有限元

例6-4 如图所示，一边固定、三边自由的薄板，三个自由边受均布剪 应力τ作用。不计体力，设位移分量为 ux =x(A1+A2x+A3y+…) 试用Ritz法求薄板的位移。
y
uy =x(B1+B2x+B3y+…)
b
a τ
x
所设位移满足固定边的位移边界条件 即 (u)x=0=0， (v)x=0=0， 因此是变形可能的位移。 应变能为
1 ν [D ] = E 2 ν 1 1− ν 0 0
0 0 1− ν 2
• 单元的应变能和外力势
U k = ∫∫
Sσ
Vk = − ∫ (Tx u x + Ty u y )dΓ + ∫ (Fx u x + Fy u y )dΩ
Q
1 (σ x ε x + σ y ε y + τ xy γ xy )dxdy 2
由位移表示的应力式（6.43）与应变式（6.42）代入上面的式子，则得 Uk =
1 {u}eT[K]e{u}e 2
Vk = −{u}eT{F}e 其中［K] 单元刚度矩阵 [K]e＝∫ [ B]T [ D][ B]dΩ
Ωk
{F}e =
Tx Fx T ∫Γk [ N ] Ty dΓ + ∫Qk [ N ] Fy dΩ
显然，上述位移函数能满足所有的位移边界条件。本问题中没有力边界 条件，因此可直接使用Galerkin方法式求解，使数学运算简单一些。 Galerkin 将平衡方程使用位移表达，Glerkin可表示为
∂ 2u 1 − ν ∂ 2u 1 + ν ∂ 2 v ∫−a ∫0 ∂x 2 + 2 ∂y 2 + 2 ∂x∂y u1δA1dxdy
∂ 0 ∂x ∂ 其中 ［B］= 0 [N] ∂y ∂ ∂ ∂y ∂x
• 应力
由物理方程求应力，使用矩阵形式表示为
σ x {σ}= σ y =[D]{ε}= [D][B]{u}e τ xy
[D]是物理矩阵，对各向同性材料的平面应力情况，它是
• 因此选位移函数为 w=a1(x4−2lx3+l 3x) • 梁的平衡方程式是 EIw′′′′−q=0 • 使用Galerkin方法，注意此处w1=x4−2lx3+l 3x，于是近似求解方程是
(EIw' ' ' ' - q )(x 4 − 2lx3 + l 3 x )dx = 0 ∫0
l
• 由此解得 a1=q/24EI，最后 w=
a b
∂ 2v 1 − ν ∂ 2v 1 + ν ∂ 2u v1δB1dxdy = 0 +∫ ∫ 2 + + 2 − a 0 ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y
a b
将近似位移的表达式带入，并考虑到待定常数δA1、δB1的变分是任意的 可得到关于A1、B1的两个代数方程，从而求得：
)
∫
∫
∫
总势能为
Π = U +V =
Eab 2 1 − ν 2 A + B1 − τB1ab 2 1 2 2(1 − ν )
∂Π =0 ∂A1
∂Π =0 ∂B1
2(1 + ν ) τ E
解得： A1=0， B1=
直接使用虚功原理近似求解
∫ (T δu
Sσ x
x
+ T y δu y + Tz δu z )dS + ∫ (Fx δu x + Fy δu y + Fz δu z )dΩ
−∫
Sσ
[(σ l + τ
x
yx
m + τ zx n − Tx δu x + τ xy l + σ y m + τ zy n − Ty δu y + τ xz l + τ yz m + σ z n − Tz δu z dS
)
(
)
(
) ]
=0
使用上式近似求解时，对于选取的近似位移函数，它们给出的应力一般 不能处处精确满足平衡微分方程和力边界条件，即 括号内称为残数，每一点的残数都可能不同，是空间位置的函数，虚位移 可以看作权函数。
Ω
= ∫ σ x δε x + σ y δε y + σ Z δε Z + τ xy δγ xy + τ yz δγ yz + τ zx δγ zx dQ
Q
[
]
设满足位移边界的近似位移函数为
u x = u x 0 + ∑ δak u xk ( x, y, z )
k =1 n
u y = u y 0 + ∑ δbk u yk ( x, y, z )
