弹性力学总结与复习思考题

《弹性力学》课程总结与复习 弹性力学》
一、弹性力学问题研究的基本框架： 弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量 基本原理 5个基本假设； 个基本假设； 个基本假设 15个基本量： ui ,ε ij,σ ij 个基本量： 个基本量
单元体） 平衡原理 （单元体） 整体） 能量原理 （整体） 控制微分方程 （15个） 个 平衡微分方程（ 个 平衡微分方程（3个）： 几何方程（ 个 几何方程（6个）： 物理方程（ 个 物理方程（6个）：
r
ϕ = rf (θ )
O
θ
x
r
q
x
2
ϕ = ϕ(θ )
O
θ
x
q(x) r
r
y
θ
θ
x
ϕ = r f (θ )
q
a O
a
y
ϕ = r3 f (θ )
x
利用叠加法求解
r
θ
y
练习：
（1） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时， ） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时， 在靠杆边的外表面处， 在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力σ x ,σ y 间的关系。 与剪应力 xy 间的关系。设杆的横截面形状为狭 长矩形，板厚为一个单位。 长矩形，板厚为一个单位。
τ
（2） z 方向（垂直于板面）很长的正六面体，上边界受 ） 方向（垂直于板面）很长的正六面体， 作用， 均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基 础上，如图所示。不计自重， 础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移 分量。 分量。 2
ϕ = Ax
2
∂2ϕ ∂ϕ ∂ϕ =0 σx = 2 = 0 σ y = 2 = 2A τ xy = − ∂x∂y ∂x ∂y
位移边界条件： 位移边界条件：
σr ,σθ ,τrθ
为边界上已知位移， ur , uθ为边界上已知位移， kr , kθ 为边界上已知的面力分量。 为边界上已知的面力分量。
4. 平面问题 平面问题Airy应力函数 ϕ 的选取： 的选取： 应力函数 直角坐标下
σ y= 0
O x y
b l
τ
x
σ y= f (y)
2. 平面问题按应力求解的基本方程 （1）平衡方程 ）
说明： 说明： （1）对应力边界问题，且为单连 ）对应力边界问题，且为单连 通问题， 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。 是唯一正确解。 （2）对多连通问题，满足上述方 ） 多连通问题， 程外，还需满足位移单值条 程外，还需满足位移单值条 才是唯一正确解。 件，才是唯一正确解。
其中： 其中：
′ ψ1(z) =θ1(z)
（3） ）
E(u + iv) (3− µ) ′ = ϕ1(z) − zϕ1(z) −ψ1(z) 1+ µ 1+ µ
（5-10） ）
[ϕ (z) + zϕ′(z) +ψ (z)] = i∫ (X +iY )ds
B 1 1 1 s A
ϕ(x, y)
（2） ）
∂4ϕ ∂4ϕ ∂4ϕ 4 +2 2 2 + 4 = 0 (2-27) ∇ ϕ =0 4 ∂x ∂x ∂y ∂y 代入式（ 然后将 ϕ(x, y) 代入式（2-26）求出应力分量： σ x ,σ y ,τ xy ）求出应力分量：
(
)
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ σx = 2 − Xx σ y = 2 −Yy τ xy = − ∂x∂y ∂y ∂x
函数解 求解方法
精确解； 精确解； 近似解； 近似解； 如：基于能量原理的解） 基于能量原理的解） （
数值解（如：有限差分法、有限单元法等） 有限差分法、有限单元法等） 实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分： 的性质分： ） 未知量的性质分 按位移求解； 按位移求解； 按应力求解； 按应力求解； 坐标系分 （2）按采用的坐标系分： ）按采用的坐标系 直角坐标解答； 直角坐标解答； 极坐标解答； 极坐标解答； 初等函数解； 初等函数解； 函数类型分 级数解； （3）按采用的函数类型分： 级数解； ）按采用的函数类型 复变函数解； 复变函数解； 半逆解法； 半逆解法； 逆解法； 逆解法；
O
γg
γgy
σ y= xf (y)
x
α
ϕ(x, y) =
ax + bx y + cxy + dy
3 2 2 3
σ y= 0
y
ρg
习题： 习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4 ， ， ，
p
p0
σ y= f (y)
α
σ y= xf (y)
p
σ y= f (y)
极坐标下 （1） 轴对称问题 ） 应力函数 应力分量
2
σz = ?
