高2020届高2017级江苏理科数学复习课件第十一章统计与概率计数原理第四节几何概型
2020版高考数学(理科)一轮总复习课件：第十一章计数原理和概率 11-1
课前自助餐
分类计数原理的推广 完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的 方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝_m__1＋__m_2＋__…__＋_m_n__ 种不同的方法．
分步计数原理的推广 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的 方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的 方法，那么完成这件事共有 N＝__m_1×__m_2_×_…__×_m__n _种不同的方法．
【答案】 24
★状元笔记★ 两个原理的特点 利用两个计数原理解题，必须类步分明，依实际问题是分类， 还是分步，必须由题而定．如本例(1)中完成这件事分 8 类即可； (2)题中完成这件事，需分三步，这三步完成后这件事才算告终．
思考题 1 (1)设 x，y∈N*，直角坐标平面中的点为 P(x， y)．
答案 B 解析 由一层到二层有 2 种选择，二层到三层有 2 种选择，三 层到四层有 2 种选择，∴由分步计数原理可知走法种数为 23＝8.
2．已知{1，2}⊆X⊆{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的
集合 X 共有( )
A．2 个
B．6 个
C．4 个
D．8 个
答案 D 解析 由题意知集合 X 中的元素 1，2 必取，另外，从 3，4， 5 中可以不取，取 1 个，取 2 个，取 3 个．故有 C30＋C31＋C32＋ C33＝8. 另解：对于 3，4，5 这三个元素，对于是否放在集合{1，2} 中都有两种可能，放和不放，所以共有 23＝8 种情况，也就是 X 这个集合有 8 个．
高考数学(苏教,理科)复习第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第四节 离散型随机变量及其分布列
解：(1)P(ξ＞7)＝1－P(ξ＝7)＝1－0.1×0.1＝0.99.
(2)ξ 的可能取值为 7,8,9,10.
据现行国家标准 GB3095－2012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米 以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米～75 微克/立方米之间空
气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标． 从某自然保护区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽 取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
P(X＝2)＝CC15C93 24＝154，P(X＝3)＝CC9334＝211.
∴X 的分布列为
X0 1 2 3
P
5 42
10 5 21 14
1 21
[类题通法] 对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直 接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题， 随机变量为抽到的某类个体的个数.
在本例条件下，求所选 3 人中女生人数 X
这两次取出白球数 X 的分布列为________． 解析：X 的所有可能值为 0,1,2.
P(X＝0)＝CC2111CC1112＝14， P(X＝1)＝C11CC1211C×12 2＝12，
X0 1 2
P
1 4
1 2
1 4
P(X＝2)＝CC2111CC1112＝14. ∴X 的分布列为
答案： X 0 1 2
事件的概率是否正确．
[针对训练] (2014·温州模拟)从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋
子中，每摸出 2 个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不
放回)，则试验结束． (1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率； (2)记试验次数为 X，求 X 的分布列．
2020江苏高考数学新增分一轮课件：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 §11.2
1
2
3
4
5
6
题组二 教材改编
2.[P29 习题 T5]6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种
24 数为___.
解析
“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两
人不相邻的坐法种数为 A3 4 ＝4×3×2＝24.
1
2
3
4
5
6
3.[P24习题T7]某校拟从4名男教师和5名女教师中各选2名教师开设公开课，则 42 男教师A和女教师B至少有一名被选中的不同选法的种数是____.
跟踪训练1 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从 35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
解 从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C2 34＝561(种)取法，
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(2)至少有1名女运动员；
解 方法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
4 2 3 3 2 4 1 由分类计数原理可得总选法共有 C1 C ＋ C C ＋ C C ＋ C 4 6 4 6 4 6 4C6＝246(种).
方法二
求解.
“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法
思维升华
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“ 含有” 或“不含有 ”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素
取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元
素中去选取. (2)“ 至少” 或“至多 ”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视 “至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间 接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第十一章统计与概率第四节几何概型教案文解析版
１．几何概型的定义设D是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．２．几何概型的两个基本特点（１）无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；（２）等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．３．几何概型的概率公式P（A）＝错误!.[提醒] 求解几何概型问题注意数形结合思想的应用．[小题体验]１．某路公共汽车每５分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过２分钟的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域长度为５，所求事件的区域长度为２，故所求概率为P＝错误!.答案：错误!２．在长为１２cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于３２cm２的概率为________．解析：设AC＝x（0＜x＜１２），则CB＝１２—x，所以x（１２—x）＜３２，解得x＜４或x＞8，所以所求概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!３．在５00 mL的水中有一只草履虫，现从中随机取出２mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．解析：由于取水样的随机性，所求事件A“在取出２mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比，即错误!＝0．00４．答案：0．00４易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．[小题纠偏]１．已知函数f（x）＝x２—２x—３，x∈[—１,４]，则f（x）为增函数的概率为________．解析：因为f（x）＝x２—２x—３＝（x—１）２—４，x∈[—１,４]．所以f（x）在[１,４]上是增函数．所以f（x）为增函数的概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．如图，在边长为１的正方形中随机撒１000粒豆子，有１80粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．解析：设阴影部分面积为S，由几何概型可知错误!＝错误!，所以S＝0．１8．答案：0．１8错误!错误![题组练透]１．（２0１8·扬州考前调研）在区间（0,５）内任取一个实数m, 则满足３＜m＜４的概率为_________．解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足３＜m＜４的概率为错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏州调研）在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率为________．解析：如图，过点C在∠ACB内任作射线CM，则射线CM在∠ACB内是等可能分布的，故基本事件的区域测度是∠ACB的大小，即90°.在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝错误!＝67．５°.记“AM＜AC”为事件A，则事件A的概率P（A）＝错误!＝错误!，故AM＜AC的概率为错误!.答案：错误!３．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在３0°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析：根据题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为错误!＝错误!.答案：错误!４．在水平放置的长为５m的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于２m的概率是________．解析：这是一个几何概型，其概率就是如图所示的相应的线段CD，AB的长度的比值，故所求概率P＝错误!.答案：错误![谨记通法]１．与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．２．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．错误!错误![锁定考向]与面积、体积有关的几何概型在高考中经常出现．常见的命题角度有：（１）与平面图形面积有关的问题；（２）与线性规划交汇命题的问题；（３）与几何体体积交汇命题的问题．[题点全练]角度一：与平面图形面积有关的问题１．平面区域A１＝错误!，A２＝{（x，y）||x|＋|y|≤３，x，y∈R}．在A２内随机取一点，则该点不在A１内的概率为________．解析：分别画出区域A１，A２，如图圆内部分和正方形及其内部所示，根据几何概型可知，所求概率为错误!＝１—错误!.答案：１—错误!角度二：与线性规划交汇命题的问题２．在平面区域{（x，y）|0≤x≤１，１≤y≤２}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤２x的概率为________．解析：依题意作出图象如图，则P（y≤２x）＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!角度三：与几何体体积交汇命题的问题３．（２0１8·南通中学高三数学练习）在棱长为２的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于１的概率为________．解析：半径为１的球的体积是错误!π，正方体的体积是8，故所求的概率是１—错误!＝１—错误!.答案：１—错误![通法在握]１．几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．２．