第六章第四节用叠加法求弯曲变形
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叠加法求梁弯曲变形
( )F1F2 ( )F1 ( )F2
二、叠加法应用 结合查表4.2，求某特定截面的挠度和转角。
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,均布 载荷q,求wC及θ A、θB。
F q
A
B C
2
2
wC
wC q
wC F
5ql 4 384EI
Fl 3 48EI
A
B
A
q
A
F
ql 3 24EI
θ
′
B
θ
″
B
w′A w″A
θ
″
B
12 2
Fl 2 16EI
例 试用叠加法求图示的简支梁跨度中点的挠度wC 和
两端截面的转角θ A、θB ，梁的抗弯刚度为EI 。
5(q 2)l 4
5ql 4
wC1 384EI
768EI
A1
B1
(q 2)l3 24EI
ql 3 48EI
wC 2 0
A2
B2
(q
2)(l 2)3 24EI
叠加法求梁的变形 ---基本原理及应用
一、叠加法 1.力的独立作用原理
线弹性结构发生小变形时，力对结构的作用不因 其它力的存在而改变。
2.叠加原理 线弹性梁发生小变形时，挠度和转角与载荷是线 性关系，所以几种载荷共同作用下的挠度和转角， 等于每个载荷单独作用下挠度和转角的叠加。
(w)F1F2 (w)F1 (w)F2
1）在qa单独作用时，
B
qa(qa) 2 16EI
qa 3 4EI
wA
B
a
qa 4 4EI
2）在均布载荷q单独作用时 逐段刚化法
左段刚化，BA段为悬臂梁
二、叠加法应用 结合查表4.2，求某特定截面的挠度和转角。
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,均布 载荷q,求wC及θ A、θB。
F q
A
B C
2
2
wC
wC q
wC F
5ql 4 384EI
Fl 3 48EI
A
B
A
q
A
F
ql 3 24EI
θ
′
B
θ
″
B
w′A w″A
θ
″
B
12 2
Fl 2 16EI
例 试用叠加法求图示的简支梁跨度中点的挠度wC 和
两端截面的转角θ A、θB ，梁的抗弯刚度为EI 。
5(q 2)l 4
5ql 4
wC1 384EI
768EI
A1
B1
(q 2)l3 24EI
ql 3 48EI
wC 2 0
A2
B2
(q
2)(l 2)3 24EI
叠加法求梁的变形 ---基本原理及应用
一、叠加法 1.力的独立作用原理
线弹性结构发生小变形时，力对结构的作用不因 其它力的存在而改变。
2.叠加原理 线弹性梁发生小变形时，挠度和转角与载荷是线 性关系，所以几种载荷共同作用下的挠度和转角， 等于每个载荷单独作用下挠度和转角的叠加。
(w)F1F2 (w)F1 (w)F2
1）在qa单独作用时，
B
qa(qa) 2 16EI
qa 3 4EI
wA
B
a
qa 4 4EI
2）在均布载荷q单独作用时 逐段刚化法
左段刚化，BA段为悬臂梁
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
工程力学第六章 弯曲变形
荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形
状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，
就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式 48EI
作 业
1、2、4（a、e)
§6-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，
弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆 形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁 中点的挠度。
例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。
解：
二、梁的刚度计算
刚度条件：
max [ ] max [ ]
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定
q
B
x
l
由边界条件： x 0时， 0 x l时， 0
ql 3 , D0 得： C 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
B
x
l
A qx (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
l 2
x
P AC 解： 段：M ( x ) x 2 y P EI " x 2 A P 2 EI ' x C x 4 l 2 P 3 EI x Cx D 12
用叠加法求弯曲变形
基本系统
解除多余约束后，所 得到的受力与原静不 定梁相同的静定梁
相当系统
y MA HA Ａ
RA
l a
C
P
Bx RB
B
Ａ
C
解除多余约束 后的静定结构
y MA HA Ａ
RA
l a
C
P
Bx RB9
相当系统求解
在多余约束B处建立 变形协调条件：
wB =0 wB,P wB,RB
MA HA Ａ
RA
Ａ
Pa 2
d 2I
3Ed
