材料力学07弯曲变形_2叠加法
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材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形
250
−qx l⎞ ⎛ 9l 3 − 24lx 2 + 16 x 3 ) ⎜ 0 ≤ x ≤ ⎟ ( 384 EJ 2⎠ ⎝ − ql ⎛l ⎞ y2 = −l 3 + 17l 2 x − 24lx 2 + 8 x 3 ) ⎜ ≤ x ≤ l ⎟ ( 384 EJ ⎝2 ⎠
y1 =
41ql 4 ( x = 0.25l ) 1536 EJ 5ql 4 ⎛l⎞ y⎜ ⎟ = − 768EJ ⎝2⎠
习 题 7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI为常量。
7－1 （a） M( x) = M 0
∴ EJy '' = M 0 1 EJy ' = M 0 x + C EJy = M 0 x 2 + Cx + D 2 边界条件: x = 0 时 y = 0 ； y' = 0
代入上面方程可求得：C=D=0
（c）
l−x q0 l q0 1 3 ⎛l−x⎞ M ( x) = − q( x) ( l − x ) ⎜ ⎟ = − ( l − x) 2 6l ⎝ 8 ⎠ q 3 ∴ EJy '' = 0 ( l − x ) 6l q 4 EJy ' = − 0 ( l − x ) + C 24l q 5 EJy = 0 ( l − x ) + Cx + D 120l y = 0 ； y' = 0 边界条件： x = 0 时 q( x) =
）
（c）解：
q0 x l q x2 EJy ''' = 0 + C 2l q0 x3 '' EJy = + Cx + D 6l q x 4 Cx 2 EJy ' = 0 + + Dx + A 24l 2 q0 x5 Cx 3 Dx 2 ' EJy = + + + Ax + B 120l 6 2 ⎧y=0 ⎧y=0 边界条件： x = 0 ⎨ '' x = l ⎨ '' ⎩y = 0 ⎩y = 0 ql D=0 ∴C = − 0 6 7q l 3 A= 0 B=0 360 EJy '''' =
叠加法求梁弯曲变形
( )F1F2 ( )F1 ( )F2
二、叠加法应用 结合查表4.2，求某特定截面的挠度和转角。
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,均布 载荷q,求wC及θ A、θB。
F q
A
B C
2
2
wC
wC q
wC F
5ql 4 384EI
Fl 3 48EI
A
B
A
q
A
F
ql 3 24EI
θ
′
B
θ
″
B
w′A w″A
θ
″
B
12 2
Fl 2 16EI
例 试用叠加法求图示的简支梁跨度中点的挠度wC 和
两端截面的转角θ A、θB ，梁的抗弯刚度为EI 。
5(q 2)l 4
5ql 4
wC1 384EI
768EI
A1
B1
(q 2)l3 24EI
ql 3 48EI
wC 2 0
A2
B2
(q
2)(l 2)3 24EI
叠加法求梁的变形 ---基本原理及应用
一、叠加法 1.力的独立作用原理
线弹性结构发生小变形时，力对结构的作用不因 其它力的存在而改变。
2.叠加原理 线弹性梁发生小变形时，挠度和转角与载荷是线 性关系，所以几种载荷共同作用下的挠度和转角， 等于每个载荷单独作用下挠度和转角的叠加。
(w)F1F2 (w)F1 (w)F2
1）在qa单独作用时，
B
qa(qa) 2 16EI
qa 3 4EI
wA
B
a
qa 4 4EI
2）在均布载荷q单独作用时 逐段刚化法
左段刚化，BA段为悬臂梁
二、叠加法应用 结合查表4.2，求某特定截面的挠度和转角。
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,均布 载荷q,求wC及θ A、θB。
F q
A
B C
2
2
wC
wC q
wC F
5ql 4 384EI
Fl 3 48EI
A
B
A
q
A
F
ql 3 24EI
θ
′
B
θ
″
B
w′A w″A
θ
″
B
12 2
Fl 2 16EI
例 试用叠加法求图示的简支梁跨度中点的挠度wC 和
两端截面的转角θ A、θB ，梁的抗弯刚度为EI 。
