刘鸿文材力第四章弯曲内力_机械[74P][3.70MB]
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材料力学刘鸿文第六版最新课件第四章 弯曲内力
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第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切（薄壁圆筒扭转问题） §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面扭转的概念 §3.8 薄壁杆件的自由扭转
第四章 弯曲内力
M l
e
(l
x2 )
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
FB
B
Me lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
Me l
M x
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
Me
lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
M
(x1)
M l
Me
l e x1
a l F(lx2 )
FA a F
b
A x1
C
x2
l
FS
bF
+l
－
M
FB (3)根据方程画内力图
B
b
FS (x1) l F
FS
( x2
)
a l
F
x
a l
F
x
FA a F
b
材料力学(刘鸿文)第04章01、弯曲内力
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁 变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
q F
纵向对称面
FA
FB
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力 并不作用在纵向对称面内的弯曲。
第4第 章弯曲内力 四 章
弯 曲 内 力 王明禄
2015年3月18日星期三
本节重点—你准备好了吗？
1、剪力与弯矩计算与正负判断;
2、弯矩方程的求解；
第一节 弯曲的概念和实例
1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成 为曲线的变形形式。
2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件
第二节 受弯杆的简化
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
1.梁的支座简化(平面力系)： a)滑动铰支座 b)固定铰支座 c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
2.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
F1
集中力
M
集中力偶
C
FS
F
y
0 : FS FB F 0 FS F FB FA
M
C
0 : M FB x F l x 0 M FB x F l x FA x
二、平面弯曲梁横截面上的内力： ①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负 (左上右下为正：截面以左上为正，截面以右下为正)； FS
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁 变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
q F
纵向对称面
FA
FB
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力 并不作用在纵向对称面内的弯曲。
第4第 章弯曲内力 四 章
弯 曲 内 力 王明禄
2015年3月18日星期三
本节重点—你准备好了吗？
1、剪力与弯矩计算与正负判断;
2、弯矩方程的求解；
第一节 弯曲的概念和实例
1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成 为曲线的变形形式。
2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件
第二节 受弯杆的简化
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
1.梁的支座简化(平面力系)： a)滑动铰支座 b)固定铰支座 c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
2.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
F1
集中力
M
集中力偶
C
FS
F
y
0 : FS FB F 0 FS F FB FA
M
C
0 : M FB x F l x 0 M FB x F l x FA x
二、平面弯曲梁横截面上的内力： ①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负 (左上右下为正：截面以左上为正，截面以右下为正)； FS
材料力学04弯曲内力(刘鸿文第5版) [兼容模式]
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第章弯曲内力44.1 弯曲的概念和实例414.2 受弯杆件的简化4.3 剪力和弯矩（重点）4.4 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力方程弯矩方程剪力弯矩4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系（重点）454.6 平面曲杆的弯曲内力（了解）4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念一、弯曲的概念1. 工程实例起重机大梁火车轮轴阳台挑梁火轮2. 弯曲的概念FB⑴受力特点：杆件所受外力均垂直于轴线。
