【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1.2 向量的加法课后知能检测 新人教B版必修4
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学1.2.3导学的四则运算法则课后知能检测新人教b版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2.3 导学的四则运算法则课后知能检测新人教B版选修2-2一、选择题1．(2013·深圳高二检测)函数y＝cos (－x)的导数是( )A．cos x B．－cos xC．－sin x D．sin x【解析】y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x.【答案】 C2．若f(x)＝1－x2sin x，则f(x)的导数是( )A.－2x sin x－－x2xsin2xB.－2x sin x＋－x2xsin2xC.－2x sin x＋－x2sin xD.－2x sin x－－x2sin x【解析】f′(x)＝－x2x－－x2xsin2x＝－2x sin x－－x2cos xsin2x.【答案】 A3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9 D．15【解析】∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，令x＝0，得y＝9.【答案】 C4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y ＝f(t)＝10t，则在时刻t＝40 min的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14 mm/min 【解析】 f ′(t )＝1210t ·10＝510t ， ∴f ′(40)＝5400＝14. 【答案】 D 5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2【解析】 设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1＝ln(x 0＋a )． 又由＝1x 0＋a＝1，解得x 0＋a ＝1， ∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2.【答案】 B二、填空题6．(2013·广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.【解析】 因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12. 【答案】 127．已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ， ∴f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 【答案】 － 28．曲线y ＝e－2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积是________．【解析】 ∵y ′＝－2e －2x ，∴y ′|x ＝0＝－2，切线方程为y ＝－2x ＋2.∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0)，(1,0)，(23，23)． ∴S ＝12×1×23＝13. 【答案】 13三、解答题9．已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x 1＋x，x ≥0，其中a ＞0，若f ′(1)＝0，求a 的值． 【解】 f ′(x )＝[ln(ax ＋1)]′＋(1－x 1＋x)′ ＝a ax ＋1＋－2＋x 2，∴f ′(1)＝aa ＋1－12＝0， ∴a ＝1. 因此实数a 的值为1.10．若函数f (x )＝e x x在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值． 【解】 由于f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e c c， 又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x x －x 2，∴f ′(c )＝e c c －c 2.依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e cc －c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12. 11．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解】 (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12， ①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74. ② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x. (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 知， 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二章统计综合检测新人教b版必修3
综合检测(二)第二章统计(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在一次数学测试中，有考生1 000名，现想了解这1 000名考生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，总体是指( ) A．1 000名考生B．1 000名考生的数学成绩C．100名考生的数学成绩D．100名考生【解析】总体是1 000名考生的数学成绩，样本是100名考生的数学成绩．【答案】 B2．在下列各图中，两个变量不具有任何关系的是( )A．①②B．①③C．②④D．④【解析】①具有函数关系；②③具有相关关系；④无关系．【答案】 D3．现有60瓶矿泉水，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样法确定所抽的编号分别为( )A．3,13,23,33,43,53B．2,14,26,38,42,56C．5,8,31,36,48,54D．5,10,15,20,25,30【解析】系统抽样也是等距抽样．【答案】 A4．(2013·安徽高考)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【解析】 A ，不是分层抽样，因为抽样比不同． B ，不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知．C ，五名男生成绩的平均数是x ＝86＋94＋88＋92＋905＝90，五名女生成绩的平均数是y ＝88＋93＋93＋88＋935＝91，五名男生成绩的方差为s 21＝15(16＋16＋4＋4＋0)＝8，五名女生成绩的方差为s 22＝15(9＋4＋4＋9＋4)＝6，显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差．D ，由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩． 【答案】 C5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①.在丙地区有20个特大型销售点，要从中抽7个，调查其销售收入和售后服务情况．记这项调查为②.则完成①②这两项调查应采用的抽样方法依次为( )A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法【解析】 调查①中，由于四个地区产品销售情况有较大差别，故应用分层抽样法；调查②中总体与样本容量较小，故可用简单随机抽样法．【答案】 B6．(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )C ．02D ．01【解析】 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.【答案】 D7．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为32、0.25，则n 的值是( )A ．240B ．160C ．128D ．324【解析】 由32n＝0.25得n ＝128.【答案】 C8．(2013·重庆高考)如图1是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )图1A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6【解析】 由题意知，这10个数据落在区间[22,30)内的有22、22、27、29，共4个，所以其频率为410＝0.4，故选B.【答案】 B9．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队平均每场进球数为 3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，则下列说法中正确的个数为( )①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由于甲队平均每场进球数远大于乙队，故①正确，但甲队标准差太大，故④正确．而乙队标准差仅为0.3，故②，③正确．从而知四个说法均正确，选D.【答案】 D10．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图2所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入[3 000,3 500](元)段中抽取了30人，则这20 000人中共抽取的人数为( )图2A ．200B ．100C ．20 000D ．40【解析】 由题意得，月收入在[3 000,3 500](元)段中的频率是0.0003×500＝0.15，该收入段的人数是20 000×0.15＝3 000，从中抽取了30人，说明从每100人中抽取1人，故共抽取20 000100＝200(人)．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．天津市2013年家具销售额y 万元与新建住宅面积x ×103m 2呈线性相关，其回归方程为y ^＝1.190 3x ＋185.109 3，若当年新建成的住宅面积为350×103m 2，则当年的家具销售额约为________万元．【解析】 当x ＝350时，y ^＝1.190 3×350＋185.109 3≈601.7万元． 【答案】 601.712．(2013·广州高一检测)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．【解析】 抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12.【答案】 1213．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图3所示：根据上图，对这两名运动员的成绩进行．比较，下面四个结论中，正确的是________(填序号)①甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 ②甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 ③甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 ④甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【解析】 对①，甲运动员得分的极差为29，而乙运动员得分的极差为16，故①正确；对②，甲得分的中位数为30，而乙得分的中位数为26，故③正确；对③，由茎叶图知甲的平均值大于乙的平均值，故②正确；对④，从茎叶图中知乙更稳定，④错误．故选①②③.【答案】 ①②③14．为了了解商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客购鞋的尺寸，将所有数据整理后，画出频率分布直方图，如图4所示，已知从左至右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，则抽取的顾客人数是________．图4【解析】 前三组频率和为1－0.075－0.175＝0.75.又前三组频率之比为1∶2∶3，所以第二组频率为26×0.75＝0.25.又知第二组频数为10，则100.25＝40(人)，即为所抽样本人数．【答案】 40三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2013·课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2．3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1．4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2．7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【解】 (1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制茎叶图如图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．16．(本小题满分12分)从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比； (4)估计成绩在[70,100)分的学生所占总体的百分比． 【解】 (1)频率分布表如下：(2)(3)由频率分布表可知成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是30%.(4)由频率分布表可估计成绩在[70,100)分的学生所占总体的百分比是0.3＋0.24＋0.16＝0.7＝70%.17．(本小题满分13分)某校为了了解甲、乙两班的英语学习情况，从两班各抽出10名学生进行英语水平测试，成绩如下(单位：分)：甲班：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74 乙班：90 76 86 81 84 87 86 82 85 83 (1)求两个样本的平均数； (2)求两个样本的方差和标准差； (3)试分析比较两个班的学习情况．【解】 (1)x －甲＝110(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2，x －乙＝110(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84.(2)s 2甲＝110[(82－83.2)2＋(84－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝26.36，s 2乙＝110[(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝13.2，∴s 甲＝26.36≈5.13，s 乙＝13.2≈3.63.(3)由于x －甲<x －乙，则甲班比乙班平均水平低． 由于s 甲>s 乙，则甲班没有乙班稳定． ∴乙班的总体学习情况比甲班好．18．(本小题满分13分)测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下：(2)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．40 366.1340 331.76≈1.0.a ^＝y －b ^x ≈67.01－1.0×66.8≈0.21.故所求的回归直线方程为y ^＝x ＋0.21. (2)当x ＝73时，y ^＝1.0×73＋0.21＝73.21.所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为73.21英寸．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二章解三角形教案北师大版必修5
第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理1．1 正弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过对任意三角形边长和角度的关系探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．2．过程与方法让学生从已有的几何知识出发，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的能力．●重点难点重点：正弦定理的探索的证明及其应用．难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数．(教师用书独具)●教学建议已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数，此类问题有两个、一个、零个的情况，需要进行讨论，可做如下处理：在△ABC中，已知a，b和A时三角形解的情况：A为锐角A为钝角或直角图 像关系式 ①a ＝b sin A②a ≥b b sin A<a <b a <b sin Aa >ba ≤b解的个数 一解两解无解一解无解●教学流程创设问题情境，提出了2个问题⇒通过引导学生回答所提问题，理解正弦定理及三角形面积公式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用正弦定理解三角形问题⇒通过例2及变式训练，使学生掌握三角形面积公式的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握判断三角形的形状问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第32页)课标解读1.通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，了解其向量证法(难点)．2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).正弦定理【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，试问a sin A ，b sin B ，csin C 的值相等吗？为什么？对于一般的三角形而言，a sin A ，b sin B ，csin C的值是否相等？【提示】 在Rt △ABC 中，∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c且C ＝90°， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.对一般的三角形而言，也相等． 语言表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号表示 asin A ＝bsin B ＝csin C比值的 含义a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R(其中R 为△ABC 的外接圆半径)变形(1)a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C.作用 揭示了三角形边、角之间的数量关系三角形面积公式【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等吗？猜想一下在一般三角形中是否成立？【提示】 ∵C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝12ab sin C ，设边c 上的高为h ， 则sin B ＝ha ，sin A ＝h b，∴S △ABC ＝12hc ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，∴在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等．猜想在一般三角形中也成立．三角形ABC 的面积：S ＝12ab sin__C＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ．(对应学生用书第32页)利用正弦定理解三角形在△ABC 中，(1)若A ＝45°，B ＝30°，a ＝2，求b ，c 与C ； (2)若B ＝30°，b ＝5，c ＝53，求A 、C 与a .【思路探究】 (1)已知A ，B ，如何求C ？在正弦定理中b ，c 分别怎样表示？ (2)已知B ，b ，c 运用正弦定理可先求出哪个量？ 【自主解答】 (1)由三角形内角和定理，得：C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 30°sin 45°＝2×1222＝2，sin 105°＝sin(60°＋45°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45°＝2×6＋2422＝3＋1. (2)∵b ＝5，c ＝53，B ＝30°， ∴c ·si n B <b <c ， ∴△ABC 有两解， 由正弦定理得：sin C ＝c sin B b ＝32， ∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，易得a ＝10； 当C ＝120°时，A ＝30°，此时a ＝b ＝5.1．已知两角与任一边解三角形，可先利用三角形内角和定理求第三个角，再利用正弦定理求出两未知边．2．已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，判断三角形解的个数，有以下两种方法： 法一 作图判断．作出已知角A ，边长b ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，与射线AB 的公共点(除去顶点A )的个数即为三角形解的个数．