有限元方法

要构造 Vh ，只需构造单元基函数 i .构造单元基函数所遵循 的原则是：
(1) 每个单元中的基函数的个数和单元中的节点数相同， 每个节点对应一个基函数，本例中，单元e i 有两个节点，因 此基函数有两个. (2)基函数应具有性质
j ( xk ) jk
1, j k , 0, j k ,
J (uh ) 0 令 u j
便得到确定 u1 , u2 ,
n i 1 i
, un的线性代数方程组
j i
a( , )u
( f , j ), j 1, 2,
,n
(7.6)
称式（7.5）为有限元方程.
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值得注意的是，在实际计算中，并不是按照上述步骤形 成有限元方程的，而是先进行单元分析，即在单元上建立有 限元特征式，然后再进行总体合成，即将各单元的有限元特 征式进行累加，合成为有限元方程．具体过程如下：
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与边值问题(7.1)、(7.2)等价的Galerkin变分问题是：
1 求 u HE ，使得
1 a u , v f , v 0, v H E
(7.19)
其中
b du dv a u, v p quv dx ， f , u a fudx. a dx dx b
于是有
u(i ) (ui 1 , ui )T B(i ) u
从而式(7.16)右端第一个和式为
1 n i u 2 i 1

T
1 n T i T i i 1 T K u u [(B ) K B ]u u Ku， 2 i 1 2
i i
每个单元 ei [ xi 1 , xi ] 的长度为 hi xi xi 1 .
单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小，可根 据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变化剧烈的 地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些.
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1 设 Vh 为 H E 的有限维子空间，它的元素为 u h ( x).
1 仍用分段线性函数构成的试探函数空间 Vh 替代 H E ，将
uh uii x ,vh vii x
i 1 i 1
n
n
代入(7.19)，则得到 u1 , u2 , , un 所满足的线性代数方程组
a , u f , , j 1,2,
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§7. 两点边值问题的有限元方法
本节以两点边值问题为例，并从Ritz法和Galerkin法两 种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程.
7.1
基于Ritz法的有限元方程 考虑两点边值问题 d du Lu ( p ) qu f , dx dx u (b) 0 u (a) 0,
§7. 两点边值问题的有限元方法
本节以两点边值问题为例，并从Ritz法和Galerkin法两 种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程. 7.1 基于Ritz法的有限元方程
7.2
基于Galerkin法的有限元方程
从Galerkin法出发形成有限元方程的过程与前面完全一 样，针对边值问题 (7.1) 、 (7.2) 所得到的结果也是一致 的．但是从Galerkin法出发形成的有限元方程更具一般性， 它不仅适用于对称正定的算子方程，而且也适用于非对称正 定的算子方程，所以我们今后主要是依据这一观点建立有限 元方程．
其中
（未标明的元素均为0）这就是总刚度矩阵． 对式(7.16)右端第二个和式，有
其中 (7.17) 这就是总荷载向量.
其这样，就可将式(7.16)写成
因此，有限元方程为 (7.18) 从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出， K 的计 算，实际上是把 K ( i ) 中四个元素在适当的位置上“对号入座” 地叠加，b 的计算也是如此．我们引入 B ( i )，只是为了叙述方 便，实际上，在编制程序时并不需要．显然，方程组(7.18) 的系数矩阵 K 是对称正定的三对角矩阵，因此可采用追赶法 求出 u 在节点上的近似值 u . , u , , u 1 2 n
有限元方法
有限元法是求解偏微分方程问题的一种重要数值方法， 它的基础分两个方面：一是变分原理，二是剖分插值． 从第一方面看，有限元法是 Ritz-Galerkin 方法的一种 变形．它提供了一种选取“局部基函数”的新技巧，从而克 服了Ritz-Galerkin方法选取基函数的固有困难． 从第二方面看，它是差分方法的一种变形．差分法是点 近似，它只考虑在有限个离散点上函数值，而不考虑在点的 邻域函数值如何变化；有限元方法考虑的是分段（块）的近 似．因此有限元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一 步发展了的结果．在几何和物理条件比较复杂的问题中，有 限元方法比差分方法有更广泛的适应性．
i 1 i j i j
n
, n.
(7.20)
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这和方程组(7.6)是完全一样的.
与容易看出，方程组 (7.20) 的系数矩阵就是总刚度矩 阵．在总刚度矩阵形成的过程中，注意到 (7.21) 而
从而有
即
故有 这就是有限元方程(7.18).
由上述看出，按Galerkin法推导有限元方程更加直接方 便．尤其重要的是．按这一观点推导的有限元方程，不仅适 用于定常的微分方程定解问题，而且也适用于不定常的微分 方程定解问题，因此具有广泛的适应性． 例7.1 用有限元方法解边值问题
x xi 1 , h i xi 1 x , i ( x) h i 1 0, x x n 1 , ( x) h n n 0, xi 1 x xi , xi x xi 1 , i 1,2, , n 1, 在别处. x n 1 x x n , 在别处. (7.4)
其中， N ( N0 , N1 ), u(i ) .于是 (ui1 , ui )T
1 (ui ui 1(7.10) ) Mu(i ) hi 其中， .从而有 M (1 / hi ,1 / hi ) ( x) uh
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(7.11)
这里
K
(i ) i) i) ai( ai( i , i 1 i ,i (7.12) hi ( pM M qN N)d ， (i ) a (i ) 0 aii i ,i 1 1 T T