⑵变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。
梁——以弯曲为主要变形的杆件。
二、平面弯曲的概念课本四、五、六章中所讨论的弯曲限制在如下范围内：1. 杆的横截面至少有一根对称轴。
1杆的横截面至少有一根对称轴——一个纵向对称面对称轴对称轴对称轴对称轴2.杆件所受外力均垂直于轴线，且位于梁的纵向对称面内。
——受力特点3.杆件轴线由直线变为一条纵向对称面内的曲线。
3杆件轴线由直线变为条纵向对称面内的曲线——变形特点一、梁的简化 4.2 受弯杆件的简化对于平面弯曲的直梁，外力为作用在纵对称面内的平面力系故在计算简图中通常用梁的来代表梁、梁的简化力系，故在计算简图中通常用梁的轴线来代表梁。
二、支座的简化1. 固定铰支座A AAA 2. 滚动铰支座F AyFAx3AAAF Ay 3. 固定端支座AM A F AyF Ax三、载荷的简化1FM q1.集中载荷F 2. 分布载荷q e3. 集中力偶M e 四、静定梁的基本形式F RF R静的本式1. 悬臂梁一端固定端支座一端自由AB2一端固定铰支座2.简支梁端固定铰一端滚动铰支座3. 外伸梁简支梁的一端或两端伸出支座外l⑴起重机大梁简化实例：AF⑶阳台挑梁⑵火车轮轴qBA4.3剪力和弯矩一、梁的内力试求图示简支梁m -m 截面mFF 的内力。
mx1∑l AB解：1. 求支反力研究整体，受力如图。
Fa0 0xAx F F ==，00A =−=A B0 BAy M Fa F l ∑，0 0yAy B FF F F =+−=∑，F AyF AxF BF A x 以后可省略不求Ay Fa F =()B F l a F −=llA Fa F =()B F l a F −=l2. 截面法求内力截面左段受力如图lmmS 0 0yA FF F =−=∑，研究m -m 截面左段，受力如图。
材料力学(刘鸿文_第5版)
第十四章 习题
2012年11月5日星期一
常州大学机械学院力学教研室
第五章 习题
第六章 弯曲变形
§6-1、工程中的弯曲变形问题 §6-2、挠曲线的微分方程 §6-3、用积分法求弯曲变形 6.1和连续性条件 6.3(a) Page 196 §6-4、用叠加法求弯曲变形 6.9(a) 6.10(b) Page 200 §6-5、简单超静定梁 Page 208 6.36 §6-6、提高弯曲刚度的一些措施
第十三章 习题
§13-1、概述 §13-2、杆件应变能的计算104 Page §13-3、应变能的普遍表达式 §13-4、互等定理 Page 106 §13-5、卡氏定理 Page 107 §13-6、虚功原理 §13-7、单位载荷法 Page 109 莫尔积分 §13-8、计算莫尔积分的图乘法 Page 109
第一章 绪论
§1-1、材料力学的任务 §1-2、变形固体的基本假设 §1-3、外力及其分类 §1-4、内力、截面法和应力的概念 §1-5、变形与应变 §1-6、杆件变形的基本形式
第一章 绪论习题
Page 11 1.2 Page 11 1.4 1.6
第二章 拉伸、压缩与剪切 第二章 习题
§2-1、轴向拉伸与压缩的概念和实例 §2-2、轴向拉伸与压缩时横截面上的内力和应力 2.2 Page 53 2.1(a)(c) §2-3、直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 Page 54 2.6 §2-4、材料拉伸时的力学性能 §2-5、材料压缩时的力学性能 §2-7、失效、安全因数与强度计算54 2.7 Page 54 2.12 Page §2-8、轴向拉伸或压缩时的变形 58 2.19 Page 61 2.30 Page
附录 I 平面图形的几何性质
材料力学第四版刘鸿文编第04章弯曲内力
FA a F
b
A x1 C x2
l
+
b l
F
FS图
－
Fab
l
M图
+
FB
B
(4)内力图特征
在集中力作用的地方，
剪力图有突变，外力F向
下，剪力图向下变，变化
值=F 值；弯矩图有折角。
a l
F
[例6] 求梁的内力方程并画出内力图。
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
(2)写出内力方程
AC段：
FS(x1)FA
M(x1)F1x
1 2
qax
1
F S (x 2 )F q (x 2 a )q2aq(x2 a)
M (x2)F2x 1 2q(x2a)2 12qa2x12q(x2a)2
A x1 B x2
a
F qa 2
FS
qa
2
+
M
q
C 2a
(2)根据方程画内力图
FS
(x1)
qa 2
q2aq(x2a)
FS(x2)
极值点： 令FS(x2)0
即：q2aq(x2a)0
得：
x
0
3 2
a
M 0 85qa2
§4–5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
取一微段dx， 进行平衡分析。
q(x)
Fy 0 ,
FS(x) q(x)dxF S(x)dF S(x)0
a
2 qa qa 1 qa
3
3
MO0,FA2a1 2q2aM0,
q
刘鸿文材料力学 I 第6版_4_弯取内力
43
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
44
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
2
AC段: N 1 qa Q qa qy 2
M qa y 1 qy2
2
(3) 轴力图
(4) 剪力图
35
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
BC段:
M 1 qa x
2
qa
AC段:
M qa y 1 qy2