5(q 2)l 4
5ql 4
wC1 384EI
768EI
A1
B1
(q 2)l3 24EI
ql 3 48EI
wC 2 0
A2
B2
(q
2)(l 2)3 24EI
叠加法求梁的变形 ---基本原理及应用
一、叠加法 1.力的独立作用原理
线弹性结构发生小变形时，力对结构的作用不因 其它力的存在而改变。
2.叠加原理 线弹性梁发生小变形时，挠度和转角与载荷是线 性关系，所以几种载荷共同作用下的挠度和转角， 等于每个载荷单独作用下挠度和转角的叠加。
(w)F1F2 (w)F1 (w)F2
1）在qa单独作用时，
B
qa(qa) 2 16EI
qa 3 4EI
wA
B
a
qa 4 4EI
2）在均布载荷q单独作用时 逐段刚化法
左段刚化，BA段为悬臂梁
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
3．确定积分常数
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
第七章 弯曲变形
w
B2
wC 2
(ql)l 3 48 EI
第六节 梁变形的叠加解法
ql 3 ql3 ql 3 11ql3 B B1 B 2 B3 24 EI 3EI 16 EI 48 EI
5ql 4 3ql 4 (ql)l 3 11ql 4 wC wC1 wC 2 wC 3 384 EI 48 EI 48 EI 384 EI
dy ＝ dx
第一节 弯曲变形的基本概念
约束对位移的影响
没有约束无法确定位移
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
第二节 挠曲线近似微分方程
力学公式
1 M ( x) ( x) EI z
数学公式
以上两式消去
a Fa 3F 拐点 (-)
a
(+)
M 图
极值，在挠度最大处，截
面的转角不一定为零，在 弯矩最大处，挠度不一定
Fa
最大。
下凸
上凸
直线
第四节 梁的刚度校核
刚度条件：
y max [ y ],
max
[ ]
[y]——许用挠度，[]——许用转角
工程中， [y]常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如： l l ~ 对于桥式起重机梁： [ y] 500 750 对于一般用途的轴：
y f (x)
y (x )
y
水平方向位移：高阶微 量，忽略不计。
第一节 弯曲变形的基本概念
角位移：横截面相对于原
来位置转过的角度，以表
示。亦可以用该截面处的
y
材料力学-第7章 弯曲变形
引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
材料力学07弯曲变形_2叠加法
w Fl3 max 48EIz
根据梁的刚度条件
w Fl3 ≤w l
max 48EIz
500
得梁截面对中性轴的惯性矩
Iz
≥ 500Fl2 48E
2.92 105
m4
查型钢表，No. 22a 工字钢的 Wz = 3.09 104 m3、Iz = 3.40105 m4 ， 同时满足梁的强度和刚度要求，故可选取No. 22a 工字钢
一、梁的刚度条件
w max ≤w
式中，[w] 为梁的许用挠度
二、提高梁的弯曲刚度的措施
1. 合理选材 选用弹性模量 E 较高的材料 结论：用高强度钢取代普通钢对于提高弯曲刚度没有意义
2. 采用合理的截面形状 选用具有较高 Iz/A 比值的截面形状 结论：工字形截面较为合理
3. 减小梁的跨度
[例5] 图示简支梁由 No. 18 工字钢制成，长度 l = 3 m ，受 q = 24 kN/m 的均布载荷作用。材料的弹性模量 E = 210 GPa ，许用应
第四节 计算弯曲变形的叠加法
叠加法的要点—— 1）叠加法适用前提：线弹性、小变形 2）记住常用结论 3）必须画出叠加变形图 4）掌握叠加法的常用技巧
[例1] 图示悬臂梁，同时承受集中载荷 F1 和 F2 的作用。设梁的 抗弯刚度为 EI，试用叠加法计算自由端 C 的挠度 wC。
F1
A
C
B
a
a
F2
[例2] 阶梯悬臂梁如图，试求自由端端 C 的挠度 wC。已知 BC 段梁的抗弯刚度为为 EI、AB 段梁的抗弯刚度为为 2EI。
max
400
故梁的刚度满足要求
[例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F =
