微积分第八章第26讲
微积分课件完整版
微积分课件完整版微积分课件完整版微积分课件完整版微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
词目释义从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。
整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿。
（1）运动中速度与距离的互求问题求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。
这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。
比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能像计算平均速度那样，用移动的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是是无意义的。
但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。
已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。
因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。
（2）求曲线的切线问题这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。
由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。
大一微积分(经管类)第八章 无穷级数
n
S
如果数列{ S n } 没有极限,则称无穷级数
un 发散.
n 1
5
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqn1 a aq aq2 aqn1 (a Sn a aq aq aq ， 1 q a n 当 | q | 1 时, lim q 0 limS n 收敛 n n 1 q
2
第一节
常数项级数的概念和性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具.
一、级数的基本概念
计算圆的面积
a1 正十二边形的面积 a1 a2 正 3 2 n 形的面积 a1 a2 an 即 A a1 a2 an
(un vn ) 收敛推出 un 、 vn
n1 n1 n1
收敛；
(2) 若
un 收敛,而 vn
n1 n1
发散,则
(u
n1
n
vn ) 必发散.
证 假设
而已知
所以
(u v ) 收敛,
n1 n n
由 vn (un vn ) un ,
un 收敛,
所以级数发散.
12
级数收敛的必要条件
定理 若级数 证明
u
n1
n
收敛,则必有lim un 0 .
n
un Sn Sn1 ,
n
lim S n S ，
lim un lim( S n S n1 ) lim S n lim S n 1
n n
经济数学基础--微积分第八章
(1
1 n
)n
,
因为
lim
n
un
lim
n
1
1
n
1
n
1 e
0, 所以级数发散.
例8.1.7 讨论级数 cos n 的敛散性.
n 1
2
解 因为数列{cos n }就是0, 1, 0,1, 0, 1,, 这个数列发散, 所以级数也发散.
2
第 12 页
经济应用数学基础——微积分
第八章 第二节 第 13 页
8 1
简记为 un , 称上式为数项无穷级数, 简称无穷级数.其中, 第n项un 称为级数的一般项, n 1
级数的前n项和
n
Sn uk u1 u2 un k 1
称为级数的前n项部分和, 简称部分和.
8 2
第4 页
经济应用数学基础——微积分
无
第八章 第一节
穷
级
数
的
定义8.1.2
若数项级数的部分和数列{Sn
lim
n
Sn
1
S.由于an
Sn
Sn1 ,
所以
lim
n
an
lnim(Sn
Sn1 )
S
S
0.
注意 本性质说明如果级数 an收敛, 则通项的极限等于0.反之不成立, 如调和级数
1, 虽然 lim 1 0, 但此级数发散.另外, 如果通项的极限不等于0, 级数一定是发散的, 这
n1 n
n n
就是下面的推论.
n
1
n 2 3 1 5 1 2
n3/2
n 1
n3/2
n n2
n6
n
1
《微积分》教材目录
《微积分》教材目录 第一章 函数、极限与连续1.1 函数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 极限的运算法则1.5 极限存在准则、两个重要极限1.6 无穷小、无穷大及无穷小的比较1.7 函数的连续性与间断点1.8 闭区间上连续函数的性质第二章 导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 2.5 函数的微分第三章 中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值及其求法3.5 最大值、最小值问题3.6 曲线的凹凸性与拐点3.7 函数图形的描绘3.8 导数与微分在经济分析中的简单应用第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分第五章 