几何概型与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．３．几何概型与几何体体积交汇问题的解题思路根据题意及几何体体积的计算公式，求出问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．[演练冲关]１．（２0１9·滨海测试）已知关于x的二次函数f（x）＝ax２—４bx＋１．设点（a，b）是区域错误!内的随机点，则函数f（x）在区间[１，＋∞）上是增函数的概率为________．解析：要使函数f（x）在区间[１，＋∞）上是增函数，需要a＞0，且—错误!≤１，即a＞0且２b≤a.画出图形如图所示，求得区域错误!的面积为错误!×8×8＝３２，由错误!求得P错误!，所以区域内满足a＞0且２b≤a的面积为错误!×8×错误!＝错误!，所以所求概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·汇龙中学检测）设O为坐标原点，点P的坐标为（x—２，x—y）．（１）在一个盒子中，放有标号为１,２,３的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求OP的最大值，并求事件“OP取到最大值”的概率；（２）若利用计算机随机在[0,３]上先后取两个数分别记为x，y，求点P在第一象限的概率．解：（１）记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为：（x，y）（１,１）（１,２）（１,３）（２,１）（２,２）（２,３）（３,１）（３,２）（３,３）P（x—２，x—y）（—１，0）（—１，—１）（—１，—２）（0,１）（0,0）（0，—１）（１,２）（１,１）（１,0）|OP|１错误!错误!１0１错误!错误!１共9种．由表格可知OP的最大值为错误!.设事件A为“OP取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（１,３），（３,１）两种情况，所以P（A）＝错误!.（２）设事件B为“点P在第一象限”，若错误!则其所表示的区域面积为３×３＝9．由题意可得事件B满足错误!即如图所示的阴影部分，其区域面积为１×３—错误!×１×１＝错误!.所以P（B）＝错误!＝错误!.错误!错误![典例引领]设关于x的一元二次方程x２＋２ax＋b２＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．（１）若随机数a，b∈{１,２,３,４};（２）若a是从区间[0,３]中任取的一个数，b是从区间[0,２]中任取的一个数．解：设事件A为“方程x２＋２ax＋b２＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，方程x２＋２ax＋b２＝0有实根的充要条件为a≥b.（１）基本事件共有１6个：（１,１），（１,２），（１,３），（１,４），（２,１），（２,２），（２,３），（２,４），（３,１），（３,２），（３,３），（３,４），（４,１），（４,２），（４,３），（４,４），其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含１0个基本事件，故事件A发生的概率为P（A）＝错误!＝错误!.（２）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤３,0≤b≤２}．构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤３，0≤b≤２，a≥b}即如图的阴影区域所示，所以所求的概率为P（A）＝错误!＝错误!.[由题悟法]一般地，若一个随机事件需要两个连续变量来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型．若一个随机事件需要两个离散变量来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用古典概型求解事件的概率．[即时应用]（２0１8·常州调研）已知一次函数f（x）＝mx＋n，分别在下列条件下，求函数图象经过一、二、三象限的概率．（１）设m∈{—２，—１,１,２,３}，n∈{—２,３}；（２）实数m，n满足条件错误!解：（１）抽取的全部结果的基本事件有：（—２，—２），（—２,３），（—１，—２），（—１,３），（１，—２），（１,３），（２，—２），（２,３），（３，—２），（３,３），共１0个，设函数图象经过一、二、三象限的事件为A，则A包含的基本事件有：（１,３）, （２,３）, （３,３），共３个，所以P（A）＝错误!.（２）m，n满足条件错误!的区域如图所示．要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的（m，n）的区域为第一象限的阴影部分，所以所求事件的概率为P＝错误!＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·连云港调研）欧阳修在《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱的形状是直径为３cm的圆，中间有边长为１cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是________．解析：根据几何概型知，P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·无锡中学检测）如图，矩形的长为１２，宽为５，在矩形内随机地投掷１000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为________．解析：可估计阴影部分的面积约为错误!×１２×５＝３6．答案：３6３．（２0１9·镇江调研）有一个底面半径为１，高为３的圆柱，点O１，O２分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心．在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O１，O２的距离都大于１的概率为________．解析：因为点P到点O１，O２的距离小于等于１的点的集合为以点O１，O２为球心，１为半径的两个半球，求得体积V′＝２×错误!×错误!π×１３＝错误!π，圆柱的体积V＝Sh＝３π，所以点P到点O１，O２的距离都大于１的概率P＝１—错误!＝错误!.答案：错误!４．已知函数f（x）＝x２—x—２，x∈[—５,５]，若从区间[—５,５]内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f（x0）≤0的概率为________．解析：令x２—x—２≤0，解得—１≤x≤２，由几何概型的概率计算公式得P＝错误!＝错误!.答案：错误!５．（２0１8·苏锡常镇一模）已知Ω１是集合{（x，y）|x２＋y２≤１}所表示的区域，Ω２是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω１内随机的投一个点，则该点落在区域Ω２内的概率为________．解析：作出区域Ω１（圆面）、Ω２（阴影部分）的示意图如图所示，根据几何概型的概率计算公式得，该点落在区域Ω２内的概率为错误!.答案：错误!6．如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析：设扇形的半径为２，则其面积为错误!＝π，记由两段小圆弧围成的阴影面积为S１，另外三段圆弧围成的阴影面积为S２，则S１＝２×错误!＝错误!—１，S２＝错误!×２２—２×错误!×１２＋错误!—１＝错误!—１，故阴影部分总面积为２×错误!＝π—２，因此任取一点，此点取自阴影部分的概率为错误!＝１—错误!.答案：１—错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·苏州中学高三期末）已知实数a∈[—２,５]，则a∈{x∈R|x２—２x—３≤0}的概率为________．解析：由x２—２x—３≤0，解得—１≤x≤３，故所求概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１9·启东中学检测）已知正方形ABCD的边长为２，点H是边DA的中点．在正方形ABCD 内部随机取一点P，则满足PH＜错误!的概率为________．解析：如图，满足PH＜错误!的点在△AEH，扇形EHF及△DFH围成的区域内，由几何概型得所求概率为错误!＝错误!＋错误!.答案：错误!＋错误!３．在[—４,４]上随机取一个实数m，能使函数f（x）＝x３＋mx２＋３x在R上单调递增的概率为________．解析：由题意，得f′（x）＝３x２＋２mx＋３，要使函数f（x）在R上单调递增，则３x２＋２mx＋３≥0在R上恒成立，即Δ＝４m２—３6≤0，解得—３≤m≤３，所以所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·连云港期末）已知m∈[３,４]，n∈[２．５,３．５]，则关于x的方程x２＋错误!x＋错误!＝0有解的概率为________．解析：m∈[３,４]，n∈[２．５,３．５]，∵关于x的方程x２＋错误!x＋错误!＝0有解，∴Δ＝m—４×错误!＝m—n≥0，∴错误!画出图形如图所示，则阴影部分的面积为１—错误!×错误!×错误!＝错误!，∴所求的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!５．在区间错误!上随机取一个数x，则sin x＋cos x∈[１，错误!]的概率是________．解析：因为x∈错误!，所以x＋错误!∈错误!，由sin x＋cos x＝错误!sin错误!∈[１，错误!]，得错误!≤sin错误!≤１，所以x∈错误!，故要求的概率为错误!＝错误!.答案：错误!6．已知集合A＝错误!，B＝{x|x２＋２x—３≤0}，在集合A中任意取一个元素a，则a∈B的概率是________．解析：A＝{y|y＝x２＋２x，—２≤x≤２}＝{y|—１≤y≤8}．B＝错误!＝错误!.则所求的概率为错误!＝错误!.答案：错误!7．（２0１8·无锡调研）设a∈[0,１0]，则函数g（x）＝错误!在区间（0，＋∞）上为增函数的概率为________．解析：因为函数g（x）＝错误!在区间（0，＋∞）上为增函数，所以a—２＜0，解得a＜２，所以函数g（x）＝错误!在区间（0，＋∞）上为增函数的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!8．如图，正四棱锥SABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．解析：设球的半径为R，则所求的概率为P＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!9．已知正方体ABCDA１B１C１D１的棱长为１，在正方体内随机取点M.（１）求四棱锥MABCD的体积小于错误!的概率；（２）求M落在三棱柱ABCA１B１C１内的概率．解：（１）正方体ABCDA１B１C１D１中，设MABCD的高为h，令错误!×S四边形ABCD×h＝错误!，因为S四边形ABCD＝１，所以h＝错误!.若体积小于错误!，则h＜错误!，即点M在正方体的下半部分，所以P＝错误!＝错误!.（２）因为V三棱柱＝错误!×１２×１＝错误!，所以所求概率P１＝错误!＝错误!.１0．（２0１8·启东中学模拟）甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客，两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为１５°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有３个白球和３个红球的不透明盒子中一次性摸出２个球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是２个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解：如果顾客去甲商场，事件的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR２（R为圆盘的半径），阴影区域的面积为错误!＝错误!.所以在甲商场中奖的概率P１＝错误!＝错误!.如果顾客去乙商场，记盒子中３个白球为a１，a２，a３,３个红球为b１，b２，b３，记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有（a１，a２），（a１，a３），（a１，b１），（a１，b２），（a１，b３），（a２，a），（a２，b１），（a２，b２），（a２，b３），（a３，b１），（a３，b２），（a３，b３），（b１，b２），（b１，b３），３（b２，b３），共１５种，摸到的２个球都是红球的结果有（b１，b２），（b１，b３），（b２，b３），共３种，所以在乙商场中奖的概率P２＝错误!＝错误!.因为P１＜P２，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·苏州考前模拟）在区间[—１,１]上随机取一个数x，cos错误!的值介于0到错误!之间的概率为________．解析：在区间[—１,１]上随机取一个数x，即x∈[—１,１]时，要使cos错误!