法二 根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ，当b sin A a >1时，无解；当b sin Aa＝1时，有一解；当b sin Aa<1时，如果a ≥b ，即A ≥B ，则B 一定为锐角，有一解；如果a <b ，即A <B ，有两解．本例(2)中，若B ＝60°，b ＝43，a ＝42，如何求解？ 【解】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得 sin A ＝a sin Bb ＝42sin 60°43＝22， 又a ＜b ，∴A ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°.∴c ＝b sin C sin B ＝43sin 75°sin 60°＝43×2＋6432＝2(2＋6)．三角形的面积问题在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．【思路探究】 (1)先寻找角A 、B 间的关系，再求sin A. (2)先由正弦定理求BC ，再代入三角形的面积公式求解． 【自主解答】 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B ，0＜A ＜π4.故cos 2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin Asin BAC ＝32，又C ＝π2＋A ，∴sin C ＝cos A ＝63.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A＝3 2.1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．2．三角形面积计算公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a 、h b 、h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．已知△ABC 中，AB →·AC →<0，S △ABC ＝154，|AB →|＝3，|AC →|＝5，则∠BAC ＝( ) A ．30° B ．120° C ．150° D ．30°或150° 【解析】 由S △ABC ＝154，得12×3×5sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又由AB →·AC →<0，得∠BAC >90°， ∴∠BAC ＝150°. 【答案】 C判断三角形的形状已知△ABC 中，b sin B ＝c sin C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【思路探究】 利用正弦定理的变形(如a ＝2R sin A )，将条件中的角化为边，或将边化为角，从而进行判断．【自主解答】 法一 由b sin B ＝c sin C 得，2R sin 2B ＝2R sin 2C ， 即sin 2B ＝sin 2C. ∵0<B <π，0<C <π， ∴sin B >0，sin C >0. ∴sin B ＝sin C ，∴B ＝C.又sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，A ＝π－(B ＋C )＝π－2B ， ∴sin 22B ＝2sin 2B. 即4sin 2B ·cos 2B ＝2sin 2B. ∴cos 2B ＝12.由A ＝π－2B ∈(0，π)知，0<B <π2.∴cos B ＝22，∴B ＝π4，A ＝π2. 故△ABC 是等腰直角三角形．法二 由b sin B ＝c sin C 得：b ·2R sin B ＝c ·2R sin C ， ∴b 2＝c 2，b ＝c .由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得，(2R sin A )2＝(2R sin B )2＋(2R sin C )2， ∴a 2＝b 2＋c 2，结合b ＝c 知，△ABC 为等腰直角三角形．1．本题已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定．2．在正弦定理的推广中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 是边化角的主要工具．其他变形还有角化边，如sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，借助正弦定理可以进行三角形形状的判断，三角恒等式的证明．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．【解】 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)，得 4R 2sin 2A sinB cos B ＝4R 2sin 2B sin Acos A ，sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B. ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B. ∴A ＋B ＝π2或A －B ＝0.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(对应学生用书第34页)解三角形时忽视讨论致误在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求△ABC 的面积．【错解】 由正弦定理得： sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32， ∴B ＝60°.故C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°， 在Rt △ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6， 故S △ABC ＝12ab ＝12×23×6＝6 3.【错因分析】 上述解答错误之处在于在利用正弦定理求得sin B ＝32后直接得出B ＝60°，未对解的情况作出判断和讨论，从而导致丢解．【防范措施】 遇到已知两边及其中一边对角解三角形时一定要讨论． 【正解】 由正弦定理得， sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32. 由b ＝6，a ＝23知，b >a ，∴B >A ＝30°. ∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝90°. ∴S △ABC ＝12ab ＝12×6×23＝6 3.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝30°. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×23×sin 30°＝3 3.综合以上得△ABC 的面积为63或3 3.1．应用正弦定理可解决两类三角形问题：(1)已知三角形两角及一边；(2)已知两边及其中一边的对角． 2．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．3．正弦定理揭示了三角形中边、角之间的数量关系，可以借助三角形外接圆的半径，用边表示角或用角表示边，从而在解决有关问题时，可利用其“化边为角”或“化角为边”．(对应学生用书第34页)1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，∴a sin B ＝b sin A.【答案】 C2．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．4 3D ．4 5【解析】 由三角形内角和定理知B ＝180°－A －C ＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝8·sin 30°sin 45°＝4 2.【答案】 B3．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________．【解析】 根据正弦定理，a sin A ＝csin C，由3a ＝2c sin A ，得3sin A ＝2sin C sin A ， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角，∴C ＝π3. 【答案】π34．在△ABC 中，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C. 【证明】 由正弦定理得a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ab ＝a b sin 2B ＋basin 2A＝sin A ·sin 2B sin B ＋sin B ·sin 2Asin A＝2(sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ) ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，故原式成立．(对应学生用书第97页)一、选择题1．在△ABC 中，下列a 与b sin A 的关系正确的是( ) A ．a >b sin A B ．a ≥b sin A C ．a <b sin A D ．a ≤b sin A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以a ＝b sin Asin B，又因为sin B ∈(0，1]， 所以a ≥b sin A. 【答案】 B2．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 【解析】 ∵a sin B ＝102， ∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个． 【答案】 B3．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝45°，c ＝6，则△ABC 的面积为( ) A ．9＋3 3 B.9（6－2）2C.9＋332 D.9（6＋2）2【解析】 ∵A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝60°，b ＝c sin Bsin C＝6×2232＝26，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×26×6×6＋24＝9＋3 3.【答案】 A4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【解析】 ∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，故由正弦定理得，sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )， 化简得：cos A (sin B ＋sin C )＝0，又sin B ＋sin C ＞0， ∴cos A ＝0，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 【答案】 D5．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725 D.2425【解析】 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B＝45.所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 【答案】 A 二、填空题6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________． 【解析】 由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63.【答案】637．(2013·济南高二检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝1×sin 60°3＝12， 又a <b ，∴A ＝30°.∴C ＝180°－(30°＋60°)＝90°.即sin C ＝1. 【答案】 18．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 【解析】 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形，∴AB ＝2. 【答案】 2 三、解答题9．在△ABC 中，c ＝6，A ＝45°，a ＝2，求b 和B ，C. 【解】 ∵a sin A ＝csin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32. ∵c sin A ＜a ＜c ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1， ∴当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.10．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状．【解】 由lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2， 得sin B ＝22，又B 为锐角， ∴B ＝45°，又a c ＝22，∴sin A sin C ＝22， ∴sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )， ∴sin C ＝sin C ＋cos C ， ∴cos C ＝0，即C ＝90°， 故此三角形是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．【解】 设△ABC 中AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . 由tan B ＝3，得B ＝60°， ∴sin B ＝32，cos B ＝12. 又cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，由正弦定理得c ＝b sin Csin B ＝36×22332＝8.又∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝36＋23， ∴三角形面积S △ABC ＝12bc sin A ＝62＋8 3.(教师用书独具)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋12c ＝b ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．【思路探究】 (1)本题可考虑把边化为角，通过寻找三角形角与角之间的关系求解； (2)将周长表示为三角形某内角的函数，通过求函数的值域来求周长的取值范围． 【自主解答】 (1)由a cos C ＋12c ＝b 和正弦定理得，sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝23sin B ， c ＝a sin C sin A ＝23sin C ，则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )]＝1＋2(32sin B ＋12cos B )＝1＋2sin(B ＋π6)． ∵A ＝π3，∴B ∈(0，2π3)，∴B ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2，3]．利用正弦定理可以实现边、角互化(1)将边转化为角：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)将角转化为边：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R.已知△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1－c 2a ＝sin （B －C ）sin （B ＋C ），求cosA ＋C2的值．【解】 由正弦定理以及sin A ＝sin(B ＋C )，得： 1－sin C 2sin A ＝sin （B －C ）sin A， 整理得2sin A －sin C ＝2sin(B －C )， ∴4cos B sin C ＝sin C ， 又sin C ≠0， ∴cos B ＝14，∴1－2sin 2B 2＝14，sin B 2＝64， ∴cosA ＋C2＝cos π－B 2＝sin B 2＝64. 趣味材料中国南宋末年数学家秦九韶发现三斜求积公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积．“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积．”若以大斜记为a ，中斜记为b ，小斜记为c ，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：S ＝14[a 2c 2－（a 2＋c 2－b 22）2]，这里a >b >c .1．2 余弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握余弦定理的两种表示形式及余弦定理的向量方法；并会用余弦定理解决基本的解三角形问题．2．过程与方法利用向量数量积推出余弦定理并通过实践演算掌握运用余弦定理解决解三角形问题．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一．●重点难点重点：余弦定理的发现和证明过程及应用．难点：正、余弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合问题．(教师用书独具)●教学建议探究和证明余弦定理的过程既是本节课的重点，也是本节课的难点．学生已具备了勾股定理的知识，即当C＝90°时，有c2＝a2＋b2，作为一般的情况，当C≠90°时，三角形的三边满足什么呢？学生一时很难找到思路．最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试用勾股定理去探究三角形的边角关系．用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合．因此教师在授课时可以适当点拨、启发．鼓励学生大胆的探索．在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加深学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，从而突破本节难重点．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题，结合勾股定理，理解余弦定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握利用余弦定理解三角形问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握、判断三角形形状问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第35页)课标解读1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用(难点)． 2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).余弦定理【问题导思】图2－1－1如图2－1－1，在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如果C ＝90°，如何求AB 边的长？当C ≠90°，如何用向量的数量积表示AB 边的长？【提示】 利用勾股定理求AB 的边长． |c |2＝c·c ＝(a －b )·(a －b )＝a 2－2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C. 余弦定理语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C.推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.作用 实现三角形边与角的互化.(对应学生用书第35页)利用余弦定理解三角形(1)在△ABC 中，若a ＝1，b ＝1，C ＝120°求c ；(2)已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 各内角的度数． 【思路探究】 (1)直接利用余弦定理求解． (2)先根据比值设出各边的长，再利用余弦定理求解． 【自主解答】 (1)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋1－2cos 120°＝3， ∴c ＝ 3.(2)∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， ∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋（3＋1）2－426（3＋1）＝22，∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.1．本题(2)关键是根据已知条件设出三边，为使用余弦定理的推论求角创造条件． 2．余弦定理是刻画三角形两边及其夹角的余弦与第三边关系的定理．在余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的任意三个量，便可求得第四个量．(1)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π4，b ＝2，S △ABC＝2，求a .(2)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，求△ABC 中最大角的度数．【解】 (1)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22c ＝22c ＝2，所以c ＝2 2.