专题7.2数学思想方法诠释
数学思想方法
数学思想方法数学中的“对应”思想是指两个集合之间存在着一种特殊的关系，称为“对应关系”。
对应关系是一种非常重要的数学思想，它可以帮助我们更好地理解和解决各种问题。
初中数学中最常见的对应关系就是函数，函数是一种特殊的对应关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
初中时，我们研究了一些简单的函数，比如一次函数、二次函数、反比例函数等等。
高中时，我们还将研究更多种类的函数，比如指数函数、对数函数、三角函数等等。
对于每种函数，我们需要了解它的定义域、值域、图象、性质等等，这些都需要用到对应的思想。
除了函数以外，初中数学中还有很多其他的对应关系，比如相似、全等、对称等等。
在今后的数学研究中，我们需要注重对应思想的训练，学会找出两个集合之间的对应关系，从而更好地理解和解决各种数学问题。
数学思想是将现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，并通过思维活动产生的一种结果。
它是处理数学问题的基本观点，是数学基础知识与基本方法本质的概括，是创造性发展数学的指导方针。
相比于一般的数学概念，数学思想具有更高的抽象概括水平，更本质、更深刻。
数学方法是为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。
数学思想和数学方法既统一又有区别。
例如，在初中代数中，解多元方程组用的是“消元法”，解高次方程用的是“降次法”，解双二次方程用的是“替换法”。
这里的“消元”、“降次”、“替换”都是具体的数学方法，但它们不是数学思想，这三种方法共同体现出“转化”这一数学思想，即把复杂问题转化为简单问题的思想。
每一种数学方法都体现了一定的数学思想，每一种数学思想在不同的场合又通过一定的手段表现出来，这里的手段就是数学方法。
数学思想是理性认识，是相关的数学方法的精神实质和理论依据。
数学方法是向实践的，是工具性的，是实施有关思想的技术手段。
因此，数学思想方法被视为一个整体概念。
数学思想方法具有三个层次：低层次的数学思想方法（如消元法、换元法、代人法等），较高层次的数学思想方法（如分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等），高层次的数学思想方法（如转化、分类、数形结合等）。
高考数学(精讲精练精析)专题7.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划试题(江苏版)(含解析)-江
专题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划【三年高考】1. 【2016高考江苏12】已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，，则22x y+的取值范围是 .【答案】4 [,13] 5【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.2．【2016高考浙江理数改编】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│= ．【答案】32考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．3.【2016年高考北京理数改编】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4．考点：线性规划.xy OP【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z 的大小变化，得到最优解.4．【2016年高考四川理数改编】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的 ．（在必要不充分条件、充分不必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选填）【答案】必要不充分条件 【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故是必要不充分条件.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．5．【2016高考浙江文数改编】若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 . 352 3252考点：线性规划.【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．6.【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为_____________.【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点1(1,)2A 时取得最大值，即max 13122z =+=．考点：简单的线性规划问题．【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果． 7.【2016高考山东理数改编】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y 的最大值是 ．【答案】10考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.8.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为 ．【答案】6 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6．考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ①目标函数2100900z x y =+.二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900zy x =-+经过点M时,z 取得最大值. 解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.10【2015高考新课标1，文15】若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．【答案】411.【2015高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为__________________. 【答案】1【解析】如图，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于43，再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422(,)33m m C -+;从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43，化简得：2(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =.12.【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为____________________.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【答案】18万元13.【2015高考浙江，文14】已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 【答案】1514.【2015高考四川，文9】设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为_______________.【答案】252【解析】画出可行域如图 在△ABC 区域中结合图象可知 当动点在线段AC 上时xy 取得最大 此时2x ＋y ＝10xy ＝12(2x ·y )≤21225()222x y +=当且仅当x ＝52，y ＝5时取等号，对应点(52，5)落在线段AC 上，故最大值为252.15．【2014高考安徽卷文第13题】不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.【答案】4A BCyx0 61410A【解析】不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分，则其表示的面积112222422ABCD ABD BCD S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=.16．【2014高考福建卷文第11题】已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为_________________.【答案】3717. 【2014高考全国1卷文第11题】设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =___.【答案】3【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：11(,)22a a A -+，又由题中z x ay =+可知，当0a >时，z 有最小值：21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得：3a =;当0a <时，z 无最小值18. 【2014高考浙江卷文第12题】若、y 满足和240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x +的取值范围是________.【答案】]3,1[【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用这部分的考查，主要考查二元一次不等式（组）表示的平面区域、目标函数的最优解问题、与最优解相关的参数问题，高考中一般会以选填题形式考查．从近几年高考试题来看，试题难度较低，属于中低档试题，一般放在选择题的第5-7题或填空题的前两位．从近几年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求目标函数的最值，线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中、低档题．主要考查平面区域的画法，目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．