结构力学第九章
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6.按”对号入座”原则，将ki叠加到 k 中。
例形成图示刚架可动结点劲度矩阵，E,I ,A为常数。
解： 1.编号，如图（b) 2.确定单元杆端自由度序号。
3.计算 kmi 4.计算单元转换矩阵
5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵
6.根据单元杆端自由度序号叠加
二、可动结点劲度矩阵性质
1.对称方阵
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力 支座反力由下式
计算，得
9.内力图
例2 求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆 I 0.005m4
A0.05m2，E2106kNmA2B杆、CD杆杆
例
解： （一）结点集中荷载
（二）单元荷载
1.求局部坐标单元固端力
2.转换到整体坐标 3.叠加
返回
§9—5 单元杆端内力和支座反力
一、单元杆端内力
1.计算公式
2.求解步骤 （1）形成单元局部坐标系下的单元劲度矩阵kmi （2）形成转换矩阵Ti （3）形成杆端位移列阵 i （4）形成固端力列阵FLi
思考：考虑空间杆件单元。
二 单元局部坐标系的劲度矩阵
1.平面铰接单元 单元结点位移 单元杆端力
为表示方便，平面铰接单元常采用下述方法：
2.平面固接单元
单元结点位移
单元杆端力
单元劲度矩阵
三、单元转换矩阵
单元分析
一般在局部坐标系中进行
整体分析（如：力的平衡） 一般在整体坐标系中讨论
两种坐标系中杆端力，位移分量之间的关系——转换矩阵
（5）计算单元最后杆端力，
先计算
在计算
或用
计算。
二、支座反力
求解步骤：
1，将Fmi 转换至整体坐标系中； 2.根据单元自由度序号列阵将杆端力Fi叠 加至支座反力列阵中。
返回
§9—6 例题
例1 设EA=常数，试用矩阵位移法分析图示的平面桁架。 解：1.建立坐标系与编号
2.可动结点的位移列阵为
3.可动结点的平衡方程为 K F
2、kmi ki 为奇异矩阵
不存在，即已知 可求出 ，反之，已知 无法求出对应的 。
物理意义： 已知结点力列阵
单元相对位移
限制刚体位移 单元绝对位移。
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
反力互等定理
2.非奇异矩阵 考虑了约束条件，排除了刚体位移
3.稀疏带状矩阵 只有临近结点之间才有相互影响
返回
§9—4 可动结点等效荷载列阵
一、直接作用在结点上的荷载
将结点集中荷载按自由度方向分解，将各荷载分量直接叠加到可 动结点荷载列阵中
二、作用在单元上的荷载
步骤： 1.求单元固端力； 2.转换至整体坐标系中； 3.按照单元杆端自由度序号叠加到可动结点等效荷载列阵中
结点平衡
结点B：
结点C
2.将上述过程用矩阵表示： （1） 荷载引起的单元固端力： 单元1
单元2
单元3
FLi：单元固端力列阵。
(2)结点平衡： 结点B：
结点C：
结论：作用在单元上的荷载引起的等效荷载：由相交于结点的各单元 固端力列阵相应元素反号叠加求得。
五来自百度文库解方程：
六、单元杆端力的计算：
位移法法中有叠加公式： 对杆端力写成矩阵形式：
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
5.求： 对于桁架，一般只有结点荷
载，于是
得 6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力
例 设 EI=常数，EA=常数， EI=20EA，试用矩阵位移法分析
整体坐标系中： 局部坐标系中：
写成矩阵形式： 其中：
称为平面固接单元的转换矩阵。 同理：
思考： 给出平面梁单元，平面铰单元的转换矩阵
四、单元在整体坐标系中的劲度矩阵
