九图形的计数(二)_5
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
一年级下册数学讲义-思维拓展：图形的计数(含答案PDF)全国通用
第二讲图形的计数一、平面图形1、规则图形方法：开火车①单层总数=基本线段数依次加到1②多层三角形A、边到边B、角到边2、不规则图形方法：分类数①按大小②按方向二、立体图形1、分层数2、空白=实心-空心3、分割法【例1【解析】要数清图中一共有多少个圆点点，小朋友们不妨先想一想我们有哪些观察角度。
方法一：从上到下观察，分层数，那么总数是：1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49（个）方法二：斜着看，有7排7列个圆点点，总数是：7+7+7+7+7+7+7=49（个）【例2】时钟1时敲1下，2时敲2下，3时敲3下，……照这样敲下去，从1时起到时钟共敲28下时，时钟显示是几时？当共敲80下的时候又是几时？【解析】注意：13点的时候指针指向1，敲击一下，敲击的次数与时钟上时针所指数字相同；记住一些常用的加和结果可以方便解题。
（1）1+2+3+4+5+6+7=28（下），所以共敲28次的时候是7时的最后一次敲击。
（2）从1时到12时一共敲了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（下）（这里小朋友要是背过常用加和结果就可以迅速发现从1加到12的结果是78了），过了12时，又会从1开始敲，78+1+1=80（下），所以敲击第80下的时候，时钟显示的是2时，此时正好敲2时的第一下。
【例3】艾迪、薇儿、加加、减减和6个士兵一起分54颗珍珠。
要求每个人都分到珍珠，但分到的珍珠颗数又不能一样多，怎么分？如果不能分，至少应该有多少颗珍珠才能够分？【解析】小朋友们一定要注意，一共有10个人，不要见到数字6就以为只有6个人啦。
每个人都分到珍珠，但颗数又不能相同，我们不知道分到珍珠最多的人可以分到多少颗，但是我们可以让分的最少的只分到1个，然后其他人依次比上一个人多拿一个，这样就能算出至少需要多少颗珍珠才够分。
至少需要的珍珠数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（颗），所以54颗珍珠不够分。
四年级下册数学试题-思维训练：06图形的计数(解析版)全国通用
备课说明：【精品】1、本讲共6道例题，前4道例题（用时1小时）分别介绍了数线段、角、三角形、正方形和长方形的基本方法。
其中数线段（例1）的方法及计数公式是基础，应重点讲解；接着例2与例3可尝试着让学生先思考，看看学生能否举一反三；例4学生做题是可能较多采用枚举法，因此先让学生做教师再进行讲解，学生能更好的体会到乘法原理的简便性。
例5、例6（1小时）为图形计数提高题，例5图形较为复杂，这时怎么合理分类，再进行计数就显得至关重要，学生的分类方法可能多种多样，只要合理都应给予肯定，并给一些时间，鼓励学生根据自己的思路来解题；例6数含有五角星的正方形，仍可用乘法原理解决问题。
2、重点：熟练掌握线段、角的计数公式；能够根据图形特点，利用加法原理与乘法原理合理分类计数。
难点：根据图形特点，合理分类计数。
数线段与数图形实际上就是数几何图形中线段、角、三角形、四边形等的个数问题.在对图形计数时，通常采用的是枚举法，即把所要计数的对象一一列举出来，然后计算它的总和.在用枚举法计数时，要对计数对象合理地进行分类，并要按次序地数，只有这样，才能保证计数时既不重复，又不遗漏.把一条线段分成几段小线段，我们把这些小线段称为基本线段，线段计数都是由这些基本线段组成，即1)3()2()1(++-+-+-+Λn n n n .数线段也可以按照点来计算，如果一条线段上有m 个点，根据这些点可以运用2)1(÷-⨯m m 进行计算.要想正确数出图形的个数，关键是从基本图形入手：✓ 弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个；✓ 从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少；✓ 有些图形被分成几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出包含图形的个数，再求各部分的总和.数一数，下面的图形中各有几条线段？ F E D C B A解析：①对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数。
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）教学内容：第二讲图形的计数（四年级秋季思维训练教程）课时：第一、二课时课型：新授课教学目的：知识与技能理解并掌握数线段的两种方法：基本线段法、定端点法。
学会灵活地将数图形（三角形、正方形、长方形等）问题转化为数线段问题。
过程与方法通过引导学生复习旧知，鼓励学生总结归纳数线段的基本方法，培养学生的观察能力、抽象概括能力，增强学生探究问题的本领。
在观察、分析图形的过程中，要逐步培养学生掌握从特殊到一般的研究问题的方法。
情感态度与价值观在观察、总结归纳数线段的基本方法的过程中，体会探索新知的乐趣，养成善于思考，勇于探索，乐于交流的习惯。
在数图形个数时，要求按一定的顺序去做，做到不遗漏，不重复，提高学生的逻辑思维能力，养成严密的数学思维习惯。
教学重、难点：重点：通过观察、分析复杂图形并数出其中基本图形的个数的过程中，促进学生掌握类比转化的方法，培养学生分析和解决问题的能力。
难点：如何将复杂图形的计数问题转化为线段的计数问题教具、学具准备：教学过程：复习旧知，凝疑导入同学们，看看我左手上是什么？（粉笔）数数有几只？（三只）。
