结构力学第九章
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结构力学-力矩分配法
MB=150－90=60
2）去掉约束，相当于
m －150 A－15
M－1－50175
200kN150M－B 90 20kN/m
MB
－3B0 151020
－30↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ －－12900
C
在结点加上负的不平衡
力矩，并将它分给各个 175
杆端及传递到远端。
mBA 300
mBC 120 －MB=－6090
注意：
• ①结点集中力偶m顺时针为正，产生正的分配弯矩。 • ②分配系数 μ1j 表示1j杆1端承担结点外力偶的比率，它
等于该杆1端的转动刚度S1j与交与结点1的各杆转动刚度 之和的比值，即：μ1j＝S1j/ΣS1j ，且Σ μ1j＝1 （3）
• ③只有分配弯矩才能向远端传递。
• ④分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩 是杆端转动时产生的远端弯矩。
• 用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，只要 逐次放松每一个结点，应用单结点的基本运算，就可逐 步渐近求出杆端弯。以图1所示连续梁为例加以说明。
转动刚度
在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）
远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。
下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB
MAB
MAB
θ MAB
1
√ ① ②
1
MAB
1
③④
1
Δ
转动刚度SAB=4i是（ ）
A
i
B
A
i
√ √ B ①
③
A
i
B
④
A
i
4i>SAB>3i
√B ②
A
i⑤ B
i
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结构力学第九章 薄壁杆件扭转
上式写成通用形式为：
绕第i室的 周线积分
ds ds qi qk 2GA2 t k i k t i
沿第i与第k 室的公共 壁积分 （9-13）
式中，i=1,2,3,…,n；
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
令
qi qi G
（9-14）
qi 第i室的扭转常数,式（9-13）可写为：
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工 程和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船 舶结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船 体梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转 开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截 面所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计 算公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计 算公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
求扭转惯性矩及 剪流
300
Байду номын сангаас400
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
作业2、3、5
考试
考试题型： （1）选择填空 （2）判断题（不要解释理由，只要判断对错） 以上两项共54分，可能会增加题量，减小每题的分值 （3）计算题（基本运算）46分 计算题比作业题目简单，运算量小 重点在后面章节，与材料力学重复率低的章节 试验报告＋作业＝平时分 考试时计算题先把关键公式写下
M s 2 Ai qi
i 1
n
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。 仅由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还 必须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。 刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此， 各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率φ’。对于 图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)，例如 对于第2室，有
结构力学 第9章 渐近法
代数和。
19
4、在力矩分配法中反复进行力矩分配及传 递，结点不平衡力矩愈来愈小，主要是因为 分配系数及传递系数<1。
2/3 5.图示结构µ =_______。EI=常数。 CB
µ =4i1/(4i1+3i2)=2/3 CB
i1=EI/4
i2=EI/6
20
6.图示结构用力矩分配法计算时分配系数:
AB 1 / 2 AD 1 / 8
1.几个概念 （1）转动刚度：AB杆当A端产生单位转动时所需施加 的杆端力矩，称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。
——杆端抵抗转动的能力，大小只与远端的支撑条件有关。 4种杆件的转动刚度分别为：
S AB 4i i A B 0 S AB 3i B A i
S AB 3i A i B
S AB i A i B
0.571 0.429 +150 +600 -450 +75 +225 -225 -129 -96 +16 -9 -7 +1 -1 0
0 0 0
最后弯矩M -208 == 10
21
+484 -484
+553 -553
15
0
12= 23=
例9—3用力矩分配法计算图示连续梁。
1.5kN/m
A
结点1分配传递 +75 结点2分配传递 结点1分配传递 +16 结点2分配传递 结点1分配传递 +1 结点2分配传递
25kN/m 400kN 25kN/m
1
EI 12m EI 6m 6m
2
EI
12m
3
0.5 0.5 -300 +300 -600 +150 +150 -64 +32 +32 -5 +2 +3
19
4、在力矩分配法中反复进行力矩分配及传 递，结点不平衡力矩愈来愈小，主要是因为 分配系数及传递系数<1。
