第六章第四节用叠加法求弯曲变形
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第六章 弯曲变形
§6–4 用叠加法求弯曲变形
( Beam deflections by superposition )
一、叠加原理 (Superposition )
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载 (可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿y 轴方向)， 其转角
第六章 弯曲变形
RA
A
l 2
§6-5 简单超静定梁
q
C
l 2
RB
B
ql2 静 M A 0, RBl 2 0. 定 1 ql 问 R ql M 0 , R , B B A 题 2 2
RA
A
l 2
RC
C
l 2
RB
B
由平衡方程可以解出全部未知数 平衡方程数 = 未知量个数。
4
=
B
(3)叠加
A PA qA
q
A B
a2 (3 F 4qa ) 12 EI
5qa Fa wC ( ) 24 EI 6 EI
4 3
+
第六章 弯曲变形
例6-5 一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图所示。 试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面 的转角 A ，B 。
B
C D
简支梁BC的变形就是MB和
均布荷载q分别引起变形的 叠加。
M B qa
2
B
C D
第六章 弯曲变形
2qa
q
M B qa
B
2
(1)求 B ，wD
C
D
B
θ Bq
D
w
C
Dq
M B qa
B
2
ql3 qa3 Bq 24EI 3EI 5ql4 5qa4 wDq 384EI 24EI M Bl 2qa3 BM B 3EI 3EI M B l 2 qa4 wDM B 16EI 4 EI
F1 L2 16 EI
= + +
第六章 弯曲变形 L=400mm A D B a=0.1m C
(2)叠加求复杂载荷下的变形
200mm F1=1kN A D
P1 L2 F2 La B 16 EI 3 EI F =2kN
2
=
图1
C
F1 L a F2a F2a L wC 16 EI 3 EI 3 EI
1、数学表达式（mathematical formula)
wmax [ w ]
max [ ]
[ w ]和 [ ] 是构件的许可挠度和转角。
2、 刚度条件的应用(application of stiffness condition) (1)校核刚度（ Check the stiffness of the beam） (2)设计截面尺寸（Determine the allowable load on the beam） (3)求许可载荷（Determine the required dimensions of the beam）
求解其它问题（反力、应力、 变形等）
+
A
B
第六章 弯曲变形
§6–5 减小弯曲变形的一些措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关， 而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要 想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式和支座位置
RB
=
q0 A B
+
A
B RB
第六章 弯曲变形
y
A
L
C 物理方程——变形与力的关系 EA LBC qL4 RB L3 wBq ; wBRB q0 8EI 3EI x B RB LBC LBC RB EA 补充方程 B RB q0
=
A
qL4 RB L3 RB LBC 8EI 3EI EA qL4 RB LBC L3 8I ( ) A 3EI
第六章 弯曲变形
例6-7下图为一空心圆杆，内外径分别为:d=40mm、D=80mm,
杆的E=210GPa,工程规定C点的[w]=0.00001m,B点的[]=0.001
弧度,试校核此杆的刚度。
L=400mm A D B a=0.1m C B A D C
200mm F1=1kN
F2=2kN
F2
=
=
B截面两侧的相互作用为：
2q q B a a D C
2qa
M B qa
2q
2
2a
2qa
q
M B qa
A B 2qa
2
M B qa
2
BHale Waihona Puke Baidu
D
C
第六章 弯曲变形
简支梁BC的受力情况与外
2qa
q C
伸梁AC 的BC段的受力情
况相同
M B qa
2
B
D
q
由简支梁BC求得的B，wD
就是外伸梁AC的 B，wD
m
q
A
C
B
l
第六章 弯曲变形
解：将梁上荷载分为两项简单 m 的荷载，如图所示 A
q
w C w Cq w Cm
5ql ml ( 384 EI 16 EI
4 2
(a)
C
l
B
)
(b)
q
A
θ A θ Aq θ Am
ml ql ( )( 24 EI 3 EI θ B θ Bq θ Bm ml ( ql 24 EI 6 EI
A B l q A l q B
同时，由于梁的外伸部分的自重 作用，将使梁的AB跨产生向上的 挠度，从而使AB跨向下的挠度能 够被抵消一部分，而有所减小。
增加梁的支座也可以减小梁的挠度。 (3)改变加载方式和支座位置
RC l 3 5ql 4 0 384EI 48EI
C
B
5 RC qL 8
4、计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。
B 0
RB
第六章 弯曲变形
RA
A
l 2
RC
C
q
RB
l 2
例6-8 已知梁的EI，梁的长 度，求各约束反力。 B 解：1)研究对象，AB梁， 受力分析：RA , RB , RC , ql
F
y
0, RA RB RC ql 0
