【例1】如图，EE1// FF1// MM1,若AE=EF=FM=MB ,
则S AEE I ： S
四边形EE I F l F : S四边形FF1 M1 M : S四边形MM I CB= ___________
翻折180°
翻折180°V
平行型
斜交型
斜交型
平行型
斜交型
双垂直双垂直
特殊
平移
翻折180°一般
平移旋转180°
一般
一般
特殊
特殊
1
C
【例 2】 如图，AD// EF MIN BC 若 AD =9 , BC =18 , AE :EM :M^ 2:3: 4,则
EF= _____ , MN= ______
长线，AB 的延长线分别相交于点 E , F , G , H
求证：
PE PH PF 一 PG
【例4】
已知：在 ABC 中，D 为AB 中点，
BF
求
的值
EF
AE
E
为
AC
上一点，且EC =2,
BE
、
CD
相交于点
A
F ,
D.
F
E
B
C
1
已知：在 ABC 中，AB=3AD 延长BC 到F ,使CF BC ,连接FD 交AC 于点E 3
【例3】 已知,
P 为平行四边形 ABCD 对角线，AC 上一点，过点
P 的直线与AD , BC , CD 的延
【例引 N C
求证：①DE=EF②AE =2CE
【例6】 已知：D ，E 为三角形 ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ,
BD: DE =AB: AC
求证：:CEF 为等腰三角形
【例 7】如图，已知 AB //EF //CD ,若 AB = a ， CD =b ， EF=C ,求证：2 =I
I
Cab
【例8】 如图，找出S A
BD 、S B ED
、S B CD
之间的关系，并证明你的结论
【例9】 如图，四边形ABCD 中，∙ B =∕D =90 ，M 是AC 上一点，ME _ AD 于点E ，
MF _ BC 于点F
求证：
MF ME
=1
AB CD
C
【例10】如图，在ABC中，D是AC边的中点，过D作直线EF交AB于E,交BC的延长线于F 求证：AEBF=BECF
【例11】如图，在线段AB上，取一点C ,以AC，CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角
形ADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q,
求证：CP =CQ
【例12】阅读并解答问题.
在给定的锐角三角形ABC中，求作一个正方形DEFG ,使D，E落在BC边上，F , G分别落在AC , AB边上，作法如下：
第一步：画一个有三个顶点落在ABC两边上的正方形D'E'F'G'如图，
第二步：连接BF'并延长交AC于点F
第三步：过F点作FE _ BC ,垂足为点E 第四步：过F点作FG // BC交AB于点G
第五步：过G点作GD _ BC ,垂足为点D
四边形DEFG即为所求作的正方形
问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG为正方形
⑵在ABC中，如果BC = 6 ∙、、3 , ABC =45 , ∙ BAC = 75 ,求上述正方形DEFG的边长
B D' E' D
“平行旋转型”图形梳理：
特殊情况：B、E'、F'共线
C , E', F'共线
【例13】已知梯形ABCD , AD // BC ,对角线AC、BD互相垂直，则
1.证明：AD2 BC2 = AB2 CD2
二AEF旋转到色AE ' F' 己AEF旋转到乙AE '
F'
IAEF 旋转到Λ.AE ' F' AAEF旋转到八AE ' F' LAEF旋转至U匕AE ' F' -A AEF旋转至U A AE ' F'
^AEF旋转至U匚AE ' F' ^AEF旋转至AE ' F'
2.当 AOD ,以点0为旋转中心，逆时针旋转 二度（0 ' 90 ）,问上面的结论是否成立，请说明理 由
“斜交型”
【例15】如图，∙ABC 中，D 在AB 上，且DE // BC 交AC 于E , F 在AD 上，且AD 2=AF AB , 求证：
AEFL ACD
【例16】如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 0 , ∙ BAC- CDB ,求证：∙ DAC- CBD
【例14】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形
AG : DF : CE= ____________ .
ABCD 和BEFG 均为正方形，求
G
F
B
E
D
C
D
B C
AB BC CA
【例17】如图，设-AB =-B C =CA ,则.仁.2吗?
AD DE EA
等于18和2，DE =2 ,求AC 边上的高
BD 1
【例19】如图，在等边 ABC 的边BC 上取点D ,使BD=丄，作CH -AD ，H 为垂足，连结BH 。
CD 2
求证： DBH "DAB
【例20】已知：在正三角形 ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD = CE ,直线CD 与AE 相
交于点F
求证：① DC =AE ,② AD 2 = DC DF
【例18】在锐角三角形ABC 中,
AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高,
ABC 和 BDE 的面积分别
E
“斜交特殊型”（隐含三垂直）
【例21】已知，如图， ABC 中，AD _ BC 于点D ，DE _ AC 于点E ，DF _ AB 于点F ,求证:
.AEF =/B
丄AP,垂足为 G 交CE 于D,求证：CE 2 =PE DE 。
【例22】已知：如图
,
CE 是直角三角形斜边 AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点
P 连结AP, BG
【例23】如图，E、G、F、H分别是矩形ABCD四条边上的点, 则EF : GH等于（)
A. 2:3
B.3: 2
C.4:9EF _ GH ,若AB=2 , BC=3,
D. 无法确定
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【例24】如图，已知：正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，且BM=BN，BP _ MC 于点P
求证：DP _ NP
【例25】如图，RMABC中，N BAC=90°, AB=AC = 2 ,点D在BC 上运动（不经过B, C）,过点D 作ADE =45 , DE 交AC 于E
①图中有无与ABD一定相似的三角形，若有，请指出来并加以证明
②设BD=X，AE = y ,求y与X的函数关系，并写出其定义域；
③若ADE恰为等腰三角形，求AE的长
D
11。