26.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2图像与性质
3、不画出图象，你能说明抛物线 y 3x 2
与 y 3(x 2)2 之间的关系吗?
4、已知函数y＝4x2，y＝4(x＋1)2和y＝4(x－1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、
同；函数y＝ 1 (x一2)2的图象可以看作是函数
y＝
1 2
2
x2的图象向右平移2个单位得到的，它
的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，0)。
1 2、1 你(x＋能2由)2的函图数象y与＝性2质x吗2的? 图象与性质，得到函数y＝
2
问题小结
一般地,由y=ax²的图象通过平移便 可得到二次函数y=a(x-h)²的图 象:y=a(x-h)²(a≠0) 的图象可以看成 y=ax²的图象沿x轴整体向左(右)平 移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当 h<0时,向左平移)。
探究二
探究二次函数y=a(x-h)² 的性质。
y=a(x-h)²
a>o
a<o
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线x=h （h，0）
向下
直线x=h （h，0）
增减性
当x>h时，y随x增大而增 大；当x<h时，y随x增大 而减小
当x>h时，y随x增大而 减小；当x<h时，y随x 增大而增大
最值
最小值0
当a<0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x 增大而增大。
⑤当a>0时，有最小值0；当a<0时，有最大值0.
华东版九年级数学下册第26章26.226.2.2第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
4. 在函数 y＝(x－3)2 中，当 x ＞3 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ＜3 时，函数值 y 随 x 的增大 而减小； 当 x＝ 3 时， 函数值 y 取最 小 值， 是 0 ．
1 2的开口向 5. 抛物线 y＝－3x－2 1 1 直线 x＝ ， 0 2 ，顶点坐标为 是 2
．
9. 若二次函数 y＝x2－mx＋1 的图象顶点在 x 轴上， 则 m 的值是( D ) A．2 C．0 B．－2 D．±2
10. 在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－ 3 (x－1)2 的图象大致是( D ) 2
11. 抛物线 y＝3(x－1)2 的图象上有三点 A(－1，y1)， B( 2，y2)，C(2，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系是( D ) A．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
16. 如图所示，二次函数 y1＝a(x－h)2 的图象与直线 y2＝kx＋b 交于 A(0，－1)，B(1，0)两点．
(1)确定二次函数与一次函数的解析式； (2)当 y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2 时，根据图象分别确定 自变量 x 的取值范围．
解：(1)y1＝－(x－1)2， y2＝x－1； (2)当 y1＜y2 时， x＜0 或 x＞1， 当 y1＝y2 时，x＝0 或 x＝1， 当 y1＞y2 时，0＜x＜1.
18. 如图，抛物线的顶点 M 在 x 轴上，抛物线与 y 轴交于点 N，且 OM＝ON＝4，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上．
(1)求抛物线的解析式； (2)设点 A 的横坐标为 t(t>4)， 矩形 ABCD 的周长为 l， 求 l 与 t 之间的函数关系式． 1 解：(1)y＝4(x－4)2；
26.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
y 1 (x 1)2 1
2
1个单位
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 x2 1 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
-10
2
河南淮阳羲城中学
怎样移动抛物线 y 1 x2就可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1？
向下
直线x=h （h,k）
当x＞h时，y随x 当x=h时， 的增大而减小；
y最大值=k x＜h时，y随x的 增大而增大.
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顶点式
y a x h2 k a 0
h 0, k 0 y ax2 h 0, k 0 y ax2 k
k 0, h 0 y a x h2
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
y = a(x - h )2
简记为：
上加下减常数项， 左加右减自变量。
上下平移
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y = ax2 左右平移
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平 移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2 形状相
3
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式. 中考链接：
抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2 .
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课堂小结
二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
26.2(4) 二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质
4米
3米
20
9
4米
8米
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为 多少时能将篮球投入篮圈?