特点： 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
36
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x) Pb l
(0 x a)
M (x) Pb x
(0 x a)
l
CB段 取x截面，
x
Q
M
17
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。
32
例 5 刚架
已知：q，a。
求：内力图。
解：(1) 求支反力 结果如图。
(2) 求内力 BC段:
X 0
MQ
N Dx
N 0
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
44
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
2
AC段: N 1 qa Q qa qy 2
M qa y 1 qy2
2
(3) 轴力图
(4) 剪力图
35
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
BC段:
M 1 qa x
2
qa
AC段:
M qa y 1 qy2
特点： 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
36
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x) Pb l
(0 x a)
M (x) Pb x
(0 x a)
l
CB段 取x截面，
x
Q
M
17
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。
32
例 5 刚架
已知：q，a。
求：内力图。
解：(1) 求支反力 结果如图。
(2) 求内力 BC段:
X 0
MQ
N Dx
N 0
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲内力(圣才出品)
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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材料力学第四章知识点总结(刘鸿文主编)
跨长——梁在两支座间的长度。
材料力学
a A l FAX A FAY
§4-3
剪力和弯矩
[例] 已知：如图，F，a，l。
一、弯曲内力的确定（截面法）：
F B 求：距A端 x 处截面上内力。 解：①求外力（支座反力）
F
B FBY
∑ X = 0, ∴ F = 0 ∑ M = 0 , F l − Fa = 0 ∑Y = 0 , F − F + F = 0
¾ 利用特殊点的内力值（截面法）来定值； ¾ 利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值。 积分关系：
dFs ( x ) Q = q (x ) dx ∴ ∫ dFs ( x ) = ∫ q ( x ) dx
Q1 x1 Q2 x2
dM ( x ) Q = Fs ( x ) dx ∴∫
M2 M1
dM ( x ) = ∫ Fs ( x ) dx
特点：铰链传力不传力偶矩，与铰 相连的两横截面上，M = 0 , FS 不 一定为零。
A FA C
qa 2
a a
MB
B FB
a
a
FS 0.5qa
O
0.5qa
2 M qa /8 O
x 1.5qa qa2 x 2qa 2 2.5qa 2
0.5qa 2
材料力学
1、刚架
§4-6 平面刚架和曲杆的内力图
用刚性接头连接的杆系结构。 刚性接头的特点： z 约束－限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移。 z 受力－既可传力，也可传递力偶矩。 平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M、FN 。
M(x)+d M(x)
dM ( x ) = Fs ( x) dx
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MG＝25×1．25－ ×20×1．252＝15．625kN·m 结果如下图示：
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图 4-2
2．试作图 4-3（a）所示曲杆的内力图。
图 4-3 解：列曲杆的内力方程时，一般取极坐标比较方便，因此取极坐标如图 4-3（b）所示， 曲杆任一 θ 截面处的内力有轴力、剪力和弯矩。内力数值从曲杆的曲率中心画出的射线量 取。 内力方程：
6．简支梁的荷载情况及尺寸如图 4-7 所示，试求梁的下边缘的总伸长。
图 4-7 解：距离 A 端为 x 的截面的弯矩为
又矩形截面的弯曲截面系数为
（0为
根据胡克定律，得任意 x 截面下边缘的纵向线应变为
由线应变的定义
得梁的下边缘的总伸长为
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7．图 4-8 所示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用，其横截面 尺寸为 b、h，长度为 l。试证：
（1）在离自由端为 x 处的横截面上切向内力元素 τdA 的合力等于该截面上的剪力， 而法向内力元素 σdA 的合力偶矩等于该截面上的弯矩。
CD 段：剪力图为一直线，弯矩图为一斜直线，在 D 面有一突然变化，变化值为
M＝80kN·m；
DE 段的弯矩图为下凸的抛物线，F 面剪力为零，弯矩 M 有极值，为
MF＝75×3．5－120×2．5－80＋ ×30×1．52＝－83．75kN·m EB 段的弯矩图为上凸的抛物线；G 面上剪力为零，弯矩 M 有极值，为
4．欲使图 4-5 所示外伸梁的跨度中点处的正弯矩值等于支点处的负弯矩值，则支座 到端点的距离 a 与梁长 l 之比 a/l 等于多少?
