自动控制原理频率响应法
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3
5.2 频率特性
5.2.1 频率特性的基本概念
首先以图RC网络为例，说明频率特性的概念。
RC网络的输入和输出的关系可由下面微分方程
描述
T
duc dt
uc
ur
式中，T=RC为时间常数。网络的传递函数为
Uc (s) 1 U r (s) Ts 1
4
设输入是一个正弦信号，即
可得
ur Asint
css (t) ae jt ae jt
式中的系数 a 和 a 求得如下。即
a
G(s) (s
A j )(s
j )
(s
j )
s j
G( j) A 2j
a
G(s) (s
A j )(s
(s j )
j )
s j
G( j) A 2j
10
css (t)
A 2j
[G(
j )e
j t
G(
j )e j t
7
5.2.2 频率特性的求取
一般线性定常系统输入、输出关系如图所 示。
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
8
G(s) K (s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s s1 )(s s2 ) (s sn )
nm
式中-z1， -z2 ,…,-zm是传递函数G(s)的零点， -s1 , -s2 ,…, -sn 是传递函数G(s)的极点。这些极点可能是 实数，也可能是共轭复数，但对于稳定系统来说，它们都 具有负实部。
系统输出c(t)的拉普拉斯变换为
C(s)=G(s)R(s)= K (s z1)(s z2 ) (s zm )
5
如果取s=j代入，则
1 11
1
e jarctanT
jT 1 jT 1 jT 1 2T 2 1
该式能完全描述RC网络在正弦函数作用下稳 态输出的幅值和相位随输入频率变化的情况。因此， 将1 / (jwT+1)称做该RC网络的频率特性。
表列出了RC网络幅频特性和相频特性的计 算数据。
6
根据表中数据绘制的幅频特性曲线和相频特性曲 线如下：
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
11
5.3 频率特性的图示方法
频域分析法是一种图解方法，采用频域法分析闭环系统的特 性时，通常需画出系统开环频率特性曲线。频率特性的图示 方法主要有三种，即极坐标图、对数坐标图和对数幅相图， 现分述如下。 5.3.1 极坐标图 频率特性G(jw)是频率w 的复变函数，其模|G(jw)|与相角 ∠G(jw)可以在复平面上用一个矢量来表示。当频率w从
普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
自动控制原理
第5章 频域分析法
机械工业出版社
第5章 频域分析法
5.1 概述 5.2 频率特性的基本概念 5.3 频率特性的图示方法 5.4 频域稳定性判据 5.5 控制系统的稳定裕度 5.6 控制系统的闭环频率特性 5.7 频域性能指标与瞬态性能指标之间的关系
U
c
(s)
1 Ts
U 1
r
(s)
1 Ts
1
s
2
A
2
取拉普拉斯反变换，得输出信号
uc
AT
2T 2 1
t
eT
A sin(t arctanT ) 2T 2 1
式中第一项为输出的瞬态分量，第二项为稳态分量。随着t趋于 无穷大，瞬态分量趋于零，于是
lim
t
u
c
A sin(t arctanT ) 2T 2 1
]
A G( j ) e j( t ) e j( t )
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
通过上述分析，得到频率特性的定义，即：系统对正弦输入信号的稳态响应特 性，就称为频率特性。一般记为
G( j ) G( j ) e jG( j)
G( j) e j
它包含了两部分内容：幅值比是依赖于角频率w 的函数，|G(jw)|称为系统的幅 频特性；稳态输出信号对正弦输入信号的相移φ称为系统的相频特性。系统的频率 特性G(jw)可以通过系统的传递函数G(s)来求取，即
（2）积分环节。当w 由零趋向无穷大时，幅频特性则由∞逐 渐减少到0，而相位总是-90°。因此积分环节的极坐标曲 线是沿复平面中虚轴下半部变化的直线，如图5.5所示。 积分环节是相位滞后环节，它的低通性能好。
（3）惯性环节
表5.2 惯性环节在几个特定频率下的幅值与相角
|G(jw)| ∠G(jw)