——整体坐标系 ——局部坐标系 从局部坐标系出发，两边前乘
五、单元劲度矩阵的性质
1、kmi ki 为对称矩阵
反力互等定理: k支座发生单位位移时在m支座内引起的反力，等于m支座发 生单位位移时在k支座内引起的反例。
二、数字编号
1.结点编号 2.单元编号 3.结点位移编号
三、结点位移列阵
四、可动结点平衡矩阵方程
位移法典型方程 写成矩阵形式 可动结点平衡方程：
可动结点劲度矩阵 可动结点等效荷载列阵
（一） K 的建立
1.回顾位移法中计算Kij的过程 作单位弯矩图：
M 1 中结点B:
结点C:
M 2 中结点B： 结点C
图示的平面刚架。 解： 1.建立坐标系与编号 2.可动结点的位移列阵为
3.可动结点平衡方程
4，求
（1）计算个单元的方向余弦和杆长： （2）求 kmi
（3）求ki
(4)求
(5)求： （1）直接作用在结点上的荷载为
(2)作用在单元上的荷载
把FL沿整体坐标系方向分解，得
从而得
6.求结点位移
Fmi ——局部坐标系中单元杆端内力列阵。 mi ——局部坐标系中单元杆端位移列阵。
由杆端内力画弯矩图、剪力图：
七、支座反力的计算：
由内力图：考虑支座结点平衡： 结点A： 结点B： 结点C： 结点D：
返回
§9—2 单元劲度矩阵
一、杆件单元的空间位置
平面杆件单元i,整体坐标系oxyz,局部坐标系o'xmymzm
第九章 矩阵位移法
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
位移法求解基本系：
1.整体坐标系 x—y—z 2.结点位移、结点力等量值沿 坐标轴正向为正，反之为负。
2.将上述过程用矩阵表示
（1）局部坐标系；
单元杆端位移、杆端内力等量 值以局部坐标系正向为正，反之 为负。
（2） 单元杆端可能的杆端位移和杆端力；
（3）单元位移引起的杆端内力；
（5） 结点平衡：
可动结点劲度矩阵由相交于结点的各单元劲 度矩阵相应元素叠加求得。
（二） F 的建立：
1.回顾位移法中求解FR1P 的过程： 作荷载弯矩图：
例形成图示刚架可动结点劲度矩阵，E,I ,A为常数。
解： 1.编号，如图（b) 2.确定单元杆端自由度序号。
3.计算 kmi 4.计算单元转换矩阵
5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵
6.根据单元杆端自由度序号叠加
二、可动结点劲度矩阵性质
1.对称方阵
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力 支座反力由下式
计算，得
9.内力图
例2 求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆 I 0.005m4
A0.05m2，E2106kNmA2B杆、CD杆杆
例
解： （一）结点集中荷载
（二）单元荷载
1.求局部坐标单元固端力
2.转换到整体坐标 3.叠加
返回
§9—5 单元杆端内力和支座反力
一、单元杆端内力
1.计算公式
2.求解步骤 （1）形成单元局部坐标系下的单元劲度矩阵kmi （2）形成转换矩阵Ti （3）形成杆端位移列阵 i （4）形成固端力列阵FLi
思考：考虑空间杆件单元。
二 单元局部坐标系的劲度矩阵
1.平面铰接单元 单元结点位移 单元杆端力
为表示方便，平面铰接单元常采用下述方法：
2.平面固接单元
单元结点位移
单元杆端力
单元劲度矩阵
三、单元转换矩阵
单元分析
一般在局部坐标系中进行
整体分析（如：力的平衡） 一般在整体坐标系中讨论
两种坐标系中杆端力，位移分量之间的关系——转换矩阵
（5）计算单元最后杆端力，
先计算
在计算
或用
计算。
二、支座反力
求解步骤：
1，将Fmi 转换至整体坐标系中； 2.根据单元自由度序号列阵将杆端力Fi叠 加至支座反力列阵中。
返回
§9—6 例题
例1 设EA=常数，试用矩阵位移法分析图示的平面桁架。 解：1.建立坐标系与编号
