第60讲 估计量的有效性与一致性
市场调查分析师考试《调查概论(中级)》章节题库-第六章 抽样估计【圣才出品】
第六章抽样估计一、单项选择题1．评介估计量的标准之一是一致性，它是指（）。
A．估计量和总体参数之间完全一致B．随着样本量的无限增大，样本的估计量就等于总体参数C．要求估计量的数学期望等于总体参数D．估计量的方差尽可能小【答案】B【解析】所谓一致性是指随着样本的无限增大，样本的估计量就等于待估的总体参数。
2．估计量的无偏性是指（）。
A．估计量和总体参数之间完全一致B．随着样本量的无限增大，样本的估计量就等于总体参数C．要求估计量的数学期望等于总体参数D．估计量的方差尽可能小【答案】C【解析】无偏性的直观含义是指某个具体的估计值，由于随机的原因，对总体参数进行估计时可能出现偏高或偏低，但要求如果把所有的样本都抽出来，将估计值进行平均就应该等于总体参数。
即估计量的数学期望等于总体参数。
3．估计量的有效性是指（）。
A．估计量和总体参数之间完全一致B．随着样本量的无限增大，样本的估计量就等于总体参数C．要求估计量的数学期望等于总体参数D．估计量的方差尽可能小【答案】D【解析】有效性是指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。
4．抽样分布是指（）。
A．估计量的分布B．样本观察值的分布C．总体参数的分布D．总体观察值的分布【答案】A【解析】估计量是一个随机变量，它的具体估计值是随着不同的样本单元而变化的，因而就有一定的分布，这个分布就叫做抽样分布。
5．抽样调查所关心的误差是（）。
A．抽样误差B．非抽样误差C．抽样误差和非抽样误差D．由无回答产生的偏差【答案】C【解析】在抽样调查中，传统的参数估计主要是考察抽样误差，而抽样调查除了考察抽样误差外，还要注意非抽样误差。
6．用样本估计值对总体参数进行点估计的理论基础是（）。
A．大数定律B．中心极限定理C．正态分布的原理D．无偏估计的原理【答案】A【解析】大数定律是用样本估计总体的理论基础。
其直观含义是随机事件的规律性是在大量观察中才能显露出来，虽然在每次试验中不可避免地出现随机误差，但随着观察次数的增加，随机影响将相互抵消而使规律具有稳定的性质。
数理统计05第五讲估计量的优良性准则
数理统计05第五讲估计量的优良性准则估计量的优良性准则是用来评估一个估计量的好坏程度的标准。
常见的优良性准则有无偏性、有效性、一致性和渐进正态性等。
以下是对这些准则的详细介绍。
一、无偏性：估计量的无偏性是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。
如果一个估计量是无偏的，那么在多次重复抽样的情况下，估计值的平均值将接近真实值。
无偏性是一个重要的优良性准则，因为它表示估计量不会偏离真实值。
二、有效性：估计量的有效性是指估计量的方差最小，即估计量的误差最小。
具有较小方差的估计量更接近真实值，因此具有较小方差的估计量更有效。
有效性是比无偏性更严格的准则，因为一个无偏的估计量仍然可能有较大的方差。
三、一致性：估计量的一致性是指当样本容量增加时，估计量趋近于真实参数的性质。
一致性是估计量的渐进性质，即当样本容量趋于无穷大时，估计量收敛于真实值。
一致性是一个重要的准则，因为它表示估计量在大样本情况下的稳定性。
当评估一个估计量的优良性时，通常需要综合考虑多个准则来做出综合评价。
例如，一个估计量可能同时具有无偏性和一致性，但方差较大，从而导致估计值较不准确。
在这种情况下，我们需要权衡无偏性和一致性与方差之间的平衡，选择一个较优的估计量。
总之，估计量的优良性准则是评估一个估计量的好坏程度的标准，常见的准则包括无偏性、有效性、一致性和渐进正态性等。
在实际应用中，需要综合考虑多个准则，选择一个比较优秀的估计量。
统计学第七章、第八章课后题答案
统计学复习笔记第七章 参数估计一、 思考题1． 解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。
估计量也是随机变量.如样本均值，样本比例、样本方差等。
根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。
2． 简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性:是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。
（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小.对同一总体参数的两个无偏估计量,有更小方差的估计量更有效。
（3）一致性:是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
3． 怎样理解置信区间在区间估计中,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。
有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。
因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”）,有误导读者之嫌.在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。
这样则可以由此推算出置信度(由后面给出的公式)，反之亦然。
