平移旋转培优辅导
初三数学 旋转 培优班
初三数学 平移、对称、旋转1.如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABC 绕 点O 按顺时针方向旋转90度，得到△A /B /O ，则点A /的坐标为2.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上． （1）将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后，得到△A 1B 1C 1．在网格中画出△A 1B 1C 1； （2）求线段OA 在旋转过程中扫过的图形面积；（结果保留π） （3）求∠BCC 1的正切值．3.如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB =4，BC=5，则tan ∠AFE 的值为（ ） A ．43 B ．35 C ．34 D ．454. 如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上．若sin ∠DFE=13，求tan ∠EBC 的值．5.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点， 1DE =．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ABE '，连接EE '，则EE '的长等于 ．6．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ∽△ACD ； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE +=其中正确的是第5题E (第8题图）ABCDEF7.如图，已知ABC ∆的面积为8,16=BC ．现将ABC △沿直线BC 向右平移a 个单位到DEF △的位置．（1）当4=a 时，求ABC △所扫过的面积；（2）连结AE 、AD ，设5=AB ，当ADE ∆是以DE 为一腰的等腰三角形时，求a 的值．8.已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，． 当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图3），易证BM DN MN +=． （1）当M AN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图4），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图5的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．9. 已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD 中，E 、F分别是BC 和CD ⊥BF 于点G ，且BE =1．（1）求证：△ABE ≌△BCF ；（2）求出△ABE 和△BCF 重叠部分（即△BEG ）的面积；（3）现将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转到△AB ′E ′（如图2），使点E 落在CD 边上的点E ′处，问△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．M BC N AD 图3 图4MB C N A D B M E A C N D10．一位同学拿了两块45°三角尺△MNK ，△ACB 做了一个探究活动：将△MNK 的直角顶点M 放在△ACB 的斜边AB 的中点处，设AC=BC=4．（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为△ACM ，则重叠部分的面积为 ，周长为 ．（2）将图（1）中的△MNK 绕顶点M 逆时针旋转45°，得到图26（2），此时重叠部分的面积为 ，周长为 ．（3）如果将△MNK 绕M 旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为 ．（4）在图（3）情况下，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．11. 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ．（1）如图（1），当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ．证明：△A ′CD 是等边三角形；（2）如图（2），连接A ′A 、B ′B ，设△ACA ′ 和△BCB ′ 的面积分别为S △ACA ′ 和S △BC B′．求证：S △ACA ′ ：S △BC B′ =1：3；A ′B ′BCAθAθ A ′B ′BCB图（1）N 图（2）N 图（3） 第10题图12.在矩形ABCD 中，AB =2，AD =3．（1）在边CD 上找．一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明； （2）若P 为BC 边上一点，且BP =2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．13.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.第12题图第13题。
《平移与旋转》竞赛辅导-
《平移与旋转》竞赛辅导“平移与旋转”是继轴对称之后的另两种图形的基本变换．图形的变换是义务教育阶段数学课程中“空间与图形”领域的一个主要内容，通过学生所熟悉的实际生活现象，认识平移与旋转，进而探索图形变换的一些基本性质，体验变换的理念与思想，利用轴对称、平移与旋转或它们的组合进行图案设计，认识和欣赏图形的这些基本变换在现实生活中的应用．探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），拓展学生的思考与探索的空间，给学生解决一些简单的几何证明提供一点方法。
