福州市2012届第一学期期末高三(数学文科)模拟试卷
2012年福建省高三质检文科数学试卷及答案
2012年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．1A 25A ．45B ． 45- C ． 35D ． 35-3．若0.320.32,0.3,log 2a b c ===，则,.a b c 的大小顺序是A ． a b c <<B ． c a b <<C ． c b a <<D ． b c a <<4．在空间中，下列命题正确的是A ． 平行于同一平面的两条直线平行B ． 垂直于同一平面的两条直线平行C ． 平行于同一直线的两个平面平行D ． 垂直于同一平面的两个平面平行5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙，，则下列判断正确的是6A7A89C ． )62sin()(π+=x x fD ． x x f 2sin )(=10．已知)2,0(),0,2(B A -, 点M 是圆2220x y x +-=上的动点，则点M 到直线AB 的最大距离是 A ．1- B ． C 1+ D ．11． 一只蚂蚁从正方体1111ABC D A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是12f 13141516③*M P ⋂=∅．其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 的公差为2-，且134,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1(*)(12)n n b n n a =∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18． (本小题满分12分)在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，1,AB AD ==,AB BC CD BD ⊥⊥,如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻1912分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有(Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin22A B A B A B +--=-;(Ⅱ)若A B C ∆的三个内角,,A B C 满足2cos 2cos 22sin A B C -=,试判断A B C ∆的形状． (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 20． (本小题满分12分)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(21222012年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法1712 ((Ⅱ)由(Ⅰ)可得(12)(1)1n n b n a n n n n ===--++，……………………………8分所以12n n S b b b =++⋅⋅⋅+11111(1)()()2231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+1111n n n =-=++． ……………12分18．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分． 解：（Ⅰ）∵平面A BD BCD '⊥平面，A BD BCD BD '⋂=平面平面，C D BD ⊥ ∴CD A BD '⊥平面， ……………………………2分 又∵AB A BD '⊂平面，∴C D A B '⊥． ……………………………4分解法一：(Ⅰ)因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-， ① c o s ()c o sc o ss i n αβαβαβ-=+， ②………………………2分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-. ③……………3分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==，代入③得cos cos 2sinsin22A B A B A B +--=-. …………………6分(Ⅱ)由二倍角公式,2cos 2cos 22sin A B C -=可化为22212s i n 12s i n 2s i nA B C --+=,……………………………8分20(75,100)内的两天记为12,B B ．所以5天任取2天的情况有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共10种． ……………………4分 其中符合条件的有：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共6种． …………6分所以所求的概率63105P ==． ……………………8分（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.50.2537.50.562.50.1587.50.140⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．……………………………………………10分因为4035>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环21F 由①，②得222216166y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以4222222560y y -+=． ③ 因为2(22)42565400∆=--⨯=-<．所以方程③无解，从而A B C ∆不可能是直角三角形．…………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=，得1233x x x ++=，1230y y y ++=．……………………………6分 由条件的对称性，欲证A B C ∆不是直角三角形，只需证明90A ∠≠ ．(1)当A B x ⊥轴时，12x x =，12y y =-，从而3132x x =-，30y =，数形结合思想、考查化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为2()ln f x x a x =+，所以'()2a f x x x=+，函数()f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线斜率'(1)2k f a ==+． 由210a +=得：8a =． …………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()8ln f x x x =+，令()()2F x f x x =-228ln x x x =-+． 因为(1)10F =-<，(2)8ln 20F =>，所以()0F x =在(0,)+∞至少有一个根．又因为8'()22260F x x x =-+≥=>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，所以函数()F x 在(0,)+∞上有且只有一个零点，即方程()2f x x =有且只有一(,)x t ∈+∞时，'()0h x >．故()h x 在4(,)t t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增． 又()0h t =，所以当4(,)x t t ∈时，()0h x >；当(,)x t ∈+∞时，()0h x >， 即曲线在点(,())A t f t 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧． ………………… 13分（3）当4t t<，即02t <<时， (0,)x t ∈时，'()0h x >；4(,)x t t ∈时，'()0h x <；4(,)x t∈+∞时，'()0h x >． 故()h x 在(0,)t 上单调递增，在4(,)t t上单调递减．所以()h x 在()0,+∞上递增．又()0h t =，所以当(0,2)x ∈时，()0h x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h x >， 即存在唯一点(2,48ln 2)A +，使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分。
2012届高三摸底考试文科数学试题
2012届高三摸底考试数学试题（文科）本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。
答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回. 4. 参考公式：球体的体积公式343V r π=，其中r 是球体的半径． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数y =）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 2．复数2ii -（i 为虚数单位）等于（ ） A. 12i -- B. 12i -+C. 12i -D. 12i +3．已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则（ ） A ．2:,210p x R x ⌝∃∈+≤ B ．2:,210p x R x ⌝∀∈+≤C ．2:,210p x R x ⌝∃∈+<D ．2:,210p x R x ⌝∀∈+<4．圆1)3()1(22=++-y x 的一条切线方程是（ ）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x =D ．0y = 5．不等式32x x -+＜0的解集为（ ） A ．{}23x x -<< B ．{}2x x <- C ．{}23x x x <->或 D ．{}3x x > 6．若平面向量(1,2)=-a 与b 的夹角是180°，且||=b b 等于( ) A ．(6,3)- B ．(3,6)- C ．(6,3)- D ．(3,6)-7．设变量x 、y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值为（ ）.A 6 .B 7 .C 8 .D 23（图3）8．一个几何体的三视图如图1所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（ ） A ．43π B ．π C ．23π D ．3π9． 执行图2中的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ． 5 10．对函数()sin f x x x =，现有下列命题：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的最小正周期是2π；③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中心；④函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减。
福建省福州市2012届高三毕业班综合练习数学文(附答案)
福建省福州市2012届高三毕业班综合练习数学文（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）1．已知集合{}0,M x x =≥{}0,1,2N =，则A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．M N N =D ．M N =∅2．某地区共有10万户居民，其中城市住户与农村住户之比为2:3．现利用分层抽样方法调查了该地区1000户居民电脑拥有情况，调查结果如表所示，那么可以估计该地区农村住户中无电脑的总户数约为A ．0.24万B ． 1.6万C ．1.76万D ． 4.4万3．如图，在复平面内，若复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z +所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知,a b ∈R ，则“0b a <<”是“22ab a b <”的 A ．充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 5．如图，执行程序框图后，输出的结果为A ．12B ．1C ．2D ．46．已知m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同平面，则下列命题中假命题的是A ．若,m m αβ⊥⊥ 则//αβB ．若//,,m n m α⊥则n α⊥C ．若//,,m n ααβ=则//m nD ．若,m m αβ⊥⊂则 αβ⊥7．下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的奇函数是，，(n x x ++-xBO第3题图第5题图A ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．已知等差数列{}n a 的公差不为零，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于A ．1B ．2C ．3D ．4 9．若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于．．．4的概率为A ．18B ．78C ．14 D ．3410．若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，则23b a+的最小值为AB．C ．3 D ． 611．如图，三棱锥P ABC -的底面是正三角形，各条侧棱均相等，60APB ∠<︒. 设点D 、E 分别在线段PB 、PC 上，且//DE BC ，记PD x =，ADE ∆周长为y ，则()y f x =的图象可能是A B C D12．假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域，则称这条直线平分这个区域．如图，ℵ是平面α内的任意一个封闭区域.现给出如下结论：① 过平面α内的任意一点至少存在一条直线平分区域ℵ； ② 过平面α内的任意一点至多存在一条直线平分区域ℵ； ③ 过区域ℵ内的任意一点至少存在两条直线平分区域ℵ； ④ 过区域ℵ内的某一点可能存在无数条直线平分区域ℵ.其中结论正确的是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．③④第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．） 13．已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离是2，则点P 的坐标是★★★． 14．在ABC∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若21,3b c C π==∠=则ABC ∆的面积为★★★． 15．已知三次函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则(3)(1)f f '-=' ★★★ ． 16．如图是见证魔术师“论证”64=65的神奇．对这个乍看起来颇为神秘的现象，我们运用数学知识不难发现其中的谬误．另外，我们可以更换图中的数据，就能构造出许多更加直观与“令人信服”的“论证”．现请你用数列知识归纳：⑴这些图中的数所构成的数列： ★★★ ；⑵写出与这个魔术关联的一个数列递推关系式： ★★★ ．三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.) 17．（本小题满分12分）第12题图第15题图第16题图 第11题图为了解某校高三学生质检数学成绩分布，从该校参加质检的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图．若第一组至第五组数据的频率之比为1:2:8:6:3，最后一组数据的频数是6．（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率，并求出样本容量；（Ⅱ）从样本中成绩在65～95分之间的学生中任选两人，求至少有一人成绩在65～80分之间的概率． 18．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角αβ、的终边分别与单位圆交于A B 、两点．（Ⅰ）如果3sin 5α=，点B 的横坐标为513，求()cos αβ+的值；（Ⅱ）已知点C()2-，求函数()f OA OC α=⋅的值域．19．（本小题满分12分）甲、乙两家网络公司，1993年的市场占有率均为A ，根据市场分析与预测，甲、乙公司自1993年起逐年的市场占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市场占有率都比前一年多2A，乙公司自1993年起逐年的市场占有率如图所示：（I ）求甲、乙公司第n 年市场占有率的表达式；（II ）根据甲、乙两家公司所在地的市场规律，如果某 公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公 司将被另一公司兼并，经计算，2012年之前，不会出现兼并局面，试问2012年是否会出现兼并局面，并说明理由．20．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，PBC ∆为正三角形． （Ⅰ）在平面PCD 中作一条与底面ABCD 平行的直线, 并说明理由；（Ⅱ）求证：AC ⊥平面PAB ； （Ⅲ）求三棱锥A PBC -的高．21．（本小题满分12分）如图，圆C 与y 轴相切于点()0,2T ，与x 轴正半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧），且3MN =．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任作一条直线与椭圆22:148x y Γ+=相交于A B 、两点，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠．22．（本小题满分14分）第18题图第17题图第20题图第19题图已知函数()ln(1)1axf x x x =+++()a ∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求函数()x f y =的图象在0x =处的切线方程； （Ⅱ）判断函数()f x 的单调性； （Ⅲ）若函数()f x 在(),1a a +上为增函数，求a 的取值范围．2012年福州市高中毕业班综合练习 文科数学试卷参考答案及评分参考一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.B2. B3.A4.A5. C6. C7. D8. B9.C 10. D 11. C 12. B 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)13. ()1,2±14. 15. 