1 U = ∫∫ (σ x ε x + σ y ε y + τ xy γ xy )dxdy 2
由位移表示的应变能为
U=
E 2 1− ν2
(
)∫ ∫
0
a
b
0
2 ∂u 2 ∂u y 2 ∂u y 1 − ν ∂u y ∂u x ∂u + 2ν x x + + ∂y ∂x + ∂y dxdy ∂x ∂y 2 ∂x
[
] ]
[
式中A是三角形的面积，
1 xi A= yi 1 1 xj yj 2 1 xm ym
而
ai = x j ym − xm y j
bi = y j − y m
ci = xm − x j
该位移函数可用矩阵表示为
u x e ＝[N]{u} u y
式中{u}e是三个节点的位移列阵 {u}e =
k =1
n
u z = u z 0 + ∑ δck u zk ( x, y, z )
k =1
n
σ ij
δu x = ∑ δak u xk ( x, y, z )
k =1
n
δu y = ∑ δbk u yk ( x, y, z )
k =1
n
δu z = ∑ δck u zk ( x, y, z )
k =1
k=1,2,……n
例题: 用Galerkin方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度 • 要求设定的位移函数既满足位移边界条件又满足力边界条件。 位移边界条件为 w|x=0, x=l = 0 力边界是弯矩为零 w′′|x=0, x=l = 0 选择多项式形式的位移函数。故选取下列四次多项式 w=a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 欲使位移函数同时满足上述位移和力边界条件，则要求 a3＝a5＝0 a2＝−2a1l a4＝a1l3
=0
∂τ yx ∂τ zx ∂σ u xk x + + + Fx dΩ = 0 ∫Ω ∂x ∂y ∂z
∂τ xy ∂σ y ∂τ zy u yk + + + F y dΩ = 0 ∫Ω ∂x ∂y ∂z
∂τ yz ∂σ z ∂τ u zk xz + + + Fz dΩ = 0 ∫Ω ∂x ∂y ∂z
q (x4−2lx3+l 3x) 24 EI
此解即初等理论的解。
例6-5 设宽度为2a而高度为b的矩形薄板，左右及下边均固定，而上边的
x2 位移给定为 u = 0，v = −η 1 − 2 ，不计体力，试求薄板的位移和应力。 a
y
b
b
a
a
x
解：取图所示坐标系。将位移分量设为
T
讨论一个单元 • 内力虚功就是应变能的改变 δUk ={δu}eT
∂U k = {δu}eT[K]e{u}e e ∂{u}
∂U k = [K]e{u}e ={P}e， e ∂{u}
内力虚功可写成 δUk ={δu}eT{P}e • 外力虚功可写成 −δVk ={δu}eT{F}e
j
j
σij i m
x2 x y y u = A1u1 = A1 1 − 2 1− a a b b x2 y x2 y y v = v 0 + B1v1 = −η1 − 2 + B1 1 − 2 1 − a b a b b
下面就以平面三角形单元阐明有限元的基本概念
y
j v
(x, y)
u i
m x
• 位移函数
假设各三角形单元内位移是线性变化的，其内部任意一点的两个位移分量假设 可由三个节点的相应位移分量插值表示为
ux = uy = 1 i m (a i + b i x + c i y )u x + (a j + b j x + c j y )u xj + (a m + b m x + c m y )u x 2A 1 m (a i + b i x + c i y )u iy + (a j + b j x + c j y )u yj + (a m + b m x + c m y )u y 2A
仅取一项作为近似位移解
U= Eab 2 1 − ν 2 A + B1 2 1 2 2(1 − ν )
外力势为
在y=0， Tx = −τ， y =0， T 在y=b， Tx = τ，Tx =0， 在x= a， x =0， Tx =τ， T
V = −∫
Γ