定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分基本公式5.3 定积分的换元积分法与分部积分法5.4 定积分在几何学及经济学上的应用5.5 反常积分第六章 多元函数微积分6.1 空间解析几何简介6.2 多元函数的基本概念6.3 偏导数6.4 全微分6.5多元复合函数的导数6.6 隐函数的求导公式6.7 多元函数的极值6.8 二重积分第七章 无穷级数7.1 常数项级数的概念和性质7.2 常数项级数的审敛法7.3 函数项级数的概念与幂级数7.4函数展开成幂级数第八章 微分方程与差分方程初步8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶微分方程及解法8.3 一阶微分方程在经济学中的应用8.4 可降阶的高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程8.6差分方程的基本概念及常系数线性差分方程解的结构 8.7 一阶常系数线性差分方程及应用举例第九章 Matlab在微积分中的应用9.1 MATLAB的基本操作9.2 MATLAB在一元微积分中的应用9.3 MATLAB在二元微积分中的应用 9.4 MATLAB在级数中的应用附录参考答案参考文献。
《高等数学》 第八章(上)多元函数微积分简介
第一节 空间解析几何简介
在空间任取一点 M，过点 M 分别作与坐标轴垂直的平 面，交 x 轴、y 轴和 z 轴于点 P，Q，R，如图所示．点 P， Q，R 称为点 M 在三条坐标轴上的投影．设点 P，Q，R 在 三条坐标轴上的坐标分别记为 x，y，z，于是点 M 确定了 唯 一 的 有 序 数 组 (x ，y ，z) ； 反 之 ， 给 定 一 个 有 序 数 组 (x ，y ，z) ，总能在 x 轴、y 轴和 z 轴上分别确定以 x，y，z 为坐标的三个点 P，Q，R，过这三个点分别作垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴的平面，这三个平面必相交于唯一一点 M．
第一节 空间解析几何简介
一、空间直角坐标系
三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为卦限， 含有三个正半轴的卦限称为第一卦限，它位于 xOy 面的上 方．在 xOy 面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第 三卦限和第四卦限．在 xOy 面的下方，与第一卦限对应的 是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限 和第八卦限．八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、 Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示，如图所示．
第一节 空间解析几何简介
2．常见曲面的方程
1）球面 在空间中到定点的距离等于定值的点的轨迹称为球面，定点称为球心， 定值称为半径． 例 3 建立球心在点 M0 (x0 ，y0 ，z0 ) 、半径为 R 的球面的方程．
特别地，球心在原点 O(0，0，0) 、半径为 R 的球面的方程为 x2 y2 z2 R2 ．
由于 M2M3 M1M3 ，所以原结论成立．
第一节 空间解析几何简介
例 2 设点 P 在 x 轴上，它到点 P1(0 ， 2 ，3) 的距离为到点 P2 (0，1，1) 的 距离的两倍，求点 P 的坐标．
微积分教学课件第8章多元函数微积分学第6节多元函数的极值与最值
则构造拉格朗日函数为
L( x, y, z;, ) f ( x, y, z) g( x, y, z) h( x, y, z) .
f x ( x, y, z) gx ( x, y, z) hx ( x, y, z) 0
令
f f
y ( x, z( x,
y, y,
z) z)
gy ( x, gz ( x,
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
12
定理2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
设 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 ，
最大利润为 L(4.8,1.2) 229.6 .
16
二、条件极值与拉格朗日乘数法
实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域 的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极 值问题称条件极值问题.
例8 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V, 问怎么做用料最省？
解 即表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为x, y, z ,则
11 5x2 48x 10 y2 24 y ，
令
Lx
Ly
10x 20x