6y
4
0,
20 9
2
（4，4）
（8，3）
8,
20 9
01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
x
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是(C)
A y=-2x2-2
B y=2x2-2
C y=-1/2(x+2)2-2 D y=-5(x-2)2-6
2.抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个
各种形式的二次函数的关系
|k| |h|
左 个右 单平 位移
y = a( x - h )2 + k
上 个下 单平 位移
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2 |h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下；
对称轴： 直线 x = h
顶点坐标：（h，k）
最值 当a>0时 x=h时，y有最小值k 当a<0时 x=h时，y有最大值k
各种形式的二次函数的关系
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
当点 B 与 O 重合时，－12m2＋4＝0， 解得 m＝2 2或 m＝－2 2， 当点 B 与点 D 重合时，如图②， 顶点 A 也与 B、D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)，∴－12m2＋4＝4，解得 m＝0.
当抛物线从图②的位置继续向左平移 时，如图③，点 B 不在线段 OD 上， ∴B 点在线段 OD 上时，m 的取值范 围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
(1)当m＝5时，求n的值；
解：当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4， 当 x＝1 时，n＝－12×42＋4＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
解：当 n＝2 时，将 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝－12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4， 解得 m＝3 或 m＝－1(舍去)， ∴此时抛物线的对称轴为 x＝3， 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴x 的取值范围为 1≤x≤5.
7 ∴tan ∠ABC＝OOCB＝37＝13.
12．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位 长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 y＝12(x ＋1)2－1 的图象．
(1)试确定 a、h、k 的值； 解：a＝12，h＝1，k＝－5.
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标．
【答案】①②④
10．【中考·舟山】二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当 m≤x≤n 且
mn<0 时，y 的最小值为 2m，最大值为 2n，则 m＋n 的
值为( )
A．52
2.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质wyc
复习引入
y=ax2
左加 右减
上加 下减
y=ax2+k
左加 右减
y=a(x－h)2
上加 下减
y=a(x－h)2+k
温故知新 二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称轴
顶点 增减性
最值
h>0
h<0
h>0
的增大而小
y (x 2)2 3
当x= - 1时， y最大值= - 2
练习
1.已知二次函数 y (x 2)2 3， 当x_____2______时，y随x的增大而减小。 2.抛物线 y 4(x 3)2 12 的对称轴是____x_____3___，顶点是___(_-3__，__1_2__)_______. 3.抛物线 y 2(x 5)2 4 的对称轴是___x______5___，当_______x_____5______时，
y 1 (x 1)2 2 2
向下
当x≤1时， y随x的
x=1
(1，2)
增大而增大； 当x＞ 1时， y随x
当x= 1时， y最大值=2
的增大而减小
y 1 (x 1)2 2 2
向下
y 2(x 5)2 4 y 4(x 3)2 12
x=-1
当x≤-1时， y随x的
(-1，-2)
增大而增大； 当x＞ - 1时， y随x
直线x=1 (1,2)
当x≤0时， y随x的增大而减小； 当x≤1时， y随x的增大而减小； 当x＞0时， y随x的增大而增大 当x＞1时， y随x的增大而增大
二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质__教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校二次函数y=a(x-h)2+k 的图像和性质执教者：付义成教学目标：1、 会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k 的图像，并通过图像认识函数的性质。
2、 能运用二次函数的知识解决简单的实际问题。
重点难点：1、 二次函数y=a(x-h)2+k 的性质2、 把实际问题转化为数学问题情境引入：1、 由前面的知识我们知道，函数y=12 x 2的图像，向下平移1个单位，可以得到函数y=12 x 2-1的图象；函数y=12 x 2的图像，向左平移1个单位，可以得到函数y= 12（x+1）2的图象，那么函数y=12 x 2的图象，如何平移，才能得到函数y= 12（x+1）2-1的图象呢？2、 引出课题：二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质及实际应用。
自主探究： 1、探究在同一坐标系中画出y=—12 x 2，y=—12 x 2-1，y=— 12（x+1）2-1的图象，指出它们的开口方向、对称轴、及顶点。
通过观察图象探究下列问题：1、 抛物线y=—12 x 2经过怎样的变换可以得到抛物线y=— 12（x+1）2-1？ 2、 对于抛物线y=— 12（x+1）2-1，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数值取得最 值，最 值y= 。
2. 观察归纳观察：（1）抛物线y=—12 x 2，y=—12 x 2-1，y=— 12（x+1）2-1的开口方向、对称轴以及顶点坐标，猜想抛物线y=a(x-h)2+k 的开口方向、对称轴以及顶点坐标。
（2）由y=— 12 （x+1）2-1与y=—12x 2的关系，推广到抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系。
归纳：（1）抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同，位置不同。
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
，y2的大小关系为________．
y1<y2
基础巩固练
2 6．抛物线y＝ x2向左平移3个单位所得的抛物线对应的函数表达式是( )
3
A
A．y＝23(x＋3)2 C．y＝23x2－3
B．y＝23(x－3)2 D．y＝23x2＋3
基础巩固练
7．抛物线y＝3x2向右平移2个单位后所得新抛物线的顶点坐标为( )
能力提升练
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC.
