无限循环小化分数
(完整版)无限循环小数如何化为分数汇总
无限循环小数如何化为分数由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。
转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。
一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。
方法一：（代数法）类型1：纯循环小数如何化为分数例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数例1： 0.33……×10＝3.33……0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……(10-1) ×0.33……=3即9×0.33……=3那么0.33……=3/9=1/3例2：0.4747……×100＝47.4747……0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……(100－1)×0.4747……=47即99×0.4747……=47那么 0.4747……=47/9由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。
练习：（1）0.3……=3/（10-1）＝1/3（2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。
（3）0.312 312……=类型2：混循环小数如何化为分数例题：把0.4777……和0.325656……化成分数例3：0.4777……×10=4.777……①0.4777……×100=47.77……②用②－①即得:0.4777……×90=47－4所以：0.4777……=43/90例4：0.325656……×100=32.5656……①0.325656……×10000=3256.56……②用②－①即得:0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……0.325656……×9900=3256－32所以： 0.325656……=3224/9900练习：（1）0.366……=（2）1.25858……=（3）6.23898989……=可见，无限循环小数是有理数，是有理数就可以化成分数。
把无限循环小数化成分数的方法
把无限循环小数化成分数的方法如何将无限循环小数化成分数无限循环小数是指小数部分存在一个或多个重复的数字组合，无限重复下去的小数。
例如，0.3333...就是一个无限循环小数，因为小数部分的3无限重复下去。
将无限循环小数化成分数是一种常见的数学运算，可以使得无限循环小数变成一个有限的数值。
下面将介绍几种方法来实现这个转换。
方法一：设x为无限循环小数，将x乘以一个适当的倍数，使得小数点后的循环部分移到整数部分，然后用等式表示这个乘法，解方程求解x的值。
例如，将0.3333...乘以10，得到3.3333...。
然后用等式表示这个乘法：10x = 3.3333...。
接着，将等式两边减去原来的等式，得到9x = 3。
解这个方程，得到x = 1/3。
方法二：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。
然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。
接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。
解这个方程，得到x = y/(10^n - 1)。
例如，将0.3333...的循环部分移到整数部分后，得到3。
然后用等式表示这个移位操作：0.3333... = 3 + 1/10^1。
接着，将等式两边乘以10，得到10*0.3333... = 10*3 + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到9*0.3333... = 3。
解这个方程，得到0.3333... = 3/9 = 1/3。
方法三：设x为无限循环小数，将x的循环部分移到整数部分后，设为y。
然后用等式表示这个移位操作，得到x = y + 1/10^n，其中n为循环部分的长度。
接着，将等式两边乘以10^n，得到10^n*x = 10^n*y + 1。
再将等式两边减去原来的等式，得到(10^n - 1)x = 10^n*y。
各种无限小数化成分数的方法归纳
各种无限小数化成分数的方法归纳
无限小数是指小数部分无限循环或无限不循环的小数表示方式。
将无限小数化成分数有多种方法，下面将对常见的几种方法进行归
纳和介绍。
1. 除法法：
该方法是将无限小数表示为一个整数除以一个整数的形式。
具
体步骤如下：
- 将无限小数的循环部分用字母（如a）表示。
- 设无限小数为x，则可以表示为x = 整数部分 + a / 99...9（循
环位数与a的循环长度相同）。
- 通过除法运算，将a除以99...9，得到一个无限循环小数。
- 对这个新的无限循环小数，继续使用除法法求其分数表示。
- 将得到的分数与整数部分相加，即可得到最终的分数表示。
2. 连分数法：
连分数是一种无限循环的分数表示方式。
具体步骤如下：
- 假设无限小数为x，则可以表示为x = 整数部分 + 1 / (无限循
环小数部分)。
- 将无限循环小数部分用字母（如a）表示。