刘鸿文版材料力学课件4-5章.(1)
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
M (kN.m)
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
建立 FS－x 和 M－x
FBY
坐标系
＝1.11 kN
4．应用截面法确定控
x 制面上的剪力和弯矩
值，并将其标在
FS－ x和 M－x 坐标
系中。
O (-)
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
例题4-3
图示简支梁C点受集中力作用。
B
试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
FBY
MA＝0， MB＝0
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
2．写出剪力和弯矩方程
x AC FS x1＝Fb / l 0 x1 a
ql
ql 2 2
M y 0 M y qy y / 2 qly 0
M y qly qy2 / 2 0 y l
目录
平面刚架的内力
B
y
x
ql 2 2
ql
ql 2 2
M(x)
B FN(x)
x ql 2 2
FS(x)
横杆CB：C点向左为x
Fx 0
FN x 0 0 x l
Fy 0 FS x ql / 2 0
1/2×9qa/4×9a/4 =81qa2/32
B点的弯矩为
-1/2×7qa/4×7a/4 +81qa2/32=qa2
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3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁 一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-1-4 所示。
图 4-1-4
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⑤利用载荷、剪力与弯矩的关系校核所绘制的弯矩图和剪力图。任意两截面上的剪力之
差等于相应两截面间载荷图的面积，任意两截面上的弯矩之差等于相应两截面间剪力图的面
积。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图在任一截
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（2）外伸梁
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一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-1-5 所示。
图 4-1-5 （3）悬臂梁 一端固定支座一端自由，如图 4-1-6 所示。
图 4-1-6
二、剪力和弯矩 1．剪力 剪力是指抵抗剪切作用的内力，是与横截面相切的分布内力系的合力。 符号规定：左侧相对于右侧有向上错动的趋势，或有顺时针转动的趋势，则剪力为正； 反之，剪力为负。左侧梁段向上的外力引起剪力为正，右侧梁段向下的外力引起的剪力为正； 反之为负。 对于平面曲杆（轴线为平面曲线，且荷载作用于纵向对称面内），规定：以剪力对所考 虑一段曲杆内任一点取矩，若力矩为顺时针，则剪力考研考证电子书、题库视频学习平台
第 4 章 弯曲内力
4.1 复习笔记
弯曲是杆件的基本变形之一，是由垂直于杆件轴线的外力引起的，表现为原为直线的轴 线变形成为曲线。其中，对称弯曲是当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时， 梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线的弯曲形式。
图 4-1-4
2 / 94
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⑤利用载荷、剪力与弯矩的关系校核所绘制的弯矩图和剪力图。任意两截面上的剪力之
差等于相应两截面间载荷图的面积，任意两截面上的弯矩之差等于相应两截面间剪力图的面
积。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图在任一截
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（2）外伸梁
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一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-1-5 所示。
图 4-1-5 （3）悬臂梁 一端固定支座一端自由，如图 4-1-6 所示。
图 4-1-6
二、剪力和弯矩 1．剪力 剪力是指抵抗剪切作用的内力，是与横截面相切的分布内力系的合力。 符号规定：左侧相对于右侧有向上错动的趋势，或有顺时针转动的趋势，则剪力为正； 反之，剪力为负。左侧梁段向上的外力引起剪力为正，右侧梁段向下的外力引起的剪力为正； 反之为负。 对于平面曲杆（轴线为平面曲线，且荷载作用于纵向对称面内），规定：以剪力对所考 虑一段曲杆内任一点取矩，若力矩为顺时针，则剪力考研考证电子书、题库视频学习平台
第 4 章 弯曲内力
4.1 复习笔记
弯曲是杆件的基本变形之一，是由垂直于杆件轴线的外力引起的，表现为原为直线的轴 线变形成为曲线。其中，对称弯曲是当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时， 梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线的弯曲形式。
材料力学课件刘鸿文版第4部分
0 －极限切应力，由单向拉伸实验测得
0 s /2
目录
7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论（第三强度理论）
屈服条件 强度条件
1
s
ns
低碳钢拉伸
低碳钢扭转
目录
7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论（第三强度理论） 实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生
关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论
目录
7-11 四种常用强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,
都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破 坏拉应力数值。
1 0 1 －构件危险点的最大拉应力 0－极限拉应力，由单拉实验测得 0 b
10-1
压弯组合变形
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例
拉弯组合变形
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例
弯扭组合变形
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的叠加
n
[ ]
实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆
性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论
更接近实际情况。
目录
7-11 四种常用强度理论
3. 最大切应力理论（第三强度理论）
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都 是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。
max 0
max －构件危险点的最大切应力 max (1 3) / 2
0 s /2
目录
7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论（第三强度理论）
屈服条件 强度条件
1
s
ns
低碳钢拉伸
低碳钢扭转
目录
7-11 四种常用强度理论