5- 16. （1）21n n n a a a ++=+，11a =，21a =；或直接列举出数列各项；（前2项不是主要的）（2）()12211n n n n a a a -++⋅-=-和10.618n n a a +≈（不唯一，关键要反映“64=65”的一般关系和拼接后以假乱真的原因）三、解答题(本大题共6小题，共80分) 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）估计该校高三学生质检数学成绩在125～140分之间的概率1p 为331268320=++++， ········································································ 2分又设样本容量为m ，则6320m =，解得，40m =． ······································ 4分（Ⅱ）样本中成绩在65～80分之间的学生有14020⨯=2人，记为,x y ；成绩在80～95分之间的学生24020⨯=4人，记为,,,a b c d ， ···························································· 5分从上述6人中任选2人的所有可能情形有：{}{}{}{}{},,,,,,,,,,x y x a x b x c x d {}{}{}{},,,,,,,,y a y b y c y d{}{}{},,,,,,a b a c a d {}{}{},,,,,b c b d c d ，共15种， ·································· 8分 至少有1人在65～80分之间的可能情形有{}{}{}{}{},,,,,,,,,,x y x a x b x c x d {}{}{}{},,,,,,,,y a y b y c y d 共9种， ······· 11分因此，所求的概率2p 93155==． ··························································· 12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ α是锐角，3sin 5α=， ∴4cos 5α． ··································································· 2分 根据三角函数的定义，得5cos 13β=，又∵ β是锐角，∴12sin 13β==． ·································································· 4分 ∴ ()4531216cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-． ···················· 6分（Ⅱ）由题意可知，(cos sin )OA αα=，，2)OC =-． ∴ ()23cos 2sin 4cos()6f OA OC παααα=⋅=-=+， ································ 8分∵ 02πα<<，∴2663πππα<+<， ··········································································· 9分 ∴1cos()262a π-<+<2()f α-<< ································ 11分 ∴ 函数()f α的值域为(-． ························································ 12分19．（本小题满分12分） 解：（I ）设甲公司第n 年市场占有率为n a ，依题意，{}n a 是以1a A =为首项，以2Ad =为公差的等差数列． ····························································································· 2分∴ (1)222n A A Aa A n n =+-⋅=+． ···························································· 3分设乙公司第n 年市场占有率为n b ，根据图形可得：2311111...2222n n b A A A A A -=+++++ ························································· 5分 1122n A -⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ················································································· 6分（II ）依题意，2012年为第20年，则20212010222A A a A A =⨯+=>，20191(2)22b A A =-<， ··································· 9分 ∴ 2020220%10b Aa A<=，即202020%b a <⋅， ················································ 11分∴ 2012年会出现乙公司被甲公司兼并的局面． ······································· 12分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）分别取PC PD 、中点E F 、，连结EF ，则EF 即为所求，下证之： ···· 1分 ∵ E F 、分别为PC PD 、中点， ∴ //EF CD ． ········································· 2分 ∵ EF ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ,… 3分 ∴ //EF 平面ABCD ． ······························ 4分 （作法不唯一）（Ⅱ）由三视图可知，PA ⊥平面ABCD ，222BC AD CD ===，四边形ABCD 为直角梯形．过点A 作AG BC ⊥于G ，则1AG CD ==,1GC AD ==． ∴AC =,AB ， ∴ 222AC AB BC +=，故AC AB ⊥． ······················································ 6分 ∵ PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , ∴ PA AC ⊥. ····················································································· 7分 ∵ PA AB A =， ∴AC ⊥平面PAB ． ··········································································· 8分（Ⅲ）∵ PBC ∆为正三角形，∴ 2PB BC ==．在Rt PAB ∆中，PA ==∴111332C PAB PAB V S AC -∆⎛=⋅=⨯ ⎝， ····························· 10分211233A PBC PBC V S h h -∆⎫=⋅=⨯⋅⎪⎪⎝⎭（其中h 为三棱锥A PBC -的高）． ······································································································· 11分 ∵ C PAB A PBC V V --=，∴h =···················································································· 12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设圆C 的半径为r （0r >），依题意，圆心坐标为(,2)r ． ················ 1分∵ 3MN =∴ 222322r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2254r =． ·························································· 3分∴ 圆C 的方程为()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． ··············································· 4分（Ⅱ）把0y =代入方程()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解得1x =，或4x =，即点()1,0M ，()4,0N ． ········································································ 5分⑴ 当AB x ⊥轴时，由椭圆对称性可知ANM BNM ∠=∠． ··························· 6分 ⑵ 当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为()1y k x =-．联立方程()22128y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，消去y 得，()22222280k x k x k +-+-=． ·················· 7分 设直线AB 交椭圆Γ于()()1122,,A x y B x y 、两点，则212222k x x k +=+，212282k x x k -⋅=+． ···························································· 8分 ∵ ()()11222,2y k x y k x =-=-，∴ ()()12121212114444AN BN k x k x y y k k x x x x --+=+=+----()()()()()()122112141444k x x k x x x x --+--=--．∵()()()()()122112121414258x x x x x x x x --+--=-++()222228108022k kk k -=-+=++， ·································································· 10分∴ 0AN BN k k +=，∴ANM BNM ∠=∠．················································· 11分 综上所述，ANM BNM ∠=∠． ······························································· 12分 22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1xf x x x =+++（1x >-）， ······························· 1分∴22123()1(1)(1)x f x x x x +'=+=+++， ·························································· 2分 ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3． ··············································· 3分又∵()00f =，所以切点为()0,0.故所求的切线方程为：3y x =． ····························································· 4分（Ⅱ）∵()ln(1)1axf x x x =+++，(1)x >-∴221(1)1()1(1)(1)a x ax x a f x x x x +-++'=+=+++ ······················································ 5分 ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>； ····················································· 6分 ②当0a <时， 由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()01f x x '>⎧⎨>-⎩，得1x a >--； ······················ 8分综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在[)1,a --+∞上单调递增． ······· 9分（Ⅲ）①当0a ≥时，由（Ⅱ）可知，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增．此时，()(),11,a a +⊆-+∞，故()f x 在(),1a a +上为增函数． ·································································· 11分②当0a <时，由（Ⅱ）可知，函数()f x 在[)1,a --+∞上单调递增． ∵ ()f x 在(),1a a +上为增函数， ∴()[),11,a a a +⊆--+∞，故1a a --≥，解得12a -≥， ∴ 012a <-≤． ················································································ 13分综上所述，a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． ··················································· 14分。
y2012年福州市高中毕业班质量检查文科数学
2012年福州市高中毕业班质量检查数学（文科）试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.） 1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C8．B9．A10．C11．A12．D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．i14．1415．116．1()3n三、解答题（本大题共6小题，共74分．） 17．解：（Ⅰ）由已知得112n n a a +=+，即112n n a a +-=． ·········································· 1分 ∴ 数列{}n a 是以12为首项，以12d =为公差的等差数列． ····································· 2分 ∵ 1(1),n a a n d =+- ······································································································ 3分 ∴ 11(1)222n na n =+-=（*n N ∈）． ··········································································· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得141(1)22n b n n n n ==++⋅， ···························································· 7分 ∴ 114()1n b n n =-+． ······························································································· 9分 ∴ 111114[(1)()()]2231n T n n =-+-++-+14(1)1n =-+41n n =+． ······················· 12分 18．解：（Ⅰ）事件A 包含的基本事件为：{,}a b 、{,}a c 、{,}a x 、{,}a y 、{,}b c 、{,}b x 、{,}b y 、{,}c x 、{,}c y ，{,}x y ，共10个．························································································ 6分 注：⑴ 漏写1个情形扣2分，扣完6分为止；多写情形一律扣3分．（Ⅱ）方法一：记 “至少有1扇门被班长敞开”为事件B ．∵ 事件B 包含的基本事件有{,}a x 、{,}a y 、{,}b x 、{,}b y 、{,}c x 、{,}c y ，{,}x y ，共7个． ··················································································································································· 9分∴ 7()10P B =． ··········································································································· 12分 方法二：事件“2个门都没被班长敞开” 包含的基本事件有{,}a b 、{,}a c 、{,}b c ，共3个． ·················································································· 8分∴ 2个门都没被班长敞开的概率1310P =， ····························································· 10分 ∴ 至少有1个门被班长敞开的概率23711010P =-=． ··········································· 12分 19．方法一：由sin()04x π-≠，得4x k ππ-≠（k ∈Z ），即4x k ππ≠+（k ∈Z ），∴ 函数()f x 定义域为{|,}4x x k k ππ≠+∈Z ． ························································· 2分∵cos 2(),)4x f x x π=-22cos sin ()cos sin )cos sin 4x x f x x x x x x π-∴==+=+-，················································ 5分 注：以上的5分全部在第Ⅱ小题计分.（Ⅰ）()sin()121243f ππππ=+==······································· 8分 （Ⅱ）令322(242Z)k x k k πππππ+<+<+∈， ··················································· 10分 得522(44Z),k x k k ππππ+<<+∈ ········································································· 11分 ∴ 函数()f x 的单调递减区间为5(2,2)44k k ππππ++(Z)k ∈． ······················· 12分 注：学生若未求函数的定义域且将单调递减区间求成闭区间，只扣2分． 