习题2,3解题过程
六上分数解方程练习题
六上分数解方程练习题解方程是数学中的重要内容，通过解方程可以找到未知数的值。
在六年级上学期，解分数方程是我们需要掌握的一项技能。
本文将介绍一些六上分数解方程的练习题，帮助同学们更好地掌握解方程的方法和技巧。
一、练习题1题目：解方程 3/4x = 6解题过程：首先，我们可以通过逆运算来解这个方程。
由于题目中的运算是乘法，所以我们需要使用乘法的逆运算——除法。
将方程转化为除法运算，可以得出：（3/4）x ÷（3/4）= 6 ÷（3/4）然后，我们来计算等式两边的结果：x = (6 ÷（3/4）) = 8所以，方程的解为 x=8。
二、练习题2题目：解方程 2/5y + 1/3 = 7/15解题过程：同样地，我们需要将方程以相等的方式进行运算。
由于题目中的运算是加法，我们需要使用加法的逆运算——减法。
首先，将方程转化为减法运算，得到：（2/5）y = 7/15 - 1/3接下来，计算等式两边的结果：（2/5）y = （7/15）-（1/3）通常，我们要找到等式两边的最小公倍数，再进行计算，这里最小公倍数是15。
所以，我们得到：（2/5）y = （7/15）-（5/15）继续计算，得出：（2/5）y = 2/15接下来，使用乘法的逆运算来解方程：y = （2/15） ÷（2/5）继续计算，可以得到：y = （2/15）×（5/2）最后，计算的结果为：y = 1/3所以，方程的解为 y = 1/3。
三、练习题3题目：解方程 3/7x + 5 = 4/7解题过程：这道题比较特殊，因为在方程中含有一个分数。
我们需要使用逆运算来解方程。
首先，我们将方程进行减法运算：（3/7）x = 4/7 - 5接下来，计算等式两边的结果：（3/7）x = - 21/7然后，我们需要使用乘法的逆运算来解方程：x = - 21/7 ÷ (3/7)将分子和分母相除，得到：x = -21 ÷ 3最后计算发现，等式两边约分后结果相等，所以该方程为恒等方程。
工程流体力学习题课1-第2-3-4章-部分习题解答
2 2 d2
习题3-14解题示意图1
Dr W-X Huang, School of Chemical Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, P.R. China
工程流体力学——习题课(1)——第 2-3-4 章部分习题解答
Fx1 =
y x
H1
D
H2
图 3-26 习题 3-11 附图
1 1 ρ gH1 × ( DL) = × 1000 × 9.8 × 4 × (4 × 10) = 784000 N=784kN 2 2 1 D 1 4 Fx 2 = ρ gH 2 × ( L) = × 1000 × 9.8 × 2 × × 10 = 196000 N=196kN 2 2 2 2
H
h
由此得： H ≥ 122mm + h ≥ 244mm (2) 结合以上正负压操作时结果有：
p / ρ g ≤ h ≤ H − | p| / ρ g
图 3-23 习题 3-8 附图
→ 122mm ≤ h ≤ 178mm
Dr W-X Huang, School of Chemical Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, P.R. China
工程流体力学——习题课(1)——第 2-3-4 章部分习题解答
F1-6
习题 3-8 旋风除尘器如图 3-23 所示，其下端出灰口管段长 H，部分插入 水中，使旋风除尘器内部与外界大气隔开，称为水封；同时要求出灰管内液面 不得高于出灰管上部法兰位置。设除尘器内操作压力 ( 表 压 ) p = −1.2 kPa~ 1.2kPa。 净化空气 (1) 试问管段长 H 至少为多少 mm? (2) 若H=300mm，问其中插入水中的部分h应在 什么范围？(取水的密度 ρ =1000kg/m3) 含尘 解：(1) 正压操作时，出灰管内液面低于管外液 面，高差为 h′ = p / ρ g ；为实现水封，出灰管插入深 度 h 必须大于此高差，即
高等数学2教材答案详解
高等数学2教材答案详解引言：高等数学2是大学数学教育中的重要课程之一，对学生的数学思维能力和解题能力有着极大的要求。
本文将针对《高等数学2》教材中的部分习题进行答案的详解，帮助学生掌握课程内容，提高解题水平。
1.函数与极限：1.1 习题1：求函数f(x)在点x=2处的极限。
答案：首先，我们可以通过直接代入法来求极限。
将x=2代入函数f(x)中，得到f(2)=3。
因此，函数在点x=2处的极限为3。
1.2 习题2：求函数f(x)在无穷远处的极限。
答案：要求函数在无穷远处的极限，可以通过观察函数的增减性或者用极限的定义进行求解。
根据函数的性质，我们可以得知函数f(x)在无穷远处的极限为0。
2.导数与微分：2.1 习题3：求函数f(x) = 3x^2 的导数。
答案：对函数f(x) = 3x^2 进行求导，使用幂函数的求导法则，将指数下来作为系数，并将指数减1。
因此，函数f(x) = 3x^2 的导数为f'(x) = 6x。
2.2 习题4：求函数f(x) = sin(x) 的导数。
答案：对函数f(x) = sin(x) 进行求导，使用三角函数的求导法则，将sin(x)的导数记为cos(x)。
因此，函数f(x) = sin(x) 的导数为f'(x) = cos(x)。
3.定积分：3.1 习题5：计算定积分∫[0, π] sin(x) dx。
答案：根据定积分的定义，将sin(x)代入积分式，计算不定积分，再将上限值和下限值代入，得到∫[0, π] sin(x) dx = [-cos(x)] [0, π]。
带入上下限进行计算，最终得到结果为2。
3.2 习题6：计算定积分∫[1, e] ln(x) dx。
答案：根据定积分的定义，将ln(x)代入积分式，计算不定积分，再将上限值和下限值代入，得到∫[1, e] ln(x) dx = [xln(x)-x] [1, e]。
带入上下限进行计算，最终得到结果为e-1。
人教版数学五年级上册《解方程(例2、3)》教案
人教版数学五年级上册《解方程（例2、3）》教案一. 教材分析《解方程（例2、3）》是人教版数学五年级上册的教学内容，本节课主要让学生掌握解方程的方法和技巧。
通过例2、例3的学习，使学生能够理解解方程的过程，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析五年级的学生已经掌握了基本的算术运算和方程的概念，但对解方程的过程和方法还不够熟悉。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生掌握解方程的步骤，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握解方程的基本步骤和方法。
2.培养学生解决实际问题的能力。
3.提高学生对数学的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.重点：解方程的基本步骤和方法。
2.难点：如何引导学生运用解方程的方法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教学案例和问题。
2.准备教学PPT和板书设计。
3.准备练习题和家庭作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示生活中的实际问题，引导学生关注数学在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
例如，展示一道有关购物的问题：“小明买了一本书，原价是25元，现在打8折，他实际支付了多少钱？”2.呈现（10分钟）呈现例2、例3，引导学生观察和分析问题，发现解方程的步骤和方法。
例2：“一个数的3/4减去5等于11，求这个数。
”例3：“一个数的5/6加上7等于19，求这个数。
”3.操练（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固解方程的方法。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）通过PPT展示答案，让学生对照答案检查自己的解题过程，巩固解方程的方法。
同时，引导学生总结解方程的步骤，加深对解方程方法的理解。
5.拓展（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决更复杂的方程问题。
例如，展示一道有关面积的问题：“一个长方形的长是宽的2倍，如果长方形的面积是60平方厘米，求长方形的宽。
2、3、2数学归纳法应用举例
(1)求a1，a3； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明.
解 由已知2Sn＝nan＋na＝n(an＋a). 当n＝1时，S1＝a1，所以2a1＝a1＋a，即a1＝a； 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3， 所以有2(a1＋a2＋a3)＝3(a3＋a)， 因为a2＝a＋2，a1＝a，所以a3＝a＋4.
的正整数 都成立 解析 由已知得n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题 D.以上说法都不正确 成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1
成立
时命题也成立，依此类推，可知选C.
1 2 3 4 5
解析
答案
2n＋2 1 － a 2.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋„＋a2n＋1＝ 1 －a
P73习题2 - 3第4题 : 平面上有n条直线, 其中任意两条都相 交, 任意三条不共点, 这些直线把平面分成多少个区域 ? 证明你的结论
n2 n 2 解 : 这样的n条直线把平面分成的区 域数目为f ( n) 2 下面用数学归纳法证明
(1)当n 1时, 一条直线将平面分成两 部分, f (1) 2, n 1时命题成立.