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
第七章弯曲变形1
Fab ( L a ) B 2 ( L) 6 LEI
讨论：1、此梁的最大转角。
Fab ( L b) A ; 6 LEI
当 a ＞b 时——
Fb l
Fab ( L a) B 6 LEI
Fab ( L a) 6 LEI
max B
a
x1
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
Fb l
a
x1
F C
b
Fa l ymax y1 0 x1
L2 b 2 a(a 2b) 3 3
A
B
x2
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：
右侧段（a≤x2≤L）：
Fa l
A
B
x2
d) 确定挠曲线和转角方程
Fbx1 2 2 2 L b x1 6 LEI Fb 2 1 y1 ( L2 b 2 ) 3 x1 6 LEI y1
Fb x2 F ( x 2 a ) L Fb 2 F ( x2 a ) 2 EIy2 x2 C2 2L 2 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6 EIy2
Fb l
a
x1
F
C
b
Fa l
b)写出微分方程并积分
A
右侧段（a≤x2≤L）：
B
左侧段（0≤x1≤a）：
x2
Fb Fb EIy2 x2 F ( x 2 a ) EIy1 x1 L L Fb 2 F ( x2 a ) 2 Fb 2 EIy2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6L 6 c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数
讨论：1、此梁的最大转角。
Fab ( L b) A ; 6 LEI
当 a ＞b 时——
Fb l
Fab ( L a) B 6 LEI
Fab ( L a) 6 LEI
max B
a
x1
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
Fb l
a
x1
F C
b
Fa l ymax y1 0 x1
L2 b 2 a(a 2b) 3 3
A
B
x2
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：
右侧段（a≤x2≤L）：
Fa l
A
B
x2
d) 确定挠曲线和转角方程
Fbx1 2 2 2 L b x1 6 LEI Fb 2 1 y1 ( L2 b 2 ) 3 x1 6 LEI y1
Fb x2 F ( x 2 a ) L Fb 2 F ( x2 a ) 2 EIy2 x2 C2 2L 2 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6 EIy2
Fb l
a
x1
F
C
b
Fa l
b)写出微分方程并积分
A
右侧段（a≤x2≤L）：
B
左侧段（0≤x1≤a）：
x2
Fb Fb EIy2 x2 F ( x 2 a ) EIy1 x1 L L Fb 2 F ( x2 a ) 2 Fb 2 EIy2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6L 6 c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数
材料力学考试知识点
材料力学考试知识点材料力学是一门研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科。
对于工科学生来说，这是一门非常重要的基础课程。
以下是材料力学考试中常见的知识点。
一、拉伸与压缩1、内力与轴力图在拉伸或压缩杆件时，杆件内部产生的相互作用力称为内力。
通过截面法可以求得内力，将杆件沿某一截面假想地切开，取其中一部分为研究对象，根据平衡条件求出内力。
用轴力图可以直观地表示轴力沿杆件轴线的变化情况。
2、应力正应力是垂直于截面的应力，计算公式为σ ＝ N/A ，其中 N 为轴力，A 为横截面面积。
切应力是平行于截面的应力。