2.可动结点的位移列阵为
3.可动结点的平衡方程为 K F
2、kmi ki 为奇异矩阵
不存在，即已知 可求出 ，反之，已知 无法求出对应的 。
物理意义： 已知结点力列阵
单元相对位移
限制刚体位移 单元绝对位移。
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
反力互等定理
2.非奇异矩阵 考虑了约束条件，排除了刚体位移
3.稀疏带状矩阵 只有临近结点之间才有相互影响
返回
§9—4 可动结点等效荷载列阵
一、直接作用在结点上的荷载
将结点集中荷载按自由度方向分解，将各荷载分量直接叠加到可 动结点荷载列阵中
二、作用在单元上的荷载
步骤： 1.求单元固端力； 2.转换至整体坐标系中； 3.按照单元杆端自由度序号叠加到可动结点等效荷载列阵中
结点平衡
结点B：
结点C
2.将上述过程用矩阵表示： （1） 荷载引起的单元固端力： 单元1
单元2
单元3
FLi：单元固端力列阵。
(2)结点平衡： 结点B：
结点C：
结论：作用在单元上的荷载引起的等效荷载：由相交于结点的各单元 固端力列阵相应元素反号叠加求得。
五来自百度文库解方程：
六、单元杆端力的计算：
位移法法中有叠加公式： 对杆端力写成矩阵形式：
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
5.求： 对于桁架，一般只有结点荷
载，于是
得 6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力
例 设 EI=常数，EA=常数， EI=20EA，试用矩阵位移法分析
整体坐标系中： 局部坐标系中：
写成矩阵形式： 其中：
称为平面固接单元的转换矩阵。 同理：
思考： 给出平面梁单元，平面铰单元的转换矩阵
四、单元在整体坐标系中的劲度矩阵
——整体坐标系 ——局部坐标系 从局部坐标系出发，两边前乘
五、单元劲度矩阵的性质
1、kmi ki 为对称矩阵
反力互等定理: k支座发生单位位移时在m支座内引起的反力，等于m支座发 生单位位移时在k支座内引起的反例。
二、数字编号
1.结点编号 2.单元编号 3.结点位移编号
三、结点位移列阵
四、可动结点平衡矩阵方程
位移法典型方程 写成矩阵形式 可动结点平衡方程：
可动结点劲度矩阵 可动结点等效荷载列阵
（一） K 的建立
1.回顾位移法中计算Kij的过程 作单位弯矩图：
M 1 中结点B:
结点C:
M 2 中结点B： 结点C
图示的平面刚架。 解： 1.建立坐标系与编号 2.可动结点的位移列阵为
3.可动结点平衡方程
4，求
（1）计算个单元的方向余弦和杆长： （2）求 kmi
（3）求ki
(4)求
(5)求： （1）直接作用在结点上的荷载为
(2)作用在单元上的荷载
把FL沿整体坐标系方向分解，得
从而得
6.求结点位移
Fmi ——局部坐标系中单元杆端内力列阵。 mi ——局部坐标系中单元杆端位移列阵。
由杆端内力画弯矩图、剪力图：
七、支座反力的计算：
由内力图：考虑支座结点平衡： 结点A： 结点B： 结点C： 结点D：
返回
§9—2 单元劲度矩阵
一、杆件单元的空间位置
平面杆件单元i,整体坐标系oxyz,局部坐标系o'xmymzm
第九章 矩阵位移法
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
位移法求解基本系：
1.整体坐标系 x—y—z 2.结点位移、结点力等量值沿 坐标轴正向为正，反之为负。
2.将上述过程用矩阵表示
（1）局部坐标系；
单元杆端位移、杆端内力等量 值以局部坐标系正向为正，反之 为负。
（2） 单元杆端可能的杆端位移和杆端力；
（3）单元位移引起的杆端内力；
（5） 结点平衡：
可动结点劲度矩阵由相交于结点的各单元劲 度矩阵相应元素叠加求得。
（二） F 的建立：
1.回顾位移法中求解FR1P 的过程： 作荷载弯矩图：