类型三.用数学归纳法证明不等式问题
例3观察下面两个数列, 从第几项起an始终小于bn ? 证明你的结论.
n n
a b
n
2 : 2,4,8,16,32,64,128,256,512, .
n 2 : 1,4,9,16,25,36,49,64,81, ;
2 n
由数列的前几项猜想 , 从第5项起, an bn , 即n 2 ( n N , n 5)
2
例2.平面上有n个圆最多把平面分成n n 2个区域。
现代分子生物学朱玉贤课后习题答案2-3
答：1，原核生物mRNA常以多顺反子的形式存在。真核生物mRNA一般以单顺反子的形式存在；2，原核生物mRNA的转录与翻译一般是偶联的，真核生物转录的mRNA前体则需经转录后加工，加工为成熟的mRNA与蛋白质结合生成信息体后才开始工作；3，原核生物mRNA半寿期很短，一般为几分钟 ，最长只有数小时。真核生物mRNA的半寿期较长， 如胚胎中的mRNA可达数日；4，原核与真核生物mRNA的结构特点也不同，原核生物的mRNA的5’端无帽子结构，3’端没有或只有较短的poly A结构。
滚环型
D—环型
8.简述原核生物DNA的复制特点。
（1）复制的起始 1， DNA双螺旋的解旋 DNA在复制时，其双链首先解开，形成复制叉，这是一个有多种蛋白质和酶参与的复杂过程。
切除修复
重组修复‘
DNA直接修复
SOS系统
11.什么是转座子？可分为哪些种类？
DNA的转座，或称移位，是由可移位因子介导的遗传物质重排现象。转座子（transposon,
Tn）是存在于染色体DNA上可自主复制和移位的基本单位。转座子分为两大类：插入序列（IS）和复合型转座子。
1， 插入序列 插入序列是最简单的转座子，它不含有任何宿主基因。它们是细菌染色体或质粒DNA的正常组成部分。一个细菌细胞常带有少于10个序列。转座子常常被定为到特定的基因中，造成该基因突变。
3.由螺线管进一步螺旋化形成直径为0.4μm的圆筒状结构，称为超螺线管，这是染色质包装的三级结构。
4.这种超螺线管进一步螺旋折叠，形成长2-10μm的染色单体，即染色质包装的四级结构。
4. 简述DNA的一,二,三级结构的特征
DNA一级结构：4种核苷酸的的连接及排列顺序，表示了该DNA分子的化学结构
2-3-习题(含解答)
2-3 习题(含解答)目录第1章编译原理概述 (1)第2章PL/O编译程序的实现 (4)第3章文法和语言 (4)第4章词法分析 (13)第5章自顶向下语法分析方法 (28)第6章自底向上优先分析 (39)第7章LR分析 (42)第8章语法制导翻译和中间代码生成 (60)第9章符号表 (67)第10章目标程序运行时的存储组织 (70)第11章代码优化 (73)第12章代码生成 (76)综合练习一 (79)综合练习二 (84)综合练习三 (90)综合练习四 (95)综合练习五 (101)综合练习六 (107)第1章编译原理概述一、选择题1.一个编译程序中，不仅包含词法分析，语法分析，中间代码生成，代码优化，目标代码生成等五个部分，还应包括 (1) 。
其中， (2) 和代码优化部分不是每个编译程序都必需的。
词法分析器用于识别 (3) ，语法分析器则可以发现源程序中的 (4) 。
(1) A.模拟执行器 B.解释器 C.表格处理和出错处理 D.符号执行器(2) A.语法分析 B.中间代码生成 C.词法分析 D.目标代码生成(3) A.字符串 B.语句 C.单词 D.标识符(4) A.语义错误 B.语法和语义错误 C.错误并校正 D.语法错误2.程序语言的语言处理程序是一种 (1) 。
(2) 是两类程序语言处理程序，他们的主要区别在于 (3) 。
(1) A.系统软件 B.应用软件 C.实时系统 D.分布式系统(2) A.高级语言程序和低级语言程序 B.解释程序和编译程序C.编译程序和操作系统D.系统程序和应用程序(3) A.单用户与多用户的差别 B.对用户程序的查错能力C.机器执行效率D.是否生成目标代码3.汇编程序是将翻译成，编译程序是将翻译成。
A.汇编语言程序B.机器语言程序C.高级语言程序D. A 或者BE. A 或者CF. B或者C4.下面关于解释程序的描述正确的是。
(1) 解释程序的特点是处理程序时不产生目标代码(2) 解释程序适用于COBOL 和 FORTRAN 语言(3) 解释程序是为打开编译程序技术的僵局而开发的A. (1)(2)B. (1)C. (1)(2)(3)D.(2)(3)5.高级语言的语言处理程序分为解释程序和编译程序两种。
时间序列第2-3章习题解答
则模型的传递形式为：
＝
，确定该模型的 Green 函数，使该
故该模型的 Green 函数为： 该模型可以等价表示为无穷阶 MA 模型形式为：
13. 某 ARMR(2,2)模型为： .
解因
所以
，求 . 其中
, .
14. 证明 ARMR(1,1)序列 解 方法一 因为 所以
的自相关系数为：
第 3 章 习题（王燕）
1. 已知 AR(1)模型为 解由 . 由
。求 ，
，和 。
＝
＝
（常均值性），有
， ，（由平稳序列的方差常性）
又
，
，故
，
所以 ＝
。
根据 Yule–Walker 方程，有
，
即 ，
故 ＝
本题也可不要推导，由相关公式和性质直接给出结果。
2. 已知某 AR(2)模型为： 求 ， 的值。
1.5
样本自相关系数图
1
0.5
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
-0.5
自相关系数如下：
延迟
1
2
3
4
5
6
7
8
自相关系数 0.5060 0.5385 0.3736 0.2907 0.2578 0.1475 0.2696 0.1862
延迟
9
10
11
12
13
14
15
16
自相关系数 0.1776 0.2584 0.2070 0.2263 0.1375 -0.0268 -0.0532 -0.1124
延迟
机械零件部分课后习题答案
机械设计习题第3章疲劳强度问答题1.问：试述零件的静应力与变应力是在何种载荷作用下产生的？答：静应力只能在静载荷作用下产生，变应力可能由变载荷产生，也可能由静载荷产生。
2、稳定循环变应力的种类有哪些？画出其应力变化曲线，并分别写出最大应力σmax、最小应力σmin、平均应力σm、应力幅σa与应力循环特性γ的表达式。
答：对称循环变应力、脉动循环变应力、非对称循环变应力3、机械零件疲劳破坏的特征有哪些？机械零件疲劳强度与哪些因素有关？特征：（1）疲劳失效过程：裂纹萌生、裂纹扩展和突然发生脆性断裂三个阶段（2）断裂面：疲劳源、光滑的疲劳区、粗糙的断裂区（3）无明显塑性变形的脆性突然断裂（4）破坏时的应力（疲劳极限）远小于材料的屈服极限影响因素：不仅与材料性能有关，变应力的循环特性，应力循环次数，应力幅都对疲劳极限有很大影响。
4、如何由σ-1、σ0和σs三个试验数据作出材料的简化极限应力图？5、相对于材料，影响机械零件疲劳强度的主要因素有哪些？综合影响因素（Kσ）D的表达式为何？如何作零件的简化极限应力图？应力集中、零件尺寸、表面状态6、应力集中、零件尺寸和表面状态是否对零件的平均应力σm和应力幅均有影响？只对应力幅有影响，对平均应力没有明显影响7、按Hertz公式，两球体和圆柱体接触时的接触强度与哪些因素有关？外载荷F、ρΣ、弹性模量E、泊松比u以及b8.问：零件的等寿命疲劳曲线与材料试件的等寿命疲劳曲线是否相同？答：两者不同，零件的等寿命疲劳曲线需考虑零件上应力集中对材料疲劳极限的影响。
9.问：疲劳损伤线性累积假说的含义是什么？答：该假说是：在每一次应力作用下，零件寿命就要受到一定损伤率，当损伤率累积达到100%时（即达到疲劳寿命极限）便发生疲劳破坏。
通过该假说可将非稳定变应力下零件的疲劳强度计算折算成等效的稳定变应力疲劳强度。
10.问：机械零件上的哪些位置易产生应力集中？举例说明。
如果零件一个截面有多种产生应力集中的结构，有效应力集中系数如何求取？答：零件几何尺寸突变（如：沟槽、孔、圆角、轴肩、键槽等）及配合零件边缘处易产生应力集中。
苏教版三年级数学下册第一单元第8课《练习二》公开课教案
《练习二》教案【教学内容】苏教版三年级下册第13-14页练习二第1—8题，“你知道吗”。
【教学目标】1.使学生进一步掌握乘数末尾有0的乘法计算，能用简便方法计算得数，能根据实际问题条件间的联系有条理地说明解题思考过程，正确解答两步连乘实际问题。
2.使学生进一步熟练掌握乘数末尾有0的乘法口算和笔算的方法，能灵活地利用简便方法计算，提高乘法计算能力；能用从条件想起的策略分析实际问题数量关系，提高分析问题和解决问题的能力。
3.使学生感受自己在数学学习上的收获和进步，树立学好数学的自信心，提高学习数学的自觉性；了解数学在在解决实际问题中的应用，体会数学学习的价值培养认真计算和检查的学习习惯。
【教学重难点】重点：两位数笔算（末尾有0）的方法。
解决两步连乘的实际问题。
难点：会用不同方法解决两步连乘的实际问题。
【教学准备】多媒体课件【教学过程】一、导入新课我们已经学会了有关两位数乘两位数（末尾有0）的笔算和两步连乘解决实际问题，首先我们来复习一下这些知识。
1.两位数乘两位数（末尾有0）时有哪些注意点？（板书）点名学生回答，最后教师总结。
在笔算的时候，把两位数与整十数的十位对齐，算出答案后，再把个位的“0”添上去。
2.复习两步连乘解决实际问题。
（板书）提问：在用不同方法解决两步连乘实际问题时，步骤是怎样的呢？今天我们就来进行一定的练习，提高我们解决这些问题的能力。
通过练习，要进一步掌握乘数末尾有0的乘法简便算法，能进一步应用从条件想起的策略分析实际问题数量关系，掌握解题思路，正确解答两步计算实际问题。
二、计算练习1.做练习二第1题让学生直接写出得数。
交流并呈现得数。
选择2-3题说说是怎样算的。
预设：在口算两位数乘整十数时先算两位数乘几，然后再添一个0；口算几十乘几十的时候，先算几乘几，再添两个0，几百乘几的时候先算几乘几，再添两个0。
2.笔算。
（1）做练习二第2题前两题。