2/3 5.图示结构µ =_______。EI=常数。 CB
µ =4i1/(4i1+3i2)=2/3 CB
i1=EI/4
i2=EI/6
20
6.图示结构用力矩分配法计算时分配系数:
AB 1 / 2 AD 1 / 8
1.几个概念 （1）转动刚度：AB杆当A端产生单位转动时所需施加 的杆端力矩，称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。
——杆端抵抗转动的能力，大小只与远端的支撑条件有关。 4种杆件的转动刚度分别为：
S AB 4i i A B 0 S AB 3i B A i
S AB 3i A i B
S AB i A i B
0.571 0.429 +150 +600 -450 +75 +225 -225 -129 -96 +16 -9 -7 +1 -1 0
0 0 0
最后弯矩M -208 == 10
21
+484 -484
+553 -553
15
0
12= 23=
例9—3用力矩分配法计算图示连续梁。
1.5kN/m
A
结点1分配传递 +75 结点2分配传递 结点1分配传递 +16 结点2分配传递 结点1分配传递 +1 结点2分配传递
25kN/m 400kN 25kN/m
1
EI 12m EI 6m 6m
2
EI
12m
3
0.5 0.5 -300 +300 -600 +150 +150 -64 +32 +32 -5 +2 +3
结构力学课后解答：第9章__超静定结构的实用计算方法与概念分析
习 题9-2解：设EI=6，则5.1,1==BC AB i i 53.05.13145.1347.05.131414=⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯=BC BA μμ结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩-67.0545.9-45.9()()()逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ(b)解：设EI=9，则3,31,1====BE BD BC AB i i i i12.0141333331316.0141333331436.01413333333=⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==⨯+⨯+⨯+⨯⨯==BC BA BE BD μμμμ结点 A BC杆端 AB BA BC BD BE 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.216.20 最后弯矩 3.6 7.25.461.2 -73.8()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=θ9-3 (a) 解：Ｂ为角位移节点设EI=8,则1==BC AB i i ，5.0==BC BA μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M BA ⋅=⨯⨯⨯⨯=+=4882124432222 m KN l M BC ⋅-=⋅+-=582621892 结点力偶直接分配时不变号结点 A BC 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 0 48 -58 12 分配传递0 50 50 5 5 12 最后弯矩103-312(b) 解：存在B 、C 角位移结点设EI=6，则1===CD BC AB i i i73741413145.0141414==⨯+⨯⨯==⨯+⨯⨯==BC CB BC BA μμμμ固端弯矩：mKN M M M m KN M m KN M CDCB BC BA AB ⋅-=⨯+⨯-===⋅-=⋅-=14021808640080802结点 A BC杆端 AB BA BC CB CD 分配系数 固结 0.5 0.5 4/7 3/7 固端弯矩-80 80 0 0 -140 分配传递-20 -40 -40 -2047.5 91.4 68.6 -11.4 -22.8 -22.8 -11.4 3.25 6.5 4.9 -0.82-1.63-1.63-0.820.6 0.45 最后弯矩-112.2215.57-15.4866.28-66.05(c) 解：B 、C 为角位移结点51411,5441454414,51411=+==+==+==+=CD CBBC BA μμμμ固端弯矩：mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M mKN M DC CD CB BC BA AB ⋅-=⨯-=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅-=⨯-=⋅=⨯=⋅=⨯=10065242003524501252450125241283424646424222222结点 A BCD 杆端 AB BA BC CB CD 滑动 分配系数 滑动 0.2 0.8 0.8 0.2 -100固端弯矩64 128 -50 50 -200 分配传递15.6 -15.6 -62.4 -31.272.48 144.96 36.24 -36.24 14.5 -14.5 -58 -29 11.6 23.2 5.8 -5.8 2.32-2.32-9.28-4.643.7 0.93 -0.93 最后弯矩96.4295.58-95.6157.02-157.03-142.9796.42(d) 解：11313141413114131414145.0141414=⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯+⨯⨯===⨯+⨯⨯=DBDE DCCD CA μμμμμ 固端弯矩：mKN M mKN M ED DE ⋅=⋅-=⨯-=383812422 结点 A CD E 杆端 AC CA CD DC DB DE ED 分配系数 固结 0.5 0.5 4/11 3/11 4/11 固结 固端弯矩0 0 0 0 0 -2.67 2.67 分配传递-5 -10 -10 -546/33 92/33 69/33 92/33 46/33 -0.35 - 23/33- 23/33-0.35 0.127 0.096 0.127 0.064 最后弯矩-5.35-10.7-9.3-2.442.190.254.12(e) 解：当D 发生单位转角时：()()2414-=⨯⨯=m EI K Y C 则()）假设12(441==⨯=-m EI EIM DC73,74,3716,379,371216,12,16,9,12=====∴=====∴EB ED DE DA DC DE EB DE DA DC S S S S S μμμμμ 结点D EB 杆端 DC DA DE ED EB BE 分配系数 12/37 9/37 16/37 4/7 3/7 固结 固端弯矩0 0 -9 9 0 0 分配传递-2.57 -5.14 -3.86 -1.93 3.75 2.81 5 -2.5 -0.72 -1.43 -1.07 -0.54 0.230.18 0.31 0.16 最后弯矩3.982.99-6.985-5-2.47(f) 解：截取对称结构为研究对象。