l2
M
6EI l2
6EI l2
x
15
§7. 6 梁的刚度条件及合理刚度设计
工程问题中，对受弯杆件除强度要求外， 还往往要求变形不能过大，即还有刚度要求。
吊车梁的变形过大，将使梁上
小车行走困难，出现爬坡现象。
16
齿轮轴即使有足够的 强度，但若弯曲变形过大， 将使轴上的齿轮啮合不良， 引起噪声，造成齿轮与齿 轮间或轴与轴承间的不均 匀磨损。
Me
q
F
A
B
l
解： wB wB (q) wB (F ) wB (M e )
ql 4
Fl 3
Mel2
8EI 3EI 2EI
5
例2 求图a简支梁C点的挠度。
q
q
A
BA
B
C
C
l/2
l/2
l/2
l/2
(a) q
A
C
l/2
l/2
(c)
(b)
解： wC ,(a ) wC ,(b) wC ,(c)
显然，此结论对转角也适用。
3
因此，当梁上同时作用几个载荷时，如果满足
解除多余约束后，所 得到的受力与原静不 定梁相同的静定梁
相当系统
y MA HA Ａ
RA
l a
C
P
Bx RB
B
Ａ
C
解除多余约束 后的静定结构
y MA HA Ａ
RA
l a
C
P
Bx RB9
相当系统求解
在多余约束B处建立 变形协调条件：
wB =0 wB,P wB,RB
MA HA Ａ
RA
Ａ
Pa 2
d 2I
3Ed
l2
M
6EI l2
6EI l2
x
15
§7. 6 梁的刚度条件及合理刚度设计
工程问题中，对受弯杆件除强度要求外， 还往往要求变形不能过大，即还有刚度要求。
吊车梁的变形过大，将使梁上
小车行走困难，出现爬坡现象。
16
齿轮轴即使有足够的 强度，但若弯曲变形过大， 将使轴上的齿轮啮合不良， 引起噪声，造成齿轮与齿 轮间或轴与轴承间的不均 匀磨损。
Me
q
F
A
B
l
解： wB wB (q) wB (F ) wB (M e )
ql 4
Fl 3
Mel2
8EI 3EI 2EI
5
例2 求图a简支梁C点的挠度。
q
q
A
BA
B
C
C
l/2
l/2
l/2
l/2
(a) q
A
C
l/2
l/2
(c)
(b)
解： wC ,(a ) wC ,(b) wC ,(c)
显然，此结论对转角也适用。
3
因此，当梁上同时作用几个载荷时，如果满足
用叠加法求弯曲变形
yC
3 i 1
yCi
5ql4 384EI
ql 4 48EI
ql4 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B
3
Bi
i 1
ql3 24EI
ql3 16EI
ql3 3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
材料力学
材料力学
用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
EI
d2y dx2
EIy''
M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为 M i ( x) ，转角为 i ，挠度为 yi ，则有：
EIy''i Mi ( x)
材料力学
7-4
解 1）首先，将梁上的载荷变成有表可查 的情形
为了利用梁全长承受均布载荷 的已知结果，先将均布载荷延长至梁 的全长，为了不改变原来载荷作用的 效果，在AB 段还需再加上集度相同、 方向相反的均布载荷。
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用
yC
的情形，计算各自C截面的挠度和转角。
等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数 和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
材料力学
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI 均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的 转角B
弯曲变形—提高弯曲刚度的一些措施(材料力学)
跨度或增加支承 三、改变加载方式和支座位置
EIw M ( x)
为了减小梁的位移,可采取下列措施 （1）增大梁的抗弯刚度EI
工程中常采用工字形,箱形截面
（2）调整跨长和改变结构 设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角. 这是提高梁的刚度的一个很又效的措施.
q
第六章 弯曲变形
§6-1 基本概念及工程实例 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 提高弯曲刚度的措施
§6-5 提高弯曲刚度的措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且还与 梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关.所以,要想提高弯曲 刚度,就应从上述各种因素入手.
q
q
A
B
A
B
l l
桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了 缩短跨长而减小梁的最大挠度值.
同时,由于梁的外伸部分的自重作用,将使梁的AB跨产 生向上的挠度,从而使AB跨向下的挠度能够被抵消一部分, 而有所减小.