对二元一次不等式（组）表示的平面区域的考查，关键明确二元等式表示直线或曲线，而二元不等式表示直线或曲线一侧的平面区域，以小题形式出现.对目标函数的最优解问题的考查，首先要正确画出可行域，明确目标函数的几何意义，以小题形式出现．对与最优解相关的参数问题，在近几年的高考中频频出现，并且题型有所变化，体现“活”“变”“新”等特点，在备考中予以特别关注．故预测2017年高考仍将以目标函数的最值，特别是含参数的线性规划问题，线性规划的综合运用是主要考查点，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．【2017年高考考点定位】高考对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用的考查有以下几种主要形式：一是不等式（组）表示的平面区域；二是线性目标函数最优解问题；三是非线性目标函数最优解问题；四是线性规划与其他知识的交汇．【考点1】不等式（组）表示的平面区域 【备考知识梳理】二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【规律方法技巧】由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域. 【考点针对训练】1．【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】若点(),x y P 满足约束条件022x x y a x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，且点(),x y P 所形成区域的面积为12，则实数a 的值为 ．【答案】8【解析】由题意作出其平面区域，∵点(),x y P 所形成区域的面积为12，∴0a >，由2x y a -=，令x =0得2a y =-， 由22x y a x y -=+=⎧⎨⎩解得44,212832312a a a x S a ++=∴=⨯+⨯=∴=（），.2．【2015届安徽省淮南一中等四校高三5月联考】设不等式组310060360x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为D ，若函数log a y x =（10≠>a a 且）的图象上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,321,0【考点2】线性目标函数最优解问题 【备考知识梳理】名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解【规律方法技巧】线性目标函数z Ax By C =++（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+，这样线性目标函数可看成斜率为AB-，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x ，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解. 【考点针对训练】1. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ . 【答案】3-【解析】可行域为一个三角形及其内部，其三个顶点坐标分别为(1,0),(5,0),(1,4)A B C -,当目标函数过点(1,4)C 时z 取最小值3-．2. 【2015届浙江省宁波市高三下学期第二次模拟考试】已知点(x ，y)的坐标满足条件302602290x y a x y x y --<⎧⎪+->⎨-+>⎪⎩，且x ，y 均为正整数.若4x －y 取到最大值8，则整数a 的最大值为___________. 【答案】5【考点3】非线性规划问题 【备考知识梳理】1.距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. 2.斜率型：形如z ＝y －bx －a. 【规律方法技巧】对于非线性目标函数的最优解问题，关键要搞清目标函数的几何意义，利用数形结合思想求解． 【考点针对训练】1. 【江苏歌风中学（如皋办学）高三数学九月月考】若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 . 【答案】8【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图OAB ∆内部（含边界），再作直线:0l x y +=，向上平移直线l ，z x y =+增大，当l 过点(1,2)B 时，z x y =+取得最大值3，因此2x y +的最大值为8．2. 【2015届湖南省怀化市中小学课改质量检测高三第一次模考】已知实数、x y 满足242y xx y y ⎧≤⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22)2()1(-+-=y x z 的最小值为____________________.【答案】95 【考点4】线性规划问题与其他知识交汇 【备考知识梳理】线性规划问题与其他知识交叉融合，不仅体现了高中数学常用的数学思想方法，比如数形结合思想，转化与化归思想，而且体现了学生综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力． 【规律方法技巧】线性规划问题可以和概率、向量、解析几何等交汇考查，关键是通过转化，最终转化为线性规划问题处理． 【规律方法技巧】1．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x ，表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O ．若点M 是D 上的动点，则||OM OM OA ⋅的最小值是____________________.【答案】1010 【解析】设点M 的坐标为(,)x y ，则22||OA OMx OM x y⋅=+，根据约束条件画出可行域可知0x >，故222221||1OA OMx yx yOM x⋅==++，而y x 的几何意义为可行域的点与原点所确定直线的斜率，数形结合可知yx 的最大值为3，则||OM OM OA ⋅的最小值为1010.2．定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数x ，y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是_______________. 【答案】[7,10]-【两年模拟详解析】1. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(－∞,3]【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2表示的平面区域是以(0,0),(0,2),(1,0)O A B 为顶点的三角形内部（含边界），由题意00302303a +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，所以3a ≤．2．【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤2，x ＋y ≤8，x ≥1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________． 【答案】1．【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≤2，x ＋y≤8，x ≥1，，其是由点()1,7A ,()1,1B -,()5,3C 围成的三角形区域（包含边界），对于目标函数z ＝2x ＋y ，转化为直线2y x z =-+，过点()1,1B -时，z 最小，即2111z =⨯-=．3．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知实数,x y 满足约束条件152x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤-⎩，则2123y x -+的最大值为 . 【答案】75【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中)27,23(),3,1(),4,1(C B A ，而2321321y 2+-=+-x y x 表示可行域的点),(y x P到点)21,23(-E 连线的斜率,因此其最大值为.57231214=+-=EA k 4．【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】若实数,x y 满足约束条件1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则|3410|x y --的最大值为 .【答案】494【解析】1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示一个三角形ABC 及其内部，其中13(1,0),(0,0),(,)44A B C ，且可行域在直线上方34100x y --=，因此|3410|3410x y x y --=-++，过点13(,)44C 时取最大值，为494．5．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】某工厂用A ，B 两种配件分别生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件、耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 配件、耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，每天生产甲、乙两种产品总耗时不超过8小时．若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，那么该工厂每天可获取的最大利润为________万元． 【答案】146．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设不等式组204020xy xy y，，表示的平面区域为D ，若指数函数(0,1)xy a a a =>≠的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是_______. 【答案】(0,1)[3)+∞，【解析】可行域D 为一个开放的区域，如图（阴影部分）.当01a <<时，指数函数xy a =的图像与可行域D 恒有交点；当1a >时，需满足13a ≥，才能使指数函数x y a =的图像与可行域D 有交点；综上a 的取值范围是(0,1)[3)+∞，7．