解：过点C作CD⊥x轴于D. 将C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2，得b＝－4，即C(－3，－4)， ∴S△ABC＝S梯形OBCD－S△ACD－S△AOB＝ ×3×(1＋4)－ ×4×2－ ×1×1＝3.
1
1
1
2
2
2
能力提升练
(2)画出平移后的图象； 解：如图．
能力提升练
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在新抛 物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐标．
能力提升练
解：如图，连结BC，作新抛物线的对称轴直线x＝3，与BC交于点P，此 时BP＋CP的值最小．由(1)可知，新抛物线对应的函数关系式为y＝(x－ 3)2，易知点C的坐标为(6，3)．
素养核心练
(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点C，D的坐标．
解：令y＝(x－1)2中的x＝0，则y＝1，∴D(0，1)． 易知直线OB对应的函数表达式为y＝x， 将y＝x代入y＝(x－1)2，得(x－1)2＝x，
解得 x1＝3－2 5，x2＝3＋2 5(不合题意，舍去)． ∴易得 C 点坐标为3－2 5，3－2 5.
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教案、教学设计、导学案、同步练习
《第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质》教案【教学目标】1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象．2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．【教学过程】一、情境导入对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．解析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴．解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x＝1.当x＝1时，y最小值＝－2.方法总结：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y 1)，(32，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是( )A．①②③ B．①③④C．①②④ D．②③④解析：∵－b2a＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y1)到对称轴x＝－1的距离小于点(32，y2)到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确．综上所述，选B.方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－b2a；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0.【类型三】利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式将抛物线y＝13x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A．y＝13(x－2)2－1 B．y＝13(x－2)2＋1C．y＝13(x＋2)2＋1 D．y＝13(x＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝13x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝13(x－2)2－1，故选A.探究点二：二次函数y＝a(x－h)2＋k的应用【类型一】y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB＝4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO ＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－110(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低．(2)当x＝10时，y＝－110(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59.(3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x －h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质《第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质》教案【教学目标】：1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
22.1 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计教学目标1. 理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式，通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3. 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单的实际问题．4. 了解二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系．会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．能够从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征．5. 让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程，发展概括及分析问题、解次问题的能力．教学重点1. 了解二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系．会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2. 从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征．教学难点1. 了解二次函数y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系．2. 理解图象的平移和变换的理解和确定．教学内容22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质（3）．教学目标1．经历二次函数图象平移的过程，理解函数图象平移的意义．2．了解二次函数y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系．会从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征．3．会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．教学重点从图象的平移变换的角度认识二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征．教学难点理解图象的平移和变换的理解和确定．教学过程一、导入新课1．函数y＝2x2＋1的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系?函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的．2．函数y＝2(x－1)2的图象与函数y＝2x2的．图象有什么关系?函数y＝2(x－1)2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的．二、新课教学1．函数y＝2(x－1)2＋1图象与函数y＝2(x－1)2图象有什么关系？函数y＝2(x－1)2＋1有哪些性质？填表：教师引导学生填写上表，认识这三个函数之间的关系，然后组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识．函数y ＝2(x －1)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝2(x －1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y ＝2x 2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的．当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小，当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＝1时，函数取得最小值，最小值y ＝1．2．归纳小结．一般地，抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定．抛物线y ＝a (x －h )2＋k 有如下特点：（1）当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下． （2）对称轴是x ＝h ． （3）顶点是（h ，k ）．从二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象可以看出：如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小．三、巩固练习例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长?解：如下图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立直角坐标系．点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是y ＝a (x －1)2＋3（0≤x ≤3）．由这段抛物线经过点(3，0)，可得0＝a (3－1)2＋3，解得a ＝－43． 因此y ＝－43(x －1)2＋3（0≤x ≤3）． 当x ＝0时，y ＝2.25，也就是说，水管应2.25m 长．三、巩固练习教材第37页练习．四、课堂小结1．y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k三类二次函数图象之间有什么关系．2．抛物线y＝a(x－h)2＋k有哪些特点．五、布置作业习题22.1 第5题．。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》课件
知识回顾 y＝ax2
图象
位置、开 口方向 对称性
顶点、 最值
增减性a>0yOx开口向上，在x轴上方.
a<0
y Ox
开口向下，在x轴下方.
a的绝对值越大，开口越小.
