有限元求解步骤方法
第3章 有限元方法的一般步骤
3 F1 + lAγ 2 −3 0 0 u1 3 3 2 0 u2 ( 2 + 2 )lAγ EA − 3 3 + 2 − 2 = − 2 2 + 1 − 1 u3 ( 2 + 1 )lAγ l 0 −1 0 0 1 u4 2 2 1 lAγ 2
2 n 一维单元： u = a1 + a2 x + a3 x + ..... + an x 2 2 n 二维单元： u = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a5 xy + a6 y ..... + an x 2 2 2 三维单元： u = a1 + a2 x + a3 y + a4 z + a5 x + a6 y + a7 z
2、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 原则：1、在应力集中区域网格要细化； 2、网格边界尺寸比越近越好，即纵横比尽可能接近1；
3、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 材料，及外部条件发生突变处设置结点。 材料，及外部条件发生突变处设置结点。
单元全部结点力： 单元全部结点力： 单元e中的虚位移： 单元 中的虚位移： 中的虚位移 单元e中的虚应变： 单元 中的虚应变： 中的虚应变 结点力虚功： 结点力虚功： 虚应变能： 虚应变能：
{ε } = [ B]{δ } e ∗ e T δV = ({δ } ) {F } δU = ∫∫∫ { } {σ }dxdydz ε
偏微分方程的有限元法
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法特点有限元法的物理意义直观明确，理论完整可靠。 因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理（如力学中的最小势能原理）。 优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒质物理性质变异等复杂物理问题求解上，有突出优点： ① 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。 ②不必单独处理第二、三类边界条件。 ③ 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。
有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结构的静、动态特性分析中得到应用，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。
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第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法---变分原理
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5.1 泛函与变分原理
数学上，通常自变量与因变量间的关系称为函数，而泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数，即自变量为函数，而不是变量。
5.1.1 泛函的定义 泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的“函数”。 设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为y(x)的泛函，记为J[y(x)]。
5.1.3 泛函的变分
定义最简泛函
F(x,y,y’)称为泛函的“核函数”
泛函的变分
最简泛函: 核函数只包含自变量 x、未知函数y(x)以及导数y’(x)
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5.1 泛函与变分原理
利用二元函数的泰勒展开
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5.1 泛函与变分原理
其中
分别称为泛函的一阶变分和二阶变分。
有限元方法的求解步骤
有限元方法的求解步骤
1.构建几何模型：首先，需要根据实际问题构建一个几何模型。
这可以通过使用计算机辅助设计（CAD）软件进行建模，或者手动绘制模型。
2.离散化：在几何模型的基础上，需要将其离散化为有限个小元素。
最常用的元素是三角形和四边形，也可以使用更复杂的元素类型。
3.选择数学模型和假设：根据问题的物理特性，需要选择适当的数学模型和假设。
这可能涉及选择适当的方程、边界条件和材料性质等。
4.导出有限元方程：根据选择的数学模型和假设，使用变分原理或其他数学方法，可以导出与离散化模型相对应的有限元方程。
这个方程通常是一个代数方程组。
5.建立刚度矩阵和负载向量：有限元方程可以转化为刚度矩阵和负载向量的形式。
刚度矩阵描述了系统中元素和节点之间的关系，而负载向量描述了外部作用力。
6.施加边界条件：为了解决方程组并确定未知位移，需要施加边界条件。
边界条件可以是位移约束、力约束或其他类型的约束。
7.求解方程：将刚度矩阵和负载向量与边界条件组合起来，可以形成一个线性代数方程组。
可以使用各种数值方法求解线性方程组，例如直接求解、迭代法、预处理方法等。