方法二：由sin()04x π-≠，得4x k ππ-≠（k ∈Z ），即4x k ππ≠+（k ∈Z ），∴ 函数()f x 定义域为{|,}4x x k k ππ≠+∈Z ． ························································ 2分∵cos 2(),)4x f x x π=-sin 2()2sin()cos()444())4)sin()44x x x f x x x x ππππππ---∴===---， ····························· 5分（Ⅰ）()cos())121246f ππππ=-=-== ································· 8分（Ⅱ）令22()4k x k k Z ππππ<-<+∈，······························································ 10分 得522(44Z)k x k k ππππ+<<+∈， ······································································ 11分 ∴ 函数()f x 的单调递减区间为5(2,2)44k k ππππ++(Z)k ∈． ······················· 12分 方法三：（Ⅰ）∵cos(2)cos126ππ⨯=，1sin()sin 41262πππ-==， ∴2()1122f π==． ··························································································· 3分 下同方法一、二．20．解：（Ⅰ）依题意，点P 坐标为(,0)a ． ···························································· 1分 ∵ 6OP OQ ⋅=，点Q 坐标为(3,3)，∴ 3306a +⨯=，解得2a =． ···················································································· 3分∴ 椭圆C 的方程为22149x y +=． ··············································································· 4分 （Ⅱ）过点Q (3,3)且斜率为32的直线AB 方程为33(3)2y x -=-，即3230x y --=． ·········································································································· 5分 方法一：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去x 并整理得，2812270y y +-=． ········································· 6分 ∴ 1212327,28y y y y +=-=-， ···················································································· 7分∴ 2212121295463()()4444y y y y y y -=+-=+=， ∴12||y y -=． ···································································································· 9分 ∵ 直线AB 与x 轴的交点为(1,0)M ， ∴ AOB ∆的面积AOB OMA OMBS S S ∆∆∆=+121211||(||||)1||22OM y y y y =⋅+=⨯⨯-=． ·············· 12分 方法二：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得22230x x --=， ············· 6分 ∴12x x =， ··················································· 7分 ∴12|||AB x x -==· 9分 ∵ 点O 到直线AB的距离d ===， ············································ 10分 ∴ AOB ∆的面积1122AOB S AB d ∆=⋅⋅==． ······························· 12分 方法三：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得22230x x --=， ············· 6分 ∴12x x =， ··················································· 8分 ∵ 直线AB 与y 轴的交点为3(0,)2M -，∴ AOB ∆的面积 AOB OMA OMB S S S ∆∆∆=+12113||(||||)222OM x x =⋅+=⨯⨯=．…12分 方法四：设点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，由221,493230,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得22230x x --=， ················································· 6分 ∴ 121231,2x x x x +=⋅=-， ·························································································· 7分∴12||AB x x -， ··········································································································································· 9分∵ 点O 到直线AB的距离d ===， ·········································· 10分 ∴ AOB ∆的面积1122AOB S AB d ∆=⋅⋅==． ······························· 12分 21．（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，∵ BD AC ⊥，∴ BD AO ⊥. ················································································································ 1分 ∵ EF AC ⊥，∴PO EF ⊥,∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，∴ PO ⊥平面ABFED , ···························································································· 2分 ∵ BD ⊂平面ABFED ，∴ PO BD ⊥. ················································································································ 3分 ∵ AOPO O =，所以BD ⊥平面POA . ·································································· 4分 （Ⅱ）连结OB ，设AO BD H =.由（Ⅰ）知，AC BD ⊥． ∵ 60DAB ∠=︒，4BC =，∴ 2BH =，CH =． ···························································································· 5分 设OH x =（0x <<．由（Ⅰ）知，PO ⊥平面ABFED ,故POB ∆为直角三角形． ∴ 222222()PB OB PO BH OH PO =+=++，∴222224)2162(10PB x x x x =++=-+=-+． ··························· 7分当x PB 取得最小值，此时O 为CH 中点． ················································· 8分∴ 14CEF BCD S S ∆∆=， ······································································································ 9分∴ 3344BCD ABD BFED S S S ∆∆==梯形， ················································································ 10分∴ 1211,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形． ···························································· 11分∴ 1243ABD BFED V S V S ∆==梯形．∴ 当PB 取得最小值时，12:V V 的值为4:3． ························································· 12分 22．解：（Ⅰ）22(1)(1)()2x x f x x x x+-'=-+=-（0x >）， ······································ 1分 由()0,0f x x '>⎧⎨>⎩得，01x <<；由()0,0f x x '<⎧⎨>⎩得，1x >.∴ ()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数． ·············································· 3分 ∴ 函数()f x 的最大值为(1)1f =-． ·········································································· 4分 （Ⅱ）∵ ()a g x x x =+， ∴ 2()1ag x x'=-． （ⅰ）由（Ⅰ）知，1x =是函数()f x 的极值点， 又∵ 函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴ 1x =是函数()g x 的极值点，∴ (1)10g a '=-=，解得1a =． ················································································· 7分 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意． ·········································· 8分（ⅱ）∵ 211()2f e e =--，(1)1f =-，(3)92ln3f =-+，∵ 2192ln321e -+<--<-， 即 1(3)()(1)f f f e<<，∴ 11[,3]x e ∀∈，1min 1max ()(3)92ln3,()(1)1f x f f x f ==-+==-． ························ 9分由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x '=-. 当1[,1)x e∈时，()0g x '<；当(1,3]x ∈时，()0g x '>．故()g x 在1[,1)e为减函数，在(1,3]上为增函数．∵ 11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而 11023e e <+<, 1(1)()(3),g g g e ∴<<∴ 21[,]x e e ∀∈，2min 2max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====． ···································· 10分① 当10k ->，即1k >时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立。
福州市2012届第一学期高三期末质量检查数学(文科)试卷
福州市2012届第一学期期末高三数学(文科)模拟试卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差为s =其中x 为样本平均数第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．复数(1)i i +（i 为虚数单位）等于 A ．0 B ．1i +C ．1i -D ．1i -+ 2．已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则()U M N 等于ðA ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e3．如图是某次大赛中，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为A ．83B ．84C ．85D ．864．“2x <”是“220x x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知0.20.20.62,0.4,0.4a b c ===，则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．若变量,x y满足约束条件,,y x y x x ≤-⎧⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩则y x z 2-=的最小值等于A ．2-B．2-C ．22-D ．0第3题图7．已知2cos()43πα+=，则sin()4πα-的值等于 A ．23B ．23- C D ．8．直线y x =与椭圆2222:1x y C a b+=的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为AB C19．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>）的部分图象如图所示，则在下列区间中函数()f x 单调递增的是A ．75[,]1212ππ- B ．7[,]1212ππ-- C ．[,]36ππ-D ．1117[,]1212ππ10．若直线2x my m +=+与圆222210x y x y +--+=相交，则实数m 的取值范围为 A ．(),-∞+∞ B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．()(),00,-∞+∞11．如图，已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则()()OA OB OA OC +⋅+等于A ．19B ．19-C ．16D ．16- 12．已知数列{}n a 中，145a =，112,0,2121,1,2n n n nn a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则2012a 等于A ． 45B ．35C ．25D ．15B第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．）13．双曲线221916x y -=的渐近线方程为 ★ ★★ ．14．如图所示，程序框图的输出值s 等于★★★ ．15．“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ★★★ ．16．已知集合M 是满足下列条件的函数()f x 的全体：⑴ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数；⑵ 函数()f x 有零点．那么在函数 ①()1f x x =+，②()21x f x =-，③2,0,()0,0,2,0,x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩④2()1ln f x x x x =--+中，属于M 的有 ★★★ ．（写出所有符合的函数序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17．（本小题满分12分）已知{}n a 是等比数列，12a =，且134,1,a a a +成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．第15题图图甲 图乙已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2．现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．（Ⅰ）若用数组(,,)x y z 中的,,x y z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号 码，请写出数组(,,)x y z 的所有情形，并回答一共有多少种；（Ⅱ）如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．19．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、．已知3a =，3B π=，ABC S ∆=（Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求sin2A 的值．20．（本小题满分12分）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到150.1x -万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：（Ⅰ）每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （Ⅱ）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ()1,1-，P 是动点，且三角形POA 的三边所 在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ= ，直线OP 与QA 交于点M ，试探究：点M 的横坐标是否为定值？并说明理由．22．（本小题满分14分）已知,m t ∈R ，函数3()()f x x t m =-+． （Ⅰ）当1t =时，（ⅰ）若(1)1f =，求函数()f x 的单调区间；（ⅱ）若关于x 的不等式3()1f x x ≥-在区间[1,2]上有解，求m 的取值范围； （Ⅱ）已知曲线()y f x =在其图象上的两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x （12x x ≠）处 的切线分别为12,l l ．若直线1l 与2l 平行，试探究点A 与点B 的关系，并证明你的结论．福州市2012届第一学期期末高三数学(文科)模拟试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．A 8．A 9．D 10．D 11．D 12．C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．