3、胡克定律在弹性范围内，杆件的变形与所受外力成正比，与杆件的长度成正比，与杆件的横截面面积成反比，与材料的弹性模量成反比。
表达式为Δl ＝ FNl/EA ，其中Δl 为伸长量， FN 为轴力，l 为杆件长度，E 为弹性模量，A 为横截面面积。
4、材料的拉伸与压缩力学性能通过拉伸试验可以得到材料的力学性能，如屈服极限、强度极限、延伸率和断面收缩率等。
二、剪切与挤压1、剪切的实用计算假设剪切面上的切应力均匀分布，根据平衡条件计算剪切面上的剪力和切应力。
2、挤压的实用计算考虑挤压面上的挤压应力，通常假定挤压应力在挤压面上均匀分布。
三、扭转1、扭矩与扭矩图扭矩是杆件受扭时横截面上的内力偶矩。
扭矩图用于表示扭矩沿杆件轴线的变化情况。
2、圆轴扭转时的应力与变形横截面上的切应力沿半径呈线性分布，最大切应力在圆轴表面。
扭转角的计算公式为φ ＝ Tl/GIp ，其中 T 为扭矩，l 为杆件长度，G 为剪切模量，Ip 为极惯性矩。
四、弯曲内力1、剪力和弯矩剪力是横截面切向分布内力的合力，弯矩是横截面法向分布内力的合力偶矩。
通过截面法可以求出剪力和弯矩。
2、剪力图和弯矩图用图形表示剪力和弯矩沿杆件轴线的变化规律，有助于分析杆件的受力情况。
五、弯曲应力1、纯弯曲时的正应力推导得出纯弯曲时横截面上正应力的计算公式σ ＝ My/Iz ，其中 M 为弯矩，y 为所求应力点到中性轴的距离，Iz 为惯性矩。
材料力学公式汇总
材料力学公式汇总一、轴向拉压。
1. 轴力计算。
- 截面法：F_N=∑ F_i（F_N为轴力，F_i为截面一侧外力的代数和，拉力为正，压力为负）2. 正应力计算。
- σ=(F_N)/(A)（σ为正应力，A为横截面面积）3. 胡克定律。
- Δ L=(F_NL)/(EA)（Δ L为轴向变形量，L为杆件原长，E为弹性模量）4. 泊松比。
- ν =-(varepsilon')/(varepsilon)（ν为泊松比，varepsilon为轴向线应变，varepsilon'为横向线应变）二、扭转。
1. 扭矩计算。
- 截面法：T=∑ M_i（T为扭矩，M_i为截面一侧外力偶矩的代数和，右手螺旋法则确定正负，拇指指向截面外法线方向时，扭矩为正）2. 切应力计算（圆轴扭转）- τ=(Tρ)/(I_p)（τ为切应力，ρ为所求点到圆心的距离，I_p为极惯性矩）- 对于圆轴最大切应力：τ_max=(T)/(W_t)（W_t=(I_p)/(R)，R为圆轴半径）- 对于实心圆轴：I_p=(π D^4)/(32)，W_t=(π D^3)/(16)（D为圆轴直径）- 对于空心圆轴：I_p=(π)/(32)(D^4 - d^4)，W_t=(π)/(16D)(D^4 - d^4)（d为空心圆轴内径）3. 扭转角计算（圆轴扭转）- φ=(TL)/(GI_p)（φ为扭转角，L为轴长，G为切变模量）三、弯曲内力。
1. 剪力和弯矩计算。
- 截面法：F_Q=∑ F_i（F_Q为剪力，截面左侧向上的外力或右侧向下的外力为正）- M=∑ M_i（M为弯矩，使梁下侧受拉的弯矩为正）2. 剪力图和弯矩图绘制。
- 利用载荷、剪力、弯矩之间的微分关系：(dF_Q)/(dx)=q(x)，(dM)/(dx)=F_Q，frac{d^2M}{dx^2} = q(x)（q(x)为分布载荷集度）四、弯曲应力。
1. 正应力计算（梁的纯弯曲）- σ=(My)/(I_z)（σ为正应力，M为弯矩，y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对中性轴的惯性矩）- 最大正应力：σ_max=(M)/(W_z)（W_z=(I_z)/(y_max)）- 对于矩形截面：I_z=frac{bh^3}{12}，W_z=frac{bh^2}{6}（b为截面宽度，h 为截面高度）- 对于圆形截面：I_z=(π D^4)/(64)，W_z=(π D^3)/(32)2. 切应力计算（矩形截面梁）- τ=frac{F_QS_z^*}{bI_z}（S_z^*为所求点以上（或以下）部分截面对中性轴的静矩，b为截面宽度）- 最大切应力（矩形截面）：τ_max=(3F_Q)/(2bh)（发生在中性轴上）五、弯曲变形。
材料力学 第七章 弯曲变形
，
FA
3FP 4
(↑)
3FP
FP
FC
FP 4
(↑)
4
4
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材料力学