结构力学PPT 第9章
结构力学
<I>
临沂大学建筑学院 结构力学学科组
第九章
§9.1 位移计算概述
静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误 差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线 位移、竖向线位移以及角位移。 Bx 1. 截面位移
P
P
B
C
c
cx
B
By
cy
A C
A
刚架受荷载作用
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
( M N Q 0 )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
( M N Q 0 )ds Rk ck
广义力与广义位移的对应关系 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广 义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即： T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作 用方向上的分量； 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角； 3）若广义力是等值、反向的一对力P
C
L
P=1/l
D
求C点两边的相对转角
求CD杆的转角位移
练习
A P=1/ l
图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。 AB杆的转角
l ④ P=1/ l B
P=1/ l B l A P=1/ l P=1/ l P=1/ l l C
（
P=1/ l A l ⑤
）
AB连线的转角
P=1/ l B
（ ）
AB杆和AC杆的 相对转角
9kN.m
12kN B
7.5kN.m
A
2m
2m
<I>
临沂大学建筑学院 结构力学学科组
第九章
§9.1 位移计算概述
静定结构的位移 静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误 差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线 位移、竖向线位移以及角位移。 Bx 1. 截面位移
P
P
B
C
c
cx
B
By
cy
A C
A
刚架受荷载作用
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
( M N Q 0 )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
( M N Q 0 )ds Rk ck
广义力与广义位移的对应关系 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广 义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即： T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作 用方向上的分量； 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角； 3）若广义力是等值、反向的一对力P
C
L
P=1/l
D
求C点两边的相对转角
求CD杆的转角位移
练习
A P=1/ l
图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。 AB杆的转角
l ④ P=1/ l B
P=1/ l B l A P=1/ l P=1/ l P=1/ l l C
（
P=1/ l A l ⑤
）
AB连线的转角
P=1/ l B
（ ）
AB杆和AC杆的 相对转角
9kN.m
12kN B
7.5kN.m
A
2m
2m
结构力学第9章9-3_1(华南理工)
一端固定 另一端铰支杆： 3 EI 3i k 3 2 l l l3 l2 3 EI 3i
剪切柔度δ：单位侧向力作用下引起的杆端相对侧移。
两端固定杆： 12 EI 12i k 3 2 l l l3 l2 12 EI 12i
一端固定 另一端铰支杆： 3 EI 3i k 3 2 l l l3 l2 3 EI 3i
FP串 FP ( a b ) FP j
j
串 a b j
j
i
j
kj
剪力分 k j 配系数
1 k串 1 1 ka kb
1 1 kj j
例9-4 试分析图9-16a、b所示刚架柱子的并联、串联关系。
当水平力作用在上横梁时, 可以将a、b、c看成一个合成柱， 其总侧移与柱d的侧移相同，而剪力FP是该合成柱和柱d分担的， 因而两者之间属于并联关系。 根据杆件并联、串联的基本特征，上述合成柱又是由柱a、b 并联后再与c串联形成的。
§9-3 剪力分配法 当刚架横梁与柱子的弯曲刚度之比ib/ic≥3～5时，通常可将 横梁刚度近似地视为无穷大，采用剪力分配法进行分析。 即使对于ib/ic值稍小的刚架，也可以通过修正的方法(D值法) 来减少因不考虑结点角位移所引起的内力误差。
优点：计算简便，传力及力的分配明确、直观。 9-3-1 基本概念 刚架结点无角位移，因为各楼层的柱子 两端具有同样的相对侧移，楼层总水平 剪力是按柱子剪切刚度的大小分配到各 柱子上的。 剪切刚度k：使杆件两端发生单位相对 侧移时所需的侧向力。 剪切柔度δ：单位侧向力作用下引起的杆端相对侧移。
变截面单阶柱： 1
2 3EI 2 I2 l1 k 3 1 1 l2 I1 l2
结构力学教学第九章矩阵
F
(e) ix
EA ( e ) u jx =− L
i
x
F jx = −
j
(e )
(e)
EA ( e ) u jx L
θ
(e ) y F iy = 0
(e )
Mj =0
(e )
F jy = 0
uj
(e )
土木建筑工程学院
七、矩阵位移法
2 单元分析——杆端力与杆端位移的关系
Mi = −
F
(e) ix
(e)
P2 x P2 M
P3 x
(2)
P1 x
(1)
P1M
x
y
P1 y
P2 y
θ
土木建筑工程学院
七、矩阵位移法
1 矩阵位移法的基本思想
(1) F jy
(1) F jx
(1) F jM
（1）
(1) Fix