43y x =±；14．1320；15．sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+；16．②④三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则22312a a q q =⋅=，33412a a q q =⋅=， ……………………………… 2分∵ 134,1,a a a +成等差数列，∴ 1432(1)a a a +=+，即32222(21)q q +=+， ……………………………… 4分整理得2(2)0q q -=，∵ 0q ≠，∴ 2q =， …………………………6分 ∴ 1222n n n a -=⨯=（*N n ∈）． …………………………8分 （Ⅱ）∵22log log 2n n n b a n ===， ………………………10分 ∴ 12(1)122n n n n S b b b n +=+++=+++= ． ………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数组(,,)x y z 的所有情形为：（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1）， （1，2，2），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2），共8种．答：一共有8种．………………………5分注：列出5、6、7种情形，得2分；列出所有情形，得4分；写出所有情形共8种，得1分． （Ⅱ）记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件i A （i =3，4，5，6）， ………6分易知，事件3A 包含1个基本事件，事件4A 包含3个基本事件，事件5A 包含3个基本事件，事件6A 包含1个基本事件，所以，31()8P A =，43()8P A =，53()8P A =，61()8P A =．……………………10分故所摸出的两球号码之和为4、为5的概率相等且最大．答：猜4或5获奖的可能性最大． ……………………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ ABC S ∆=∴11sin 322ac B =⨯= ∴ 8c =，………………………………2分由余弦定理得，2222212cos 38238492b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴ 7b =， ………………………………5分 ∴ ABC ∆的周长为38718a b c ++=++=． ………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得，a b=，∴ 3sin sin 7a A B b ===， ………………………………8分 ∵ a b <，∴ A B <，故角A 为锐角， ………………………………9分∴ 13cos 14A =， ………………………………10分∴ 13sin 22sin cos 214A A A ==． ………………………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005-⨯=万套，此时每套供货价格为1030325+=元， ………………………3分书商所获得的总利润为5(10032)340⨯-=万元．……………………4分（Ⅱ）每套丛书售价定为x 元时，由150.10,0x x ->⎧⎨>⎩得，0150x <<， ……5分依题意，单套丛书利润10100(30)30150.1150P x x x x=-+=----， ………7分∴100[(150)]120150P x x=--++-，∵ 0150x <<，∴ 1500x ->，由 100(150)21020150x x -+≥⨯=-， …………10分当且仅当100150150x x-=-，即140x =时等号成立，此时，max 20120100P =-+=．答：每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；每套售价丛书定为140元时，单套利润取得最大值100元．…………12分（说明：学生未求出最大值不扣分）． 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=得1111y y x x -+=-+， …………2分 整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-），（Ⅱ）设22112200(,),(,),(,)P x x Q x x M x y ， 由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x +=-， …………6分 由O M P 、、三点共线可知，00(,)OM x y = 与211(,)OP x x =共线，∴ 201100x x x y -=，由（Ⅰ）知10x ≠，故001y x x =，…………8分同理，由00(1,1)AM x y =+- 与222(1,1)AQ x x =+- 共线， ∴ 20220(1)(1)(1)(1)0x x x y +--+-=，即2020(1)[(1)(1)(1)]0x x x y ++---=，由（Ⅰ）知21x ≠-，故020(1)(1)(1)0x x y +---=， …………10分将001y x x =，211x x =--代入上式得0101(1)(2)(1)0x x x x +----=，整理得0112(1)1x x x -+=+，由11x ≠-得012x =-，即点M 的横坐标为定值12-．………………………12分（方法二）设221122(,),(,),P x x Q x x由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x =--， …………6分 ∴直线OP 方程为：1y x x = ①； …………8分直线QA 的斜率为：2111(1)1211x x x ---=----+，∴直线QA 方程为：11(2)(1)y x x -=--+，即11(2)1y x x x =-+-- ②；……10分联立①②，得12x =-，∴点M 的横坐标为定值12-． ………………………12分 22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(i)因为(1)1f =，所以1m =，……………………1分则()33211()33f x x x x x -+==+-， 而22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞． ……………………4分（ii ）不等式3()1f x x ≥-在区间[1,2]上有解， 即 不等式2330x x m --≤在区间[1,2]上有解， 即 不等式233m x x ≥-在区间[1,2]上有解，等价于m 不小于233x x -在区间[1,2]上的最小值． ……………………6分 因为[1,2]x ∈时，[]2213333()0,624x x x -=--∈，所以m 的取值范围是[0,)+∞．……………………9分（Ⅱ）因为3()f x x =的对称中心为(0,0)， 而3()()f x x t m =-+可以由3()f x x =经平移得到，所以3()()f x x t m =-+的对称中心为(,)t m ,故合情猜测，若直线1l 与2l 平行，则点A 与点B 关于点(,)t m 对称．……………………10分对猜想证明如下：因为()33223()33f x x t m x tx t x t m =-+=-+-+， 所以222()3633()f x x tx t x t '=-+=-，所以1l ，2l 的斜率分别为2113()k x t =-，2223()k x t =-． 又直线1l 与2l 平行，所以12k k =，即2212()()x t x t -=-， 因为12x x ≠，所以，12()x t x t -=--， ……………………12分从而3312()()x t x t -=--，所以3333121222()()()()()()2f x f x x t m x t m x t m x t m m +=-++-+=--++-+=． 又由上 122x x t +=，所以点11(,())A x f x ，22(,())B x f x （12x x ≠）关于点(,)t m 对称． 故当直线1l 与2l 平行时，点A 与点B 关于点(,)t m 对称．……………………14分。
福州市届第一学期期末高三质检.doc
福州市2012-2013学年第一学期高三期末质量检查数学(文科)试卷(满分：150分；完卷时间：120分钟)参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$，$ay bx =-$．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．i 是虚数单位，复数21ii-+在复平面上所对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U 为整数集，集合{|18}A x N x =∈≤≤，{0,1,2}B =，则下图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为A ．3 B. 4 C.7 D.83.设命题p:函数cos 2y x =的最小正周期为2π；命题q:函数sin y x =的图象关于直线2x π=对称．则下列判断正确的是A ．p 为真 B. q ⌝为真 C. p q ∧为真 D. p q ∨为真 4．对具有线性相关关系的变量,x y ，测得一组数据如下表：x2 4 5 6 8 y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆˆ10.5y x a =+，据此模型来预测当20x =时，y的估计值为（ ）．A ．210B ．210.5C ．211.5D ．212.55．“a ∥b ”是“存在唯一实数λ，使得a b λ=r r”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第2题图6．函数5log (1)y x =-的大致图象是7．在∆ABC 中，若sin B 既是sin ,sin A C 的等差中项，又是sin ,sin A C 的等比中项，则B ∠的值是 A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒90 8.在区间[0,]π上随机取一个数x,则事件“6sin cos x x +≥”发生的概率为 A ．14 B ．13 C ．12 D ．23 9．若运行如右图所示的程序，则输出S 的值是A ． 20122011B ．20112012C ．20122013D ．2013201210.已知函数()()sin (0,0,)2f x M x M πωϕωϕ=+>><半个周期内的图象如图所示，则函数()f x 的解析式为A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin(2)6f x x π=-C ．()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()2sin(2)6f x x π=+11. 若点A （m 、n ）在第一象限，且在直线235x y +=上，则23m n+的最小值为 A ．245B ．265C ．4D ．512.能够把圆22:16O x y +=的周长和面积同时分成相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列不是圆O 的“和谐函数”的是A. 3()f x x = B. ()tan2xf x = C. ()xx f x e e -=- D. ()ln[(4)(4)]f x x x =-+i=1 S=0WHILE i<=2012 S=S+1/(i*(i+1)) i=i+1 WEND PRINT S END 第9题程序第10题图第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．以椭圆2213x y +=的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为_____________．14．若函数2log ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨-+≤⎩，则函数()f x 的零点为 ．15．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点(,)N x y 为平面区域212x y x y x +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩上的一个动点，则OM ON ⋅u u u u r u u u r的最大值是____________．16．已知点1212(2)(2)xxA xB x ，、，是函数2xy =的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222222x x x x ++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin )(sin )A x x B x x ，、，是函数sin ((0))y x x =∈π，的图象上的不同两点，则类似地有 ________成立．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11=a ，且点1(,)n n a a +在函数32y x =+的图象上（*∈N n ），（Ⅰ）证明：数列{}1+n a 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和.18．（本小题满分12分）已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+⋅=x x x x f ωωω（其中0>ω）；且函数()f x 的周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. 求()g x 的单调区间.19. （本小题满分12分）某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：社团 泥塑 剪纸 年画 人数 320 240 200为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人．（Ⅰ）求三个社团分别抽取了多少同学；（Ⅱ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．20．（本小题满分12分）设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，12PF F ∆的周长为16.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求过点()3,0且斜率为45的直线l 被椭圆C 所截线段的中点坐标.21．（本小题满分12分）如图，某小区有一片边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ，其中部分AOC 是一个游泳池．计划在地块OABC 内修一条与池边AC 相切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分，现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系。
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①的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的
操作，得到图②；依此类推，到第 n 步，所得图形的面
Sn
(5)n 9
．若将以上操作类比推广到棱长为
积Vn ★ ★ ★ ．
S1
5 9
C． x 1 2
C. ②④
；第二步，将图
1
的正方体中，则到第
三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.)
C． (1, 2)
第 6 题图
D． 2
D. 3a2
D. 2
1 D．
2
D． 0,1
y2
2 相交，则此双
D． ( 2, )
第 11 题图 图
方程为 A． x 2
B． x 2
12．已知函数 f (x) 的定义域为 R ，其导函数 f (x) 的图象如图所示，则对于任意
x1, x2 R （ x1 x2 ），下列结论中正确的是
A. ①③
2
2
2
B. ①③④
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，将答案填在题后的横线上．）
13．已知 i 是虚数单位，则复数 1 i ★ ★ ★ ．
1i
14．已知函数 f (x) 2x 满足 f (m) f (n) 2 ，则 mn 的最大值为 ★ ★ ★ ．
C．70%
6
a
D． (0, 1)
D．4
D．80%
2
5．执行如下程序框图后，若输出结果为 1 ，则输入 x 的值不可能是
A．2
第 5 题图
B．1
2012年高三第一次模拟数学试卷(文科)
2012年高考模拟考试数 学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ⒈已知集合{}3|≤=x x M ，N 是自然数集，则集合N M 元素的个数是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ⒉复数)1(i i Z +⋅=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 ⒊下列函数中，既是偶函数又在) , 0(∞+单调递增的是 A ．x y =B ．x y cos =C ．x e y =D ．||ln x y =⒋已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 32-=，若它的第k 项满足52<<k a ，则=k A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ⒌下列结论，不正确．．．的是 A ．若命题p ：R x ∈∀，1≥x ，则命题p ⌝：R x ∈∀，1<x ． B ．若p 是假命题，q 是真命题，则命题p ⌝与命题q p ∨均为真命题． C ．方程122=+ny mx （m ，n 是常数）表示双曲线的充要条件是0<⋅n m ． D ．若角α的终边在直线x y =上，且00360360<≤-α，则这样的角α有4个．⒍有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A ．31B ．21C ．32D ．43⒎已知向量)2 , 1(=a ，)3 , 1(-=b ，//a c 且0≠c ，则c 与b 的夹角是 A ．0 B ．π C ．4π D ．4π或43π⒏以x 轴为对称轴，以坐标原点为顶点，焦点在直线1=-y x 上的抛物线的方程是A ．x y 42-=B ．x y 42=C ．x y 22-=D ．x y 22= ⒐如图1是某个正方体的侧面展开图，1l 、2l 是两条 侧面对角线，则在正方体中，1l 与2lA B DFEA ．互相平行B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为3π D ．相交且夹角为3π ⒑设V 是平面向量的集合，映射f ：V V →满足⎪⎩⎪⎧≠==.0 , ,0 , 0 )(a a a f ，则对 a ∀、V b ∈ ，R ∈∀λ，下列结论恒成立的是 A ．) () () (b f a f b a f +=+ B ．)] () ([) | | | (|b f a f f b b a a f +=+⋅ C ．)() |(|a f a a f =⋅ D ．)]()([)|| |(|b f a f f b a a b f +=+⋅ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题（11～13题）⒒执行如图2的程序框图，输出的=S ．⒓已知x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧≤≤+≤.1||,31x y x ，则y x +2的最大值是 ． ⒔已知函数x x x f 2sin )2cos 1()(+=，R x ∈．若41)(=αf ，则=+)8(παf ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕（几何证明选讲选做题）如图3，E 、F 是梯形ABCD 的腰AD 、BC 上的点，其中AB CD 2=，AB EF //，若EF CD AB EF =，则=EDAE．⒖（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，经过点)3, 2(πA 且垂直于OA （O 为极点）的直线的极坐标方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）如图4，四边形ABCD 中，5=AB ，3=AD ，cos BCD ∆是等边三角形．1⑴求四边形ABCD 的面积； ⑵求ABD ∠sin ．⒘（本小题满分14分）某年某省有23万多文科考生参加高考，除去成绩为670分（含670分）以上的6人与成绩为350分（不含350分）以下的38390人，还有约4.19万文科考生的成绩集中在)670 , 350[内，其成绩的频率分布如下表所示：⑴请估计该次高考成绩在)670 , 350[内文科考生的平均分（精确到1.0）；⑵考生A 填报志愿后，得知另外有4名同分数考生也填报了该志愿。