最大切应力理论（第三强度理论） 实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到 较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生
关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论
目录
7-11 四种常用强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,
都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破 坏拉应力数值。
1 0 1 －构件危险点的最大拉应力 0－极限拉应力，由单拉实验测得 0 b
10-1
压弯组合变形
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例
拉弯组合变形
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
组合变形工程实例
弯扭组合变形
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的叠加
n
[ ]
实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆
性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论
更接近实际情况。
目录
7-11 四种常用强度理论
3. 最大切应力理论（第三强度理论）
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都 是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。
max 0
max －构件危险点的最大切应力 max (1 3) / 2
材料力学-刘鸿文-第四版-第四章
(x) (x)
F Fx
FS
F
| FS |max F
| M |max Fl
Fl
M
18
材料力学 第四章 弯曲内力
例4-4-2 试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
解：1.求支反力，由 F x0, m A0
得
FA
Fl b,FB
Fa l
2.列剪力、弯矩方程
在AC段内， M FS1 1((x x)) F F A A xF lF ,lb 0x b ,x 0 a xa 在BC段内， F S2(x)F BF l ,a axl
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩 图
剪力、弯矩方程：
FS M
FS (x) M (x)
剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴 沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大 小。
17
材料力学 第四章 弯曲内力
例4-4-1 作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程：
Fx A
B
l
MFS
一般斜直线
或
最大弯矩所在截 面的可能位置
在FS=0的截面
在C处有尖角 在C处有突变
m
或
在剪力突变的 截面
在紧靠C的某一 侧截面
25
材料力学 第四章 弯曲内力
例4-5-2 作图示梁的FS—M图。
1kN.m
A
CD B
FAY
1.5m
1.5m
2kN
1.5m
FBY
Fs（ kN） 0.89
1.11
（+）
（-）
第四章弯曲内力一段梁上的外力情况剪力图的特征剪力图的特征q0向下的均布荷载无荷载集中力fc集中力偶mc在c处有突变在c处无变化cc向右下倾斜的直线水平直线弯矩图的特征最大弯矩所在截面的可能位置上凸的二次抛物线在fs0的截面一般斜直线或在c处有尖角或在剪力突变的截面在c处有突变m在紧靠c的某一侧截面材料力学例452作图示梁的fsm图
刘鸿文-材料力学(第五版)第四章 弯曲内力
C A b a c D B
FRA
FRB
F2=F
解： （1）求支座反力
FRA FRB F 60kN
24
(Internal forces in beams)
（2）计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC 看左侧
FSC F1 60kN M C F 1 b 6 .0kN m FSD FRA F 1 60 60 0
B
FRB l F1a F2b 0
M
B
0
E
c b l
F
d
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l FRB
F1a F2b l
18
(Internal forces in beams)
13
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
Chapter 4 Internal forces in beams
(Internal forces in beams)
第四章 弯曲内力 (Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程实例 (Basic concepts and example problems)
§4-2 梁的剪力和弯矩(Shear- force and bending- moment in beams) §4-3剪力方程和弯矩方程· 剪力图和弯矩图 (Shear-force& bending-moment equations ; shear-force & bending- moment diagrams)
FRA
FRB
F2=F
解： （1）求支座反力
FRA FRB F 60kN
24
(Internal forces in beams)
（2）计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC 看左侧
FSC F1 60kN M C F 1 b 6 .0kN m FSD FRA F 1 60 60 0
B
FRB l F1a F2b 0
M
B
0
E
c b l
F
d
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l FRB
F1a F2b l
18
(Internal forces in beams)
13
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
Chapter 4 Internal forces in beams
(Internal forces in beams)
第四章 弯曲内力 (Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程实例 (Basic concepts and example problems)
§4-2 梁的剪力和弯矩(Shear- force and bending- moment in beams) §4-3剪力方程和弯矩方程· 剪力图和弯矩图 (Shear-force& bending-moment equations ; shear-force & bending- moment diagrams)
材料力学-刘鸿文-第4版(二)
m M (x2 ) l x2,
RA + RB = 0.
0 x1 a. 0 x2 b.
结果正确.
Q( x1 )
RA
m l
,
m M (x1) l x1,
0 x1 a.
(3) 危险截面在 Q 及 M 绝对值最大处. (4)标出 Qmax 及 Mmax 的大小及位置.
截面
C
处Q max
m, l
横截面上只有 正(应 力y.)dq依-平d面q 假y设. , 有
dq
(b)
19
E E y .
2020/9/26
3) 物理关系 constitutive relation
依单向受力假设, 有
(c)
以(c)代入(a),得
x0
E
A
ydA
E
yc A
0,
yc 0,
即中性轴m y
z
0过形心E . A
第一段:
Pb Q(x1 ) RA l ,
Pb RA l ,
mA 0
Pa RB l .
第二段：
M (x1 )
Pb l
x1 ,
0 x1 a.
Pa Q(x2 ) RA l ,
PaLeabharlann M (x2 ) l x2,
0 x2 b.
(3)危险截面在 Q 及 M 绝对值最大处.
