7月5日21点新高一数学-孟亚飞-二次函数图像与性质

新高一数学
讲师：孟亚飞丨三好网认证讲师教师帮俱乐部会员
本系列课程共11课时预习课，暑假先人一步，开学步步领先
集合的基本运算
已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则∁U (A ∩B )＝(
)
A ．{2,3}
B ．{1,4,5}
C ．{4,5}
D ．{1,5}[答案]B
[解析]∵A ∩B ＝{2,3}，
∴∁U (A ∩B )＝{1,4,5}．
二次函数的基础知识
1．二次函数的解析式有三种常用表达形式
①一般式：f (x )（解释）＝；
②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，(h ，k )是顶点；③标根式(或因式分解式)：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)；其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根．
ax 2＋bx ＋c (a ≠0)f(x)=x 2-6-2t f(3)=4f(t)=x 2-6-2t
f(3)=4
2．二次函数的图象及其性质
减增
二次函数的”高中”应用题型
几个专业术语：☺
1.y=f(x)表示一个函数，f(x)=0表示一个方程；
2.初中时候的说法：自变量的取值范围；
高中时候的说法：定义域；
3.初中时候的说法：因变量的取值范围或者y值的取值范围；
高中时候的说法：值域；
4.初中时候的说法：当a≤x≤b时，函数y=f(x)图像是上升（下降）的;
高中时候的说法：函数y=f(x)的增（减）区间是[a,b]，更专业一点的说法叫函数y=f(x)的单调增（减）区间是[a,b]
1.已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)
（解释）上是增函数，则f(1)的范围是()
A．f(1)≥25B．f(1)＝25
C．f(1)≤25 D．f(1)＞25
答案：A
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么()
A．f(2)＞f(3)
B．f(3)＞f(2)
C．f(3)＝f(2)
D．f(3)与f(2)的大小关系不确定
答案：C
飞哥拓展：如何求二次函数对称轴f(m)=f(n)对称轴方程为：啥
3.抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7 的顶点在
x轴上，则m＝_______.
答案：9或25
利用已知条件求二次函数解析式，常用的方法是待定系数法，但可根据不同的条件选用适当形式求f (x )
解析式．
考点1：求二次函数的解析式
1.已知三个点坐标时，宜用一般式。

2.已知抛物线的顶点坐标与对称轴有关或与最大
(小)值有关时，常使用顶点式。

3.若已知抛物线与x轴有两个交点，且横轴坐标已
知时，选用两根式求f(x)更方便。

例1：已知f(x)是二次函数，且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(0)=c=0,
f(x)＝ax2＋bx
f (x+1)＝a(x+1)2＋b(x+1)=ax2＋bx+x+1
所以，2ax+a+bx+b=(b+1)x+1
即，(2a+b)x+(a+b)=(b+1)x+1
2a+b=b+1;a+b=1
a=,b= .
二次函数常和二次方程、二次不等式结合在一起。

三个“二次”以二次函数为核心，通过二次函数的图象贯穿为一体，因此，解题时通过画二次函数的图象来探索解题思路是非常行之有效的方法。

考点2：二次函数的综合问题
例2：(解题示范)(本题满分12分)
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(－x＋5)＝f(x－3)，且方程f(x)＝x有等根．求f(x)的解析式；【解】(1)依题意，方程f(x)＝ax2＋bx＝x有等根，
所以-b
2a =1，解得a=−1
2
所以f(x)=-1
2
x2+x
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 又f(－x＋5)＝f(x－3)，
故f(x)的图象关于直线x＝1对称。

解：(1)当a ＝－1时，
f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，
x ∈[－5,5]，
∵f (x )的对称轴为x ＝1，
∴x ＝1时，f (x )取最小值1；
x ＝－5时，f (x )取最大值37.
已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．
(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数。

（解释）
(2)f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的对称轴为x ＝－a ，∵f (x )在[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5，或－a ≥5，解得a ≤－5，或a ≥5.
1.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间
当－b
2a
＜m时，函数在区间[m，n]上单调递增，最小值为f(m)，最大值为f(n)；
当m≤－b
2a
≤n时，最小值为f(－
b
2a
)＝
4ac－b2
4a ，最大值为f(m)或f(n)(m，n与－
b
2a
较远的一个为最大)．
当－b
2a
＞n时，函数在区间[m，n]上单
调递减，最小值为f(n)，最大值为f(m)．
2.注重数形结合，密切联系图象是研究和掌握二次函数
性质的基本方法．对于二次方程根的分布，需要结合图象，从三个方面考虑：
①判别式；
②区间端点函数值的正负；
③对称轴与区间端点的位置关系．二次函数、一元
二次方程与一元二次不等式是一个有机整体，用
函数思想研究方程和不等式是高考的热点。

已知f (x )是二次函数，且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,求f (x )的解析式。

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