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0.
顶点坐标是（0，0）.
当x=0时，y最小值=0.
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
24
-2
-4
-6
y=−
12(x+1)
向左平移
2
1个单位长度
y=-12x2
向右平移 1个单位长度
y=-12(x-1) 2
二次函数 y=a(x±h)2(h>0) 的图象与 y=ax2 的图象的关系
y=ax2
向右平移 h 个单位长度时 向左平移 h 个单位长度时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律：左加右减
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
··· -4.5 -2
-1
2
0
-12 -2 -4.5 ···
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
-4.5 -2 ···
-12
0
-12
-2 -4.5 ···
在同一坐标系中画出函数 y=-12(x+1)2，y=-12(x-1) 2 的 图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
2.描点
3.连线
思考：y=2x2 +1， y=2x2 -1的图象与 y=2x2 的图象有什 么关系？
10 8 6 4 2
-4 -2 -2
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 华东师大版九年级数学下册课时练习(含答案)
26.2.2 第2课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质【基础练习】知识点 1 二次函数y =a (x -h )2的图象与y =ax 2的图象的关系1.将抛物线y=x 2向 平移 个单位得到抛物线y=(x+5)2;将抛物线y=x 2向 平移 个单位得到抛物线y=(x -5)2.2.要得到函数y=x 2的图象,只要把函数y=(x -3)2的图象 ( )A .向左平移3个单位B .向右平移3个单位C .向上平移3个单位D .向下平移3个单位3.顶点是(-2,0),开口方向、形状与抛物线y=12x 2相同的抛物线是 ( )A .y=12(x -2)2B .y=12(x+2)2C .y=-12(x -2)2D .y=-12(x+2)2知识点 2 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质4.二次函数y=13(x -3)2的图象开口 ,对称轴是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大;当x 时,y 随x 的增大而减小.当x= 时,y 有最 值,是 .5.下列抛物线中,对称轴是直线x=3的是 ( ) A .y=-3x 2-3B .y=3x 2-3C .y=-12(x+3)2 D .y=3(x -3)26.抛物线y=x 2-4x+4的顶点坐标为 ( ) A .(-4,4)B .(-2,0)C .(2,0)D .(-4,0) 7.比较抛物线y=x 2,y=2x 2-1,y=12(x -1)2的共同点,其中说法正确的是 ( )A .顶点都是原点B .对称轴都是y 轴C .开口方向都向上D .开口大小相同8.二次函数y=-(x -2)2的图象不经过第 象限.9.已知函数y=-(x -1)2的图象上的两点A (2,y 1),B (a ,y 2),其中a>2,则y 1与y 2的大小关系是 y 1 y 2.(填“<”“>”或“=”)10. 在平面直角坐标系中画出函数y=-12(x -3)2的图象. (1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)说明该函数图象与二次函数y=-12x 2的图象的关系; (3)根据图象说明,何时y 随x 的增大而减小.【提升训练】11.同一坐标系中,抛物线y=(x-a)2与直线y=a+ax的位置可能是()图1312.将抛物线y=a(x+2)2平移后与抛物线y=a(x-1)2重合,抛物线y=a(x+2)2上的点A(2,3)同时平移到点A'的位置,那么点A'的坐标为()A.(5,3)B.(-1,3)C.(2,0)D.(3,4)13.已知二次函数y=-(x-h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大;当x>-3时,y随x的增大而减小,则当x=0时,y的值为()A.-1B.-9C.1D.914.已知抛物线y=a(x-h)2的形状及开口方向与抛物线y=-2x2相同,且顶点坐标为(-2,0),则a+h=.15.二次函数y=a(x-h)2的图象如图14所示,若A(-2,y1),B(-4,y2)是该图象上的两点,则y1y2.(填“>”“<”或“=”)图14x2+3的顶点A和抛物线y=3(x-2)2的顶点B,求该直线的16.已知直线y=kx+b经过抛物线y=-12函数关系式.17.已知二次函数y=(x-3)2.(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值.(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧的抛物线上,且x1<x2,试比较y1与y2的大小关系.(3)抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2平移得到吗?如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.第2课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质1.左 5 右 52.A3.B4.向上 直线x=3 >3 <3 3 小 05.D6.C [解析] 因为y=x 2-4x+4=(x -2)2, 所以抛物线的顶点坐标为(2,0). 故选C .7.C [解析] 抛物线y=x 2的顶点为原点,对称轴是y 轴,开口向上;抛物线y=2x 2-1的顶点坐标为(0,-1),对称轴是y 轴,开口向上;抛物线y=12(x -1)2的顶点坐标为(1,0),对称轴是直线x=1,开口向上.