- 则x = 整数部分 + 1 / (a + 1 / (a + 1 / (a + ...)))。
- 将这个连分数展开，并求值，得到最终的分数表示。
3. 近似法：
如果无限小数的循环部分位数较多，或者不方便使用其他方法，可以使用近似法来快速估算出一个接近的分数表示。
- 将无限小数的循环部分截断，取前几位数。
- 将截断后的数与一个适当的分数相比较，选取最接近的分数
作为近似的分数表示。
这几种方法可以帮助将无限小数转化为分数形式。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法，以便得到准确的结果。
无限循环小数化分数的方法
无限循环小数化分数的方法无限循环小数，指十进制小数中数字序列一直循环出现的小数。
如0.3333……就是无限循环小数，它等于1/3。
接下来介绍几种常见的方法将无限循环小数化成分数。
1.长除法法将无限循环小数表示为分数x/y，其中x和y互质。
假设小数中以m开始不断循环出现，那么我们可以列出以下的等式：10^(n+d)x = m·(10^n-1)·10^d + m·(10^(n+2d)-10^(n+d))其中，d为小数循环节长度，n为大于d的任意正整数。
由于x是小数转化而来，因此有：x = m/(10^d - 1) + m/(10^(2d) - 1) + … + m/(10^(nd) - 1)然后将上式的右边化为分数，则有：x = m(1/10^d + 1/10^(2d) + … + 1/10^(nd))/(1-1/10^d)而y=10^n-1，则x/y=m/(10^d - 1) + m/(10^(2d) - 1) + … + m/(10^(nd) - 1)。
2.解二元一次方程组法同样假设无限循环小数为x/y，其中循环节长度为d。
则有：10^d·x - x = m10^d·y - y = 1其中m为小数循环节序列。
将x和y相消，联立方程组得到：x = m/(10^d - 1)y = (10^d - 1)/y因此，将无限循环小数化成分数的方法就是将循环节序列作为m 代入上式即可。
3.其他方法如果无限循环小数的分母是5的倍数，则可以将它们都变为10的倍数，即将小数点后移一位。
这时，无限循环小数就可以化为分数。
例如：0.6 = 6/10 = 3/5。
如果无限循环小数的分母可以分解为2和5的倍数，则先将该小数化为相应的分母，再用长除法法将无限循环小数化为分数。
通过以上几种方法，我们可以将无限循环小数化成分数，使其更便于计算。
无限循环小数和分数的互化
百分之一、千分之一......所以，0.6可以化成
十分之六，约分成五分之三。
•纯循环小数化分数：整数部分照抄，小数部 分循环节如果是一位分母为9，两位为99，三 位为999......如0.2525......可以化成 ，能约分 的要约分。
• 分母不是10，100，1000......的：分子除以 分母。一个最简分数，如果分母分解质因 数只含有2、5的，可以化成有限小数；如 果含有2、5以外的质因数，就不能化成有 限小数，但绝对能化成循环小数。附加： 如果分母分解质因数不含有2、5Байду номын сангаас只含有2、
•小数化分数
•有限小数化分数：小数表示的就是十分之一2 5 、
无限循环小数和分数的互化
分数化循环小数
1 化为小数为0.3333……= 3
•
0.3
11
•
9 化为小数为1.2222……= 1.2
2 11
化为小数为0.1818……=
••
0.18
反过来，循环小数怎样化为分数呢？
分析
• 分数化小数
• 分母是10，100，1000......的：可以直接化 成小数，如，十分之七化成0.7，一百分之 九化成0.09
无限循环小数化成分数的公式
无限循环小数化成分数的公式一、纯循环小数化分数公式及推导示例。
1. 公式。
- 对于纯循环小数，将一个循环节作为分子，分母是由若干个9组成，9的个数与循环节的位数相同。
- 例如：将纯循环小数0.ȧ = (a)/(9)（a为一位循环节）；0.ȧḃ=frac{¯ab}{99}（¯ab表示两位数ab组成的数）；0.ȧḃċ=frac{¯abc}{999}（¯abc表示三位数abc组成的数）等等。
2. 推导示例。
- 以0.3̇为例，设x = 0.3̇，则10x=3.3̇。
- 用10x - x，即10x - x=(3.3̇)-(0.3̇) = 3。
- 因为10x - x = 9x，所以9x = 3，解得x=(3)/(9)=(1)/(3)。
- 再以0.1̇2为例，设x = 0.1̇2，则100x = 12.1̇2。
- 100x - x=(12.1̇2)-(0.1̇2) = 12。
- 又因为100x - x = 99x，所以99x = 12，解得x=(12)/(99)=(4)/(33)。
二、混循环小数化分数公式及推导示例。
1. 公式。
- 对于混循环小数，分子是不循环部分与第一个循环节组成的数减去不循环部分组成的数，分母的前面是若干个9，9的个数与循环节的位数相同，后面是若干个0，0的个数与不循环部分的位数相同。
- 例如：将混循环小数0. a ḃ= frac{¯ab-a}{90}（a为不循环部分一位数，¯ab表示a和循环节b组成的数）；0. a ḃċ=frac{¯abc-a}{990}（a为不循环部分一位数，¯abc 表示a和循环节bc组成的数）；0. ab ċ=frac{¯abc-¯ab}{900}（ab为不循环部分两位数，¯abc表示ab和循环节c组成的数）等等。
2. 推导示例。
- 以0.23̇为例，设x = 0.23̇，则10x = 2.3̇，100x=23.3̇。
