第八章 偏导数与全微分
微积分教学课件第8章多元函数微积分学第3节偏导数与全微分

xy
x2
y2
,
0,
x2 y2 0 ,
x2 y2 0
求 f x (0,0), f y (0,0).
解
f x (0,0)
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim 0 0 0, x0 x
同理, f y (0,0) 0 .
8
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续,
x y ,
(x)2 (y)2
lim
x0 yx
xy /
x2 y2
x2 y2
xx
lim
x0
x
2
x
2
1 2
0,
所以 z [ f x (0,0)x f y (0,0)y] o( ) ,
即 f (x, y) 在(0,0) 处不可微.
13
定理2 如果函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 可微
分, 则函数在该点连续.
证明 事实上, 若 z Ax By o( ) ,
则 lim z 0 , 即
0
lim
( x ,y )( 0,0 )
f
( x0
x,
y0
y)
lim[
0
f
( x0 ,
y0 )
z]
f ( x0 , y0 ),
故函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 处连续.
dz z dx z dy x y
可微 可偏导 12
注:可偏导不一定可微,见下面反例.
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
偏导数与全微分

若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数 则此偏 内每一点都有偏导数, 在 内每一点都有偏导数 则此偏 注 (1) 若二元函数 的函数--------偏导函数 偏导函数. 导数也是 x, y 的函数 偏导函数
f x , f y , z x , z y , ......
∂z ∂f ∂z ∂f , , , , ...... ∂x ∂x ∂y ∂y
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yx = f yx ; ∂ y ∂x ∂x ∂ y
混合偏导数
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yy = f yy . 2 ∂y ∂y ∂y
定理 若 z = f (x, y) 的二阶混合偏导数 f x y , f y x 在 (x,y) 连续 连续, 则 f xy = f yx . 适用于三阶以上 2 2 ∂ z ∂ z y , . z = arctan , 例5 求 ∂y∂x ∂x∂y x y −y ∂z 1 = ⋅ (− 2 ) = 2 , 2 y 2 x x +y ∂x 1 + ( ) x 1 1 ∂z x = y 2 ⋅ x = x2 + y2 , ∂y 1+(x)
∂2z = 6 xy 2 ∂x 2
∂2z = 2 x 3 − 18 xy ∂y 2
∂2z ∂2z 2 2 = 6 x y − 9 y − 1= ∂y∂x ∂x∂y
∂3z = 6 y2 ∂x 3
§2
偏导数与全微分
一、 偏导数 1.偏导数的定义 1.偏导数的定义 的某邻域内有定义, 设 z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )的某邻域内有定义, 当 y 固定在 y0 时, , ) 得一元函数 f ( x , y0 ), 称 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆ x→0 ∆x 的偏导数, 为z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )处对 x 的偏导数, 记为 fx ( x0 , y0 ), 或 ∂ f ( x 0 , y 0 ) , , ) ∂x 或 ∂ z ( x 0 , y0 ) , ∂x f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂z 即 f x ( x 0 , y0 ) = x ( x 0 , y0 )= ∂ f ( x 0 , y 0 ) = lim ; ∂ ∂x ∆x→0 ∆x 类似的, 的偏导数为 类似的, z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为 , ) f ( x0 , y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) ∂f ∂z f y ( x 0 , y0 ) = . = lim ( x0 , y0 ) = ( x 0 , y0 ) ∆ y→0 ∂y ∂y ∆y
多元函数微积分学

3、 f ( x, y) f ( x, y) y x
x
y
4、 f ( x, y) 1, f ( x, y) 2 y.
x
y
二、隐函数的求导法则(重点)
(1) F( x, y) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数,且F( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0,则方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的
y
x y
3. 设 f ( x y, x y) x2 y2 , 求 f ( x, y) f ( x, y) .
x
y
4.设 f ( xy, x y) x2 y2 xy, 求 f ( x, y) , f ( x, y)
x
y
练习四答案
1、 dz esin xcos x (cos2 x sin2 x); dx
z 2ex2y y 2z 2ex2y x y
2z 2 e x2 y y x
2 z y2
4e x2 y
二、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z
uv tt
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点
( x, y)具有对 x和 y 的偏导数,且函数z f (u,v)
在对应点(u, v )具有连续偏导数,则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在,且可用下列公式计算
偏导数与全微分

( x , y ) ≠ ( 0, 0 ) ( x , y ) = ( 0, 0 )
在点(0,0)处( C ).
A. 连续 偏导数存在; 连续,偏导数存在 偏导数存在 B. 连续,偏导数不存在; 连续 偏导数不存在 偏导数 C. 不连续 偏导数存在 不连续,偏导数存在 偏导数存在; D. 不连续 偏导数不存在 连续,偏导数不存在 偏导数不存在.
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第三节 全 微 分
全微分的定义 可微的条件
第八章 多元函数微分法及其应用
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全 微 分
一、全微分的定义
全增量. 为了引进全微分的定义, 为了引进全微分的定义 先来介绍 全增量. 全增量的概念 全增量的概念
设二元函数 z = f ( x , y ) 在点P ( x, y )的某邻
域内有定义, 当变量 x、y在点( x , y )处分别有 域内有定义
y
6
偏导数
xy 当( x , y ) ≠ (0,0), 2 2 例 f ( x, y) = x + y 0 当( x , y ) = (0,0).
求f ( x , y )的偏导数 .
解 当( x , y ) ≠ (0,0)时, y⋅ ( x 2 + y 2 ) − xy ⋅ 2 x y( y 2 − x 2 ) = 2 f x ( x, y) = 2 2 2 2 2 , (x + y ) (x + y ) 2 2 2 2 x⋅ ( x + y ) − xy ⋅ 2 y x( y − x ) f y ( x, y) = = 2 2 2 2 2 2 . (x + y ) (x + y ) 定义得 当( x , y ) = (0,0)时, 按定义得
偏导数与全微分的关系