增加梁的支座也可以减小梁的挠度.
EIw M ( x)
为了减小梁的位移,可采取下列措施 （1）增大梁的抗弯刚度EI
工程中常采用工字形,箱形截面
（2）调整跨长和改变结构 设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角. 这是提高梁的刚度的一个很又效的措施.
q
第六章 弯曲变形
§6-1 基本概念及工程实例 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形 §6-5 提高弯曲刚度的措施
§6-5 提高弯曲刚度的措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且还与 梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关.所以,要想提高弯曲 刚度,就应从上述各种因素入手.
q
q
A
B
A
B
l l
桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了 缩短跨长而减小梁的最大挠度值.
同时,由于梁的外伸部分的自重作用,将使梁的AB跨产 生向上的挠度,从而使AB跨向下的挠度能够被抵消一部分, 而有所减小.
增加梁的支座也可以减小梁的挠度.
材料力学第六章
EI
在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩 M 外还有剪力 FS ，但工程上常用的 梁，当梁的长度大于横截面高度 10 倍时， FS 对梁的位移影响很小，可略去
不计，所以上式仍可应用。但此时， M 和 都是 x 的函数。即
M (x)
(x) EI
从高等数学可知，平面曲线的曲率可写成
d2 y
(x)
1
第六节 简单超静定梁的解法
对梁某方向的位移起限制作用的物体称为约束。在超静定梁中，超过了维持 梁的静力平衡所必需的约束，称为多余约束，相应的约束力（包括约束力偶）， 称为多余约束力。
解超静定梁的方法较多，本书介绍变形比较法，步骤如下。 （1）判断超静定次数。梁上未知约束力的个数与独立的平衡方程数之差， 称为超静定次数。对于给定的梁，解题时首先应判断它是静定的，还是超静定的。 如果是超静定的，要确定超静定的次数。 （2）解除超静定梁的多余约束，并代之以多余约束力，所得系统称为静定 基。在多余约束处寻找变形协调条件。 （3）写出变形协调条件和物理条件，得到补充方程。 （4）将补充方程和平衡方程联立，即可求解。
，
FAy
ql
坐标为 x 的截面上的弯矩为
M (x) qlx 1 ql2 1 qx2 22
列挠曲线近似微分方程并积分，有
EI
d2 y dx2
qlx
1 2
ql 2
1 2
qx2
EI
dy dx
EI
ql
x2 2
1 ql2x 2
q 6
x3
C1
（a）
EIy
ql
x3 6
1 4
ql2 x2
1 qx4 24
C1x
该处的挠度 y 0 ，截面转角 0 ；铰支座处的边界条件，挠度 y 0 。
在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩 M 外还有剪力 FS ，但工程上常用的 梁，当梁的长度大于横截面高度 10 倍时， FS 对梁的位移影响很小，可略去
不计，所以上式仍可应用。但此时， M 和 都是 x 的函数。即
M (x)
(x) EI
从高等数学可知，平面曲线的曲率可写成
d2 y
(x)
1
第六节 简单超静定梁的解法
对梁某方向的位移起限制作用的物体称为约束。在超静定梁中，超过了维持 梁的静力平衡所必需的约束，称为多余约束，相应的约束力（包括约束力偶）， 称为多余约束力。
解超静定梁的方法较多，本书介绍变形比较法，步骤如下。 （1）判断超静定次数。梁上未知约束力的个数与独立的平衡方程数之差， 称为超静定次数。对于给定的梁，解题时首先应判断它是静定的，还是超静定的。 如果是超静定的，要确定超静定的次数。 （2）解除超静定梁的多余约束，并代之以多余约束力，所得系统称为静定 基。在多余约束处寻找变形协调条件。 （3）写出变形协调条件和物理条件，得到补充方程。 （4）将补充方程和平衡方程联立，即可求解。
，
FAy
ql
坐标为 x 的截面上的弯矩为
M (x) qlx 1 ql2 1 qx2 22
列挠曲线近似微分方程并积分，有
EI
d2 y dx2
qlx
1 2
ql 2
1 2
qx2
EI
dy dx
EI
ql
x2 2
1 ql2x 2
q 6
x3
C1
（a）
EIy
ql
x3 6
1 4
ql2 x2
1 qx4 24
C1x
该处的挠度 y 0 ，截面转角 0 ；铰支座处的边界条件，挠度 y 0 。
积分、叠加法求变形
梁将可动绞链支座作看多余约束,解
除多余约束代之以约束反力 RB.得到 原超静定梁的基本静定系.