数学_2012年福建省福州市高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2012年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）1. 抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（ ）A (−1, 0)B (0, −1)C (1, 0)D (0, 1) 2. 命题“∃x ∈R ，x 3>0”的否定是（ ）A ∃x ∈R ，x 3≥0B ∀x ∈R ，x 3≤0C ∃x ∈R ，x 3<0D ∀x ∈R ，x 3>0 3. 集合M ={x ∈N ∗|x(x −3)<0}的子集个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 44. 从一堆苹果中任取20粒，称得各粒苹果的质量（单位：克）数据分布如下表所示：（ ）A 10%B 30%C 70%D 80%5. 执行如下程序框图后，若输出结果为−1，则输入x 的值不可能是（ ）A 2B 1C −1D −26.如图，水平放置的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，其正视图是边长为a 的正方形．俯视图是边长为a 的正三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为（ ） A a 2 B 12a 2 C√32a 2D √3a 2 7. 在区间(0, π2)上随机取一个数x ，使得0<tanx <1成立的概率是（ ） A 18 B 13 C 12 D 2p8. 若x 、y ∈R ，且{x 3≥1y 3≥xx −2y +3≥0，则k =yx 的最大值等于（ ）A 3B 2C 1D 129. 在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →=xAB →+(1−x) AC →，则实数x 的取值范围是（ ）A (−∞, 0)B (0, +∞)C (−1, 0)D (0, 1)10. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的渐近线与圆(x −2)2+y 2＝2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A (2, +∞)B (1, 2)C (1, √2)D (√2, +∞)11. 函数f(x)=2cos(ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A 、B 分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4√2，则函数f(x)图象的一条对称轴的方程为（ ） A x =π4 B x =π2 C x =4 D x =212. 已知函数 f(x)的定义域为R ，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x 1，x 2∈R （ x 1≠x 2），下列结论正确的是（ ） ①f(x)<0恒成立；②(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0； ③(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0； ④f(x 1+x 22)>f(x 1)+f(x 2)2； ⑤f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2．A ①③B ①③④C ②④D ②⑤二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．） 13. 已知i 是虚数单位，则复数1+i 1−i=________．14. 已知函数f(x)=2x 满足f(m)⋅f(n)=2，则mn 的最大值为________．15. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若a =2，b =2√3，B =60∘，则sinC =________．16.对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S 1=59；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n 步，所得图形的面积S n =59n ．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n 步，所得几何体的体积V n =________．三、解答题（本大题共6小题，共79分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17. 在数列{a n }中，a 1=12，点(a n , a n+1)(n ∈N ∗)在直线y =x +12上．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =1an×an+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 某教室有4扇编号为a 、，b 、c 、d 的窗户和2扇编号为x 、y 的门，窗户d 敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇．（1）记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇”为事件A ，请列出A 包含的基本事件； （2）求至少有1扇门被班长敞开的概率． 19. 已知函数f(x)=√2sin(π4−x)．(I)求函数f(π12)的值；(II)求函数f(x)的单调递减区间． 20. 在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 29=1(a >0)与x 轴的正半轴交于点P ．点Q 的坐标为(3, 3)，OP →×OQ →=6． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q 且斜率为32的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求△AOB 的面积．21. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB =60∘．点E 、F 分别在边CD 、CB 上，点E 与点C 、D 不重合，EF ⊥AC ，EF ∩AC =O ．沿EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ．（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）记三棱锥P −ABD 体积为V 1，四棱锥P −BDEF 体积为V 2．求当PB 取得最小值时的V 1:V 2值．22. 已知函数f(x)=−x 2+2lnx ． （1）求函数f(x)的最大值；（2）若函数f(x)与g(x)=x +ax 有相同极值点，(I)求实数a 的值；(II)若对于“x 1，x 2∈[1e , 3]，不等式f(x 1)−g(x 2)k−1≤1恒成立，求实数k 的取值范围．2012年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）答案1. C2. B3. D4. B5. D6. C7. C8. B9. A 10. C 11. D 12. D 13. i 14. 14 15. 1 16. (13)n17. 解：（1）由已知得a n+1=a n +12，即a n+1−a n =12． ∴ 数列{a n }是以12为首项，以d =12为公差的等差数列． ∵ a n =a 1+(n −1)d ，∴ a n =12+12(n −1)=n2(n ∈N ∗)．（2）由（1）得b n =1n 2⋅n+12=4n(n+1)，∴ b n =4(1n −1n+1)．∴ T n =4[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=4(1−1n+1)=4nn+118. 解：（1）事件A 包含的基本事件为：(a, b)、(a, c)、(a, x)、(a, y)、(b, c)、(b, x)、(b, y)、(c, x)、(c, y)、(x, y)，共10个． （2）记“至少有1扇门被班长敞开”为事件B ．∵ 事件B 包含的基本事件有(a, x)、(a, y)、(b, x)、(b, y)、(c, x)、(c, y)、(x, y)，共7个． ∴ P(B)=710．19. 解：由sin(π4−x)≠0，得x −π4≠kπ(k ∈Z)，即x ≠kπ+π4(k ∈Z)，∴ 函数f(x)定义域为{x|x ≠kπ+π4(k ∈Z)}， f(x)=√2sin(π4−x)=cos 2x−sin 2x cosx−sinx =cosx +sinx =√2sin(x +π4)，(I)f(π12)=√2sin(π12+π4)=√2sin π3=√62； (II)令2kπ+π2<x +π4<2kπ+3π2(k ∈Z)，得2kπ+π4<x <2kπ+5π4(k ∈Z)，∴ 函数f(x)的单调递减区间为(2kπ+π4, 2kπ+5π4)(k ∈Z)．20. 解：（1）依题意，点P 坐标为(a, 0)．∵ OP →⋅OQ →=6，点Q 坐标为(3, 3)， ∴ 3a +3×0=6，解得a =2． ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 29=1．（2）方法一：过点Q(3, 3)且斜率为32的直线AB 方程为y −3=32(x −3)， 即3x −2y −3=0．设点A 、B 的坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)，由{x 24+y 29=13x −2y −3=0，消去x 并整理得，8y 2+12y −27=0． ∴ y 1+y 2=−32，y 1y 2=−278， ∴ (y 1−y 2)2=(y 1+y 2)2−4y 1y 2=94+544=634，∴ |y 1−y 2|=3√72． ∵ 直线AB 与x 轴的交点为M(1, 0)，∴ △AOB 的面积S △AOB =S △OMA +S △OMB =12|OM|⋅(|y 1|+|y 2|) =12×1×|y 1−y 2| =3√74． 方法二：过点Q(3, 3)且斜率为32的直线AB 方程为y −3=32(x −3)， 即3x −2y −3=0．设点A 、B 的坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)，由{x 24+y 29=13x −2y −3=0，消去y ，并整理得2x 2−2x −3=0，∴ x 1=1+√72，x 2=1−√72，∴ |AB|=√1+94×|x 1−x 2| =√132×|1+√72−1−√72|=√912， ∵ 点O 到直线AB 的距离d =√9+4=3√1313， ∴ △AOB 的面积S △AOB =12⋅|AB|⋅d =12×√912×√13=3√74． 21. （1）证明：在菱形ABCD 中，∵ BD ⊥AC ，∴ BD ⊥AO ． ∵ EF ⊥AC ，∴ PO ⊥EF ，∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF ∩平面ABFED =EF ，且PO ⊂平面PEF ， ∴ PO ⊥平面ABFED ，∵ BD ⊂平面QBFED ，∴ PO ⊥BD ． ∵ AO ∩PO =O ，所以BD ⊥平面POA ． （2）连接OB ，设AO ∩BD =H ． 由（1）知，AC ⊥BD ． ∵ ∠DAB =60∘，BC =4，∴ BH =2，CH =2√3． 设OH =x(0<x <2√3)．由（1）知，PO ⊥平面ABFED ，故△POB 为直角三角形． ∴ PB 2=OB 2+PO 2=(BH 2+OH 2)+PO 2， ∴ PB 2=2(x −√3)2+10．当x =√3时，PB 取得最小值，此时O 为CH 中点． ∴ S △CEF =14S △BCD ，∴ S 梯形BDEF =34S △BCD =34S △ABD ， ∴ V1V 2=S △ABDS梯形BDEF=43∴ 当PB 取得最小值时，V 1:V 2的值为4:3． 22. 解：（1）求导函数可得：f′(x)=−2x +2x =−2(x+1)(x−1)x(x >0)由f′(x)>0且x >0得，0<x <1；由f′(x)<0且x >0得，x >1． ∴ f(x)在(0, 1)上为增函数，在(1, +∞)上为减函数． ∴ 函数f(x)的最大值为f(1)=−1． （2）∵ g(x)=x +ax ，∴ g′(x)=1−a x 2．(I)由(I)知，x =1是函数f(x)的极值点， 又∵ 函数f(x)与g(x)=x +ax 有相同极值点， ∴ x =1是函数g(x)的极值点， ∴ g′(1)=1−a =0，解得a =1．(II)∵ f(1e )=−1e 2−2，f(1)=−1，f(3)=−9+2ln3， ∵ −9+2ln3<−1e2−2<−1，即f(3)<f(1e)<f(1)，∴ x 1∈[[1e , 3]时，f(x 1)min =f(3)=−9+2ln3，f(x 1)max =f(1)=−1 由(I)知g(x)=x +1x，∴ g′(x)=1−1x 2．当x ∈[1e , 1)时, g′(x)<0；当x ∈(1, 3]时，g′(x)>0． 故g(x)在[1e , 1)为减函数, 在(1, 3]上为增函数． ∵ g(1e )=e +1e ，g(1)=2，g(3)=103，而2<e +1e <103，∴ g(1)<g(1e )<g(3) ∴ x 2∈[[1e , 3]时，g(x 2)min =g(1)=2，g(x 2)max =g(3)=103①当k −1>0，即k >1时， 对于“x 1，x 2∈[1e , 3]，不等式f(x 1)−g(x 2)k−1≤1恒成立，等价于k ≥[f(x 1)−g(x 2)]max +1∵ f(x 1)−g(x 2)≤f(1)−g(1)=−1−2=−3，∴ k ≥−2，又∵ k >1，∴ k >1． ②当k −1<0，即k <1时， 对于“x 1，x 2∈[1e , 3]，不等式f(x 1)−g(x 2)k−1≤1恒成立，等价于k ≤[f(x 1)−g(x 2)]min +1∵ f(x 1)−g(x 2)≥f(3)−g(3)=−373+2ln3，∴ k ≤−343+2ln3．又∵ k <1，∴ k ≤−343+2ln3．+2ln3]∪(1, +∞)．综上，所求的实数k的取值范围为(−∞, −343。
福建省福州市高三数学上学期期末数试卷 文(含解析)新
2012-2013学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．（5分）i为虚数单位，复数z=i（1﹣i），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法，求得复数z，根据共轭复数的定义求得的值，即得在复平面内对应的点的坐标．解答：解：∵复数z=i（1﹣i）=1+i，则=1﹣i，它在复平面内的对应点的坐标为（1，﹣1），故在复平面内对应的点在第四象限，故选D．点评：本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，复数与复平面内对应点之间的关系，求出=1﹣i，是解题的关键．2．（5分）如图设全集U为整数集，集合A={x∈N|1≤x≤8}，B={0，1，2}则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8考点：V enn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：根据阴影部分对应集合，进行集合运算，再根据含有N个元素的集合的真子集的个数是2N﹣1个求解．解答：解：A={1，2，3，4，5，6，7，8}，图中阴影对应A∩B，A∩B={1，2}，∴真子集有3个．故选A点评：本题考查Venn图表示集合关系及集合的交集运算．3．（5分）（2012•山东）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx 的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项解答：解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题由此结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题考查四个选项，C选项正确，故选C点评：本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大4．（5分）（2013•烟台一模）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x 2 4 5 6 8y 20 40 60 70 80根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（）A．210 B．210.5 C．211.5 D．212.5考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a，最后将x=20代入求出相应的y即可．解答：解：∵==5，==54∴这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+，∴54=10.5×5+a，∴a=1.5，∴回归直线方程为=10.5x+1.5，当x=20时，=10.5×20+1.5=211.5，故选C．点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．5．（5分）“∥”是“存在唯一实数λ，使得=λ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：平面向量及应用．分析：本题研究充分条件与必要条件的判断，利用充分条件与必要条件的定义结合向量平行的知识作出判断选出正确选项．