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 24
0， 0
解得唯一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
B2 AC 0 , A 0 , 唯一驻点为极大值点，
即为最大值点，
播放 3
极值的求法
定理1（必要条件）
微积分第八章——高等教育出版社
8.6
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件） 取得极值的必要条件、充分条件）
多元函数的最值 拉格8.3
多元函数全微分的概念； 多元函数全微分的概念； 多元函数全微分的求法； 多元函数全微分的求法； 多元函数连续、可导、可微的关系． 多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数的区别） 注意：与一元函数的区别）
8.4
分三种情况） 求导法则（分三种情况） （特别要注意课中所讲的特殊情况） 特别要注意课中所讲的特殊情况）
8.1
区域、 区域、多元函数的概念 多元函数极限的概念及极限不存在的判定
（注意趋近方式的任意性） 注意趋近方式的任意性） 任意性
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
8.2
偏导数的定义 （偏增量比的极限） 偏增量比的极限） 偏导数的计算、偏导数的几何意义 偏导数的计算、
纯偏导 高阶偏导数 混合偏导（相等的条件） 相等的条件）
全微分形式不变性
（理解其实质） 理解其实质）
8.5
（分以下几种情况） 隐函数的求导法则 分以下几种情况）
(1) F ( x , y ) = 0
( 2) F ( x , y , z ) = 0
F ( x , y , u, v ) = 0 ( 3) G ( x , y , u, v ) = 0
微积分第八章多元函数笔记
微积分第八章多元函数笔记微积分第八章多元函数是在一元函数的基础上拓展而来的，主要涉及多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分、多元函数的微分、多元函数的导数以及拉格朗日乘数法等内容。
本文将重点探讨多元函数的微分和拉格朗日乘数法，并尝试用卷积的角度解释其中的概念。
一、多元函数的微分多元函数的微分是一种线性近似，它描述了函数在其中一点附近的变化情况。
多元函数的微分可以通过偏导数来求解。
对于二元函数f(x,y)，在点(x0,y0)处可以定义偏微分算子∂=∂/∂x和∂/∂y，其定义为：∂f/∂x=f_x(x0,y0)=(f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0))/Δx∂f/∂y=f_y(x0,y0)=(f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0))/Δy其中Δx和Δy分别表示变量x和y的增量。
∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f在点(x0,y0)处对变量x和y的变化率。
考虑函数f(x,y)的微分形式，可以表示为：df=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy其中dx和dy分别表示x和y的增量。
df表示函数f在点(x0,y0)处的全增量。
可以将df看作是函数f的线性近似，其包含了对x和y的变化的线性度量。
二、卷积的思维解释卷积是一种线性运算，它用来描述信号经过系统处理后的结果。
在微积分中，可以将多元函数的微分看作是函数f和无穷小增量dx、dy的卷积操作。
其中，函数f可以看作是输入信号，dx和dy可以看作是脉冲响应。
通过卷积运算，可以得到函数f在(dx,dy)范围内的局部增量。
具体来说，可以将函数f(x,y)表示为一个二维矩阵，矩阵的每个元素对应函数f在不同点的值。
将增量dx、dy表示为一个二维矩阵，矩阵的大小与函数f相同，每个元素都是一个脉冲。
通过卷积运算，将函数f和增量dx、dy进行卷积，可以得到函数f在(dx,dy)范围内的局部增量。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于求解约束条件下的极值问题的方法。
微积分第八章
利用函数全增量的概念，连续定义可用另一种形式表述.
三、 二元函数的连续性
函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义， 当自变量x,y分别由x0变到x0+Δx，y0变到y0+Δy时， 函数z=f(x,y)有增量
f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0) 称其为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量，记 为Δz，即
P0(x0,y0)处连续.
如果函数z=f(x,y)在区域D内各点都连续，则称函数
z=f(x,y)在区域D内连续.
三、 二元函数的连续性
对于闭区域上的连续函数z=f(x,y)，则要求
函数z=f(x,y)在区域D内和边界上都连续.当点
P0(x0,y0)
D
中的P→P0是指P在区域D内所取的路线趋近于点