（2）分段列梁的弯矩方程
AB段：
M1(x)
3 4
FP x
0x l 4
3
l
BC段：
M 2 ( x)
4
FP x
-
FP (x
-
) 4
l xl 4
（3）积分法求梁的挠曲线
挠曲线近似微分方程
EI
d 2w1 dx2
=
-
M1(x)
-
wC- wC
P
A （b）
图（b）： wA 0 A 0
或写成w C
左
wC右
光滑条件
C- C
或写成 C 左 C 右
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材料力学
讨论： ①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可求解各种载荷作用下等截面或变截面梁上任意位置处的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、光滑连续条件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
（2）
EIzw=EIz = -
q(x)dx3
1 2
C1x2
C2
x
C3
（3）
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材料力学
例题7-1如图所示，受集中荷载的简支梁AC。已知EI、l、FP。试写出梁的挠 度方程和转角方程，并求截面A和C处的转角及B截面处的挠度。
明德行远 交通天下
y
FP
A
B
θA wB
l 4
EI
3l 4
C
θC
第07章 弯曲变形
的相互作用力，故应作为分段点；
材料力学 中南大学土木建筑学院 8
(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积 分 两次 对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
( x)
d dx 1 EI ( M ( x)dx c)
再积分一次，得挠曲线方程：
( x)
( M ( x)dx) cx D EI 1
l
F x
x
写出微分方程并积分
EIv M ( x ) F ( l x )
y
应用位移边界条件求积分常数
EIv ( 0 ) 1 6 Fl C 2 0
3
EIv
1 2
F (l x ) C1
2
E I ( 0 ) E Iv ( 0 )
1 2
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边界条件、连续条件应用举例 弯矩图三段， 共6个积分常数 需6个边界条件 和连续条件
B v B 0 ：
v B v B , B B
q=10kN/m
F＝20kN B
D E
A
a
a＝2m 20kN•m
a
A
(-)
B
D (+) 10kN•m
C：vC vC
C C
D： v D 0
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例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件：
材料力学
A 0 A 0
连续条件：
B左 B右
B左
B右
14
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例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
材料力学教程7弯曲变形
积分一次：
EIZ x EIZ f x M x dx C1
再次积分：
EIZ yx M x dx dx C1x C2
积分常数：需要利用边界条件和连续光滑条件来确定。
边界条件和连续光滑条件：梁上某些横截面处 位移为已知的条件。
第三节 用积分法求弯曲变形
例题1：求该悬臂梁的最大挠度和转角
y
d 2wy 0,M 0
dx 2
d 2 wy M dx 2 EI
d 2wy 0,M 0
dx 2
y
d 2 wy M dx 2 EI
d2y d2x
f (x)
M (x) EIZ
挠曲线近似微分方程
M x：梁的弯曲方程
d 2 y f (x) M (x) 挠曲线近似微分方程
d2x
EIZ
* 荷载叠加：将作用在梁上的荷载分解成单个
A 0 0
D1
D2
0 Pl
2
C1 C2 16
1
1 EIZ
( Pl2 16
Px2 4
)
2
1 EIZ
[
P 2
(x