根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋8－2×2×22×22＝4，所以a ＝2. (2)∵a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，∴令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝13k (k ＞0)，由b ＜a ＜c ，知C 为△ABC 最大内角，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋3－132×2×3＝－32，又0°＜C ＜180°∴C ＝150°.判断三角形的形状在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．【思路探究】 可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．【自主解答】 法一 由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 法二 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B. 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形．1．本题解法一利用了边的关系判断，解法二利用了角的关系判断．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．若将例题中的条件改为“△ABC 中，b ，c 是角B 、C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c 2c”，试判断△ABC 的形状．【解】 法一 ∵cos 2A 2＝1＋cos A2且cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝bc. 由正弦定理，得cos A ＝sin B sin C，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二 同法一得cos A ＝b c.由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．正、余弦定理的综合应用在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b .【思路探究】 先根据正弦定理求出a ，c 的值，再利用余弦定理建立b 的方程求b . 【自主解答】 由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝sin 2A sin A ＝2cos A ＝32， 又a ＋c ＝10， ∴a ＝4，c ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2－9b ＋20＝0， 解得b ＝4或b ＝5. 当b ＝4时， ∵a ＝4，∴A ＝B ，又C ＝2A 且A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝45°与cos A ＝34矛盾，舍去，∴b ＝5.1．本题易忽视检验b ＝4的情况导致出错．2．余弦定理和正弦定理都是解三角形的重要工具，都可以实现三角形中的边角转化．在解决三角形中的综合问题时，要有意识地合理选择，一般情况下，如果条件中含有角的余弦或边的二次式，要考虑余弦定理；若条件中含有角的正弦或边的一次式，则考虑正弦定理．学习时应注意归纳总结正、余弦定理的应用技巧，如公式的正用、逆用以及变形用等，同时牢固掌握内角和定理的运用和三角变换的技巧．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B. 求证：A ＋B ＝120°.【证明】 由(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B 可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sinB.由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，∴a 24R 2＋b 24R 2－c 24R 2＝a 2R ·b2R， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°， ∴A ＋B ＝120°.(对应学生用书第37页)转化思想在三角形中的应用(12分)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】 可以把角转化为边，也可以把边转化为角来处理． 【规范解答】 法一 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 得：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C.代入a cos A ＝b cos B ＝c cos C 中，得：2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ＝2R sin C cos C，4分即sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ．10分又∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴A ＝B ＝C. ∴△ABC 是等边三角形.12分 法二 由余弦定理得a ·2bcb 2＋c 2－a 2＝b ·2ac a 2＋c 2－b 2＝c ·2aba 2＋b 2－c 2，6分∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2. 得a 2＝b 2＝c 2，即a ＝b ＝c .10分∴△ABC 是等边三角形.12分转化也称化归，它是将未知的，陌生的，复杂的问题转为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题解决的数学思想．在解三角形时，若已知条件中含边角共存的关系式时，往往可利用正弦定理或余弦定理实现边角间的互化，从而发现各元素间的关系．1．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具，可解决以下两类问题：(1)已知两边及其夹角，求第三边和其他两角； (2)已知三边求三角．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，可利用正弦定理或余弦定理转化为边的关系作代数运算，也可转化角的关系，通过三角变换求解．(对应学生用书第37页)1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，C ＝120°，则c 为( ) A.41 B.61 C.41或61 D.21【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝25＋16＋2×5×4×12＝61.∴c ＝61.【答案】 B2．在△ABC 中，若a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则△ABC 的最大角的度数为( ) A ．60° B ．90° C．120° D ．150° 【解析】 ∵c ＞a ＞b ，∴C 是最大角，由余弦定理得：cos C ＝（3＋1）2＋（3－1）2－（10）22×（3＋1）×（3－1）＝8－104＝－12.∴C ＝120°.【答案】 C3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【解析】 由正弦定理知a ∶b ∶c ＝5∶11∶13， 设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（5k ）2＋（11k ）2－（13k ）22×5k ×11k ＝－23110<0，∴C 为钝角．【答案】 C4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－（b －c ）2bc ＝1时，求A.【解】 由a 2－（b －c ）2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(对应学生用书第99页)一、选择题1．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2【解析】 在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4，∴b ＝2. 【答案】 A2．a 、b 、c 是△ABC 的三边，B ＝60°，那么a 2－ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， 所以a 2－ac ＋c 2－b 2＝(a 2＋c 2－ac )－b 2＝b 2－b 2＝0. 【答案】 C3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， ∴6＝a 2＋2＋2a ，∴a ＝2或－22(舍去)． 【答案】 D4．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定【解】 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 24R 2＋b 24R 2＜c 24R2，∴a 2＋b 2＜c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19【解析】 由余弦定理的推论cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935，又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝5×7×(－1935)＝－19.【答案】 D 二、填空题6．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )，则A ＝________. 【解析】 由(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )得a 2－c 2＝b 2－bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝bc 与余弦定理b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， 比较知cos A ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°7．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________． 【解析】 ∵a 是最大边，∴A ＞π3，又a 2＜b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，∴A ＜π2，故π3＜A ＜π2.【答案】 (π3，π2)8．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】 在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－14)，整理得15b －60＝0.∴b ＝4. 【答案】 4 三、解答题9．已知△ABC 的顶点为A (2，3)，B (3，－2)和C (0，0)，求∠AB C. 【解】 |AB |＝（3－2）2＋（－2－3）2＝26， |BC |＝（0－3）2＋[0－（－2）]2＝13， |CA |＝（2－0）2＋（3－0）2＝13， 由余弦定理得cos ∠ABC ＝（13）2＋（26）2－（13）22×13×26＝22，又∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π4.10．a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sinC －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B ·sin C.结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0， 可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4. ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a ＝3.(3)由(1)(2)知，a 2＋c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形．11．(2013·潍坊高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cosA ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【解】 (1)根据正弦定理2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒ 2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得：7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 代入b ＋c ＝4得bc ＝3，故△ABC 面积为S ＝12bc sin A ＝334.(教师用书独具)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C.【思路探究】 本题可考虑把边化为角，通过三角变换寻找等式左、右两边的联系． 【自主解答】 由余弦定理可知：a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B则a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc ·cos A ＋2ac ·cos B ， 整理得：a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c ， 又a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C， ∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .【解】 法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ， 由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4. 法二 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ， ∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin Bsin C，又由已知得，sin Bsin C ＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．②由①②得b ＝4.§2三角形中的几何计算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握正、余弦定理解任意三角形的方法，体会正、余弦定理在平面几何计算与推理中的作用．2．过程与方法能过图形的观察、识别、分析、归纳来正确选择正、余弦定理．3．情感、态度与价值观通过本节课的探究，培养学生勇于探索、创新的学习习惯．●重点难点重点：利用正、余弦定理解决三角形中的几何计算．难点：将几何计算转化为解三角形问题．(教师用书独具)●教学建议通过例题的活动探究，要让学生结合图形理解题意，学会分析问题状态，确定合适的求解顺序，明确所用的定理．其次，在教学中还要让学生分析讨论，明确正、余弦定理各自实用的范围．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题理解三角形中的几何计算——长度、角度、面积等⇒通过例1及变式训练，使学生掌握与长度或角度有关的问题的计算⇒通过例2及变式训练，使学生掌握有关面积问题的处理⇒通过例3及变式训练，使学生进一步掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第38页)课标解读1.掌握正、余弦定理解任意三角形的方法(重点)．2．提高分析问题解决问题的能力(难点).三角形中的几何计算【问题导思】图2－2－1如图2－2－1，2011年8月，利比亚战争期间，北约为了准确分析战场形势，由位于相距32a的英法两军事基地C和D，测得卡扎菲的两支精锐部队分别位于A、B两处，且∠ADB＝∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.试问你能根据实例中测量的数据计算卡扎菲这支精锐部队的距离吗？【提示】在△BCD中用正弦定理求出BC，在△ABC中用余弦定理求AB的长．(对应学生用书第38页)与长度或角度有关的问题图2－2－2(2013·中山高二检测)在△ABC 中，已知B ＝30°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，(1)求∠ADC 的大小； (2)求AB 的长．【思路探究】 (1)在△ACD 中已知了AD 、AC 、DC ，可根据余弦定理求∠AD C. (2)在△ABD 中，可用正弦定理求A B.【自主解答】 (1)在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°.(2)由(1)知∠ADB ＝60°，在△ABD 中，AD ＝10，B ＝30°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 30°＝10×3212＝10 3.1．正弦、余弦定理是解三角形常用的两个重要定理，在使用时要根据题设条件，恰当选择定理，使求解更方便、简捷．2．解决此类问题要处理好两个方面：(1)找出已知某边长的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段所在的三角形，确定所需条件．图2－2－3如图2－2－3所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝（23）22×2×23＝32， 则C ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有ADsin C＝ACsin ∠ADC，∴AD ＝AC ·sin30°sin 45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2. 【答案】 2有关面积问题图2－2－4如图2－2－4所示，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132且AD ＝BD ，求△ABC的面积．【思路探究】 先由余弦定理建立方程求CD 的长，再在△ACD 中由正弦定理求sin C ，进而可求△ABC 的面积．【自主解答】 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x . 在△CAD 中，由余弦定理可知 cos ∠CAD ＝（5－x ）2＋42－x 22×4×（5－x ）＝3132，解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知ADsin C＝CDsin ∠CAD，∴sin C ＝AD CD·1－cos 2∠CAD ＝41－（3132）2＝387.∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×387＝1547. 即△ABC 的面积为1547.1．本题求三角形面积容易考虑用12×底×高，但高不易求得，应灵活应用三角形面积公式．2．涉及三角形面积问题通常选用S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，这个公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向．图2－2－5如图2－2－5所示，△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，B ＝60°，∠ADC ＝150°，求AC 的长及△ABC 的面积．【解】 在△ABC 中，∠BAD ＝150°－60°＝90°， ∴AD ＝BD sin 60°＝2×32＝3， 在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ＝(3)2＋12－2×3×1×cos 150°＝7，∴AC ＝7.又∵AB ＝BD cos 60°＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×3×32＝34 3.正、余弦定理的综合应用。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.1.2 第2课时 两点式同步教学名师课件 苏教版必修2
2．过点 P1(1,1)、P2(2,3)的直线方程为________．
【解析】 由直线方程的两点式得 1y－－33＝1x－－22 即 2x－y－1＝0. 【答案】 2x－y－1＝0
3．直线3x－4y＝1 在两坐标轴上的截距之和为________． 【解析】 令 x＝0 得，y＝－4；令 y＝0 得，x＝3. 故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1. 【答案】 －1
直线 BC 过 B(3，－3)，C(0,2)， 斜率是 k＝2－0－－33＝－53， 由点斜式得 y－2＝－53(x－0)， 整理得 5x＋3y－6＝0，这就是直线 BC 的方程． 直线 AC 过 A(－5,0)，C(0,2)两点， 由截距式得－x5＋2y＝1，
整理得 2x－5y＋10＝0，这就是直线 AC 的方程.
综上知，所求直线方程为 x＋y－1＝0 或 x－y－7＝0 或 3x＋4y＝0.
法 2：设直线 l 的方程为 y＋3＝k(x－4)， 令 x＝0，得 y＝－4k－3；令 y＝0，得 x＝4k＋k 3. 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k－3|＝|4k＋k 3|， 解得 k＝1 或 k＝－1 或 k＝－34.
所以所求直线的方程为6x＋6y＝1 或2x＋－y2＝1， 化简即得直线 l 的方程为 x＋y＝6 或 x－y＝2.