再看看老师右手上拿了什么？（纸）瞅瞅它们共有几张呢？我们两三岁时家人就开始教我们数数了，所以刚刚那两个问题对同学们来说都是小菜一碟，有没有？但是，不知，同学们还是否记得我们之前学过一种稍微复杂一点的数数问题---数线段。
下面我们来简单地复习一下：问题一：数一数下面图形中共有多少条线段？(10条)线段：有两个端点的直线组成的图形要求：不遗漏不重复展示与总结：定端点法：4+3+2+1=10（条）基本线段法：有4条基本线段由两条基本线段组成的线段：3条由三条基本线段组成的线段：2条由四条基本线段组成的线段：1条共有4+3+2+1=10（条）这道题有没有唤起同学们对以前学过知识的记忆呢？同学们应该都知道，学习是一个连续且不断发展的过程，随着我们年龄和年级的不断增加，我们会对同一个大问题进行更深入的研究，所以，理所当然，数数问题也需要我们对它进行更深一步的探究。
第二讲图形的计数教案
第二讲图形的计数知识点：本讲学习的主要内容有：（一）线段、角、三角形的计数；（二）长方形、正方形、立体的计数。
图形计数是指对满足一定条件的某图形进行观察并逐一数出来。
在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数：做不重复也不遗漏。
最常用的方法是：分类计数，利用基本图形计数。
教学目标：通过本讲的学习，学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成；掌握图形的基本方法做到不重不漏；能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
重难点：1.学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成。
2.掌握数图形的基本方法做到不重复不遗漏。
3.能够正确能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
第一课时教学时间：教学内容：数线段和角教学目标：1.通过学习让学生掌握数角和线段的方法，做到不遗漏不重复，并能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
2.培养学生思维的有序性和良好的学习习惯。
重难点：1.掌握数线段和角的方法，做到不遗漏不重复。
2.能够正确，有序，合理，迅速地数出图形。
教学过程：一.例题1如下图中有多少条线段？ＡＢＣＤＥ（1）学生先独立数一数，并交流结论。
（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法方法一：将图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE共4条；由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE共3条；由3条基本线段构成的线段有AD、BE共2条；由4条基本线段构成的线段有AE共1条；方法二：从线段的两个端点出发去数：以A点为左端点的线段有AB、AC、AD、AE共4条；以B点为左端点的线段有BC、BD、BE共3条；以C点为左端点的线段有CD、CE共2条；以D点为左端点的线段有DE共1条；2.仿练：如图，数一数图中各有多少条线段？二、教学数角1.例2如下图中共有几个角？O A（1）组织学生数一数，并交流数的方法和结论（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法方法一：将图中AOB COD看作基本角，那么：由1个基本角构成的角有AOB BOC COD 共3个；由2个基本角构成的角有AOC BOD 共2个；由3个基本角构成的角有AOD共1个；方法二：从角的一边出发来数以OA为一边的角有AOB AOC AOD 共3个；以OB为一边的角有BOC BOD 共2个；以OC 为一边的角只有COD1个。
人教版小学四年级数学第2讲：图形计数(学生版)
第二讲图形计数几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法－一枚举法．具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、．无一遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．一：简单图形计数的方法。
二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。
例（1）数出右图中总共有多少个角例（2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？例（3）数一数图中长方形的个数例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.例（5）数一数图中三角形的个数例（6）数一数图中一共有多少个三角形？A一、填空题:1.右图一共有( )个长方形?2.右图一共有( )个长方形?3.右图一共有( )个长方形？4.右图一共有( )个正方形？5.右图一共有( )个长方形？6.右图一共有( )个平行四边形?7.右图一共有( )个梯形？8.右图一共有( )个正方形？9.右图一共有( )个正方形?10.右图一共有( )个正方形?二、解答题:11.下图共有几个正方形?12.下图共有几个正方形?13.在一个图案中有100个矩形、100个菱形和40个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?B一、填空题1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.2. 