的值介于0到错误!之间，需使—错误!≤错误!≤—错误!或错误!≤错误!≤错误!，所以—１≤x≤—错误!或错误!≤x≤１，区间长度为错误!，由几何概型知，cos错误!的值介于0到错误!之间的概率为错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·启东中学检测）∀α∈R，n∈[0,２]，向量c＝（２n＋３cos α，n—３sin α）的长度不超过6的概率为________．解析：|c|＝错误!＝错误!＝错误!≤6，化简得５n２＋6n（２cos α—sin α）≤２7，即５n２＋6 错误!n·错误!≤２7，即５n２＋6 错误!n cos（α＋φ）≤２7，其中tan φ＝错误!＝错误!，当n＞0时，变形得cos（α＋φ）≤错误!，由于错误!＞0，令错误!≥１，即５n２＋6 错误!n—２7≤0，解得0≤n≤错误!，此时向量c的长度不超过6，又n∈[0,２]，由几何概型的概率公式得向量c的长度不超过6的概率为错误!＝错误!.答案：错误!３．已知关于x的二次函数f（x）＝b２x２—（a＋１）x＋１．（１）若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为１,２,３,４,５,6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f（x）恰有一个零点的概率．（２）若a，b∈[１,6]，求满足y＝f（x）有零点的概率．解：（１）设（a，b）表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（１,１），（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（１,6），（２,１），（２,２），…，（6,５），（6,6），共３6个．用A表示事件“y＝f（x）恰有一个零点”，即Δ＝[—（a＋１）]２—４b２＝0，则a＋１＝２b.则A包含的基本事件有（１,１），（３,２），（５,３），共３个，所以P（A）＝错误!＝错误!.即事件“y＝f（x）恰有一个零点”的概率为错误!.（２）用B表示事件“y＝f（x）有零点”，即a＋１≥２b.试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|１≤a≤6,１≤b≤6}，构成事件B的区域为{（a，b）|１≤a≤6,１≤b≤6，a—２b＋１≥0}，如图所示：所以所求的概率为P（B）＝错误!＝错误!.即事件“y＝f（x）有零点”的概率为错误!.命题点一统计１．（２0１8·江苏高考）已知５位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这５位裁判打出的分数的平均数为________．解析：这５位裁判打出的分数分别是89,89,90,9１,9１，因此这５位裁判打出的分数的平均数为错误!＝90．答案：90２．（２0１6·江苏高考）已知一组数据４．7,４．8,５．１,５．４,５．５，则该组数据的方差是________．解析：５个数的平均数错误!＝错误!＝５．１，所以它们的方差s２＝错误![（４．7—５．１）２＋（４．8—５．１）２＋（５．１—５．１）２＋（５．４—５．１）２＋（５．５—５．１）２]＝0．１．答案：0．１３．（２0１7·江苏高考）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为２00,４00,３00,１00件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．解析：因为丙种型号的产品在所有产品中所占比例为错误!＝错误!，所以应从丙种型号的产品中抽取60×错误!＝１8（件）．答案：１8４．（２0１8·全国卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头５0天的日用水量数据（单位：m３）和使用了节水龙头５0天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头５0天的日用水量频数分布表日用水量[0，0．１）[0．１，0．２）[0．２，0．３）[0．３，0．４）[0．４，0．５）[0．５，0．6）[0．6，0．7）频数１３２４9２6５使用了节水龙头５0天的日用水量频数分布表日用水量[0，0．１）[0．１，0．２）[0．２，0．３）[0．３，0．４）[0．４，0．５）[0．５，0．6）频数１５１３１0１6５（１）在下图中作出使用了节水龙头５0天的日用水量数据的频率分布直方图；（２）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．３５m３的概率；（３）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按３6５天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）解：（１）频率分布直方图如图所示．（２）根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后５0天日用水量小于0．３５m３的频率为0．２×0．１＋１×0．１＋２．6×0．１＋２×0．0５＝0．４8，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．３５m３的概率的估计值为0．４8．（３）该家庭未使用节水龙头５0天日用水量的平均数为错误!１＝错误!×（0．0５×１＋0．１５×３＋0．２５×２＋0．３５×４＋0．４５×9＋0．５５×２6＋0．6５×５）＝0．４8．该家庭使用了节水龙头后５0天日用水量的平均数为错误!２＝错误!×（0．0５×１＋0．１５×５＋0．２５×１３＋0．３５×１0＋0．４５×１6＋0．５５×５）＝0．３５．估计使用节水龙头后，一年可节省水（0．４8—0．３５）×３6５＝４7．４５（m３）．命题点二古典概型、几何概型１．（２0１8·江苏高考）某兴趣小组有２名男生和３名女生，现从中任选２名学生去参加活动，则恰好选中２名女生的概率为________．解析：设２名男生为a，b,３名女生为A，B，C，从中选出２人的情况有（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共１0种，而都是女生的情况有（A，B），（A，C），（B，C），共３种，故所求概率为错误!.答案：错误!２．（２0１8·上海高考）有编号互不相同的五个砝码，其中５克、３克、１克砝码各一个，２克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）解析：从５个砝码随机选取三个，共有１0种选取方法，总质量为9克的情况有２种，因此所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１6·江苏高考）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有１,２,３,４,５,6个点的正方体玩具）先后抛掷２次，则出现向上的点数之和小于１0的概率是________．解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷２次，所有等可能的结果有（１,１），（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（１,6），（２,１），（２,２），…，（6,6），共３6种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于１0”，其对立事件错误!＝“出现向上的点数之和大于或等于１0”，错误!包含的可能结果有（４,6），（５,５），（５,6），（6,４），（6,５），（6,6），共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P（错误!）＝错误!＝错误!，所以P（A）＝１—错误!＝错误!.答案：错误!４．（２0１５·江苏高考）袋中有形状、大小都相同的４只球，其中１只白球，１只红球，２只黄球．从中一次随机摸出２只球，则这２只球颜色不同的概率为________．解析：设４只球分别为白、红、黄１、黄２，从中一次随机摸出２只球，所有基本事件为（白，红）、（白，黄１）、（白，黄２）、（红，黄１）、（红，黄２）、（黄１，黄２），共6个，颜色不同的有５个，所以２只球颜色不同的概率为错误!.答案：错误!５．（２0１7·江苏高考）记函数f（x）＝错误!的定义域为D.在区间[—４,５]上随机取一个数x，则x ∈D的概率是________．解析：令6＋x—x２≥0，解得—２≤x≤３，即定义域D＝[—２,３]，在区间[—４,５]上随机取一个数x，则x∈D的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!6．（２0１6·全国卷Ⅱ改编）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为４0秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待１５秒才出现绿灯的概率为________．解析：如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待１５秒才出现绿灯．AB长度为４0—１５＝２５，由几何概型的概率公式知，至少需要等待１５秒才出现绿灯的概率为错误!＝错误!.答案：错误!7．（２0１8·天津高考）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为２４0,１60,１60．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（１）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（２）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取２名同学承担敬老院的卫生工作．１试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；２设M为事件“抽取的２名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．解：（１）因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为３∶２∶２，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取３人，２人，２人．（２）１从抽取的7名同学中随机抽取２名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共２１种．２由１，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的２名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共５种．所以事件M发生的概率P（M）＝错误!.8．（２0１8·北京高考）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：（１）从电影公司收集的电影中随机选取１部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．（２）随机选取１部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．（３）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0．１，哪类电影的好评率减少0．１，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）解：（１）由题意知，样本中电影的总部数是１４0＋５0＋３00＋２00＋800＋５１0＝２000，获得好评的第四类电影的部数是２00×0．２５＝５0，故所求概率为错误!＝0．0２５．（２）由题意知，样本中获得好评的电影部数是１４0×0．４＋５0×0．２＋３00×0．１５＋２00×0．２５＋800×0．２＋５１0×0．１＝５6＋１0＋４５＋５0＋１60＋５１＝３7２，故所求概率估计为１—错误!＝0．8１４．（３）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．。
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 §11.4
2.若题2中条件不变，求随机变量η＝X2的概率分布. 解 依题意知η的值为0,1,4,9,16. 列表为
X01234 X2 0 1 4 9 16 从而η＝X2的概率分布为 η 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
思维升华
(1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每 个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机 变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
( ×) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.