【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a ba b ++的最大值为_________. 【答案】75【解析】作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），13(,)22A ，(1,1)C ，设(,)P a b 是可行域内任一点，则OP b k a =的最大值为32312OA k ==，最小值为111OC k ==，23322222a b a b a b a b a +=-=-+++，可见当b a 取最大值3时，22a b a b ++也取最大值为75.8．【泰州市2015届高三第三次调研测试】已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z 2x +y 的最小值是 ▲ ．【答案】3-【解析】如下图所示，当直线2y x z =-+经过或行域||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,的边界点(1,1)A --时，目标函数的最小值3-.9．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3， 则实数b 的值为 ． 【答案】94【解析】作出约束条件表示的可行域，如图射线OA ，OB 所夹区域且在直线AB 上方(含边界)(AB 待定)，作直线:20l x y +=，平移直线l ，可见当l 过点A 时，z 取得最小值，此时2y x =代入得223x x +=，34x =，故有33(,)42A ，因此3324b =-+，94b =.10．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(6)】实数x ，y 满足121,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z=x —y的最小值为-2，则实数m 的值为______. 【答案】8【解析】如图，约束条件表示的可行域应该是ABC ∆内部（含边界）（否则可行域不存在），作直线:0l x y -=，当把直线l 向上平移时，z 减小，因此其最小值点是直线21y x =-与直线x y m +=的交点，由212y x x y =-⎧⎨-=-⎩得(3,5)B ，代入x y m +=得8m =.11．【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ． 【答案】4【解析】作出题中约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:20l x y +=，当直线l 过点(2,0)C 时，z 取最大值4.12．【徐州市2014～2015学年度高三第三次质量检测】已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-,03,05,0y y x y x 若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立，则实数m 的最大值是 .【答案】2513a ≤【解析】画出由条件05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩决定的的可行域如下图所示，因为22222222()22()()11x y xy m x y x y m x y x y x y y x++≤+⇔≤=+=++++令y t x =，由线性规划知识可知312t ≤≤，则22111x y t y x t+=+++，令13(),(1)2f t t t t =+≤≤，由函数()f t 单调性可知，当32t =时，函数()f t 有最大值136，此时222()x y x y ++有最小值2513，所以2513a ≤及.13．【盐城市2015届高三年级第三次模拟考试】若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ．【答案】6【解析】不等式组+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩表示的区域如图阴影部分所示：当直线20x y z +-=经过点(4,2)B -时，z 取得最大值6.故答案为6.14．【2015届山东师大附中高三第九次模拟】若关于,x y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为_____________. 【答案】1【解析】由题意得：010x y kx y +=-+=与垂直，因此10, 1.k k -==15.【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】已知实数,x y 满足平面区域10:220220x y D x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为_______________.【答案】816.【2015届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则23a b+的最小值为_______________. 【答案】517.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】设⎩⎨⎧<≥-=,2,,2,y x y y x y x z 若22,22≤≤-≤≤-y x ，则z 的最小值为______________. 【答案】-1【解析】符合22,22≤≤-≤≤-y x 的区域如图所示：当2x y ≥时，目标函数z x y =-在A 点取得最小值-1；当2x y <时，目标函数z y =在A 点处取得最小值-1，综上可得：z 的最小值为-1．18.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】已知不等式组220,22,22x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当APB ∠最大时，PA PB ⋅的值为_____________. 【答案】3219.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】已知实数变量,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-≥+,0121,0,1y mx y x y x 且目标函数3z x y =-的最大值为4，则实数m 的值为_____________.【答案】1拓展试题以及解析1.设不等式组204020x yx yy表示的平面区域为D，若指数函数xy a的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是__________________. 【答案】(1]3，【入选理由】本题主要考了简单的线性规划，以及指数函数的图像等相关概念,体现了分类讨论的数学思想,意在考查学生的数形结合能力和计算能力.本题考查线性规划与函数图象性质的交汇，通过研究函数xy a =的性质，来确定a 的取值范围，这是线性规划问题涉及不多，故选此题．2.执行如图的程序框图，如果输入,x y R ∈，那么输出的S 的的最小值是_______________.【答案】255121416182022243x+y-6=0x-y+1=0x+2y-2=0C 621A BOyx【入选理由】本题考查考查程序框图中的顺序结构，条件结构以及相应语句,线性规划的应用等基础知识知识，意在考查画图、用图,分析问题、解决问题、及基本运算能力.该题新颖独特，故选此题．3.已知不等式组202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩表示的平面区域，则231x y z x +-=-的最大值 .【答案】7【入选理由】本题主要考查线性规划的应用等基础知识知识，意在考查学生的画图、用图，以及数形结合能力和计算能力.此题给出的目标函数231x y z x +-=-，似乎不好入手，但整理后2311211x y y z x x +--==+--，转化为斜率，就转化为常规题，高考线性规划问题的命题越来多变灵活，故选此题.。
数学中思想方法的概念
数学中思想方法的概念数学中的思想方法是指探索和解决数学问题时所采用的思维方式和方法论。
它们是数学家们长期实践和总结的经验，体现了数学的独特思维和逻辑思考方式。
数学的思想方法包括了数学的基本原则、策略和技巧等方面，这些方法有助于我们更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
首先，数学的思想方法强调逻辑思维和推理能力。
数学是一门严谨的学科，强调逻辑推理和证明。
在解决数学问题时，我们需要运用逻辑思维，分析问题的条件和要求，寻找问题的逻辑关系，并运用逻辑推理、归纳和演绎等方法来解决问题。
比如，在证明一个数学定理时，我们需要用到严格的逻辑推理，每一步都要有充分的依据和证据，严密地推导出结论。
其次，数学的思想方法注重抽象和概括能力。
数学往往涉及大量的信息和数据，而我们需要从中抽取出关键的信息和特点，进行概括和抽象。
通过抽象和概括，我们可以将具体问题归纳为一般规律和模式，从而更好地理解问题的本质和性质。
例如，在解决代数问题时，我们可以把具体的数字用字母表示，以找到普遍的规律，并能够处理更一般性的情况。
第三，数学的思想方法鼓励创造性思维。
数学问题往往有多种解法，有时候需要发散思维，尝试不同的方法和角度来解决问题。
创造性思维能够激发我们的想象力和创新能力，帮助我们发现新的数学规律和性质。
例如，发现新的数学定理或构造一个新的证明方法，都需要很高水平的创造性思维。
第四，数学的思想方法强调坚持和耐心。
解决数学问题往往需要投入大量的时间和精力，在解决困难问题时容易遇到挫折和困惑。
坚持和耐心是数学家必备的品质，它们能够帮助我们克服困难，深入思考，并最终找到解决问题的方法。
例如，在解决一个复杂的证明问题时，我们可能会遇到一系列困难和挑战，但只有坚持下去，并逐渐寻找到突破点，才能最终得到解决方法。
此外，数学的思想方法还强调数学与其他学科的联系。
数学与其他学科有着密切的关系，通过与其他学科的交叉融合，我们可以更好地理解和应用数学知识。
数学思想方法
数学思想方法
1 数学思想方法
数学思想方法是一种独特而宏大的思考方式，它主要包括模型构建、数量描述和推理推断等三大组成部分，它不仅方便、快捷。
同时也具有规范和客观、准确性。
研究表明，数学思想方法是临床实践和学习的必备想法，它不仅可以应用但实际生活中，而且也对提升学习能力和思维能力具有很大的促进作用。
2 模型构建
模型构建是数学思想方法的基础，是用规律和原理把模拟物体表示出来。