一、基本概念：1、在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形的形状和大小。
2、在平移过程中，图形的形状与大小都没有变化，从而能将一些简单的平面图形按要求平移到适当的位置．经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。
平移线段与原线段平行且相等；平移的角与原来的角的两边分别平行且方向一致。
3、为了寻求解题途径，可以把题目中的某些线段平移到某一适当的位置，作出辅助图形，使问题得到解决。
4、将平面图形绕平面内一定点旋转一个定角，得到与原来图形的形状和大小都一样的图形，这样的变换叫旋转变换。
5、一些绕着某一定点转动一定角度后能与自身重合的图形，这些图形都是旋转对称图形．这样的图形有许多，例如线段、等边三角形、平行四边形、圆等．6、经过旋转，图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向旋转了相同的角度。
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。
7、设点A和B的连线被直线L所垂直平分，则A点叫做点B关于L的对称点，直线L叫这两点的对称轴。
如果一点在对称轴上，那么它的对称点就是它本身。
对称点的连线垂直于对称轴。
DCBAEF231二、典型例题 1、平移例1 在△ABC 中，已知57AC AB ，BC=18，在边AB ，AC 上分别取一点D 、E ，使AD=CE ，且DE∥BC，求DE 的长。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十八讲 平移、对称、旋转(含答案)
第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。
初二上培优辅导资料4(平移与旋转 学生版)
初二上培优辅导资料4平移与旋转例1. 如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．例 2. 已知，在△ABC 中，AB=AC 。
过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角错误！未找到引用源。
，直线a 交BC 边于点P （点P 不与点B 、点C 重合），△BMN 的边MN 始终在直线a 上（点M 在点N 的上方），且BM=BN ，连接CN 。
当∠BAC=∠MBN=90°，θ=∠CAN 时①如图a ，当错误！未找到引用源。
=45°时，∠ANC 的度数为_______；②如图b ，当错误！未找到引用源。
≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（3题图） 练习题1．下列说法不正确的是（ ）（A ）图形平移是由移动的方向和距离所决定的。
（B ）图形旋转是由旋转中心和旋转角度所决定的。
（C ）等边三角形不可能通过旋转得到。
（D ）以平行四边形对角线的交点为旋转中心旋转可以得到与该平行四边形重合的图形。
2．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是 BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．43B ．33C ．23D ．33ABCD 沿对角线AC 平移，使点A 移至线段AC 的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )A ．2B ．21 C ．1 D ．414．已知，△ABC 的面积为48，将△ABC 沿BC 平移 到△A /B /C /，使B /和C 重合，连结AC /交AC 于点D ，则△C /DC 的面积为（ ）（A ） 24 （B ） 48（C ） 16 （D ） 85．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：( ) ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ≌△ACD ；③BE DC DE +=； ④222BE DC DE +=其中正确的是 A ．②④； B ．①④； C ．②③； D ．①③．AB C D EF（5题图） 题图）A /BC / D（B /）A C （4题图）（6题图）（8题图）（9题图）6.一副三角板按图1所示的位置摆放.将△DEF 绕点A （F ）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm ，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（ ）2cm A ．75B ． 32525+C ． 335025+D ． 332525+7 .如图，直角三角板ABC 的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A B C '''的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板平移的距离为（ ）A. 6㎝B. 4㎝C.（6－）㎝ D.（6）㎝8．如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ， 若△ABC 的周长为16cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）16cm B 18cm C 20cm D 22cm9．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ，∠B ）向内折起，点A ，B 恰好落在CD 边的点F 处．若AD =3，BC =5，则EF 的值是（ ） A B C D（7题图）（10题图） （12题图）10.如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是（ ） A （2，10） B （﹣2，0）C （2，10）或（﹣2，0）, D.（10，2）或（﹣2，0）11..