F1(1) y
(1) M1
(1) FiM
(1) P1 x = Fix
F1(1) x
P1 x
P1M
P1 y
Fix F iy FiM F jx F jy F jM
(e)
k11 k21 k31 = k41 k51 k61
k12 k22 k32 k42 k52 k62
k13 k23 k33 k43 k53 k63
F ix =
(e )
EA ( e ) u ix L
i
x
F jx = −
j
(e)
(e )
EA ( e ) uix L
θ
(e) y F iy = 0
(e )
西南科技大学_结构力学第9章
EI i —— 杆件线刚度。 l
2、弯矩分配系数
—— 依据杆端抵抗转动的能力进行分配。
远端固定：S AB 4i 远端铰支：S AB 3i 弯矩分配系数： 远端滑动：S AB i
S 远端自由： AB 0
S
S
M Aj Aj M Aj M A A
1 —— 同一结点处各杆分配系数之和为1。
0
0
17.67 -17.67
例9-2
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
15kN/m
B
50kN
A iAD=2 D
iAB=2
4m
iAC=1.5
C
4m 3m 2m
例9-2
试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
15kN/m 50kN
解：
1. 确定基本体系
D
B
iAB=2
A
iAD=2
4m
iAC=1.5 C 4m 3m 2m
配系数
F M AB 30kN m
F M AD 24kN m F M DA 36kN m
AB 0.3
AD 0.4
-0.9 -0.9
AC 0.3
本章小结
力矩分配法的基本概念
力矩分配法的基本思路 力矩分配法的三要素
力矩分配法的计算
试用力矩分配法作连续梁的弯矩图。
三、力矩分配法的三要素
1、固端弯矩
—— 查表8-1、8-2
2、弯矩分配系数
P210-212
—— 依据杆端抵抗转动的能力进行分配。
S AB —— AB 杆 A 端产生单位转角时所需施加的力偶。
远端固定：S AB 4i 远端铰支：S AB 3i 远端滑动：S AB i
结构力学第9章渐进法
9 kN/m
A B
80 kN
C
6m
3m
3m
（2）计算固端弯矩（查表8-1） ql 2 9 62 F M AB 27kN m 12 12
2 2 ql 9 6 F M BA 27kN m 12 12
M
F BC
3Fl 3 80 6 90kN m 16 16
F M CB 0
（3）进行弯矩分配与传递 u F F 结点B的不平衡力矩为 M B M BA M BC 63kN m
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
9 kN/m
A B
80 kN
C
分配系数 固端弯矩
分配与传递 最后弯矩 -27 18 -9
4／ 7 27 36 63
3／ 7
结点１分配传递 结点 1分配传递
结点 2分配传递 结点２分配传递 最后弯矩
+3.4
+0.5 +553.9
+6.9 +6.9 -1.0 +0.5 +0.5
+0.2
-1.9 -0.1 -1.5 -0.1 +0.2
0
结点１分配传递 +0.2 结点２分配传递 最后弯矩 -173.2
-173.2
-553.9 +311.3 -311.3
结点２分配传递
+48.2
-193
-386 -289 +48.2
-386 -289
0
0
结点 2分配传递 结点１分配传递 结点1分配传递 结点2分配传递
+48.2
-27.5 -20.7 +48.2 +3.4
A B
80 kN
C
6m
3m
3m
（2）计算固端弯矩（查表8-1） ql 2 9 62 F M AB 27kN m 12 12
2 2 ql 9 6 F M BA 27kN m 12 12
M
F BC
3Fl 3 80 6 90kN m 16 16
F M CB 0
（3）进行弯矩分配与传递 u F F 结点B的不平衡力矩为 M B M BA M BC 63kN m
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
9 kN/m
A B
80 kN
C
分配系数 固端弯矩
分配与传递 最后弯矩 -27 18 -9
4／ 7 27 36 63
3／ 7
结点１分配传递 结点 1分配传递
结点 2分配传递 结点２分配传递 最后弯矩
+3.4
+0.5 +553.9
+6.9 +6.9 -1.0 +0.5 +0.5
+0.2
-1.9 -0.1 -1.5 -0.1 +0.2
0
结点１分配传递 +0.2 结点２分配传递 最后弯矩 -173.2
-173.2
-553.9 +311.3 -311.3
结点２分配传递
+48.2
-193
-386 -289 +48.2
-386 -289
0
0
结点 2分配传递 结点１分配传递 结点1分配传递 结点2分配传递
+48.2
-27.5 -20.7 +48.2 +3.4
结构力学第九章
S BD 0, CBD 0
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§9-2 力矩分配法的基本原理
θ l
l
结构力学
例9-2 图示梁的AC为刚性杆段，CB杆段EI=常数，求 6 il/l= 6 i SAB及CAB EI=∞ C EI=∞ C 当
A l l B
A
Δ
C
当
6i
C
θ
B
l
B
解: 当A端转角θ=1时，截面 C 有竖向位移 Δ=l· θ=l及转角θ=1 。 a) CB段的杆端弯矩为
由此可得到什么 结论呢？
如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
F F u M R1 p (MCA MCB ) MC
叠加得最终杆端弯矩为
近端
F M CA M CA M CA
M CB M CB M
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§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
9 kN/m
结构力学
80 kN
6i
B 28i
10 i SAB 28 i
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§9-2 力矩分配法的基本原理
结构力学
例9-3 图示梁的AC 杆为刚性杆段，CB 杆段EI=常数。 求SAB ,CAB。
a) A A l l CC l l BB AA
θ θ =1 =1
C C
B B
θθ l l
SAB SAB A
3 3i
iΔ /l=3 33i/l=3 i i C C
结构力学矩阵位移法
⑶根据所选基本未知量的不同，结构矩阵分析 包括：
§9-1节 位移法概述
?