解答：解：对于“∥”，当向量是零向量，而向量不是零向量，则不存在实数λ，使得=λ”，故“∥”不能得出“存在唯一实数λ，使得=λ”；反之，根据平行向量基本定理，是成立的．故“∥”是“存在唯一实数λ，使得=λ”的必要而不充分条件．故选B．点评：本题着重考查了平行向量基本定理、充要条件等知识，属于基础题．6．（5分）函数y=1og5（1﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：把原函数变形为y=log5[﹣（x﹣1）]，利用函数图象的对称变换和平移变换即可得到答案．解答：解：由y=1og5（1﹣x），得：y=log5[﹣（x﹣1）]，∵y=log5[﹣（x﹣1）]的图象是把函数y=log5（﹣x）的图象向右平移一个单位得到的，而y=log5（﹣x）的图象与函数y=log5x的图象关于y轴对称，由此可知，函数y=1og5（1﹣x）的大致图象是选项C的形状．如图，故选C．点评：本题考查了函数图象的变化，函数y=f（x+a）+b的图象是把函数y=f（x）的图象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位，然后再把函数y=f（x+a）的图象向上（b ＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位得到，此题是基础题．7．（5分）△ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：余弦定理；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．分析：依题意，可求得（sinA﹣sinC）2=0，从而可利用正弦定理求得a=b=c，继而可得答案．解答：解：∵△ABC中，sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，∴2sinB=sinA+sinC，sin2B=sinA•sinC∴4sin2B=（sinA+sinC）2∴4sinA•sinC=（sinA+sinC）2（sinA+sinC）2﹣4sinA•sinC=0即（sinA﹣sinC）2=0，∴sinA=sinC，于是2sinB=2sinA=2sinC，∴sinB=sinA=sinC，即：a=b=c，∴B=60°故选C．点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查正弦定理与等量代换，求得sinA=sinC 是关键，属于中档题．8．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先化简不等式，确定满足sin（x+）≥且在区间[0，π]内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．解答：解：∵，即sin（x+）≥，∴sin（x+）≥，∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴在区间[，]内，满足sin（x+）≥的x+∈[，]，∴在区间[0，π]内，满足sin（x+）≥的x∈[，]，∴事件发生的概率为P==．故选B．点评：本题考查几何概型，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（5分）若运行如图所示的程序，则输出S的值是（）A．B．C．D．考点：伪代码．专题：图表型．分析：首先根据程序框图，理解其意义，然后按照程序顺序进行执行循环，当满足跳出循环的条件时输出结果．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=+…+的值．解答：解：根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+ i=2第2次循环：S= i=3…第2012次循环：S=+…+，此时，i=2013＞2012．输出S=+…+=1﹣=．故选C．点评：本题考查程序框图，通过对程序框图的认识和理解按照程序框图的顺序进行执行．通过按照循环体的执行，考查运算能力．属于基础题10．（5分）已知函数半个周期内的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数f （x）的解析式．解答：解：由函数的图象可得 M=2，•=+，解得ω=1．再由五点法作图可得1×（﹣）+φ=0，φ=，故函数f（x）的解析式为，故选A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．11．（5分）若点A（m、n）在第一象限，且在直线2x+3y=5上，则的最小值为（）A．B．C．4D．5考点：基本不等式．分析：由题意可得，2m+3n=5，m，n＞0，而=（）（2m+3n），展开后利用基本不等式可求的最小值解答：解：由题意可得，2m+3n=5，m，n＞0则=（）（2m+3n）=≥=25当且仅当即m=n=1时取等号则的最小值25故选D点评：本题考查基本不等式的应用，注意配凑基本不等式的应用条件，注意1的代换12．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=x3B．C．f（x）=e x﹣e﹣x D．f（x）=1n[（4﹣x）（4+x）]考点：圆的标准方程．专题：新定义．分析：由圆O的“和谐函数”的定义，我们易分析出函数f（x）是奇函数，逐一分析四个函数的奇偶性，可得答案．解答：解：若函数f（x）是圆O的“和谐函数”，则函数的图象经过圆心且关于圆心对称由圆O：x2+y2=16的圆心为坐标原点故函数f（x）是奇函数由于A中f（x）=x3，B中，C中f（x）=e x﹣e﹣x均为奇函数，在中f（x）=1n[（4﹣x）（4+x）]为偶函数，不满足要求故选D点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，其中根据新定义圆O的“和谐函数”判断出满足条件的函数为奇函数是解答的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．（4分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x ．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意，可求得椭圆+y2=1的右焦点，利用抛物线的简单性质即可求得答案．解答：解：∵椭圆+y2=1的右焦点F（，0），∴以F（，0）为焦点，顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题考查抛物线的标准方程，考查椭圆与抛物线的简单性质，属于中档题．14．（4分）若函数，则函数f（x）的零点为1、0 ．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：当x＞0时，由 log2x=0，求得x的值．当x≤0时，由﹣2x+1=0，求得x的值．从而得到函数的零点．解答：解：当x＞0时，由 log2x=0，可得 x=1．当x≤0时，由﹣2x+1=0，可得x=0．综上，函数f（x）的零点为 1、0，故答案为 1、0．点评：本题主要考查函数零点的定义和求法，属于基础题．15．（4分）（2013•临沂一模）已知O是坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的最大值是 3 ．考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据向量数量积的坐标运算公式，得•=2x+y．作出题中不等式组表示的平面区域得到如图的阴影部分，将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，z=2x+y达到最大值，即•取得最大值．解答：解：∵M（2，1），N（x，y），∴目标函数z=•=2x+y作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（，），B（1，1），C（，）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（1，1）=3故答案为：3点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=•的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、向量数量积的坐标运算公式和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（4分）（2011•黄浦区二模）已知点是函数y=2x的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sin1）、B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上的不同两点，则类似地有成立．考点：类比推理．专题：探究型．分析：根据函数y=2x的图象可知，此函数的图象是向下凹的，即可得到不等式，再根据y=sinx（x∈（0，π））的图象的特征，即可类比得到相应的不等式．解答：解：∵函数y=2x上任意两点A（a，a3），B（b，b3）线段AB在弧线段AB的上方，函数f（x）=x3（x＞0）的图象是向下凹的，可得不等式，据此我们从y=sinx（x∈（0，π））图象可以看出：y=sinx（x∈（0，π））图象是向上凸的，故可知，故答案为．点评：本题主要考查类比推理的知识点，还考查了数形结合思想，解答本题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，常用方法是图象法．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．（12分）已知数列．（I）证明：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）由题意可得，a n+1=3a n+2，从而有a n+1+1=3（a n+1），可证（II）由（I）可求，a n+1，从而可求a n，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即可求解解答：证明：（I）由题意可得，a n+1=3a n+2则a n+1+1=3（a n+1）且a1+1=2∴数列{a n+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列（II）由（I）可得，∴∴=2（1+3+…+3n﹣1）﹣n=2=3n﹣1﹣n点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，及数列的分组求和方法的应用、等比数列及等差数列的求和公式的应用18．（12分）已知函数f（x）=2sinωx•（其中ω＞o），且函数f（x）的最小正周期为π（I）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）的单调区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（I）利用二倍角的三角函数公式结合辅助角公式进行化简，得f（x）=2sin （2ωx+）．再利用三角函数的周期公式即可解出ω的值．（II）根据函数图象平移的规律，可得函数y=g（x）的解析式为g（x）=2sin（4x+），再由正弦函数的单调区间的结论解关于x的不等式，即可求出函数g（x）的单调区间．解答：解：（I）∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos2ωx=（1+cos2ωx）∴f（x）=sin2ωx+（1+cos2ωx）﹣=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵函数f（x）的最小正周期为π∴=π，解之得ω=1（II）由（I），得f（x）=2sin（2x+）将函数y=f（x）的图象向右平移单位长度，得到y=f（x+）的图象；再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到y=f（2x+）的图象∴函数y=g（x）的解析式为y=2sin[2（2x+）+]，可得g（x）=2sin（4x+）令﹣+2kπ≤4x+≤+2kπ，k∈Z，解之得﹣≤x≤，k∈Z∴函数g（x）的单调增区间是[﹣，]，k∈Z同理，令+2kπ≤4x+≤+2kπ（k∈Z ），得g（x）的单调减区间是[，]，k∈Z综上所述，可得g（x）的单调减区间是[，]，单调增区间是[﹣，]，k∈Z．点评：本题给出三角函数表达式，求函数的图象平移后所得图象对应函数的单调区间，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．19．（12分）某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表示所示：社团泥塑剪纸年画人数320 240 200为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人．（I）求三个社团分别抽取了多少同学；（Ⅱ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．考点：分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）设出抽样比，由已知中三个社团中的人数计算出各社团中抽取的人数，结合从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人，可得到抽样比，进而得到三个社团分别抽取了多少同学；（Ⅱ）由（I）中从“剪纸”社团抽取了6名同学，可列举出从中选出2人担任该社团活动监督的职务的基本事件总数，结合“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，可列举出从中选出2人至少有1名女同学的基本事件个数，进而代入古典概型概率计算公式得到答案．解答：解：（I）设出抽样比为x，则“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为：320x，240x，200x∵从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人∴320x﹣240x=2解得x=故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为：8人，6人，5人（II）由（I）知，从“剪纸”社团抽取的同学共有6人，其中有两名女生，则从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，共有=15种不同情况；其中至少有1名女同学被选为监督职务的情况有=9种故至少有1名女同学被选为监督职务的概率P==点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概率，（I）解答的关键是求出抽样比，（2）解答的关键是列举出基本事件总数及满足条件的基本事件个数．20．（12分）没椭圆的左、右焦点分别F1、F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，△P F1F2的周长为16．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线l被椭圆C所截线段的中点坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的标准方程及其参数a、b、c的关系即可得出；（Ⅱ）把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系就线段的中点坐标公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由题意得，解得，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线l的方程为，与椭圆的方程联立，消去y得到x2﹣3x﹣8=0，∵x1+x2=3，∴线段AB的中点的横坐标为．∴线段AB的中点的纵坐标为=．∴线段AB的中点的坐标为．点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、线段的中点坐标公式是解题的关键．21．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为t（0＜t＜2）．（I）当时，求直路l所在的直线方程；（Ⅱ）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：利用导数研究函数的单调性；函数模型的选择与应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求当时，直路l所在的直线方程，即求抛物线在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜2）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵，∴y′=﹣x，∴过点M（）的切线的斜率为﹣t，所以，过点M的切线方程为，即．当t=时，切线l的方程为．即当时，直路l所在的直线方程为；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令x=2，得y=，故切线l与线段BC交点为G（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，设其面积为f（t），∴==（0＜t＜2）．，∴当t∈（0，）时，f′（t）＞0，f（t）为单调增函数，当t∈时，f′（t）＜0，f（t）为单调减函数．∴当t=时，f（t）的极大值（最大值）为．∴当点M到边OA距离为米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+b•x2的图象过点（1，0）（I）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若为实数）恒成立，求t的取值范围；（Ⅲ）当m＞0时，讨论在区间（0，2）上极值点的个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（I）带点可得b=0，进而可得f（x）的解析式；（Ⅱ）恒成立，即，由x＞0可得t≤2xlnx，构造函数h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤h min（x）即可，求导数可得其最小值；（Ⅲ）可得，求导数，令其为0可得x=m，或x=，分（1）（2），且m＜，（3），或三种情况讨论．解答：解：（I）∵函数f（x）=1nx+b•x2的图象过点（1，0），∴0=ln1+b•12，解得b=0，∴f（x）的解析式为f（x）=1nx；（Ⅱ）恒成立，即，由x＞0可得t≤2xlnx，构造函数h（x）=2xlnx，x＞0，只需t≤h min（x）即可，可得h′（x）=2（lnx﹣1），故当x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，故h min（x）=h（）=，故t≤；（Ⅲ）由（I）知，f（x）=1nx，，（x＞0）∴=，令其为0可得x=m，或x=，（1）当时，m=1，F′（x）＞0，函数在（0，2）为增函数，无极值点；（2）当，且m＜，即＜m＜1时，可知函数有两个极值点；（3）当，或，即0＜m＜，或m＞2时，可知函数有一个极值点．点评：本题考查函数取极值点的条件，涉及函数恒成立问题和分类讨论的思想，属中档题．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(福建卷,文数).pdf