下图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个.3. 下图中共出现了_____个长方形.4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形.5. 图形中有_____个三角形.6．如下图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个.7. 把一条长15cm 的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）C1. 右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.2. 下图中共有_____个正方形.3. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。
五年级上册数学试题-奥数：图形定稿全国通用
（2）
3
例 6．如图，从甲地到乙地有 2 条路可走，从乙地到丙地有 3 条路可走；从甲地到丁地有 4 条路可走， 从丁地到丙地有 2 条路可去。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
【试一试】 1、如果线段 AB 上共有 8 个点（包括 A、B 两点），那么，共有多少条线段？
2、联结 A、B、C、D 四个城市的道路如图所示： （1）从 A 城经 B 城到 C 城的不同走共有多少种？ （2）从 A 城到 C 城的不同走法共有多少种？
厘米?
AE
FB
D H
【试一试】
GC
1、求出阴影部分的周长。
2、如右图，阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。
5 厘米
A
B
E
H
7 厘米
C
D
E
G
当堂测试
1、下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长 2 厘米，求这个零件的周长．
2、求图 12、图 13 的周长。
3、图 14 是一座楼房的平面图，这座楼房平面图的周长是多少米？
例 1．一个等腰三角形中，有一个内角的度数是另一个内角的 4 倍，则这个等腰三角形的顶角是 _________度。
【试一试】
1、17 点整，钟面上的分针和时针所组成的角是（ ）。
A、锐角
B、直角
C、钝角
D、平角
2、在直角、锐角、平角、钝角中，度数最小的角是（ ）。
A、 直角
B、锐角
C、平角
D、钝角
3、在一个直角三角形中，已知一个锐角是 68°，则另一个锐角是（ ）。
能力测试（一）…………………………………………………………………25
第六讲
割补 …………………………………………………………28
(北京市)小学四年级寒假奥数班讲义
小学四年级奥数目录第一讲图形的计数（一）第二讲图形的计数（二）第三讲速算与巧算（一）第四讲速算与巧算（二）第五讲和差倍问题第六讲还原问题第七讲年龄问题第八讲盈亏问题第九讲最佳方案第十讲平均数问题第十一讲长方形、正方形的周长和面积第十二讲综合测试第一讲图形的计数（一）一．知识点回顾1.弄清图形中所包含的基本图形，图形的特征和变化规律。
2.从各图中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和。
3.被分成几个部分的图形，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和，做到不重复、不遗漏，正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯。
二．典型例题例1. 数出下面图中有多少条线段。
思路导航：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。
从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。
因此，图中共有3+2+1=6条线段。
数线段的规律：线段上有n个点（包括两个端点），n个点把这条线段共分成线段总数为：1+2+3+…+(n-1)。
解：这条线段有4个点，所以线段的总和为1+2+3=6（条）答：图中的线段有6条。
练一练：数出下列图中有多少条线段。
（2）例2.数出下面图中有多少个角。
思路导航：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）数角的规律：数角的方法和数线段的方法类似，图中共有几条射线组成若干个角，角的总个数为1+2+3+…+（n-1）。
小升初数学高频考点——计数专题(九)几何计数
小升初数学高频考点——计数专题（九）几何计数
一、高频考点：1、分类数图形2、方块图计数3、点阵计数4、直线分区域5、图形分区域★高频考题
例一：（分类数图形）
（1）分别计算下列各图中线段、角、三角形的数量
线段数量为角的数量为三角形的数量为
（2）分别计算下列各图中长方形、正方形、三角形的数量
长方形个数为含有五角星的长方形个数为长方形个数为
正方形个数为正方形个数为含有五角星的正方形个数为
正方形个数为三角形个数为三角形个数为
例二：（方块图计数：①“L”形基本单元“田”；②“凹”字形基本单元“”）（1）在7×7的方格中，你能数出几个如图所示的由3个小方格组成的“L”形？
（2）在8×5的方格中，一共可以数出多少个如图所示的由5个单位小正方形组成的“凹”字形？
例三：（点阵中的线段和三角形计数：利用组合计数）
（1）平面上有99个点，以它们为端点，可以画出多少条线段？
（2）以圆上11个点为顶点，可以连出多少个三角形？
（3）半圆的边界上有10个点，其中5个点在直径上。
以它们为顶点，可以连出多少个三角形？
数加1）
该平面上
最多会增
？
点个数）
分?