学生独立计算，指名板演。
交流：第一小题是怎样算的？（检查竖式和笔算过程）积里为什么会有两个0？第二小题计算对不对？这里积的末尾哪个0是算出来的，哪个0是添上的？提问：乘数末尾有0的乘法怎样算比较方便？计算时还要注意什么？指出：乘数末尾有0的乘法笔算，先把乘数0前面的数对位相乘，乘数有几个0，就在积的末尾添上几个0。
物理化学傅献彩习题课-第二、三、四章
8.卡诺循环过程包括——、——、———、———。 9.理想气体在等温下向真空膨胀，则ΔU=———，ΔH=—— ——，ΔS————。 10.在隔离系统中发生某剧烈化学反应，使系统的温度及压力 皆明显升高，则系统的：ΔS—；ΔU—；ΔH——；ΔA—； Δ G——。（填>0,=0,<0或无法确定。） 11.使一个过程的熵变等于零，应满足的条件是—————— ——————————。 12.给自行车打气时，把气筒内的空气作为系统，打气筒、橡 皮管和轮胎均不导热，则该过程中Q—0，W—0。 13.理想气体从相同始态分别经绝热可逆膨胀和绝热不可逆膨 胀到达相同的终态压力，则终态的温度T可逆——T不可逆；V可 逆—V不可逆；ΔH可逆—ΔH不可逆。 14.在恒熵、恒容、不做非膨胀功的封闭系统中，当热力学函 数——到达最——值的状态为平衡状态。 15
13
填空题
1.Qv=ΔU应用条件是__________， _________， __________。
2.纯物质完美晶体___________________时熵值为零。 3.热力学第三定律的普朗克说法的数学表达式是——。
4.熵增原理表述为
_______________________________________________________ _________________________________。 5.物理量Q、T、P、V、W、U、H、S、A、G ，其中属于状态函数 的是————；与过程有关的是————；状态函数中属于容 量性质的是—————；属于强度性质的是————。 6.节流膨胀过程是————，膨胀后温度将———。 7.热力学第二定律的经典表述之一是——-————————； 其数学表达公式是——————————。
椐，因 W = 0 ∴ −W ≤ − ∆vapA ∴ ∆vapA < 0，过程不可逆 ∵ 过程不恒压，不能用 ∆vapG 来判别
电工技术(第三版席时达)教学指导、习题解答第二章.docx
第二章电路分析方法【引言】①电路分析是指在已知电路结构和元件参数的条件下，确定各部分电压与电流之间的关系。
②电路按结构形式分简单电路——单回路电路。
用欧姆定律即可解决。
复杂电路——不能用串并联的方法将多个回路化简为单回路的电路③ 分析和计算电路原则上可以应用欧姆定律和基尔霍夫定律解决，但往往由于电路复杂，计算手续十分繁琐，还需用到一些其他方法，以简化计算。
本章介绍三种最常用的电路分析方法：支路电流法、叠加定理和戴维宁定理。
学习目的和要求1．掌握用支路电流法分析电路的方法。
2.掌握用叠加定理分析电路的方法3.掌握用戴维南定理分析电路的方法。
2-1支路电流法【讲授】计算复杂电路的各种方法中，最基本的方法是支路电流法。
一、内容：以支路电流为待求量，利用基尔霍夫两条定律，列出电路的方程式，从而解出支路电流。
【说明】因基尔霍夫定律适用于任何电路，故支路电流法是分析复杂电路的一种最基本方法，可以在不改变电路结构的情况下求解任何电路。
〔例 2-1-1 〕试用支路电流法求例1-2-3 的两台直流发电机并联电路中的负载电流I 及每台发电机的输出电流I1和 I2。
〔解〕（ 1）假定各支路电流的参考方向如图2-1-1所示。
根据基尔霍夫电流定律列出结点电流方程。
对于结点 A 有12－ I=0（ 1）I +I对于结点 B 有－I 12－ I +I=0【说明】①这两个方程中只有一个是独立的。
另一个可由图 2-1-1②一个独立的电流方程中至少应包含一个在其它方程中没有出现过的新支路电流。
一般情况下，如果电路有 n 个结点，则按基尔霍夫电流定律列出的独立方程数为n-1。
至于选那几个结点列方程，则是任意的。
③本例中选结点 A 的电流方程作为独立方程，把它记作式（ 1 ）。
（2）根据基尔霍夫电压定律，列出回路的电压方程。
对于回路Ⅰ有I1R1－ I2R2+U S2－ U S1=0（ 2）对于回路Ⅱ有I 2 2S2（ 3）R +IR－ U =0本例中共有三条支路，也就是有三个待求电流I1、I 2和I，因而有三个方程即可求解。
代数式运算的规则和步骤的简约总结
代数式运算的规则和步骤的简约总结代数式运算是指在数学中，对代数式进行加、减、乘、除等运算的过程。
在进行代数式运算时，需要遵循一定的规则和步骤。
下面是对代数式运算规则和步骤的简约总结：1.运算顺序：在进行代数式运算时，应先进行括号内的运算，然后按照从左到右的顺序进行乘、除运算，最后进行加、减运算。
2.同类项：同类项是指字母相同且相同字母的指数也相同的代数式。
在进行加减运算时，可以直接合并同类项，其系数相加减，字母部分不变。
3.乘法分配律：乘法分配律是指对于任意的代数式a、b和c，有a(b+c) = ab + ac。
这意味着在乘法运算中，可以先将乘数与括号内的每一项分别相乘，然后再将结果相加。
4.幂的运算：幂的运算规则包括同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，指数相乘；幂的除方，指数相除。
5.合并同类项：合并同类项是指将具有相同字母和相同指数的代数式相加减。
合并同类项时，只需将系数相加减，字母部分保持不变。
6.因式分解：因式分解是指将一个代数式分解成几个整式的乘积的形式。
因式分解的目标是找出代数式的所有因子，并将它们相乘得到原代数式。
7.分配律的应用：分配律在代数式运算中非常重要，它可以帮助简化代数式的运算过程。
例如，在计算(a+b)c时，可以使用分配律将其展开为ac+bc。
8.代数式的简化：代数式的简化是指将代数式进行变形，使其更加简洁。
简化代数式的方法包括合并同类项、因式分解等。
9.运算的优先级：在代数式运算中，乘方、乘除、加减的优先级不同。
应先进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
10.代数式的运算步骤：代数式的运算步骤包括先进行括号内的运算，然后进行乘方运算，接着进行乘除运算，最后进行加减运算。
在每一步运算中，都需要遵循相应的运算规则。
通过以上简约总结，希望能帮助您更好地理解和掌握代数式运算的规则和步骤。
在实际运算过程中，多加练习，可以提高运算速度和准确性。
高中数学课本a版课后习题答案
高中数学课本a版课后习题答案在高中数学的学习过程中，课后习题是帮助学生巩固课堂知识、提高解题技能的重要环节。
然而，并不是所有的学生都能在第一时间内找到解题的思路和方法。
因此，课后习题的答案成为了很多学生在自学过程中的重要参考。
注意：下面提供的答案仅供参考，解题的过程和理解才是学习的关键。
强烈建议学生们在尝试自己解决问题后再参考答案。
第一章：函数习题1：函数的定义域和值域的确定。
- 答案：要确定函数的定义域，需要找出函数表达式中所有变量的取值范围。
值域则是函数输出值的集合，通常通过分析函数的性质或者图像来确定。
习题2：函数的单调性。
- 答案：函数的单调性可以通过求导数来判断。
如果函数在某个区间内的导数始终大于0，则该区间内函数是单调递增的；如果导数始终小于0，则函数是单调递减的。
习题3：函数的奇偶性。
- 答案：判断函数的奇偶性，需要将函数表达式中的自变量x替换为-x，然后比较原函数与新函数的关系。
如果相等，则函数是偶函数；如果互为相反数，则函数是奇函数。
第二章：三角函数习题1：三角函数的基本性质。
- 答案：正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)在单位圆上分别对应角度x的y坐标和x坐标。
它们的基本性质包括周期性、对称性等。
习题2：三角函数的图像。
- 答案：正弦函数的图像是波形图，周期为2π，余弦函数的图像与正弦函数类似，但相位移动了π/2。
习题3：三角恒等式的应用。
- 答案：三角恒等式如sin²(x) + cos²(x) = 1，可以用来简化三角函数表达式，也可以用来证明其他三角恒等式。
第三章：解析几何习题1：直线方程的求解。
- 答案：直线方程可以通过点斜式、两点式或者一般式来表示。
根据已知条件选择合适的方法求解。
习题2：圆的方程。
- 答案：圆的标准方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心坐标，r是半径。
习题3：椭圆、双曲线和抛物线的方程。
高数习题2-3的答案
高数习题2-3的答案高数习题2-3的答案高等数学作为大学数学系列课程的重要组成部分，对于培养学生的数学思维、分析问题的能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。
习题是高等数学学习中的重要环节，通过解答习题可以帮助学生巩固所学的知识点，提高解决问题的能力。
本文将针对高数习题2-3进行详细的解答和分析。
习题2-3的题目如下：已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(2)的值。
解答：题目要求我们求函数f(x)在x=2处的取值，即求f(2)的值。
我们可以根据函数的定义，将x代入函数f(x)中进行计算。
将x=2代入函数f(x)中，得到：f(2) = 2^2 + 3*2 + 2= 4 + 6 + 2= 12因此，函数f(x)在x=2处的取值为12。
通过这个简单的习题，我们可以看到，函数的定义是解决问题的关键。
在解答习题时，我们需要根据题目给出的函数定义，将变量代入函数中进行计算，从而得出最终的结果。
除了这道习题，高等数学中还有许多涉及函数的习题，例如求函数的极限、导数、积分等。
这些习题需要我们熟练掌握函数的性质和计算方法，才能正确解答。