无限循环小数化为分数
无限循环小数化为分数独家窍门：1/9=0.11111111111111111111…….对吧假设有一个循环小数0.345634563456………其中循环的是3456，从1/9怎样可以过度到0.3456…（3456循环）呢。
我们可以把0.3456….（3456循环）看作是0.1…（1循环）中每四个1为一组的1111变成了3456，因此只需要给0.1..（1循环）乘以3456/1111就可以了。
即1/9×3456/1111同理可以得出如下规律：0.259……（259循环）就可以写成1/9×259/1110.123456……（123456循环）就可以写成1/9×123456/1111110.205802713……（205802713循环）就可以写成1/9×205802713/111111111以此类推这公式不言而喻了0.a...b（a...b循环）=1/9×a...b/1...1=a...b/9 (9)（说明：a…b代表一串数字，9…9的位数与a…b的位数相同）如果碰上了这样的循环小数：0.3456142857…（142857循环）怎么办呢，这里3456是不循环的我们进行假设，如果知道了0.00001…（1循环）的分数是什么的话直接给他乘以142857/111111在加上不循环的0.3456即3456/10000的话就可以得出结果了那么0.00001…（1循环）是多少呢很显然0.1…（1循环）减去0.1111就是我们要的结果，也就是1/9-1111/10000那么最后结果就是：（1/9-1111/10000）×142857/111111+3456/10000（1×10000-1111×9）/（9×10000）×（142857/111111）+3456/10000（1/90000）×（142857/111111）+3456/10000142857/（90000×111111）+3456/10000（142857+3456×9×111111）/（90000×111111）（142857+3456×999999）/（90000×111111）（142857+3456×（1000000-1））/（90000×111111）（142857+3456×1000000-3456）/（90000×111111）（3456142857-3456）/9999990000以此类推这公式也不言而喻了设循环小数0.c…da……b（a……b循环）说明：c…d与a……b代表各自一串数字，a……b为循环部分，c…d为不循环部分，为了区别循环部分与不循环部分的位数，分别以……代表同a……b循环部分相同的数位，以…代表同c…d不循环部分相同的数位，0.1（1循环）减去0.1…1就是0.0…01（1循环）0.c…da……b（a……b循环）化分数的结果就是（1/9-1...1/10...0）×a......b/1......1+c...d/10 0然后来化简（1×10...0-1...1×9）/（9×10...0）×（a......b/1......1）+c...d/10 0（1/90...0）×（a......b/1......1）+c...d/10 0a......b/（90...0×1......1）+c...d/10 0（a……b+c…d×9×1……1）/（90…0×1……1）（a……b+c…d×9……9）/（90…0×1……1）（a……b+c…d×（10……0-1））/（90…0×1……1）（a……b+c…d×10……0-c…d）/（90…0×1……1）（c...da......b-c...d）/9......90 00.c…da……b（a……b循环）化分数的结果就是（c…da……b-c…d）/9……90…0,其中……代表同a……b循环部分相同的数位，以…代表同c…d不循环部分相同的数位。
无限循环小数化成分数的方法
无限循环小数化成分数的方法无限循环小数是指小数部分无限循环重复的数字，如0.3333……或0.76454545……。
在数学中，我们经常需要将无限循环小数化成分数形式，这样有助于我们更好地理解和运用这些数。
下面，我将介绍几种常用的方法来将无限循环小数化成分数。
首先，我们来看一个简单的例子，0.3333……。
这个无限循环小数可以表示为1/3。
那么，如何得到这个结果呢？接下来，我将逐一介绍几种方法。
方法一，设x=0.3333……，那么10x=3.3333……。
接下来，我们将两个式子相减，得到9x=3，从而得出x=1/3。
方法二，利用无限循环小数的性质，我们可以将无限循环小数表示为分数的形式。
对于0.3333……，我们可以设其为a/9，其中a为3。
因此，0.3333……=3/9=1/3。
接下来，我们再来看一个例子，0.76454545……。
这个无限循环小数该如何化成分数呢？下面我将介绍第三种方法。
方法三，设x=0.76454545……，那么100x=76.454545……。
同样地，我们将两个式子相减，得到99x=76，从而得出x=76/99。
通过以上三种方法的介绍，我们可以看出，将无限循环小数化成分数并不难，只需要我们利用一些简单的数学方法就可以得到结果。
当然，对于更复杂的无限循环小数，我们可能需要更多的步骤和计算，但总的来说，这个过程并不复杂。
在实际运用中，我们经常会遇到需要将无限循环小数化成分数的情况，比如在化学计算、物理实验、金融分析等领域。
因此，掌握将无限循环小数化成分数的方法对我们来说是非常重要的。
总之，将无限循环小数化成分数是数学中的一个基本问题，通过本文介绍的几种方法，希望可以帮助大家更好地理解和掌握这一技巧。