平面分成（4）在一个平面上画出2个长方形和1条直线，最多可以把平面分成多少部分？
（5）在一个平面上画出3个正方形、2个圆和1条直线，最多能把这个平面分成几个部分？。
小学奥数第五讲：图形的计数
小学奥林匹克数学第一集：第五讲：图形的计数一、数一数小朋友，你知道中有多少个三角形吗？我们可以这样想，图中的小三角形一共有4个，大三角形有1个，所以一共有5个三角形。
在数数时，要做到有次序，有条理，不遗漏也不重复，这样才能正确地数数。
例1：数一数下图各有几条线段？分析：我们可以照下面的方法数：解：共有线段4+3+2+1=10（条）例2：图中有多少个小正方体？分析：这个图形是由小正方体组成的。
可以采用数数的方法，按顺序数。
也可以根据图形的组成规律进行计算，如果每2个一摞，一共有4摞。
解：方法一：一个一个地数出8个正方体。
方法二：2×4=8（个）答：共有8个小正方体。
例3：将9个小正方体组成如图所示的“十”字形，再将表面涂成红色，然后将小正方体分开。
问（1）2面涂成红色的有几个？（2）4面涂成红色的有几个？（3）5面涂成红色的有几个？分析：整个图形表面涂成红色。
只有“粘在一起的”面没有涂色。
中间的一个小正方体2面涂色，四端的4个小正方体都是5面涂色，剩下的四个小正方体都是4面涂色。
解：（1）2面涂成红色的小正方体只有1个。
（2）4面涂成红色的小正方体有4个。
（3）5面涂成红色的小正方体有4个。
例4：亮亮从1写到100，他一共写了多少数字“1”？分析：在1到100这100个数中，“1”可能出现在个位、十位或百位上。
应分三种情况计数：“1”在个位上的数有：1、11、21、31、41、51、61、71、81、91共10个；“1”在十位上的数有：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19共10个；“1”在百位上的数有：100 只有1个。
解：10+10+1=21（个）答：共写21个。
例5：27个小方块堆成一个正方体。
如果将表面涂成黄色，求：（1）3面涂成黄色的小方块有几块？（2）1面涂成黄色的小方块有几块？（3）2面涂成黄色的小方块有几块？分析：涂色的有26个小方块。
3面涂色的只有顶点上的8个小方块；1面涂色的只有六个面上中间的小方块；其余的必然是2面涂色的小方块。
小学奥数 几何计数(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．教学目标知识要点7-8-2.几何计数（二）例题精讲模块二、复杂的几何计数【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
一年级奥数之图形的计数
图形的计数课kè前qián 活huó动dòng虎hǔ大dà王wáng 捉zhuō鼠shǔ大dà森sēn 林lín 里lǐ的de 老lǎo 鼠shǔ们men 正zhèng 在zài 搬bān 家jiā呢ne ！不bú幸xìng 的de 是shì被bèi 森sēn 林lín 里lǐ的de 老虎lǎohǔ撞见zhuàngjiàn 了le ，老虎lǎohǔ这zhè回huí是shì大展dàzhǎn 拳脚quánjiǎo 呀ya ！一会yīhuì就jiù抓zhuā了le 好hǎo 多duō只zhī老lǎo 鼠shǔ，高gāo 高gāo 兴xìng 兴xìng 的de 回huí到dào 了le 虎hǔ穴xué里lǐ，可kě是shì抓zhuā的de 老lǎo 鼠shǔ太tài 多duō了le ，虎hǔ大dà王wáng 数shù不bù清qīng 楚chǔ到dào 底dǐ有yǒu 几jǐ只zhī？就jiù找zhǎo 来lái 聪cōng 明míng 伶líng 俐lì的de 小xiǎo 青qīng 蛇shé给gěi 它tā数shù数shù，他tā则zé舒shū舒shū服fú服fú地dì躺tǎng 在zài 床chuáng 上shàng 吃chī方fāng 糕gāo 。
小xiǎo 青qīng 蛇shé认rèn 认rèn 真zhēn 真zhēn 地dì数shù了le 半bàn 天tiān ，然rán 后hòu 恭gōng 恭gōng 敬jìng 敬jìng 地dì说shuō：“尊zūn 敬jìng 的de 大dà王wáng ，您nín 只zhǐ需xū数shù一yí下xià你nǐ眼yǎn 前qián 的de 方fāng 糕gāo 就jiù知zhī道dào 您nín 一yí共gòng 抓zhuā了le 多duō少shǎo 只zhī老lǎo 鼠shǔ了le ！”虎hǔ大dà王wáng 忙máng 说shuō：“这zhè些xiē方fāng 糕gāo 有yǒu 多duō少shǎo 块kuài ？我wǒ懒lǎn 得de 数shù了le 。
小学奥数教程：几何计数(二)全国通用(含答案)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块二、复杂的几何计数教学目标例题精讲知识要点7-8-2.几何计数（二）【例1】如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形．【考点】复杂的几何计数【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，2年级，第4题【解析】先看横着的正方形如下图⑴，可以得到94114++=个正方形，再看斜着的正方形如下图⑵可以得到4个正方形，如下图⑶可以得到2个正方形．这样一共可以得到144220++=个正方形．⑴⑵⑶<考点> 图形计数【答案】20个【巩固】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；2211以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【巩固】下图是3×3点阵，同一行(列)相邻两个点的距离均为1。