l
q A B
2、列几何方程——变形协调方程 超静定梁在多余约束处的约束条 件，梁的 变形协调条件
RB
w B 0 wB wBq wBRB 根据变形协调条件得变形几何方程：
变形几何方程为
w Bq wBRB 0
例3 用叠加法确定C和yC ?
w
w
w
w
w
w
ql3 C1 , 6 EI
ql 4 C 1 8EI
w
l 3 q( ) B2 2 , 6EI
c 2
C 2
l 4 q( ) l 2 B2 8EI 2
l B 2 B 2 2
w
l 4 q( ) 4 4 ql 41 ql l 2 C C1 C 2 B2 8EI 8EI 384 EI 2 l 3 q ( ) 3 4 ql 7 ql C C1 C 2 2 6 EI 6EI 48 EI
三、加强肋
盒盖、集装箱；
四、不宜采用高强度钢; 各种钢材Ｅ大致相同。 选用合适的材料，增加弹性模量。但因各种钢材的弹 性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度 钢，效果并不显著；
wBF wCF CF a
§6-6 提高梁刚度的措施
w M ( x) EI z
w
M ( x)
Iz
E
一、改善结构、减少弯矩 １、合理安排支座；
M ( x) w dx C EI
２、合理安排受力；
３、集中力分散；
M ( x) w dxdx Cx D EI
材料力学_-刘鸿文-第四版_第六章_课件__弯曲变形
A
B
x l
y A
θ maxB
max
x
' Plx Px2
EI 2EI Plx 2 Px3
2EI 6EI
l
P
max 及 ωmax 都发生在自由端截面处
max
|xl
Pl 2 EI
Pl 2 2EI
Pl 2 2EI
（
）
max
|xl
Pl 3 3EI
（）
例题： 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁, 在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ωmax 和最大转角 max .
B
A
B
例题：确定梁的边界条件和连续条件
A
B
C
D
边界条件
A 0 D 0, D 0
EI M(x)
A
B
C
D
连续条件
C左 C右 , C左 C右 B左 B右
例题 ： 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 P 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 ωmax 和最大转角 max .
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1 (x)
| (1
''| '2 ) 32
1 M(x)
( x) EI
| ''|
(1
'2
)
3 2
M ( x) EI
| ''|
(1
2
)
3 2
M ( x) EI
在规定的坐标系中，x 轴水平向右
为正，y 轴竖直向上为正。
y
M>0
第六章 弯曲变形
B2
B2
l 2
q( l )4 2
8EI
B2
l 2
w
C C1 C2
ql4 8EI
q( l )4 2
8EI
B
2
l 2
41ql4 384EI
C C1 C2 ql3
6EI
q( l )3 2
6EI
7ql4 48EI
第二类叠加法 逐段刚化法
384EI 48EI 48EI 384EI
例2 抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC ?