在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得 到△BAE ，连接ED ，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）A . AE ∥BCB ∠ADE=∠BDCC . △BDE 是等边三角形D . △ADE 的周长是912 如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（2，），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ′，点A 的对应点A ′在x 轴上，则点O ′的坐标为（ ） A （，） B （，） C （，） D （，4）13.如图，将等腰直角△ABC 沿BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若 BC ＝32，△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则BB 1＝（11题图）（13题图）（15题图）（16题图）14．如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1， 将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A’B’D’的位置，得 到图2，则阴影部分的周长为15 如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A ′B ′C ′，若∠BAC =90°， AB =AC =，则图中阴影部分的面积等于 ．16 如图（1），有两个全等的正三角形ABC 和ODE ，点O 、C 分别为△ABC 、△DEO 的重心；固定点O ，将△ODE 顺时针旋转，使得OD 经过点C ，如图（2），则图（2）中四边形OGCF 与△OCH 面积的比为 ．17 .Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边 BC 上，BD ＝2CD （如图）．把△ABC 绕着点D 逆时针 旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始 Rt △ABC 的边上， 那么m ＝（14题图）（17题图）（21题图）18. .如图，在△ABC 中，AB=BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B 交AC 于点E ，A1C1分别交AC 、BC 于点D 、F ，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF ，③DF=FC ，④A1D =CE ，⑤A1F=CE.其中正确的是 (写出正确结论的序号).19 .如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°,将△ABC 绕 C 点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC ，设 CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为 时 △ADF 是等腰三角形。
苏教版四年级数学下册第一单元《平移、旋转和轴对称练习》优秀教案
苏教版四年级数学下册第一单元《平移、旋转和轴对称练习》优秀教案一. 教材分析苏教版四年级数学下册第一单元《平移、旋转和轴对称练习》是对之前学习的平移、旋转和轴对称知识的巩固和拓展。
本单元的内容包括理解平移、旋转和轴对称的概念，能够识别和分析实际生活中的平移、旋转和轴对称现象，以及运用平移、旋转和轴对称知识解决实际问题。
通过本单元的学习，学生能够加深对平移、旋转和轴对称的理解，提高解决问题的能力。
二. 学情分析四年级的学生已经学习了平移、旋转和轴对称的基本概念，对本单元的内容有一定的了解。
但是，学生在实际应用中可能会遇到一些困难，如对实际生活中的平移、旋转和轴对称现象的识别和分析能力较弱，以及解决实际问题的能力有待提高。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生将理论知识与实际生活相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解平移、旋转和轴对称的概念，能够识别和分析实际生活中的平移、旋转和轴对称现象。
2.过程与方法：学生能够运用平移、旋转和轴对称知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够培养对数学的兴趣，增强自信心，培养合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：学生能够理解平移、旋转和轴对称的概念，能够识别和分析实际生活中的平移、旋转和轴对称现象。
2.难点：学生能够运用平移、旋转和轴对称知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际生活中的情境，引导学生理解和应用平移、旋转和轴对称知识。
2.问题解决法：引导学生通过思考和讨论，解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教学材料：教材、PPT、实物模型、练习题等。
2.教学工具：投影仪、计算机、黑板、粉笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示实际生活中的平移、旋转和轴对称现象，引导学生回顾和复习之前学过的知识。
培优专题5 平移与旋转 (含解答)-