四年级上册数学教案-数学好玩 第3节数图形的学问∣北师大版
四年级上册数学教案-数学好玩第3节数图形的学问∣北师大版一、教学目标1. 知识与技能：（1）使学生能够认识常见的平面图形，如正方形、长方形、三角形、圆等。
（2）培养学生运用图形进行计数、分类和推理的能力。
（3）通过观察、操作、猜测等手段，使学生掌握图形的基本性质和特征。
2. 过程与方法：（1）通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（2）通过观察、操作、猜测等活动，培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。
3. 情感、态度与价值观：（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学美感。
（2）培养学生独立思考、解决问题的能力，增强学生的自信心。
二、教学内容1. 图形的分类：介绍常见的平面图形，如正方形、长方形、三角形、圆等，并引导学生观察它们的特征。
2. 图形的计数：通过实例，使学生掌握如何计算图形的数量，以及如何运用图形进行计数。
3. 图形的推理：通过实例，使学生掌握如何运用图形进行推理，以及如何运用图形解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：图形的分类、计数和推理。
2. 教学难点：如何运用图形进行计数和推理。
四、教学过程1. 导入新课：通过展示一组图形，引导学生观察并说出它们的名称，激发学生对本节课的兴趣。
2. 图形的分类：教师引导学生观察图形，说出它们的名称，并总结出它们的共同特征。
如正方形四条边相等，长方形对边相等，三角形有三条边，圆是一个闭合的曲线等。
3. 图形的计数：教师通过实例，展示如何计算图形的数量。
如给出一个由多个小正方形组成的大正方形，引导学生计算小正方形的数量。
然后，教师引导学生运用图形进行计数，如给出一个由多个小三角形组成的大三角形，引导学生计算小三角形的数量。
4. 图形的推理：教师通过实例，展示如何运用图形进行推理。
如给出一个由多个小正方形组成的大正方形，引导学生推理出大正方形的面积。
然后，教师引导学生运用图形解决实际问题，如给出一个由多个小三角形组成的大三角形，引导学生计算大三角形的面积。
五年级上册数学试题-奥数：图形定稿(无答案)全国通用
目录第一讲图形的计数（一） (2)第二讲图形的计数（二） (7)第三讲角的计算 (11)第四讲巧求周长 (14)第五讲图形的分与合 (20)能力测试（一） (25)第六讲割补 (28)第七讲平移、旋转、对称 (33)第八讲添辅助线 (38)第九讲等积变形 (43)第十讲格点与面积 (48)能力测试（二） (53)第一讲图形的计数（一）图形的计数问题，实际上就是数几何图形中线段、角、三角形、四边形等的个数问题。
在对图形计数时，通常采用的是枚举法，即把所要计数的对象一一列举出来，然后计算它的总和。
用枚举法计数时需注意：（1）弄清被数图形的特性与变化规律；（2）要按一定的顺序去数，做到不遗漏、不重复。
例1．下图中有多少条线段？【试一试】下图中各有多少条线段？（1）（2）例2．下面图形中有几个角？【试一试】下图中各有多少个角？（1） （2）例3．下图中共有多少个三角形？【试一试】数一数图中共有多少个三角形？A B C D EOD C B AA B ED C A B C DE FA B C D E F F G HI A B C DAB CA E DBC OE F D A B C O例4．右图中有多少个三角形？【试一试】数一数,图中有多少个三角形？（1）例5．下图中各有多少个长方形？【试一试】下图中各有多少个长方形？（1）（2）例6．如图，从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走；从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可去。
从甲地到丙地共有多少种不同的走法？（2【试一试】1、如果线段AB 上共有8个点（包括A 、B 两点），那么，共有多少条线段？2、联结A 、B 、C 、D 四个城市的道路如图所示：（1）从A 城经B 城到C 城的不同走共有多少种？（2）从A 城到C 城的不同走法共有多少种？当堂测试1、数一数下图中各有多少条线段？2、数一数下图中有多少个锐角？3、数一数下图中各有多少个三角形。
【引流课讲义】四年级第1讲-图形的计数
第一讲图形的计数一.图形的计数——利用公式计数1.数线段：如果线段上有n个点，可数出线段条数：n×(n－1)÷22.数角：类似数线段，可数出角个数：射线条数×(射线条数－1)÷23.数三角形：如图1所示，三角形的个数：n×(n－1)÷2（其中，n为BC上的点的个数）如图2所示，三角形的个数：n×(n－1)÷2×m图1图2其中，n为BC上的顶点数，m为两端点分别在AB和AC上的线段的数量。