(√) (5)离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.( √ )
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题组二 教材改编 2.[P48练习T3]设随机变量 X的概率分布如下：
X12345
P
1 12
1 6
1 3
1 6
p
1 则p＝__4_.
即
X
0
1
…
l
P C0MCnN－－0M CnN
C1MCnN－－1M CnN
…
ClMCnN－－lM
CnN
其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何
分布.
【概念方法微思考】
1.随机变量和函数有何联系和区别？ 提示 区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实 数的映射，函数是实数到实数的映射； 联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当 于函数的值域.
完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则P(X＝4)的值为_2_2_0_. 解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球， 故 P(X＝4)＝CC32C31219＝22270.
2020江苏高考数学新增分一轮课件：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 §11.1
第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布
§11.1 分类计数原理与分步计数原理
考情考向分析
KAOQINGKAOXIANGFENXI
以理解和应用两个基本原理为主，常以实际问题为载体，加强分类讨论思 想，注重分析问题、解决问题能力的考查，常与排列、组合知识交汇；两 个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两 个计数原理的考查一般以解答题的形式出现，难度为中档.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.( × ) (2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.( √ ) (3)在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不 能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成.( √ ) (4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法.( √ ) (5)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( √ )
命题点2 涂色、种植问题 例3 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每 个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_9_6_.
命题点3 与几何有关的问题 例4 (1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交 线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构 成的“正交线面对”的个数是__3_6_. 解析 第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样 的“正交线面对”有2×12＝24(个)； 第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这 样的“正交线面对”有12个. 所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).
(江苏专用)高考数学复习第十一章计数原理、随机变量及其概率分布11.1分类计数原理与分步计数原理课件
3.分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是 _分__类__；必须要连续若干步才能完成的则是_分__步__.分类要用分类计数原理将 种数_相__加__；分步要用分步计数原理，将种数_相__乘__.
【概念方法微思考】 1.在解题过程中如何判定是用分类计数原理还是分步计数原理？ 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类计 数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步计 数原理. 2.两种原理解题策略有哪些？ 提示 ①分清要完成的事情是什么； ②分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间 互相联系； ③有无特殊条件的限制； ④检验是否有重复或遗漏.
思维升华
分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元 素，关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属 于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复. (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.
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3.[P29习题T9]将3个不同的小球放入编号分别为1,2,3,4,5,6的盒子内，6号盒子 中至少有1个球的放法种数是__9_1_. 解析 本题应分为6号盒子中有1个球，2个球，3个球三类来解答， 可列式为 C13(A25＋A15)＋C23A15＋C33＝91(种).
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2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2，且a2>a3，则称这样的三位数为 凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为_2_4_0_.
解析 若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与 121，共2个. 若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3 ＝6(个). 若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的 “凸数”有8×9＝72(个). 所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).
高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布113随机事件的概率课件苏教版
必备知识·自主学习
【解析】选B.对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有 一个白球”可能为一个白球,一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事 件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而 任取两个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事件;对于C,“至少有一个红 球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一 个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.
必备知识·自主学习
5.四个概率: (1)P( ) =1. (2)P(∅)=0. (3)若A,B互斥,则P(A∪B)= P(A)+P(B) . (4)P ( A ) = 1-P(A) .
必备知识·自主学习
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1.( )
必备知识·自主学习
2.(必修3P115练习T4改编)如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,
那么取到红心的概率是 1 ,取到方片的概率是 1 ,则取到黑色牌的概率是
4
4
________.
【解析】取到黑色牌的概率是1- 1 - 1 = 1 .
4 42
答案: 1
2
必备知识·自主学习
3.(必修3P59 练习T3改编)李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下 表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:
2020高考数学(苏教,理科)复习课件：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布第三节 二项式定理
数学
第三节 二项式定理
在本例(2)中条件不变，问题变为“求|a0|＋|a1|＋|a2| ＋|a3|＋|a4|”. 解 ： 由 题 意 知 (1 ＋ 2x)4 ＝ a0 ＋ |a1|x ＋ |a2|x2 ＋ |a3|x3 ＋ |a4|x4，令 x＝1 得 a0＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝34＝81.
数学
第三节 二项式定理
1．二项式的通项易误认为是第 r 项实质上是第 r＋1 项． 2．(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某 一项时是不相同的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的 位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二 项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分， 包含符号，二项式系数仅指 Crn(r＝0,1，…，n)．
数学
第三节 二项式定理
[类题通法] 1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的一切 值都成立．因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值．在使用赋 值法时，令 a，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、 －1 或 0”，有时也取其他值． 2．一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x) 的展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0＋a2 ＋a4＋…＝f1＋2f－1，偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝ f1－f－1 2.
角度三 三项展开式中特定项(系数)问题
3.x2＋1x＋
25 的展开式中的常数项为________．(用数字作
答) 解析：原式＝x2＋22x2x＋25＝321x5·[x＋ 22]5＝321x5x＋ 210.