综上，直线方程为 x－2y＝0 或 x＋y＝6 或 x－y＝2.
【正解 2】 设直线 l 在 x 轴、y 轴的截距均为 a， 若 a＝0，则 l 过(0,0)和(1,4)两点， ∴直线 l 的方程为 y＝4x，即 4x－y＝0. 若 a≠0，则可设直线 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵直线 l 过点(1,4)，∴1a＋4a＝1，∴a＝5， ∴直线 l 的方程为 x＋y－5＝0. 综上所述，直线 l 的方程为 4x－y＝0 或 x＋y－5＝0.
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二章算法初步综合检测北师大版必修3
第二章算法初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列问题的算法适宜用选择结构表示的是( )A．求点P(－1,3)到直线l：3x－2y＋1＝0的距离B．由直角三角形的两条直角边长求斜边长C．解不等式ax＋b>0(a≠0)D．计算100个数的平均数【解析】适用于选择结构的算法具有判断、讨论，并根据判断结果选择不同的操作，由此可知只有C符合，故选C.【答案】 C2．用二分法求方程x2－10＝0的近似根的算法中要用哪种算法结构( )A．顺序结构B．选择结构C．循环结构 D．以上都用【解析】由求方程x2－10＝0的近似根的算法设计知以上三种结构都用到．【答案】 D3．(2013·天津高考)图1阅读如图1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )A．7B．6C．5D．4【解析】n＝1，S＝0.第一次：S＝0＋(－1)1×1＝－1，－1＜2，n＝1＋1＝2，第二次：S＝－1＋(－1)2×2＝1,1＜2，n＝2＋1＝3，第三次：S＝1＋(－1)3×3＝－2，－2＜2，n＝3＋1＝4，第四次：S＝－2＋(－1)4×4＝2,2＝2，满足S≥2，跳出循环，输出n＝4.【答案】 D4．下述算法语句的运行结果为( )N＝1S＝0DoS＝S＋NN＝N＋1Loop While S<＝10输出N－1A．5 B．4C．11 D．6【解析】S＝1＋2＋3＋4＋5时停止循环，故选A.【答案】 A5．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为( )图2A．105 B．16C．15 D．1【解析】当i＝1时，s＝1×1＝1；当i＝3时，s＝1×3＝3；当i＝5时，s＝3×5＝15；当i＝7时，i<n不成立，输出s＝15.【答案】 C6．运行以下算法语句时，执行循环体的次数是( )i＝1Doi＝i＋1i＝i*iLoop While i<10输出iA．2 B．10C．11 D．8【解析】第一次执行循环体，i＝1，i＝i＋1＝2，i＝i·i＝4，i＝4<10，成立，第二次执行循环体，i＝i＋1＝5，i＝i·i＝25，i＝25<10，不成立，退出循环，共执行了2次循环体．【答案】 A7．阅读如图4所示的算法框图，运行相应的程序，则循环体执行的次数是( ) A．50 B．49C．100 D．98【解析】当i＝2,4,6，…，98时，执行循环体，共执行了49次．【答案】 B图4 图58．在阳光体育活动中，全校学生积极参加室外跑步．高三(1)班每个学生上个月跑步的路程从大到小排列依次是a 1，a 2，a 3，…，a 50(任意i ＝1,2，…，49，a i ＞a i ＋1)，如图是计算该班上个月跑步路程前10名学生的平均路程的算法框图．则图中判断框①和处理框②内应分别填写( )A ．i ＜10，a ＝s9B ．i ＜11，a ＝s 11C ．i ＜11，a ＝s10D ．i ＜10，a ＝s10【解析】 注意到判断框中应是保证恰好是10名学生，再注意到走出判断框的结果将是10个数的和，于是选C.【答案】 C9．如图6，该框图是求函数f (x )＝x 2－3x ＋5，当x ∈{0,3,6,9，…，60}时函数值的一个算法框图，则①处应填( )A ．x ＝x ＋3B ．x ＝3xC ．3x ＝xD ．x ＋3＝x【解析】 0,3,6,9，…，60，后一个数比前一个数大3. 【答案】 A图6 图710．(2013·北京高考)执行如图7所示的程序框图，输出的S 值为( ) A ．1 B.23 C.1321D.610987【解析】 当i ＝0，S ＝1时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝23，i ＝i ＋1＝1；当i ＝1，S ＝23时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝1321，i ＝i ＋1＝2.由于此时i ≥2是成立的， 因此输出S ＝1321.【答案】 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．下面为一个求20个数的平均数的算法语句，在横线上应填充的语句为________．S ＝0For i ＝1 To ________ 输入xS ＝S ＋xNexta ＝S /20输出a【解析】 20个数，故应填20. 【答案】 2012．下图是某算法的算法框图，则程序运行后输出的结果是________．图8【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝0，n ＝1；⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，n ＝2；⎩⎪⎨⎪⎧s ＝6，n ＝3；⎩⎪⎨⎪⎧s ＝27，n ＝4.∵n ＝4>3，故输出s ＝27. 【答案】 2713．分析下面的算法语句： 输入x ；若输入38，运行上面的语句后，得到的结果是________．【解析】输入38，程序运行过程是：9<38<100，成立，a＝3b＝8x＝10×8＋3＝83输出x＝83.【答案】8314．(2013·湖北高考)阅读如图9所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.图9【解析】m＝2，A＝1，B＝1，i＝0.第一次：i＝0＋1＝1，A＝1×2＝2，B＝1×1＝1，A>B；第二次：i＝1＋1＝2，A＝2×2＝4，B＝1×2＝2，A>B；第三次：i＝2＋1＝3，A＝4×2＝8，B＝2×3＝6，A>B；第四次：i＝3＋1＝4，A＝8×2＝16，B＝6×4＝24，A<B.终止循环，输出i＝4.【答案】 415．(2013·湖南高考)执行如图10所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．图10【解析】当a＝1，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为3，当a＝3，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为5，当a＝5，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a ＋b后a的值为7，当a＝7，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为9，由于9>8成立，故输出a的值为9.【答案】9三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)写出解不等式x2－2x－3＜0的一个算法．【解】算法步骤如下：1．求出对应方程x2－2x－3＝0的两根－1,3；2．确定根的大小：－1＜3；3．写出解集{x|－1＜x＜3}．17．(本小题满分12分)(2013·深圳检测)根据下列语句画出相应的算法框图．S＝1n＝1DoS＝S*nn＝n＋1Loop While S<1 000输出n－1【解】算法框图如下：18．(本小题满分12分)设计一个算法，求满足1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1)<1 000的最大整数n，画出框图，并用循环语句描述．【解】框图：用语句描述为：19．(本小题满分13分)某次数学考试中，其中一小组的成绩为：55 89 69 73 81 56 90 74 82设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于75的成绩，并画出算法框图．【解】算法：1．将序列中的数m与“75”比较，如果此数m小于75，则输出此数；2．如果序列中还有其他数，重复第1步；3．在序列中一直到没有可比的数为止．算法框图如下：20．(本小题满分13分)用基本语句描述计算102＋202＋302＋…＋1 0002的算法并画出相应的算法框图．【解】法一用For语句：S＝0For i＝10 To 1 000 Setp 10S＝S＋i*iNext输出S算法框图见图(1)．法二用Do Loop语句：S＝0i＝10DoS＝S＋i*ii＝i＋10Loop While i≤1 000输出S算法框图见图(2)．21．(本小题满分13分)高一(3)班共有54名同学参加数学竞赛，现在已有了这54名同学的竞赛分数，请设计算法，要求计算竞赛成绩优秀的同学的平均分数并输出(规定90分以上为优秀)，画出算法框图，并用基本语句描述算法．【解】算法框图如图所示：用基本语句描述算法如下：。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1.2 数列的递推公式(选学)课后知能
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 数列的递推公式（选学）课后知能检测 新人教B 版必修5一、选择题 1．数列12，14，18，116，…的递推公式可以是a 1＝12且( ) A ．a n ＝12n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝12n (n ∈N *) C ．a n ＋1＝12a n (n ∈N *) D ．a n ＋1＝2a n (n ∈N *) 【解析】 数列从第二项起，后项是前项的12. 【答案】 C2．在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项为( )A ．6B ．－3C ．－12D ．－6【解析】∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6.【答案】 D3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x 的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13【解析】a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2＝a 1＋a 2，a 4＝3＝a 2＋a 3，a 5＝5＝a 3＋a 4，a 6＝8＝a 4＋a 5，∴x ＝5＋8＝13.【答案】 D4．已知数列a n <0，且2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．无法判断【解析】a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－12a n . ∵a n <0，∴－12a n >0，∴a n ＋1>a n ， ∴{a n }为递增数列．【答案】 A5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n【解析】a 2＝a 1＋ln 2，a 3＝a 2＋ln 32，a 4＝a 3＋ln 43，…，a n －1＝a n －2＋ln n －1n －2，a n ＝a n －1＋ln n n －1，故a n ＝a 1＋ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n －1n －2＋ln n n －1＝a 1＋ln(2×32×43×…×n －1n －2×n n －1)＝a 1＋ln n ＝2＋ln n . 【答案】 A二、填空题6．数列{a n }中，若a n ＋1－a n －n ＝0，则a 2 012－a 2 011＝________.【解析】 由已知a 2 012－a 2 011－2 011＝0，∴a 2 012－a 2 011＝2 011.【答案】 2 0117．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 012＝________.【解析】a 1＝3，a 2＝6，a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－6＋3＝－3，a 7＝3，a 8＝6，a 9＝a 3，a 10＝a 4，∴a 2 012＝a 6×335＋2＝a 2＝6.【答案】 68．依次写出数列a 1＝1，a 2，a 3，…，a n (n ∈N *)的法则如下：如果a n 为自然数，则写a n ＋1＝a n －2，否则就写a n ＋1＝a n ＋3，则a 6＝________.(注意0是自然数)【解析】∵a 1＝1是自然数，∴a 2＝a 1－2＝－1，∵a 2＝－1不是自然数，∴a 3＝a 2＋3＝2，∴a 4＝a 3－2＝2－2＝0，∴a 5＝a 4－2＝－2.∵a 5不是自然数，∴a 6＝a 5＋3＝－2＋3＝1.【答案】 1三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出．(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式b n ＝a n a n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项． 【解】 (1)∵a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，且a 1＝1，a 2＝2， ∴a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5， a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8.故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)∵b n ＝a n a n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8， ∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58. 故b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58. 10．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n a n ＋3(n ∈N *)，求通项a n . 【解】∵a n ＋1＝3a n a n ＋3，∴a n ＋1(a n ＋3)＝3a n ， ∴a n ＋1a n ＝3a n －3a n ＋1.两边同除以3a n ＋1·a n 得13＝1a n ＋1－1a n， ∴1a 2－1a 1＝13，1a 3－1a 2＝13，…，1a n －1a n －1＝13， 把以上这(n －1)个式子累加，得1a n －1a 1＝n －13. ∵a 1＝1，∴a n ＝3n ＋2. 11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·(67)n ，试求数列{a n }的最大项． 【解】 假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋2·67n ≥n ＋1·67n －1，n ＋2·67n ≥n ＋3·67n ＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，所以n ＝4或5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学2.2.1直接证明课后知能检测苏教版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 直接证明课后知能检测苏教版选修2-2一、填空题1．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．【答案】综合法2．欲证2－3＜6－7成立，只需证①(2－3)2＜(6－7)2；②(2－6)2＜(3－7)2；③(2＋7)2＜(3＋6)2；④(2－3－6)2＜(－7)2.则正确的序号是________．【解析】“2－3＜6－7”⇔“2＋7＜3＋6”且2＋7＞0，3＋6＞0，故只需证(2＋7)2＜(3＋6)2.【答案】③3．已知α，β为实数，给出下列三个论断：①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③|α|＞22，|β|＞22，以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．【解析】由①αβ＞0知α，β同号，∴由③知|α|＋|β|＝|α＋β|＞42＞5.【答案】①③⇒②图2－2－24．如图2－2－2，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】只要使BD⊥平面AA1C1C即可．【答案】 ABCD 为正方形(ABCD 为菱形或AC⊥BD 等)5．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是x________y.【解析】 要比较x ，y 的大小．∵x＞0，y ＞0，只需比较x 2，y 2的大小，即a ＋b ＋2ab 2与a ＋b 的大小． ∵a ，b 为不相等的正数，∴2ab ＜a ＋b. ∴a ＋b ＋2ab 2＜a ＋b ， 则x 2＜y 2.∴x ＜y.【答案】 ＜6．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 【解析】 ∵1＝x 3＋y 4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立． 【答案】 37．已知f(x)＝a （2x ＋1）－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________． 【解析】 法一 函数的定义域为R ，函数为奇函数，当x ＝0时f(0)＝0，即2a －22＝0. ∴a ＝1.法二 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)恒成立．即a （2－x ＋1）－22－x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1， 即a （1＋2x ）－21＋x 2x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1恒成立． 即2a ＋a·2x ＋1＝2x ＋1＋2，∴a ＝1. 【答案】 1 8．已知△ABC 的两顶点A 、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，顶点C 在双曲线的右支上，则sin C sin A －sin B＝________． 【解析】 ∵A、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，C 在双曲线的右支上， ∴|AB|＝29＋16＝10，|CA|－|CB|＝6，由正弦定理，得sin C sin A －sin B ＝|AB||BC|－|AC|＝－53. 【答案】 －53二、解答题 9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求证：△ABC 为正三角形．【证明】 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)，∴B ＝60°.∵a ，b ，c 等差，∴2b ＝a ＋c ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－（a ＋c 2）22ac ＝12，∴a ＝c.又∵B＝60°，∴△ABC 为正三角形．10．已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b .【证明】 由1b －1a ＞1，及a ＞0知b ＞0.要证明1＋a ＞11－b ， 只需证明1＋a ·1－b ＞1，即证1＋a －b －ab ＞1，只要证明a －b ＞ab ，即证a －b ab ＞1，也就是1b －1a ＞1， ∵1b －1a ＞1成立(已知)，故原不等式1＋a ＞11－b 成立．图2－2－311．如图2－2－3所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC.所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，∵AB⊥AD，∴AB⊥PD，又∵AB∩AE＝A，故PD⊥平面ABE.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1.3 向量的减法课后知能检测 新人教B版必修4