综合判断开口方向都向上,故选C . 8.一、二9.> [解析] 因为二次项系数为-1,小于0,所以在对称轴直线x=1的左侧,y 随x 的增大而增大;在对称轴直线x=1的右侧,y 随x 的增大而减小.因为a>2>1,所以y 1>y 2.故答案为>. 10.解:图略.(1)该函数图象的开口向下,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0).(2)二次函数y=-12(x -3)2的图象是由二次函数y=-12x 2的图象向右平移3个单位得到的.(3)当x>3时,y 随x 的增大而减小. 11.D 12.A13.B [解析] 由题意知二次函数y=-(x -h )2的图象的对称轴为直线x=-3,故h=-3.把h=-3代入二次函数y=-(x -h )2可得y=-(x+3)2,当x=0时,y=-9.故选B . 14.-415.= [解析] 由图象可知抛物线的对称轴为直线x=-3,所以点A 和点B 关于对称轴对称,所以y 1=y 2.16.解:抛物线y=-12x 2+3的顶点A 的坐标为(0,3),抛物线y=3(x -2)2的顶点B 的坐标为(2,0). 因为直线y=kx+b 经过点A ,B , 所以{b =3,2k +b =0,解得{k =-32,b =3, 所以该直线的函数关系式为y=-32x+3.17.解:(1)因为a=1>0,所以该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0);当x=3时,y 最小值=0,没有最大值.(2)因为当x>3时,y 随x 的增大而增大, 又因为3<x 1<x 2,所以y 1<y 2.(3)可以.将抛物线y=(x -3)2向左平移10个单位可以得到抛物线y=(x+7)2.。
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
26.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)²
的图象与性质
1 课堂讲解 y=a（ x-h） 2 的图象与性质
二次函数y＝a(x-h)2与y＝ax2之间的关系
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
通过上节课的学习我们知道，抛物线y=ax2+c可 以通过沿y轴平移y=ax2得到，那么y=a(x-h)2型的抛物 线能否通过平移得到呢？
A．y1＜y2＜0
B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1
D．y2＜y1＜0
知3－讲
知识点 3 二次函数y=a(x-h)2+c与y=ax2之间的关系
知3－讲
例2 将抛物线y＝－x2向左平移2个单位后，得到的抛
物线对应的函数关系式是( A )
A．y＝－(x＋2)2
B．y＝－x2＋2
C．y＝－(x－2)21, 2来自所以应选D.总结
知1－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
知1－练
1 抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2 (中考·兰州)在下列二次函数中，其图象的对称轴为
直线x＝－2的是( )
D．y＝－x2－2
导引：本题依据“左加右减”解题，即抛物线向左平移几
个单位，x就加几，抛物线向右平移几个单位，x
就减几．
总结
知3－讲
y＝ax2的图象左右平移时，顶点的横坐标发生变 化．平移的方向决定加减，平移的距离决定加减的数 值．
知3－练
1 试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y =
27.2.4二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质___课件
例2.按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物 线的解析式； （2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点 坐标是（1，0）的抛物线解析式； （3）已知二次函数图像的顶点坐标（1，-8），且图像经过点（2， -2）。求此函数解析式；
9
例1：根据箭头叙述下列函数的平移关系
3 2 y ( x 1) 4
向上平移 3个单位 向右平移 4个单位 向下平移
向上平移
2个单位
3 2 y ( x 1) 2 4
向右平移 4个单位
3 2 y ( x 3) 3 4
5个单位
向左平移 8个单位
3 2 y ( x 5) 2 4
向左(右)平移 2 向上(下)平移y=a(x－h)2+k |h|个单位 y=a(x－h) |k|个单位 向上(下)平移 y=ax2+k 向左(右)平移 y=a(x－h)2+k |h|个单位 |k|个单位
思考：抛物线y=a(x－h)2+k开口、对称轴、顶点、极值有何特点？ (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k). (4)当x=h时,y极值=k;（a>0,有最小值；a<0有最大值）
5
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
向下
向上 向下
直线x=3
直线x=2
2.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
2.2 二次函数的图象与性质
第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
学习目标:
1．会用描点法画出二次函数的图像；
2．知道抛物线的对称轴与顶点坐标；
学习重点:
会画形如的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及
顶点坐标。
学习难点:
确定形如的二次函数的顶点坐标和对称轴。
学习方法:
探索研究法。
学习过程:
1、请你在同一直角坐标系内，画出函数的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．你能否在这个直角坐标系中，再画出函数