矩阵力法
?结构矩阵分析
一般刚度法
?
矩阵位移法
?
直接刚度法
?以直接刚度法的程序最为简单且通用性强，应 用最广。
?⑷矩阵位移法是有限元法的雏形，故杆件结构 的矩阵分析也称作杆件结构的限元法分析，具 体包括两部分内容：
§9-1节 位移法概述
第九章 矩阵位移法
仅限于求解杆系结构在静荷载作用下的位 移和内力。以位移法(附加约束法)为基础，从 有限单元法的角度讲解结构的静力分析。既适 用于静定结构，也适用于超静定结构，易于编 写通用的计算机程序，尤其对于大型复杂结构， 该法具有很大的优越性，可大大减少手算的工 作量，是面向计算机的计算方法。
§9-1节 位移法概述
⑴ 力法和位移法均为传统的结构力学的计算 方法，其相应的计算手段手算，因而只能解 决计算简图较粗略基本未知量数目不太多的 结构分析问题。
⑵计算机的出现和广泛应用，使结构力学的计 算发生了巨大变化，电算能够解决手算难以 解决的大型复杂问题。由此产生了适合电算 的分析方法 —— 结构矩阵分析。
6EI
Fy2 ? ? l 3 (v1 ? v2 ) ? l 2 (?1 ? ? 2 )
M1
?
6EI l2
(v1
?
v2 ) ?
4
EI l
?
1
?
2EI l
?
2
6EI
2EI 4EI
M2 ? l 2 (v1 ? v2 ) ? l ?1 ? l ? 2
§9-2节 单元刚度矩阵(局部坐标系)
一般单元的刚度方程
（a）单元分析：将结构离散成有限个两端固定杆件作为计 算单元，按照单元的力学性质（物理关系），建立单元 的杆端力和杆端位移的关系—单元的刚度方程，形成单元 刚度矩阵。
§9-1节 位移法概述
?
矩阵力法
?结构矩阵分析
一般刚度法
?
矩阵位移法
?
直接刚度法
?以直接刚度法的程序最为简单且通用性强，应 用最广。
?⑷矩阵位移法是有限元法的雏形，故杆件结构 的矩阵分析也称作杆件结构的限元法分析，具 体包括两部分内容：
§9-1节 位移法概述
第九章 矩阵位移法
仅限于求解杆系结构在静荷载作用下的位 移和内力。以位移法(附加约束法)为基础，从 有限单元法的角度讲解结构的静力分析。既适 用于静定结构，也适用于超静定结构，易于编 写通用的计算机程序，尤其对于大型复杂结构， 该法具有很大的优越性，可大大减少手算的工 作量，是面向计算机的计算方法。
§9-1节 位移法概述
⑴ 力法和位移法均为传统的结构力学的计算 方法，其相应的计算手段手算，因而只能解 决计算简图较粗略基本未知量数目不太多的 结构分析问题。
⑵计算机的出现和广泛应用，使结构力学的计 算发生了巨大变化，电算能够解决手算难以 解决的大型复杂问题。由此产生了适合电算 的分析方法 —— 结构矩阵分析。
6EI
Fy2 ? ? l 3 (v1 ? v2 ) ? l 2 (?1 ? ? 2 )
M1
?
6EI l2
(v1
?
v2 ) ?
4
EI l
?
1
?
2EI l
?