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（福建卷）数学（文科） 考生注意事项： 答题前，务必在试题卷?答题卡规定填写自己的姓名?座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名?座位号与本人姓名?座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整?笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷?草稿纸上答题无效． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交． 参考公式： 椎体体积，其中为椎体的底面积，为椎体的高． 若（x，y），（x，y）…，（x，y）为样本点，为回归直线，则 ， ， 说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算． 第Ⅰ卷一?选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的．） 1．已知集合，，则集合（ ） A． B． C． D． 2．复数的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 4．已知命题甲为x>0；命题乙为，那么（ ） A．甲是乙的充分非必要条件 B．甲是乙的必要非充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 5．执行如图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为（ ） A． B． C． D． 6．已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：）（ ） 正视图 侧视图 俯视图 A． B． C． D． 7．若直线和⊙O∶没有交点，则过的直线与椭圆的交点个数（ ） A．至多一个 B．0个 C．1个 D．2个 8．某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习教师，每所中学分配1名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ） A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 9．函数在上的最大值?最小是分别是（ ） A．5，-15 B．5，-4 C．-4，-15 D．5，-16 10．已知展开式的第7项为，则实数的值是（ ） A． B．-3 C． D．4 11．给出下面四个命题：①“直线a?b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a?b不相交；②“直线l垂直于平面内所有直线”的充要条件是：l⊥平面；③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”；④“直线∥平面”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线”．其中正确命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如果直线与圆交于两点，且关于直线对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是（ ） A． B． C．1 D．2第Ⅱ卷二?填空题：共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．如图所示，在平面直角坐标系，角的终边与单位圆交于点A，已知点A的纵坐标为，则=． 14．已知向量满足，则|b|=． 15．等差数列中，若则 ，若数列的前项和为，则通项公式 ． 16．如图，在直三棱柱中，底面ABC是等腰直角三角形，且 侧棱，点D是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是 ． 三?解答题：共6小题74分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项=1，且，． （1）求和的通项公式． （2）令，求的前n项和． 18．（本小题满分12分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点，直线 交椭圆于不同的两点 （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围； （3）若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形． 19．（本小题满分12分） 一个口袋内装有形状?大小都相同的2个白球和3个黑球． （1）从中一次随机摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）从中随机摸出一个球，不放回后再随机摸出一个球，求两球同时是黑球的概率； （3）从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率． 20．（本小题满分12分） 如图平面，四边形是矩形，分别是的中点． （1）求证：； （2）若且，求的正切值． 21．（本小题满分12分） 设 （1）求的最小值及此时的取值集合； （2）把的图象向右平移个单位后所得图象关于y轴对称，求的最小值． 22．（本小题满分14分） 设函数 （1）研究函数的单调性并判断的实数解的个数； （2）判断的实数解的个数，并加以证明． 普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（福建卷）数学（文科）一?选择题 1-5．BDAAB6-10．ADCAA 11-12．BA 二?填空题 13． 14． 15．24， 16． 三?解答题 17．解：（1）设公差为，公比为，则 ，， 是单调递增的等差数列，． （2）则，， ， 18．解：（1）设椭圆的方程为，因为，所以， 又因为，所以，解得， 故椭圆方程为． （2）将代入并整理得， ，解得． （3）设直线的斜率分别为和，只要证明．设，， 则． 19．解：（1）记“一次摸出两个球，两球颜色恰好颜色不同”为事件A，摸出两个球的基本事件共有种，其中两球为一白一黑的事件有种．由古典概型的概率公式得 ∴P（A）=6/10=0.6． 答：从中一次摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率是0.6． （2）记“从中摸出一个球，不放回后再摸出一个球，两球同时是黑球”为事件B， 不放回地摸出两个球的基本事件共有种，其中两球为黑球的事件有种． 由古典概型的概率公式得 ∴P（B）=6/20=3/10． 答：从中摸出一个球，不放回后再摸出一个球，求两球为黑球的概率是310． （3）记“从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，两球颜色恰好颜色不同”为事件C， 有放回地摸出两个球的基本事件共有5×5=25种，其中两球为一白一黑的事件有2×2×312种． ∴P（C）=1225=0.48． 答：从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率是0.48． 20．证：（1） ∵，FM=，AE//CD，AE=∴，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形 ∴， ∵AF平面PCEAF//平面PCE （2）延长DA，CE交于N，连接PN，过A作AH⊥CN于H连PH． ∵PA⊥平面ABCD ∴（三垂线定理） ∴∠PHA为二面角P—EC—A的平面角 ∵AD=2，CD=3 ∴CN=5，即EN=A=AD ∴PA=2 ∴AH=∴二面角P—EC—A的正切值为 21．解：（1） ∴的最小值为-2， 此时，， ∴的取值集合为： （2）图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为 其为偶函数，那么图象关于直线对称， 故：， ∴，所以正数的最小值为 22．解：（1） 所以在单调递减． 有唯一实数解． 由，及在单调递减， 知在有唯一实数解，从而在有唯一实数解． 推断在有唯一实数解 （2）当时，由， 得 （i）若，则 （ii）若，则 （iii）若且时，则 ① 当时， ② 当时， 综合（i），（ii），（iii），得， 即在单调递减>0， 又 <0 所以在有唯一实数解，从而在有唯一实数解． 综上，有唯一实数解． F B C D A E P。
福建省2012届高三数学考前适应性训练试卷5 文
某某省2012届高三考前适应性训练数学试卷文科5 第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共１2小题，每小题５分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为虚数单位，复数201132i i i i z ++++= ，则复数z 的模为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．若集合22{|1},{|log (2)}A y y x B x y x ==+==+，则C B A =（ ）Ａ．(2,1)- Ｂ． (2,1]- Ｃ．[2,1)- Ｄ．以上都不对3.已知A 、B 是两个不同的点，n m 、是两条不重合的直线，βα、是两个不重合的平面，则①α⊂m ，α∈⇒∈A m A ；②A n m = ，α∈A ，α∈⇒∈B m B ；③α⊂m ，β⊂n ，βα////⇒n m ；④⊂m α，βαβ⊥⇒⊥m ．其中真命题为（ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④4.=34cos π( ) A.21 B.21- C.23 D.23- 5. 若函数()y f x =是可导函数，则“()00='x f ”是“()的极值点是函数x f x x ==y 0”的( )A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且(]1,1-∈x 时⎩⎨⎧≤<-≤<-=)10(,1)01(,1)(x x x f ，则()=3f ( ) A ．-1 B ．0 C ．1 D ．1或07. 若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（ ） A.2B.3C ．22D ．2 38.计算机执行右边程序框图设计的程序语言后，输出的数据是55,则判断框内应填（）A ．n ＜7B ．n ≤7C ．n ≤8D ．n ≤99.已知ABC ∆中，4,43AB AC BC ===，点D 为BC 边的中点，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP AD ⋅满足（ ）A.为定值4B.最大值为8C.最小值为2D.与P 的位置有关10.实数,,,a b c d 满足,,,0a b c d a b c d ab cd <<+<+=<，则,,,a b c d 四个数的大小关系为（ ）A. c a d b <<<B.c d a b <<<C.a c b d <<<D.a b c d <<<11.已知函数321()1(,)3f x x ax bx a b R =+-+∈在 区间[]1,3-上是减函数，则a b +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图像大致是（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共9０分）二、填空题：本大题共4小题，每小题４分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13.一简单组合体的三视图及尺寸如下图示（单位：cm ），则该组合体的体积为3cm 。
福建省师大附中2012届高三模拟试卷数学文
2012年师大附中高考模拟卷文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式s = 13V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则下图中的阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82. 双曲线2244x y -=的离心率为C．3.已知向量(,1)a m =,(1,)b n =,若a ∥b ,则22m n +的最小值为A.0B. 1C.2D. 34.程序框图如右图，若5n =，则输出的S 值为 A. 30 B. 50 C. 62 D. 665. 一个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是6.下列命题中，错误．．的是 A.平行于同一平面的两个不同平面平行DB. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交C.若直线l 与平面α相交但不垂直，则经过该直线l 有且只有一个平面β与α垂直D.若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线7.在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ,则cos x 的值介于12到1之间的概率为 A.13 B.2πC.12D.238．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 的中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅=A.7-B.72-C. 72D. 79．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是A. B. C. D.10.如右图所示，圆和直角AOB 的两边相切，直线OP 从OA 处开始，绕点O 匀速旋转（到OB 处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积S 是t 的函数，它的图象大致为11. “{}2log n a 为等差数列”是 “{}n a 为等比数列”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件12.函数()y f x =的定义域为[1,0)(0,1]-，其图像上任一点(,)P x y 满足221x y +=①函数()y f x =一定是偶函数；②函数()y f x =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数()y f x =可以是奇函数；④函数()y f x =如果是偶函数，则值域是[0,1)或(1,0]-其中正确命题的序号是A. ①③B. ②③C. ③④D. ②③④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置． 13. 若i 为虚数单位，则(1)i i -=.A B CD14．若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩，则22x y +的最小值是 .15．若[0,],x π∀∈ 不等式1sin 02x x m --<恒成立，则m 的取值范围为 .16. 若对于定义在R 上的函数f (x ) ,其图象是连续不断的，且存在常数λ(∈λR)，使得对任意实数x 都有 f (x +λ) +λf (x ) = 0成立，则称f (x ) 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x ) =0 是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；② f (x ) = x 2是一个“λ—伴随函数”； ③ “21—伴随函数”至少有一个零点. 其中不．正确．．的序号是______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C,测得105CAB ∠=，45CBA ∠=,且100AB =米.（1）求sin105；（2）求该河段的宽度.18．（本小题满分12分）某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中杉树 600株，槐树400株 .现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长（单位：cm ）的抽(I)求x （Ⅱ）如果杉树的树干周长超过60cm 就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？（Ⅲ）树干周长在30cm 到40cm 之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止.求排查的树木恰好为2株的概率.19.(本小题满分12分） 如图，圆1C :()222x a y r-+=()0r >与抛物线2C ：22x py =M ()1,2，且抛物线在点M 处的切线过圆心1C .C A B（Ⅰ）求1C 和2C 的标准方程；（Ⅱ）若点N 为抛物线2C 上的一动点，求11C N C M ∙的取值范围．20.（本小题满分12分）如图，从点1(0,0)P 做x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1),Q 曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,......;,,n n P Q P Q P Q 记n P (,0)n x ，*(,)()n x n n Q x e n N ∈.（Ⅰ）求点n Q 处的切线方程，并指出1n x +与n x 的关系； （Ⅱ）求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++21. （本小题满分12分）已知椭圆2212x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，直线1AF 交椭圆于B . 如图所示沿x 轴折起，使得平面12AF F ⊥平面12BF F . 点O 为坐标原点. ( I ) 求三棱锥12A F F B -的体积；（Ⅱ）线段2BF 上是否存在点M ，使得AM OB ⊥，若存在，请在图1中指出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax bx =++ (0)x ≠只有一个零点3x =. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数'()()ln g x f x m x =+在区间(0,2)上有极值点，求m 取值范围； （Ⅲ）是否存在两个不等正数,s t ()s t <，当[,]x s t ∈时，函数32()f x x ax bx =++的值域也是[,]s t ，若存在，求出所有这样的正数,s t ；若不存在，请说明理由；2012年师大附中高考模拟卷参考答案BACCB DDBBD AB 1i + 1226m π>- ①② 17．解：（1）sin105sin(6045)=+sin 60cos 45cos60sin 45=+122224=+⨯= ………………4分 （2）∵105CAB ∠=，45CBA ∠=∴18030ACB CAB CBA ∠=-∠-∠=,由正弦定理得：sin sin AB BCACB CAB=∠∠sin105sin 30AB BC == ……7分如图过点C 作BD 垂直于对岸，垂足为D,则CD 的长就是该河段的宽度。
福建省2012届高三高考模拟试题数学文
2012年普通高等学校招生全国统一考试福建模拟卷（1）数学试题(文史类)试卷组稿：福建省安溪第八中学 楚留香（362402)前言：教学离不开评价,评价离不开试卷。
一份好的试卷不仅可以帮助学生巩固所学知识，轻松掌握重点、攻克难点、化解疑点，还使考试成为学生展示才华的舞台，成为学生旅途中的一个加油站，成为学生生命成长过程中的一种美丽的体验。