8.后处理：在求解方程后，可以根据需要进行后处理。
后处理包括计算和输出感兴趣的结果，如应力、位移、应变等。
9.验证和调整：完成有限元求解后，需要验证结果的准确性，并根据需要对模型参数进行调整。
验证可以通过与理论解、实验结果或其他数值方法进行比较来完成。
10.进行优化和设计：利用有限元模拟的结果，可以进行系统的优化和设计改进。
这可以通过改变几何形状、材料属性或边界条件来实现。
有限元的实施步骤
有限元的实施步骤引言有限元方法是一种用于求解工程问题的数值分析方法。
它通过将连续问题离散化为有限个小单元，然后以计算机模拟的方式求解这些小单元上的方程来近似求解原始问题。
本文将介绍有限元方法的实施步骤，并使用Markdown格式进行编写。
步骤一：建立几何模型1.确定几何模型的尺寸、形状和边界条件。
2.使用几何建模工具创建几何模型，例如计算机辅助设计（CAD）软件。
3.将几何模型导出为适合有限元分析的文件格式，例如.STL或.IGES。
步骤二：划分网格1.将几何模型划分为有限个小单元，通常是三角形或四边形。
2.划分网格时，需要考虑到准确度和计算效率的平衡。
3.在划分网格时，要注意避免产生倾斜或退化的单元。
步骤三：确定材料属性1.确定物体的材料属性，例如弹性模量、泊松比、密度等。
2.如果需要，可以使用实验方法或材料数据库来获得材料属性数据。
步骤四：建立边界条件1.确定边界条件，例如加载、约束条件等。
2.边界条件可以是力、位移或温度等。
3.边界条件的选择要考虑到模拟对象的实际情况以及所需的分析目标。
步骤五：建立数学模型1.选择适当的数学模型，例如弹性力学、热传导等。
2.根据数学模型建立有限元方程，例如弹性力学中的应力平衡方程。
步骤六：求解有限元方程1.将有限元方程转化为线性代数方程组。
2.使用数值方法（例如矩阵求解方法）求解线性代数方程组，得到近似解。
3.可以使用现有的数值计算软件（例如MATLAB、Python等）来实现求解过程。
步骤七：后处理结果1.对求解结果进行后处理，例如计算变形、应力、温度等。
2.可以使用可视化工具将结果以图形的形式展示出来，进一步分析和评估模拟结果。
结论有限元方法是一种求解工程问题的重要数值分析方法，它通过将连续问题离散化为有限个小单元来近似求解原始问题。
本文介绍了有限元方法的实施步骤，包括建立几何模型、划分网格、确定材料属性、建立边界条件、建立数学模型、求解有限元方程和后处理结果等。
材料力学中的有限元方法分析
材料力学中的有限元方法分析材料力学是研究物质初始状态至最终破坏状态之间的力学行为及其规律的科学。
有限元分析是一种数值计算方法，可以求解各种工程问题的数学模型。
有限元方法在材料力学研究中有着重要的应用，本文将从有限元方法的基本原理、材料力学中的有限元分析、有限元模拟在材料力学中的应用等方面进行分析。
一、有限元方法的基本原理有限元方法是一种通过建立复杂结构的有限元模型，将一个复杂的连续问题转化为离散问题来求解的方法。
其基本思想是将一个连续物体分割成很多小的单元，使用一些简单的解析方法求解每个小单元内的力学问题，然后将所有小单元的解组合在一起来求解整体力学问题。
有限元方法求解的过程分为以下基本步骤：1.建立有限元模型2.离散化3.施加约束4.建立刚度矩阵和荷载向量5.求解未知量二、材料力学中的有限元分析材料力学中的有限元分析是指通过有限元方法对材料力学问题进行分析、计算和评估的方法。
材料力学问题中的目标是通过施加荷载或外界力，来得到物体内部的应力和应变状态，以及其随时间和载荷变化的规律。
在建立材料力学有限元模型时，需要考虑以下因素：1.应力集中和应变集中的位置和程度2.物理边界和几何结构3.材料的力学性质和力学参数材料力学中的有限元分析包含以下几个方面：1.静态分析：研究物体在静态等效荷载下的应力状态，计算物体的静态变形。
2.动态分析：研究物体在动态载荷下的应力和应变状态，计算物体的动力响应。
3.疲劳分析：研究物体在周期性载荷下的损伤状态、损伤机理和寿命预估。
4.热力耦合分析：研究物体在温度场和应力场的共同作用下的应力和应变状态。
5.多物理场分析：研究物体在电、磁、声、液、气、红外、光、辐射等多个物理场的共同作用下的应力和应变状态。
三、有限元模拟在材料力学中的应用有限元模拟在材料力学中的应用范围非常广泛，包括了以下几个方面：1.材料的结构设计和分析2.材料的性质和参数的测试和评估3.材料的制造和加工工艺的模拟4.材料的破坏和损伤机理的研究5.材料的寿命评估和振动疲劳分析最终，有限元分析的结果可以在材料设计、材料优化和制造流程等方面提供准确的数据支持，帮助人们更好地理解材料的力学行为和性质，促进材料科学的发展。
电磁场计算中的有限元方法教程
电磁场计算中的有限元方法教程引言电磁场计算是电磁学领域中重要的研究内容之一，广泛应用于电气工程、通信工程、电子技术等领域。
而有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值计算技术，可以解决电磁场计算中的复杂问题。
本文将介绍有限元方法在电磁场计算中的基本原理、步骤和应用。
一、有限元方法简介有限元方法是一种通过将待求解区域划分成有限数量的小单元，利用单元上的近似函数构造整个区域上的解的数值计算方法。
有限元方法的基本思想是在每个小单元内近似解以建立一个代数方程组，通过将这些方程组联立得到整个区域上的解。
有限元方法具有处理复杂几何形状、边界条件变化和非线性问题的优势，因此被广泛应用于工程和科学计算中。
二、电磁场方程建立在电磁场计算中，关键是建立合适的电磁场方程。