求原式的展开式中的常数项，转化为求x＋
江苏理数-第十一章--统计与概率、计数原理-第二节--随机事件及其概率
考点二 随机事件的频率与概率 [题组练透]
1．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中10环次数m 8 19 44 92 178 452 击中10环频率
(1)计算表中击中 10 环的各个频率； (2)这位射击运动员射击一次，击中 10 环的概率为多少？
(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同 时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙， 其他顾客最多购买了 2 种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中 同时购买 3 种商品的概率可以估计为1010＋002000＝0.3. (3)与(1)同理，可得： 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为1200000＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋1200000＋300＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1100000＝0.1， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
2．(教材习题改编)如果从不包括大、小王的 52 张扑克牌中 随机抽取一张，那么取到红心的概率是14，取到方块的概 率是14，则取到黑色牌的概率是________． 答案：12
3．一袋中装有 10 个大小、形状完全相同的黑球、红球和白球， 其中有 3 个黑球，若从中随机摸出 1 个球，摸出红球的概率 为 0.2，则摸出白球的概率为________． 解析：法一：设袋中红球的个数为 x，则1x0＝0.2，所以 x＝ 2.又黑球共有 3 个，所以白球有 5 个，所以摸出白球的概率 P＝150＝0.5. 法二：由题意得，随机摸出 1 个球，摸出黑球的概率为 0.3. 由对立事件的概率计算公式可得，摸出白球的概率为 1－(0.2 ＋0.3)＝0.5.答案：0.5
高2020届高2017级江苏理科数学复习课件学案第十一章统计与概率、计数原理
第十一章统计与概率、计数原理第一节抽样方法、用样本估计总体1.简单随机抽样(1)抽取方式:逐个不放回抽取;(2)特点:每个个体被抽到的概率相等;(3)常用方法:抽签法和随机数表法.2.分层抽样(1)在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.(2)分层抽样的应用范围:当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.3.系统抽样的步骤(1)采用随机的方式将总体中的N个个体编号;(2)将编号按间隔k分段,当Nn是整数时,取k＝Nn;当Nn不是整数时,从总体中剔除一些个体,使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除,这时取k＝N′n,并将剩下的总体重新编号;(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l;(4)按照一定的规则抽取样本,通常将编号为l,l＋k,l＋2k,…,l＋(n－1)k的个体抽出.4.作频率分布直方图的步骤(1)求全距;(2)决定组距与组数;(3)将数据分组;(4)列频率分布表;(5)画频率分布直方图.5.茎叶图的优点茎叶图的优点是不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,这对数据的记录和表示都能带来方便.[提醒]茎叶图中茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.6.样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数(2)标准差、方差①标准差:样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,s＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2].②方差:标准差的平方s2s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x－)2＋…＋(x n－x)2],其中x i(i＝1,2,3,…,n)是样本数据,n是样本容量,x是样本平均数.[小题体验]1.为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人,大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3 000人,则该校学生总人数是________.解析:设该校学生总人数为n,则1－200＋100500＝3 000n,解得n＝7 500.答案: 7 5002.某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系,将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组,分组区间为[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60],由此得到频率分布直方图如图,则这80名教师中年龄小于45岁的有________人.解析:由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6,所以共有80×0.6＝48(人).答案:483.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________. 解析:5个数的平均数x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1,所以它们的方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案:0.11.简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取,是不放回抽样,且每个个体被抽到的概率相等.2.系统抽样中,易忽视抽取的样本数也就是分段的段数,当Nn 不是整数时,注意剔除,剔除的个体是随机的,各段入样的个体编号成等差数列.3.在绘制茎叶图时,易遗漏重复出现的数据,重复出现的数据要重复记录,同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义.[小题纠偏]1.已知某商场新进3 000袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查,若第一组抽出的号码是11,则第六十一组抽出的号码为________.解析:每组袋数:d ＝3 000150＝20, 由题意知这些号码是以11为首项,20为公差的等差数列. a 61＝11＋60×20＝1 211. 答案:1 2112.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员得分的方差为________.解析:由茎叶图知,得分较为稳定的那名运动员是乙,他在五场比赛中得分分别为8,9,10,13,15,所以x 乙＝8＋9＋10＋13＋155＝11,s 2乙＝15×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8. 答案:6.8考点一 抽样方法 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为________.解析:由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01,所以第5个个体的编号是01.答案:012.采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,将他们随机编号1,2,…,1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A ,编号落入区间[401,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为________.解析:根据系统抽样的特点可知,所有做问卷调查的人的编号构成首项为8,公差d ＝1 00050＝20的等差数列{a n },所以通项公式a n ＝8＋20(n －1)＝20n －12,令751≤20n －12≤1 000,得76320≤n ≤2535,又因为n ∈N *,所以39≤n ≤50,所以做问卷C 的共有12人. 答案:123.(2019·南京调研)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生.为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查,则应从丙专业抽取的学生人数为________.解析:由题意得,应从丙专业抽取的学生人数为40×4001 000＝16. 答案:164.某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3 000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:由于不小心,表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C 的产品数量是________件.解析:设样本容量为x ,则x3 000×1 300＝130,所以x ＝300.所以A 产品和C 产品在样本中共有300－130＝170(件). 设C 产品的样本容量为y ,则y ＋y ＋10＝170, 所以y ＝80.所以C 产品的数量为3 000300×80＝800(件).答案:800[谨记通法]三种抽样方法的比较考点二 频率分布直方图和茎叶图 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1.(2019·启东模拟)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x ＋y 的值为________.解析:由茎叶图知,甲组的中位数为65,当乙组的中位数也为65时,y ＝5,此时乙组的平均数为59＋61＋65＋67＋785＝66,所以x ＝66×5－(56＋65＋62＋74＋70)＝3,所以 x ＋y ＝8.答案:82.(2018·海安质量测试)某校高一年级共有800名学生,根据他们参加某项体育测试的成绩得到了如图所示的频率分布直方图,则成绩不低于80分的学生人数为________.解析:由题设中提供的频率分布直方图可以看出:不低于80分的学生人数为(0.02＋0.01)×10×800＝240.答案:2403.(2018·苏州测试)为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,其频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数为________.解析:设报考飞行员的学生人数为x ,则12x ＝(1－0.037×5－0.013×5)×13,解得x ＝48,即报考飞行员的学生人数为48.答案:48[由题悟法]1.茎叶图中的3个关注点(1)“叶”的位置只有一个数字,而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一. (2)重复出现的数据要重复记录,不能遗漏.(3)给定两组数据的茎叶图,估计数字特征,茎上的数字由小到大排列,一般“重心”下移者平均数较大,数据集中者方差较小.2.由频率分布直方图进行相关计算时,需掌握的2个关系式 (1)频率组距×组距＝频率. (2)频数样本容量＝频率,此关系式的变形为频数频率＝样本容量,样本容量×频率＝频数. [即时应用]1.(2018·苏北四市期末)某次比赛甲得分的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则剩下4个分数的方差为________.345⎪⎪⎪⎪42 4 62 8解析:剩下的4个分数是42,44,46,52,则其平均数是46,故方差为14×(16＋4＋0＋36)＝14.答案:142.随着社会的发展,食品安全问题渐渐成为社会关注的热点,为了提高学生的食品安全意识,某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛,成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若该校的学生总人数为3 000,则成绩不超过60分的学生人数大约为________.解析:由频率分布直方图知,成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3,所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3 000＝900.答案:900考点三 样本的数字特征 (题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]样本的数字特征常与频率分布直方图、茎叶图等知识交汇命题. 常见的命题角度有:(1)样本的数字特征与直方图交汇; (2)样本的数字特征与茎叶图交汇;(3)样本的数字特征与优化决策问题.[题点全练]角度一:样本的数字特征与直方图交汇1.(2019·苏州调研) 样本容量为100的频率分布直方图如图所示,根据样本频率分布直方图估计平均数为________ .解析:平均数为1100×(6×10＋20×12＋40×14＋24×16＋10×18)＝14.24.答案:14.24角度二:样本的数字特征与茎叶图交汇2.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示.则7个剩余分数的方差为________.解析:根据茎叶图,去掉1个最低分87,1个最高分99, 则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91, 所以x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.