4． 解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。
也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95％（的区间）包含参数。
不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95％置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数.5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。
1. 估计总体均值时样本量n 为2. 样本量n 与置信水平1—α、总体方差、估计误差E 之间的关系为 其中： 2222)(E z n σα=n z E σα2=▪ 与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下,置信水平越大，所需要的样本量越大；▪ 与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；▪ 与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。
第五章OLS估计量的大样本性质
第五章OLS估计量的大样本性质OLS（最小二乘法）估计是一种常用的线性回归方法，通过最小化观测值残差的平方和来估计参数。
在大样本情况下，OLS估计量具有以下几个重要的性质。
一、一致性：OLS估计量在大样本情况下是一致的。
也就是说，当样本容量趋于无穷大时，OLS估计量会以概率1收敛于真实参数值。
证明一致性的一种常用方法是将OLS估计量写为样本均值的形式，并应用大样本理论方法，如中心极限定理或大数定律。
二、渐进正态性：OLS估计量在大样本情况下服从正态分布。
也就是说，当样本容量趋于无穷大时，OLS估计量的分布接近于一个正态分布。
这个性质在大样本下的推论非常重要，它使得我们可以使用正态分布的性质来进行参数估计的推断，如置信区间和假设检验。
三、渐进有效性：OLS估计量在大样本情况下是渐进有效的。
也就是说，在满足一定条件下，OLS估计量的方差趋近于零，且比其他一些估计量的方差更小。
这个性质使得OLS估计量成为一种较为理想的估计方法，因为它具有较小的方差，可以提供较准确的估计结果。
四、渐进偏差：OLS估计量在大样本情况下存在偏差。
也就是说，当样本容量趋于无穷大时，OLS估计量的期望值与真实参数值之间存在一定的差距。
这个性质说明，在大样本下，OLS估计量可能并不能完全准确地估计出真实的参数值，但由于一致性的性质，它依然可以提供较为可靠的估计结果。
总结起来，OLS估计量在大样本情况下具有一致性、渐进正态性、渐进有效性和渐进偏差等性质。
这些性质使得OLS成为常用的估计方法，并为进行参数估计的推断提供了理论依据。
然而，这些性质的成立都要求满足一定的条件，如误差项的独立性、同方差性和正态性等。
因此，在实际应用中，我们需要对数据进行必要的检验和验证，以确保这些条件的成立，从而保证OLS估计量的有效性和准确性。
参数估计
第九章参数估计抽样的真正目的在于根据已知的统计量来估计总体参数。
检验特定假设有一定用处，但估计方法的用处更大。
基本上有两种估计，即点估计和区间估计。
第一节点估计点估计也即点值估计，是以一个最适当的样本统计值来代表总体参数值。
为了确定每一种估计究竟如何，就必须掌握某种标准。
估计量如果具有无偏性、一致性和有效性这三个要求或标准，就可以认为这种统计量是总体参数的合理估计或最佳估计。
1．无偏性如果统计量的抽样分布的均值恰好等于被估计的参数之值，那么这一估计便可以认为是无偏估计。
换句话说，从最终的结果来看，估计量的期望值就是参数本身。
2．一致性虽然随机样本和总体之间存在一定的误差，但当样本容量逐渐增加时，统计量越来越接近总体参数，满足这种情况，我们就说该统计量对总体参数是一个一致的估计量。
3．有效性估计量的有效性指统计量的抽样分布集中在真实参数周围的程度。
总而言之，如果一个估计量满足无偏性、一致性和有效性这三条准则，就可称其为最佳估计量。
第二节区间估计如果总体均值正好就是样本的均值，这当然非常好。
但如果两者不尽相同，点估计往往会造成一些不必要的误解。
在许多场合，人们宁愿在原来点估计值两边加一个区间，使得我们对参数在预料之中有相当把握。
因此在推论统计中我们更多采用的是区间估计的方法。
所谓区间估计，就是在一定的抽样平均误差内设一个可置信的区间，然后联系到这个区间的精度，将样本的统计值推断为总体的参数值。
1.精确性和可靠性区间估计的任务是，在点估计值的两侧设置一个区间，使得总体参数被估计到的概率大大增加。
当然，设置一个区间是很容易的，当我们对参数被估计到的信心不足时，我们总可以放宽区间。
如果这个区间的大小不受限制，我们就可以把参数被估计到的信心提高到任何水平。
但是区间加大，估计的效度随之降低。
当我们的信心提高到绝对时，估计的价值也随之丧失贻尽。
这就是说，还存在需要考虑的另一方面——区间估计的精确性问题。
这样一来，我们又宁愿估计区间要尽量小一点，最好就是点估计。
第60讲 估计量的有效性与一致性
P{max{ 1 i n
X
i
}
x}
P{X1
x,...,
Xn
x
}
P{X1 x} P{Xn x } F (x) F (x) [F (x)]n
1， x
独立性 同分布
FZ
(x)
xn
n,0 x
四川大学
0, x 0
Z的概率密度
fZ (x)