4.数长方形：长方形的个数＝长上线段条数×宽上线段条数25.数正方形：如图1，由相同的m ×m 个小方格组成的的正方形，所含的正方形总个数：1×1＋2×2＋…＋m ×m如图2，由相同的m×n （m ＜n ）个小方格组成的的正方形，所含的正方形总个数：m ×n ＋(m －1)×(n －1)＋…＋1×[n －(m －1)]图1图2考法1：数线段和角1.数一数，图中包含多少条线段？2.数一数，图中包含多少个角？考法2：数三角形1.数一数，下面图中各包含多少个三角形？2.数一数，下面图中包含多少个三角形？考法3：数长方形数一数图中包含多少个长方形？考法4：数正方形下面的5×5和6×4的图中各包含多少个正方形？二.图形的计数——分类计数在几何图形计数中，会出现如下组合图形：a.由一个图形分割成多个三角形的组合图形；b.由等面积的小正三角形组成的三角形、梯形、平行四边形；c.由等面积的小正方形组成的含“☆”的矩形；此类图形计数——分类：从最单一的小图形出发开始计数；②按照图形组合需要的个数来进行分类。
4考法1：数三角形1.数一数图中有多少个三角形？2.数一数图中有多少个三角形？考法2：数平行四边形数一数图中包含多少个平行四边形？考法3：数梯形下图是由9个小等边三角形构成的大三角形，其中包含多少个等腰梯形？考法4：数包含“★”的矩形图中含有“★”的矩形总共有多少个？1.如图，由小正方形构成的长方形网格中共有线段多少条？2.图中共包含多少个三角形？3.图中共包含多少个矩形？其中正方形有多少个？4.数一数图中有多少个三角形？5.下图是由9个小等边三角形构成的大三角形，其中包含多少个平行四边形？6.图中含有“☆”的正方形共有多少个？6。
小学奥数模块教程几何计数(ABC级)
几何计数知识框架一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。
图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。
三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。
（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。
二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。
（2）对应法数图形。
一、 分类数图形【例 1】 下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】 如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】 图中有______个正方形．例题精讲【巩固】 数一数：图中共有________ 个正方形。
【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。
CBA【例 5】如图，每个小正方形的面积都是l平方厘米。
则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。
小学数学难题
小学数学难题解法大全第五部分典型难题讲析（七之五）简单几何问题（五）简单几何问题1.几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。
将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。
第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。
所以是小三角形个数多。
例2 直线m上有4个点，直线n上有5个点。
以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。
直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。
以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。
同理，m上4个点可以组成6条线段。
以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。
所以，一共可以组成70个三角形。
【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。
在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。
①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。
所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。
例2 图5.48中共有______个三角形。
（《现代小学数学》）邀请赛试题）讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。
五年级奥数专题：图形的计数