l )2 2
1 4
Px2
Pl 2 16
]
1 Pl2x Px3
y1 EIZ ( 16
) 12
y2
1 EIZ
[
P 6
(x
l )3 2
1 12
Px3
Pl 2 x ] 16
x 0，x l，max
、ymax
Pl3 3EIZ
例题2：求该简支梁的最大挠度和转角
A
x
Amax
q
解：
建立坐标、 写弯矩方程
B
L
ym a x
材料力学第7章 梁的变形
23
图7.15
图7.16
24
21
图7.14
22
第六节 用力法解简单超静定梁 前面几节分析的梁，如简支梁、悬臂梁、外伸 梁等，都是静定梁。在工程实际中，有时为了提高 强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使静 定梁变成了超静定梁或静不定梁(statically indeter minate beam)，如图7.15所示。超静定梁的特点 是，独立未知力的数目大于独立静力平衡方程式的 数目，仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座 反力和内力。超静定梁的基本求解方法与拉压超静 定问题相同，仍然是力法。本节将结合求梁变形的 叠加法，举例介绍简单超静定梁的求解。
1
图7.1
2
①挠度y。梁中任一横截面的形心C在垂直于 轴线方向的位移称为该截面处的挠度(deflection)， 用y表示。显然，梁中不同横截面处的挠度一般是 不同的，可表示为
3
②转角θ。梁中任一横截面绕其中性轴转过的 角度，称为该截面的转角 (slope)。转角沿梁长度 方向的变化规律可用转角方上任一点的曲率 为
由式(a)和式(c)可得
7
在选取的坐标系下，根据弯矩M的正负号规定 可以看出：弯矩M的正负号与y″的正负号总是相反 的，如图7.2所示。因此，式(d)中应取负号，即
式(7.2)即为梁的挠曲线近似微分方程，适用 于理想线弹性材料制成的细长梁的小变形问题。
13
第五节 梁的刚度计算 一、梁的刚度计算 梁的刚度计算，通常是校核其变形是否超过许 用挠度［f］和许用转角［θ］，可以表述为 式中,ymax和θmax为梁的最大挠度和最大转角。
14
在机械工程中，一般对梁的挠度和转角都进行 校核；而在土木工程中，通常只校核挠度，并且以 许用挠度与跨长的比值 作为校核的标准，即
图7.15
图7.16
24
21
图7.14
22
第六节 用力法解简单超静定梁 前面几节分析的梁，如简支梁、悬臂梁、外伸 梁等，都是静定梁。在工程实际中，有时为了提高 强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使静 定梁变成了超静定梁或静不定梁(statically indeter minate beam)，如图7.15所示。超静定梁的特点 是，独立未知力的数目大于独立静力平衡方程式的 数目，仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座 反力和内力。超静定梁的基本求解方法与拉压超静 定问题相同，仍然是力法。本节将结合求梁变形的 叠加法，举例介绍简单超静定梁的求解。
1
图7.1
2
①挠度y。梁中任一横截面的形心C在垂直于 轴线方向的位移称为该截面处的挠度(deflection)， 用y表示。显然，梁中不同横截面处的挠度一般是 不同的，可表示为
3
②转角θ。梁中任一横截面绕其中性轴转过的 角度，称为该截面的转角 (slope)。转角沿梁长度 方向的变化规律可用转角方上任一点的曲率 为
由式(a)和式(c)可得
7
在选取的坐标系下，根据弯矩M的正负号规定 可以看出：弯矩M的正负号与y″的正负号总是相反 的，如图7.2所示。因此，式(d)中应取负号，即
式(7.2)即为梁的挠曲线近似微分方程，适用 于理想线弹性材料制成的细长梁的小变形问题。
13
第五节 梁的刚度计算 一、梁的刚度计算 梁的刚度计算，通常是校核其变形是否超过许 用挠度［f］和许用转角［θ］，可以表述为 式中,ymax和θmax为梁的最大挠度和最大转角。
14
在机械工程中，一般对梁的挠度和转角都进行 校核；而在土木工程中，通常只校核挠度，并且以 许用挠度与跨长的比值 作为校核的标准，即
材料力学第7章第二部分
弯曲
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到 轴线上。