FZ ( x)
nx n 1
0,
n,0 x
四川大学
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（三）一致性（相合性） Consistency
四川大学
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23
由于估计量 ˆ ˆ(X1, X2,..., Xn )
不但与样本的值有关，还与样本的容量n有关。
因此对估计量的一个合理的要求就是：
不管样本值是什么，当样本的容量 n 增加时，
1 5
X
2
3 10
X3
X
1 3
X1
1 3
X2
1 3
X3
都是μ 的
无偏估计
试比较它们谁更有效。
四川大学
四川大学
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12
ˆ
1 2
X1
1 5
X2
3 10
X3
X
1 3
X1
1 3
X2
1 3
X3
解 看谁的方差更小
2
D(X )
四川大学
D( X)
3
2
n
D(ˆ )
D(1 2
X1 23
lim P{|ˆ | } 1 ( 0)
概率论第七章 第二节
证明
都是
的无偏估计量且
比
有效。
证明：由于正态总体故
即
是
的无偏估计量。
又因为 S22 就是样本方差， 故它也是总体方差σ2的无 偏估计量。
另外可以求出：
再由第六章一个定理可以求出：
即
比
有效。
练习1：已知总体X服从b(1,p)，证明下式是p2的无偏估计。
样本方差是总体方差的无偏估计！
练习2：已知总体X服从N（μ,σ2），并且X1,X2,…,Xn是一个 简单随机样本，下式哪些是μ的无偏估计？哪个更有效？
估计量的评选标准
对同一个参数，用不同的估计方法求出的估 计量可能不相同，采用哪一个估计量为好呢? 我们需要一些评判的标准。
一 、无偏性 二 、有效性 三 、一致性
无偏性
定义: 设 若 则称 是未知参数θ的估计量，
存在，且对任意的θ，有 为 的无偏估计。
称为系统误差。
无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差。
比如：k阶样本矩Ak就是 k阶总体矩μk的一致估 计量!
例5：设X1,X2,…,Xn 是取自总体X ～N(μ,σ2)的一个样本,
⑴ 验证
都是
的无偏估计.
⑵ 问那个估计量最有效? 解：第一问
故
第二问：
都是总体均值
的无偏估计量;
所以
更有效
例6：设X1,X2,…,Xn是来自总体X～N(μ,σ2)的一个样本，且μ 已知，
解：
A2是μ2的 无偏估计
所以所给的估计量：
不是σ2的无偏估计量，但是样本方差：
所以
是
的无偏估计
例3：设 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的一个样本,
⑴
有效性无偏性一致性
估计量的无偏性，有效性和一致性
1.估计量
参数的点估计就是根据样本构造一个统计量，作为总体未知参数的估计。
设总体的X 未知参数为seta,样本根据样本构造一个统计量（只依赖于样本，不含总体分布的任何参数。
常用的统计量有样本矩，次序统计量：将样本按从小到大或者从大到小顺序排列，）作为未知参数的估计，则称这个统计量为未知参数的估计量。
2.无偏性
估计量抽样分布的数学期望等于总体参数的真值。
如果总体参数为seta，seta1为估计量，如果E(seta1)=seta，那么seta1为seta的无偏估计量。
seta1也是一个随机变量，它取决于样本，根据所选样本的不同而变化。
3.有效性
指估计量与总体参数的离散程度，如果两个估计量都是无偏的，那么离散程度较小的估计量相对来说是有效的，离散程度用方差来衡量。
4.一致性（相合性）
样本数目越大，估计量就越来越接近总体参数的真实值。
如果seta1在seta周围震荡，那么满足无偏性却不满足一致性。
一致估计量和相合估计量
一致估计量和相合估计量一致估计量和相合估计量是统计学中重要的概念，它们被广泛应用于参数估计的理论与实践中。
在统计学中，我们通常通过样本数据来推断总体参数的值，而一致估计量和相合估计量则是我们用于估计参数的工具。
一致估计量是指当样本容量逐渐增大时，估计量的值趋近于真实参数值的性质。
换句话说，一致估计量的期望值等于真实参数值。
一致估计量的重要性在于它能够提供相对准确的参数估计，并且在样本容量足够大时，其估计结果能够无偏且稳定地逼近真实参数值。
相合估计量是一致估计量的特例，它对于样本容量趋于无穷时，估计量的值能够收敛到真实参数值。
相合估计量的性质使得它在实际应用中更为可靠，因为它能够提供更准确的参数估计结果。
一致估计量和相合估计量的性质是由大数定律保证的。
大数定律是概率论的基本定理之一，它指出当独立同分布的随机变量的样本容量足够大时，样本均值将收敛到总体均值。
基于大数定律，我们可以得出一致估计量和相合估计量的定义和性质。
在实际应用中，一致估计量和相合估计量有很多具体的形式和方法。
常见的一致估计量包括样本均值、样本方差、极大似然估计等。
这些估计量都是通过对样本数据进行统计分析得出的。
相合估计量的构造通常涉及到统计方法的选择和估计量的优化。
一种常见的相合估计量是最小二乘法估计量，它通常用于线性回归模型中。
最小二乘法估计量通过最小化观测值与理论模型之间的差异来估计模型参数，从而得到相合估计量。
除了一致估计量和相合估计量之外，还有其他类型的估计量，如无偏估计量和有效估计量。
无偏估计量是指其期望值等于真实参数值的估计量，有效估计量则是指方差最小的无偏估计量。