答案:367角度三:样本的数字特征与优化决策问题3.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了5次,成绩如下表(单位:环):解析:因为x 甲＝x 乙＝9,s 2甲＝15×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25,s 2乙＝15×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65＞s 2甲,故甲更稳定. 答案:甲[通法在握]1.利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法(1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数值.(2)平均数:平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和. (3)众数:最高的矩形的中点的横坐标.2.利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平;标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.[演练冲关]1.(2019·常州调研)用茎叶图记录甲、乙两名同学高三前5次数学测试的成绩,如图.他们在分析对比成绩变化时,发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了.若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩,则看不清楚的数字为________.解析:甲的平均成绩为15×(99＋100＋101＋102＋103)＝101,设看不清楚的数字为x ,则由题意得15×(93＋94＋97＋110＋110＋x )＜101,解得x ＜1.因为x ≥0,x ∈N ,所以x ＝0,即看不清楚的数字为0.答案:02.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为________.解析:不妨设样本数据为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,且x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5,则由样本方差为4,知(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20.若5个整数的平方和为20,则这5个整数的平方只能在0,1,4,9,16中选取(每个数最多出现2次),当这5个整数的平方中最大的数为16时,分析可知,总不满足和为20;当这5个整数的平方中最大的数为9时,0,1,1,9,9这组数满足要求,此时对应的样本数据为x 1＝4,x 2＝6,x 3＝7,x 4＝8,x 5＝10;当这5个整数的平方中最大的数不超过4时,总不满足要求,因此不存在满足条件的另一组数据.答案:10一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2019·南通中学高三学情调研)一汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆,则z 的值为________.解析:由题意知50100＋300＋150＋450＋z ＋600＝10100＋300,解得z ＝400.答案:4002.(2018·泰州调研)某校在高三年级的1 000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析,得到样本频率分布直方图如图所示,则估计该校高三学生中数学成绩在[110,140)之间的人数为________.解析:由样本频率分布直方图知该校高三学生中数学成绩在[110,140)之间的频率为(0.02＋0.026＋0.02)×10＝0.66,所以估计该校高三学生中数学成绩在[110,140)之间的人数为 1 000×0.66＝660.答案:6603.某校高三年级500名学生中,血型为O 型的有200人,A 型的有125人,B 型的有125人,AB 型的有50人.为研究血型与色弱之间的关系,现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本,则应抽取________名血型为AB 的学生.解析:在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为60500＝325,所以血型为AB 的学生应抽取的人数为50×325＝6. 答案:64.已知一组数据:87,x,90,89,93的平均数为90,则该组数据的方差为________.解析:由题意知15×(87＋x ＋90＋89＋93)＝90,解得x ＝91,所以方差s 2＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.答案:45.(2019·启东第一中学月考)某厂共有1 000名员工,准备选择50人参加技术评估,现将这1 000名员工编号为1到1 000,准备用系统抽样的方法抽取.已知随机抽取到的员工最小的编号是15,那么抽取到的员工最大的编号是________.解析:样本间隔为1 000÷50＝20,∵随机抽取到的最小的编号是15,∴在抽取到的员工中最大的编号是15＋49×20＝995.答案:9956.(2018·苏州期末)若一组样本数据9,8,x,10,11的平均数为10,则该组样本数据的方差为________.解析:由9＋8＋x ＋10＋115＝10,得x ＝12,故方差s 2＝(－1)2＋(－2)2＋22＋02＋125＝2.答案:2二保高考,全练题型做到高考达标1.(2018·通州期末)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的中位数为17,则x 的值为________.答案:72.(2019·如皋检测)从编号为01,02,…,50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中的前两个编号分别为03,08(编号按从小到大的顺序排列),则样本中最大的编号是________.解析:由题意知,抽样间隔是5, ∴样本中最大的编号是3＋5×9＝48. 答案:483.(2018·南京学情调研)为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速,所得数据均在区间[40,80]中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的200辆汽车中,时速在区间[40,60)内的汽车有________辆.解析:根据频率分布直方图得,时速在区间[40,60)内的频率为(0.01＋0.03)×10＝0.4,故时速在区间[40,60)内的汽车有0.4×200＝80(辆).答案:804.用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三年级抽10人,已知该校高二年级共有学生300人,则该校学生的总人数为________.解析:样本中高二年级抽45－20－10＝15(人),设该校学生的总人数为n ,则45n ＝15300,所以n＝900.答案:9005.(2018·扬州期末)某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高.根据测量结果可知被测学生身高全部介于155 cm 和195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195].按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示,估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数为________.解析:这所学校高三年级全体男生身高在180 cm 以上(含180 cm)的频率为1－(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝1－0.82＝0.18,所以全体男生身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.答案:1446.(2019·海门中学检测)已知数据x 1,x 2,…,x 10的均值为2,标准差为s ,又知数据3x 1＋2,3x 2＋2,…,3x 10＋2的方差为27,则s ＝________.解析:∵数据x 1,x 2,…,x 10的均值为2,标准差为s , 数据3x 1＋2,3x 2＋2,…,3x 10＋2的方差为27, ∴9s 2＝27,解得s ＝ 3. 答案: 37.已知x 是1,2,3,x,5,6,7这七个数据的中位数且1,2,x 2,－y 这四个数据的平均数为1,则y －1x 的最小值为________.解析:由题意1＋2＋x 2－y ＝4,所以y ＝x 2－1.由中位数定义知,3≤x ≤5,所以y －1x ＝x 2－1－1x .当x ∈[3,5]时,函数y ＝x 2－1与y ＝－1x 均为增函数,所以y ＝x 2－1－1x 在[3,5]上为增函数,所以⎝⎛⎭⎫y －1x min ＝8－13＝233. 答案:2338.(2018·南通调研)为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校400名授课教师中抽取20名,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示,如图所示.据此可估计上学期该校400名教师中,使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为________.解析:由茎叶图可知,在20名教师中,上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8,据此可以估计400名教师中,使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×820＝160.答案:1609.某初级中学共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表:已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19.(1)求x的值;(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名？解:(1)因为x2 000＝0.19,所以x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500,现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为:482 000×500＝12(名).10.某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值.(2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值作为这组数据的平均分,根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分.(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.解:(1)由频率分布直方图知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1,因此a＝0.005.(2)估计这次成绩的平均分x＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以这100名学生语文成绩的平均分为73分.(3)分别求出语文成绩在分数段[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数依次为0.05×100＝5,0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20.所以数学成绩分数段在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数依次为5,20,40,25.所以数学成绩在[50,90)之外的人数有100－(5＋20＋40＋25)＝10(人).三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2018·苏州测试)已知等差数列{a n}的公差为d,若a1,a2,a3,a4,a5的方差为8,则d＝________.解析:因为数列{a n}为等差数列,所以a1,a2,a3,a4,a5的平均数为a3,所以方差为15[(－2d)2＋(－d)2＋0＋d2＋(2d)2]＝2d2＝8,解得d＝±2.答案:±22.一组数据是19,20,x,43,已知这组数据的平均数是整数,且24＜x＜28,则这组数据的方差为________.解析:因为14(19＋20＋x＋43)＝82＋x4为整数,且24＜x＜28,所以x＝26,所以这组数据的平均数为82＋264＝27,方差为14[(19－27)2＋(20－27)2＋(26－27)2＋(43－27)2]＝14(64＋49＋1＋256)＝14×370＝92.5.答案:92.53.(2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例.解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6,所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12＝30.所以样本中的男生人数为30×2＝60,女生人数为100－60＝40,男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.第二节随机事件及其概率1.事件的相关概念2.频数、频率和概率(1)频数、频率:在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数,称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率.