在解答习题时，我们还可以运用一些数学方法和技巧，例如利用函数的对称性、利用函数的性质进行化简等。
这些方法和技巧可以帮助我们更快地解答习题，提高解题效率。
此外，解答习题还需要我们具备一定的逻辑思维能力和数学推理能力。
有些习题可能需要我们进行推导和证明，通过逻辑推理得出结论。
这对于培养学生的思维能力和分析问题的能力具有重要意义。
总之，高等数学习题是培养学生数学思维和解决问题能力的重要手段。
通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力。
在解答习题时，我们需要熟练掌握函数的性质和计算方法，灵活运用数学方法和技巧，具备一定的逻辑思维和数学推理能力。
只有通过不断地练习和思考，我们才能在高等数学学习中取得好的成绩。
提升模拟练习2解题报告(1套非常适合小学生研究的编程试题)
分
{
解
while(x%j==0){y++;b[y]=j;x=x/j;} //分解并保存
质
}
因
if(x>1){y++;b[y]=x; } //剩余部分保存,此语句很多学生会漏写 数
x=1; //假设是单纯质因数
for(j=2;j<=y;j++)
if(b[j]==b[j-1]){x=2;break;} //存在相同因子数则否定
输出有多少个同学的位置发生了变化。 输入样例： 10 1 2 5 4 6 3 7 8 9 10 输出样例： 3 （样例说明：只有学号为5，6，3共3位同学的位置发生了变化。）
第一题 换座位解题报告 题意分析：
试题难度：★ 解题思路：
10 数 1 2 5 4 6 3 7 8 9 10 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
依次输出N以内所有具有单纯质因数的合数。 输入样例：
12 输出样例：
6 10
第五题 单纯质因数
数学知识点： 如5=5 6=2*3 8=2*2*2 45=3*3*5
第五题 单纯质因数解题报告方法1 题意分析：
试题难度：★★★★ 普通的解题思路：
验证150是不是单纯质因数？
普通的思路参考
#include <math.h>
√
×
×
√
第六题 安装饮水机参考程序：
第一题 换座位参考程序
第二题 找M进制数
问题描述： 在信息学课上，楠楠学习了进制数。 他知道了原来数不仅可以表示成十进制，还可以表示成二进制，八进制， 十六进制，甚至是二十进制，三十进制都可以。而且它们都有一个相同的 运算规则：逢M进一，例如：二进制逢二进一，八进制逢八进一。因此，M 进制数中每一位上的数可以用0～M-1来表示，即二进制数中只有0和1两种 数字，八进制数中有0，1，2…7共八种数字。但是若M大于10时，大于等 于10的数字用大写字母表示，例如十六进制数中有0，1，2…9，A…F共16 种数字。 现在老师给出N个任意进制数，要求统计出N个数中合法的M进数的个数。 输入格式： 输入数据有多行。 第一行，有两个整数N(1<=N<=100000)和M(2<=M<=36)，分别表示任意进 制数的个数和M进制。 接下来有N行，每行一个由数字和大写字母构成的任意进制数,位数小于50。 输出格式：
二年级上册数学《表内乘法(二)：解决问题(例3)》
二年级上册数学《表内乘法（二）：解决问题（例3）》教学设计教学目标核心素养：1.知识与技能：1.学生能够运用所学的乘法口诀解决简单的实际问题。
2.培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力。
2.过程与方法：1.引导学生通过读题、理解题意、建立数学模型等过程，培养解决问题的能力。
2.培养学生的观察、分析和逻辑推理能力。
3.情感、态度与价值观：1.激发学生学习数学的兴趣，体验解决问题的成就感。
2.培养学生独立思考、合作交流的意识和习惯。
教学重点•运用乘法口诀解决简单的实际问题。
•培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力。
教学难点•理解题意，正确建立数学模型。
•灵活运用乘法口诀进行计算。
教学资源•多媒体课件（包含例题、练习题等）。
•乘法口诀卡片。
•黑板或白板及书写工具。
教学结构设计1.复习创设情境引入课题•复习乘法口诀，进行口算练习。
•创设情境，引入实际问题，引导学生思考如何运用乘法口诀解决。
2.初读课文识记生字•引导学生阅读例题，识记与问题相关的生字。
•强调问题的关键信息，帮助学生理解题意。
3.整体感知理清层次•分析问题的结构，理清层次和关系。
•引导学生将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型。
4.教学活动•分组讨论：学生分组讨论问题，交流解决思路和方法。
•示范讲解：教师针对学生的讨论情况进行示范讲解，明确解题步骤和方法。
•练习巩固：学生独立完成练习题，加深对乘法口诀的应用理解。
5.总结拓展•总结本节课学习的解决问题的方法和技巧。
•拓展延伸：引导学生思考类似的问题，尝试运用所学知识解决。
板书设计《表内乘法（二）：解决问题（例3）》一、复习引入乘法口诀回顾二、问题呈现例3：题目内容（根据实际例题书写）三、解题思路1. 理解题意2. 建立模型3. 运用乘法口诀计算四、练习巩固练习题1、2、3...（根据实际练习题书写）五、总结拓展解题方法总结类似问题拓展课后反思•反思学生在解决问题过程中的表现，分析他们是否能够正确理解题意并建立数学模型。
大班练习题2和3的分解与组成
——2、3的分解与组成姓名：班级：一、数一数，填数字。
（）（）二、数一数，分一分。
三、想一想，填一填。
四、分分合合，连一连。
五、再试着说一说吧！2可以分成1和1，1和1合起来就是2。
3可以分成1和2，1和2合起来就是3。
3还可以分成2个和1个，2和1合起来就是3。
1 1 1大班结构游戏执教：郭健班级：大一班活动名称：热闹的街道活动目标：综合运用围合、垒高、平铺、插接等技能建构出书林街道上的马路、房子、商店，树木，学校等2.能在活动中相互合作，相互谦让活动准备：雪花片，管状拼接玩具，积木活动过程：一．师生谈话，引入活动：师：平时，我们上学、放学经过的这个街道，小朋友知不知道街道名字呢？你们看到了什么？（让幼儿说一说街道中有什么，如：马路，房子、树木，学校，商店，马路上的车等）二．组织幼儿讨论：1．师：街道里有各种各样的东西，我们该选择什么材料来建构呢？2．幼儿分组讨论，学习根据物体的外形特征正确选择和使用不同类型的建构材料进行建构。
3．请个别幼儿说一说自己的看法。
4．教师小结，如：房子和学校，要用大一点的插塑来建构，如管状的炮筒或者是积木，马路就可以用矮小的长的管状玩具，车可以用雪花片来拼接，三．幼儿建构，教师指导并提出要求1．幼儿自由分组，选择自己喜欢的物体进行建构。
请先搭马路的小朋友先把马路铺好，等他们铺好马路，其他组的小朋友再把2. 提出要求：和好朋友一起合作建构。
选择自己需要的材料。
活动时要互相商量、帮助，学会谦让。
3．教师巡视幼儿的游戏情况，鼓励幼儿积极主动地参与游戏。
4．指导幼儿根据物体的外形特征正确选择和使用不同类型的建构材料进行建构。
5．让幼儿将搭好的物体摆放到指定的地方。
四．。
大学化学课后习题1,2,3答案
大学化学课后习题答案(吉林大学版)第1_2_3_章第1章化学反应基本规律1.2 习题及详解一．判断题1. 状态函数都具有加和性。
（×）2. 系统的状态发生改变时，至少有一个状态函数发生了改变。
（√）3. 由于CaCO3固体的分解反应是吸热的，故CaCO3的标准摩尔生成焓是负值。
（×）4. 利用盖斯定律计算反应热效应时,其热效应与过程无关,这表明任何情况下,化学反应的热效应只与反应的起,始状态有关,而与反应途径无关。
(×)5.因为物质的绝对熵随温度的升高而增大，故温度升高可使各种化学反应的ΔS大大增加。
（×）6. ΔH, ΔS受温度影响很小，所以ΔG受温度的影响不大。
（×）7. 凡ΔGθ大于零的过程都不能自发进行。
（×）8. 273K，101.325KPa下，水凝结为冰，其过程的ΔS<0, ΔG=0。
(√)9.反应Fe3O4(s)+4H2(g) → 3Fe(s)+4 H2O(g)的平衡常数表达式为2244(/)(/)H OTHp pKp pθθθ=。
（√）10．反应2NO+O2→2NO2的速率方程式是:)()(22OcNOkcv⋅=，该反应一定是基元反应。
（×）二．选择题1. 某气体系统经途径1和2膨胀到相同的终态，两个变化过程所作的体积功相等且无非体积功，则两过程（ B ）A.因变化过程的温度未知，依吉布斯公式无法判断ΔG是否相等B.ΔH相等C.系统与环境间的热交换不相等D.以上选项均正确2. 已知CuCl2(s)+Cu(s)→2CuCl(s) Δr H mΘ(1) =170KJ•mol-1Cu(s)+Cl2(g) → CuCl2(s) Δr H mΘ(2) =-206KJ•mol-1则Δf H mΘ（CuCl,s）应为（D ）KJ.mol-1A.36B. -36C.18D.-183. 下列方程式中,能正确表示AgBr(s)的Δf H mΘ的是( B )A.Ag(s)+1/2Br2(g)→ AgBr(s)B.Ag(s)+1/2Br2(l)→AgBr(s)C.2Ag(s)+Br2(l)→ 2AgBr(s)D.Ag+(aq)+Br-(aq)→ AgBr(s)4. 298K下，对参考态元素的下列叙述中，正确的是（ C ）A.Δf H mΘ≠0，Δf G mΘ＝0，S mΘ＝0B.Δf H mΘ≠0，Δf G mΘ≠0，S mΘ≠0C.Δf H mΘ＝0，Δf G mΘ＝0，S mΘ≠0D.Δf H mΘ＝0，Δf G mΘ＝0，S mΘ＝05. 某反应在高温时能自发进行，低温时不能自发进行，则其（ B ）A.ΔH>0, ΔS<0 ；B. ΔH>0, ΔS>0C.ΔH<0, ΔS<0 ；D.ΔH<0, ΔS>06.1mol气态化合物AB和1mol气态化合物CD按下式反应:AB(g)+CD(g)→AD(g)+BC(g),平衡时,每一种反应物AB 和CD都有3/4mol转化为AD和BC,但是体积没有变化,则反应平衡常数为( B )A.16B.9C.1/9D.16/97.400℃时，反应3H2(g)＋N2(g)→2NH3(g)的K673Θ＝1.66×10-4。