一致估计量和相合估计量可以看作是无偏估计量和有效估计量的特殊情况。
总而言之，一致估计量和相合估计量是统计学中重要的概念和工具。
它们通过样本数据对总体参数进行估计，并在样本容量足够大时提供准确和可靠的估计结果。
一致估计量和相合估计量的性质是由大数定律保证的，其构造和应用需要合适的统计方法和优化技术。
信度的主要估计方法
信度的主要估计方法
信度是一种衡量信息可靠性的指标,在实际应用中非常重要。
本文将介绍信度的主要估计方法,包括重要性估计、一致性估计和半一致性估计。
这些方法可以帮助我们评估信息的可靠性,并帮助我们做出决策。
1. 重要性估计
重要性估计是指确定信息的重要性,以便将其纳入决策中。
在重要性估计中,通常使用一个或多个因素来评估信息的重要性。
这些因素可以是信息提供的目的、信息的重要性、信息对用户的影响等。
常见的重要性估计方法包括专家评估、民意调查和因素分析等。
2. 一致性估计
一致性估计是指确定信息之间的一致性,以便将其纳入决策中。
在一致性估计中,通常使用一个或多个因素来评估信息之间的一致性。
这些因素可以是信息的来源、信息的准确性、信息的完整性等。
常见的一致性估计方法包括因素分析、双重因素分析和多因素分析等。
3. 半一致性估计
半一致性估计是指确定信息的可靠性和一致性之间的平衡,以便将其纳入决策中。
在半一致性估计中,通常使用一个或多个因素来评估信息的可靠性和一致性。
这些因素可以是信息的准确性、信息的完整性、信息的一致性等。
半一致性估计方法可以帮助我们平衡信息的可靠性和一致性,以便更好地做出决策。
综上所述,信度的主要估计方法包括重要性估计、一致性估计和半一致性估计。
这些方法可以帮助我们评估信息的可靠性,并帮助我们做出决策。
在实际应用中,我们应该根据具体情况选择适当的方法,以获得更准确和可靠的信息。
优良估计量的标准
优良估计量的标准
估计量的含义是指：用来估计总体未知参数用的统计量。
在统计学中，估计量是基于
观测数据计算一个已知量的估计值的法则：于是估计量（estimator）、被估量（estimand）和估计值（estimate）是有区别的。
估计量用来估计未知总体的参数，它有时也被称为估计子；一次估计是指把这个函数
应用在一组已知的数据集上，求函数的结果。
对于给定的参数，可以有许多不同的估计量。
我们通过一些选择标准从它们中选出较好的估计量，但是有时候很难说选择这一个估计量
比另外一个好。
一致性：
一致估计量序列是一列随着序号（通常是样本容量）无限增大时依概率收敛于被估量
的估计量序列。
换句话说，增加样本容量增大了估计量接近总体参数的概率。
一致估计的判断方法
一致估计的判断方法一致估计的判断方法什么是一致估计？一致估计是指在统计学中用于估计未知参数的一种方法。
它的目标是通过样本数据来推断总体分布或总体参数的值。
一致估计的方法有很多种，本文将介绍其中几种常见的方法。
1. 极大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)•极大似然估计是一种常用的参数估计方法。
•它通过在已知样本数据条件下，使似然函数取得最大值，从而得到参数的估计值。
•极大似然估计通常假设样本数据服从某种已知的分布，然后通过找到最大可能性的参数值来估计总体参数。
2. 矩估计 (Method of Moments, MOM)•矩估计是一种基于样本矩的参数估计方法。
•它利用样本矩与理论矩的等于性质，通过计算样本的矩和理论的矩的差异来估计参数。
•矩估计的优点是计算简单，但是在小样本情况下，估计结果可能不够准确。
3. 贝叶斯估计 (Bayesian Estimation)•贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计理论的参数估计方法。
•它利用贝叶斯公式和已知的先验概率来计算参数的后验概率。
•贝叶斯估计的优点是能够利用已知的先验信息来进行参数估计，但是需要对先验概率有一定的了解。
4. 非参数估计 (Nonparametric Estimation)•非参数估计是一种不依赖于总体分布形式的估计方法。
•它不对总体分布做任何假设，而是通过直接利用样本数据来估计总体的分布。
•非参数估计一般对样本数据的要求较高，样本数据越大越好，而且计算复杂度较高。
5. 基于Bootstrap的估计 (Bootstrap Estimation)•基于Bootstrap的估计是一种通过重采样技术来估计参数的方法。
•它通过利用有限的样本数据，通过多次从样本中有放回地抽取样本数据，来模拟总体分布，然后利用更多的样本数据来估计总体参数。
•基于Bootstrap的估计可以对估计结果的稳定性进行评估，但是计算复杂度较高。
一致估计量和渐进估计量
一致估计量和渐进估计量
一致估计量是指当样本容量趋于无穷大时，估计量的期望值与真实参数值之间的差异趋近于零。
也就是说，一致估计量的估计误差会随着样本容量的增加而减小，最终收敛于真实参数值。
渐进估计量是指当样本容量趋于无穷大时，估计量的分布收敛于一个以真实参数为中心的正态分布。
也就是说，渐进估计量的估计误差的分布逐渐变得更加集中在真实参数附近。
当样本容量足够大时，可以使用渐进估计量来进行参数估计。
一致估计量和渐进估计量是统计学中常用的两种估计方法。
它们都可以用于估计未知参数，但是一致估计量更加关注于估计的准确性，而渐进估计量更加关注于估计的精确性。
一致估计
有效性（方差最小性):
的两个无偏估计量 1 比 2 有效，如果 D 1 D2.