P0(x0,y0)，极限中满足0<(x－x0)2+(y－y0)2<δ
图 8-7
一、多元函数的概念
定义域D就是曲面在xOy面上的投影区域. 例如，函数z=a2－x2－y2(a>0)的图形是球心在原点、 半径为a的上半球面(见图8-8).
图 8-8
二、 二元函数的极限
与一元函数情况类似，对于二元函数z=f(x,y)，我们 需要考察当自变量x,y无限趋近于常数x0,y0时，即当点 P(x,y)无限逼近于点P0(x0,y0)时，对应的函数值的变化趋 势，这就是二元函数的极限问题.
第八章 矩阵微积分
第八章 矩阵微积分§8.1 矩阵的Kronecker 积矩阵的Kronecker 积对参与运算的矩阵没有任何限制，在矩阵的理论研究和计算方法中都有十分重要的应用，尤其是在矩阵代数方程求解和矩阵微分等运算中使得计算更加简洁。
本节中，我们将介绍Kronecker 积的定义和基本性质. 8.1.1 Kronecker 积的概念与性质定义1 设矩阵()C m n ij m n a ⨯⨯=∈A ，()C p q ij p q b ⨯⨯=∈B ，则称如下分块矩阵111212122212=C n n mp nq m m mn a B a Ba B a B a Ba B a B a Ba B ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⊗∈⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦A B 为矩阵A 与B 的Kronecker 积或称A 与B 的直积，记做⊗A B 。
显然⊗A B 是具有m n ⨯个子块的分块矩阵，每个子块都与矩阵B 同阶，所以⊗A B 是mp nq ⨯阶矩阵。
由定义1显然有矩阵B 与矩阵A 的Kronecker 积为111212122212=C q q pm qn p p pq b A b A b A b A b A b A b A b A b A ⨯⋅⋅⋅⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⊗∈⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦B A所以，矩阵的Kronecker 积不满足交换律，即一般情况下，⊗≠⊗A B B A 。
例1 设10234,01567⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，则 2340001056700001000234000567⎡⎤⎢⎥⋅⋅⎡⎤⎢⎥⊗==⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦B B A B B B203040234020304567506070050607⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⊗== ⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭ ⎪⎝⎭A A AB A A A A 显然，⊗≠⊗A B B A 。
从定义1可以直接给出Kronecker 积简单的运算性质如下。
第八章 常微分方程初值问题的解法
第八章常微分方程初值问题的解法在科学与工程问题中，常微分方程描述物理量的变化规律，应用非常广泛. 本章介绍最基本的常微分方程初值问题的解法，主要针对单个常微分方程，也讨论常微分方程组的有关技术.8.1引言本节介绍常微分方程、以及初值问题的基本概念，并对常微分方程初值问题的敏感性进行分析.8.1.1 问题分类与可解性很多科学与工程问题在数学上都用微分方程来描述，比如，天体运动的轨迹、机器人控制、化学反应过程的描述和控制、以及电路瞬态过程分析，等等. 这些问题中要求解随时间变化的物理量，即未知函数y(t)，t表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系. 由于未知函数是单变量函数，这种微分方程被称为常微分方程（ordinary differential equation, ODE），它具有如下的一般形式①：g(t,y,y′,⋯,y(k))=0 ,(8.1) 其中函数g: ℝk+2→ℝ. 类似地，如果待求的物理量为多元函数，则由它及其偏导函数构成的微分方程称为偏微分方程（partial differential equation, PDE）. 偏微分方程的数值解法超出了本书的范围，但其基础是常微分方程的解法.在实际问题中，往往有多个物理量相互关联，它们构成的一组常微分方程决定了整个系统的变化规律. 我们先针对单个常微分方程的问题介绍一些基本概念和求解方法，然后在第8.5节讨论常微分方程组的有关问题.如公式(8.1)，若常微分方程包含未知函数的最高阶导数为y(k)，则称之为k阶常微分方程. 大多数情况下，可将常微分方程(8.1)写成如下的等价形式：y(k)=f(t,y,y′,⋯,y(k−1)) ,(8.2) 其中函数f: ℝk+1→ℝ. 这种等号左边为未知函数的最高阶导数y(k)的方程称为显式常微分方程，对应的形如(8.1)式的方程称为隐式常微分方程.通过简单的变量代换可将一般的k阶常微分方程转化为一阶常微分方程组. 例如对于方程(8.2)，设u1(t)=y(t),u2(t)=y′(t),⋯,u k(t)=y(k−1), 则得到等价的一阶显式常微分方程组为：{u1′=u2u2′=u3⋯u k′=f(t,u1,u2,⋯,u k).