希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。
1.6 无限循环小数如何化为分数
无限循环小数如何化为分数【解析】由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。
转化需要先“去掉”无限循环小数的“无限小数部分”。
一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了。
例1、把 0.33……和 0.4747……化成分数解：0.33……×10＝3.33……0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……(10-1) ×0.33……=3即9×0.33……=3那么0.33……=3/9=1/3例2：0.4747……×100＝47.4747……0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……(100－1)×0.4747……=47即99×0.4747…… =47那么0.4747……=47/99由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。
例3、把0.4777……和0.325656……化成分数解：0.4777……×10=4.777……①0.4777……×100=47.77……②用②－①即得:0.4777……×90=47－4所以：0.4777……=43/90例4：0.325656……×100=32.5656……①0.325656……×10000=3256.56……②用②－①即得:0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656……0.325656……×9900=3256－32所以：0.325656……=3224/9900。
无限循环小数化分数
无限循环小数化分数
等比数列法：无限循环小数，先找其循环节，然后将其展开为一等比数列、求出前n 项和、取极限、化简。
套公式法：纯循环，用9做分母，有多少个循环数就几个9，比如0.3，3的循环就是9分之3，0.654，654的循环就是999分之654， 0.9，9的循环就是9分之9（1），以此类推。
例：0.…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：
10x-x=1.……-0.……
9x=1
x=1/9
例：0........=1
设x=0.......
10x-x=9......-0......
9x=9
x=1
关于这方面，还可以运用音速的科学知识予以证明。
套公式法混循环
基准：把混循环小数0.˙化成分数：
解：0.˙
=[（/）+8/）]
=/（+）+8/
=[（/）-（/）]+（8/）
=（/）+[（8/）-（/）]
=（/）-（22/）
=/
=/。
纯循环小数
将氢铵循环小数重写成分数，分子就是一个循环节的`数字共同组成的数；分母各位数字都就是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。
例如：0....=1/9、0....=/。
无限循环小数化为分数一般规律和方法
无限循环小数化为分数一般规律和方法1 将无限循环小数化为分数将无限循环小数化为分数，是数学中很有价值的一项工作。
它们比较典型，经常出现在数学、物理、化学和其他领域的计算中，涉及到很多数学知识，因此，学习者在研究它们时需要多积极准备。
2 将无限循环小数转换为分数要转换无限循环小数为分数，一般采取的是将每个定点数均匀进位的方法。
具体来说，我们需要将每个定点数向上取整并取余，构成一个分数。
譬如，0.123(456)，即它的整数部分为0，123456为它的循环部分，此时，将123456向上取整、取余就可以得到一个分数：5179/41320，即0.123(456)等价于5179/41320。
3 无限循环小数的化简方法如果一个无限循环小数能够化简成最简分数，则它的分母必然是最大的循环小数单位，也就是最高位的位数乘以10的几倍，用科学计数法表达为10<sup>n</sup>，其中n为循环部分的位数。
比如，0.12(34)的循环部分的最高位是3，所以分母为10<sup>2</sup>个小数位，即1000，此时，将循环部分本身取余，得到一个分数：123/1000，即0.12(34)等价于123/1000。
4 除法求最简分数如果一个无限循环小数不能进行化简，那么需要利用有理数的除法运算，一步步求出最简分数。
其中，除数是一个循环小数的最高位的位数乘以10的几次方，作为分母；被除数是小数本身的取余，作为分子；进位制是将每一步的商作为下一步运算的被除数，进行多次相除，最终当余数为0时，表示求得了最简分数。
5 精确转换法精确转换法是将无限循环小数转换为最简分数的一种快速方法，它本质上是一种“把循环小数乘以倍数，然后取整”的方式。
具体来说，将无限循环小数乘以10的n次方，使无限循环小数变为非循环小数，然后用整数四舍五入的方式取整，最后再除以10的n次方，得到一个简单的分数。
6 总结无限循环小数化为分数通常可以采取将每个定点数均匀进位法和有理数除法等多种方法。
小学奥数之各种循环小数化成分数的方法归纳
小学奥数之各种循环小数化成分数的方法归纳小学奥数中，常常会遇到各种循环小数，化成分数的问题。
循环小数是指小数部分有一组数字无限重复出现。
对于循环小数，我们可以采用一些方法将其化成分数。