一致性（相合性）:
称估计量 n ( X1, X 2 ,, X n ) 为未知参数 的一致估计 ，
如果 lim n
P
n
0.
评价标准
意义: 样本容量n越大，对未知参数 的估计
评价标准
统计学中对已知分布的未知参数 的估计方法很多。
如：K. Pearson 的矩估计法和 R. A. Fisher 的极大似然 估计法。即使同一个估计方法，也可以得到多个估计量。 所以我们有必要对估计的优劣进行评价。
评选标准：
无偏性、有效性（方差最小性）、一致性（相合性）
评价标准
无偏性: E , 其中 未知参数 的估计量.
就越精确，这是估计的一个基本要求。 本质: 依概率P 收敛
判别: 应用切比雪夫不等式 或 大数定律
评价标准
例题1:
设n
为未知参数
的无偏估计且 lim n
D(n
)
0，
则n 为 的一致估计量 .
切比雪夫不等式：
设随机变量 X 的期望 EX 和方差 DX 都存在，则
P{|X EX| ε} DX ε 0 ε2
则 g(n ) 为 g( ) 的一致估计. 2.设 X1, X 2,, X n 为总体 X 的样本，DX 2, 则错误的是（ ）
(A) S 2 是 2 的无偏估计 (B) S 是 的无偏估计 (C) S 2 是 2 的一致估计 (D) S 是 的一致估计
评价标准
例题2:
样本均值 X 1
n
n 1
X
简述评价估计量的三个标准
简述评价估计量的三个标准
评价估计量的三个标准是准确性、一致性和有效性。
准确性是评价估计量的最基本标准，它指的是估计值与真实值之间的接近程度。
一个准确的估计量应该能够尽可能地接近真实值，即估计值与真实值之间的差距应该尽可能地小。
准确性的评价可以通过比较估计值与已知真实值或者通过统计模型的拟合程度来进行。
一致性是评价估计量的另一个重要标准，它指的是估计量的稳定性和可靠性。
一个一致的估计量应该在多次估计中产生相似的结果，即估计值应该具有较小的变异性。
一致性的评价可以通过计算估计值的方差或者标准误来进行。
有效性是评价估计量的第三个标准，它指的是估计量的信息量和实用性。
一个有效的估计量应该能够提供足够的信息，以便进行决策或得出结论。
有效性的评价可以通过计算估计值的置信区间或者预测区间来进行。
除了这三个标准之外，评价估计量还需要考虑其他因素，如偏倚、效率和可解释性等。
偏倚是指估计值的期望与真实值之间的差异，一个无偏的估计量应该具有期望等于真实值的特性。
效率是指估计量的方差最小，即估计量的变异性最小。
可解释性是指估计量是否能够提供
有关估计结果的有效信息，以便进行解释和理解。
综上所述，评价估计量的三个标准是准确性、一致性和有效性。
这些标准可以帮助我们判断和选择适合的估计量，并提高估计结果的可靠性和实用性。
基本假设下OLS估计的统计性质
基本假设下OLS估计的统计性质从概率统计知道，参数估计有不同的方法，同一个未知参数也可以有多个不同的估计量。
因此，需要给出估计量的评价标准，以便根据需要选择最优估计量。
数理统计中给出的估计量基本评价标准有3个：无偏性、一致性和有效性。
无偏性要求估计量的数学期望等于被估计参数；一致性要求当样本量无限增大时，估计量以概率收敛于未知参数；而有效性则是对未知参数的两个无偏估计进行比较，方差越小越有效。
通过OLS得出的估计量具有哪些良好的性质呢？在一些基本假设满足的条件下，OLS估计具有无偏性、一致性、线性和有效性。
(1)无偏性：在假设1满足时，OLS估计是无偏估计，无偏性是β0、的抽样分布性质，并不能说明从具体的样本计算出的一个估计量与参数的真实值β0、β1有多大的偏差。
因此，除无偏性外，还需要其他性质来进一步说明。
当样本量足够大时，参数估计值逐渐接近真实值。
(2)一致性：在假设1和假设3成立时，OLS估计是一致估计。
一致性告诉我们，当样本量增大时，参数估计以概率趋近于参数真实值。
我们不能像理解微积分中的收敛概念一样理解对β0的趋近，以概率收敛只能保证当样本量足够大时，随机变量与β0的距离可以任意接近的概率趋近1，因此，不管样本量多么大，仍然存在与β0“相去甚远”的情况发生的可能性，只是这种可能性随着样本增加越来越接近0。
(3)线性：OLS估计量是被解释变量观测值y i的线性组合。
线性有两个作用：一个是给运算带来方便。