数学解题的基本过程
数学解题的基本过程陕西师范大学数学系罗增儒710062我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程．解题过程不仅仅是“书写表达”，它应该包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤，通常有四个基本的阶段（波利亚）：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思．科学把握好这四个阶段是一种良好的解题习惯．大家对这四个阶段应该都不陌生，但是，能够给学生说清楚、讲明白吗？比如大家都知道解题首先要审题，但是审题“审什么？怎么审？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道解题的关键是思路探求，但是探求“探什么？怎么探？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道解题书写很重要，但是书写“写什么？怎么书？”能够给学生说清楚、讲明白吗？大家都知道学会解题的好途径是反思，但是反思“思什么？怎么思？”能够给学生说清楚、讲明白吗？下面，我们一起来经历解题过程，从做一道最新高考题开始．1 数学解题的热身例 1 设a R ∈，若0x >时均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则a =_____．（2012年数学高考浙江卷理科第17题，4分）先请独立求解，然后分析两个学生的解法，最后交流你们的解法1-1 两个解法请辨析1-1-1 解法呈现解法1 分为以下两种情况（两式同时非正或同时非正）：（1）当()110a x --≤时，由已知，对0x >有210x ax --≤，两式相加消去ax ，得()()220210x x x x --≤⇔-+≤，对0x >成立．这是不可能的，取3x =就矛盾，即在这种情况下无解．（2）当()110a x --≥，由已知，对0x >有210x ax --≥，两式相加消去ax ，得()()220210x x x x --≥⇔-+≥，对0x >成立．这是不可能的，取1x =就矛盾，即在这种情况下无解． 所以，本题无解（或是一道错题）．解法2 对1a -分两种情况讨论．（1）当10a -≤时，由0x >，有()110a x --<，从而210x ax --≤． 有 11,1,a x a x x ⎧<+⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩⇒11102x x x x -<+⇒<<， 这时对02x <<，及111x a x x -≤<+，有3111132112222x a x x ⎛⎫⎛⎫=-=-≤<+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最大值最小值， 得32a =． （2）当10a ->时，由()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，（0x >） 得10122a a x x x a ⎛-+⎛⎫---≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（0x >） 但0x >时，0x ⎛-> ⎝⎭，故101x x a ⎛⎛⎫-≥ ⎪ -⎝⎭⎝⎭，（0x >） 取11a =- 即11a -是方程210x ax --=的解，有11011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭ 解得32a =． 合并得32a =． （请大家把想法写下来）1-1-2 解法分析第1、解法1的分析．（1）解法1是“会而不对”．思路有合理成分，但叫做“会而不对”一个反例便可说明其结论错误．（必要性）取2x =，由已知有()2230a --≥，得32a =． 反之（充分性），当32a =时，对0x >有 ()()()()22111122104a x x a x x x ----=-+≥⎡⎤⎣⎦恒成立． 所以，本题有解32a =，不是无解、更非错题． （2）解法1的错误内容（主要说三点）：错误1：不能推出．指由已知“不能推出”（1）、（2）．仅当()110a x --<时，才能够由已知推出210xax --≤；仅当()110a x -->时，才能够由已知推出210x ax --≥．而当()110a x --=时，21x ax --可以大于0、等于0、小于0．（分五种情况，比较麻烦，但可以改写为两种情况，参见代数解法）错误2：构成矛盾无效．其实分两种情况讨论的同时，也对()0,x ∈+∞作了两种情况的区分．对第一种情况有()2110,01,a x x ax --≤-≤-⎧⎨⎩⇒11,1,a x a x x ⎧≤+⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩， 得 11102x x x x-≤+⇒<≤． 可见，这时取3x =是无效的．对第二种情况有()2110,10,a x x ax ⎧--≥⎨--≥⎩⇒11,1,a x a x x ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩得 1112x x x x+≤-⇒≥， 可见，这时取1x =是无效的．所以，两种情况下构成矛盾都是盲目的、无效的．错误3：心理沿袭和监控缺失分两种情况讨论的同时，也把()0,x ∈+∞分成02x <≤与2x ≥两种情况，其实在解法1有明显的透露：由()2110,10,a x x ax ⎧--≥⎨--≥⎩⇒()()220210x x x x --≤⇔-+≤，可得02x <≤；由()2110,10,a x x ax ⎧--≥⎨--≥⎩⇒()()220210x x x x --≥⇔-+≥，可得2x ≥．但是解法1对此熟视无睹，两种情况下都依然沿袭0x >，并由此出发去构成无效矛盾，这除有知识盲点、逻辑盲点外，还有视而不见的心理沿袭和反思监控的思维缺失．（3）解法1错误的性质：既有知识性错误，又有逻辑性错误，还有心理性错误，主要是逻辑性错误．第2、解法2的分析．（1）解法2是“对而不全”． 得出32a =是对的，但过程有问题，叫做“对而不全”．（2）解法2的错误内容．主要出现在10a -≤的情况．错误1：在02x <<时，函数1y x x =-没有最大值，函数11y x=+没有最小值，分别是上、下确界为32．（中学没有上、下确界，讲不清楚）错误2：在10a -≤条件下推出32a =，两者是互相矛盾的． （3）解法2的错误性质：错误1是知识性错误，错误2是逻辑性错误．1-1-3 解法交流第一部分、代数解法．代数解法1 分5种情况讨论（1）()2110,01,a x x ax --<-≤-⎧⎨⎩（0x >）（2）()2110,01,a x x ax -->-≥-⎧⎨⎩（0x >），（3）()2110,01,a x x ax --=->-⎧⎨⎩（0x >），（4）()2110,01,a x x ax --=-<-⎧⎨⎩（0x >）（5）()2110,01,a x x ax --=-=-⎧⎨⎩（0x >）比较麻烦还可能避不开上下确界．代数解法2 分2种情况讨论．（1）当10a -≤时，……得矛盾．无解．（2）当10a ->时，……得32a =，且对0x >均有()()()()22111122104a x x ax x x ----=-+≥⎡⎤⎣⎦．所以得32a =． 代数解法3 更换主元，看成关于a 的不等式，有1110a a x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦．（0x >） 比较11,1x x x -+的大小知：当02x <≤时，有111x x x-≤+；当2x ≥时，有111x x x+≤-． （1）当02x <≤时，解关于a 的不等式有111x a x x-≤≤+， 得m a x m i n 3111132112222x a x x ⎛⎫⎛⎫=-=-≤≤+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得32a =． （2）当2x ≥时，解关于a 的不等式有111a x x x+≤≤-， 得max min 3111131122222a x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+≤≤-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得32a =． 综上的得32a =． 当32a =时，对0x >均有 ()()()()22111122104a x x ax x x ----=-+≥⎡⎤⎣⎦． 所以32a =为所求． 第二部分、数形结合．数形结合 1 作出函数()11y a x =--，21y x ax =--的图像可以发现（如图1）， 图1（1）两函数图像都过定点()0,1-．（2）在0x >的右半平面上，绕定点()0,1-旋转直线()11y a x =--可以看到，满足条件的图形只能是：两函数图像或同在下半平面、或同在上半平面，即两函数图像的另一交点在x 轴上．对函数()11y a x =--，令0y =，得零点1,01a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，其中101a >-⇒1a >；把零点1,01a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭代入21y x ax =--，得 211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭， 解之，取大于1的解，得32a =．