通过建立合适的模型，可以更深入地分析和研究现象，并运用数学来解决实际中的问题。
当构建符合实际的模型时，就可以对真实的数据进行计算分析，进而得出有效的结论。
3 数量描述
在模型构建的基础上，数学思想方法主要涉及和研究的是数量的运算和表达，以获取有效的数据和结论。
数量的描述包括数量转换、分析统计分类、单位换算以及方程绘制。
这种方式把一个整体的知识分析出来，使得把不同数据之间的关系表明出来，真正实现了数学思想方法的优势地位。
4 推理推断
推理推断是数学思想方法的最后一个步骤，也是一种把实际应用到数学之中的思想推断。
通过推理推断，我们可以从现存的数量解析出真正的因果关系，从而更准确地分析和把握事物的发展规律，并运用数学的力量来更好的解决现实问题。
以上就是数学思想方法的概括介绍，可以看出数学思想方法不仅可以提升我们的思维能力，还可以学会应用数学的方法去解决实际的问题，这也是这种思想方法最具有价值的一点。
因此，我们应该深入学习和研究这一方法，以便能够更好地利用它去实现更大的效果。
总结数学思想方法
总结数学思想方法数学思想方法是数学研究和解决问题的基本思维方式和方法论。
它通常被认为是一种逻辑严谨、推理严密的思考方式。
数学思想方法的核心是抽象、推理和证明。
在数学思想方法中，数学家通过抽象和推理来发现并构造数学对象，通过证明来验证并确立数学结论。
本文将总结数学思想方法的几个重要方面。
首先，数学思想方法的基石是抽象。
数学家通过抽象将问题中的实际对象抽离出来，转化为数学对象。
抽象使问题具有普适性，并且能够让我们从多种角度思考问题。
例如，在几何学中，我们可以将实际的几何对象，如点、线、平面等，抽象为几何空间中的抽象对象。
这种抽象使得我们可以研究几何性质的本质，并且可以构造出一般性的结论。
其次，数学思想方法强调推理。
推理是从已知事实出发，通过逻辑关系来得出新的结论的思维过程。
数学家通过推理来推导出数学对象之间的关系和相互作用。
推理可以分为演绎推理和归纳推理两种。
演绎推理是从一般性的前提出发，通过逻辑推理得出具体的结论。
而归纳推理则是从具体的例子中归纳出一般性的规律。
推理在数学证明中扮演着重要角色，它是数学结论的重要依据。
另外，数学思想方法的重要特点是证明。
证明是数学中最为严谨和重要的环节。
通过证明，我们可以验证数学结论的正确性，并确保其在任何情况下都是成立的。
证明可以采用不同的方法，如直接证明、反证法、数学归纳法等。
直接证明是从已知前提出发，通过逻辑推理逐步得出结论；反证法是先假设结论不成立，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而推翻假设；数学归纳法是通过证明结论在某个基础上成立，并推导出结论在下一个阶段也成立。
证明可以增强我们对数学结论的理解和信心，并为我们提供了解决其他问题的思路和方法。
在数学思想方法中，还存在一些其他重要的思维方式，如递归思维、反思思维和创造思维。
递归思维是将问题分解为更小的子问题，并利用这些子问题的解来求解原始问题。
反思思维是对问题、方法和结论进行深度反思和思考，以便发现潜在的错误或改进的空间。
知识全解：7.2_二元一次方程组的解法
7.2 二元一次方程组的解法
1. 掌握用“代入消元法”和“加减消元法”解二元一次方程组。
2.在将二元一次方程组转化为一元一次方程来解决方程的过程中，体会“化未知为已知”“化复杂为简单” 的化归思想。
3.利用二元一次方程组解决实际问题。
重点1：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数
重点2：用代入消元法解二元一次方程组
重点3：用加减消元法解二元一次方程组
难点：应用二元一次方程组解决简单的实际问题
本节教学可采用大胆放手让学生观察、试验、试一试的方法，在此基础上引导学生得出解二元一次方程组的第一种方法→代入消元法，并归纳出解题步骤．在用代入消元法解题时鼓励学生提出问题，我们会发现未知数系数都不是１或－１时，用代入法运算较麻烦．进而引入解二元一次方程的第二种方法→加减消元法．通过训练让学生体会加减法解方程的技巧．渗透化归的数学思想，让学生了解数学问题的常用的思考方法、思维方法．
观察、试验、比较；同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法．。
新华东师大版七年级数学下册《7章 一次方程组 7.2 二元一次方程组的解法 加减法解二元一次方程组》教案_5
7.2 二元一次方程组的解法——加减消元法一、教材分析：本节课内容节选自华师大版七年级数学下册第7章第二节第2课时。
是在学生学习了代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另外的一种消元方法——加减消元法，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。
如何求得二元一次方程组的解是本节课要解决的主要问题，通过本节的学习要让学生掌握解二元一次方程组的另一种方法——加减法。
使学生体会“化未知为已知”的化归思想，培养他们对数学的兴趣，同时，对后继数学的学习起到奠基作用。
二、学情分析：我所任教的班级学生基础比较一般，不过有些学生还是具有一定的探索能力和思维能力，也初步养成了合作交流的习惯。
有好一部分学生的好胜心比较强，性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨、引导和归纳。
因此，我遵循学生的认知规律，由浅入深，适时引导，调动学生的积极性，并适当地给予表扬和鼓励，借此增强他们的自信心。
三、教学策略分析：1、深究教材定教法：在深究教材章节内容后，围绕着确定的教学目标，我根据所要教的内容和七年级学生的年龄特征和认知特点，在教学中我主要采取了“先练后教，问题发现，分层探究，例题讲解，巩固训练，拓展设疑”的教法掌握重点，突破难点。
2、因材施教定学法：英国教育学家斯宾塞说过：“教课应该从具体开始，而以抽象结束。
”因此，在教学中，我先温故而知新，复习旧知，增加兴趣，再引入新知识，富有挑战性，课堂要求学生自主探究、合作学习。
对于问题，分组交流，相互补充，再进行归纳小结，而教师参与小组讨论，解答疑问。
四、教学目标：（一）知识与技能目标：1、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想。
2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元；3、学会用加减消元法解二元一次方程组；（二）过程与方法目标：1、根据方程的不同特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思想——消元；训练学生的运算技巧。
2023年新高考数学一轮复习7-2 等差数列及其前n项和(知识点讲解)解析版
专题7.2 等差数列及其前n 项和（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．【知识点展示】（一）等差数列1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . 2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=，，成等差数列. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． （二）等差数列的前和的求和公式：. （三）等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． (2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． （四）等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． （五）等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．（8）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. （9）等差数列中，(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a {}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶（10）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．（11）若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a Sb S --=. （12）等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．【常考题型剖析】题型一：等差数列基本量的运算例1.（2019·全国·高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ． 【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．例2．（2022·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 【答案】2 【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解. 【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.{}n a【总结提升】1.解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a 1和公差d ，通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a 1，d 表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程． 2.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.题型二：等差数列的判定与证明例3. （2020·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 【答案】140里. 【解析】 【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ， 则91260S =，147390a a a ++=. 