例如，取数学期望时，由于数学期望运算对随机变量组合具有线性分配率，因此对求期望时可以直接将期望符号分配到y i面前（此时x i给定，看作非随机变量），而如果假设3成立，y i之间不相关，对求方差时也可以直接将方差符号分配到y i面前。
二是如果假设4成立，即y i服从正态分布，则由正态分布性质可以得出，也服从正态分布。
即使没有假设4，只要假设3中的独立性成立，由中心极限定理可以得出，渐进服从正态分布，因此当样本量足够大时，可以将的分布视为正态分布。
有偏但一致的估计量
有偏但一致的估计量在统计学中，估计量是一个重要的概念，它代表着对总体参数的估计。
总体参数通常是指一个总体的平均值、方差、标准差等基本统计指标。
然而，在进行估计时，我们往往受到样本数据的限制，不能得到总体参数的准确值，因此我们需要寻找一种合适的方法来估计这些参数。
这就是有偏但一致的估计量所涉及的问题。
有偏但一致的估计量是指虽然在估计过程中偏差存在，但随着样本数量的增加，估计值将趋近于总体参数的一个估计量。
这种估计方法常常被用于需要进行大规模样本估计的实际应用，例如市场调查、医疗研究等领域。
如何计算有偏但一致的估计量？要计算有偏但一致的估计量，我们需要首先了解总体参数所服从的分布类型，并了解其估计方法。
对于一些常见的分布，例如正态分布、泊松分布、二项分布等，我们可以采取不同的估计方法。
以正态分布为例，总体的平均值可以使用样本平均值进行估计，而总体的方差则可以使用样本方差进行估计。
在这个过程中，由于样本数据是有限的，计算出的样本平均值和方差往往会有偏差存在。
因此，如果我们使用大量的样本数据进行估计，这些偏差将逐渐减少，估计值将趋近于总体参数。
另外，我们还可以使用置信区间来计算有偏但一致的估计量。
置信区间是指我们对总体参数进行估计时，对于一定置信度的结果范围进行估计。
例如，我们可以通过样本数据确定总体平均值的置信区间，这样就可以对总体参数进行更精确的估计。
如何检验有偏但一致的估计量的正确性？在使用有偏但一致的估计量进行参数估计之前，我们需要进行相关的检验，以确保估计结果的正确性。
其中，最常用的方法是使用样本均值和样本方差的偏差与原始分布的偏差进行比较。
如果样本均值和样本方差的偏差与原始分布的偏差相似，那么我们可以认为这种估计方法是可靠的。
如果两者差异比较大，那么我们需要进行进一步的分析，确认数据是否出现了样本误差等问题。
此外，我们还可以使用其他的统计方法，例如t检验、方差分析等方法，来对有偏但一致的估计量进行检验。
关于一致性与无偏性
..;. 一致估计是否一定是无偏估计？在数理统计中，设 ˆθ是参数 θ 的估计，如果有 ˆ()E θθ= ，则称 ˆθ 是 θ 的无偏估计，如果对任何 0ε> ，都有 ˆlim {}1n P θθε→∞-<= ，则称 ˆθ 是 θ 的一致估计。
那么，一致估计是否一定是无偏估计呢？我说：不一定。
下面举一个例子。
设总体 X ～2(,)N μσ ，11n i i X X n ==∑ 是样本均值，有 X ～(0,1)N ，有{}2()1P a a <=Φ- ，其中 ()x Φ 是 (0,1)N 分布的分布函数。
我们取 ˆ*1n X n μ=+ 作为参数 μ 的估计，下面证明它是 μ 的一致估计。
因为当 111n n X n n n μμε-<-+++ 时，必有 1111n n n n X X n n n n μμμμ-≤-+-++++11n n μμεε<-+=++ ， 所以{}1n P X n με-<+{}111n n P X n n n μμε≥-<-+++ (1){}n P X n εμμ+-=-<{}P =<21=Φ- ，ˆlim {*}n P μμε→∞-<=lim {}1n n P X n με→∞-<+lim21n →∞≥Φ-21n =Φ-2()12111=Φ+∞-=⨯-= 。
可见，ˆ*1n X n μ=+ 是 μ 的一致估计。
但是，由于 ˆ(*)()()111n n n E E X E X n n n μμμ===≠+++ ，所以 ˆ*1n X n μ=+ 显然不是 μ 的无偏估计。
这就说明了：一致估计并不一定是无偏估计。
统计学依据数据的计量尺度
