有限元方法理论及应用

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有限元方法理论及应用
最小总势能原理： 一个弹性系统的所有可能位移中，满足平衡条件的位移（真 实位移）使总势能取最小值。 也就是说，弹性力学中平衡问题的正确解（位移） ，其相应的系统总势能为 一切满足位移边界条件和连续条件的位移构型对应的总势能中的最小者。 2.瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritz） 瑞利-里兹法是针对连续系统从一族满足约束条件的假定解中利用泛函驻值 条件求“最好”近似解的一种普遍适用方法。其基本思想是：如果问题有相应的 变分原理， 就构造一族带有待定参量的试探函数（弹性力学中就是假定位移场） ， 将其代入泛函表达式，泛函立刻成为多元函数，由驻值条件确定待定参量，就得 到问题的近似解答。 经典里兹法解弹性体变形和应力的原理和过程的重要特点： 1) 在求解域整体上假定位移场（试探函数） ； 2) 假定的位移场必须是可能位移（或称为许可位移，即满足连续性和边界 几何约束条件）和简单的。 3) 要得到收敛解，试探函数必须是完备的。 4) 里兹解往往过刚，除非位移试探函数包含了精确解。由于假定的位移模 式往往给结构加上了约束， 使结构不能按其要求的方式自由变形，从而刚化了结 构。
1 1 1 T d k d ， k AE -杆单元刚度矩阵 2 L 1 1
这里由于三个单元的几何和物理特性完全相同，其单元刚度矩阵相同。杆上载荷
q=cx。则载荷在三个单元内分别表达为： q=cs,q=c(L+S),q=c(2L+s)
代入外力功积分式，对三个单元分别计算外力功。第一个单元外力功为：
u b1 b2 x(0 x L); u b3 b4 x( L x 2 L); u b5 b6 x(2 L x 3L);
有限元法的实质是它采用分片多项式拟合全域上的可能位移场，但是，上述 分片形式的假设位移场有下列缺点： （1） 必须对其表达式进行调整，使其满足连续条件和边界约束条件； （2） 多 项式系数广义坐标 bi 缺乏明显的物理意义。因此，上述不是通常意义上的标准 有限元形式，具有局限性。必须把 bi 换成节点的未知位移分量，得到标准有限 元形式。 对单元 1 按线性函数插值方法得到： Ls s u u1 u2 N1u1 N 2u2 L L 矩阵形式为 u N {d }
L L T ds d N 0 L T
U quds qu
0 0
T
1 cL2 d T csds 6 2
第 2、3 单元外力功分别为：
4 cL2 7 cL2 d T d T 和 6 6 5 8
总势能是三个单元总应变能减去三个单元外力功。为了能够以矩阵形式相 加，将单元势能矩阵表达式中的单元节点位移列阵{d}用结构整体位移向量 {D}=[u1 u2 u3 u4 ]T 代替，单元刚度矩阵[k]等与单元有关的矩（列）阵扩展成 结构整体规模（4×4） ，则相加后系统总势能表达为：
1.3 有限元法求解的原理和过程
1.3.1 有限元法求解的原理和过程概论 由经典里兹法引出有限元法： 由于经典里兹法求解时需要在求解域整体上假 定位移场，且位移场必须满足连续性和边界位移约束条件（许可位移） ，因此经 典里兹法在解决实际问题时，尤其是复杂几何形状的二、三维问题，具有很大局 限性。解决的办法是在求解区域上分片假设位移场。 有限单元法作为连续问题的数值解法可以看作里兹法的一种特殊形式， 即采 用分片试探函数（假设位移场）的里兹法。里兹解收敛必须满足的条件：除了满 足连续性和边界约束之外，试探函数还必须是完备的，即包含完全低阶多项式。 对于有限元法，解的收敛除了包含里兹法意义上的收敛外，显然，当单元尺寸趋 向于零时，有限元解应该趋于问题的精确解。这就是有限元解的收敛涵义。 有 限元位移法中， 在一个单元内用完全多项式逼近实际位移场，当单元尺寸趋于零 时，在每一单元内位移及其导数将趋于它的精确值（常数） 。因此，每个单元的 势能泛函有可能趋于它的精确值。如果位移试探函数还满足连续性要求，那么整 个系统的势能泛函将趋于它的精确值——最小值。有限元解就趋于精确解，即解 是收敛的。 。对弹性力学的有限元法，为了使有限元解收敛，必须满足两个收敛 准则： 准则 1 完备性要求；准则 2 协调性要求。 对于不同物理性质和数学模型的问题， 有限元求解法的基本步骤是相同的， 只是具体公式推导和运算求解不同。有限元请求解问题的基本步骤通常为： (1) 待求解域离散化 (2) 选择插值函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程
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1 1 1 1 T AE 1 p D 0 0 2 L 0 0 2 T cL D 6
上式简写为：
0 0 0 0
0 0 0 0 0 AE 0 1 1 0 L 0 1 1 0 0 0 0 0 0 7 8
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u 单元 2： u N {d } ， {d } 2 u3 u 单元 3： u N {d } ， {d } 3 u4
下面在上述分片位移插值试探函数的基础上进一步实施里兹法求解。 3L E 3L 在三个单元上分片进行总势能计算： p x 2 Ad x qudx 0 2 0 首先计算应变： x u, x u, s 单元内有： x
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(5) 约束处理，求解系统方程 (6) 其它参数计算 1.3.2 一维直杆的分析实例 下面以一维直杆(如图 1-1)的分析为例子，详细叙述有限元位移法基本原 理和求解过程。
图 1-1 （a）截面积 A，弹性模量 E，轴向受力杆。 （b）杆的有限单元
应用里兹法求解时分三个区域假设位移场：
0 0 0 0 0 0 AE 0 0 0 0 D 0 L 0 0 1 1 0 0 0 1 1
1 2 cL2 0 6 0
0 4 cL2 5 6 0
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一、课程论文：弹性力学有限元位移法原理