因为1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-， 1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+所以11119(91)91260236390a d a a d a d ⨯-⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，则514100410140a a d =+=+⨯=， 所以该男子第5天走140里.例4.（2021·全国·高考真题（文））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】的公差d，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列是等差数列，设公差为d(n -()n *∈N∴12n S a n =，()n *∈N∴当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦∴{}n a 是等差数列.例5．（2021·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】选①②作条件证明③时，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选②③作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =． 选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+=，)1n =+=所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a +-03a=-<不合题意，舍去. 综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a =，因为也为等差数列，所以公差1d()11n d =-=故21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a两项的差1d11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论. 【总结提升】等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.题型三：等差数列的前n 项和例6．【多选题】（2022·湖南永州·三模）已知等差数列{}n a 是递减数列，n S 为其前n 项和，且78S S =，则（ ）A ．0d ＞B ．80a =C ．150S >D ．7S 、8S 均为n S 的最大值【答案】BD 【解析】【分析】根据等差数列的性质以及其前n 项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 【详解】因为等差数列{}n a 是递减数列，所以，10n n a a +-<，所以，0d <，故A 错误； 因为78S S =，所以8870a S S =-=，故B 正确； 因为()115158151502a a S a +===，故C 错误； 因为由题意得，789000a a a >⎛ = <⎝，所以，*78()n S S S n N =≥∈，故D 正确；故选：BD例7.（2020·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________． 【答案】25 【解析】 【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =. 故答案为：25.例8.（2018·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）n a =2n –9，（2）Sn =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】 【详解】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得nS 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{n a }的通项公式为n a =2n –9． （2）由（1）得Sn =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，Sn 取得最小值，最小值为–16．例9.（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】(1)26n a n =-；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-， 从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.例10．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，11a =，0n a >，141n n n a a S +=-． (1)计算2a 的值，求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】(1)23a =，21n a n =- (2)24(21)n T n n =+ 【解析】 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到24n n a a +-=，再根据等差数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，利用并项求和法计算可得； (1)解：当1n =时，12141a a a =-，解得23a =， 由题知141n n n a a S +=-①，12141n n n a a S +++=-②，由②-①得121()4n n n n a a a a +++-=，因为0n a >，所以24n n a a +-=， 于是：数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，以4为公差的等差数列， 即()2114(1)432211n a n n n -=+-=-=--，偶数项是以23a =为首项，以4为公差的等差数列，即234(1)41n a n n =+-=- 所以{}n a 的通项公式21n a n =-； (2)解：由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，212(43)(41)(41)(41)4(41)n n b b n n n n n -=---+-+=-+21234212(341)()()()4[37(41)]44(21)2n n n n n T b b b b b b n n n -+-=++++++=+++-=⨯=+. 【总结提升】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 题型四：等差数列性质及应用例11.（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，n a n a()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.例12．（2014·北京高考真题（理））若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8 【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.例13．（2016·北京·高考真题（理））已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-， 所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6．例14.（2021·江西新余四中高二月考（理））等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则2517208101214a a a ab b b b +++=+++________．【答案】4365【分析】 证明得出2121n n n n a S b T --=，结合等差中项的基本性质可求得结果. 【详解】因为等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，所以，25172011218101214112142211434321265a a a a a Sb b b b b T +++⨯+====+++⨯+.故答案为：4365. 【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n 项和公式求解．。
7.2__一元二次不等式及其解法
(1)2x2+4x+3<0; (2)-3x2-2x+8≤0; (3)8x-1≥16x2. 思维启迪 首先将二次项系数转化为正数，再看二 次三项式能否因式分解，若能,则可得方程的两根, 大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“Δ”, 利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.
由题意知该直线当-2≤m≤2时线段在x轴下方，
f f
((2)2)00,即2x22x2
2x 2x
3 1
0
0
① ②
9分
解①, 得x 1 7 或x 1 7 ,
2
2
解②, 得 1 3 x 1 3 .
2
2
由①②得 -1 7 x 1 3 .
2
2
x的 取 值 范 围 为{ x | -1 7 x 1 3 }.
A. ( 1 , 1) 32
B. (, 1) (1 ,) 32
C. ( 1 , 1) 23
D. (, 1) (1 ,) 23
（）
解析 不等式 ( 1 x)(x 1) 0,
2
3
同解于( x 1 )(x 1) 0,
23
又∵相应方程 ( x 1 )(x 1) 0 的两根为 23
x1
2
2
11分 12分
探究提高 （1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变 量，求谁的范围，谁就是参数. （2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒 小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在x轴下方.
当a=1时,有x≠1, 此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}. 综上可知:当a<0或a>1时, 原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0}; 当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.