统计学依据数据的计量尺度将数据划分为三类：定距型数据（Scale）、定序型数据（Ordinal）、定类型数据（Nominal）。
定距型数据通常是指诸如身高、体重、血压等的连续型数据，也包括诸如人数、商品件数等离散型数据；定序型数据具有内在固有大小或高低顺序，但它又不同于定距型数据，一般可以数值或字符表示。
如职称变量可以有低级、中级、高级三个取值，可以分别用1、2、3等表示，年龄段变量可以有老、中、青三个取值，分别用ABC表示等。
这里，无论是数值型的1、2、3还是字符型的ABC,都是有大小或高低顺序的，但数据之间却是不等距的。
因为，低级和中级职称之间的差距与中级和高级职称之间的差距是不相等的；定类型数据是指没有内在固有大小或高低顺序，一般以数值或字符表示的分类数据。
如性别变量中的男、女取值，可以分别用1、2表示，民族变量中的各个民族，可以用'汉‘’回‘‘满’等字符表示等。
这里，无论是数值型的1、2还是字符型的'汉‘’回‘‘满‘，都不存在内部固有的大小或高低顺序，而只是一种名义上的指代。
我觉得教育年限应该设置成定距型数据（Scale）吧。
因为，教育年限应该是一个连续的变量，它不存在内在的大小或高低顺序问题。
将可变的数量标志抽象化就称其为变量，其取值称为变量值或标志值。
变量分为确定性变量和随机变量。
确定性变量是指受必然性因素的作用，各变量值呈现出上升或下降惟一方向性变动的变量；随机变量是指受偶然性因素的作用，变量值呈现出随机的混沌状态变动的变量。
根据变量的取值是否连续划分，有连续型变量和离散型变量。
连续型变量是指在一个取值区间内可取无穷多个值。
连续型变量值要用测量或计算的方法取得；离散型变量是指在一个取值区间内变量仅可取有限个可列值。
离散型变量值只能用计数的方法取得。
离散变量是指其数值只能用自然数或整数单位计算的则为离散变量.例如，企业个数，职工人数，设备台数等，只能按计量单位数计数，这种变量的数值一般用计数方法取得.反之，在一定区间内可以任意取彳1的变量叫连续变量，其数值是连续不断的，相邻两个数值可作无限分割，即可取无限个数值.例如，生产零件的规格尺寸，人体测量的身高，体重，胸围等为连续变量，其数值只能用测量或计量的方法取得.如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量，1)无偏性。
全国大学生市场调查大赛网考答案
需要进行假设检验的原因是( ）。
A. 由于存在抽样误差ﻫB. 由于存在偏差ﻫC. 由于估计方法不合理D. 样本选择不科学正确答案：A在假设检验中，当我们做出拒绝原假设而接受备择假设的结论时,不能表示( )。
A. 有充分的理由否定原假设ﻫB. 原假设必定是错误的C. 犯错误的概率不大于αD. 在H0为真的假设下发生了小概率事件正确答案:Ｂ在对一个正态总体均值进行检验时，如果总体方差已知则应该进行（）。
A. Ｚ检验ﻫB. F检验C. t检验Ｄ. 卡方检验正确答案:A当依据样本比例估计总体比例时所使用的统计量为（）。
A．z ﻫB. χ² ﻫC. ｔﻫD. Ｆ正确答案：A以下关于假设检验的说法错误的是（)。
A. 假设检验要求有严密的抽样设计Ｂ. 假设检验可以推断总体参数有无质的不同ﻫC．假设检验的结果具有实际意义D. 可信区间也可以回答假设检验的问题正确答案：C检验统计量实质上是（ )。
A. 点估计量Ｂ．Ｂ．标准化后的点估计量ﻫC. 总体参数ﻫD．样本均值正确答案：Ｂ用正态总体Z检验法对一个总体比例进行检验时，所用的样本应是一个( ）。
A. 配额抽样的小样本Ｂ. 配额抽样的大样本C．随机抽样的小样本ﻫD．随机抽样的大样本正确答案:D若随机变量，从中随机抽取样本,则服从的分布为( )。
Ａ. 标准正态分布ﻫB. 近似正态分布C. t分布D. F分布正确答案：A点估计的优良性准则包括一致性、( ）、有效性。
Ａ. 准确性B. 无偏性ﻫC．科学性D. 真实性正确答案:B某保险公司为了研究投保人的年龄构成情况，得到了四个数据的分布，分别是:①所有投保人的年龄分布.②所有投保人的保额分布．③随机抽取的３0人的年龄分布．④多次抽样得到的样本平均年龄的分布，则四个分布中属于抽样分布的是(Ｄ）。