(8.3)本书仅讨论显式常微分方程，并且不失一般性，只需考虑一阶常微分方程或方程组.例8.1 (一阶显式常微分方程)：试用微积分知识求解如下一阶常微分方程：y′=y .[解] 采用分离变量法进行推导：①为了表达式简洁，在常微分方程中一般省略函数的自变量，即将y(t)简记为y，y′(t)简记为y′，等等.dy dt =y ⟹ dy y=dt , 对两边积分，得到原方程的解为：y (t )=c ∙e t ,其中c 为任意常数.从例8.1看出，仅根据常微分方程一般无法得到唯一的解. 要确定唯一解，还需在一些自变量点上给出未知函数的值，称为边界条件. 一种边界条件设置方法是给出t =t 0时未知函数的值:y (t 0)=y 0 .在合理的假定下，从t 0时刻对应的初始状态y 0开始，常微分方程决定了未知函数在t >t 0时的变化情况，也就是说这个边界条件可以确定常微分方程的唯一解（见定理8.1）. 相应地，称y (t 0)=y 0为初始条件，而带初始条件的常微分方程问题：{y ′=f (t,y ),t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.4)为初值问题（initial value problem, IVP ）.定理8.1：若函数f (t,y )关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L >0，使得对任意t ≥t 0，任意的y 与y ̂，有：|f (t,y )−f(t,y ̂)|≤L |y −y ̂| ,(8.5) 则常微分方程初值问题(8.4)存在唯一的解.一般情况下，定理8.1的条件总是满足的，因此常微分方程初值问题的解总是唯一存在的. 为了更清楚地理解这一点，考虑f (t,y )的偏导数ðf ðy 存在，则它在求解区域内可推出李普希兹条件(8.5)，因为f (t,y )−f (t,y ̂)=ðf ðy (t,ξ)∙(y −y ̂) , 其中ξ为介于y 和y ̂之间的某个值. 设L 为|ðf ðy (t,ξ)|的上界，(8.5)式即得以满足.对公式(8.4)中的一阶常微分方程还可进一步分类. 若f (t,y )是关于y 的线性函数，f (t,y )=a (t )y +b (t ) ,(8.6) 其中a (t ),b (t )表示自变量为t 的两个一元函数，则对应的常微分方程为线性常微分方程，若b (t )≡0, 则为线性齐次常微分方程. 例8.1中的方程属于线性、齐次、常系数微分方程，这里的“常系数”是强调a (t )为常数函数.8.1.2 问题的敏感性对常微分方程初值问题，可分析它的敏感性，即考虑初值发生扰动对结果的影响. 注意这里的结果（解）是一个函数，而不是一个或多个值. 由于实际应用的需要，分析常微分方程初值问题的敏感性时主要关心t →∞时y (t )受影响的情况，并给出有关的定义. 此外，考虑到常微分方程的求解总与数值算法交织在一起、以及历史的原因，一般用“稳定”、“不稳定”等词汇说明问题的敏感性.定义8.1：对于常微分方程初值问题(8.4)，考虑初值y 0的扰动使问题的解y (t )发生偏差的情形. 若t →∞时y (t )的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的（stable ），否则该初值问题是不稳定的（unstable ）. 特别地，若t →∞时y (t )的偏差收敛到零，则称该初值问题是渐进稳定的（asymptotically stable ）.关于定义8.1，说明两点：● 渐进稳定是比稳定更强的结论，若一个问题是渐进稳定的，它必然是稳定的. ● 对于不稳定的常微分方程初值问题，初始数据的扰动将使t →∞时的结果误差无穷大. 因此为了保证数值求解的有效性，常微分方程初值问题具有稳定性是非常重要的.例8.2 (初值问题的稳定性): 考察如下“模型问题”的稳定性：{y ′=λy,t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.7)[解] 易知此常微分方程的准确解为：y (t )=y 0e λ(t−t 0). 假设初值经过扰动后变为y 0+Δy 0，对应的扰动后解为y ̂(t )=(y 0+Δy 0)e λ(t−t 0),所以扰动带来的误差为Δy (t )=Δy 0e λ(t−t 0) .根据定义8.1，需考虑t →∞时Δy (t )的值，它取决于λ. 易知，若λ≤0，则原问题是稳定的，若λ>0，原问题不稳定. 而且当λ<0时，原问题渐进稳定.图8-1分三种情况显示了初值扰动对问题(8.7)的解的影响，从中可以看出不稳定、稳定、渐进稳定的不同含义.对例8.2中的模型问题，若考虑参数λ为一般的复数，则问题的稳定性取决于λ的实部，若Re(λ)≤0, 则问题是稳定的，否则不稳定. 例8.2的结论还可推广到线性、常系数常微分方程，即根据f (t,y )中y 的系数可确定初值问题的稳定性. 对于一般的线性常微分方程(8.6)，由于方程中y 的系数为关于t 的函数，仅能分析t 取某个值时的局部稳定性.例8.3 (局部稳定性): 考察如下常微分方程初值问题的稳定性：{y ′=−10ty,t ≥0y (0)=1 . (8.8)[解] 此常微分方程为线性常微分方程，其中y 的系数为a (t )=−10t . 