偏导数与全微分的关系
偏导数与全微分的关系
偏导数及全微分是高等数学中重要的概念,用来描述一元函数、多元函数曲线特性及变化趋势。
而两者又有着密不可分的关系。
首先,偏导数是全微分的一部分,是全微分的基础。
它代表函数曲线在某一点的斜率,又叫函数的切线斜率,是函数曲线在某一点的变化率。
而全微分定义为函数在某一点的函数值及其方向对点中的变化率,所以它的意义是偏导数的概括,反映了函数曲线在某一点的斜率及方向的变化率,其值比偏导数更能体现函数曲线在该点的变化趋势。
其次,计算偏导数和全微分是有联系的。
若给定一个多元函数,要求偏导数则需要使用偏微分概念,因为偏微分是多元函数的偏导数。
而要计算全微分,首先要确定函数的偏导数,然后再求出全微分的求值。
最后,偏导数与全微分是相互联系的,彼此之间又有着千丝万缕的联系。
一般来说,计算多元函数的极值是依赖于偏导数的,而全微分是为了更全面地反映函数曲线的变化趋势。
所以,偏导数与全微分虽然各有不同的定义,但它们之间仍有密不可分的关系。
- 1 -。
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系

1。
偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数,描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数,描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。
就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况,但是我们要了解各个方向上的情况,所以后面有方向导数的概念。
2。
微分偏增量:x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y)偏微分:在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分detaz=fx(x,y)detax+o(detax)右边等式第一项就是线性主要部分,就叫做在(x,y)点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法,就是用求x的偏导数求偏微分全增量:x,y都增加时f(x,y)的增量全微分:根号(detax方+detay方)趋于0时,全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式,也建立了全微分和偏导数的关系dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导,B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念,他们之间的关系就是上面所说的公式。
概念上先有导数,再有微分,然后有了导数和微分的关系公式,公式同时也指明了求微分的方法。
3.全导数全导数是在复合函数中的概念,和上面的概念不是一个系统,要分开。
u=a(t),v=b(t)z=f[a(t),b(t)]dz/dt 就是全导数,这是复合函数求导中的一种情况,只有这时才有全导数的概念。
dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt)建议楼主在复合函数求导这里好好看看书,这里分为3种情况。
1.中间变量一元就是上面的情况,才有全导数的概念。
2.中间变量有多元,只能求偏导3.中间变两有一元也有多元,还是求偏导。
微积分第八章

利用函数全增量的概念,连续定义可用另一种形式表述.
三、 二元函数的连续性
函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义, 当自变量x,y分别由x0变到x0+Δx,y0变到y0+Δy时, 函数z=f(x,y)有增量
f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0) 称其为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量,记 为Δz,即
P0(x0,y0)处连续.
如果函数z=f(x,y)在区域D内各点都连续,则称函数
z=f(x,y)在区域D内连续.
三、 二元函数的连续性
对于闭区域上的连续函数z=f(x,y),则要求
函数z=f(x,y)在区域D内和边界上都连续.当点
P0(x0,y0)
D
中的P→P0是指P在区域D内所取的路线趋近于点
P0(x0,y0),极限中满足0<(x-x0)2+(y-y0)2<δ
图 8-7
一、多元函数的概念
定义域D就是曲面在xOy面上的投影区域. 例如,函数z=a2-x2-y2(a>0)的图形是球心在原点、 半径为a的上半球面(见图8-8).
图 8-8
二、 二元函数的极限
与一元函数情况类似,对于二元函数z=f(x,y),我们 需要考察当自变量x,y无限趋近于常数x0,y0时,即当点 P(x,y)无限逼近于点P0(x0,y0)时,对应的函数值的变化趋 势,这就是二元函数的极限问题.
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系

偏导数与全导数偏微分与全微分的关系Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】1。
偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数,描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数,描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。
就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况,但是我们要了解各个方向上的情况,所以后面有方向导数的概念。
2。
微分偏增量:x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分:在d e t a x趋进于0时偏增量的线性主要部分d e t a z=f x(x,y)d e t a x+o(d e t a x) 右边等式第一项就是线性主要部分,就叫做在(x,y)点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法,就是用求x的偏导数求偏微分全增量:x,y都增加时f(x,y)的增量全微分:根号(detax方+detay方)趋于0时,全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式,也建立了全微分和偏导数的关系d z=A d x+B d y其中A就是对x求偏导,B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念,他们之间的关系就是上面所说的公式。
概念上先有导数,再有微分,然后有了导数和微分的关系公式,公式同时也指明了求微分的方法。
3.全导数全导数是在复合函数中的概念,和上面的概念不是一个系统,要分开。
u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt 就是全导数,这是复合函数求导中的一种情况,只有这时才有全导数的概念。
d z/d t=(偏z/偏u)(d u/d t)+(偏z/偏v)(d v/d t)建议楼主在复合函数求导这里好好看看书,这里分为3种情况。
1.中间变量一元就是上面的情况,才有全导数的概念。