q
A
RC
M A 0, RBl 0.5RC l 0.5ql2 0
B
2)选用静定基，去Ｃ支座 3)变形协调方程
RC l 3 5ql 4 0 384EI 48EI
联立求解： 5 3ql RC qL, R A RB 8 16
q
A
C
B
超 二个平衡方程，三个未知数。静 定 平衡方程数 < 未知量个数。 问 题
c 0
RC
去掉多余约束而成为形式上 的静定结构 — 基本静定基。
第六章 弯曲变形
q
A
l 2
q
B
l 2
C
A
C
B
RC
解超静定的步骤 —— (静力、几何、物理条件) 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 q 分析—— c cq cRC 0 A
BM B
w DM B
D
C
qa3 B Bq BM B 3EI qa4 wD wDq wDM B 24EI
由叠加原理得:
第六章 弯曲变形 2q A
M B qa
2
2qa
A
q
M B qa
θB
2
θB
C B D
w2
2qa (2) 求wA
B
w1
悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度w2 由于简支梁上B截面的转动，带动AB段一起作刚体运动，使 A端产生挠度w1 因此，A端的总挠度应为
I
2
3
2
+
C
F1=1kN
B 图2
F2
F2
图3 A D B
M
C
64 3.14 (804 404 ) 1012 64 188 108 m 4
( D4 d 4 )
+
第六章 弯曲变形
F1 L F2 La 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 -4 +0.423 10 (rad)
w( F1 , F2 , , Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
2、结构形式叠加（逐段刚化法）
第六章 弯曲变形
A
例6-4 按叠加原理求A点转角和C点挠度 F q B 解:(1)载荷分解如图
C
a
a
(2)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
2
P1 L2a F2a 3 F2a 2 L wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI
(3)校核刚度
wmax 5.19 106 m w 105 m
max 0.423 104 0.001
该杆满足刚度要求。
是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时，则叠加就是代数和，这就
是叠加原理。
第六章 弯曲变形
1、载荷叠加(Superposition of loads)
多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作
用于结构而引起的变形的代数和。
( F1 , F2 , , Fn ) 1 ( F1 ) 2 ( F2 ) n ( Fn )
B
a
A
D
B
C
C
F2 M
C
+
F1=1kN
A
B
F2
A
D B
+
C
F2=2kN
第六章 弯曲变形
L=400mm
A D B
a=0.1m C
解:(1)结构变换,查表求简单载 荷变形。
200mm F =1kN 1
F2=2kN
1 B
图1
D
C
F1=1kN 图2
B
C
F2 图3
A
F2
M
D
B
C
F1 L2a w1C 1 B a 16 EI 2B 0 F2a 3 w2C 3 EI ML LaF2 3B 3 EI 3 EI F2 La 2 w3 C 3 B a 3 EI
C Cq CR 0
CR
RC l 3 48EI
4)由物理条件写出补充方程
5ql4 Cq , 384EI
C
第六章 弯曲变形
y
A
L
C 例6-9结构如图，求B点反力。 EA LBC q0 解：建立静定基 x B 几何方程
=
q0 A EI B L
——变形协调方程：
wB wBq wBRB LBC
EIw M ( x)
第六章 弯曲变形
EIw M ( x)
为了减小梁的变形,可采取下列措施
(1)增大梁的抗弯刚度EI 工程中常采用工字形,箱形截面 (2)调整跨长和改变结构 设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。 这是提高梁的刚度的一个很有效的措施。
第六章 弯曲变形
桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而 减小梁的最大挠度值。 q
3 3
Aq
C l
B
Bq
wCq
) m
(c)
A
B
Bm
)
Am
C
l
wCm
第六章 弯曲变形
例6-6 一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示,
试按叠加原理并利用附表，求截面B的转角B以及A端和 BC 中点 D 的挠度 wA 和 wD 。
2q
q
A C
B
D
a
a 2a
第六章 弯曲变形
解：将外伸梁沿 B 截面截成 两段，将AB 段看成 B 端固定 的悬臂梁，BC 段看成简支梁。 A
F
A
=
B
PA
Fa 2 4 EI
qa 3 3 EI
w PC
Fa 3 6 EI
+
q
A B
qA
wqC
5qa 4 24 EI
第六章 弯曲变形
F q
A
C a a
B
PA
Fa 4 EI
qa 3 EI
3
2
w PC
Fa 6 EI
3
qA
wqC
F
A
5qa 24 EI
wA w1 w2 B a w2
3 2qa4 qa 由梁的简单变形表 w2 B Bq BM B 8 EI 3EI qa4 qa4 7qa4 wA 3EI 4 EI 12EI
第六章 弯曲变形
二 刚度条件（stiffness condition)
§6–4 用叠加法求弯曲变形
( Beam deflections by superposition )