第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设2{|1},{|4}M x x N x x =<=<，则M N =( )A ．{|12}x x -<<B ．{|31}x x -<<-C ．{|14}x x <<-D ．{|21}x x -<<2. 已知i 为虚数单位， 则复数z =i (2+i )在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 设等差数列{}na 的前n 项和为35789,9,20,nS S S a a a ==++=若则( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 4. 已知向量(,1),(4,)a n b n ==,则2n =是//a b （ ）,A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不要必条件5。
已知函数f(x ）＝sin （3πω+x )（0>ω）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A 。
关于点（3π，0）对称B. 关于直线x ＝4π对称C 。
关于点（4π，0）对称 D. 关于直线x ＝3π对称6. 设m 、n 表示不同直线,α、β表示不同平面，下列命题中正确的是 （ ）A. 若m α，m n ，则n αB. 若m ⊂α，n ⊂α,m β，n β,则αβ C. 若α⊥β，m ⊥α，m ⊥n,则n βD 。
2012福建高考数学(文科)试卷与答案(word)(1)
2012福建高考数学(文科)试卷与答案(word)(1)2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 复数2)2(i +等于（ ）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+ 2. 已知集合}4,3,2,1{=M ，}2,2{-=M ，下列结论成立的是（ ）A ．M N ⊆B ．M N M =C ．N N M =D ．}2{=N M 3. 已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ ）A ．21-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 5.已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为)0,3(，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．31414B ．324C ．32D ．436.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于（ ）A ．3-B ．10-C ．0D ．2- 7.直线023=-+y x 与圆422=+y x相交于B A ,两点，则弦AB 的长度等于（ ）A ．25B ．3C 3D ．1 8.函数)4sin()(π-=x x f 的图像的一条对称轴是（ ） A ．4π=x B ．2π=x C ．4π-=x D ．2π-=x 9.设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，则))((πg f 值为（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．π=x10.若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m的最大值为( )A ．1-B ．1C ．23D ．211.数列}{na 的通项公式2cosπn n an=，其前n 项和为nS ，则2012S 等于（ ）A ．1006B ．2012C ．503D ．0 12.已知cb a abc x x xx f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④0)3()0(<f f 。
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福州市2012届第一学期期末高三数学(文科)模拟试卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差为s =其中x 为样本平均数第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．复数(1)i i +（i 为虚数单位）等于 A ．0 B ．1i +C ．1i -D ．1i -+2．已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则()U M N 等于ðA ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e3．如图是某次大赛中，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为A ．83B ．84C ．85D ．864．“2x <”是“220x x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知0.20.20.62,0.4,0.4a b c ===，则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>第3题图6．若变量,x y 满足约束条件,,y x y x x ≤-⎧⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩则y x z 2-=的最小值等于A ．2-B ．2-C ．22- D ．07．已知2cos()43πα+=，则sin()4πα-的值等于A ．23B ．23-C D ．8．直线y x =与椭圆2222:1x y C a b+=的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为AB C 19．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>）的部分图象如图所示，则在下列区间中函数()f x 单调递增的是A ．75[,]1212ππ-B ．7[,]1212ππ-- C ．[,]36ππ-D ．1117[,]1212ππ10．若直线2x my m +=+与圆222210x y x y +--+=相交，则实数m 的取值范围为A ．(),-∞+∞B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．()(),00,-∞+∞11．如图，已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则()()OA OB OA OC +⋅+等于A ．19 B ．19-C ．16D ．16-12．已知数列{}n a 中，145a =，112,0,2121,1,2n n n nn a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则2012a 等于A ． 45B ．35C ．25D ．15B第11题图第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．）13．双曲线221916x y -=的渐近线方程为 ★ ★★ ． 14．如图所示，程序框图的输出值s 等于★★★ ． 15．“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： ★★★ ．16．已知集合M 是满足下列条件的函数()f x 的全体：⑴ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数；⑵ 函数()f x 有零点．那么在函数 ①()1f x x =+，②()21x f x =-， ③2,0,()0,0,2,0,x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩④2()1ln f x x x x =--+中，属于M 的有 ★★★ ．（写出所有符合的函数序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）17．（本小题满分12分）已知{}n a 是等比数列，12a =，且134,1,a a a +成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．第15题图图甲 图乙已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2．现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．（Ⅰ）若用数组(,,)x y z 中的,,x y z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号 码，请写出数组(,,)x y z 的所有情形，并回答一共有多少种；（Ⅱ）如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖．那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．19．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、．已知3a =，3B π=，ABC S ∆=（Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求sin 2A 的值．20．（本小题满分12分）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到150.1x -万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：（Ⅰ）每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （Ⅱ）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ()1,1-，P 是动点，且三角形POA 的三边所 在直线的斜率满足OP OA PA k k k +=．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA λ=， 直线OP 与QA 交于点M ，试探究：点M 的横坐标是否为定值？并说明理由．22．（本小题满分14分）已知,m t ∈R ，函数3()()f x x t m =-+． （Ⅰ）当1t =时，（ⅰ）若(1)1f =，求函数()f x 的单调区间；（ⅱ）若关于x 的不等式3()1f x x ≥-在区间[1,2]上有解，求m 的取值范围； （Ⅱ）已知曲线()y f x =在其图象上的两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x （12x x ≠）处 的切线分别为12,l l ．若直线1l 与2l 平行，试探究点A 与点B 的关系，并证明你的结论．福州市2012届第一学期期末高三数学(文科)模拟试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．A 8．A 9．D 10．D 11．D 12．C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．43y x =±；14．1320；15．sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+；16．②④ 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则22312a a q q =⋅=，33412a a q q =⋅=， ……………………………… 2分∵ 134,1,a a a +成等差数列，∴ 1432(1)a a a +=+，即32222(21)q q +=+， ……………………………… 4分整理得2(2)0q q -=，∵ 0q ≠，∴ 2q =， …………………………6分 ∴ 1222n n n a -=⨯=（*N n ∈）． …………………………8分 （Ⅱ）∵22log log 2n n n b a n ===， ………………………10分 ∴ 12(1)122n n n n S b b b n +=+++=+++=． ………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数组(,,)x y z 的所有情形为：（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1）， （1，2，2），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2），共8种．答：一共有8种． ………………………5分注：列出5、6、7种情形，得2分；列出所有情形，得4分；写出所有情形共8种，得1分．（Ⅱ）记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件i A （i =3，4，5，6）， ………6分 易知，事件3A 包含1个基本事件，事件4A 包含3个基本事件，事件5A 包含3个基本事件，事件6A 包含1个基本事件，所以，31()8P A =，43()8P A =，53()8P A =，61()8P A =．……………………10分故所摸出的两球号码之和为4、为5的概率相等且最大．答：猜4或5获奖的可能性最大． ……………………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ ABC S ∆=，∴11sin 322ac B =⨯= ∴ 8c =， ………………………………2分由余弦定理得，2222212cos 38238492b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴ 7b =，………………………………5分 ∴ ABC ∆的周长为38718a b c ++=++=． ………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得，a b=，∴ 3sin sin 7a A B b ===………………………………8分 ∵ a b <，∴ A B <，故角A 为锐角， ………………………………9分∴ 13cos 14A =， ………………………………10分∴ 13sin 22sin cos 214A A A === ………………………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）每套丛书售价定为100元时，销售量为150.11005-⨯=万套，此时每套供货价格为1030325+=元， ………………………3分书商所获得的总利润为5(10032)340⨯-=万元．……………………4分（Ⅱ）每套丛书售价定为x 元时，由150.10,x x ->⎧⎨>⎩得，0150x <<， ……5分依题意，单套丛书利润10100(30)30150.1150P x x x x=-+=----， ………7分∴100[(150)]120150P x x=--++-，∵ 0150x <<， ∴ 1500x ->，由100(150)21020150x x -+≥⨯=-， …………10分当且仅当100150150x x-=-，即140x =时等号成立，此时，max 20120100P =-+=．答：每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；每套售价丛书定为140元时，单套利润取得最大值100元． …………12分（说明：学生未求出最大值不扣分）． 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=得1111y y x x -+=-+， …………2分 整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-），…………4分（Ⅱ）设22112200(,),(,),(,)P x x Q x x M x y ，由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x +=-， …………6分由O M P 、、三点共线可知，00(,)OM x y =与211(,)OP x x =共线， ∴ 201100x x x y -=，由（Ⅰ）知10x ≠，故001y x x =，…………8分同理，由00(1,1)AM x y =+-与222(1,1)AQ x x =+-共线，∴ 20220(1)(1)(1)(1)0x x x y +--+-=，即2020(1)[(1)(1)(1)]0x x x y ++---=，由（Ⅰ）知21x ≠-，故020(1)(1)(1)0x x y +---=， …………10分将001y x x =，211x x =--代入上式得0101(1)(2)(1)0x x x x +----=，整理得0112(1)1x x x -+=+，由11x ≠-得012x =-，即点M 的横坐标为定值12-． ………………………12分（方法二）设221122(,),(,),P x x Q x x由PQ OA λ=可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x =--， …………6分∴直线OP 方程为：1y x x = ①； …………8分直线QA 的斜率为：2111(1)1211x x x ---=----+，∴直线QA 方程为：11(2)(1)y x x -=--+，即11(2)1y x x x =-+-- ②；……10分 联立①②，得12x =-，∴点M 的横坐标为定值12-． ………………………12分 22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(i)因为(1)1f =，所以1m =，……………………1分则()33211()33f x x x x x -+==+-， 而22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥恒成立， 所以函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞． ……………………4分（ii ）不等式3()1f x x ≥-在区间[1,2]上有解， 即 不等式2330x x m --≤在区间[1,2]上有解， 即 不等式233m x x ≥-在区间[1,2]上有解，等价于m 不小于233x x -在区间[1,2]上的最小值． ……………………6分 因为[1,2]x ∈时，[]2213333()0,624x x x -=--∈，所以m 的取值范围是[0,)+∞．……………………9分（Ⅱ）因为3()f x x =的对称中心为(0,0)， 而3()()f x x t m =-+可以由3()f x x =经平移得到，所以3()()f x x t m =-+的对称中心为(,)t m ,故合情猜测，若直线1l 与2l 平行，则点A 与点B 关于点(,)t m 对称．……………………10分对猜想证明如下：因为()33223()33f x x t m x tx t x t m =-+=-+-+， 所以222()3633()f x x tx t x t '=-+=-，所以1l ，2l 的斜率分别为2113()k x t =-，2223()k x t =-． 又直线1l 与2l 平行，所以12k k =，即2212()()x t x t -=-， 因为12x x ≠，所以，12()x t x t -=--， ……………………12分从而3312()()x t x t -=--，所以3333121222()()()()()()2f x f x x t m x t m x t m x t m m +=-++-+=--++-+=． 又由上 122x x t +=，所以点11(,())A x f x ，22(,())B x f x （12x x ≠）关于点(,)t m 对称． 故当直线1l 与2l 平行时，点A 与点B 关于点(,)t m 对称．……………………14分。