(2)概率:对于给定的随机事件A ,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上,把这个常数记作P (A ),称为事件A 的概率.3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式:如果事件A 与事件B 互斥,则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).(5)对立事件的概率:若事件A 与事件B 互为对立事件,则A ＋B 为必然事件,P (A ＋B )＝1,P (A )＝1－P (B ).[小题体验]1.同时抛掷两枚大小相同的骰子,用(x ,y )表示结果,记A 为“所得点数之和小于5”,则事件A 包含的基本事件有________个.解析:由题意知,事件A 包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个. 答案:62.如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心的概率是14,取到方块的概率是14,则取到黑色牌的概率是________.答案:123.一袋中装有10个大小、形状完全相同的黑球、红球和白球,其中有3个黑球,若从中随机摸出1个球,摸出红球的概率为0.2,则摸出白球的概率为________.解析:法一:设袋中红球的个数为x ,则x10＝0.2,所以x ＝2.又黑球共有3个,所以白球有5个,所以摸出白球的概率P ＝510＝0.5.法二:由题意得,随机摸出1个球,摸出黑球的概率为0.3.由对立事件的概率计算公式可得,摸出白球的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.答案:0.51.易将概率与频率混淆,频率随着试验次数变化而变化,而概率是一个常数.2.互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.[小题纠偏]1.某地气象局预报说,明天本地降雨概率为80%,则下列解释正确的是________(填序号). ①明天本地有80%的区域降雨,20%的区域不降雨; ②明天本地有80%的时间降雨,20%的时间不降雨; ③明天本地降雨的可能性是80%; ④以上说法均不正确.解析:①②显然不正确.因为80%的概率是说降雨的概率,而不是说80%的区域降雨,更不是说有80%的时间降雨,是指降雨的可能性是80%.答案:③2.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm 的概率为________.解析:由对立事件的概率公式可求得该同学的身高超过175 cm 的概率为1－(0.2＋0.5)＝0.3.答案:0.3考点一随机事件的关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.一箱产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件.①恰有1件次品和恰有2件次品;②至少有1件次品和全是次品;③至少有1件正品和至少有1件次品;④至少有1件次品和全是正品.以上各组事件中是互斥事件的序号是________.解析:①④中的两事件互斥,②③中的两事件不互斥.答案:①④2.已知非空集合A,B,且集合A是集合B的真子集,有下面4个命题:①“若x∈A,则x∈B”是必然事件;②“若x∉A,则x∈B”是不可能事件;③“若x∈B,则x∈A”是随机事件;④“若x∉B,则x∉A”是必然事件.其中正确的命题有________(填序号).解析:由真子集的定义可知①③④是正确的命题.答案:①③④3.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A＝{两次都击中飞机},B＝{两次都没击中飞机},C＝{恰有一次击中飞机},D＝{至少有一次击中飞机},其中彼此互斥的事件是________,互为对立事件的是________.解析:设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为A∩B＝∅,A∩C＝∅,B∩C＝∅,B∩D＝∅,故A与B,A与C,B与C,B与D为互斥事件.而B∩D＝∅,B∪D＝I,故B与D互为对立事件.答案:A与B,A与C,B与C,B与D B与D[谨记通法]判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.考点二随机事件的频率与概率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表:天的需求量不超过300瓶的概率为________.解析:当且仅当最高气温低于25 ℃时,这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为2＋16＋3690＝0.6,所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.答案:0.62.某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如下表所示:(1)计算表中击中10环的各个频率;(2)这位射击运动员射击一次,击中10环的概率为多少？解:(1)由f＝mn,得击中10环的频率依次为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.904.(2)由(1)知运动员击中10环的频率在0.9附近浮动,故这位射击运动员射击一次,击中10环的概率约为0.9.[谨记通法]1.频率与概率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用。
2020版高考数学(理科)一轮总复习课件：第十一章计数原理和概率 11-4
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)“下周六会下雨”是随机事件． (2)事件发生的频率与概率是相同的． (3)随机事件和随机试验是一回事． (4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． (5)两个事件的和事件是指两个事件同时发生． (6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立的． 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√
2．(课本习题改编)把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给 甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是
()
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．不是互斥事件
答案 C
解析 互斥事件不同时发生，可以同时不发生；对立事件必须
是一个事件发生，而另一个事件不发生．
3．掷一枚均匀的硬币两次，事件 M：一次正面朝上，一次 反面朝上；事件 N：至少一次正面朝上，则 P(M)＝________，P(N) ＝________．
A∩B(或 AB)
互斥事件 若 A∩B 为不可能事件(A∩B＝Ø)，则 称事件 A 与事件 B 互斥
A∩B＝Ø
对立事件
若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然
事件，那么称事件 A 与事件 B _互__为__对__立__事__件___
A∩B＝Ø P_(_A_)_＋__P_(B__)＝__1_
概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为__0≤_P_(_A_)≤_1___． (2)必然事件的概率为__1 _． (3)不可能事件的概率为__0_． (4)互斥事件概率的加法公式： 若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝_P(_A_)_＋_P_(_B_) ． 特别地，若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝_1_－_P_(_B_) ．
2020版高考数学(理科)一轮总复习课件：第十一章计数原理和概率 11-10
X(单位：克)服从正态分布 N(100，4)．现从该产品的生产线上随
机抽取 10 000 件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有( )
附：若 X 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.682
7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 5.
A．3 413 件
B．4 772 件
σ2 2π 8 2π 态分布的参数 σ2＝8，故 A 不正确．故选 A.
3．(2019·惠州调研二)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(4，3)， 若 P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，则实数 a 等于( )
A．7 C．5
B．6 D．4
答案 B 解析 由随机变量 ξ 服从正态分布 N(4，3)可得正态分布密度曲 线的对称轴为直线 x＝4，又 P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，∴x＝a－5 与 x ＝a＋1 关于直线 x＝4 对称，∴(a－5)＋(a＋1)＝8，即 a＝6，选 B.
A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 σ2＝64 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中 C．甲类水果的平均质量 μ1＝0.4 kg D．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
答案 A 解析 由于甲的密度曲线比较“瘦高”，所以甲类水果质量 比乙类水果的质量更集中，故 B 正确；由图像可知，甲类水果的 平均质量μ1＝0.4 kg，乙类水果的平均质量 μ2＝0.8 kg，故 C，D 正确；由图像得， 1 ＝ 1 ，所以乙类水果的质量服从的正
第10课时 正 态 分 布
…2019 考纲下载… 1．了解正态分布在实际生活中的意义和作用． 2．了解正态分布的定义，正态曲线的特征，会求服从正态 分布的随机变量的概率． 3．记住正态总体在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和 (μ－3σ，μ＋3σ)上取值的概率，并能在一些简单的实际问题中应 用该原则．
苏教版高考总复习一轮数学精品课件 主题四 概率与统计 第十一章 第三节 随机事件的概率与古典概型
第十一章 计数原理、概率、随机变量及其 分布
第三节 随机事件的概率与古典概型
1 1 强基础 知识回归 2 2 研考点 题型突破
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性;了解概率的意义以及频率与概率的区别; 课 了解两个互斥事件的概率加法公式. 标 2.理解古典概型及其概率计算公式;会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概 解 率. 读 3.当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立
结论
符号表示
名称 交（积）
事件 互斥事件
对立事件
条件 不可能
结论
符号表示
续表
___________ 1
六、古典概型
1.具有以下特征的试验叫作古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型 （1）有限性：样本空间的样本点只有__有__限__个__； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性__相__等__.
规律方法 判断互斥、对立事件的2种方法
判断互斥事件、对立事件一般利用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事 定义法 件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定
是互斥事件
集合法
角度2 随机事件的频率与概率
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
C.“至少有一个红球”与“都是红球”
D.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
[解析] 互斥的两个事件是指不能同时发生的两个事件. 对于A选项，“至少有一个黑球”包含“一黑一红”和“两个球都是黑球”，A选项中的两 个事件不是互斥事件； 对于B选项，“一个红球也没有”表示“两个球都是黑球”，B选项中的两个事件是相等 事件； 对于C选项，“至少有一个红球”包含“一黑一红”和“两个球都是红球”，C选项中的两 个事件不是互斥事件； 对于D选项，“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”不可能同时发生，这两个事件为互斥事 件.故选D.
(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第3讲 二项式定理课件
解 设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 各项系数和为 a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为 a0＋a2＋… ＋a10，偶数项系数和为 a1＋a3＋a5＋…＋a9，x 的奇次项系 数和为 a1＋a3＋a5＋…＋a9，x 的偶次项系数和为 a0＋a2＋ a4＋…＋a10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和. (1)二项式系数的和为 C010＋C110＋…＋C1100＝210. (2)令 x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和为 C010＋C210＋…＋C1100＝29， 偶数项的二项式系数和为 C110＋C310＋…＋C910＝29.