数形结合2 将ax 看成主元，由原不等式可得()()2110ax x ax x ⎡⎤-+--≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，有 ()()()()221,11,1min maxx x ax x x ⎡⎤⎡⎤+-≤≤+-⎣⎦⎣⎦ 图2 即直线y ax =介于两函数21,1y x y x =+=-的图像之间( 如图2所示) ，故直线y ax =过两图像21,1y x y x =+=-的交点( 2，3) ，有 y ax =，得32a =．第二部分、小题小解．难得不会想简单的（必要性），取1x =，有()20a a -≤，得02a ≤≤．取2x =，有()2230a --≥，得32a =． 反之（充分性），当32a =，0x >时 ()()()()22111122104a x x a x x x ----=-+≥⎡⎤⎣⎦． 所以得32a =． 其实，上面的解法都指向2x =，抓住2x =江湖上人称“一剑封喉”．2 解题过程的讲解如上所说，科学把握好“理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思”这四个阶段是一种良好的解题习惯．这也是高考解题的基本过程，平时要四步全面抓，别忘了“回顾反思”，考试临场则重在前三步“理解题意、思路探求、书写表达”．2-1 理解题意理解题意也叫做“审题”或“弄清问题”，主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、及沟通起点与目标之间联系的更多信息．审题审什么？怎么审？我们说，要抓好审题的“三个要点、四个步骤”．（1）审什么的“三个要点”．要点1：审清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件就是要把它们都找出来；其次，也是更重要的，是弄清条件的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系．题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好了行进中的加油站．要点2：审清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题（还有选择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数学概念有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解”题、探索题（还有填空题等），这时的弄清结论，就是要弄清“求解”（探索）的性质或范围，它们与哪些数学关系、哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向．题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导解题方向．弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带上了纠正偏差的指南针．数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配的、受实践的目的制导的．要点3：审清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些联系就表现为题目的结构．为了更接近问题的深层结构，审题不仅开始于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与结果的反思．应该是循环往复、不断深化的过程．题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示．（2）怎么审的“三四个步骤”．步骤1：读题——弄清字面含义．审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读300 ~ 400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了一分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法结构、逻辑关系上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个，这是读题最实质性的工作．其次要从答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节，比如在考试中，有的题目要求保留小数点几位等等，如果不按这些要求来，解答就会被认为不完整（存在扣分的危险），虽然有的同学并非不会做．步骤2：理解——弄清数学含义．看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语言、符号语言、形象语言之间的转化，从题目的叙述中获取数学“符号信息”，从题目的图形中获取数学“形象信息”，弄清题目的数学含义．这当中，我们常常要“回到定义”、激活相关的数学知识，常常要辅以图形或记号，使条件和结论都数学化，并被我们所理解．步骤3：表征——识别题目类型．信息在大脑的呈现叫做表征．弄清条件、弄清结论的同时，条件与结论之间的关系会在头脑呈现，这种呈现不仅会激活相关的数学知识，而且也会调动相关的解题经验．对于大量的常规题来说，条件与结论之间的关系结构是记忆储存所现成的——每人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有基本模式与经典题型，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取该题型的相应方法即可解决（叫做模式识别）．即使是新的“陌生情景”，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标，继而可以用“差异分析”、“数形结合”等措施，进入下一阶段——思路探求．解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．步骤4：深化——接近深层结构．简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通，但有时认识是浅层的．对于变通过的、“形似而质异”的、或综合性较强的题目，则还要不停顿地“理解题意”．因而，“理解题意”的工作在“识别题目类型”之后还结束不了，主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识的过程，即更本质的“理解题意”、努力接近问题的深层结构．经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢”．（审题要慢、书写要快）题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示．注意：这些要点，叙述时是分解动作，真正解题时是连续进行、一气呵成的．思考练习1：请思考下面各题中条件是什么、结论是什么．例 2 设()f x是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11] -，上，111()21xxaxf x bxx< +-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b∈R，．若1322f f⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b+的值为．（2012数学高考江苏卷理科第10题，5分）三个条件？（1）设()f x是定义在R上且周期为2的函数；（2）在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，； （3）1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 其实，（2）中有一个（隐含条件）(1)(1)f f -=⇒，可得20a b +=． 解 因为2T =，所以(1)(1)f f -=，可得20a b +=． 由1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及2T =，得1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得322a b +=-． ()()35327210010a b a b a b +=+-+=--=-．也可以联立20322a b a b +=⎧⎨+=-⎩解出24a b =⎧⎨=-⎩得310a b +=-．这里有方程观点．例 3 设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则+m n 的取值范围是（A）[1+（Ｂ）(,1[13,)-∞++∞（C）[22-+（D ）(,2[222,)-∞-++∞ （2012年高考数学天津卷理科第8题）条件是什么？两个条件？（1）,m n R ∈；（2）动直线与定圆相切． 相切是文字语言，无法运算、难以推理，要明确其 “数学含义”．如●圆心到直线的距离等于半径（点到直线距离公式）●联立方程得二次方程判别式等于0……那么，+m n 算条件还是结论？我们算条件：（3）并非所有的,m n R ∈都能使直线与定圆相切，题目的意思是，如果“存在”这样的,m n R ∈，使直线与定圆相切，那么就把它们加起来求“和”+m n ，这个“和”组成一个集合，题目叫做“取值范围”．