数学思想方法概述
数学思想方法概述数学是一门探索规律和解决问题的科学，它有着独特的思维方式和方法。
数学思想方法的发展经历了漫长的历史，经过数学家们的探索和总结，形成了一套独特而有效的解题思路和方法。
本文将概述数学思想方法的主要内容，以及它们在实际问题中的应用。
一、归纳法归纳法在数学中起着重要的作用，它是从特例到一般的推理方法。
通过找出并总结一系列特例的规律，可以得到一般情况的结论。
数学中很多定理的证明都采用了归纳法，如数列的递推关系、数学归纳法等。
例如，对于一个等差数列，我们可以通过观察其中的特例（如前几项），发现每一项与前一项之间的差值是相同的，根据这个规律，可以应用归纳法得出该等差数列的通项公式。
二、演绎法演绎法是从一般的已知条件出发，通过逻辑推理得到特殊的结论。
演绎法在数学证明中经常使用，它包括假设、推理和结论三个基本步骤。
例如，在几何学中，我们可以通过已知的几何定理和公理，应用演绎法来推导出新的结论。
通过一系列严密的逻辑推理，我们可以得到几何图形间的相互关系、面积公式等。
三、逆向思维逆向思维是一种重要的解题方法，它与一般的思维方式相反。
在解决难题时，我们可以尝试从结果出发，逆向推理，找到问题的关键。
例如，在解方程时，如果我们难以通过正向的代数运算求解，就可以考虑逆向思维，设定一个未知数的值，反推出满足方程的条件。
逆向思维有时能够帮助我们发现问题的本质和解决的方向，从而得到更简洁的解法。
四、形象思维数学是一门抽象的学科，但在解决问题时，形象思维起着重要的作用。
通过将抽象的数学概念用具体的形象来表示，可以加深对问题的理解，找到解决问题的关键。
例如，在解决几何问题时，我们可以通过画图来加深对几何性质的理解，从而找到问题的解决思路。
形象思维还可以通过数字转化为图形、实物模型等形式来帮助解决问题。
五、推广与应用数学思维方法不仅局限于纯数学领域，它们在各个领域中都有广泛的应用。
数学思维方法能够帮助我们理清问题的逻辑关系，提高分析和解决问题的能力。
重庆市2019届中考数学一轮复习《7.2概率》讲解含答案
第二节概率课标呈现_指引方向1．能通过列表、画树状图等方法列m简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率．2．知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率．考点梳理夯实基础1．事件的分类(1)在自然和现实社会中，有些事件我们事先能够肯定它一定会发生的事件称为必然事件．(2)有些事件事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件．(3) 必然事件和不可能事件统称为不确定事件．(4)在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件，称为随机事件．2．概率(1)定义：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率．P（必然事件）= 1；P（不可能事件）=0；0 <P（随机事件）<1．(2)计算公式：P（事件的概率）= mn（m表示所关注的事件的结果数．n表示所有可能的结果数）．(3)两步试验事件的概率计算方法主要有两种：一是列表法，二是画树状图．(4)用频率估计概率：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率！会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A发生的概率，即P(A)=p.考点精析专项突破考点一事件的分类【例l】（2019攀枝花）下列说法中正确的是（D）A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B．“20x<（x是实数）”是随机事件C．掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上D．367人中，必有两人的生日在同一天解题点拨：解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法，必然事件指在一定条件下一定发生的事件：不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．考点二概率【例2】（2019泸州）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取1只球，则取出黑球的概率是 ( C )A. 12B.14C.13D14解题点拨：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目：②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小.【例3】（2019重庆4卷）从数一2，12-，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n．若k= mn,，则正比例函数y=kx的图象经过第一、第三象限的概率是1 6解题点拨：利用树状图或列表，可得五有12个值，其中正数七的值有2个，所以概率为16．【例4】（2019潍坊）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了4、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．评估成绩（n）分评定等级频数90≤n≤100 A 280≤n<90 B70≤n<80 C 15n<70 D 6根据以上信息解答下列问题：(1)求m的值；(2)在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是4等级的概率．解题点拨：(1)由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值：(2)首先求得日等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小：(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是4等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：(1) C等级频数为15，占60%，可求出m的值.m =15÷60%= 25：(2) B等级频数为：25-2-15-6=2，B等级所在扇形的圆心角的大小为：225×360 =28.8= 28`28；(3)评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：∴共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，其中至少有一家是A等级的概率为：105. 126=考点三用频率估计概率【例5】（2019泰州）事件4发生的概率为嘉，大量重复做这种试验，事件4平均每100次发生的次数是5．解题点拨：用频率估计概率的思想进行计算可．【例6】有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有A，B，C，D和一个等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．(1)用面树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能m现的所有情况（结果用A，B，C，D表示）．(2)小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜；若至少有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，则这个规则对谁有利？为什么？A16=±4 B. 22-=4 C.33332x x x-= D. 532b b b÷=解题点拨：计算出每种情况的概率即可．解：(1)所有情况有12种：（A，B）、(A，C)、(A，D)、（B，A）、(B，C)、(B，D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C).(2)游戏不公平．这个规则对小强有利．理由如下：P（小明获胜）=21 126=，P（小强获胜）= 105 126=P（小明获胜）<P(小强获胜)，∴这个规则对小强有利．1．（2019湖北）下列说法中正确的是 (B)A．“任意面m一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B．“任意面m一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件D．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为62．（2019重庆B卷）点P的坐标是(a，b)，从-2，-1，0，l，2这五个数中任取一个数作为。
数学中的思想方法
数学中的思想方法数学是一门独特的学科，具有独特的思想方法。
数学的思想方法是数学家在解决问题时所采用的思考方式和严密的逻辑推理过程。
下面我将从抽象化、逻辑性、严谨性、综合性、创造性和实用性六个方面阐述数学的思想方法。
首先，数学的思想方法之一是抽象化。
数学家经常将具体的实际问题抽象成符号、代数或几何结构，通过对符号和结构的处理，寻找问题的普遍性规律。
例如，代数方程是将实际问题抽象成符号形式，通过方程求解来得出问题的解。
其次，数学的思想方法是逻辑性。
数学家通过逻辑推理来得出结论，推导每一步都必须符合严格的逻辑规则，确保推导的正确性。
数学的推理过程严密而明确，每一步都有清晰的证明和推导。
逻辑性是数学思维的基础，也是数学的精髓所在。
第三，数学的思想方法是严谨性。
数学家在解决问题时要求严谨，在每一步推理中都符合逻辑规则和数学定义，不留任何疑点。
严谨性是数学的基本要求之一，它保证了数学的正确性和可靠性。
第四，数学的思想方法是综合性。
数学家在解决问题时需要综合运用多个数学概念和方法，将各种方法和工具结合起来进行分析和求解。
数学的综合性要求数学家具备广泛的数学知识和技能，能够从多个角度去分析和解决问题。
第五，数学的思想方法是创造性。
数学家在解决问题时需要具备创造力，创造新的概念、方法和定理。
数学建立在已有知识的基础上，但新的数学成果往往需要创造性的思维和灵感。
创造性是数学家解决复杂问题和推动数学发展的核心。
最后，数学的思想方法是实用性。
虽然数学具有一定的抽象性和理论性，但数学的应用非常广泛。
数学在物理、工程、经济、计算机等领域都有重要的应用。
数学家通过各种数学模型和方法，对实际问题进行分析和求解，提供实用的解决方案。
综上所述，数学具有独特的思想方法，包括抽象化、逻辑性、严谨性、综合性、创造性和实用性。
这些思想方法使得数学能够独立思考和解决问题，推动数学的发展和应用。
数学思维方法的训练和培养是数学教育的重要目标，也是培养学生逻辑思维和创新能力的关键。
7.2 二元一次方程组的解法课件(共20张PPT)
3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
等式性质
如果把这两个方程的左边与左边相减,右边与右边相减, 能得到什么结果?