(4)标出 Qmax 及 Mmax 的大小及位置. 截面 A 及 C 处
常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
14
2020/9/26
例 试作图示刚架的内力图。
P2
a
P1
B
C
P2
A
+
材料力学(刘鸿文)第四章-弯曲内力
§4-1 弯曲的概念和实例 §4-2 受弯杆件的简化 §4-3 剪力和弯矩 §4-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
§4-1 弯曲的概念和实例
车间桁吊大梁
工 程 实 例
镗刀杆
工 程 实 例
车削工件
工 程 实 例
火车轮轴
工 程 实 例
工 程 实 例
3、x截面处必须是任意截面； 4、x截面处必须是远离外力的作用点；
5、写出x截面处的内力就是内力方程，
同时确定定义域。
总结1
1、简支梁的两端 悬臂梁的自由端： 剪力的大小 =集中力的大小； 剪力的方向： 左上右下
弯矩大小
l
FS
ql
x
ql 2 / 2
M
x
如果没有外力偶矩时，弯矩恒等于零；
F
有外力偶矩时， 弯矩外力偶矩的大小
M
M
FAy
FS
FS
FBy
FAy 2. 用截面法求内力 FS ME FAy
1. 确定支反力
Fy 0 FAy FBy 2F MA 0
FBy
FBy 3a Fa 2F a
FBy
F 3
FAy
5F 3
FS FAy 2F
F 3
ME
FAy
3a 2
2F
a 2
3Fa 2
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
对称弯曲
构件的几何形状、材料性能、 外力 均对称于杆件的纵向对称面；
对称弯曲一定是平面弯曲； 但平面弯曲不一定是对称弯曲
常见构件的纵向对称面
§4-2 受弯杆的简化
1、梁本身的简化 以轴线代替；
2、载荷的简化
§4-1 弯曲的概念和实例
车间桁吊大梁
工 程 实 例
镗刀杆
工 程 实 例
车削工件
工 程 实 例
火车轮轴
工 程 实 例
工 程 实 例
3、x截面处必须是任意截面； 4、x截面处必须是远离外力的作用点；
5、写出x截面处的内力就是内力方程，
同时确定定义域。
总结1
1、简支梁的两端 悬臂梁的自由端： 剪力的大小 =集中力的大小； 剪力的方向： 左上右下
弯矩大小
l
FS
ql
x
ql 2 / 2
M
x
如果没有外力偶矩时，弯矩恒等于零；
F
有外力偶矩时， 弯矩外力偶矩的大小
M
M
FAy
FS
FS
FBy
FAy 2. 用截面法求内力 FS ME FAy
1. 确定支反力
Fy 0 FAy FBy 2F MA 0
FBy
FBy 3a Fa 2F a
FBy
F 3
FAy
5F 3
FS FAy 2F
F 3
ME
FAy
3a 2
2F
a 2
3Fa 2
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
对称弯曲
构件的几何形状、材料性能、 外力 均对称于杆件的纵向对称面；
对称弯曲一定是平面弯曲； 但平面弯曲不一定是对称弯曲
常见构件的纵向对称面
§4-2 受弯杆的简化
1、梁本身的简化 以轴线代替；
2、载荷的简化
弯曲内力刘鸿文讲解
4-2 受弯杆件的简化
一 . 支座的几种基本形式
在梁的计算简图中用梁的 轴线代表梁，
R 关键是支座的简化。
（1）固定端 （2）固定铰支座
(3) 可动铰支座
Hm
R H
R
工程中常用到的静定梁 (a) 悬臂梁 (b) 简支梁 (c) 外伸梁 (d) 连续梁
中间铰
梁在两支座之间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。 超静定梁——支座反力不能由静力平衡方程完全确定的梁。
RA
b
a
F1
C
E
F2
D
F
RB
B
mF 0, M F RBd 0
c
l
d
R M R 解得 FSF BdFBRB
FSF
FSF 为 负值 ，说明原假定的指向是错的，也就 M F 是说它应该是 负 的，MF 的结果为 正 ，说明
原假定的转向是对的，即该弯矩是 正 的。
B
F
d
求剪力和弯矩的简便方法 横截面上的 剪力 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁段上 外力的代数和 。
m 上的弯矩为正；
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的 下半部受拉压）时，横截面m-m
上的弯矩为为负。
+ Mm
M
m（受拉）
m
_
m（受压）
例题4－1 图中所示薄板扎机的下轧辊的尺寸如图，扎制力约为F ＝104kN。试求轧辊中央截面上的弯矩及截面C上的剪力。
解：分布载荷的集度为
FRA
400 400 F
FRB
绘出弯矩图
A
ql2 2
q B
x
l
l 2
ql2 8
