2018年高考模拟试卷(4)

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（第7题） 2018年高考模拟试卷（4）
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．设复数z 满足(2i)1i z -=+（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ． 2．已知集合{}1,0A =-，{}0,2B =，则A
B 共有 ▲ 个子集．
3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的15
，且第一组
数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．
5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线
C 的渐近线方程为x y ±=，且它的一个焦点为
，则双曲线C 的方程为 ▲ ．
6．函数()f x =的定义域为 ▲ ．
7．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，
则ω的值为 ▲ ．
8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．
9．在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ， 三棱锥P ABC -的体积为2V ，则
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V V = ▲ ． 10．设点P 是ABC ∆所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且23BC BA BP +=，设
PD AB AC λμ=+，则λμ+= ▲ ．
11．已知数列{}n a 中，11a =，24a =，310a =．若1{}n n a a +-是等比数列，则10
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i i a ==∑ ▲ ．
12．已知a b ∈R ，，a b >，若22240a ab b ---=，则2a b -的最小值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，动圆222:(3)()C x y b r -+-=（其中229r b -<）截x 轴所得
的弦长恒为4．若过点O 作圆C 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线210
0x y +-=
距离的
最大值为 ▲ ．
14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()
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3sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成
立，则θ的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．已知向量1(sin )22
x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ．
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若//m n ，且(0,)2x π
∈，求(4)f x 的值．
16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．
17．如图所示，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多
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（第18题）
x
y B
M
O
F 2
F 1
A 边形ABCDFGE ．其中AD 为圆O 的直径，
B ,
C ,G 在圆O 上，//BC A
D ，
E ,
F 在AD 上，且
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2
OE OF BC ==
,EG FG =． （1）设AOB θ∠=，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式； （2）多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．
18．在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆22221y x a b
+=（0a b >>）的左、右 焦点，且椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；
（2）过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且MA OM =．
若21BF MF ⊥，求直线l 的斜率．
（第17题）
O A B C D E F G
19．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数．
（1）若0a =，求函数()y f x =的单调增区间； （2）若函数()f x 为R 上的单调增函数，求a 的值；
（3）当0a >时，函数()y f x =有两个不同的零点12x x ，，求证：120x x +<．
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20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件*1()n n a S n +≤∈N 的所有数列{}n a 构成的集合
记为M ．
（1）若数列{}n a 通项公式为1
2n n
a =
，求证：{}n a M ∈； （2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围； （3）设4n
n n
b a =*()n ∈N ，数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈．问数列{}n b 中是否存在
无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明
理由．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ． 若DA = DC ， 求证：AB = 2BC ．
B ．[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）
已知,a b R ∈，向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量． （1）求矩阵A 的另一个特征值； （2）求矩阵A 的逆矩阵1A -．
C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为415
315x t y t
⎧
=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)．以原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22)4
π
ρθ=-．
求直线l 被曲线C 所截得的弦长．
D ．[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分）
已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求2
2
2
32z y x ++的最小值．
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【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）
某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别
为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 发生的概率； （2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学
期望．
23．（本小题满分10分）
在各项均不相同的数列1a ，2a ，3a ，…，n a *(n N ∈）中，任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位
置，其余n k -项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ．
（1）求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值； （2）求5(5)P 的值；
（3）设1()
n
n n k A kP n k ==-∑，求证：
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(1)()
n
n n k A n P n k +==+-∑．。