培优专题5 平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果．旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径．平移、旋转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的．例1如图，在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD=CE，试说明AB+AC>AD+AE．分析利用平移变换，•将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和．解：把△ABD作平移，使BD与EC重合，分别过点E作AB的平行线，过点A作BC•的平行线，两线交于点F，连结CF．再连结EF交AC于O．则AB=EF，∠ABD=∠FEC．∵BD=CE，∴△ABD≌△FEC．∴AD=CF．在梯形AECF中，AO+OE>AE，FO+OC>CF，∴AO+OE+FO+OC>AE+CF．即AC+EF>AE+CF．∴AB+AC>AD+AE．练习11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD+BC=3，AC=3，BD=6，求此梯形的面积．2．如图，长方形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条长方形道路LMPQ•及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，求花园中可绿化部分的面积．3．如图，△ABC中，E、F分别为AB、AC边上的点，且BE=CF，试说明EF<BC．例2 如图，△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中点，∠PMQ=90°，请说明PQ2=•AP2+BQ2．分析本题中PQ、AP、BQ不在同一个三角形中，•如果将它们平移，•使PQ、BQ分别转化为PD、AD，将三线段转化在同一三角形中，巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解．解：将BQ平移到AD，连结PD、MD．∵BQ∥AD，∴∠BAD=∠ABC．∵MA=MB，BQ=AD，∴△AMD≌△BMQ，∴∠AMD=∠BMQ．而∠AMQ+∠BMQ=180°，∴∠AMQ+∠AMD=180°．∴D、M、Q三点共线．∴∠PMD=∠PMQ=90°，MD=MQ．∴PQ=PD．∵∠PAD=∠BAC+∠BAD=∠BAC+∠ABC=90°．∴△PAD为直角三角形，PD2=AP2+AD2．∴PQ2=AP2+BQ2．1．如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角，•已知EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积．2．如图，△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，AN、CM•交于点P，•若BC=AM，BM=CN，求∠APM的度数．3．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0，请问，六边形ABCDEF的六个角是否都相等．例3如图，在正方形ABCD的边BC和CD上分别取点M和点K，并且∠BAM=∠MAK．求证：BM+KD=KA．分析把Rt△BAM绕点A顺时针旋转90°到△ADM′，使BM与DN拼成一条线段的KM′，只要证明KM′=KA即可．证明：把Rt△ABM绕点A旋转90°，则点B变为点D，M变为M′，则Rt•△BAM•≌Rt•△ADM′，∴∠M′=∠BMA∴DM′=BM．∵∠BAM=∠MAK，∴∠KAM′=∠MAD．∴∠KAM′=∠M′．∴AK=KM′．∴BM+KD=AM．1．如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D•的点，•且∠NMB=∠MBC，求AMAB的值．2．如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5：6：7，•求以PA、PB、PC之比为边的三角形三内角之比（从小到大）．3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥BC，且AH=1，•求四边形ABCD的面积．例4如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=7，求∠APC 的度数．分析本题将△BAP绕点A旋转90°，得到△CAQ，构造直角三角形，利用勾股定理求解解：将△BAP绕点A旋转90°，使AB与AC重合，得△CAQ，则△CAQ≌△BAP．∴AQ=AP=1，CQ=BP=3，∠CAQ=∠PAB，∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=∠PAC+∠PAB=90°Rt△AQP中，PQ2=AQ2+AP2=2，∴PQ=2，∴∠APQ=45°．在△CPQ中，PQ=2，CQ=3CP=7，CQ2=CP2+PQ2．∴△CPQ是直角三角形，∠CPQ=90°．∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°．练习41．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为________．2．如图，P是正方形内的点，若PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．3．如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD各有一点P、Q，若△APQ的周长为2，•求∠PCQ．例5 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值．分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把△ABP绕B点顺时针旋转60°得△DBC，则△ABP≌△DBC．∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°．∴△ABD是等边三角形，AD=AB=3．在△ACD中，有DC<AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DC≤5，•即AP≤5．……①在△ACD中，有DC>AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC≥1，•即AP≥1．……②由①②得AP最大值为5，最小值为1．练习51．