当t ≥0时，a (t )≤0，在定义域内每个时间点上该问题都是局部稳定的.事实上，方程(8.8)的解析为y (t )=e −5t 2，初值扰动Δy 0造成的结果误差为Δy (t )=Δy 0e −5t 2. 这说明初值问题(8.8)是稳定的.对于更一般的一阶常微分方程(8.4)，由于其中f (t,y )可能是非线性函数，分析它的稳定性非常复杂. 一种方法是通过泰勒展开用一个线性常微分方程来近似它，再利用线性常微分方程稳定性分析的结论了解它的局部稳定性. 具体的说，在某个解函数y ∗(t)附近用一阶泰勒展开近似f (t,y )，f (t,y )≈f (t,y ∗)+ðf ðy(t,y ∗)∙(y −y ∗) 则原微分方程被局部近似为（用符号z 代替y ）: 图8-1 (a) λ>0对应的不稳定问题, (b) λ=0对应的稳定问题, (c) λ<0对应的渐进稳定问题. (a) (b) (c)z′=ðfðy(t,y∗)∙(z−y∗)+f(t,y∗)这是关于未知函数z(t)的一阶线性常微分方程，可分析t取某个值时的局部稳定性. 因此，对于具体的y∗(t)和t的取值，常微分方程初值问题(8.4)的局部稳定性取决于ðfðy(t,y∗)的实部的正负号. 应注意的是，这样得到的关于稳定性的结论只是局部有效的.实际遇到的大多数常微分方程初值问题都是稳定的，因此在后面讨论数值解法时这常常是默认的条件.8.2简单的数值解法与有关概念大多数常微分方程都无法解析求解（尤其是常微分方程组），只能得到解的数值近似. 数值解与解析解有很大差别，它是解函数在离散点集上近似值的列表，因此求解常微分方程的数值方法也叫离散变量法. 本节先介绍最简单的常微分方程初值问题解法——欧拉法（Euler method），然后给出数值解法的稳定性和准确度的概念，最后介绍两种隐格式解法.8.2.1 欧拉法数值求解常微分方程初值问题，一般都是“步进式”的计算过程，即从t0开始依次算出离散自变量点上的函数近似值. 这些离散自变量点和对应的函数近似值记为：t0<t1<⋯<t n<t n+1<⋯y 0,y1,⋯y n,y n+1,⋯其中y0是根据初值条件已知的. 相邻自变量点的间距为 n=t n+1−t n, 称为步长.数值解法通常使用形如y n+1=G(y n+1,y n,y n−1,…,y n−k)(8.9) 的计算公式，其中G表示某个多元函数. 公式(8.9)是若干个相邻时间点上函数近似值满足的关系式，利用它以及较早时间点上函数近似值可算出y n+1. 若公式(8.9)中k=0，则对应的解法称为单步法（single-step method），其计算公式为：y n+1=G(y n+1,y n) .(8.10) 否则，称为多步法（multiple-step method）. 另一方面，若函数G与y n+1无关，即:y n+1=G(y n,y n−1,…,y n−k),则称为显格式方法（explicit method），否则称为隐格式方法（implicit method）. 显然，显格式方法的计算较简单，只需将已得到的函数近似值代入等号右边，则可算出y n+1.欧拉法是一种显格式单步法，对初值问题(8.4)其计算公式为：y n+1=y n+ n f(t n,y n) , n=0,1,2,⋯.(8.11) 它可根据数值微分的向前差分公式（第7.7节）导出. 由于y′=f(t,y)，则y′(t n)=f(t n,y(t n))≈y(t n+1)−y(t n)n,得到近似公式y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n))，将其中的函数值换为数值近似值，则得到欧拉法的递推计算公式(8.11). 还可以从数值积分的角度进行推导，由于y(t n+1)=y(t n)+∫y′(s)dst n+1t n =y(t n)+∫f(s,y(s))dst n+1t n,用左矩形公式近似计算其中的积分（矩形的高为s=t n时被积函数值），则有y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n)) ,将其中的函数值换为数值近似值，便得到欧拉法的计算公式.例8.4 (欧拉法)：用欧拉法求解初值问题{y ′=t −y +1y (0)=1. 求t =0.5时y (t )的值，计算中将步长分别固定为0.1和0.05.[解] 在本题中，f (t,y )=t −y +1, t 0=0, y 0=1, 则欧拉法计算公式为：y n+1=y n + (t n −y n +1) , n =0,1,2,⋯当步长h=0.1时，计算公式为y n+1=0.9y n +0.1t n +0.1; 当步长h=0.05时，计算公式为y n+1=0.95y n +0.05t n +0.05. 两种情况的计算结果列于表8-1中，同时也给出了准确解y (t )=t +e −t 的结果.表8-1 欧拉法计算例8.4的结果 h=0.1h=0.05 t ny n y (t n ) t n y n t n y n 0.11.000000 1.004837 0.05 1.000000 0.3 1.035092 0.21.010000 1.018731 0.1 1.002500 0.35 1.048337 0.31.029000 1.040818 0.15 1.007375 0.4 1.063420 0.41.056100 1.070320 0.2 1.014506 0.45 1.080249 0.5 1.090490 1.106531 0.25 1.023781 0.5 1.098737 从计算结果可以看出，步长取0.05时，计算的误差较小.