结构力学第九章

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6.按”对号入座”原则,将ki叠加到 k 中。
例形成图示刚架可动结点劲度矩阵,E,I ,A为常数。
解: 1.编号,如图(b) 2.确定单元杆端自由度序号。
3.计算 kmi 4.计算单元转换矩阵
5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵
6.根据单元杆端自由度序号叠加
二、可动结点劲度矩阵性质
1.对称方阵
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力 支座反力由下式
计算,得
9.内力图
例2 求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆 I 0.005m4
A0.05m2,E2106kNmA2B杆、CD杆杆

解: (一)结点集中荷载
(二)单元荷载
1.求局部坐标单元固端力
2.转换到整体坐标 3.叠加
返回
§9—5 单元杆端内力和支座反力
一、单元杆端内力
1.计算公式
2.求解步骤 (1)形成单元局部坐标系下的单元劲度矩阵kmi (2)形成转换矩阵Ti (3)形成杆端位移列阵 i (4)形成固端力列阵FLi
思考:考虑空间杆件单元。
二 单元局部坐标系的劲度矩阵
1.平面铰接单元 单元结点位移 单元杆端力
为表示方便,平面铰接单元常采用下述方法:
2.平面固接单元
单元结点位移
单元杆端力
单元劲度矩阵
三、单元转换矩阵
单元分析
一般在局部坐标系中进行
整体分析(如:力的平衡) 一般在整体坐标系中讨论
两种坐标系中杆端力,位移分量之间的关系——转换矩阵
(5)计算单元最后杆端力,
先计算
在计算
或用
计算。
二、支座反力
求解步骤:
1,将Fmi 转换至整体坐标系中; 2.根据单元自由度序号列阵将杆端力Fi叠 加至支座反力列阵中。
返回
§9—6 例题
例1 设EA=常数,试用矩阵位移法分析图示的平面桁架。 解:1.建立坐标系与编号
2.可动结点的位移列阵为
3.可动结点的平衡方程为 K F
2、kmi ki 为奇异矩阵
不存在,即已知 可求出 ,反之,已知 无法求出对应的 。
物理意义: 已知结点力列阵
单元相对位移
限制刚体位移 单元绝对位移。
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤: 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号: 2.确定单元杆端自由度序号(考虑约束条件); 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
反力互等定理
2.非奇异矩阵 考虑了约束条件,排除了刚体位移
3.稀疏带状矩阵 只有临近结点之间才有相互影响
返回
§9—4 可动结点等效荷载列阵
一、直接作用在结点上的荷载
将结点集中荷载按自由度方向分解,将各荷载分量直接叠加到可 动结点荷载列阵中
二、作用在单元上的荷载
步骤: 1.求单元固端力; 2.转换至整体坐标系中; 3.按照单元杆端自由度序号叠加到可动结点等效荷载列阵中
结点平衡
结点B:
结点C
2.将上述过程用矩阵表示: (1) 荷载引起的单元固端力: 单元1
单元2
单元3
FLi:单元固端力列阵。
(2)结点平衡: 结点B:
结点C:
结论:作用在单元上的荷载引起的等效荷载:由相交于结点的各单元 固端力列阵相应元素反号叠加求得。
五来自百度文库解方程:
六、单元杆端力的计算:
位移法法中有叠加公式: 对杆端力写成矩阵形式:
4.求 K
(1)计算机各单元的方向余弦和杆长:
(2)求 kmi
(3)求ki
单元(1):Cx=0 Cy=1
杆长:l 同理:
(4)求 按照“对号入座“原则,由ki形成k哪
例如: 同理:
5.求: 对于桁架,一般只有结点荷
载,于是
得 6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力
例 设 EI=常数,EA=常数, EI=20EA,试用矩阵位移法分析
整体坐标系中: 局部坐标系中:
写成矩阵形式: 其中:
称为平面固接单元的转换矩阵。 同理:
思考: 给出平面梁单元,平面铰单元的转换矩阵
四、单元在整体坐标系中的劲度矩阵
——整体坐标系 ——局部坐标系 从局部坐标系出发,两边前乘
五、单元劲度矩阵的性质
1、kmi ki 为对称矩阵
反力互等定理: k支座发生单位位移时在m支座内引起的反力,等于m支座发 生单位位移时在k支座内引起的反例。
二、数字编号
1.结点编号 2.单元编号 3.结点位移编号
三、结点位移列阵
四、可动结点平衡矩阵方程
位移法典型方程 写成矩阵形式 可动结点平衡方程:
可动结点劲度矩阵 可动结点等效荷载列阵
(一) K 的建立
1.回顾位移法中计算Kij的过程 作单位弯矩图:
M 1 中结点B:
结点C:
M 2 中结点B: 结点C
图示的平面刚架。 解: 1.建立坐标系与编号 2.可动结点的位移列阵为
3.可动结点平衡方程
4,求
(1)计算个单元的方向余弦和杆长: (2)求 kmi
(3)求ki
(4)求
(5)求: (1)直接作用在结点上的荷载为
(2)作用在单元上的荷载
把FL沿整体坐标系方向分解,得
从而得
6.求结点位移
Fmi ——局部坐标系中单元杆端内力列阵。 mi ——局部坐标系中单元杆端位移列阵。
由杆端内力画弯矩图、剪力图:
七、支座反力的计算:
由内力图:考虑支座结点平衡: 结点A: 结点B: 结点C: 结点D:
返回
§9—2 单元劲度矩阵
一、杆件单元的空间位置
平面杆件单元i,整体坐标系oxyz,局部坐标系o'xmymzm
第九章 矩阵位移法
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁:
位移法求解基本系:
1.整体坐标系 x—y—z 2.结点位移、结点力等量值沿 坐标轴正向为正,反之为负。
2.将上述过程用矩阵表示
(1)局部坐标系;
单元杆端位移、杆端内力等量 值以局部坐标系正向为正,反之 为负。
(2) 单元杆端可能的杆端位移和杆端力;
(3)单元位移引起的杆端内力;
(5) 结点平衡:
可动结点劲度矩阵由相交于结点的各单元劲 度矩阵相应元素叠加求得。
(二) F 的建立:
1.回顾位移法中求解FR1P 的过程: 作荷载弯矩图:
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