分析: 3x 5y 3x 4y = 5 23
①左边
②左边 = ①右边 ②右边
解方程组:
3x 5y 5 3x 4y 23
① ②
分析: ①左边
②左边 = ①右边 ②右边
拓展
如何利用加减法解方程组35xx
6 4
y y
42 10
通过本节课的学习，你有哪 些收获？
通过本节课的学习，你还有 疑惑吗？
P32 练习：解下列方程组
谢谢！
两个方程
4x+6y=14
只要两边 分别相减就可以消去未知数 x
练一练
（二）用加减法解二元一次方程组。
⑴ 5x+y=7 3x-y=1
⑵ 4x-3y=5 4x+6y=14
答案：xy
1 2
答案：xy
2 1
练一练
3、已知
x 2
y
1
的解，则 a b
是二元一次方程aa组xx Fra bibliotekby by
7 1
的值为（ -1 ）
3x 5y 3x 4y = 5 23
3x 5y 3x 4y 18
注意符号
9y 18 y 2
将y=-2代入①,得 3x 5 2 5
x5
用括号将两个式子相减，注意减去前面是负 号的项，去括号要变号。
解方程组:
3x 3x
5 4
y y
5 23
① ②
解:由①-②得:
9y 18 y 2
问题：利用加减消元法直接解二元一
次方程组的前提条件是什么？
数学思想方法
数学思想方法数学思想方法是数学家们为了解决问题而采用的一系列思考方法和策略。
这些方法和策略涉及到逻辑推理、归纳和演绎、分类和比较、抽象和具体、观察和实验、模型和推广等方面。
首先，逻辑推理是数学思想方法中的重要组成部分。
在数学中，逻辑推理是通过合乎逻辑的推导和推理来得出结论。
数学家会使用各种推理方法，如直接推理、间接推理、反证法等来证明定理和解决问题。
其次，归纳和演绎也是数学思想方法中常用的推理方法。
归纳是通过观察已有的例子或情况得出一般规律或结论。
数学家通过对特殊情况的研究和总结，逐步提炼出普遍规律。
演绎则是从一般规律出发，通过逻辑推理得出特殊情况或结论。
另外，分类和比较是数学思想方法中一种重要的策略。
数学家通过将问题或对象进行分类，找出其中的共性和差异，进而解决问题。
比较不同的对象或方法，可以更好地理解数学概念和定理，并找到解题的思路。
此外，抽象和具体也是数学思想方法中的关键因素。
数学家常常通过抽象来简化问题，将其转化为更容易处理的形式。
同时，数学家也会通过具体的例子或实验来验证和巩固理论和结论。
还有，观察和实验也是数学思想方法中的重要环节。
观察可以帮助数学家发现问题的特征和规律，实验则可以验证和验证数学家的猜想和推论。
最后，模型和推广是数学思想方法中的重要策略。
数学家经常使用模型来描述和分析现实世界中的问题，从而得到理论和结论。
然后，数学家还会尝试将已有的理论和结论推广到更一般的情况，以便解决更复杂的问题。
总之，数学思想方法包括逻辑推理、归纳和演绎、分类和比较、抽象和具体、观察和实验、模型和推广等多个方面。
这些方法和策略有助于数学家解决问题、发现规律和推导定理。
高考数学一轮复习 专题7.2 一元二次不等式及其解法(讲
专题7.2 一元二次不等式及其解法【考纲解读】内容要求备注A B C集合一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划√基本不等式√【直击考点】题组一常识题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．3. 若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________．【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>13，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞.4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ______________.题组二 常错题5．不等式x (2－x )>0的解集为________．【解析】由不等式x (2－x )＞0，得不等式x (x －2)＜0，则0＜x ＜2. 6．不等式(ax －1)(x －2)＜0(a ≤0)的解集是________．【解析】当a <0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)>0，解得x ＜1a或x >2；当a ＝0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为x －2＞0，解得x ＞2.7．不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x ≤1.题组三 常考题8． 设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________________．【解析】集合A ＝(1，3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.9． 不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【解析】因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，则m 的取值范围是 ________． 【解析】要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0， 所以m 的取值范围为－4＜m ≤0.【知识清单】考点1 一元二次不等式的解法对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅考点2 一元二次不等式恒成立问题由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式20ax bx c>＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式20axbx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值． 考点3 一元二次不等式的应用构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.一元二次不等式及其解法主要有两种常见的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比较简单的，是一些问题的基础；二是与恒成立问题相结合，这一般都要与一元二次方程和一元二次函数相结合，也就是常说的“三个二次”问题.【重点难点突破】考点1 一元二次不等式的解法【1-1】不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，则______,a b == .【答案】a =－4，b =－9【解析】Q 不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，12,4∴--为方程220ax bx +-=的两根，则根据根与系数关系可得1122(),(2)()44b a a-+-=--⋅-=-，4,9a b ∴=-=-. 【1-2】已知不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则不等式022<++a bx x 的解集为 .【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x解为211<<-x ； 【1-3】已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)0,+∞【解析】1()121a a f a ≤⎧≥⇒⎨≥⎩或21451a a a >⎧⎨-+≥⎩，∴10a a ≤⎧⎨≥⎩或1a x R >⎧⎨∈⎩，∴01a ≤≤或1a >，∴0a ≥.