在常微分方程初值问题的数值求解过程中，步长 n ,(n =0,1,2,⋯)的设置对计算的准确性和计算量都有影响. 一般地，步长越小计算结果越准确，但计算步数也越多（对于固定的计算区间右端点），因此总计算量就越大. 在实际的数值求解过程中，如何设置合适的步长达到准确度与效率的最佳平衡是很重要的一个问题.8.2.2数值解法的稳定性与准确度在使用数值方法求解初值问题时，还应考虑数值方法的稳定性. 实际的计算过程中都存在误差，若某一步的解函数近似值y n 存在误差，在后续递推计算过程中，它会如何传播呢？会不会恶性增长，以至于“淹没”准确解？通过数值方法的稳定性分析可以回答这些问题. 首先给出稳定性的定义.定义8.2：采用某个数值方法求解常微分方程初值问题(8.4)，若在节点t n 上的函数近似值存在扰动δn ,由它引起的后续各节点上的误差δm (m >n )均不超过δn ，即|δm |≤|δn |,(m >n)，则称该方法是稳定的.在大多数实际问题中，截断误差是常微分方程数值求解中的主要计算误差，因此我们忽略舍入误差. 此外，仅考虑稳定的常微分方程初值问题.考虑单步法的稳定性，需要分析扰动δn 对y n+1的影响，推导δn+1与δn 的关系式. 以欧拉法为例，先考虑模型问题(8.7)，并且设Re(λ)≤0. 此时欧拉法的计算公式为②：y n+1=y n + λy n =(1+ λ)y n ,由y n 上的扰动δn 引起y n+1的误差为：δn+1=(1+ λ)δn ,要使δn+1的大小不超过δn ，则要求|1+ λ|≤1 . (8.12)② 对于稳定性分析以及后面的一些场合，由于只考虑一步的计算，将步长 n 记为 .。
大学数学微积分第八章 多元函数微分学多元函数的概念、极限与连续性知识点总结
第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。
二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。
例如 22221,:1z x y D x y =--+≤ 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数：(,,),(,,)u f x y z x y z =∈Ω空间一个点集，称为三元函数12(,,,)n u f x x x n =称为元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限：设00(,)(,)f x y x y 在点的邻域内有定义，如果对任意00,εδ>>存在只要2200()(),(,)x x y y f x y A δε-+-<-<就有则，0000(,)()lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y A f x y A →→→==或称当00(,)(,)(,)x y x y f x y 趋于时的极限存在，极限值为A 。
否则，称为极限不存在。
值得注意：00(,)(,)x y x y 这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于00(,)x y ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若000000lim (,)(,)(,)(,)x x y y f x y f x y f x y x y →→=则称在点处连续 若(,)f x y D 在区域内每一点皆连续，则称(,)f x y 在D 内连续。
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∑ (−a) k f (t − k − 1)
t −1
为方程的一个特解，因此方程（1）的通解为
y (t ) = C (− a ) t +
例2
k =0
∑ (−a) k f (t − k − 1) ，其中 C 为任意常数。
t
求差分方程 y t +1 − 1 y t = 3 的通解。 3
• 待定系数法 情形一： 情形一： f (t ) 为常数 设 f (t ) = b ，其中 b 为非零常数。方程（8.3.1）相应地变为 yt +1 + ayt = b
时刻 （即 t = 0 ） 函数 y t 的取值为常数 C C 任意）当 t 分别为 0,1,2, L ， （ ， 时，逐次迭代算得 将方程（2） ，将其改写为 y t +1 = − ayt ， t = 0,1,2 L ，假设在初始
y1 = − ay 0 = − aC ，
y 2 = − ay1 = (− a ) 2 C
其中
D = (cos ω + a ) 2 + sin 2 ω A1 = 1 [b1 (a + cos ω ) − b2 sin ω ] ， D A2 = 1 [b2 (a + cos ω ) + b1 sin ω ] 。 D 注：如果函数为 f (t ) = b cos ωt 或 f (t ) = b sin ωt ，作为特解的试
解函数仍应为
~ (t ) = A cos ωt + A sin ωt 或 ~ (t ) = t ( A cos ωt + A sin ωt ) y y 1 2 1 2