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.3 向量的减法课后知能检测 新人教B 版必修4一、选择题1．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →的相反向量是( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b【解析】 ∵BD →＝AD →－AB →＝b －a ， ∴BD →的相反向量为－(b －a )＝a －b . 【答案】 A2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE → 【解析】 ∵O ，E ，F 是不共线的任意三点，∴OE →＋EF →＝OF →，由此可以推出EF →＝OF →－OE →.故选B.【答案】 B 3.图2－1－25如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF →－DB →等于( ) A.FD → B.FC → C.FE →D.DF →【解析】 由图易知AF →＝DE →， ∴AF →－DB →＝DE →－DB →＝BE →，又BE →＝DF →，∴AF →－DB →＝DF →. 【答案】 D4.(2013·中山高一检测)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )图2－1－26A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝0【解析】 AB →－AD →＝DB →，故C 项错． 【答案】 C5．O 是四边形ABCD 所在平面上任一点，AB →∥CD →，且|OA →－OB →|＝|OC →－OD →|，则四边形ABCD 一定为( )A ．菱形B ．任意四边形C ．矩形D ．平行四边形【解析】 由|OA →－OB →|＝|OC →－OD →|知|BA →|＝|DC →|，且AB →∥CD →，故四边形ABCD 是平行四边形．【答案】 D 二、填空题6．在△OAB 中，已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°，则|a －b |＝________. 【解析】 a －b ＝OA →－OB →＝BA →，∵|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°，故△AOB 为等边三角形，∴|BA →|＝4，即|a －b |＝4.【答案】 47．(2013·徐州高一检测)已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →可用OA →、OB →表示为________．【解析】 OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC →＝OB →＋2(OC →－OA →)，∴OC →＝2OA →－OB →. 【答案】 2OA →－OB →8．给出以下五个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②任一非零向量的方向都是唯一的； ③|a |－|b |＜|a ＋b |；④若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；⑤已知A 、B 、C 是平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. 其中正确的命题有________．【解析】 由|a |＝|b |，得不到a ＝b ，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b ＝0时，|a |－|b |＝|a ＋b |，故③不正确．【答案】 ②④⑤ 三、解答题9．设O 是△ABC 内一点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，若以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC 、OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示DC →、DC →、BH →.【解】 由题意可知四边形OADB 为平行四边形， ∴OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，∴DC →＝OC →－OD →＝c －(a ＋b )＝c －a －b . 又四边形ODHC 为平行四边形， ∴OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ， ∴BH →＝OH →－OB →＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .10．(2013·泰安高一检测)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝b ，求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.【证明】 如图，在等腰Rt △ABC 中，由M 是斜边AB 的中点， 得|CM →|＝|AM →|，|CA →|＝|CB →|.(1)在△ACM 中，AM →＝CM →－CA →＝a －b . 于是由|AM →|＝|CM →|， 得|a －b |＝|a |.(2)在△MCB 中，MB →＝AM →＝a －b ， 所以CB →＝MB →－MC → ＝a －b ＋a ＝a ＋(a －b )． 从而由|CB →|＝|CA →|， 得|a ＋(a －b )|＝|b |.11．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？【解】 由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法知DB →＝AB →－AD →＝a －b .则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形；当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.1 第1课时 综合法和分析法教案 新人教A版选修1-2
2．2.1 综合法和分析法第1课时综合法及其应用(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能结合学过的数学实，了解直接证明的基本方法：综合法．了解综合法的思维过程、特点．2．过程与方法会用综合法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生参与，激发学生学习数学的兴趣，端正学生严谨治学的态度，提高其思维论证能力．●重点难点重点：掌握综合法的思维过程、特点及其解题步骤，会用综合法证明数学问题．难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，应用综合法证明较复杂的数学问题．综合法是从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后得出所要证明问题．所以分析解读已知条件、挖掘隐含条件是解决问题的关键因素，在教学过程中指导学生正确审题，合理应用已知条件可达到事半功倍的效果．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采取探究式教学方法，教师主要作用在“引导”“点拨”，让学生自主思考综合法的证明特点，总结解题步骤，对于不同类型的问题如何思考、如何推理，教师应给出必要的指导．另外应注意引导学生学会分析和利用已知条件，阐明如何挖掘题目的隐含条件，如何联想与所证问题有关的定理、公理、公式等．证明过程中要注意每一步证明的充分性，注重由因导果推理方式的思路引领．在解答每一个例证前，最好先引导学生分析出思维路线图．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识直接证明的方法之一——综合法． 让学生自主完成填一填，使学生进一步了解综合法的证明格式、步骤、作用等． 引导学生分析例题1的已知条件，师生共同探究证明思路，学生自主完成证明过程，教师指导完善．完成变式训练． 学生分组探究例题2解法，总结用综合法证明立体几何问题的规律方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正． 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法． 学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导． 让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法，老师组织解法展示．引导学生总结解题规律．【问题导思】阅读下列证明过程，回答问题．已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2 2.证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y＝22，故2x ＋2y≥22成立． 1．本题的条件和结论是什么？【提示】 条件：x ＋y ＝1，结论2x＋2y≥2 2. 2．本题的证明顺序是什么？【提示】 从已知条件利用基本不等式到待证结论． 1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：a ＋b≥4.【思路探究】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法，即可得出结论．【自主解答】 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ＞0(当且仅当a ＝b 时，取等号)． 又0＜ab ≤12，0＜ab ≤14，∴1ab ≥4，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.法二 ∵a ，b 是正数， ∴a ＋b ≥2ab ＞0， 1a ＋1b≥21ab＞0(当且仅当a ＝b 时，上两式取等号)．∴(a ＋b )(1a ＋1b)≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2b a ·ab＝4(当且仅当a ＝b 时，取等号)．1．解答本题时，关键是灵活运用条件a ＋b ＝1. 2．综合法证题的一般步骤是：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．(2013·新乡高二检测)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －bb＋a ＋b －cc＞3. 【证明】 左边＝(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3， 因为a ，b ，c 为不全相等的正实数， 所以b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2， 且上述三式的等号不能同时成立，所以(b a ＋a b )＋(c b ＋b c )＋(a c ＋c a)－3＞6－3＝3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞3.111111111A 1B 1，AB 的中点．图2－2－1求证：(1)C1M⊥平面AA1B1B.(2)A1B⊥AM.(3)平面AC1M∥平面B1NC.【思路探究】(1)由B1C1＝A1C1，M为A1B1的中点可知C1M⊥A1B1，再根据C1M⊥A1A即可得证．(2)要证A1B⊥AM，可转化为证明A1B⊥平面AC1M.(3)要证面面平行，应转化证明线面平行．【自主解答】(1)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1.又∵C1M⊥A1A，A1A∩A1B1＝A1，A1A，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥平面AA1B1B.(2)∵A1B⊂平面AA1B1B，由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，∴A1B⊥C1M.又A1B⊥AC1，AC1，C1M⊂平面AC1M，AC1∩C1M＝C1，∴A1B⊥平面AC1M.又∵AM⊂平面AC1M，∴A1B⊥AM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM∥B1N，AM⊄平面B1NC，B1N⊂平面B1NC，∴AM∥平面B1NC.又C1M∥CN，CN⊂平面B1NC，C1M⊄平面B1NC，∴C1M∥平面B1NC.又∵C1M∩AM＝M，C1M，AM⊂平面AC1M，∴平面AC1M∥平面B1NC.平行与垂直关系的转化：本例重点强调在证明空间线线垂直、线线平行、线面垂直、线面平行、面面平行或垂直问题时，要特别注意平行与垂直之间的相互转化，如：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊥c ⇒a ⊥c ，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊥α⇒a ⊥α，⎭⎪⎬⎪⎫α∥ββ⊥γ⇒α⊥γ等．其中线面平行和线面垂直一般起到关键作用，如本例(2)中通过证明A 1B ⊥平面AC 1M 来证明A 1B ⊥AM ；本例(3)中，通过证明AM ∥平面B 1NC ，C 1M ∥平面B 1NC ，来证明平面AC 1M ∥平面B 1NC .将本例条件“B 1C 1＝A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点”改为“AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点”，求证：(1)B 1C ∥平面A 1BD .(2)B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.【证明】 (1)如图，连接AB 1. 令AB 1∩A 1B ＝O ， 则O 为AB 1的中点． 连接OD ，∵D 为AC 的中点， ∴在△ACB 1中，有OD ∥B 1C . 又∵OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)∵AB ＝B 1B ，三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴四边形ABB 1A 1为正方形． ∴A 1B ⊥AB 1，又∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ， ∴AC 1⊥A 1B .又∵AC 1⊂平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1. 又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1， ∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1A ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B ＝A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.n n n n 且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列．【思路探究】 通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键．【自主解答】 (1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3得 (3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3.两式相减得(3＋m )a n ＋1＝2ma n (m ≠－3)， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，且a 1＝1， ∴{a n }是等比数列． (2)b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3， ∴n ≥2，n ∈N *时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1＋3b n ＝3b n －1⇒1b n －1b n －1＝13.∴数列{1b n }为首项为1，公差为13的等差数列．1．综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． 2．综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”．综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等．设数列{a n }的每一项都不为0，证明：数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 【证明】 必要性： 设等差数列{a n }的公差为d . 若d ＝0，则所述等式显然成立； 若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d (a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1)＝1d [(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…＋(1a n －1a n ＋1)]＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝1d ·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1.充分性： 依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得 1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－na 1a n ＋1， 两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得：a 1＝na n －(n －1)a n ＋1.