0
1/2T
A
(s s1)(s s2 ) (s sn ) (s j)(s j)
9
展成部分分式为
C(s) a a b1 b2 bn
s j s j s s1 s s2
s sn
对式进行拉普拉斯反变换，可得系统对正弦输入信号r(t)的响
应为 即
n
c(t) ae jt ae jt bi esit i 1
本章将讨论频率特性的基本概念、典型环节和 系统的频率特性、奈魁斯特稳定判据、频域性能指标 与时域性能指标间的联系等。
2
5.1 概述
频域分析法是应用频率特性研究 线性系统的一种图解方法。频率特性 和传递函数一样，可以用来表示线性 系统或环节的动态特性。
建立在频率特性基础上的分析控 制系统的频域法弥补了时域分析法中 存在的不足，因而获得了广泛的应用。 所谓频率特性，是指在正弦输入信号 的作用下，线性系统输出的稳态响应。
(U K ) 2 V 2 ( K ) 2
2
2
所以，在复平面上G(jw)为一圆心在(K/2，0)点， 半径为K/2的半圆，如图下半部分所示。当-∞w 0时，因为G(-jw)与G(jw)互为共轭关系，关于实 轴对称，即如上半圆所示。
0 变化时，矢量端点的轨迹就表示频率特性的极坐标 图。极坐标图又称幅相图或奈魁斯特(Nyquist)图。在极坐标 图上，规定矢量与实轴正方向的夹角为频率特性的相位角， 且按逆时针方向为正进行计算。
12
1. 典型环节频率特性的极坐标图
（1）比例环节。比例环节的幅频特性和相频特性都是常量， 分别等于K及0°，不随频率w 而变化。
1/T
10/T
K
K/1.12
K/10.0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0° -26.6° -45° -84° -90°
13
可以证明，图5.6中的频率特性曲线是一半圆，圆心在实轴 上的0.5K处，半径R=0.5K。
设 G( j) U() jV ()
U ( ) K (T )2 1
V ( ) KT (T )2 1
配方后可得
5.2 频率特性
5.2.1 频率特性的基本概念
首先以图RC网络为例，说明频率特性的概念。
RC网络的输入和输出的关系可由下面微分方程
描述
T
duc dt
uc
ur
式中，T=RC为时间常数。网络的传递函数为
Uc (s) 1 U r (s) Ts 1
4
设输入是一个正弦信号，即
可得
ur Asint
css (t) ae jt ae jt
式中的系数 a 和 a 求得如下。即
a
G(s) (s
A j )(s
j )
(s
j )
s j
G( j) A 2j
a
G(s) (s
A j )(s
(s j )
j )
s j
G( j) A 2j
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css (t)
A 2j
[G(
j )e
j t
G(
j )e j t
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5.2.2 频率特性的求取
一般线性定常系统输入、输出关系如图所 示。
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
8
G(s) K (s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s s1 )(s s2 ) (s sn )
nm
式中-z1， -z2 ,…,-zm是传递函数G(s)的零点， -s1 , -s2 ,…, -sn 是传递函数G(s)的极点。这些极点可能是 实数，也可能是共轭复数，但对于稳定系统来说，它们都 具有负实部。
系统输出c(t)的拉普拉斯变换为
C(s)=G(s)R(s)= K (s z1)(s z2 ) (s zm )
5
如果取s=j代入，则
1 11
1
e jarctanT
jT 1 jT 1 jT 1 2T 2 1
该式能完全描述RC网络在正弦函数作用下稳 态输出的幅值和相位随输入频率变化的情况。因此， 将1 / (jwT+1)称做该RC网络的频率特性。
表列出了RC网络幅频特性和相频特性的计 算数据。
6
根据表中数据绘制的幅频特性曲线和相频特性曲 线如下：
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
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5.3 频率特性的图示方法