1.1 有限单元法概述
有限元法是在当今工程分析中获得最广泛应用的数字计算方法， 并借助于数 学和力学知识， 利用计算机技术而解决工程技术问题。 由于它的通用性和有效性， 受到工程技术界的高度重视。 有限元法是将连续的求解区域离散为一组有限个、 且按一定方式相互联结在 一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身可以有 不同形状， 因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。有限元法作为数值分析 方法的一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数， 分片地表示全求 解域上待求的未知场函数。 单元内的近似函数通常由未知场函数或其导数在单元 的各个节点的数值和其插值函数表达。这样， 一个问题的有限元分析中， 未知 场函数或其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量（即自由度） ，从而使一 个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量， 就可通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值， 从而得到整个求解域上的 近似解。显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度 的增加及插值函数精度的提高， 解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收 敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
1.2 弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础
弹性力学问题的有限元法中，除了离散化和分片插值思想外，基础是弹性 力学的变分原理（最小势能原理）和变分解法瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritz） 。 1.2.1 弹性力学有限元位移法的基本思想 有限元法的基本思想是离散的概念，它是指假设把弹性连续体分割成数目有 限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连。根据物体的几何形状特征、 载 荷特征、边界约束特征等，选择合适的单元类型。这样组成有限的单元集合体并 引进等效节点力及节点约束条件，由于节点数目有限，就成为具有有限自由度的 有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体。然后利用在每一个 单元内假设的近似函数，分片地表示全求解域上待求的未知场函数。 有限单元法作为连续问题的数值解法可以看作里兹法的一种特殊形式，即采 用分片试探函数（假设位移场）的里兹法。并能容易的解决复杂几何形状的二、 三维问题。 1.2.2 弹性力学有限元位移法的数学、力学基础 1.变分原理（最小总势能原理 ） 公式定义：总势能 = 应变能－ 已知外力所作的功 应变能： 作用在物体上的外载荷会引起物体变形，变形期间外力所做的功以 弹性能的形式储存在物体中，即为应变能。 总势能：对应系统任何一个可能构型的由系统力学状态量（载荷、位移、 应 力、应变）决定的状态函数。当载荷不变时，运用弹性力学的几何方程和物理方 程， 可以将它转化为系统位移场函数的泛函。 对于系统每一个“可能位移 （场） ”， 系统有一个总势能（泛函）与之对应。 可能位移—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。如何在所有“可 能位移（场）”中求得真实位移，引入最小总势能原理。
1.4 等参单元的概念、原理和应用
为了处理曲边界几何体，必须突破矩形单元和六面体单元几何方面的限制， 使其成为任意四边形和任意六面体单元，如果再增加边中间节点，还可以成为曲 边四边形和曲面六面体高精度实用单元。 但是这类单元位移模式和形函数的构造 和单元列式的导出不能沿用前面构造简单单元的方法，必须引入所谓的等参变 换，采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。这种 单元称为等参单元。 等参单元的提出对于有限元法在工程实践中的应用具有重要 意义。
N
L s s , N1 , N 2 是插值基函数矩阵，称为“形函数”矩阵；N1， L L
N2 分别是单元两个节点的位移形状函数，简称为“形函数”。
u {d } 1 ，为单元 1 的节点位移列阵（单元自由度） 。 u2
同理，对其它两个单元也可同样获得插值函数形式的假定线性位移场：
由此得到的位移场在一般位置上均为近似值（小于精确解） 。 单元应力由公式： x E x E B d 得到。 单元刚度矩阵在有限元法的求解中有着至关重要的作用，并有对称性 ，奇 异性， 主元恒正等性质。结构刚度矩阵又称整体刚度矩阵或总刚。由前面知它 是由单元刚度矩阵扩大后集合（相 加）而成。因此，结构刚度矩阵必然具有与 单元刚度矩阵相一致的物理意义和性质。 结构刚度矩阵每一列元素代表有限元结 构上某一个作用在所有节点上的平衡力系的所有分量。
p
应用驻值条件：
1 DT K D DT R 2
p
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D
0 ，得到节点平衡方程 K D R，即：
1 1 0 0 u1 1 1 2 1 0 u 2 AE cL 6 2 L 0 1 2 1 u3 6 12 0 0 1 1 8 u 4 考虑到 u1=0，并划去第一个方程，解出其余三个方程得到： u2 13 3 cL u3 23 u 3 AE 27 4
d 1 N d B d , B ds L
1 _ 单元应变矩阵 L
所以一个单元内的应变能为： L1 1 L T 1 T L 2 T U E x Ads x EA x ds d B AE Bds d 0 2 0 0 2 2 或者 U