④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )，即2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以数列{a n }为等差数列． 命题得证.综合法的简单应用(12分)在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列． 求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .【思路点拨】 利用二倍角公式及余弦定理，将三角形角的问题转化为边的问题进行证明．【规范解答】 ∵左边＝a 1＋cos C 2＋c 1－cos A2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A )4分 ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc )8分 ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2＝b ＋b 2＝32b ＝右边， ∴a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .12分通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，也可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则．1．综合法证题是从条件出发，由因导果，从已知看可知，逐步推出未知．2．综合法适用的范围：(1)定义明确的题型，如证明函数单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等．(2)已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．1．设P ＝1log 211＋1log 311＋1log 411＋1log 511，则( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <4【解析】 P ＝log 112＋log 113＋log 114＋log 115 ＝log 11120,1＝log 1111<log 11120<log 11121＝2， 即1<P <2. 【答案】 B2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝bsin B ，∴sin A >sin B ，若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .【答案】 C3．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ， 又∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b . 【答案】 a >c >b4．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝x ，x ∈R ，数列{a n }，{b n }满足条件：a 1＝1，a n ＝f (b n )＝g (b n ＋1)，n ∈N *.求证：数列{b n ＋1}为等比数列． 【证明】 由题意得2b n ＋1＝b n ＋1， ∴b n ＋1＋1＝2b n ＋2＝2(b n ＋1)， ∴b n ＋1＋1b n ＋1＝2， 又∵a 1＝2b 1＋1＝1， ∴b 1＝0，b 1＋1＝1≠0. 故数列{b n ＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列.一、选择题1．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <1【解析】 ∵a ≠b ，∴a 2＋b 2>2ab ，即a 2＋b 22>ab ，可排除A 、D. 又a 2＋b 22＝a 2＋b 24＋a 2＋b 24>a 2＋b 24＋2ab 4＝a ＋b 24＝1.故B 正确． 【答案】 B2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面【解析】 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．【答案】 B3．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y【解析】 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y ，故选D. 【答案】 D4．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b【解析】 f (x )定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg1＋a 1－a ＝lg(1－a 1＋a )－1＝－lg 1－a1＋a＝－f (a )＝－b . 【答案】 B5．已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．有无数条，不一定在平面α内 C ．只有一条，且在平面α内 D ．有无数条，一定在平面α内【解析】 由直线l 与点P 可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内．【答案】 C 二、填空题6.3－2________2－1.(填“＞”或“＜”) 【解析】 ∵13－2＝3＋23－2 3＋2 ＝3＋2， 12－1＝2＋1 2－1 2＋1＝2＋1，显然3＋2＞2＋1，∴3－2＜2－1. 【答案】 ＜ 7．已知sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，则tan(x －π4)＝________. 【解析】 ∵sin x ＝55，x ∈(π2，3π2)，∴cos x ＝－45， ∴tan x ＝－12，∴tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝－3.【答案】 －38．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．(用序号及“⇒”表示)【解析】 ∵αβ>0，|α|>22，|β|>2 2. ∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25. ∴|α＋β|>5. 【答案】 ①③⇒② 三、解答题9．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．【证明】 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．10．设a >0，f (x )＝e xa ＋ae x 在R 上满足f (x )＝f (－x )，(1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数．【解】 (1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即exa ＋a e x ＝1a ex ＋a e x， 所以(a －1a )(e x －1e x )＝0对一切x ∈R 成立．由此可得a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1. (2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)(1e x 1＋x 2－1)＝(e x 2－e x 1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2.由x 1>0，x 2>0，得x 1＋x 2>0， e x 2－e x 1>0,1－e x 1＋x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．11．如图2－2－2，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.图2－2－2(1)求证：B1B∥平面D1AC；(2)求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1.【证明】(1)设AC∩BD＝E，连接D1E，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE，∵B1D1＝BE＝2，∴四边形B1D1EB是平行四边形，所以B1B∥D1E.又因为B1B⊄平面D1AC，D1E⊂平面D1AC，所以B1B∥平面D1AC(2)侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.(教师用书独具)图1是由菱形BCDE和△ABC组成的五边形，其中P为AB的中点，现沿BC将菱形BCDE 折起，使得AD＝AB，得到如图2所示的几何体．图1 图2证明：(1)AD∥平面PCE；(2)平面ABD⊥平面ACE.【思路探究】(1)由于P为AB的中点，故可考虑借助三角形的中位线定理证明；(2)要证平面ABD⊥平面ACE，可证明BD⊥平面ACE.【自主解答】(1)如图，设菱形BCDE的两条对角线交于点Q，连接AQ，PQ.在△ABD中，Q为BD的中点，P为AB的中点，则AD∥PQ.又∵PQ⊂平面PCE，AD⊄平面PCE，∴AD∥平面PCE.(2)∵四边形BCDE为菱形，∴BD⊥CE，且BQ＝DQ.又在△ABD中，AB＝AD，BQ＝DQ，∴AQ⊥BD.又AQ ∩CE ＝Q ， ∴BD ⊥平面ACE .又BD ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面ACE .要正确解答本题，关键是要明确折叠前后的图形之间的关系．设a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 【证明】 ∵a 2＋b 2≥2ab ，a 、b ∈R ＋， ∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， ∴a 2＋b 2≥ a ＋b22，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 同理：b 2＋c 2≥22(b ＋c )， c 2＋a 2≥22(c ＋a )， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(2a ＋2b ＋2c ) ＝2(a ＋b ＋c )．(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号) 故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2(1+2)直线与平面平行的判定 平面
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2（1+2）直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定课时训练新人教版必修2一、选择题1．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥β”的是( )【解析】A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a ∥β.D正确．【答案】 D2．(2013·某某高一检测)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面 D．相交或平行【解析】如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.【答案】 B3．直线l∥平面α，直线m∥平面α，若l∩m＝P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )A．相交 B．平行C．重合 D．不能确定【解析】∵l∥α，m∥α，l∩m＝P，又l⊂β，m⊂β，∴α∥β.【答案】 B4．(2013·威海高一检测)平面α与β平行的条件可能是( )A．α内有无穷多条直线与β平行B．直线a∥α，a∥βC．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．α内的任何直线都与β平行【解析】如图①，α内可有无数条直线与β平行，但α与β相交．如图②，a∥α，a∥β，但α与β相交．如图③，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，但α与β相交．故选D.【答案】 D5．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )A．平行 B．相交C．平行或相交 D．可能重合【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．【答案】 C二、填空题图2－2－86．如图2－2－8，长方体ABCD－A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________．【解析】观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是DC.【答案】平面A1C1与平面AD1平面AD1DC7．(2013·某某高一检测)设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个________．【解析】若m∥n，m∥α，则n∥α.同样，若m∥n，n∥α，则m∥α.【答案】①②⇒③(或①③⇒②)图2－2－98．(思维拓展题)如图2－2－9，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点．(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)【解析】∵H、N分别是CD和CB的中点，连接HN，BD，易知BD∥HN.又BD⊂平面B1BDD1，HN⊄平面B1BDD1，故HN∥平面B1BDD1，故不妨取M点与H点重合便符合题意．【答案】M与H重合(答案不唯一，又如M∈FH)三、解答题图2－2－109．如图2－2－10，在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN ∥平面PAD .【证明】 法一 如图，取PD 中点E ，连接NE ，AE ，N 为PC 中点，E 为PD 中点， ∴NE ∥CD 且NE ＝12CD .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴AM ∥NE 且AM ＝NE ， 即四边形AENM 为平行四边形， ∴MN ∥AE .又∵MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .法二 如图，取CD 的中点E ，连接NE ，ME .∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点， ∴NE ∥PD ，ME ∥AD .可证明NE ∥平面PAD ，ME ∥平面PAD . 又NE ∩ME ＝E ， ∴平面MNE ∥平面PAD .又MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面PAD .10．如图2－2－11所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1.图2－2－11【证明】由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A，所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.11．(探究创新题)如图2－2－12所示，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．图2－2－12【解】 当点F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .证明：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE . ∵FM ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，∴FM ∥平面AEC ，由EM ＝12PE ＝ED ，得E 是MD 的中点．连接BM ，BD ，设BD ∩AC ＝O ，则O 是BD 的中点，所以BM ∥OE . ∵BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， ∴BM ∥平面AEC .∵FM ∩BM ＝M ，∴平面BFM ∥平面AEC . 又BF ⊂平面BFM ，∴BF ∥平面AEC .。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.1 综合法与分析法课后知能检测 新人教B版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 综合法与分析法课后知能检测 新人教B 版选修2-2一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法【解析】 结合分析法及综合法的定义可知B 正确． 【答案】 B2．(2013·台州高二检测)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B.a 2＋b 22<ab <1C ．ab <a 2＋b 22<1D ．ab <1<a 2＋b22【解析】 ∵a ＋b ＝2且a ≠b ，∴ab <(a ＋b2)2＝1，a 2＋b 22>(a ＋b2)2＝1.∴a 2＋b 22>1>ab ，故选D.【答案】 D3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定【解析】 欲比较P ，Q ，只需比较P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a 与Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12， 只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12，显然前者小． 【答案】 C4．设甲：函数f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，乙：函数g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上均不对【解析】 对甲，要使f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，只需要Δ＝m 2－4n >0即可；对乙，要使g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，只需要u ＝x 2＋mx ＋n 的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m 2－4n ≥0，∴甲是乙的充分不必要条件．【答案】 A5．