频域分析法是一种图解方法，采用频域法分析闭环系统的特 性时，通常需画出系统开环频率特性曲线。频率特性的图示 方法主要有三种，即极坐标图、对数坐标图和对数幅相图， 现分述如下。 5.3.1 极坐标图 频率特性G(jw)是频率w 的复变函数，其模|G(jw)|与相角 ∠G(jw)可以在复平面上用一个矢量来表示。当频率w从
普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
自动控制原理
第5章 频域分析法
机械工业出版社
第5章 频域分析法
5.1 概述 5.2 频率特性的基本概念 5.3 频率特性的图示方法 5.4 频域稳定性判据 5.5 控制系统的稳定裕度 5.6 控制系统的闭环频率特性 5.7 频域性能指标与瞬态性能指标之间的关系
U
c
(s)
1 Ts
U 1
r
(s)
1 Ts
1
s
2
A
2
取拉普拉斯反变换，得输出信号
uc
AT
2T 2 1
t
eT
A sin(t arctanT ) 2T 2 1
式中第一项为输出的瞬态分量，第二项为稳态分量。随着t趋于 无穷大，瞬态分量趋于零，于是
lim
t
u
c
A sin(t arctanT ) 2T 2 1
]
A G( j ) e j( t ) e j( t )
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
通过上述分析，得到频率特性的定义，即：系统对正弦输入信号的稳态响应特 性，就称为频率特性。一般记为
G( j ) G( j ) e jG( j)
G( j) e j
它包含了两部分内容：幅值比是依赖于角频率w 的函数，|G(jw)|称为系统的幅 频特性；稳态输出信号对正弦输入信号的相移φ称为系统的相频特性。系统的频率 特性G(jw)可以通过系统的传递函数G(s)来求取，即
（2）积分环节。当w 由零趋向无穷大时，幅频特性则由∞逐 渐减少到0，而相位总是-90°。因此积分环节的极坐标曲 线是沿复平面中虚轴下半部变化的直线，如图5.5所示。 积分环节是相位滞后环节，它的低通性能好。
（3）惯性环节
表5.2 惯性环节在几个特定频率下的幅值与相角
|G(jw)| ∠G(jw)
0
1/2T
A
(s s1)(s s2 ) (s sn ) (s j)(s j)
9
展成部分分式为
C(s) a a b1 b2 bn
s j s j s s1 s s2
s sn
对式进行拉普拉斯反变换，可得系统对正弦输入信号r(t)的响
应为 即
n
c(t) ae jt ae jt bi esit i 1
本章将讨论频率特性的基本概念、典型环节和 系统的频率特性、奈魁斯特稳定判据、频域性能指标 与时域性能指标间的联系等。
2
5.1 概述
频域分析法是应用频率特性研究 线性系统的一种图解方法。频率特性 和传递函数一样，可以用来表示线性 系统或环节的动态特性。
建立在频率特性基础上的分析控 制系统的频域法弥补了时域分析法中 存在的不足，因而获得了广泛的应用。 所谓频率特性，是指在正弦输入信号 的作用下，线性系统输出的稳态响应。
(U K ) 2 V 2 ( K ) 2
2
2
所以，在复平面上G(jw)为一圆心在(K/2，0)点， 半径为K/2的半圆，如图下半部分所示。当-∞w 0时，因为G(-jw)与G(jw)互为共轭关系，关于实 轴对称，即如上半圆所示。
0 变化时，矢量端点的轨迹就表示频率特性的极坐标 图。极坐标图又称幅相图或奈魁斯特(Nyquist)图。在极坐标 图上，规定矢量与实轴正方向的夹角为频率特性的相位角， 且按逆时针方向为正进行计算。
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1. 典型环节频率特性的极坐标图
（1）比例环节。比例环节的幅频特性和相频特性都是常量， 分别等于K及0°，不随频率w 而变化。
1/T
10/T
K
K/1.12
K/10.0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0° -26.6° -45° -84° -90°
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可以证明，图5.6中的频率特性曲线是一半圆，圆心在实轴 上的0.5K处，半径R=0.5K。
设 G( j) U() jV ()
U ( ) K (T )2 1
V ( ) KT (T )2 1
配方后可得