A．①ﻫB．②C. ③ ﻫＤ. ④正确答案:D假设检验的原假设,当为真时,检验者可能犯何种错误?（)Ａ. 第Ｉ类错误B．第II类错误ﻫC. 第I类与第II类错误皆有可能ﻫD．无法决定正确答案:A关于正态分布,以下陈述正确的是（ )Ａ. 平均数不为负数Ｂ．偏态系数为1 ﻫC. 为一个双峰分布ﻫD．峰度系數为3正确答案：D在一个学校里随机抽取50名学生调查午餐的消费额。
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X1
1 5
X2
3 10
X3
解 看谁的方差更小
X
1 3
X11 3传课X21 3
X
3
D(X ) 3
D( ) D(1 X 1 X 3 X ) 2 1 5 2 10 3
[( 1 )2 (1)2 ( 3 )2 ] 38
2 5 10
100
D(X ) D( ) X 比 更有, Xn 是总体 X 的样本，且 D(X)存在，
则在一切形如
n
ˆ ci Xi
i 1
n
(其中 ci 1)
i 1
的μ 的无偏估计量中,
以样本均值
X
1 n
n i1
Xi
最有效。
n
n
ci X i (其中 ci 1)
un 设总体 X 有 E(X)=μ , X1, X2, X3 为来自 总体 X 的样本，
ˆ1X 1X 3 X 2 1 5 2 10 3
X 1X 1X 1X 31 32 33
都是μ 的 无偏估计
试比较它们谁更有效。
ˆ
1 2
i1 四川大学i1徐小湛
欲证： D( X ) D( ) D(
X
X
1 n
百n 度传课
Xi
i 1
) D( X )
n
n
n
n
D( ) D( ci X i ) ci2D( X i ) D( X ) ci2
i 1
i 1
i 1
只需说明： 1
n
n i 1
ci2
或
的无偏一致估的矩估计量
是
的一致估计量。
这是因为，由
可得
g(A ,...,A )
1
k
P
(k 1,2,...)
教材120页
若有待估参数 其中 g 是连续函数，则θ 的矩估计量
是θ 的一致估计量。
例如，总体方差 四川大学 徐小湛
的矩估计量 是σ 2 的一致估计量，
n
1 n ci2
i1
这可由柯西-施瓦
茨不等式得出：
n
(
i 1
xi yi )2
n i 1
xi2
n i 1
yi2
xi 1, yi ci传课（三）一致性（相合性） Co关，还与样本的容量n有关。
因此对估计量的一个合理的要求就是：
的观察值比 的观察值更密集在真值
θ 附近，则我们就认为前者比后者更理想，
即我们认为θ 的估计量在θ 附近的波动越
小 越好。
由于方差是随机变量取值与其数学期望的
偏 离程度（此时，
），
所以我们认为无偏估计量的方差越小越好。
四川大学 徐小湛
如果 是θ 的方差最小的无偏估计量，
则称 为θ 的最小方差无偏估计量， 它是最有效的估计量。 Minimum-variance
n n 1
B2
P
S2是总体方差σ 2的 无偏一致估计量
1 n
n
(Xi
i1
X )2
B2
但不是方差σ 2的无偏估计量！ S2是σ 2的 2 的一致估计量
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
B2
，但不是方差的无偏估计量！ S2是无偏估计量
由 B A A2 P
2
21
得
S2
不管样本值是什么，当样本的容量 n 增加时， 估计量与θ 的真值的误差应该越来越小，且逐
步趋于零。 四川大学 徐小湛
因此，我们给出选择估计量的另一个标准：
一致性（相合性）。设传课 是参数θ 的估计量偏差：
三个标准的比较
无偏性要求偏差的平均值（系统误差）为 0：
有效性进一步要求误差的平方的平均值尽可能小： 越小越好
§ 7.3 估计量的评选标准传课估计量的无偏性容易验证：
四川大学 徐小湛
但是有些参数可能没有无偏估计量，
有些参数又可以有多个无偏估计量，
因此估计量的优劣还要结合其他标准来综 ncy
设 和 都是参数θ 的无偏估计量百，度传
课 如果在样本容量 n 相同的情况下，
一致性要求随着 n 增大偏差依概率趋于0：
上一讲例1，我们指出样本k阶矩A k是总体k 阶矩μ k的无偏估计量，因 为
E(Ak) (k 1,2,...)
又
(k 1,2,...) 教材137页
所以，样本k阶矩Ak是总体k阶矩μ k的无偏一致估
计量。 四川大学 徐小湛
特别地，样本均值 X A1 是总体均值 μ =E(X)