q
A L/2
B
L/2
C
q
A L/2 B
L/2
C
q
q
q
q
C1
ql 4 8EI
C1
C1
C1
ql 3 6EI
,
C2
q( l )3
q
B2
B2
C2
B2
2 6 EI
c2
C 2
,
q
C1
ql
C2
C3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
B B1 B2 B3
ql 3
24EI
ql 3
16EI
ql 3
3EI
11ql3 48EI
C C1 C2 C3 5ql 4 (ql)l3 3ql 4 11ql 4
2
(x)
3 2
EI z
挠曲线微分方程 瑞士科学家Jacbi.贝努利；
没有采用曲率的简化式， 非线性的， 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。 适用于弯曲变形的任何情况。
第06章弯曲变形题解
第6章 弯曲变形习题解答6-1 用直接积分法求下列各梁的挠曲线方程和最大挠度。
梁的抗弯刚度EI 为已知。
（a ）解：（1）弯矩方程 0≤ x ≤l+aM (x )=qlx －qx 2/2+q<x-l>2/2-ql 2/2（2）积分 EI θ (x )= qlx 2/2－qx 3/6+q<x-l>3/6-ql 2x /2+CEI ν(x )= qlx 3/6－qx 4/24+q<x-l>4/24-ql 2x 2/4+Cx+D （3）定常数x = 0 θ = 0 → C = 0 x = 0 ν= 0 → D = 0νmax =ν B =)341(84laEI ql +-(↓)（b ）解：（1）支反力 F A = M o / l (↑), F C =－M o / l (↓) （2）弯矩方程 0≤ x ≤ 4l/3M (x )= M o x / l －M o <x-l> / l （3）积分EI θ (x )= M o x 2 / 2l － M o <x-l>2 /2 l +CEI ν(x )= M o x 3 / 6l － M o <x-l>3/6 l +C x+D （4）定常数x = 0 ν= 0 → D = 0x = l ν= 0 → C =－M o l /6νmax =ν B =EIl M o 62(↑)6-2 写出下列各梁的边界条件，并根据弯矩图和支座情况画出挠度曲线的大致形状。
解：x = 0 ν= 0 x = a ν= 0x = l ν= ∆k = M o / lk x = 3a ν= ∆l = Fa /2EA(b) ν(b) (a)x = 0 θ = 0 x = 0 ν= 0 x = 0 ν=0 x = 3a ν= 0x = 0 ν= 0 x = 0 ν= 0 , θ = 0x =2a ν=0 x = 2a ν= 06-3 用叠加法求下列各梁C 截面的挠度和B 截面的转角。
刘鸿文版材料力学课件
EIiy'M 'i(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi(x)M(x)
i1
n
n
所以， E Iy''i E( I yi)''M (x)
i1
i1
7-4
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
n
故
y'' ( yi )''
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y yi i 1
重要结论：
n
§6-1 工程中的弯曲变形问题
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
1.基本概念 y
x
转角
挠度
y
挠曲线
x
挠曲线方程：
y y(x)
挠度y：截面形心 在y方向的位移
y向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
yC1
yC2 yC3
3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结 果求和
yC
3 i1
yCi
5ql4 ql4 ql4 384EI 48EI 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B
3 i1
Bi
ql3 24EI
ql3
16EI
ql3
3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0x1 a
EIdd2yx121 M(x1)Fl bx1
Ed d I1 1x yEI(x1)F 2l x b1 2C1
n
由弯矩的叠加原理知：Mi(x)M(x)
i1
n
n
所以， E Iy''i E( I yi)''M (x)
i1
i1
7-4
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
n
故
y'' ( yi )''
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y yi i 1
重要结论：
n
§6-1 工程中的弯曲变形问题
目录
§6-2 挠曲线的微分方程
1.基本概念 y
x
转角
挠度
y
挠曲线
x
挠曲线方程：
y y(x)
挠度y：截面形心 在y方向的位移
y向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
yC1
yC2 yC3
3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结 果求和
yC
3 i1
yCi