如图，正方形ABCD中，有一个内接三角形AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，•求△EFC的面积．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，过BC上的中线AD=6，求BC的长．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，∠ADB>∠ADC．试证明：•CD>BD．答案:练习11．解：将BD 平移到CE 交AD 延长线于点E ， 则四边形BDEC 为平行四边形∴DE=BC ，CE=BD ，S △BCD =S △CDE ∵△ABC 与△DBC 同底等高， ∴S △ABC = S △BCD = S △CDE∵S 梯形ABCD = S △ABC + S △ACD = S △CDE + S △ACD = S △ACE ． 又AE=AD+DE=3=2236AC CE +=+，∴△ACE 为直角三角形，∠ACE=90°． ∴S 梯形ABCD = S △ACE =12·AC·CE=322．2．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（b-c ），宽（a-c ）的空白长方形，其面积为（b-c ）（a-c ）=ab-bc-ac+c 2．3．解：将EF 平移为BG ，BF 平移为FG ，作∠CFG 的角平分线交BC 于D ，连结DG ，•则由平移知四边形BEFG 是平行四边形． ∴EF=BG ，BE=FG ． ∵BE=CF ，∴FG=CF ． ∵∠1=∠2，FD=FD ． ∴△FGD ≌△FCD （SAS ）． ∴DG=CD ．在△BGD 中， ∵BG<BD+DG ，∴EF<BC ．练习21．解：过E 、F 、G 、H 分别平移AD 、AB ，交点分别为P 、Q 、R 、T ，则四边形PQRT•为矩形．设正方形边长为a ，PQ=b ，PT=c ，由勾股定理得b= 223a -，c=224a -， ∵S △AEH =S △TEH ，S △BEF =S △PEF ， S △CFG =S △QFG ， S △DGH =S △RGH 则S 正方形ABCD +S 矩形PQRT =2S 四边形EFGH ∴a 2+b·c=10． 即a 2+223a -·224a -=10．∴5a2=44，a2=445．∴S正方形ABCD=445．2．解：把MC平移，使点M至A点，过A作MC的平行线，过点C作AB的平行线，•两线交于点D，则MC=AD．∠APM=∠NPC=∠NAD……①∵BM=NC，CD=AM=BC，∠DCN=∠CBM=90°，∴△DCN≌△CBM．从而DN=MC，∴DN=DA……②∴∠CMB=∠DNC．∵∠BCM+∠DMB=90°，∴∠BCM+∠DNC=90°．即MC∥AD．∴ND⊥AD．……③由①，②，③得∠APM=45°．3．解：六个角都相等且都等于120°．将AB沿着BC平移到QC，CD沿着DE平移到ER，EF沿着FA平移到AP，∵AB∥ED，BC∥EF，CD∥AF，∴AB=QC，BC=AQ，CD=ER，DE=CR，EF=AP，FA=PE．∵AB-ED=CD-AF=EF-BC，∴QC-CR=ER-PE=AP-AQ．即PQ=PR=QR．∴∠1=∠2=∠3=60°．由平行线性质知：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°．练习31．解：将△BAM绕B点旋转90°，A点变为C点，M点变为P点，连结MP，则△BAM≌△BCP．∴∠BPC=∠BMA=∠CBM=∠NMB．∵BM=BP，∴∠NMP=∠NPM．∴MN=NP=NC+CP=NC+AM．设AB=1，AM=x，在Rt△MND中，则有12+x=221()(1)2x+-．∴x=13．即AMAB=13．2．解：将△ABP绕B点顺时针旋转60°得△BCP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴AP=P′C，BP=BP′，∠APB=∠CP′B．∵∠PBP′=60°，∴△BPP′是等边三角形．∴PP′=BP，∠BPP′=60°=∠BP′P．∵∠APB：∠BPC：∠CAP=5：6：7，又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠1=120°-60°=60°，∠2=100°-60°=40°，∠PCP′=180°-60°-40°=80°．由PA=P′C，PP′=PB，∴△PP′C是由PA、PB、PC组成的三角形．∴三内角之比为2：3：4．3．解：将△ABH绕A点旋转90°得△ADP，则△ABH≌△ADP．∴∠APD=∠AHB=90°，AH=AP．∵∠BAD=∠BCD=90°，∠HAP=90°．∴四边形AHCP是正方形．∵AH=1，∴S正方形AHCP=1=S四边形AHCD+S△ADP．S四边形ABCD=S四边形AHCD+S△ABH．又∵S△AOP =S△ABH．∴S四边形ABCD=S正方形AHCP=1．练习41．解：如图，以A为中心将△ACP绕A顺时针旋转60°，则C与B重合，P与P′重合，连结AP′，BP′，PP′则AP′=AP，BP′=CP，∠PAP′=60°．∴△APP′是等边三角形，PP′=3．△BPP′中，BP=4，PP′=3，BP′=CP=5．由32+42=52．∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°．∴∠BPA=150°．过B作BE⊥AP，交AP延长线于E．∵∠EPB=180°-150°=30°，在Rt△BEP中，BP=4，BE=2，EP=23，Rt△ABE中，BE=2，AE=23+3，AB2=22+（23+3）2=25+123．2．解：将△ABP绕B点旋转90°，得△CBP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴PB=BP′=2，AP=P′C=1，∠APB=∠CP′B．在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴PP′=22，∠BP′P=45°．在△PP′C中，PC=3，P′C=1，PP′=22．有PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°．∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=135°．3．解：将△CDQ绕C点旋转90°，得△CBM，则△CDO≌△CBM，∠QCM=90°．∵∠D=90°，∠CBA=90°，∴P、B、M在一条直线上．∵QA+AP+QP=2，DQ+AQ+AP+BP=2，∴QP=DQ+BP．∵BM=DQ，PM=PB+BM，∴QP=PM．又CP=CP，CQ=CM．∴△CQP≌△CMP．∴∠QCP=∠PCM．又∠QCP+∠PCM=∠QCM=900∴∠PCQ=45°．练习51．解：把△ADF绕A点旋转到△ABD′的位置．∵∠D和∠ABC均为直角，∴D′、B、E三点在一条直线上，∵∠EAF=45°，∴∠D′AE=45°．在△AD′E和△AEF中，AD′=AF，AE=AE，∠D′AE=∠EAF，∴△AD′E≌△AFE．∴S△D`EF =2S△AD`E =S ABEFD=S正方形ABCD-S△EFC．∴S△EFC =S正方形ABCD-S ABEFD=S正方形ABCD-2S△AD`E =82-2×12×8×7=8．2．解：将△ADC绕D点旋转180°得△BDE．∵BD=CD．- 11 - ∴C 与B 重合，设A 落到E 处，显然A 、D 、E 共线．在△ABE 中，BE=AC=13，AB=5，AE=2AD=12． 则有132=122+52．∴△ABE 为直角三角形，∠BAE=90°． 在Rt △ABD 中，AB=5，AD=6，则有BD=2256 =61．∴BC=2BD=261．3．证明：将△ABD 绕A 点旋转∠BAC 的度数， 得△ACE ，连结DE ．由于AB=AC ． ∴B 与C 重合，则△ABD ≌△ACE ． ∵AD=AE ，∴∠1=∠2．∵∠AEC=∠ADB>∠ADC ．∴∠4>∠3，∴CE<DC ．∵BD=CE ，∴CD>BD ．。
与直角有关的的旋转翻折平移专题培优
第二讲 与直角有关的折叠、旋转一、知识点睛1. 将直角三角形的性质有序地梳理打包，就明确了直角特征常见的思考角度．与直角有关的折叠、旋转问题，往往需要借助折叠、旋转转移条件，然后围绕直角特征的使用去组合、搭配．2. 折叠与旋转都是____________，变换前后______________、_______________都相等，从而实现条件的转移．旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等，旋转出现______________；同样的，如果基本图形能够提供_____________（如等边三角形、等腰直角三角形等），可以考虑利用旋转思想解决问题．二、精讲精练1. 把一张矩形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，使顶点B 和顶点D 重合，折痕是EF ．若BF =4，CF =2，则∠DEF =________．D (B )A 1EABF CD'C'G FE DC BA第1题图 第2题图2. 如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE =2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C ，D 分别落在边BC 下方的点C ′，D ′处，且点C ′，D ′，B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D ′F 与BE 交于点G ．设AB =t ，那么△EFG 的周长为_________（用含t 的代数式表示）．3. 如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB的中点E 处，则∠A =__________．E D CB4. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若1CG GB k=，则ADAB=_________（用含k 的代数式表示）． G ABE CD F5. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为________．DCQA'PAB BACD 6. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm （玻璃杯厚度忽略不计）．C A蚂蚁蜂蜜C'B'C AB第6题图 第7题图7. 如图，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB ′C ′，点C ′恰好落在边AB上，连接BB ′，则∠BB ′C ′=_________．8. 把一副三角板如图1放置，其中∠ACB =∠DEC =90°，∠A =45°，∠D =30°，斜边AB =6，DC =7，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，与D 1E 1交于点F ，连接AD 1，则线段AD 1的长为（ ）A．B ．5C ．4D图1图2COAADB CFE 1D 19. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =50°，点D 在边BC 上，BD =2CD ．把△ABC绕着点D 逆时针旋转m （0<m <180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m =______．10. 探究：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，AE ⊥CD 于点E ．若AE =10，则四边形ABCD 的面 积为__________．应用：如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，AB =AD ，AE ⊥BC 于点E ．若AE =19，BC =10，CD =6，则四边形ABCD 的面积为__________．图1图2DAB ECCEBAD11. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB 的度数．APB12. 如图，P 是正方形ABCD 内一点，且PA =1，PB =2，PC =3．求∠APB 的度数．ABCDP。