（3） 有一薄壁圆筒的平均半径为 ，壁厚为 t，两 ） 有一薄壁圆筒的平均半径为R， 作用。 端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发 现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的 的小圆孔，如图所示， 最大应力如何？最大应力发生在何处？ 最大应力如何？最大应力发生在何处？
q
q
q
q
45° °
（3） 再让 ）
(2-26)
σ x ,σ y ,τ xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
（2-18）
l(σ x )s + m(τ xy )s = X m(σ y )s + l(τ xy )s = Y
us = u vs = v
（2-17） ）
x
ϕ = r2 f (θ )
= r2 ( Acos 2θ + D)
P y O
α
2
α
2
ϕ = rf (θ ) = rθ ( Acosθ + Bsin θ ) = Brθ sin θ
ϕ = r2 f (θ )
= r2 ( Acos 2θ + D)
ϕ = Brθ sin θ + r2 ( Acos 2θ + D)
ϕ = f (r) cos 2θ
1 4 2 = Ar + Br + C + D 2 cos 2θ r
因次法确定 （3） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式 ） （1） 楔顶受集中力偶 ）
M
（2） 楔顶受集中力 ）
ϕ = ϕ(θ )
y
O
α
2
y
P
β
O
α
2
= Asin 2θ + Bθ
（平面应力情形） （2-23） 平面应力情形） （3）边界条件： ）边界条件：
l(σ x )s + m(τ xy )s = X m(σ y )s + l(τ xy )s = Y
（2-18）
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下 （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ） 先由方程（ ）求出应力函数：
极坐标下 （1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 ） 由问题的条件求出满足式（ － ）
2 2 2 4
ϕ(r,θ )
（4－6） － ）
∂ 1∂ 1 ∂ ∇ ϕ = 2 + ∂r r ∂r + r2 ∂θ 2 ϕ = 0
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： ） 由式（ － ）求出相应的应力分量：
弹 性 力 学 问 题
σ ij, j+Xi = 0
2
ε ij= 1 (ui, j + u j,i )
基本方程
1 εij = (1+ µ)σij − µσ kkδij E
边界条件（ 个 应力边界条件（ 个 边界条件（6个） 应力边界条件（3个）： σ ijnj
[
]
= Xi
位移边界条件（ 个 位移边界条件（3个） ： ui = ui —— 数学上构成偏微分方程的定解问题 数学上构成偏微分方程的 构成偏微分方程的定解问题 求解方法
（2） ）
1 U = zϕ1(z) + zϕ1(z) +θ1(z) +θ1(z) 2 ′ σ x +σ y = 2 ϕ1(z) +ϕ1(z) = 4Reϕ1(z) ′ ′
[
[
]
]
（5-5） ） （5-8） ） （5-9） ）
′ ′ σ x −σ y + 2iτ xy = 2[zϕ1′(z) +ψ1(z)]
q
q
q
q
的内边界上被固定， （4） 已知圆环在 r = a 的内边界上被固定，在 r = b ） 的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。 的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。 试确定圆环内的应力与位移。 试确定圆环内的应力与位移。
ϕ(r,θ ) = Aθ
5. 平面问题的复变函数 解法 平面问题的复变函数 平面问题复变函数方法的求解思路 （1） 复变函数方法 —— 应力函数法 ） ϕ （2） 将寻求应力函数 U 的问题转化为寻求 两个解析函数 1(z),ψ1(z) ） 将寻求应力函数 的问题 （3）利用保角变换，将求解的区域 D 变换为一个中心单位圆域；再利 ）利用保角变换 保角变换， 变换为一个中心单位圆 中心单位圆域 解析函数在闭环上的积分性质， 用解析函数在闭环上的积分性质， 求出 ϕ(ζ ),ψ (ζ ) 。 应力函数、应力分量、位移分量、 应力函数、应力分量、位移分量、边界条件的复变函数表示 （1） ）
∂2ϕ σθ = 2 ∂r
ϕ = f (r)
ϕ = f (r) sin θ
ϕ = f (r) cosθ