5ql4 ql4 ql4 384EI 48EI 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B
3 i1
Bi
ql3 24EI
ql3
16EI
ql3
3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0x1 a
EIdd2yx121 M(x1)Fl bx1
Ed d I1 1x yEI(x1)F 2l x b1 2C1
材料力学 第6章 弯曲变形
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|
弯曲变形
3）建立相当系统 (以多余约束反力代 替多余约束。) 4）变形协调条件
f B = f BP + f BY = 0
B
f B = 0(VB = 0)
5）物理关系 查表 : Pa 2 f BP = + ( 3L − a ) 6 EI Z 3 YB L f BY = − B 3EI Z
6）补充方程:
Pa 2 YB L3 ( 3L − a ) − =0 6 EI Z 3EI Z
PL2 → D1 = D2 = 0, C1 = C2 = 24
4）求θC和VC： θ
4）求θC和VC： θ
1 3 1 L 3 PL2 BC段：EI zV = − Px + P( x − ) + x 6 3 2 24 PL3 1 L 3 PL2 PL3 V |x = L = − + P( L − ) + ×L= − (↓) 6 3 2 24 12 EI Z
6）刚度校核：
令 = 0(即 = 0处) V' θ L →x= 3
f
max
M 0 2 M 0L − x + =0 2L 6
=
M 0 L2 9 3EI Z
< [ f ] 刚度满足要求。
例二、长度为L的梁AC，其EI为常数，在自由端承 受集中力P（如图），试求自由端C的挠度和转角。 解： 1）外力分析： RA = P(↓), R B = 2 P ( ↑ ) 2）内力分析及挠曲线 微分方程及其积分 AB段：0 ≤ x ≤ L / 2 ) (
M 0L C = 6
5）求θA，θB。
M 0L （ θ A = θ (0 ) = 6 EI Z M 0L θ B = θ (L ) = − （ 3EI Z
材料力学第六章
解 1）将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
wC1
5ql 4 384EI
wC 2
ql 4 48EI
ql 4 wC3 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
wC1
wC2 wC3
3）进行变形比较，列出变形协调
条件
wB 0
4）叠加法
wB (wB )F (wB )FBy 0
MA A
MFAAy A
FAy A
A
MA A FA y
MA A AA
MA A A
F
B
C
2a (a) B
aF C
2a
Ba C
((ba))
B B (b)
F C
C
(c)
FBy F
B
FF C
BB
(c)
FBy
CC
B12 a
Fa 2l 3EI
w1 wB11 wB12
w2
B2a
Fl 2a 16 EI
w w1 w2
用叠加法求跨度中点挠度
解： wc wc1 wc2
由于 wc wc2
=
故
wc
1 2
wc1
1 5q0l 4 5q0l 4 2 384EI 768EI
-
解： wc wc1 wc2
当 d w 0 时，w为极值
dx
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
E I 2
Fb 2l
x22
积分、叠加法求变形
EI (F q ) M
总的近似微分方程：
EI M
分别计算出每一载荷单独引起的变形， 将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形 ——叠加原理。
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷
载(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转 角，分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠 加. 当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数
wBF wCF CF a
§6-6 提高梁刚度的措施
w M ( x) EI z
w
M ( x)
Iz
E
一、改善结构、减少弯矩 １、合理安排支座；
M ( x) w dx C EI
２、合理安排受力；
３、集中力分散；
M ( x) w dxdx Cx D EI
和பைடு நூலகம் 这就是叠加原理. 1、载荷叠加
( F1 , F2 , , Fn ) 1 ( F1 ) 2 ( F2 ) n ( Fn )
w( F1 , F2 , , Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
2、结构形式叠加（逐段刚化法）
q
由该式解得
3 R B ql 8
求出该梁固定端的两个支反力
B
A
w Bq
5、求解其它问题（反力、应力、变形等）
5 R A ql 8
1 2 m A ql 8
w BR
A B
B
RB
方法二:
取支座 A 处阻止梁转动的约束
为多余约束. 代以与其相应的多余反力偶 mA 得基本静定系. 变形相容条件为
第六讲 习题课：叠加法求弯曲变形
习题课 叠加法求弯曲变形
叠加法求弯曲变形
例题5.11.3
用叠加法求图示变截面梁B、C截面的
挠度wB、wC。
分析：求wB
求wC P
P
P Pa