一、叠加原理 (Superposition )
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载 (可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角， 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿y 轴方向)， 其转角
第六章 弯曲变形
RA
A
l 2
§6-5 简单超静定梁
q
C
l 2
RB
B
ql2 静 M A 0, RBl 2 0. 定 1 ql 问 R ql M 0 , R , B B A 题 2 2
RA
A
l 2
RC
C
l 2
RB
B
由平衡方程可以解出全部未知数 平衡方程数 = 未知量个数。
4
=
B
(3)叠加
A PA qA
q
A B
a2 (3 F 4qa ) 12 EI
5qa Fa wC ( ) 24 EI 6 EI
4 3
+
第六章 弯曲变形
例6-5 一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图所示。 试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面 的转角 A ，B 。
B
C D
简支梁BC的变形就是MB和
均布荷载q分别引起变形的 叠加。
M B qa
2
B
C D
第六章 弯曲变形
2qa
q
M B qa
B
2
(1)求 B ，wD
C
D
B
θ Bq
D
w
C
Dq
M B qa
B
2
ql3 qa3 Bq 24EI 3EI 5ql4 5qa4 wDq 384EI 24EI M Bl 2qa3 BM B 3EI 3EI M B l 2 qa4 wDM B 16EI 4 EI
F1 L2 16 EI
= + +
第六章 弯曲变形 L=400mm A D B a=0.1m C
(2)叠加求复杂载荷下的变形
200mm F1=1kN A D
P1 L2 F2 La B 16 EI 3 EI F =2kN
2
=
图1
C
F1 L a F2a F2a L wC 16 EI 3 EI 3 EI
1、数学表达式（mathematical formula)
wmax [ w ]
max [ ]
[ w ]和 [ ] 是构件的许可挠度和转角。
2、 刚度条件的应用(application of stiffness condition) (1)校核刚度（ Check the stiffness of the beam） (2)设计截面尺寸（Determine the allowable load on the beam） (3)求许可载荷（Determine the required dimensions of the beam）
求解其它问题（反力、应力、 变形等）
+
A
B
第六章 弯曲变形
§6–5 减小弯曲变形的一些措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关， 而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要 想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。
一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式和支座位置
RB
=
q0 A B
+
A
B RB
第六章 弯曲变形
y
A
L
C 物理方程——变形与力的关系 EA LBC qL4 RB L3 wBq ; wBRB q0 8EI 3EI x B RB LBC LBC RB EA 补充方程 B RB q0
=
A
qL4 RB L3 RB LBC 8EI 3EI EA qL4 RB LBC L3 8I ( ) A 3EI
第六章 弯曲变形
例6-7下图为一空心圆杆，内外径分别为:d=40mm、D=80mm,
杆的E=210GPa,工程规定C点的[w]=0.00001m,B点的[]=0.001
弧度,试校核此杆的刚度。
L=400mm A D B a=0.1m C B A D C
200mm F1=1kN
F2=2kN
F2
=
=
B截面两侧的相互作用为：
2q q B a a D C
2qa
M B qa
2q
2
2a
2qa
q
M B qa
A B 2qa
2
M B qa
2
BHale Waihona Puke Baidu
D
C
第六章 弯曲变形
简支梁BC的受力情况与外
2qa
q C
伸梁AC 的BC段的受力情
况相同
M B qa
2
B
D
q
由简支梁BC求得的B，wD
就是外伸梁AC的 B，wD
m
q
A
C
B
l
第六章 弯曲变形
解：将梁上荷载分为两项简单 m 的荷载，如图所示 A
q
w C w Cq w Cm
5ql ml ( 384 EI 16 EI
4 2
(a)
C
l
B
)
(b)
q
A
θ A θ Aq θ Am
ml ql ( )( 24 EI 3 EI θ B θ Bq θ Bm ml ( ql 24 EI 6 EI
A B l q A l q B
同时，由于梁的外伸部分的自重 作用，将使梁的AB跨产生向上的 挠度，从而使AB跨向下的挠度能 够被抵消一部分，而有所减小。
增加梁的支座也可以减小梁的挠度。 (3)改变加载方式和支座位置
RC l 3 5ql 4 0 384EI 48EI
C
B
5 RC qL 8
4、计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。
B 0
RB
第六章 弯曲变形
RA
A
l 2
RC
C
q
RB
l 2
例6-8 已知梁的EI，梁的长 度，求各约束反力。 B 解：1)研究对象，AB梁， 受力分析：RA , RB , RC , ql
F
y
0, RA RB RC ql 0
q
A
RC