答案 (1)5 (2)30 (3)－10
考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题 【例2】 在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
(a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即
C 0 n C 1 n C n 2 C n k C n n ＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系
2 数的和，即 C1nC3nC5n ＝
C0nC2nC4n
＝
n 1
.
ห้องสมุดไป่ตู้
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)Cknan－kbk 是二项展开式的第 k 项.( × ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( × ) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( √ ) (4)(a＋b)2n中系数最大的项是第n项.( × )
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习第十一章统计与概率11.1统计课件
准确记忆公式是解题关键.
2.(2018江苏,3,5分)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打
出的分数的平均数为
.
8
99
9
011
答案 90
解析 本题考查茎叶图、平均数. 5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,
则这5位裁判打出的分数的平均数为 1 ×(89+89+90+91+91)=90.
0.99的事件为C,则用频率估计概率有P(A)= 10 = 1 ,P(B)= 20 = 1 ,P(C)= 10
10 20 10 4
10 20 10 2
10 20 10
= 1 ,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97× 1 +0.98× 1 +0.99× 1 =0.98.
故甲组数据的平均值也为66,从而有 56 62 65 74 70 x =66,解得x=3.
5
5.(2019课标全国Ⅲ理,17,12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验: 将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子 溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出 残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
3.(2016江苏,4,5分)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是
.
答案 0.1
解析
x = 4.7
4.8
5.1 5
5.4
5.5
=5.1,
则该组数据的方差
2020版高考理科数学_经典版_第十一章 计数原理_概率_随机变量及分布 第4讲
第4讲随机事件的概率基础知识整合1．概率(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有□01稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的□02概率，记作□03P(A)．(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而□04概率是一个确定的值，因此，人们用□05概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用□06频率作为随机事件概率的估计值．(3)概率的几个基本性质①概率的取值范围：□070≤P(A)≤1.②必然事件的概率：P(A)＝□081.③不可能事件的概率：P(A)＝□090.④概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝□10P(A)＋P(B)．⑤对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝□111，P(A)＝□121－P(B)．2．事件的关系与运算1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是() A．互斥事件但非对立事件B．对立事件但非互斥事件C．互斥事件也是对立事件D．以上都不对答案 A解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．故选A.2．(2019·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品答案 B解析∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”()A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件，也不是对立事件答案 C4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是正品(甲级品)的概率为()A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08答案 C解析记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因此所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.5．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：这一地区男婴出生的概率约是________(保留四位小数)．答案0.5173解析男婴出生的频率依次约是：0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.由于这些频率非常接近0.5173，因此这一地区男婴出生的概率约为0.5173.6．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为________．答案18解析设女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以x2x－6＝23，得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人．核心考向突破考向一事件的概念例1从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．(3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件．触类旁通事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．即时训练 1.(2019·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”答案 D解析A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．考向二随机事件的概率与频率例2(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，＝0.025.故所求概率为502000(2)设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．＝0.814.由古典概型概率公式得P(B)＝16282000(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．触类旁通概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．即时训练 2.(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 考向三 互斥、对立事件的概率角度1 互斥事件的概率例3(2019·唐山模拟)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”．由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.角度2对立事件的概率例4(2019·扬州模拟)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝15，P(A2)＝10100＝110.P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.触类旁通求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便.即时训练 3.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解 (1)P (A )＝11000，P (B )＝101000＝1100，P (C )＝501000＝120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11000＋1100＋120＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11000＋1100＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.。
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则 P(y≤2x)＝SS正阴方影形 ＝12×1122×1 ＝14. 答案：14
|x|＋|y|≤3，x，y∈R }．在 A2 内随机取一点，则该点不在 A1 内的概率为________．
解析：分别画出区域 A1，A2，如图圆内部分和正方形及其内 部所示，根据几何概型可知，所求概率为18－184π＝1－29π.
答案：1－29π
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角度二：与线性规划交汇命题的问题 2．在平面区域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点 P，
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[谨记通法] 1．与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示， 可直接用概率的计算公式求解． 2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以 角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代 替，这是两种不同的度量手段．
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考点二 与面积、体积有关的几何概型
题点多变型考点——多角探明 [锁定考向] 与面积、体积有关的几何概型在高考中经常出现． 常见的命题角度有： (1)与平面图形面积有关的问题； (2)与线性规划交汇命题的问题； (3)与几何体体积交汇命题的问题．
[题点全练]
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角度一：与平面图形面积有关的问题
1．平面区域 A1＝x，y|x2＋y2＜4，x，y∈R ，A2＝{(x，y)|
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3．如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30°角的终边 上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在∠yOT 内的概率 为________．
解析：根据题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布 的，所以 OA 落在∠yOT 内的概率为36600＝16. 答案：16
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4．在水平放置的长为 5 m 的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木 杆两端距离都大于 2 m 的概率是________． 解析：这是一个几何概型，其概率就 是如图所示的相应的线段 CD，AB 的 长度的比值，故所求概率 P＝15. 答案：15
考点一 与长度角度有关的几何概型
[题组练透]
基础送分型考点——自主练透
1．(2018·扬州考前调研)在区间(0,5)内任取一个实数 m,
则满足 3＜m＜4 的概率为_________．
解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足 3＜m＜4
的概率为15. 答案：15
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2．(2018·苏州调研)在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 在∠ACB 内部任作一射线 CM，与线段 AB 交于点 M， 则 AM＜AC 的概率为________． 解析：如图，过点 C 在∠ACB 内任作射线 CM，则射线 CM 在∠ACB 内是等可能分 布的，故基本事件的区域测度是∠ACB 的 大小，即 90°.在 AB 上取 AC′＝AC，则∠ACC′＝180°－ 2 45° ＝67.5°.记“AM＜AC”为事件 A，则事件 A 的概率 P(A)＝6970.5 ＝34，故 AM＜AC 的概率为34. 答案：34
易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个 结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的 个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．
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[小题纠偏] 1．已知函数 f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]，则 f(x)为增函数的
概率为________． 解析：因为 f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]． 所以 f(x)在[1,4]上是增函数． 所以 f(x)为增函数的概率为 P＝4－4－－11＝35. 答案：35
是随机的，则他候车时间不超过 2 分钟的概率是________． 解析：试验的全部结果构成的区域长度为 5，所求事件的 区域长度为 2，故所求概率为 P＝25. 答案：25
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2．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边 长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为________． 解析：设 AC＝x(0＜x＜12)，则 CB＝12－x，所以 x(12－ x)＜32，解得 x＜4 或 x＞8，所以所求概率 P＝4＋124＝23. 答案：23
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2．如图，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
解析：设阴影部分面积为 S，由几何概型可知S1＝1108000， 所以 S＝0.18. 答案：0.18
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观,全扫命题题点
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第四 节 几何概型
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试,全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观,全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练,全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试,全面打牢基础
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必过 教材 关
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1．几何概型的定义 设 D 是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域 D 内随机地取一点，区域 D 内的每一点被取到的机会都一 样；随机事件 A 的发生可以视为恰好取到区域 D 内的某个 指定区域 d 中的点．这时，事件 A 发生的概率与 d 的测度 (长度、面积、体积等)成正比，与 d 的 形状 和 位置 无关． 我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．
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2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果 有无限多个 ； (2)等可能性：每个试验结பைடு நூலகம்的发生具有 等可能性 ．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝
d的测度 D的测度
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[提醒] 求解几何概型问题注意数形结合思想的应用．
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[小题体验] 1．某路公共汽车每 5 分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻
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3．在 500 mL 的水中有一只草履虫，现从中随机取出 2 mL 水 样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________． 解析：由于取水样的随机性，所求事件 A“在取出 2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之 比，即5200＝0.004. 答案：0.004
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必过易错关