的图像？
2、你能否指出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：
抛物线开口方向对称轴顶点坐标
3、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
4、抛物线有什么关系？它们的位置有什么关系？
①抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
②抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
③抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
④抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
⑤抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：
1．a能决定什么？怎样决定的？
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？。
2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
教学要点
设计意图
1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；
2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。
问题
5：你能说出函数
y=－13(x－1)2＋2
的图象与函数
1 y=－3x2
的图象的关系，由此进一步说
出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
(函数
y＝－13(x－1)2＋2
的图象可以看成是将函数
1 y=－3x2
的图象向右平移一个单位再向上
平移 2 个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线 x=1，顶点坐标是(1，2) 四、课堂练习： P10 练习。
五、小结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 2．谈谈你的学习体会。
y=2(x－1)2＋1
的图象 1 个单位 1)2
1 个单位
的图象
开口方 向上
向
对称轴 y 轴
顶 点 (0，0)
问题 2：从上表中，你能分别找到函数 y=2(x－1)2＋1 与函数 y=2(x－1)2、y=2x2 图象的关系吗? 问题 3：你能发现函数 y=2(x－1)2＋1 有哪些性质?
对于问题 2 和问题 3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识； 函数 y＝2(x－1)2＋1 的图象可以看成是将函数 y=2(x－1)2 的图象向上平称 1 个单位得到的，也 可以看成是将函数 y=2x2 的图象向右平移 1 个单位再向上平移 1 个单位得到的。 当 x＜1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，当 x＞1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x=1 时，函数取得最小值，最小值 y=1。 三、做一做
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7．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿x轴向 2 个单位，得到图像的对称轴是直 右平移__ _ 线x=3. 8．把抛物线y=－3(x+2) 2，先沿x轴向右 平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位， 2-1 y=-3x 得到_____________的图像． 9．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x轴 向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2 (-3,-2) ． 个单位，得到图像的顶点坐标是______
y 3x 1 2
二次函数y=-3(x+1)2+2与 y=-3(x+1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x 2
x=1 开口向下, 当x=-1时y有 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值:且 (x=-1);增减性与y= -3x2类似. 最大值= 2 (或最大值= - 2).
最值 当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
1 2 y x 2 2 x=-2 2
y
(-2,2)
5 4 3 2 1
1 2 观察 y 2 x 1 2 y x 2 2 2 1 2 y x 2 3 2
的图像
1 2 y x 2
x
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 1 2 y x 2 3 –2 2 –3 (-2,-3) –4
先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
(2)y=(x+4)2－5
先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
12.与抛物线y=－4x 2形状相同，顶点为 （2，-3）的抛物线解析式 2-3或y= 4(x-2)2-3 y= 4(x-2) 为 ．
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
2
y 3x 1
2
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直 线(x=1);增减性与y=3x2类似.
开口向上,当 X=1时有最小 值:且最小值=2.
顶点是(1,2).