2
6EI
2EI 4EI
M2 ? l 2 (v1 ? v2 ) ? l ?1 ? l ? 2
§9-2节 单元刚度矩阵(局部坐标系)
一般单元的刚度方程
（a）单元分析：将结构离散成有限个两端固定杆件作为计 算单元，按照单元的力学性质（物理关系），建立单元 的杆端力和杆端位移的关系—单元的刚度方程，形成单元 刚度矩阵。
结构力学第9章
(a) A
l/ 3
m
k1
2l /3
2l
(c)
9
A
X 1=1
M 1图
(b)
B
A
(d)
B
A
F=1
B
X1
F=1
B
2l 9
M P图
解： 本题的重点是求柔度系数， 用力法， 取图b的
基本体系。力法典型方程为
1
1X1
1P
X1 k1
应用图乘法求出系数并代入方程解得 X 1
8 89
， 因此
X1 4l3 ， 1 267EI
当外荷载的频率很大时 (θ>>ω)，体系振动很快，因此 惯性力很大，弹性力和阻尼力相对来说比较小，动荷载主 要与惯性力平衡。
当外荷载接近自振频率时(θ ≈ ω)，弹性力和惯性力都 接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡。
6. 多自由度体系主振型的正交性 当ω i ≠ ω j 时，两个主振型具有正交性，即质量正交 和刚度正交。
(1) 简谐动荷载作用在质体上，内力动力系数与位移
动力系数相同。 动力系数
ymax ys t
1
1
2 2
计算时，只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法
算出相应的位移、内力，再乘以动力系数 即可。
(2) 简谐动荷载不作用在质体上，结构没有一个统一
的动力系数。
计算结构的位移和内力时，
应先算出质体上的惯性力，并
k1 267EI
m 4ml3
另解：体系简化成并联弹簧体系（图b），设梁在
质点m处的刚度系数为k2，k2=1/2 ，由M 图（图c）可 求得2
112 l l 2 l 212 l 2 l 2 l 2 4 l3 2 E (2 I 9 3 9 3 2 9 3 9 3 ) 2E 4I 3
清华大学结构力学第九章
BE
SCB 4i
2
CB
4 6
2
0.667
SBC 4i BC
4 10
0.4
SCD 3 i 2i CD 0.333 3 6
2) 求固端弯矩
A
M
F AB
6kN/m
18kN/m C D
2I (2i/3)
4m
6 22 4kN .m 6
3）运算格式
分配系数 BA BC A
-150
0.571 0.429
固端弯矩
分配传递 杆端弯矩
C
0 0
150
-90
-17.13 -167.13
-34.26 -25.74 115.74 -115.74
4）作弯矩图
167.13
115.74
B C
A
158.56
32.13 M图（ kN.m ）
例题9-1-1 解：
B A
3/7 4/7 0.5
C
0.5 4/7
D
3/7
E
-80 -12.86 -17.14 -8.57 22.86 45.71 34.29 -16.07 -32.15-32.15 -16.07 80 50
-50
下图示刚架，打×的结点为一组，其余为另 一组。两组结点依次锁住或放松，可大大加快 计算速度。
若结点力矩为逆时针方向，则：
M B 10 (9 8) 11kN .m
M B 11kN .m
MB
10kN.m
9
B
-8
例9-1-2
讨论悬臂端的处理。
20kN/m B
3m
200kN
A
结构力学9(1,2,3)
已有的知识: 已有的知识: (1)结构组成分析; )结构组成分析; (2)静定结构的内力分析和位移计算; )静定结构的内力分析和位移计算; (3)超静定结构的内力分析和位移计算 ) 力法已解得如下单跨梁结果. 力法已解得如下单跨梁结果.
力法步骤: 力法步骤: 1.确定基本体系; 1.确定基本体系 确定基本体系; 2.写出位移条件,力法方程; 2.写出位移条件 力法方程; 写出位移条件, 3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 3.作单位弯矩图 荷载弯矩图; 作单位弯矩图, 4.求出系数和自由项; 4.求出系数和自由项 求出系数和自由项; 5.解力法方程; 5.解力法方程 解力法方程; 6.叠加法作弯矩图. 6.叠加法作弯矩图 叠加法作弯矩图. 内力和位移之间有一定关系, 内力和位移之间有一定关系,可以先求内力再 求位移,或者先求位移再求内力. 求位移,或者先求位移再求内力. 位移法:先确定结构的某些结点位移, 位移法:先确定结构的某些结点位移,再据此 确定其内力.基本未知量为结点位移. 确定其内力.基本未知量为结点位移.
平衡条件) (变形协调) 变形协调) (平衡条件) 原结构 整体结构 若干根杆件 拆 搭 (还原 还原) 还原
第9章 章
2,解题步骤
(1)选取位移法法基本体系; 选取位移法法基本体系; (2)列位移法基本方程; 列位移法基本方程; (3)绘单位弯矩图,荷载弯矩图; 绘单位弯矩图,荷载弯矩图; (4)求位移方程各系数,解位移法方程 求位移方程各系数, (5)依M=M1X1+M2X2+…….+MP绘弯矩图,进而绘剪 +M 绘弯矩图, 力图,轴力图. 力图,轴力图.