载荷的简化： 集中荷载，集中力偶，分布荷载
第7章 7-1 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲ห้องสมุดไป่ตู้
一端是固定铰支约束，另一 端可动铰支约束，为简支梁
简支梁的计算简图
第7章 7-1 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲
一端为固定约束，另一端自 由，即没有约束，为悬臂梁
7-2 剪力图与弯矩图 F s y F s y ( x ) 剪力方程 M z M z ( x ) 弯矩方程
第7章 弯曲
7-2 剪力图与弯矩图 F s y F s y ( x ) 剪力方程
剪力图
M z M z(x)
弯矩方程
弯矩图
步骤：沿坐标为x的横截面将梁截开，取出其中一段，分 别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力 FQ(x)和弯矩M(x)的表达式，即剪力方程FQ(x)和弯矩方程 M(x)。 练习: 确定图中所示梁的剪力 方程和弯矩方程矩图。
Mc 0 M z 2 2.5 2 1.5 2 1 2kN m
第7章 弯曲
7-2 剪力图与弯矩图 1)内力方程：梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变 化的，描述这种变化的数学表达式
Fs y Fs y ( x ) M z M z ( x)
M＝0
FSy x ＝qx FRA＝qx－
qlx qx 2 M x ＝ － 2 2
ql 2
0 x l
0 x l
第7章 3） 确定剪力方程和弯矩方程
弯曲
解：
ql Fs y ( x ) qx 2 (0 x l )
用叠加法求弯曲变形
yC
3 i 1
yCi
5ql4 384EI
ql 4 48EI
ql4 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B
3
Bi
i 1
ql3 24EI
ql3 16EI
ql3 3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
材料力学
材料力学
用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
EI
d2y dx2
EIy''
M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为 M i ( x) ，转角为 i ，挠度为 yi ，则有：
EIy''i Mi ( x)
材料力学
7-4
解 1）首先，将梁上的载荷变成有表可查 的情形
为了利用梁全长承受均布载荷 的已知结果，先将均布载荷延长至梁 的全长，为了不改变原来载荷作用的 效果，在AB 段还需再加上集度相同、 方向相反的均布载荷。
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用
yC
的情形，计算各自C截面的挠度和转角。
等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数 和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
材料力学
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI 均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的 转角B
用叠加法求弯曲变形
a=0.1m
A
A
D
B
C
200mm F1=1kN F2=2kN
B
D
C
F2
=+ =+
A
D
B
F1=1kN
A B
C
C
A
F2=2kN
B
aC
F2
F2 M
DB
C
l=400mm
a=0.1m
解:（1）结构变换,查表求简
A
D
B
200mm F1=1kN
图1
D
C
单载荷变形.
F2=2kN
1B
F1l 2 16EI
C
w1C
wA
qa4 3EI
qa4 4EI
7qa4 12EI
二、刚度条件（Stiffness condition）
1.数学表达式（Mathematical formula）
wmax [w]
max [ ] [w]和 [ ] 是构件的许可挠度和转角.