结论是什么？求+m n 的取值范围．文字语言“取值范围”的数学含义可以作两个方面的理解（充分必要）：必要性 满足条件的和都在这个“范围”里；充分性 这个“范围”里的a 都满足条件．解 直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则圆心(1,1)到直线的距离为圆的半径11d ==得 1m n mn ++=．由基本不等式，有212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，即 ()()2440m n m n +-+-≥，解得(,2m n +∈-∞-[222,)++∞．问题1 如果作为解答题要不要验证(,2m n +∈-∞-[222,)++∞ ①时，直线与圆相切？是验证①“所有的”,m n ，还是验证①“存在”,m n ？问题2 原题可否改写为：例3-1 直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切的充要条件是2m n +-≥问题3 是否赞成怎样的改写：例3-2 存在,m n R ∈，使直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则+m n 之和的取值范围是（A ）[1+ （Ｂ）(,1[13,)-∞++∞ （C ）[22-+（D ）(,2[222,)-∞-++∞ 例3-3 存在,m n R ∈，使直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切的充要条件是2m n +-≥2-2 思路探求寻找解题思路是探索解题结论的发现过程，基本的想法是，把待解决或未解决的问题，化归为一类已经解决或者比较容易解决的问题．可以分两步走：（如图３）（1）努力在已知与未知之间找出直接的联系——化归为已经解决过的基本问题．对于大量的常规题来说，题意弄清楚了，题型就得以识别，记忆中关于这类题的解法就召之即来．（叫做模式识别）（2）如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改．（运用解题策略：差异分析、以退求进、区分种种情况、正难则逆、以及自始至终的数形结合等）图3①差异分析：通过分析条件与结论之间的异同、并不断减少目标差来完成解题的思考方法叫做差异分析法．使用差异分析法有3个步骤：通过分析题目中所出现的元素及特征去寻找异同点，对目标差运用基础理论与基本方法作出减少目标差的某种反应，把减少目标差的调节积累起来、直至消除．②以退求进：可以先考虑问题的特殊情况，或先考虑问题的一部分，看清楚、想明白了再进．退是手段、进是目的，“难的不会想简单的”是个好主意．在具体实践中，常常是进退互化．③区分种种情况：或是分解为一个个小步骤（分步）、或是分解为一个个小类型（分类），各个击破、分别解决．在具体实践中，常常是分合并用．④正难则逆：正面思考有困难时，可以调整思考的方向，转而从结论入手（分析法、逆推法），或反面思考问题（反证法）．在具体实践中，常常是正反相辅．⑤数形结合：在探索的过程中，要始终不忘把数与形结合起来思考，既会把数式转变为图形，又会把图形转变为数式，注意发挥数与形的双重优势．（3）模式识别在求解高考题中的具体化：●化归为课堂上已经解过的问题．●化归为往届高考题．因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导．离开了课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？还能从哪里找到解题灵感的撞针？中考解题一定要抓住“课本”这个根本．因为课本是中考命题的基本依据．有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题；有的试题是课本概念、例题、习题的改编；有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓；少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求．可以说，抓住了“化归为课堂上已经解过的题”就抓住了多数考题．“化归为课堂上已经解过的题”的实质是化归为课堂上学过的内容与方法，以不变应万变．思考练习2：请思考下列各题中的解题思路．例4-1 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2e =．已知点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到这个椭圆上的点的最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的最远距离等于的点的坐标．（1990数学高考文科26题、理科第25题，12分）改为74）例4-2 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =C 上的点到()0,2Q 的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n 使得直线L ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且O A B 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由． （2012数学高考广东卷理科第20题，14分）例5 余弦定理的两个话题．例5-1 余弦定理记得住、会证明吗？（2011陕西高考题）思路1（向量证明）思路2（坐标证明） 如图4，在ABC中，设()()()11220,0,,,,A B x y C x y ，由向量数量积的定义,有 图4cos AB ACA AB AC x== （把向量变为坐标）=（坐标运算，保持分母一致）()()()()22222211221212x y x y x x y y ⎡⎤+++--+-=（保持分子一致） 2222AB AC BC AB AC+-=，（把向量变为数量） 得 2222c o s a b c b c α=+-．可见，余弦定理是向量数量积定义的一个特例．或说向量数量积定义的合理性是余弦定理．如果,B C 在单位圆上，记()()cos ,sin ,cos ,sin C B ααββ，则()2n c c o s n O C O BO C O B βα-== cos cos sin sin αβαβ+=．可见，余弦差角公式也是向量数量积定义的一个特例．余弦定理、向量数量积定义、余弦差角公式三者是相通的．（数学的统一性）例5-2 余弦定理的逆命题（怎样叙述，真假如何）对应余弦定理的符号等式，交换条件与结论，可以给出逆命题为：逆命题1 若,,a b c 为正实数，(),,0,αβγπ∈，有2222cos a b c bc α=+-， 2222cos b a c bc β=+-， 2222cos c a b bc γ=+-，则,,a b c 对应的线段构成一个三角形，且a 边的对角为α，b 边的对角为β，c 边的对角为γ．证明（略）逆命题2： 对于正实数,,a b c ，及()0,θπ∈，若有2222cos a b c bc θ=+-，则,,a b c 对应的线段构成一个三角形，且a 边的对角为θ．证明 以,b c ，θ为两边夹角作三角形，有余弦定理得 第三边为222cos b c bc θ+-，但2222cos a b c bc θ=+-，故第三边就是a ，所以,,a b c 对应的线段构成一个三角形，且a 边的对角为θ．例6 （Ⅰ）如图5，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线（b 不垂直于π），c 是直线b 在π上的投影，若a b ⊥，则a c ⊥”为真；（8分）（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明，12分） 图5（2012年数学高考陕西卷理科第18题，12分） 解法1 （略） 解法2 （略）证明3 （三垂线定理及其逆定理的统一证明）如图6，记直线a 的方向向量为a ，有0PO a =，又 P A P O=+，有 ()P A aP OO Aa P O a O A a O A a =+=+=，得00PA a OA a =⇔=，即 a b ⊥⇔a c ⊥． 图6（有了数量积的分配律三垂线定理就很简单了） 例7 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 ．（2012年数学高考新课标卷理科第16题，5分） 解法1 特殊化，取11a =，则由1(1)21n n n a a n ++-=-有123456789101112131415161, 2, 1, 6,1, 10, 1, 14,1, 18, 1, 22,1, 26, 1, 30,a a a a a a a a a a a a a a a a ================……归纳知，{}n a 的奇数项是恒为1的常数列；偶数项是首项为2，公差为4的等差数列，故{}n a 的前60项和为601235960S a a a a a =++++30293023042⨯⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭1830=．解法2 特殊化，取10a =，则由1(1)21n n n a a n ++-=-有123456789101112131415160, 1, 2, 7,0, 9, 2, 15,0, 17, 2, 23,0, 25, 2, 31,a a a a a a a a a a a a a a a a ================……归纳知，43k a -是常数列0；42k a -是首项为1，公差为8的等差数列，41k a -是常数列2；4k a 是首项为7，公差为8的等差数列，故{}n a 的前60项和为601235960S a a a a a =++++151415140151158215715822⨯⨯⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1830=．