n= nφ+n⊿ =2+0=2
(7),用位移法计算桁架结构
结构力学-虚功原理和结构的位移计算
30 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第四节 图乘法及其应用
受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：
∑ ∫ ΔiP =
MMP ds EI
称莫尔积分
在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方 便。下面寻求一种简单的计算位移的法。
利用图形的静矩原理将图形积分变为图形相乘
31 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
6 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
第一节 位移计算概述
3、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响
内力
变形
位移
荷载
√
√
√
温度改变或 ×
√
√
材料胀缩
支座移动或 ×
×
√
制造误差
产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀
缩、③支座移动和制造误差。
7 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第一节 位移计算概述 4 体系特征假定
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。
（力与位移相互独立）
FP2 Δ22
FP1
Δ11 Δ12
W12 = FP1Δ12
（此过程力保持为常量）
虚功具体有两种情况：
1 作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。11 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
第二节 变形体虚功原理
注意：
外力虚功
∑ We = 1 ⋅ Δk + FRi ⋅ ci
内力虚功
Wi = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη
由虚功方程 We = Wi
Δk = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη − ∑ FRici
第九章_矩阵法(结构力学)
因此它的逆矩阵不存在
从力学上的理解是，根据单元刚度方程 F
由
F e F e e
e
k
e
e
e
有一组力的解答(唯一的)，即正问题。 如果 F
e
不是一组平衡力系则无解；若是一
18
组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。
3、特殊单元
以连续 梁为例：
(e) (e)
M2 Fx 2 Fy 2
(1) u1 v ( 2) 1 1 (e) ( 3) ( 4) u2 ( 5) v2 2 ( 6)
e
(1) (2)
e (3) k = (4)
(5) (6)
0
EA l 0 0
2EI l
0 -6EI l2
只与杆件本身性质有 关而与外荷载无关
0 0
-12EI -6EI l3 l2 6EI l2 2EI l
4EI l
17
2、单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
k ij —代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。
第九章
1
位移法的特点： 基本未知量——独立结点位移；
基本体系——一组单跨超静定梁；
基本方程——平衡条件。
位移法思路：先化整为零，再集零为整
结构 杆件 结构
两种方法：平衡方程法和典型方程法
2
矩阵代数复习
1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵 的元素排列为m 行和n列，称为mn 阶矩阵。
凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。
结构力学等效结点荷载
F
(1 )
ql 2
12
0
ql 2
ql 2
12
(2 )
0
F P
2
Fl P
F ( 2 )
F
8
0
F P
2 F
P
l
8
局部坐标系下单元等效结点荷载：
e
Fe
FE F
整体坐标系下单元等效结点荷载：
F E e T T F E e T T F F e
E
F
F1 F1
C
E
F
有非结点荷载作用的单元杆
F2 F2 端力,可以由两部分叠加而得,一
部分是单元固端力,另一部分是
杆端位移产生的杆端力.
练习：用先处理法、后处理法分别计算结构的 综合结点荷载列阵.
M＝FPl FP
FP＝ql C
D
q
21,2,3
34,5,6
③ 44,5,7
①②
24,5,6
37,8,9
③
47,8,10
①②
A
B
10,0,0
50,0,0
11,2,3
511,12,13
解：1. 局部坐标系下单元固端力
F( 1 )
qlq 2l
qlq 2 lT
F 0
0 2 12
2
1 2
F F ( 2 ) 000000 T
F F ( 3 ) 0
F P F P l 28
0
F 2 P F 8 P l T
2 F
P
l
8
F
FP
2 Pl
8
5 6
8 9
总码
ql
2
1
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结点平衡
结点B：
结点C
2.将上述过程用矩阵表示： （1） 荷载引起的单元固端力： 单元1
单元2
单元3
FLi：单元固端力列阵。
(2)结点平衡： 结点B：
结点C：