M A 0, RBl 0.5RC l 0.5ql2 0
B
2)选用静定基，去Ｃ支座 3)变形协调方程
RC l 3 5ql 4 0 384EI 48EI
联立求解： 5 3ql RC qL, R A RB 8 16
q
A
C
B
超 二个平衡方程，三个未知数。静 定 平衡方程数 < 未知量个数。 问 题
c 0
RC
去掉多余约束而成为形式上 的静定结构 — 基本静定基。
第六章 弯曲变形
q
A
l 2
q
B
l 2
C
A
C
B
RC
解超静定的步骤 —— (静力、几何、物理条件) 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算） 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力 q 分析—— c cq cRC 0 A
BM B
w DM B
D
C
qa3 B Bq BM B 3EI qa4 wD wDq wDM B 24EI
由叠加原理得:
第六章 弯曲变形 2q A
M B qa
2
2qa
A
q
M B qa
θB
2
θB
C B D
w2
2qa (2) 求wA
B
w1
悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度w2 由于简支梁上B截面的转动，带动AB段一起作刚体运动，使 A端产生挠度w1 因此，A端的总挠度应为
I
2
3
2
+
C
F1=1kN
B 图2
F2
F2
图3 A D B
M
C
64 3.14 (804 404 ) 1012 64 188 108 m 4
( D4 d 4 )
+
第六章 弯曲变形
F1 L F2 La 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 -4 +0.423 10 (rad)
w( F1 , F2 , , Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
2、结构形式叠加（逐段刚化法）
第六章 弯曲变形
A
例6-4 按叠加原理求A点转角和C点挠度 F q B 解:(1)载荷分解如图
C
a
a
(2)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
2
P1 L2a F2a 3 F2a 2 L wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI
(3)校核刚度
wmax 5.19 106 m w 105 m
max 0.423 104 0.001
该杆满足刚度要求。
是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时，则叠加就是代数和，这就
是叠加原理。
第六章 弯曲变形
1、载荷叠加(Superposition of loads)
多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作
用于结构而引起的变形的代数和。
( F1 , F2 , , Fn ) 1 ( F1 ) 2 ( F2 ) n ( Fn )
B
a
A
D
B
C
C
F2 M
C
+
F1=1kN
A
B
F2
A
D B
+
C
F2=2kN
第六章 弯曲变形
L=400mm
A D B
a=0.1m C
解:(1)结构变换,查表求简单载 荷变形。
200mm F =1kN 1
F2=2kN
1 B
图1
D
C
F1=1kN 图2
B
C
F2 图3
A
F2
M
D
B
C
F1 L2a w1C 1 B a 16 EI 2B 0 F2a 3 w2C 3 EI ML LaF2 3B 3 EI 3 EI F2 La 2 w3 C 3 B a 3 EI
C Cq CR 0
CR
RC l 3 48EI
4)由物理条件写出补充方程
5ql4 Cq , 384EI
C
第六章 弯曲变形
y
A
L
C 例6-9结构如图，求B点反力。 EA LBC q0 解：建立静定基 x B 几何方程
=
q0 A EI B L
——变形协调方程：
wB wBq wBRB LBC
EIw M ( x)
第六章 弯曲变形
EIw M ( x)
为了减小梁的变形,可采取下列措施
(1)增大梁的抗弯刚度EI 工程中常采用工字形,箱形截面 (2)调整跨长和改变结构 设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。 这是提高梁的刚度的一个很有效的措施。
第六章 弯曲变形
桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而 减小梁的最大挠度值。 q
3 3
Aq
C l
B
Bq
wCq
) m
(c)
A
B
Bm
)
Am
C
l
wCm
第六章 弯曲变形
例6-6 一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示,
试按叠加原理并利用附表，求截面B的转角B以及A端和 BC 中点 D 的挠度 wA 和 wD 。
2q
q
A C
B
D
a
a 2a
第六章 弯曲变形
解：将外伸梁沿 B 截面截成 两段，将AB 段看成 B 端固定 的悬臂梁，BC 段看成简支梁。 A
F
A
=
B
PA
Fa 2 4 EI
qa 3 3 EI
w PC
Fa 3 6 EI
+
q
A B
qA
wqC
5qa 4 24 EI
第六章 弯曲变形
F q
A
C a a
B
PA
Fa 4 EI
qa 3 EI
3
2
w PC
Fa 6 EI
3
qA
wqC
F
A
5qa 24 EI
wA w1 w2 B a w2
3 2qa4 qa 由梁的简单变形表 w2 B Bq BM B 8 EI 3EI qa4 qa4 7qa4 wA 3EI 4 EI 12EI
第六章 弯曲变形
二 刚度条件（stiffness condition)