2021年高考数学一轮复习 12-3 推理与证明、算法初步、复数课时作业 理(含解析)

2021年高考数学一轮复习 12-3 推理与证明、算法初步、复数课时作业理（含解析）一、填空题1．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，给出以下说法：①f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13；②f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋1 4；③f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13；④f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14.则上述说法正确的序号是________．答案④2．数列{a n}中，已知a1＝1，当n≥2时，a n－a n－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是________．解析计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜a n＝n2.答案a n＝n23．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1324(n>2)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边________(填序号)．①增加了一项：12k＋1；②增加了两项：12k＋1，12k＋1；③增加了两项：12k＋1，12k＋1，又减少了一项：1k＋1；④增加了一项：12k＋1，又减少了一项：1k＋1.解析当n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2.答案③4．在数列{a n}中，a1＝13，且S n＝n(2n－1)a n，通过求a2，a3，a4，猜想a n的表达式为________．解析当n＝2时，13＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝13×5.当n＝3时，13＋115＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝15×7.故猜想a n＝12n－12n＋1.答案a n＝12n－12n＋15．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n ＝k＋1时该命题也成立．给出以下说法：①n＝4时该命题成立；②n＝4时该命题不成立；③n≥5，n∈N*时该命题都成立；④可能n取某个大于5的整数时该命题不成立．现已知n＝5时该命题成立，那么上述说法正确的序号是________．解析显然①，②错误，由数学归纳法原理知③正确，④错．答案③6．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N*，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析当n＝k时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k－1<k；当n＝k＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1<k＋1.左边增加了2k项．答案2k7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开________(填“(k＋3)3、(k＋2)3、(k＋1)3、(k＋1)3＋(k＋2)3”中的其中一个)．解析假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．答案(k＋3)38．(xx·九江模拟)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，则其一般结论为________．解析因为f(22)>42，f(23)>52，f(24)>62，f(25)>72，所以当n≥2时，有f(2n)>n＋22.故填f(2n)>n＋22(n≥2，n∈N*)．答案f(2n)>n＋22(n≥2，n∈N*)二、解答题9．(xx·陕西卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．令g1(x)＝g(x)，g n＋1(x)＝g(g n(x))，n∈N＋，求g n(x)的表达式．解由题设得，g(x)＝x1＋x(x≥0)．由已知得，g1(x)＝x1＋x，g2(x)＝g(g1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，g3(x)＝x 1＋3x ，…，可得g n(x)＝x1＋nx.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝x1＋x，结论成立．②假设n＝k(k≥2且k∈N*)时结论成立，即g k(x)＝x1＋kx.那么，当n＝k ＋1时，g k＋1(x)＝g(g k(x))＝gkx1＋g k x＝x1＋kx1＋x1＋kx＝x1＋k＋1x，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．10．(xx·徐州模拟)已知数列{a n}的各项均为正整数，且a1＝1，a2＝4，a n＝a n－1an＋1＋1，n≥2，n∈N*(1)求a3，a4的值；(2)求证：对一切正整数n,2a n a n＋1＋1是完全平方数．(1)解由a2＝a1a3＋1得a3＝15，由a3＝a2a4＋1得a4＝56.(2)证明2a1a2＋1＝9＝(a2－a1)2，2a2a3＋1＝121＝(a3－a2)2，2a3a4＋1＝1 681＝(a4－a3)2，猜想：2a n a n＋1＋1＝(a n＋1－a n)2.下面用数学归纳法证明．①当n＝1,2时，已证；②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，2a k a k＋1＋1＝(a k＋1－a k)2成立，a2 k＋1－1＝a k a k＋2，即a k＋2＝a2k＋1－1ak，又由2a k a k＋1＋1＝(a k＋1－a k)2知，a2k＋1－1＝4a k a k＋1－a2k，所以a k＋2＝4a k a k＋1－a2kak＝4a k＋1－a k，所以a2k＋2＝4a k＋1a k＋2－a k a k＋2＝4a k＋1a k＋2－a2k＋1＋1，所以(a k＋2－a k＋1)2＝2a k＋1a k＋2＋1，即当n＝k＋1时，命题也成立．综上可得，对一切正整数n,2a n a n＋1＋1是完全平方数．能力提升题组(建议用时：25分钟)1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是________．解析∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．∴n的第一个取值应是3.答案32．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的序号是________．①若f(1)<1成立，则f(10)<100成立；②若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立；③若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立；④若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立．解析①，②的答案与题设中不等号方向不同，故①，②错；③中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；④符合题意．答案④3．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n>4时，f(n)＝________(用n表示)．解析f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3，f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4，f(6)＝f(5)＋5＝2＋3＋4＋5，猜想f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝n＋1n－22(n>4)．答案 5 12(n＋1)(n－2)4．(xx·镇江模拟)已知数列{a n}的首项a1＝1.(1)若a n＋a n＋1＝3×2n－1，试计算a2，a3，a4，a5的值，猜想数列{a n}的通项公式，并证明你的猜想；(2)若存在常数p ，r ，t (其中r ≠0)，使得a n ＋a n ＋1＝r ·2n －1与a n ＋1＝pa n －pt对任意正整数n 都成立，试求数列{a n }的通项公式． 解 (1)计算得a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，a 5＝16， 猜想数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． 用数学归纳法证明以上猜想： ①当n ＝1时，21－1＝1，又a 1＝1，∴n ＝1时，猜想正确．②设n ＝k 时，a k ＝2k －1(k ∈N *)， 则a k ＋1＝3×2k －1－a k ＝3×2k －1－2k －1＝2k . ∴n ＝k ＋1时，猜想正确． 由①和②知，以上猜想成立．(2)∵a n ＋1＝pa n －pt 对任意正整数n 都成立， ∴a n ＋2＝pa n ＋1－pt 对任意正整数n 也成立，两式相加得a n ＋1＋a n ＋2＝p (a n ＋a n ＋1)－2pt 对任意正整数n 都成立， 又a n ＋a n ＋1＝r ·2n －1，所以r ·2n ＝pr ·2n －1－2pt 对任意整数n 都成立， 即r ·2n －1(p －2)－2pt ＝0对任意正整数n 都成立，又r ≠0， 故⎩⎨⎧p －2＝0，t ＝0，即p ＝2，t ＝0，∴a n ＋1＝2a n 对任意正整数n 都成立，故数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，通项公式为a n＝2n－1(n∈N*).31004 791C 礜21628 547C 呼d35023 88CF 裏kX( 27432 6B28 欨25731 6483 撃27070 69BE 榾39126 98D6 飖33321 8229 舩{。