培优专题5-平移与旋转-(含解答)-(改后)教学提纲
培优专题5 平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果．旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径． 平移、旋转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的． 例1 如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 边上两点，BD=CE ，试说明AB+AC>AD+AE ．分析 利用平移变换，•将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和． 练习11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD+BC=3，，求此梯形的面积．2．如图，长方形花园ABCD 中，AB=a ，AD=b ，花园中建有一条长方形道路LMPQ•及一条平行四边形道路RSTK ，若LM=RS=c ，求花园中可绿化部分的面积．3．如图，△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且BE=CF ，试说明EF<BC ．例2 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，M 是AB 的中点， ∠PMQ=90°，请说明PQ 2=•AP 2+BQ 2．分析 本题中PQ 、AP 、BQ 不在同一个三角形中，•如果将它们平移，•使PQ 、BQ 分别转化为PD 、AD ，将三线段转化在同一三角形中，巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解．练习21．如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，∠BEG 与∠CFH都是锐角，•已知EG=3，FH=4，四边形EFGH 的面积为5，求正方形ABCD 的面积．2．如图，△ABC 中，∠B=90°，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，AN 、CM•交于点P ，•若BC=AM ，BM=CN ，求∠APM 的度数．3．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0，请问，六边形ABCDEF 的六个角是否都相等．例3 如图，在正方形ABCD 的边BC 和CD 上分别取点M 和点K ，并且∠BAM=∠MAK ．求证：BM+KD=KA ．分析 把Rt △BAM 绕点A 顺时针旋转90°到△ADM ′，使BM 与DN 拼成一条线段的KM ′，只要证明KM ′=KA 即可． 练习31．如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D•的点，•且∠NMB=∠MBC ，求AMAB的值．2．如图，P 是等边△ABC 内一点，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比为5：6：7，•求以PA 、PB 、PC 之比为边的三角形三内角之比（从小到大）．3．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=∠BCD=90°，AH ⊥BC ，且AH=1，•求四边形ABCD 的面积．例4 如图，在等腰三角形ABC 中，∠CAB=90°，P 是△ABC 内一点，且PA=1，PB=3，，求∠APC 的度数．分析 本题将△BAP 绕点A 旋转90°，得到△CAQ ，构造直角三角形，利用勾股定理求解 练习41．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为________．2．如图，P 是正方形内的点，若PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的度数．3．如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 各有一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，•求∠PCQ ．例5 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边Array的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值．分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把△ABP绕B点顺时针旋转60°得△DBC，则△ABP≌△DBC．∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°．∴△ABD是等边三角形，AD=AB=3．在△ACD中，有DC<AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DC≤5，•即AP≤5．……①在△ACD中，有DC>AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC≥1，•即AP≥1．……②由①②得AP最大值为5，最小值为1．练习51．如图，正方形ABCD中，有一个内接三角形AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，•求△EFC的面积．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，过BC上的中线AD=6，求BC的长．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，∠ADB>∠ADC．试证明：•CD>BD．答案:练习11．解：将BD平移到CE交AD延长线于点E，则四边形BDEC为平行四边形∴DE=BC，CE=BD，S△BCD=S△CDE∵△ABC与△DBC同底等高，∴S△ABC = S△BCD = S△CDE∵S梯形ABCD= S△ABC + S△ACD = S△CDE + S△ACD = S△ACE．