例 8 已知级数
n =1 U n = 2 cos nπ + 3 sin nπ （ n = 1,2,3, L ） 2 2
∑U n 的通项为
注：求方程（8.3.1）的特解的常用方法为“迭代法”与“待定系数法” 。
• 迭代法
将方程（1）改写为
yt +1 = − ayt + f (t ) ， t = 0,1,2, L
2
则有： y1 = − ay 0 + f (0) = f (0) （ y0 = 0 ）
教学札记
y 2 = −ay1 + f (1) = (−a) f (0) + f (1)
y3 = − ay 2 = (− a ) 3 C ，
y 4 = − ay3 = (− a ) 4 C
L
L
L
（3）
于是，归纳可得方程（2）的通解为
yt = C (− a ) t ， t = 0,1,2, L
其中 C = y 0 为任意常数。 例 1 求差分方程 Yt +1 − 1.05Yt = 0 的通解。
C (−a ) t + b , a ≠ −1 1+ a C + bt , a = −1 例 3 某客户在银行开了 10000 元的账户，年利率为 4% ，并计划 以后每年年终再连续加存 500 元。试问 t (t = 1,2,3L) 年末该客户账户
方程的通解为 yt = 有多少存款？ 例 4 求差分方程 y t +1 = yt + 4 的通解。 情形二： 情形二： f (t ) 为 t 的多项式函数 以一次多项式为例：设 f (t ) = b0 + b1t ，其中 b0 、 b1 为常数，且 b1 ≠ 0 。这时，方程（1）相应地变为
第
二六
讲
天津商学院基础部微积分课程组
1
微积分教学设计 教学对象： 教学对象：财经类，管理类等专业 教学内容： 教学内容：一阶常系数齐次线性差分方程、一阶常系数齐
教学札记
次（非齐次）线性差分方程的通解 教学目的：理解一阶常系数齐次（非齐次）线性差分方 教学目的： 程的通解求法
教学方法： 教学方法：利用多媒体进行启发式教学 教学重点： 教学重点：一阶常系数线性差分方程的通解 教学难点： 教学难点：待定系数法求非齐次线性方程的特解 教学过程
b1 与 b2 不同时为零。这时，方程（1）相应地变为 yt +1 + ayt = b1 cos ωt + b2 sin ωt
则方程的通解为
C (−a ) t + ( A cos ωt + A sin ωt ) , D ≠ 0 1 2 yt = b1 b2 , D=0 C − t ( a cos ωt + a sin ωt )
yt +1 + ayt = b0 + b1t
则方程的通解为
C (−a) t + ( b1 t + (1+ a )b0 − b1 ) , a ≠ −1 1+ a (1+ a ) 2 yt = 2b − b b C + t ( 1 t + 0 1 ) , a = −1 2 2 注：可以类似地讨论 f (t ) 为 t 的 k 次多项式的一般情形。 次多项式的一般情形。 例 5 求差分方程 yt +1 + 2 yt = t 的通解。 情形三： 情形三： f (t ) 为指数函数
3．一阶常系数非齐次线性差分方程的通解
求非齐次线性差分方程（1）的通解的程序为： 第 1 步：求相应齐次线性方程（2）的通解 y c (t ) ； 教学心得
y 第 2 步：求非齐次线性方程（1）的一个特解 ~ (t ) ； y 第 3 步：写出非齐次线性方程（1）的通解 y t = ~ (t ) + y c (t ) 。
y3 = − ay 2 + f (2) = (− a ) 2 f (0) + (−a ) f (1) + f (2)
y 4 = − ay3 + f (3) = (− a ) 3 f (0) + (− a ) 2 f (1) + (− a ) f (2) + f (3) L L L
由数学归纳法可证
~ (t ) = (− a ) t −1 f (0) + (− a ) t − 2 f (1) + L + (− a ) f (t − 2) + f (t − 1) y =
1．一阶常系数线性差分方程 在 n 阶常系数线性方程中，当 n = 1 时，便得到一阶常系数线性差
分方程的，即
yt +1 + ayt = f (t ) （1） 其中 f (t ) 为 t 的已知函数， a 为已知的非零常数。而（8.3.1）相应的
齐次方程为
yt +1 + ayt = 0
（2）
2．迭代法求一阶常系数齐次线性差分方程的通解 迭代法求一阶常系数齐次线性差分方程的通解
设 f (t ) = bd t ，其中 b 、 d 为非零的常数，且 d ≠ 1 。这时，方程 相应地变为 yt +1 + ay t = bd ， 则方程的通解为
t
教学心得
C (−a) t + b d t a+d yt = C (−a) t + btd t −1
, a+d ≠0 , a+d =0
3
例 6 求差分方程 y t +1 −
1y 3 t
= 3 的通解。
t
t
教学札记
例 7 求差分方程 3 yt +1 − 6 y t = 2 的通解。 情形四： 为正弦— 情形四： f (t ) 为正弦—余弦型三角函数 设 f (t ) = b1 cos ωt + b2 sin ωt ， 其中 ω 、 1 、 2 为常数， ω ≠ 0 ， b b 且
∞
求其部分和序列的通项 S n 。
4．作业
教学心得
4