2. 刚度条件的应用（Application of stiffness condition） （1）校核刚度（ Check the stiffness of the beam） （2）设计截面尺寸（Determine the allowable load on the beam）
求梁跨中点的挠度 wC和支座处横截面的转角A , B 。
Me
q
A
B
C
l
解:将梁上荷载分为两
Me
项简单的荷载,如图所示
A
wC (wC)q (wC)Me
(a)
5ql 4 Mel 2 384EI 16EI
(
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第六节 简单超静定梁
q
A
B
l
求解简单超静定梁的基本步骤 ——
1. 解除多余约束，以相应的多余未知力代之作用，得到原超静 定梁的相当系统；
2. 根据多余约束处的位移条件，建立变形协调方程；
3. 计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调方程得 补充方程；
4. 由补充方程求出多余未知力，即转为静定问题。
F
2EI
EI
A
B
C
Байду номын сангаас
l/2
l/2
[例3] 外伸梁如图，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC 和转角C ，
设梁的抗弯刚度 EI 为常量。
F
A
B
C
l
a
[例4] 如图，在简支梁的一半跨度内作用均布载荷 q ，试用叠加 法计算截面 C 的挠度 wC。设梁的抗弯刚度 EI 为常量。
q
A
C
B
l/2
l/2
第五节 弯曲刚度计算
max
400
故梁的刚度满足要求
[例2] 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已知 F =
35 kN，跨度 l = 4 m ，许用应力 [ ] = 160 MPa ，许用挠度 [w ] =
l / 500 ，弹性模量 E = 200 GPa 。试选择工字钢型号。
解： 1）强度计算
最大弯矩
M max
w Fl3 max 48EIz
根据梁的刚度条件
w Fl3 ≤w l
max 48EIz
500
得梁截面对中性轴的惯性矩
Iz
≥ 500Fl2 48E
2.92 105
m4
查型钢表，No. 22a 工字钢的 Wz = 3.09 104 m3、Iz = 3.40105 m4 ， 同时满足梁的强度和刚度要求，故可选取No. 22a 工字钢
力 [ ] = 150 MPa ，梁的许可挠度 [w ] = l / 400 。试校核梁的强度
和刚度。
解： 1）强度校核 最大弯矩
w
q
A
Bx
M max
ql 2 8
27 103
Nm
l
查型钢表，Wz = 186 cm3， 根据弯曲正应力强度条件
max
M max Wz
27 185
103 106
一、梁的刚度条件
w max ≤w
式中，[w] 为梁的许用挠度
二、提高梁的弯曲刚度的措施
1. 合理选材 选用弹性模量 E 较高的材料 结论：用高强度钢取代普通钢对于提高弯曲刚度没有意义
2. 采用合理的截面形状 选用具有较高 Iz/A 比值的截面形状 结论：工字形截面较为合理
3. 减小梁的跨度
[例5] 图示简支梁由 No. 18 工字钢制成，长度 l = 3 m ，受 q = 24 kN/m 的均布载荷作用。材料的弹性模量 E = 210 GPa ，许用应
Fl 4
3.5104
Nm
F
A
B
l/2
l/2
根据梁的正应力强度条件，得梁的抗弯截面系数
Wz
≥ M max
3.5104 N m 160106 Pa
2.19104 m3
Wz ≥ 2.19 104 m3 2）刚度计算
F
A
wmax
B
最大挠度发生于跨中截面，为
l/2
l/2
146 MPa
< 150 MPa
故梁的强度满足要求
w
2）梁的刚度校核
A
查型钢表，得 Iz = 1660 cm4 梁的最大挠度发生在中间截 面，为
q
wmax l
Bx
w 5ql4 7.26103 m = 7.26 mm max 384EI
由于
w 7.26 mm < w l 7.5mm
第四节 计算弯曲变形的叠加法
叠加法的要点—— 1）叠加法适用前提：线弹性、小变形 2）记住常用结论 3）必须画出叠加变形图 4）掌握叠加法的常用技巧
[例1] 图示悬臂梁，同时承受集中载荷 F1 和 F2 的作用。设梁的 抗弯刚度为 EI，试用叠加法计算自由端 C 的挠度 wC。
F1
A
C
B
a
a
F2
[例2] 阶梯悬臂梁如图，试求自由端端 C 的挠度 wC。已知 BC 段梁的抗弯刚度为为 EI、AB 段梁的抗弯刚度为为 2EI。