结论：作用在单元上的荷载引起的等效荷载：由相交于结点的各单元 固端力列阵相应元素反号叠加求得。
五、解方程：
六、单元杆端力的计算：
位移法法中有叠加公式： 对杆端力写成矩阵形式：
二、数字编号
1.结点编号 2.单元编号 3.结点位移编号
三、结点位移列阵
写成矩阵形式 可动结点平衡方程：
可动结点劲度矩阵 可动结点等效荷载列阵
（一） K 的建立
1.回顾位移法中计算Kij的过程 作单位弯矩图：
M 1 中结点B:
结点C:
M 2 中结点B： 结点C
Fmi ——局部坐标系中单元杆端内力列阵。 mi ——局部坐标系中单元杆端位移列阵。
由杆端内力画弯矩图、剪力图：
七、支座反力的计算：
由内力图：考虑支座结点平衡： 结点A： 结点B： 结点C： 结点D：
返回
§9—2 单元劲度矩阵
一、杆件单元的空间位置
平面杆件单元i,整体坐标系oxyz,局部坐标系o'xmymzm
整体坐标系中： 局部坐标系中：
写成矩阵形式： 其中：
称为平面固接单元的转换矩阵。 同理：
思考： 给出平面梁单元，平面铰单元的转换矩阵
四、单元在整体坐标系中的劲度矩阵
——整体坐标系 ——局部坐标系 从局部坐标系出发，两边前乘
五、单元劲度矩阵的性质
1、kmi ki 为对称矩阵
反力互等定理: k支座发生单位位移时在m支座内引起的反力，等于m支座发 生单位位移时在k支座内引起的反例。
2.将上述过程用矩阵表示
（1）局部坐标系；
单元杆端位移、杆端内力等量 值以局部坐标系正向为正，反之 为负。
（2） 单元杆端可能的杆端位移和杆端力；
（3）单元位移引起的杆端内力；
（5） 结点平衡：
可动结点劲度矩阵由相交于结点的各单元劲 度矩阵相应元素叠加求得。
（二） F 的建立：
1.回顾位移法中求解FR1P 的过程： 作荷载弯矩图：
（5）计算单元最后杆端力，
先计算
在计算
或用
计算。
二、支座反力
求解步骤：
1，将Fmi 转换至整体坐标系中； 2.根据单元自由度序号列阵将杆端力Fi叠 加至支座反力列阵中。
返回
§9—6 例题
例1 设EA=常数，试用矩阵位移法分析图示的平面桁架。 解：1.建立坐标系与编号
2.可动结点的位移列阵为
3.可动结点的平衡方程为 K F
例
解： （一）结点集中荷载
（二）单元荷载
1.求局部坐标单元固端力
2.转换到整体坐标 3.叠加
返回
§9—5 单元杆端内力和支座反力
一、单元杆端内力
1.计算公式
2.求解步骤 （1）形成单元局部坐标系下的单元劲度矩阵kmi （2）形成转换矩阵Ti （3）形成杆端位移列阵 i （4）形成固端力列阵FLi
4.求 K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1
杆长：l 同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
5.求： 对于桁架，一般只有结点荷
载，于是
得 6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力
例 设 EI=常数，EA=常数， EI=20EA，试用矩阵位移法分析
反力互等定理
2.非奇异矩阵 考虑了约束条件，排除了刚体位移
3.稀疏带状矩阵 只有临近结点之间才有相互影响
返回
§9—4 可动结点等效荷载列阵
一、直接作用在结点上的荷载
将结点集中荷载按自由度方向分解，将各荷载分量直接叠加到可 动结点荷载列阵中
二、作用在单元上的荷载
步骤： 1.求单元固端力； 2.转换至整体坐标系中； 3.按照单元杆端自由度序号叠加到可动结点等效荷载列阵中
2、kmi ki 为奇异矩阵
不存在，即已知 可求出 ，反之，已知 无法求出对应的 。
物理意义： 已知结点力列阵
单元相对位移
限制刚体位移 单元绝对位移。
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki TiTkmiTi
6.按”对号入座”原则，将ki叠加到 k 中。
例形成图示刚架可动结点劲度矩阵，E,I ,A为常数。
解： 1.编号，如图（b) 2.确定单元杆端自由度序号。
3.计算 kmi 4.计算单元转换矩阵
5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵
6.根据单元杆端自由度序号叠加
二、可动结点劲度矩阵性质
1.对称方阵
第九章 矩阵位移法
§9-1 矩阵位移法基本概念 §9-2 单元劲度矩阵 §9-3 可动结点劲度矩阵 §9-4 可动结点等效荷载列阵 §9-5 单元杆端力和支座反力 §9-6 例题 §9-7 平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
位移法求解基本系：
1.整体坐标系 x—y—z 2.结点位移、结点力等量值沿 坐标轴正向为正，反之为负。
思考：考虑空间杆件单元。
二 单元局部坐标系的劲度矩阵
1.平面铰接单元 单元结点位移 单元杆端力
为表示方便，平面铰接单元常采用下述方法：
2.平面固接单元
单元结点位移
单元杆端力
单元劲度矩阵
三、单元转换矩阵
单元分析
一般在局部坐标系中进行
整体分析（如：力的平衡） 一般在整体坐标系中讨论
两种坐标系中杆端力，位移分量之间的关系——转换矩阵
图示的平面刚架。 解： 1.建立坐标系与编号 2.可动结点的位移列阵为
3.可动结点平衡方程
4，求
（1）计算个单元的方向余弦和杆长： （2）求 kmi
（3）求ki
(4)求
(5)求： （1）直接作用在结点上的荷载为
(2)作用在单元上的荷载
把FL沿整体坐标系方向分解，得
从而得
6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力 支座反力由下式
计算，得
9.内力图
例2 求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆 I 0.005m4
A0.05m2，E2106kNmA2B杆、CD杆杆