下面我们将介绍几种常见的方法。
方法一：直接法对于循环小数0.abcabcabc...，我们可以设这个循环小数为x，则有：10x = abc.abcabcabc...x = 0.abcabcabc...将上述两式相减，得到：9x = abc所以，x = abc / 9这就是将循环小数直接化成分数的方法。
解：设这个循环小数为x，则有：将上述两式相减，得到：99x=36所以，x=36/99=4/11方法二：倍数法对于循环小数0.abcabcabc...，我们可以设这个循环小数为x，则有：1000x = abc.abcabcabc...100x = 0.abcabcabc...将两式相减，得到：900x = abc所以，x = abc / 900这就是利用倍数法将循环小数化成分数的方法。
解：设这个循环小数为x，则有：将两式相减，得到：900x=571所以，x=571/900=19/30方法三：代数法对于循环小数0.abcabcabc...，我们可以利用代数方法将其化成分数。
设这个循环小数为x，则有：x = 0.abcabcabc...10x = abc.abcabcabc...将两式相减，得到：9x = abc所以，x = abc / 9这种方法和直接法类似，但更侧重于利用代数思想。
例题3：将0.8888...化成分数。
解：设这个循环小数为x，则有：10x=8.8888...x=0.8888...将两式相减，得到：9x=8所以，x=8/9除了以上的三种常见方法，还有一些特殊的循环小数化成分数的方法，根据具体情况灵活运用。
总结起来，小学奥数中循环小数化成分数常用的方法有直接法、倍数法和代数法。
学生们在解决这类问题时，可以根据题目的具体形式选择合适的方法。
无限循环小数化分数
无限循环小数化分数的理论依据
用一元一次方程求解
• 由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、 百分之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无 限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法， 把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大 后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分” 完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉 了。
实数的分类(基本概念)：
整数
正整数 (自然数) 零 负整数 有限小数 正分数
无限循环小数
实 数
有 理 分数 数 负分数
无 理 正无理数 数 负无理数
无限不循环小数
思考
• 我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分 成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。 无限不循环小数不能化成分数，而无限循环小 数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又 是如何化分数的呢？
2，混循环小数化为分数
• •
3,把1.25858……化为分数 解：设X= 1.25858…… 则10X= 12.5858…… 1000X= 1258.5858…… 1000X-10X=1246 即990X=1246 即 X = 1246/990 得X =623/495 4.把0.56787878......化成分数 解：设X= 0.56787878...... 100X= 56.787878...... 10000X= 5678.787878...... 10000X-100X=5622 所以9900X = 5622 解得：X = 5622/9900 即X=2811/4950
• 总结：纯循环小数化分数 纯循环小数,循环节有几个数字, 分母就有几个9,分子是循环节的 数字。最后的结果能约分的要约 分。
如何将循环小数化为分数
如何将循环小数化为分数一、无限循环小数怎样化为分数?公式第一种：这个公式必须将循环节的开头放在十分位。
若不是可将原数乘10^x(x为正整数）就为：12.121212……-0.121212……=12100倍- 1倍=99 （99和12之间一条分数线）此公式需用两位数字，其中两位数差出一个循环节。
再举一个例子：0.00121212……公式就变为：1212.121212……-12.121212……=1200100000 倍- 1000倍=99000 （1200与99000之间一条分数线）第一行为原数的的倍数10^x(x为正整数），第二行为与原数的乘数，10^x(x 为正整数）。
第二种：如，将3.305030503050.................（3050为循环节）化为分数。
解：设：这个数的小数部分为a，这个小数表示成3+a10000a-a=30539999a=3053a=3053/9999算到这里后，能约分就约分，这样就能表示循环部分了。
再把整数部分乘分母加进去就是（3×9999+3053）/9999=33050/9999还有混循环小数转分数如0.1555.....循环节有一位，分母写个9，非循环节有一位，在9后添个0分子为非循环节+循环节（连接）-非循环节+15-1=1414/90约分后为7/45二、如何将有限循环小数化为分数？1、纯循环小数化分数纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