解法3 由已知有()()()()424341434142441414141424312242124112241n n n n n n n n n n n n a a n a a a a n a a n a a a a n -------+-+⎫-=--⎫⎪⇒+=⎪⎬+=--⎪⎪⎭⎬-=--⎫⎪⎪⇒+=⎬⎪+=-⎪⎭⎭4143n n a a +-⇒=，得1595761a a a a a =====．所以，{}n a 的前60项和为601234560S a a a a a a =++++++()()()()()()23456061325461602212412601a a a a a a a a a a a a =++++++=++++++=⨯-+⨯-++⨯-()31193018302+=⨯=．解法2 设4342414n n n n n b a a a a ---=+++，由已知有()()()()424341434142441414141424312242124112241n n n n n n n n n n n n a an a a a a n a a n a a a a n -------+-+⎫-=--⎫⎪⇒+=⎪⎬+=--⎪⎪⎭⎬-=--⎫⎪⎪⇒+=⎬⎪+=-⎪⎭⎭4143n n a a +-⇒=， ①取1n =，得15a a =，有()()11234523432543710.b a a a a a a a a a a a a =+++=+++=+++=+=同样，由已知有()()()()4142442441414424424124211682411241162411n n n n n n n n n n n n a ana a na an a a n a a n a an ----++++⎫+=--⎫⎪⇒+=-⎪⎬-=--⎪⎪⎭⎬+=-⎫⎪⎪⇒+=⎬⎪-=+-⎪⎭⎭42428n n a a+-⇒=+， ②()()()()441414141442414341434224112241241122421n n n n n n n n n n n n a an a a a a n a a n a a a a n -+-+++++++⎫-=--⎫⎪⇒+=⎪⎬+=-⎪⎪⎭⎬-=+-⎫⎪⎪⇒+=⎬⎪+=+-⎪⎭⎭434n n a a+-⇒=， ③()()()()414424424143424442444324116241124211682431n n n n n n n n n n n n a a n a a na a n a a n a a n a a n ++++++++++⎫+=-⎫⎪⇒+=⎪⎬-=+-⎪⎪⎭⎬+=+-⎫⎪⎪⇒+=+⎬⎪-=+-⎪⎭⎭44428n n a a++⇒=+， ④由①+②+③+④，得41424344434241416n n n n n n n n a a a a a a a a ++++---+++=++++，即1116,10.n n b b b +=+⎧⎨=⎩ 所以，{}n a 的前60项和为()6012359601215112151410151621830S a a a a a b b b n n b n d=+++++=+++-=+⨯=⨯+⨯=说明 可见，数列{}n a 的结构是这样的：（化归为等差、等比数列）()()4123414121212108182.n n nnS a a a a a b b b n n b n d n n n n n -=+++++=+++-=+=+-=+2-3 书写表达就是把打通了的解题思路（即自己看清楚、想明白的事意或不同意你看法的人）．这当中可能会有某一步骤因忽视了关键细节而反复，也可能会因认真整理思想而深化理解或触发新的灵感．在实现计划中“怎样书写表达”，这对学生来说仍然是一个需要系统指导和严格训练的问题．我们建议（1）平时抓“15字口诀”和“24字要领”：●抓住15字口诀：定方法、找起点、分层次、选定理、用文字．●把握24字要领：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范．（2）临场抓“书写要快”和“分段得分”：①在宏观上要有争分夺秒的速度意识，选择题、填空题要争取在一二分钟内解决（选择题“小题小做”、填空题“以快为上”），解决不了的就先跳过去（被跳过的题目其实还在潜意识里继续思考）；解答题中容易的题也不妨边想边写，节省草算时间，一般地，选择题、填空题与解答题的时间比可分配为4：6．②其次，具体到每一道题，一旦找到解题思路，书写要简明扼要、快速规范，不要拖泥带水，啰嗦重复，更别画蛇添足（导致倒扣分），用阅卷教师的行话来说，就是要写出“得分点”，就数学题而言，一个原理写一步就可以了，至于不是题目要直接考查的过度知识，特别是那些初中知识，可以直接写出结论，须知，多写一步就是多出现一个犯错误的机会，就是多占用了后面高分题的一点思考时间，这意味着“隐含失分”或“潜在丢分”．为了节约书写，我们建议多使用数学语言、集合符号、充要条件．③分段得分．一道高考题做不出来，不等于一点想法都没有，不等于所涉及的知识一片空白，尚未成功不等于彻底失败．问题是，如何将片段思路转化为得分点，从而“分段得分”．分段得分的基本内容是：防止“分段扣分”，争取“分段得分”．“会做的题不丢分，不会做的题拿足分”．●会做的题目，要力求不丢分．情况表明，对于考生会做的题目，阅卷教师更注意找其中的毛病，分段扣回一二分，这时要特别解决好“会而不对、对而不全”力求不丢分．相反，对考生未能正确解答或未能完整解答的题目，阅卷教师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”．●部分理解的题目，要力求多得分．对于多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中多得点分段分，其实质是多出现几个相关的知识点．从原则上讲，每一个考生做每一道题都不会一无所知，得零分的原因无非两条：没有时间做；不会把自己所掌握的知识表达出来或表达错了．●分段得分的技术基础是解题策略．分段得分的技术基础是解题策略在考试中的应用，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略，暴露解题思考的真实过程就是分段得分的全部秘密．●分段得分的总体功能．对于一道拿不下来的题目，实施分步得分的初衷是得部分分，但实施的过程也是解题策略的运用过程，正确策略的运用就带来了全题解决的前景．所以，运用解题策略同时具有分段得分与全题解决的双重功能：进可全题解决，退可分段得分．●分段得分的主要技术有：缺步解答；跳步解答；退步解答；倒步解答；辅助解答．思考练习3：请思考下面各题如何书写表达．例8-1将()2n n≥个同学任意分两组，给两组之间的每两个同学都拉上一条绳子(同一组内的同学不拉绳子)，继续这过程，只要某组的同学数大于1，就把这组同学再随意分成两组，并给两组之间的每两同学再拉一条绳子，直至每组只有1个同学为止．求过程结束时绳子的总数．（你认为这是什么题型？或可以化为什么题型？）讲解 （1）探索：特殊化分组，发现结果． 对n 个同学作()11n -+分组，用1n -条绳子． 对1n -个同学作()21n -+分组，用2n -条绳子．依此类推，最后对2个同学作1+1分组，用1条绳子． 对这个特殊的分组，绳子的总数为()()()112212n n n N n n -=-+-+++=．（条） 由此发现，这与“数线段”的结果是一样的．当然，对任意分组是否成立还需要证明，但是，证明的目标已经有了．命题 （数线段——基本问题）平面（或空间）上有n 个点12,,,n A A A ()2n ≥，两两连一条线段，共有()12n n -条． （2）类比：记得“数线段”的求解有一个乘法原理的视角：每一个点都与另外1n -个点连线，n 个点计算便有()1n n -条连线，但在这个计算中，每条线都重复计算了1次，故得()12n n -． 现在来作类比，点对应着人，连线对应着拉绳子，每一个点都与另外1n -个点连线对应着每一个人都与另外1n -个人拉绳子，……这样一来，思路应该是通的．但是，怎么书写呢？先想一想 ．（3）证明：将n 个同学记为12,,,n A A A ，任取其中1个同学i A （1i n ≤≤），当全体同学被分成两组时，i A 与另一组中的每一个同学都拉有绳子，当i A 所在的组继续分成两小组时，i A 又与另一小组中的每一个同学都拉有绳子，依此类推，直至每组只有1个同学时，i A 就与i A 之外的1n -个同学都拉有绳子．令1,2,,i n =，可得()1n n -．但在这个计算中，每条绳子都重复计算了1次，故得绳子总数为()12n n -条．（4）感悟 本例中的同学拉绳子就是“数线段”中的点连线段，两两拉一条绳子的过程（两两连一条线段）会有多种方式，例8-1给出了其中一种方式．如果把每一次分组拉绳子的条数再求和，则有例8-2 将平面上的()2n n ≥个点任意分成两堆，记下这两堆点数的乘积．继续这一过程，只要某堆的点数大于1，就把这堆点再随意分成两小堆，并记下两小堆点数的乘积，直至每堆只有1个点为止．求上述所有乘积之和．解 将n 个点记为12,,,n A A A ，当全体点被分成11,M N 两堆作乘法时，我们将1M 中每一个点都与1N 中的点作连线，1M 内部不连线，1N 内部不连线，则连线的条数就是11,M N 两堆点数的乘积．任取其中1个点i A ，并设点i A 在1M 内，则i A 与1N 内每一点都有连线，当1M 继续分成两堆时，点i A 又与另一堆中的每一点都有连线，依此类推，直至每堆只有1个点时，i A 就。