习题 图 a 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 P 作用, 试
弯曲应力刘鸿文
1 M EI z
4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)：
①距中性层y处的应力
s My Iz
②梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：
s s LmaxM Iz1y，ymaxM Iz2y
|s|max (Iz
M /yma)x
M
Wz
Wz Iz / ymax —抗弯截面模量。
5.横截面上正 应力的画法：
三种典型截面对中性轴的惯性矩
1.矩形截面
2.实心圆截面
Iz
bh 3 12
Wz
Iz h/2
bh 2 6
Iz
d 4 64
Wz
Iz d /2
d 4 64
3.截面为外径D、内
径d(a=d/D)的空心圆:
Iz
D4
64
(1a 4)
Wz
Iz D/2
D3
32
(1a 4)
§5-3 横力弯曲时的正应力
smin
M
smin M
6.公式适用范围：
smax
smax
①线弹性范围—正应力小于比例极限sp；
②精确适用于纯弯曲梁；
③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述
公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即
为截面位置的函数。 sM (x)y
Iz
，(1x)M E (x z)I
1 z2
求曲率半径
30
180
y120 M1 Mmax
1E M 1 zI20 650 .8 0312 019 .4m 4
梁的正应力强度条件
σmax
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0 x l 0 x l
ql / 2
2
x
由方程画出剪力图和弯矩图 最大剪力和弯矩分别为：
Fs ,max＝ql ,
M max＝ql 2 / 2
M
4
ql / 8
2
x
例: 作图示简支梁的剪力图和弯矩图。 解：(1) 求反力
FRA Fb , L FRB Fa L
y
0
FAy
FsE 2 F
5F 0 3
F FsE () 3 MO 0
a 5F 3a M E 2F 0 2 3 2
FSE sE O FAy ME
ME
3Fa 2
分析右段得到：
F FBy , 3
5F FAy 3
M
F
y
0
FsE FBy 0
FAy
O
0.335 1.335
(-)
(-)
1.67
x
5．根据微分关系连图线
q
C A B
D
例题 : 试画出梁剪力图和弯 矩图。 解1：1．确定约束力
FAy
4a
FBy
a
qa
M ＝0,
A
M ＝0,
B
9 FAy＝ qa 4 3 FBy＝ qa 4
2．确定控制面 由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为控制面，约束力 FBy 右侧的截面，以及集中力 qa 左侧的截面，也都是控制面。
a
m0
L
b
x2
A
x1
B
FRB
② 列内力方程 剪力方程 Fs ( x) FRA 弯矩方程
FRA
m0 , L
0 x L
m0 FRA x x, 0 x a L M ( x) m0
FRA x m0
L
x m0 ,
a x L
③ 绘图
m0 Fs ( x) L 0 x L
7qa / 4
M
81qa / 32
（ +）
2
qa 2
b
a
dM Fs dx
a
b
O
x 81 7 1 7 qa 2 = qa 2 + - qa a 32 4 2 4
M b M a A Fs
b a
内力小结
一.内力符号
先设正，拉为正， 离开截面扭矩正， 左上右下剪力正， 左顺右逆弯矩正。
(3) 绘图
AC段
Fb Fs ( x) L Fb M ( x) x L
F
0 x a 0 x a
A FRA
a
B
C
L
b
FRB
CB段
Fb Fa Fs ( x) F L L a x l Fb M (x) x F (x a) L a x l
1kN.m
A
0.89 kN= FAY
1.5m
C
D
E
F
2kN
B
FBY
3．建立坐标系 建 立 Fs－x 和 M－x 坐标系
＝1.11 kN
1.5m
1.5m
Fs(kN)
O
0.89
1.11
(+) (-) x
4 ．应用截面法确定控制 面上的剪力和弯矩值，并 将其标在 FS－ x和 M－ x 坐标系中。
M (kN.m)
第四章 弯曲内力
§4.1 弯曲的概念和实例
下承式拱桥
起重机大梁
摇 臂 钻 的 伸 臂
车削工件
火车轮轴
跳板
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
受力特点：作用在杆上的所有外力都垂直于杆轴 (横向力)。 变形特点：变形前为直线的杆轴线，变形后为曲线。