2、混循环小数化分数一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
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• 2.把0.1234123412341234...化成分数 。 解：设X=0.1234123412341234... 因为0.1234123412341234... == 0.1234 + 0.000012341234... 所以X = 0.1234 + 0.0001X 解得：X = 1234/9999
思考：
怎样将 1 . 7 ， 1 . 2 7 化成分数 ？ 0. 3 4 呢？ 1
、
1 化成分数。 （ 让学生证明0.9 ） 2 将0.9 、
• 由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这 样的分数：纯循环小数,循环节有几个数字,分母就有几个 9,分子是循环节的数字 混循环小数,循环节有几个数字,分母就有几个9,循环节前 到小数点间有几位数字,分母9后面就有几个0,分子是混循 环数字减去循环节前数字的差
• 一，纯循环小数化分数：循环节的数字除以循环 节的位数个9组成的整数。例如： 0.3333……=3/9=1/3； • 二，混循环小数： • （例如：0.24333333……）不循环部分和循环节 构成的的数减去不循环部分的差，再除以循环节 位数个9添上不循环部分的位数个0。例如： 0.24333333…………=(243-24)/900=73/300
• 类型2：混循环小数如何化为分数 • 例题：把0.4777……和0.325656……化成分数 例3： 0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得: 0.4777……×90=47－4 所以：0.4777……=43/90 例4： 0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得: 0.325656……×9900=3256.5656……－ 32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以： 0.325656……=3224/9900
2、移项，合并同类项，系数化为1，要注意什么？
①移项时要变号.（变成相反数）
②合并同类项时，只是把同类项的系数相加作为所得项的系数，字母部 分不变.
③系数化为1，也就是说方程两边同时除以未知数前面的系数.
从最简单的数开始
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.1 2.3 7 54 0 .7 4 3.05 0 .3 0.3
1 .7 2 .6
？ 0.3
即：
一般做法：1÷3=
0 .3
0 .3
1 =1÷3= 3
那么：
0.7 ？
请同学们讨论
方法一：代数法
• • • • • • • • • • 类型1：纯循环小数如何化为分数 例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数 例1： 0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 例2：0.4747……×100＝47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么 0.4747……=47/9
无限循环小数化分数
• 八角亭中学 李刚宁
有趣的辩论：
0.9 1还是0.9 1
无限循环小数化分数
下列循环小数：
0.34
0.1 54 0 .3
2 .6
3.05 0.7
7 2.3
1 .7
你能将哪些化为分数，你的做法是什么？要探 究这些循环小数化为分数，你会采取怎样的顺 序？
小结与作业：
• 小结： 1、所有的小数都可以化为分数吗？ 2、无限循环小数化为分数有一般的规律吗？ 3、从本节课我学到探究一个问题的策略是＿＿＿ 4、许多想说的疑问：……
•
作业： 1、整理=1的证明方法或整理本节课的笔记。 2、从今天没有解决的问题中选择一个继续探究。
下课了!
方法二：方程法 • 用一元一次方程求解 1.把0.232323... 化成分数 。 解法1：设0.232323... =X 因为0.232323... =X= 0.23 + 0.002323... 所以 X = 0.23 + 0.01X 解得：X = 23/99 解法2：设0.232323... =X 因为0.232323... =X= 23.2323... -23 所以 X = 100X -23 解得：X = 23/99
方法一：
从来路找回路（竖式除法）
0. 7 7…
a ， 设 b = 0 .7
由左竖式除法可得，
b
a 0 7b a 0 7b
10a-7b=a 9a=7b
a 7 7 即0.7 b 9 9
…
方法二：
消去循环部分
与0.7 的关系？ 思考： 请找出 7.7
是0.7 的10倍， 它们的差是 （7.7 7。 )
看作整体1 则 7.7 为整体1的 10 倍， 将 0 .7 它们的差为整体1的 9 倍，差是 7 ，所以整
体1为：
7 7 7 9 即0.7 9 9
方法三：
方程解法
x 设0.7
10x 则7.7
②- ①得9X=7
②
①
方程两边同×10，得
7 7 解得 X , 即0.7 。 9 9