T
F (i ) h 1 f ( x h )(1 )d i i 1 i i 1 0 (7.15) 1 (i ) Fi hi f ( xi 1 hi )d 0
称 F (i ) 为单元荷载向量 . 将式（7.11）、（7.14）代入式（7.7），便有
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2. 区域剖分
剖分原则与差分法相同，即将求解区域剖分成若干个互 相连接，且不重叠的子区域，这些子区域称为单元．单元的 几何形状可以人为选取，一般是规则的，但形状与大小可以 不同．对于一维情形最为简单. 将求解区间 [a, b] 分成若干个子区间，其节点为
a x0 x1
xi
xn b
其中，x k 是单元节点序号为 k 的节点.
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3.确定单元基函数
有限元法与 Ritz-Galerkin方法的主要区别之一，就在 于有限元方法中的基函数是在单元中选取的．由于各个单元 具有规则的几何形状，而且可以不必考虑边界条件的影响， 因此在单元中选取基函数可遵循一定的法则．
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若取i ( x)为线性函数，则按上述 原则，可将Vh中的基 函数取为
J u* min J u 1
其中，
uH E
1 J u a u, u f , u 2
b
（7.3）
b du dv a u, v p quv dx ， f , u a fudx. a dx dx
式(7.3)是应用有限元法求解边值问题 (7.1)、 (7.2)的出发 点.
i ( x)的 显然，Vh中任一函数u h 可以表示为基函数
线性组合，即
uh u11 ( x) u2 2 ( x) un n ( x)
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其中，u1 , u 2 , , u n 是u h 在节点上的值，即 u h ( xi ) ui (i 1,2, , n),
(7.8)
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并引入记号
N0 ( ) 1 , N1 ( ) 则在单元ei [ xi 1 , xi ]上，uh 可写成
ui 1 uh ( x) N 0 ( )ui 1 N1 ( )ui ( N 0 , N1 ) u i
或写成
uh Nu(i )(7.9)
称为单元刚度矩阵，其中
(7.13)
对式（7.7）右端第二项积分，有

xi
xi 1
(i ) T (i ) (7.14) fuh dx hi (Nu(i ) )T f ( xi 1 h ) d ( u ) F , i 1 0
式中
(i ) (i ) F (i ) Fi , 1 , Fi
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由以上可以看出， Vh 是满足下列条件的所有 函数u h 的集合：
L2 [a, b]; (1) u h 在[a, b]上连续，且u h , u h (2) u h 在ei 上是次数不超过 1的多项式(i 1,2, , n); (3) u h (a) 0,
1 故Vh 是H E 的一个n维子空间，称为试探函 数空间，
第一步：单元分析.注意到
1 b 2 2 quh J (uh ) ( puh 2 fuh )dx a 2
n xi 1 n xi 2 2 quh )dx fuh dx ( puh x xi 1 2 i 1 i 1 i 1
(7.7)
作变换
x xi 1 hi
a x b,
(7.1) (7.2)
其中，
p x C1 a, b , p 0, q C a, b , q 0, f C a, b
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1. 写出Ritz形式的变分问题 与边值问题(7.1)、(7.2)等价的变分问题是：
1 求 u* H E ，使
1 n i J uh u 2 i 1

T
K u (7.16) u
i i
i 1
n

i
T
F .
i
这样，我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式：
K ( i ) u( i ) F ( i )
源自文库
第二步：总体合成.总体合成就是将单元上的有限元特征 式进行累加，合成为总体有限元方程. 这一过程实际上是将 单元有限元特征式中的系数矩阵（称为单元刚度矩阵）逐个 累加，合成为总体系数矩阵（称为总刚度矩阵）；同时将右 端单元荷载向量逐个累加，合成为总荷载向量，从而得到关 于的线性代数方程组．为此，记
u h Vh 称为试探函数 .
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4. 形成有限元方程
1 与 Ritz法一样，以Vh替代H E ，在Vh 上解泛函 (7.3)的极小
问题，将式(7.4)代入(7.3)，得
1 J (uh ) a(uh , uh ) ( f , uh ) 2
n 1 n a(i , j )uiu j u j ( f , j ) 2 i , j 1 j 1
在单元ei 上， uh ( x)表示为
u h ( x) ui 1 i 1 ( x) ui i ( x) ui 1 xi x x xi 1 ui , x [ xi 1 , xi ]. hi hi (7.5)
可见，单元中的近似函 数由单元基函数线性组 合产 生，全区域的近似函数 由各个单元的近似函数 叠加而成.