(2013·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10>2 6【解析】 对A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；对B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ；对C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a a －3<2a －3＋2a －2a －1，即aa －3<a －2a －1，两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立； 对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0， ∴2＋10<26，故D 错误． 【答案】 D 二、填空题6．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log2xy＝________. 【解析】 由条件知lg xy ＝lg(x －2y )2， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x y)2－5x y ＋4＝0，∴x y ＝4或x y ＝1，又x ＞2y ，故x y＝4. ∴log2xy＝log 24＝4. 【答案】 47．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．【解析】 x 2－y 2＝a ＋b ＋2ab2－(a ＋b )＝2ab －a －b 2＝－a －b22≤0，∴x 2≤y 2.∵a ，b 是不相等的正数，∴x >0，y >0，x ≠y ，∴x 2<y 2即x <y . 【答案】 x <y8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，f (x )＝2x －1x ＋1，a n ＝log 2f n ＋1f n ，则S 2 011＝________.【解析】 a n ＝log 2f n ＋1f n＝log 2f (n ＋1)－log 2f (n )，∴S 2 011＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 011＝[log 2f (2)－log 2f (1)]＋[log 2f (3)－log 2f (2)]＋[log 2f (4)－log 2f (3)]＋…＋[log 2f (2 012)－log 2f (2 011)]＝log 2f (2 012)－log 2f (1)＝log 24 024－12 012＋1－log 22－11＋1＝log 21 341671＋1.【答案】 log 21 341671＋1三、解答题9．(2013·东城高二检测)用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【证明】 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a >0，∴两边均大于零， 因此只需证(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，只需证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a2＋4＋22(a ＋1a)，只需证a 2＋1a 2≥22(a ＋1a)，只需证a 2＋1a 2≥12(a 2＋1a 2＋2)，即证a 2＋1a2≥2，它显然成立，∴原不等式成立．10．(2013·武汉高二检测)(1)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )． (2)已知a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.【证明】 (1)∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ，将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3) ≥2ab ＋23a ＋23b ， ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．(2)∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1c－1)＝a ＋b ＋c －a a ·a ＋b ＋c －b b ·a ＋b ＋c －cc＝b ＋c ·a ＋c ·a ＋b ≥2bc ·2ac ·2ab＝8. 故(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.11．(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .【证明】 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .又由于1＜a ≤b ≤c ，所以x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.1 平面向量基本定理课后知能检测 新人教B版必修4
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 平面向量基本定理课后知能检测 新人教B 版必修4一、选择题1．(2013·衡水高一检测)设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2【解析】 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 【答案】 B2．如图所示，矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )图2－2－8A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 【解析】 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(5e 1＋3e 2)．【答案】 A3．M 为△ABC 的重心，点D 、E 、F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( ) A ．6ME → B ．－6MF →C ．0D ．6MD →【解析】 MA →＋MB →＋MC →＝MA →＋2MD →＝MA →＋AM →＝0. 【答案】 C4．设一直线上三点A 、B 、P 满足AP →＝mPB →(m ≠－1)，O 是直线所在平面内一点，则OP →用OA →，OB →表示为( )A.OP →＝OA →＋mOB →B.OP →＝mOA →＋(1－m )OB →C.OP →＝OA →＋mOB →1＋mD.OP →＝1m OA →＋11－mOB →【解析】 由AP →＝mPB →得OP →－OA →＝m (OB →－OP →)， ∴OP →＋mOP →＝OA →＋mOB →，∴OP →＝OA →＋mOB →1＋m .【答案】 C5．(2013·三明高一检测)若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )A.165 B.125C.85D.45 【解析】∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.【答案】 C 二、填空题6．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1，e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1________，a 与e 2________(填“共线”或“不共线”)．【解析】 ∵e 1，e 2不共线，λ1＞0，λ2＞0， ∴a 与e 1，e 2都不共线． 【答案】 不共线 不共线7．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为__________．【解析】 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b 即得λ≠4.【答案】 (－∞，4)∪(4，＋∞)8．若A 、B 、C 三点共线，OA →＋λOB →＝2OC →，则λ＝________.【解析】 OA →＝－λOB →＋2OC →，且A 、B 、C 三点共线，故－λ＋2＝1，∴λ＝1. 【答案】 1 三、解答题9．判断下列命题的正误，并说明理由：(1)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a 、b 、c 、d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d ；(2)若e 1和e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来．【解】 (1)错，当e 1与e 2共线时，结论不一定成立．(2)正确，假设e 1＋e 2与e 1－e 2共线，则存在实数λ，使e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，即(1－λ)e 1＝－(1＋λ)e 2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e 1与e 2共线，这与e 1与e 2不共线矛盾．所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，因而它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e 1＋e 2、e 1－e 2表示出来．10．已知AP →＝λAB →(λ∈R )，O 是平面内任意一点(O 不在直线AB 上)． (1)试以OA →，OB →为基底表示OP →；(2)当λ＝12时，试确定点P 的位置．【解】 (1)∵AP →＝OP →－OA →，AB →＝OB →－OA →. 由AP →＝λAB →得OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OP →＝λOB →＋(1－λ)OA →.(2)当λ＝12时，由(1)可知OP →＝12OB →＋12OA →＝12(OA →＋OB →)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P 为线段AB 的中点．图2－2－911．如图2－2－9，点L 、M 、N 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且BL BC ＝l ，CM CA＝m ，ANAB＝n ，若AL →＋BM →＋CN →＝0. 求证：l ＝m ＝n .【证明】 令AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ， 则由BLBC ＝l 得，BL →＝l b ；由CMCA＝m 得CM →＝m c ； 由ANAB＝n 得AN →＝n a . ∵AL →＋BM →＋CN →＝0，∴(AB →＋BL →)＋(BC →＋CM →)＋(CA →＋AN →)＝0. 即(a ＋l b )＋(b ＋m c )＋(c ＋n a )＝0， ∴(1＋n )a ＋(1＋l )b ＋(1＋m )c ＝0. 又∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＝－b －c ，∴(1＋n )(－b －c )＋(1＋l )b ＋(1＋m )c ＝0，即(l－n)b＋(m－n)c＝0.∵b与c不共线，∴l－n＝0且m－n＝0，∴l＝n且m＝n，即l＝m＝n.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2.1 第2课时 圆的一般方程课后知能检测 苏教版必修2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 第2课时 圆的一般方程课后知能检测 苏教版必修2一、填空题1．(2013·南京检测)方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是______________． 【解析】 由题意可知，16＋(－2)2－20m ＞0，解得m ＜1. 【答案】 (－∞，1)2．方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是________________． 【解析】 ∵x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝11. ∴该方程表示以(－1,2)为圆心，以11为半径的圆． 【答案】 以(－1,2)为圆心，以11为半径的圆．3．(2013·苏州检测)动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值范围是____________．【解析】 圆的半径r ＝124＋k 2－2k ＋＝k 2－2k ＋3＝k －2＋2≥ 2.【答案】 [2，＋∞)4．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋2y ＋F ＝0与x 轴相切于原点，则D ＝________，F ＝________. 【解析】 把圆的方程化为标准方程：(x ＋D2)2＋(y ＋1)2＝D 42＋1－F ，∵圆与x 轴相切，且过原点，∴F ＝0，D 24＋1＝1，∴D ＝0.【答案】 0 05．(2013·福州八县高一联考)若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是__________．【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋12－4m ＞0，1＋－2－1－1＋m ＞0，解得0＜m ＜12.【答案】 (0，12)6．经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的方程为__________．【解析】 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A 、B 、C 三点代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0. 【答案】 x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝07．(2013·扬州检测)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离最大值是__________．【解析】 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为(1,1)，半径r ＝1. 又圆心(1,1)到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|2＝ 2.故圆上的点到直线的距离最大为2＋1. 【答案】2＋18．已知点A 是圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋4y －5＝0上任意一点，A 关于直线x ＋2y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝________.【解析】 由题意可知，圆C 的圆心(－a 2，－2)在直线x ＋2y －1＝0上，即－a2－4－1＝0，解得a ＝－10.【答案】 －10 二、解答题9．一个三角形的三条边所在的直线方程为x ＋6y －11＝0，x －y －4＝0,5x ＋2y ＋1＝0，求这个三角形的外接圆的方程．【解】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6y －11＝0，x －y －4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6y －11＝0，5x ＋2y ＋1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得该三角形三个顶点的坐标分别为(5,1)，(－1,2)，(1，－3)．设该三角形的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将三个顶点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧52＋12＋5D ＋E ＋F ＝0，－2＋22－D ＋2E ＋F ＝0，12＋－2＋D －3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－257，E ＝－37，F ＝－547，∴所求的圆的方程为x 2＋y 2－257x －37y －547＝0.10．(2013·南通检测)已知圆的方程：x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0，求圆心到直线ax ＋y －a 2＝0的距离的取值范围．【解】 将圆方程配方得(x －a )2＋(y ＋1)2＝a 2－a 故满足a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.由方程得圆心(a ，－1)到直线ax ＋y －a 2＝0的距离 d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1，∵a ＞1或a ＜0，∴a 2＋1＞1，得0＜d ＜1.11．设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a >0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由． 【解】 (1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)∴⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .∴圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0. (2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.∴圆M 过定点(0，－3).。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学2.2.1条件概率课后知能检测新人教a版选修2-3