P Pa
wC = wC1+wC 2
wC1
P
wC 2
叠加法求弯曲变形 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
例题5.11.3
用叠加法求图示变截面梁B、C截面的
=
2Pa2 2EI
Pa集中力偶引起的转角：B 2
=
Pa2 EI
wy 2
= Ba
=
(B1
+ B2 )a
=
2Pa3 EI
叠加法求弯曲变形
例题5.11.4
P
图示折杆ABC，已知杆各段的横截面面积
均为A，弯曲刚度均为EI。试求自由端截 2P
面C的水平和铅垂位移。 解：（1）C截面的竖直位移
截面C的竖直位移主要三部分组成：
aC
面C的水平和铅垂位移。
解：（1）C截面的竖直位移
a EI, A
截面C的竖直位移
wy = wy1 + wy 2 + wy3
A
= Pa3 + 2Pa3 + Pa 3EI EI EA
= 7Pa3 + Pa 3EI EA
该项通常很小,可略去
变形引起：
2P集中力引起的水平位移：wx1
=
2Pa3 3EI
(→)
Pa集中力偶引起的水平位移：wx 2
=
Pa3 2EI
(→)
截面C的水平位移
wx = wx1 + wx 2 = 2Pa3 + Pa3 = 7Pa3 (→)
叠加法求弯曲变形
例题5.11.3
用叠加法求图示变截面梁B、C截面的
挠度wB、wC。
分析：求wB
求wC P
P
P Pa
P Pa
wC = wC1+wC 2
wC1
P
wC 2
叠加法求弯曲变形 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
例题5.11.3
用叠加法求图示变截面梁B、C截面的
=
2Pa2 2EI
Pa集中力偶引起的转角：B 2
=
Pa2 EI
wy 2
= Ba
=
(B1
+ B2 )a
=
2Pa3 EI
叠加法求弯曲变形
例题5.11.4
P
图示折杆ABC，已知杆各段的横截面面积
均为A，弯曲刚度均为EI。试求自由端截 2P
面C的水平和铅垂位移。 解：（1）C截面的竖直位移
截面C的竖直位移主要三部分组成：
aC
面C的水平和铅垂位移。
解：（1）C截面的竖直位移
a EI, A
截面C的竖直位移
wy = wy1 + wy 2 + wy3
A
= Pa3 + 2Pa3 + Pa 3EI EI EA
= 7Pa3 + Pa 3EI EA
该项通常很小,可略去
变形引起：
2P集中力引起的水平位移：wx1
=
2Pa3 3EI
(→)
Pa集中力偶引起的水平位移：wx 2
=
Pa3 2EI
(→)
截面C的水平位移
wx = wx1 + wx 2 = 2Pa3 + Pa3 = 7Pa3 (→)
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BM B
w DM B
D
C
qa3 B Bq BM B 3EI qa4 wD wDq wDM B 24EI
由叠加原理得:
第六章 弯曲变形 2q A
M B qa
2
2qa
A
q
M B qa
θB
2
θB
C B D
w2
2qa (2) 求wA
B
w1
悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度w2 由于简支梁上B截面的转动，带动AB段一起作刚体运动，使 A端产生挠度w1 因此，A端的总挠度应为
RC l 3 5ql 4 0 384EI 48EI
C
B
5 RC qL 8
4、计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。
B 0
RB
第六章 弯曲变形
RA
A
l 2
RC
C
q
RB
l 2
例6-8 已知梁的EI，梁的长 度，求各约束反力。 B 解：1)研究对象，AB梁， 受力分析：RA , RB , RC , ql
F1 L2 16 EI
= + +
第六章 弯曲变形 L=400mm A D B a=0.1m C
(2)叠加求复杂载荷下的变形
200mm F1=1kN A D
P1 L2 F2 La B 16 EI 3 EI F =2kN
2
=
图1
C
F1 L a F2a F2a L wC 16 EI 3 EI 3 EI
B
C D
简支梁BC的变形就是MB和
均布荷载q分别引起变形的 叠加。
M B qa
2
B
C D
第六章 弯曲变形
2qa
q
M B qa
B
2
(1)求 B ，wD
C
D
B
θ Bq
D
w
C
Dq
M B qa
B
2
ql3 qa3 Bq 24EI 3EI 5ql4 5qa4 wDq 384EI 24EI M Bl 2qa3 BM B 3EI 3EI M B l 2 qa4 wDM B 16EI 4 EI
第六章 弯曲变形
§6–4 用叠加法求弯曲变形
( Beam deflections by superposition )
一、叠加原理 (Superposition )
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载 (可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿y 轴方向)， 其转角
F
A
=
B
PA
Fa 2 4 EI
qa 3 3 EI
w PC
Fa 3 6 EI
+
q
A B
qA
wqC
5qa 4 24 EI
第六章 弯曲变形
F q
A
C a a
B
PA
Fa 4 EI
qa 3 EI
3
2
w PC
Fa 6 EI
3
qA
wqC
F
A
5qa 24 EI
3 3
Aq
C l
B
Bq
wCq
) m
(c)
A
B
Bm
)
Am
C
l
wCm