五年级奥数专题：图形的计数A 3A 1OA 2A 4A 5A 7A 6A 8A 9A 10A 11 A 12九图形的计数(A)年级班姓名得分⼀、填空题1．下图中⼀共有（）条线段.2. 如右上图,O 为三⾓形A 1A 6A 12的边A 1A 12上的⼀点,分别连结OA 2,OA 3,…OA 11，这样图中共有_____个三⾓形.3. 下图中有_____4. 右上图中共有_____个梯形.5.数⼀数(1)⼀共有( )个长⽅形. (2)6. 在下图中,所有正⽅形的个数是______.AC E7. 在⼀块画有4?4⽅格⽹⽊板上钉上了25颗铁钉(如下图),如果⽤线绳围正⽅形,最多可以围出_____个.8. ⼀块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上⾯有4?4个钉(如右图).以每个钉为顶点,你能⽤⽪筋套出正⽅形和长⽅形共_____个.9. 如下图,⽅格纸上放了20枚棋⼦,以棋⼦为顶点的正⽅形共有_____个.10. 数⼀数,下图是由_____个⼩⽴⽅体堆成的.要注意那些看不见的.⼆、解答题11. 右图中共有7层⼩三⾓形，求⽩⾊⼩三⾓形的个数与⿊⾊⼩三⾓形的个数之⽐.12. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平⾏，则图中梯形个数与三⾓形个数的差是多少？13．现在都是由边长为1厘⽶的红⾊、⽩⾊两种正⽅形分别组成边长为2厘⽶、4厘⽶、8厘⽶、9厘⽶的⼤⼩不同的正⽅形、它们的特点都是正⽅形的四边的⼩正⽅形都是涂有红颜⾊的⼩正⽅形，除此以外，都是涂有⽩⾊的⼩正⽅形，要组成这样4个⼤⼩不同的正⽅形，总共需要红⾊正⽅形多少个？⽩⾊正⽅形多少个？14ABC的每⼀边4等分，过各分点作边的平⾏线，在所得下图中有多少个平⾏四边形？九图形的计数（B）年级班姓名得分⼀、填空题1. 下图中长⽅形（包括正⽅形）总个数是_____.2. 右上图中有正⽅形_____个,三⾓形_____个,平⾏四边形_____个,梯形_____个.3. 下图中共出现了_____个长⽅形.4. 先把正⽅形平均分成8个三⾓形.再数⼀数,它⼀共有_____个⼤⼩不同的三⾓形.5. 图形中有_____个三⾓形.6．如右上图,⼀个三⾓形分成36个⼩三⾓形.把每个⼩三⾓形涂上红⾊或蓝⾊,两个有公共边的⼩三⾓形要涂上不同的颜⾊,已知涂成红⾊的三⾓形⽐涂成蓝⾊的三⾓形多,那么多_____个.7. 下图是由⼩⽴⽅体码放起来的,其中有⼀些⼩⽅体看不见.图中共有_____个⼩⽴⽅体.8. 右上图中共有_____个正⽅形.9. 有九张同样⼤⼩的圆形纸⽚,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。
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九图形的计数（B）
年级班姓名得分
一、填空题
1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.
2. 下图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个.
3. 下图中共出现了_____个长方形.
4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形.
5. 图形中有_____个三角形.
6．如下图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个.
7. 右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.
8. 下图中共有_____个正方形.
9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。
把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：
如果M 位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法.
10. 如下图,在2×2方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么10×10方格中,画一条直线最多可穿过_____个方格.
二、解答题
11. 把一条长15cm 的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）
12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形?
13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个
?
14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话,最多可以穿透几个小立方体?
———————————————答案——————————————————————
1. 90
利用例1和例4公式可直接计算:
(5+4+3+2+1)×(3+2+1)
=15×6
=90(个)
[注]注意,由长方形、正方形的意义可知，正方形一定是长方形，但反之不然.故求长方形个数时,不必把正方形分开考虑.