常见的电磁场方程包括静电场方程、恒定磁场方程、麦克斯韦方程等。
根据具体情况选择适用的方程，并根据材料的性质和边界条件确定相应的方程形式。
三、有限元网格划分有限元方法需要将计算区域划分为有限数量的小单元。
在电磁场计算中，通常采用三角形或四边形单元来进行划分，这取决于计算区域的几何形状和分辨率要求。
划分过程需要考虑电场变化的特点和计算精度的需求，合理划分网格对精确计算电磁场起着重要的作用。
四、有限元方程的建立有限元网格划分完成后，需要建立相应的有限元方程组。
以求解静电场问题为例，我们可以利用能量最小原理、偏微分方程等方法建立有限元方程组。
有限元方程组的建立需要考虑电场的连续性、边界条件和材料特性等。
五、有限元方程求解有限元方程组的求解是求解电磁场分布的核心任务。
根据具体的方程形式和计算区域的几何形状，可以采用直接法、迭代法、近似法等方法来求解方程。
在电磁场计算中，常用的求解算法包括高斯消元法、迭代法、有限元法和有限差分法等。
六、计算结果的后处理在得到有限元方法计算的电磁场分布结果后，需要进行相应的后处理，进行数据分析和可视化。
4.5.14.5平面问题有限元分析步骤及计算实例
K
88
K 12 11 K21 1
K 12 31
K41 2
K22 1 K32 1
K 12 33
K43 2
K
44
2
由于[Krs]=[Ksr]T，又单元1和单元2的节点号按1、2、
3对应3、4、1，则可得：
K11 1
K33 2
3E 16
3 0
0 1
K21 1 K43 2
K12 1
3E 8
3 1 0
0 0 1
3 1 1
1 3 1
0 0 1
013
q/E 0
q/E 0
3E 8
8q
0 /(3E) 0
0 q1
0
0
单元应力可看作是单元形心处的应力值。
7）引入约束条件，修改刚度方程并求解
根据约束条件：u1 =v1=0；v2=0；u4=0和等效节点力列
阵：F 0 0 0 0 0 q / 2 0 q / 2T
五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 整体刚度矩阵的奇异性可以通过引入边界约束条件来排除弹性体的
刚体位移，以达到求解的目的。
（两种）方法 “化1置0法”
“乘大数法”
⑴修改后的总刚为非奇异，对应的总体平衡方程可求解； ⑵如果已知位移不等于0，采用第二种方法，固定约束用 第一种方法。 ※求解可以采用解方程组的任何一种方法。（高斯消去法 常用），可借用一些计算机软件：如Matlab，Excel等。
所以 q / E0 0 1/ 3 0 1/ 3 1 0 1T
习题和思考题
• 4.1三角形常应变单元的特点？ • 4.2平面问题有限元法的基本思想和解题步骤。 • 4.3简述形函数的概念和性质。 • 4.4平面问题整体刚度矩阵的推导过程。 • 4.5矩形单元的特点？ • 4.6有限元方法解的收敛准则。
有限元求解一般过程
实用标准文案
有限元求解问题的基本步骤通常为：
第一步：问题及求解域定义
第二步：求解域离散化
第三步：确定状态变量及控制方法
第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解
第五步：总装求解
第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。
简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。
前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。
精彩文档。
有限元求解过程
Keae Fe [形式上与前面的一维弹簧相同]
e
e
与 1.2 节同样的思路可组集得到二维有限元的总体求解方
程 K a F ，其中 a 为 n 个结点的待求位移 ui ,vi
求解上述方程即可得到 n 个结点的位移 ui ,vi
（2）有限元求解的建模过程
绘制几何模型 施加位移边界条件 施加外力边界条件 建立材料库 选择本构模型 划分单元网格 计算求Байду номын сангаас 后处理及结果分析 ……
有限单元法求解基本过程
1 一维弹簧 1.1 弹簧单元方程
其中结点 1 和结点 2 的位移 u1, u2 为待求的基本未知量。
上述方程可进一步改写为：
求解此方程即可得到结点 1 和结点 2 的位移 u1, u2
1.2 多弹簧实例
该计算模型划分有结点 1、结点 2、结点 3、结点 4 共四个结点，相应的待求未知量为各结点的位
2 二维有限元分析示例
y x p
L
D
（1）有限元求解的基本思路（在有限元法课程中将详细讲述）
将该分析物体离散成单元网格
在每个单元上利用该单元各结点的位移 ui ,vi 得到单元
的插值函数 u Niui
根据最小势能与弹性力学基本方程的等价性，可推导得出
以 单元的 结点 位移 ui ,vi 为 未知 量的单 元刚 度方程
移 u1、u2、u3、u4 。
（1）各单元方程
将上述各单元按刚度贡献组集成一个整体刚度矩阵 K
（2）各结点自由度上的外力荷载贡献
组集即可得到整体荷载列阵 F
（3）各结点待求解的自由度向量
（4）总体求解方程
设四个弹簧的刚度均为 k (e) ，则本问题的总体求解方程为：
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
计算力学有限元分析的基本流程
试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些?