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中 作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
二次函数y=3(x-1)2-2的
y 2 x 2 1
Z.x.x. K
3.上下平移规律
y=ax2
当k>0时,向上平移k个单位 当k<0时,向下平移 k 个单位
y ax k
2
左右平移规律
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位 当h<0时,向左平移 h 个单位
y=a(x-h)2
4. 按规律平 移
y 2x 1
2
y 2x
2
y 2( x 1)
y
10 8 6 4
y = x2
?
-8 -6 -4 -2
2 0 -2 2 4 6 8 x
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
抛物线
开口方向
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
对称轴
顶点坐标
向上 直线x=h （ h ， k）
向下 直线x=h （h，k）
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.
图象与抛物线y=3x2和 y=3(x-1)2有何关系?它的 开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
顶点是(1,-2).
y 2 x 2
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=Байду номын сангаас);增减性与y=3x2类似. 开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.
2
2
y 2( x 1) 1
y 2( x 1) 2 1 的图像可以由 y 2 x 2 先向
再向 右 平移一个单位,或者先向 向 上 平移一个单位而得到.
右 上
平移一个单位,
平移一个单位再
向右或向左平移|h|个单位 （h＞0向右，h＜0向左）
y=a(x﹣h)2
向上或向下平移|k|个单位 （k＞0向上，k＜0向下）
y=ax2
向上或向下平移|k|个单位 （k＞0向上，k＜0向下）
y=a(x﹣h)2+k
向右或向左平移|h|个单位 （h＞0向右，h＜0向左）
y=ax2+k
1、用描点法画二次函数y=2(x-1)2+1的图象 解：列表
x
y
… -2 … 19
Zx.xk
-1 8
0
1
2 3
3 8
4 … 19 …
3 1
描点,连线
（2）根据图象回答： (0,0) x<0 或 x>2 当x 时，y>0; 当x x=0或2 时，y=0; 当x 0< x<2 时，y﹤0。
(2,0)
(1,-1)
在同一坐标系中作出二次函数 y=3x² ,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
我思考，我进步
?
二次函数y=3x² ,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们 的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是 什么?作图看一看．
增减性 最值
当x=-2时, 最小值为2
当x=2时, 最大值为-3
1．抛物线的上下平移 （1）把二次函数y=(x+1)2的图像， 沿y轴向上平移３个单位， y=(x+1)2+3 得到_____________ 的图像； 2+3 y=x （2）把二次函数_____________的图像， 沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2 的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x+1)2
二次函数y=-3(x+1)2+2与 2 y 3x 1 2 y=-3(x+1)2-2的图象和抛物 线y=-3x² ,y=-3(x+1)2有什 2 y 3x 1 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什么? 2
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x² ,y=3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．
我思考，我进步 在同一坐标系中作出二次函数
y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x² 和 y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和 y=-3x² ,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴 对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标 分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增 大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大 而减小?
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移３个单位， 2 y=(x+4) 得到_____________的图像； y=(x+2)2+1 的图像， （2）把二次函数_____________ 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 2-2 y=3(x+3) 得到_____________的图像； 2 y=-3(x+6) （2）把二次函数_____________的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
1 2 3 4 5
抛物线
开口 方向
1 2 y x 2 2 2
1 y ( x 2) 2 3 2
向上 直线x=-2 （-2，2）
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下 直线x=2
对称轴
顶点坐标
（2，-3）
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
2
1y 2x 3
5
2
向上 向下 向下 向上
直线x=3 直线x= –1 直线x=0 直线x=2
(3,–5) (–1,0)
2 y 0 . 5 x 1
2
3 2 3 y x 1 4
(0,–1)
(2, 5) (– 4,2) (3,0)
4 y 2 x 2 5 2 5y 0.5x 4 2
1.上下 平移
学科网
1 2 如何由 y 2 x 的图象得到 1 2 1 2 y x 3 的图象。 y x 3、 2 2
y
5 4（0,3） 1 2 y x 3 3 3 2 1 (0,0) x –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 （0,-3） 1 2 – 3 1 2 y x –4 y x 3 3 –5 3
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
一般地,由y=ax² 的图象便可得到二次函数y=a(x-
h)² +k的图象:y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看 成y=ax² 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单 位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿 对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上 平移;当k<0时,向下平移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)² +k的图象是一条抛物线, 它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值 有关.