第六章 弯曲变形
例6-6 一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示,
试按叠加原理并利用附表，求截面B的转角B以及A端和 BC 中点 D 的挠度 wA 和 wD 。
2q
q
A C
B
D
a
a 2a
第六章 弯曲变形
解：将外伸梁沿 B 截面截成 两段，将AB 段看成 B 端固定 的悬臂梁，BC 段看成简支梁。 A
w( F1 , F2 , , Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
2、结构形式叠加（逐段刚化法）
第六章 弯曲变形
A
例6-4 按叠加原理求A点转角和C点挠度 F q B 解:(1)载荷分解如图
C
a
a
(2)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
2
P1 L2a F2a 3 F2a 2 L wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI
(3)校核刚度
wmax 5.19 106 m w 105 m
max 0.423 104 0.001
该杆满足刚度要求。
求解其它问题（反力、应力、 变形等）
+
A
B
第六章 弯曲变形
§6–5 减小弯曲变形的一些措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关， 而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要 想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式和支座位置
B
a
A
D
B
C
C
F2 M
C
+
F1=1kN
A
B
F2
A
D B
+
C
F2=2kN
第六章 弯曲变形L=400mm源自A D Ba=0.1m C
解:(1)结构变换,查表求简单载 荷变形。
200mm F =1kN 1
F2=2kN
1 B
图1
D
C
F1=1kN 图2
B
C
F2 图3
A
F2
M
D
B
C
F1 L2a w1C 1 B a 16 EI 2B 0 F2a 3 w2C 3 EI ML LaF2 3B 3 EI 3 EI F2 La 2 w3 C 3 B a 3 EI
q
A
C
B
超 二个平衡方程，三个未知数。静 定 平衡方程数 < 未知量个数。 问 题
c 0
RC
去掉多余约束而成为形式上 的静定结构 — 基本静定基。
第六章 弯曲变形
q
A
l 2
q
B
l 2
C
A
C
B
RC
解超静定的步骤 —— (静力、几何、物理条件) 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 q 分析—— c cq cRC 0 A
第六章 弯曲变形
例6-7下图为一空心圆杆，内外径分别为:d=40mm、D=80mm,
杆的E=210GPa,工程规定C点的[w]=0.00001m,B点的[]=0.001
弧度,试校核此杆的刚度。
L=400mm A D B a=0.1m C B A D C
200mm F1=1kN
F2=2kN
F2
=
=
是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时，则叠加就是代数和，这就
是叠加原理。
第六章 弯曲变形
1、载荷叠加(Superposition of loads)
多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作
用于结构而引起的变形的代数和。
( F1 , F2 , , Fn ) 1 ( F1 ) 2 ( F2 ) n ( Fn )
4
=
B
(3)叠加
A PA qA
q
A B
a2 (3 F 4qa ) 12 EI
5qa Fa wC ( ) 24 EI 6 EI
4 3
+
第六章 弯曲变形
例6-5 一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图所示。 试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面 的转角 A ，B 。
wA w1 w2 B a w2
3 2qa4 qa 由梁的简单变形表 w2 B Bq BM B 8 EI 3EI qa4 qa4 7qa4 wA 3EI 4 EI 12EI
第六章 弯曲变形
二 刚度条件（stiffness condition)
1、数学表达式（mathematical formula)
wmax [ w ]
max [ ]
[ w ]和 [ ] 是构件的许可挠度和转角。
2、 刚度条件的应用(application of stiffness condition) (1)校核刚度（ Check the stiffness of the beam） (2)设计截面尺寸（Determine the allowable load on the beam） (3)求许可载荷（Determine the required dimensions of the beam）
RB
=
q0 A B
+
A
B RB
第六章 弯曲变形
y
A
L
C 物理方程——变形与力的关系 EA LBC qL4 RB L3 wBq ; wBRB q0 8EI 3EI x B RB LBC LBC RB EA 补充方程 B RB q0
=
A
qL4 RB L3 RB LBC 8EI 3EI EA qL4 RB LBC L3 8I ( ) A 3EI
EIw M ( x)
第六章 弯曲变形