2. 3个正方形; 18个三角形; 6个平行四边形; 8个梯形.
3. 18
根据这个图形的特点,我们先数出下图(1)中长方形的个数为(2+1)×(2+1)=9个；然后在图(1)的内部添上一个长方形得到图(2).这时新产生的长方形有(2+1)×(2+1)=9个.至此已将图(1)还
原为题图,同时题图中的长方形已全部数完.因此,原图中共有长方形.
(2+1)×(2+1)+ (2+1)×(2+1)=18(个).
(1) (2)
4. 16
具体分法如下图所示.基中小三角形有8个,由两个小三角形组成的三角形有4个,由四个小三角形组成的三角形有4个,所以共有三角形8+4+4=16(个).
5. 72
把图中最小三角形作为基数,然后按含有几个基数的三角形分类进行解答.
含一个基数的三角形,共有16个；含两个基数的三角形，共有24个；含四个基数的三角形，共有20个；含八个基数的三角形，共有8个；含十六个基数的三角形，共有4个.因此,整个图形中共有
16+24+20+8+4=72(个)三角形.
6. 6
图中的三角形可分成两种,一种是尖头向上的,一种是尖头向下的.从图上可以看出,每种三角形必须涂成同一颜色.为了使涂红色的三角形比涂蓝色的三角形多,尖头向上的三角形要涂红色.
每一横排,尖头向上的三角形要比尖头向下的三角形多一个,共有6排,因此,涂红色的比涂蓝色的三角形多6个.
7. 38
将原立体图形从左至右分类计算,共有16+9+5+7+1=38个.
8. 115
单独的一个4×4的方格中有12+22+32+42=30个正方形,两个4×4的方格如原图重叠后,重叠部分有5个正方形.所以原图中一共有30×4-5×3=115个正方形.
9. 6
根据标有相同数码的纸片不许靠在一起的条件，当M位置上放标有数码“3”的纸片时，其余两个标有数码“3”的纸片，只能放置在下面左右两边两个圆圈内.如下图所示.
这样圆圈绕M圆紧接着M的六个圈旋转一周,回到初始状态,可知共有六种不同的放置方法.
10. 19
如果直线与大正方形的两横边都有交点,则与所有的横边产生11个交点,与竖边至多9个交点,共20个交点.
如果直线与大正方形的一横边和一竖边有交点,则与横边至多产生10个交点,与竖边至多产生10个交点,共20个交点.
20个交点,将直线分成21部分,其中在大正方形有内有19部分,故至多穿过19个方格.
[注]穿过一个方格,在直线上截出一条线段,线段由直线上的交点决定,关键是求交点个数.
对小学生来说,通常总是从简单情况入手,即由1×1方格,2×2方格,3×3方格等的情况,归纳出一般的规律,从而得出10×10方格的结果.请同学们用归纳法试一试!
11. 最大边为7时,另两边之和为8,可构成4个(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形；最大边为6时，另两边之和为9，可构成2个（3+6，4+5）不同的三角形;最大边为5时,可构成1个(5+5)不同的三角形.所以一共可组成7个不同的三角形.
12. 由三角形的一边为11厘米,及其他边长必为1,2,.…，11厘米，根据三角形两边之和大于第三边的性质，可知两边之和应介于12厘米和22厘米之间（包含12厘米和22厘米）.这样,共可围成36个不同的三角形.
12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；
13:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；
14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；
15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；
16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；
17:(6,11),(7,10),(8,9)；
18:(7,11),(8,10),(9,9)；
19:(8,11),(9,10)；
20:(9,11),(10,10)；
21:(10,11)；
22:(11,11)
所以，一共可以围成36个不同的三角形.
13. 为方便起见,不妨设原正方形的边长为3,则小正方形的边长是1,阴影三角形的面积是2
1×2×3=3.所求的三角形可分两种情形: (1)三角形的一边长为2,这边上的高是3.这时,长为2的边只能在原正方形的边上,这样的三角形有2×4×4=32(个)；
(2)三角形的一边长为3,这边上的高是2.这时长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线.其中与(1)重复的三角形不再算入,这样的三角形有8×2=16(个).
因此,所求的三角形共32+16=48(个)(包括图中开始给的三角形.)
14. 最多可以穿透7个小立方体.提示:仿题10.。