【1-4】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4. 【1-5】解不等式2221x ax a -≤-+【思想方法】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【温馨提醒】注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当0∆>时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论. 考点2 一元二次不等式恒成立问题【2-1】不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【答案】[－1,4]【解析】x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A. 【2-2】若不等式的解集是R ，则m 的范围是 .【答案】【2-3】若不等式对满足的所有都成立，则x 的取值范围是 .【答案】【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立所以只需即，所以x 的范围是.【2-4】若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围应为 . 【答案】11a ≥【解析】记2()23f x x x a =-+-，因为(0),(4)f f 不同时为0，所以仅需(0)011(4)0f a f ≤⎧⇒≥⎨≤⎩. 【2-5】在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是 . 【答案】1322a -<< 【解析】根据定义可得不等式()()1x a x a -⊗+<为()[1()]1x a x a --+<即2(1)10x x a a -+-+>，此不等式对任意实数x都成立，所以214[(1)1]04430(21)(23)0a a a a a a ∆=--+<⇒--<⇒+-<，从中解得1322a -<<.【思想方法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 【温馨提醒】二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x 轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论思想求解.考点3 一元二次不等式的应用【3-1】有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________． 【答案】(8]403，【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【思想方法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【温馨提醒】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型．考点4 不等式性质的应用【易错试题常警惕】1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．。
数学思想方法
数学思想方法数学是一门古老而又深邃的学科，它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和方法论。
数学思想方法是指在解决问题时所运用的数学思维和方法，它不仅仅可以帮助我们解决数学问题，还可以在其他领域发挥重要作用。
本文将从数学思想方法的基本特点、应用范围和实际意义等方面进行探讨。
首先，数学思想方法的基本特点是抽象性和逻辑性。
数学思想方法在解决问题时往往需要进行抽象思维，将具体问题抽象为数学模型，然后运用逻辑推理进行分析和求解。
这种抽象性和逻辑性的特点使得数学思想方法具有普适性和严谨性，可以帮助我们在解决各种问题时保持清晰的思维和严密的推理。
其次，数学思想方法的应用范围非常广泛。
除了在数学领域内发挥重要作用外，数学思想方法还可以应用于物理、化学、生物、经济、管理等各个领域。
比如，在物理学中，数学思想方法可以帮助我们建立物理模型和方程，从而解释和预测自然现象；在经济学中，数学思想方法可以帮助我们进行量化分析和决策优化。
可以说，数学思想方法是一种跨学科的通用思维工具，可以帮助我们更好地理解和解决现实世界中的问题。
最后，数学思想方法在实际生活中具有重要意义。
随着科技的发展和社会的进步，我们面临的问题越来越复杂和多样化，需要更加深入和全面的思维方式和方法来解决。
数学思想方法正是这样一种思维方式和方法，它可以帮助我们从整体和系统的角度去思考和分析问题，提高问题解决的效率和质量。
同时，数学思想方法还可以培养我们的逻辑思维能力和创新意识，使我们在面对未知和挑战时能够保持清晰的头脑和灵活的思维。
综上所述，数学思想方法是一种重要的思维方式和方法论，它具有抽象性和逻辑性的基本特点，应用范围非常广泛，对于提高问题解决的效率和质量具有重要意义。
因此，我们应该重视数学思想方法的学习和应用，不断提升自己的数学思维能力和方法论水平，从而更好地适应和应对现实生活中的各种挑战和问题。
高二数学：7.2《点斜式、斜截式》教案(湘教版必修三)
7.2直线的方程一、素质教育目标1、知识教学点⑴直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，它们之间的内在联系⑵直线与二元一次方程之间的关系⑶由已知条件写出直线的方程⑷根据直线方程求出直线的斜率、倾斜角、截距，能画方程表示的直线2、能力训练点（1）通过对直线方程的点斜式的研究，培养学生由特殊到一般的研究方法（2）通过对二元一次方程与直线的对应关系的认识和理解，培养学生的数、形转化能力（3）通过运用直线方程的知识解答相关问题的训练，培养学生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力。
二、学法指本节主要学习直线方程的五种形式，应理解并记忆公式的内容，特别要搞清各个公式的适用范围：点斜式和斜截式需要斜率存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示过原点及与坐标轴垂直的直线。
一般式虽然可表示任意直线但它所含的变量多，故在运用时要灵活选择公式，不丢解不漏解。
三、教学重点、难点1、重点：直线的点斜式和一般式的推导，由已知条件求直线的方程2、难点：直线的点斜式和一般式的推导，如何选择方程的形式，如何简化运算过程。
四、课时安排本课题安排3课时五、教与学过程设计第一课时直线的方程－点斜式、斜截式●教学目标1.理解直线方程点斜式的形式特点和适用范围.2.了解求直线方程的一般思路.3.了解直线方程斜截式的形式特点.●教学重点直线方程的点斜式●教学难点点斜式推导过程的理解.●教学方法学导式●教具准备幻灯片●教学过程1、创设情境已知直线l过点（1,2），斜率为2，则直线l上的任一点应满足什么条件？分析：设Q(x,y)为直线l上的任一点，则k PQ= 1,即(y―1)/(x―1)= 2(x≠1),整理得y ―2=2（x ―1）又点（1,2）符合上述方程，故直线l 上的任一点应满足条件y ―2=2（x ―1）回顾解题用到的知识点：过两点的斜率的公式：经过两点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的直线的斜率公式是：)(211212x x x x y y k ≠--= 2、提出问题问：直线l 过点（1,2），斜率为2，则直线l 的方程是y ―2=2（x ―1）吗？回想一下直线的方程与方程的直线的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。