答:有限元分析的主要步骤主要有:
(1)结构的离散化,即单元的划分;
(2)单元分析,包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系,最后得到单元刚度方程;
(3)等效节点载荷计算;
(4)整体分析,建立整体刚度方程;
(5)引入约束,求解整体平衡方程。
分析的主要步骤主要有:(1)结构的离散化,即单元的划分;(2)单元分析,包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系,最后得到单元刚度方程;(3)等效节点载荷计算;(4)整体分析,建立整体刚度方程;(5)引入约束,求解整体平衡方程。
工程电磁场数值分析(有限元法)
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
有限元法求解步骤
有限元法求解步骤
嘿，咱今儿就来唠唠有限元法求解步骤这事儿哈！
有限元法啊，就像是一个神奇的魔法盒子，能帮咱解决好多复杂的问题呢！那它的求解步骤是啥呢？
首先呢，得把咱要研究的那个大问题，就好比是一个大拼图，给它拆分成好多小块儿，这就是所谓的离散化。
你想想，一个大拼图多复杂呀，直接弄可不好搞，分成小块儿不就好下手多啦！
然后呢，针对这些小块儿，得给它们建立模型，就像给每个小块儿都穿上合适的衣服一样，让它们各有各的特点和规矩。
接着呀，就该给这些小块儿之间建立联系啦，让它们不是孤立的，而是能互相影响、互相作用的，这可就像把一颗颗散落的珠子串起来变成一条漂亮的项链。
再之后呢，就开始计算啦！这可真是个精细活儿，就跟绣花似的，得一点一点来，不能马虎。
计算完了可不算完事儿哦，还得检查检查，看看算得对不对呀，有没有啥漏洞呀。
这就好比你做完作业得检查一遍，可不能稀里糊涂就交上去啦。
最后呢，得出结果啦！哇，就像打开一个惊喜盒子一样，看到了我们想要的答案。
你说这有限元法是不是很神奇？它就像一个聪明的小助手，能帮咱
搞定那些让人头疼的难题。
咱可不能小瞧了它，得好好利用起来呀！
比如说，在工程领域，它能帮工程师们设计出更牢固、更安全的建
筑和设备；在科学研究中，能让科学家们更深入地了解各种现象和规律。
哎呀呀，有限元法的作用可太大啦！咱可得好好掌握它的求解步骤，让它为咱服务，帮咱解决更多的问题，创造更多的价值！你说是不是
这个理儿呀？咱可不能错过这么个好东西呀！。
有限元法的计算步骤
有限元语言及编译器（Finite Element Language And it’s Compiler，以下简称FELAC） 是中国科学院数学与系统科学研究院梁国平研究院于1983年开始研发的通用有限元软件平 台，是具有国际独创性的有限元计算软件，是PFEPG系列软件三十年成果（1983年—2013 年）的总结与提升，有限元语言语法比PFEPG更加简练，更加灵活，功能更加强大。目前 已发展到2.0版本。其核心采用元件化思想来实现有限元计算的基本工序，采用有限元语 言来书写程序的代码，为各领域，各类型的有限元问题求解提供了一个极其有力的工具。 FELAC可以在数天甚至数小时内完成通常需要一个月甚至数月才能完成的编程劳动。
有限元法的计算步骤
有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。
(1)网格划分 有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进 行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。 (2)单元分析
附：FELAC 2.0软件简介
FELAC 2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言，它可以使用户以一种类似于 数学公式书写和推导的方式，非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法 表达式，并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。
FELAC 2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后，就可以得到所有有限元计 算的程序代码，包含串行程序和并行程序。该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技 术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。并且基于FELAC 1.0的用户 界面，新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能，并且丰富了文本编 辑功能，改善了用户的视觉体验，方便用户快速便捷的对脚本或程序进行编辑、编译与 调试。其中并行版在前后处理上进行了相应的改进。
有限元法的基本步骤
有限元法的基本步骤有限元法是一种用于求解较为复杂的实际工程问题的数值分析方法。
它将一个连续的物体或系统划分为许多小的单元，然后通过建立在这些单元上的数学方程来模拟和求解实际问题。
在这篇文章中，我们将探讨有限元法的基本步骤，并深入讨论其原理和应用。
1. 确定问题的边界和几何形状在使用有限元法求解实际问题之前，需要先确定问题的边界和几何形状。
通常情况下，问题的边界需要定义为固定边界或自由边界，以便在数学模型中进行处理。
问题的几何形状也需要被建模和描述，这样才能得到准确的计算结果。
2. 划分网格划分网格是有限元法中非常重要的一步。
网格划分是将问题的几何形状划分为一系列小的单元。
这些小单元称为有限元，它们可以是三角形、四边形或其他形状。
网格的划分需要根据问题的几何形状和求解精度来确定，并且需要保证各个有限元之间具有充分的连续性和相互联系，以确保模拟结果的准确性和可靠性。
3. 建立数学模型和方程在确定问题的边界和划分网格之后，下一步是建立与物理现象相关的数学模型和方程。
根据问题的具体情况，可以使用不同类型的方程，如静力学方程、热传导方程、流体力学方程等。
这些方程将物理现象转化为数学表达式，并可以通过有限元法进行求解。
4. 应用边界条件在建立数学模型和方程之后，需要应用边界条件。
边界条件可以是物体的固定边界条件，如固定端或自由端；也可以是物体的外部边界条件，如外力、温度等。
边界条件的正确应用对于求解实际问题非常重要，它们将影响模拟结果的准确性和可靠性。