对称弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成外力所在对称面内的平面曲线
Fs
＋
Fb L
Fab L
Fa L
M
＋
(4) 讨论 C点为集中力作 A FRA
a
F
B
C
L
b
用点，剪力图在C点
发生突变，即C点左、
FRB
右两侧截面上的剪
力值不同，两者的 代数差等于该集中 力的值。
Fs
＋
Fb L
Fab L
Fa L
M
＋
例: 画图示梁的内力图。
解：① 求反力
FRA m0 , L FRB m0 L
q
x
F qx
结论：集中力作用点将发
生剪力突变，突变方
向，从左向右与集中 Fs
力方向一致，突变值
等于集中力的数值。 M
d M ( x) dFs ( x) q( x) 2 dx dx
2
在集中力作用点，弯
矩图上出现尖点。
利用微分关系绘制剪力图与弯矩图
根据载荷及约束力的作用位置，确定控 制面。 应用截面法确定控制面上的剪力和弯 矩数值。 建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上 的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。 应用平衡微分方程确定各段控制面之间 的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图 与弯矩图(控制截面法)。
③ 控制点的坐标必须标上。 A
q
x
ql 2
B l
RA
Fs
RB
+
ql 2 8
+
M
ql 2
例:悬臂梁受均布载荷作用,
q
x q x
FS l
试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。 解：任选一截面 x ，写出 剪力和弯矩方程
Fs x ＝qx
M x
Fs x
ql
M x ＝qx 2 / 2
m0 x M ( x) L 0 x a
a
A FRA
m0 L
b
B FRB
m0 L
m0 x m0 M ( x) L a x L
Fs
M ＋
m0 b L
＋
m0 a L
④ 讨论 集中力偶 作用点，弯矩 值发生突变， 突变值等于集 中力偶的值 ( 顺 上逆下)。
m0
a
A FRA
4a
9qa / 4 Fs
（ +） O
3 ＝ qa 4 7 9 - qa = qa + ( -4qa ) 4 4
FBy （ -）
a
qa
dx b b dFs qdx
a a
Fs b Fs a A q
dM Fs , dx
b a
9a / 4
qa
x
dM Fs dx
FBy
F FsE FBy () 3 Mo 0
3a M E FBy Fa 0 2
ME
O FsE FBy
3Fa ME 2
FSE sE
O FAy
ME
ME
O
FsE
FBy
截面上的剪力对梁上任 意一点的矩为顺时针转向时， 剪力为正；反之为负。
+
_
左上右下为正；反之为负
1 2
§4.4
剪力、弯矩方程
A
剪力、弯矩图
q
求：距A端x的截面内力 (1) 求反力
ql RA RB 2 ( 对称)
x
q
B l Mx
Fs x
RA
A RA
RB
(2)求内力
Fs ( x) Fs x
x
ql qx 0 x l 2 ql x2 M ( x) M x x q 0 xl 2 2
P 纵向对称平
面 杆轴
m
RA
挠曲线
RB
§4.2 受弯杆件的简化
一. 支座的几种基本形式
固定铰支座
活动铰支座
固定端
支座的简化
§4.2 受弯杆件的简化
二. 载荷的简化
•集中载荷 •分布载荷 •集中力偶
三.
静定梁的基本形式
FAx FAy FAx FBy
简支梁
外伸梁
FAy
FBy
FAx MA FAy
Fs(x) 称为剪力方程， M(x)称为弯矩方程。
根据剪力方程和弯 矩方程画内力图：
ql Fs (x) qx 2 0 xl
ql x2 M ( x) x q 2 2 0 xl
q A
x
ql 2
B l
RA
Fs
RB
+
ql 2 8
+
M
ql 2
画图要求
① 对齐平行原梁。 ② 剪力图标明正负号； 弯矩图画在受压侧（土 木专业画在受拉侧）。
Fs c
M cx d
d 2 M ( x) dFQ ( x) q( x) 2 dx dx
—— 水平线 —— 斜直线 —— 斜直线
Fs cx d ,
cx 2 M d x e —— 抛物线 2 d 2M 抛物线的凹向由M的二阶导数确定。 q 2 dx
q0
q0
q
C A
D
B
3．建立坐标系 建 立 FS－x 和 M－x 坐标系 4．确定控制面上的 剪力值，并将其标 在FS－x中。 5．确定控制面上的 弯矩值，并将其标在 M－x中。
9 Fs ( x) FAy qx0 0, x0 a 4 1 2 M ( x0 ) FAy x0 qx0 81qa 2 / 32 2
3
例题: 求图示 简支梁E 截面的内力 M