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 条件概率课后知能检测 新人教A 版选修2-3一、选择题1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A.56B.910C.215D.115【解析】 由P (B |A )＝P AB P A 得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215. 【答案】 C 2．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )＜P (AB )B ．P (B |A )＝P B P A 是可能的C ．0＜P (B |A )＜1D ．P (A |A )＝0【解析】 由条件概率公式P (B |A )＝P AB P A及0＜P (A )≤1知P (B |A )≥P (AB )，故A 选项错误；当事件A 包含事件B 时，有P (AB )＝P (B )，此时P (B |A )＝P B P A ，故B 选项正确，由于0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，故C ，D 选项错误．故选B.【答案】 B3．将三颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P (A |B )等于( )A.91216 B.518 C.6091 D.12【解析】 事件B 发生的基本事件个数是n (B )＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A ，B 同时发生的基本事件个数为n (AB )＝3×5×4＝60.∴P (A |B )＝n AB n B ＝6091. 【答案】 C4．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A.35B.110C.59D.25【解析】 把问题看成用10个不同的球排前两位，第一次为新球的基本事件数为6×9＝54，两次均为新球的基本事件数为A 26＝30，所以在第一次摸到新球条件下，第二次也摸到新球的概率为3054＝59. 【答案】 C5．(2013·泰安高二检测)一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A.14B.23C.12D.13 【解析】 一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝34，P (AB )＝14.问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝1434＝13. 【答案】 D二、填空题6．设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________． 【解析】 ∵P (AB )＝310，P (B |A )＝12，∴P (B |A )＝P AB P A. ∴P (A )＝35. 【答案】 357．(2012·泰州高二检测)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．【解析】 设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.【答案】 0.728．从编号为1,2，……10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．【解析】 令事件A ＝{选出的4个球中含4号球}，B ＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意知n (A )＝C 39＝84，n (AB )＝C 24＝6，∴P (B |A )＝n AB n A ＝684＝114. 【答案】 114三、解答题9．(2013·广州高二检测)甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110. (1)求n 的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．【解】 (1)由题意得：C 2n C 2n ＋3＝n n －n ＋n ＋＝110，解得n ＝2. (2)记“其中一个标号是1”为事件A ，“另一个标号是1”为事件B ，所以P (B |A )＝n AB n A ＝C 22C 25－C 13＝17. 10．任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：(1)该点落在区间(0，13)内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在(15，1)内的概率． 【解】 由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A ＝{x |0＜x ＜13}，由几何概率的计算公式可知 (1)P (A )＝131＝13. (2)令B ＝{x |15＜x ＜1}，则AB ＝{15＜x ＜13}，P (AB )＝13－151＝215. 故在A 的条件下B 发生的概率为P (B |A )＝P AB P A ＝21513＝25. 11．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过的号码不再重复，试求：(1)不超过3次拨号就接通电话的概率；(2)如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超过3次就接通电话的概率．【解】 设第i 次接通电话为事件A i (i ＝1,2,3)，则A ＝A 1∪(A 1A 2)∪(A 1 A 2A 3)表示不超过3次就接通电话．(1)因为事件A 1与事件A 1A 2，A 1 A 2A 3彼此互斥，所以P (A )＝110＋910×19＋910×89×18＝310. (2)用B 表示最后一位按奇数的事件，则P (A |B )＝P (A 1|B )＋P (A 1A 2|B )＋P (A 1 A 2A 3|B )＝15＋4×15×4＋4×3×15×4×3＝35.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件课后知能检测新人教
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件课后知能检测 新人教B 版选修4-5一、选择题1．设k ∈R ，下列向量中，与向量a ＝(1，－1)一定不平行的向量是( )A ．b ＝(k ，k )B ．c ＝(－k ，－k )C ．d ＝(k 2＋1，k 2＋1)D ．e ＝(k 2－1，k 2－1) 【解析】 由向量共线的判定条件，当k ＝0时，向量b ，c 与a 平行；当k ＝±1时，向量e 与a 平行．对任意k ∈R,1·(k 2＋1)＋1·(k 2＋1)≠0，∴a 与d 不平行．【答案】 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4) 【解析】 由a ∥b 得m ＋2×2＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)．∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．【答案】 B3．在▱ABCD 中，已知AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 、BD 相交于O 点，则CO →的坐标是( )A ．(－12，5) B ．(－12，－5) C ．(12，－5) D ．(12，5) 【解析】 ∵CO →＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →) ＝－12(－2,3)－12(3,7)＝(－12，－5)． 【答案】 B4．已知向量a ＝(32，sin α)，b ＝(sin α，16)，若a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°【解析】 ∵a ∥b ，∴sin 2 α＝32×16＝14， ∴sin α＝±12.∵α为锐角，∴α＝30°. 【答案】 A5．与a ＝(12,5)平行的单位向量为( )A ．(1213，－513) B ．(－1213，－513) C ．(1213，513)或(－1213，－513) D ．(±1213，±513) 【解析】 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1213，y ＝513，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1213，y ＝－513.【答案】 C二、填空题6．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(0，－1)，(2,3)，(－1，－3)，则A ，B ，C 三点的位置关系是________．【解析】 AB →＝(2,4)，AC →＝(－1，－2)，∴AB →＝－2AC →.∴A ，B ，C 三点共线．【答案】 共线7．(2013·福州高一检测)设向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(6,2)共线，则实数λ＝________.【解析】 λa ＋b ＝λ(1,0)＋(1,1)＝(λ＋1,1)，因为向量λa ＋b 与c ＝(6,2)共线，所以(λ＋1)×2＝6×1，∴λ＝2.【答案】 28．(2013·宿州高一检测)已知：AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)．若A 、C 、D 三点共线，则k ＝________.【解析】 ∵AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)，∴AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)，又∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →∥CD →.∴10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.【答案】 4三、解答题9．已知向量A B →＝(6,1)，C D →＝(－2，－3)，B C →＝(x ，y )且|B C →|＝5，B C →∥D A →，求x ，y 的值．【解】 由题意得D A →＝－A D →＝－(A B →＋B C →＋C D →)＝－[(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)]＝(－x －4，－y ＋2)，B C →＝(x ，y )．又∵B C →∥D A →，∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0.化简得x ＋2y ＝0.即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0.①又∵|B C →|＝5，即x 2＋y 2＝5.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1.10．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，试证明四边形ABCD 是梯形．【证明】 ∵AB →＝(3,3)，CD →＝(－2，－2)，∴AB →＝－32CD →. 又∵A 、B 、C 、D 四点不共线，∴AB →∥CD →.又∵AD →＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，BC →＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)．且－1×1－2×(－2)≠0，∴AD 与BC 不平行，∴四边形ABCD 是梯形．11．已知四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．【解】 以A 为坐标原点，AB →为x 轴建立直角坐标系，如图所示，∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)．∴F (6,4)，E (3,0)，设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )，AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)．由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －6y ＝0，x －－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝92，y ＝3.∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB＝36－12×3×3－12×3×6＝452.。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.1.2 向量的加法名师课件 新人教B版必修4
【思路探究】 解答本题先明确飞行路程与两次位移和 的含义，再解 Rt△ABC，求出|A→C|和∠BAC，最后结合图形作 答．
【自主解答】 设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km.
则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C.
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的 加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
1．已知向量 a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量 a＋b 的方向
A．与向量 a 方向相同
()
B．与向量 a 方向相反
C．与向量 b 方向相同
D．不确定 【解析】 如果 a 和 b 方向相同，则它们的和的方向应
1．用向量证明几何问题的一般步骤： (1)把几何问题中的边转化成相应的向量； (2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系； (3)还原成几何问题． 2．要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在 直线平行或重合且长度相等．
已知：如图，四边形 ABCD 中，AO＝OC，DO＝OB.
图 2－1－15 求证：四边形 ABCD 为平行四边形．
该与 a(或 b)的方向相同；如果它们的方向相反，而 a 的模大
于 b 的模，则它们的和的方向与 a 的方向相同． 【答案】 A
2．下列等式错误的是( ) A．a＋0＝0＋a＝a B.A→B＋B→C＋A→C＝0 C.A→B＋B→A＝0 D.C→A＋A→C＝M→N＋N→P＋P→M 【解析】 A→B＋B→C＋A→C＝A→C＋A→C＝2A→C≠0.故 B 错．
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是 F1 ＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为 θ＝60°(如图)， 如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．
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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.2 向量的
加法课后知能检测 新人教B 版必修4
一、选择题
1．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a 、b 是方向相反的向量 C ．a ＝－b
D ．a 、b 无论什么关系均可
【解析】 只有a ∥b ，且a 与b 方向相同时才有|a ＋b |＝|a |＋|b |成立．故A 项正确． 【答案】 A
2．已知菱形的两邻边OA →＝a ，OB →＝b, 其对角线交点为D ，则OD →
等于( ) A.1
2a ＋b B.1
2b ＋a C.1
2
(a ＋b ) D ．a ＋b
【解析】 作出图形，OA →＋OB →＝OC →
＝a ＋b ， ∴OD →＝1
2(a ＋b )．
【答案】 C
3．(2013·阜阳高一检测)下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.BC →＋AB → B.PM →＋MN →＋MP → C.BC →＋CA →＋AB →＋CD →
D.MP →＋GM →＋PQ →＋QG →
【解析】 A 项，BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →
； B 项，PM →＋MN →＋MP →＝PM →＋MP →＋MN →＝MN →； C 项，BC →＋CA →＋AB →＋CD →
＝(AB →＋BC →＋CA →)＋CD →＝0＋CD →＝CD →；
D 项，MP →＋GM →＋PQ →＋QG →＝(GM →＋MP →)＋(PQ →＋QG →) ＝GP →＋PG →
＝0. 【答案】 D
4．(2013·济南高一检测)在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →
|，则四边形
ABCD 是( )
A ．菱形
B ．矩形
C ．正方形
D ．不确定
【解析】 ∵|BC →＋BA →|＝|BD →
|， |BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →|， ∴▱ABCD 是矩形． 【答案】 B
5．(2013·嘉兴高一检测)已知P 为△ABC 所在平面内一点，当PA →＋PB →＝PC →
成立时，点P 位于( )
A ．△ABC 的A
B 边上 B ．△AB
C 的BC 边上 C ．△ABC 的内部
D ．△ABC 的外部 【解析】 如图PA →＋PB →＝PC →
，则P 在△ABC 的外部．
【答案】 D 二、填空题
6．化简(AB →＋MB →)＋BC →＋OM →＋BO →＋CA →
＝__________.
【解析】 (AB →＋MB →)＋BC →＋OM →＋BO →＋CA →＝AB →＋(BO →＋OM →)＋MB →＋(BC →＋CA →)＝AB →＋BM →＋MB →
＋BA →＝AB →＋0＋BA →
＝0.
【答案】 0
7．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝2，则|AB →＋BC →
|＝__________. 【解析】 因为AB →＋BC →＝AC →
，又AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋22
＝13， ∴|AB →＋BC →
|＝13. 【答案】
13
8．当非零向量a ，b 满足________时，能使a ＋b 平分a 与b 的夹角．
【解析】 以a ，b 为邻边构成的平行四边形为菱形时，a ＋b 平分a 与b 的夹角，此时|a |＝|b |.
【答案】 |a |＝|b | 三、解答题
9．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →
|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 【解】 如图，∵|OA →|＝|OB →
|＝3，
∴四边形OACB 为菱形．
连OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D . ∵∠AOB ＝60°， ∴AB ＝|OA →
|＝3.
∴在Rt △BDC 中，CD ＝33
2.
∴|OC →|＝|a ＋b |＝332
×2＝3 3.
10．如图所示，在▱ABCD 的对角线BD 的延长线上取点E 、F ，使BE ＝DF ，求证：四边形
AECF 是平行四边形．
图2－1－18
【证明】 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →
，
又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →. ∴AE →＝FC →. ∴AE 綊FC ，
∴四边形AECF 是平行四边形．
11．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝A i A i ＋1(i ＝1,2，…，7)，b j ＝OA j
→
(j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.
图2－1－19
【解】 因为OA 3→
＋OA 7→＝0，所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝A 2A 3→
＋A 5A 6→
＋OA 2→
＋OA 5→
＋OA 7→
＝(OA 2→
＋
A 2A 3→)＋(OA 5→
＋A 5A 6→
)＋OA 7→＝OA 6→
＝b 6.。