5. 求解数学方程一旦建立了数学模型、划分网格并应用了边界条件，下一步就是使用数值方法求解数学方程。
有限元法将整个问题转化为一个求解代数方程组的问题，并通过迭代方法求解。
求解过程中需要根据初始条件和边界条件进行迭代计算，直到得到收敛的解。
通过以上的基本步骤，我们可以使用有限元法对复杂的实际工程问题进行数值求解。
有限元法的优点在于可以模拟各种不同的物理现象，并且可以对复杂的几何形状进行建模和求解。
有限元法的基本思想及计算步骤
用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1)连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见 的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单 元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单 元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约 束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2)单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三 角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个 结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量Fx，Fy。三个结点共六个结点位移分量可用列阵(δ)e 表示： ,δ-e=*ui vi uj vj um vm+T 同样，可把作用于结点处的六个结点力用列阵{F}e表示： {F}e=[Fix Fiy Fjx Fjy Fmx Fmy]T 应用弹性力学理论和虚功原理可得出结点位移与结点力之间的关系 ,F-e=*k+e,δ-e (1)式中 [k]e——单元刚度矩阵。
有限元语言及编译器finiteelementlanguagecompiler以下简称felac是中国科学院数学与系统科是具有国际独创性的有限元计算软件是pfepg系列软件三十年成果1983年2013年的总结与提升有限元语言语法比pfepg更加简练更加灵活功能更加强大
有限元法的基本思想及计算步骤
有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散 化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性 体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种 联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能 通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结 点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各 个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作 为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单 元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之 间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分 量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性 要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改 进，近似解最终将收敛于精确解。
有限元计算的流程
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步骤方法
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。
有限元求解问题的基本步骤通常为:
第一步:问题及求解域定义:根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
第二步:求解域离散化:将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。
显然单元越小(网格越细)则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
第三步:确定状态变量及控制方法:一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。
第四步:单元推导:对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或柔度阵)。
为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。
例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
第五步:总装求解:将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。
总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数(可能的话)连续性建立在结点处。
第六步:联立方程组求解和结果解释:有限元法最终导致联立方程组。
联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。
求解结果是单元结点处状态变量的近似值。
对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。
前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分;后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。