又=∴△ACE为直角三角形，∠ACE=90°．∴S梯形ABCD= S△ACE =12·AC·CE=32．2．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（b-c），宽（a-c）的空白长方形，其面积为（b-c）（a-c）=ab-bc-ac+c2．3．解：将EF平移为BG，BF平移为FG，作∠CFG的角平分线交BC于D，连结DG，•则由平移知四边形BEFG是平行四边形．∴EF=BG，BE=FG．∵BE=CF，∴FG=CF．∵∠1=∠2，FD=FD．∴△FGD≌△FCD（SAS）．∴DG=CD．在△BGD中，∵BG<BD+DG，∴EF<BC．练习21．解：过E、F、G、H分别平移AD、AB，交点分别为P、Q、R、T，则四边形PQRT•为矩形．设正方形边长为a，PQ=b，PT=c，由勾股定理得b=∵S△AEH =S△TEH，S △BEF =S △PEF ， S △CFG =S △QFG ， S △DGH =S △RGH 则S 正方形ABCD +S 矩形PQRT =2S 四边形EFGH ∴a 2+b·c=10． 即a 2=10．∴5a 2=44，a 2=445． ∴S 正方形ABCD =445．2．解：把MC 平移，使点M 至A 点，过A 作MC 的平行线，过点C 作AB 的平行线，•两线交于点D ，则MC=AD ． ∠APM=∠NPC=∠NAD ……① ∵BM=NC ，CD=AM=BC ， ∠DCN=∠CBM=90°， ∴△DCN ≌△CBM ．从而DN=MC ，∴DN=DA ……② ∴∠CMB=∠DNC ．∵∠BCM+∠DMB=90°， ∴∠BCM+∠DNC=90°．即MC ∥AD ． ∴ND ⊥AD ．……③ 由①，②，③得∠APM=45°．3．解：六个角都相等且都等于120°．将AB 沿着BC 平移到QC ，CD 沿着DE 平移到ER ， EF 沿着FA 平移到AP ，∵AB ∥ED ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，∴AB=QC ，BC=AQ ，CD=ER ，DE=CR ，EF=AP ，FA=PE ． ∵AB-ED=CD-AF=EF-BC ， ∴QC-CR=ER-PE=AP-AQ ．即PQ=PR=QR ．∴∠1=∠2=∠3=60°．由平行线性质知：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°． 练习31．解：将△BAM 绕B 点旋转90°，A 点变为C 点，M 点变为P 点，连结MP ， 则△BAM ≌△BCP ．∴∠BPC=∠BMA=∠CBM=∠NMB ． ∵BM=BP ，∴∠NMP=∠NPM ． ∴MN=NP=NC+CP=NC+AM ．设AB=1，AM=x ，在Rt △MND 中，则有12∴x=13． 即AM AB =13．2．解：将△ABP 绕B 点顺时针旋转60°得△BCP ′，连结PP ′， 则△ABP ≌△CBP ′． ∴AP=P ′C ，BP=BP ′， ∠APB=∠CP ′B ． ∵∠PBP ′=60°，∴△BPP ′是等边三角形．∴PP ′=BP ，∠BPP ′=60°=∠BP ′P ． ∵∠APB ：∠BPC ：∠CAP=5：6：7， 又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°， ∴∠1=120°-60°=60°， ∠2=100°-60°=40°，∠PCP ′=180°-60°-40°=80°．由PA=P ′C ，PP ′=PB ， ∴△PP ′C 是由PA 、PB 、PC 组成的三角形． ∴三内角之比为2：3：4．3．解：将△ABH 绕A 点旋转90°得△ADP ， 则△ABH ≌△ADP ．∴∠APD=∠AHB=90°， AH=AP ．∵∠BAD=∠BCD=90°，∠HAP=90°． ∴四边形AHCP 是正方形． ∵AH=1，∴S 正方形AHCP =1=S 四边形AHCD +S △ADP ． S 四边形ABCD =S 四边形AHCD +S △ABH ． 又∵S △AOP =S △ABH ．∴S 四边形ABCD =S 正方形AHCP =1． 练习41．解：如图，以A 为中心将△ACP 绕A 顺时针旋转60°，则C 与B 重合，P 与P ′重合，连结AP ′，BP ′，PP ′则AP ′=AP ，BP ′=CP ，∠PAP ′=60°． ∴△APP ′是等边三角形，PP ′=3．△BPP ′中，BP=4，PP ′=3，BP ′=CP=5．由32+42=52．∴△BPP ′为直角三角形，∠BPP ′=90°． ∴∠BPA=150°．过B 作BE ⊥AP ，交AP 延长线于E ． ∵∠EPB=180°-150°=30°，在Rt △BEP 中，BP=4，BE=2，Rt △ABE 中，BE=2，，AB 2=22+（）22．解：将△ABP 绕B 点旋转90°，得△CBP ′，连结PP ′，则△ABP ≌△CBP ′． ∴PB=BP ′=2，AP=P ′C=1，∠APB=∠CP ′B ． 在Rt △PBP ′中，BP=BP ′=2， ∴PP ′BP ′P=45°．在△PP ′C 中，PC=3，P ′C=1，PP ′．有PC 2=P ′C 2+P ′P 2，∴△PP ′C 是直角三角形， ∠PP ′C=90°．∴∠APB=∠CP ′B=∠BP ′P+∠PP ′C=135°．3．解：将△CDQ 绕C 点旋转90°，得△CBM ，则△CDO ≌△CBM ，∠QCM=90°． ∵∠D=90°，∠CBA=90°， ∴P 、B 、M 在一条直线上．∵QA+AP+QP=2，DQ+AQ+AP+BP=2， ∴QP=DQ+BP ．∵BM=DQ ，PM=PB+BM ， ∴QP=PM ．又CP=CP ，CQ=CM ． ∴△CQP ≌△CMP ． ∴∠QCP=∠PCM ．又∠QCP+∠PCM=∠QCM=900∴∠PCQ=45°． 练习51．解：把△ADF 绕A 点旋转到△ABD ′的位置． ∵∠D 和∠ABC 均为直角，∴D ′、B 、E 三点在一条直线上， ∵∠EAF=45°，∴∠D ′AE=45°． 在△AD ′E 和△AEF 中，AD ′=AF ，AE=AE ，∠D ′AE=∠EAF ， ∴△AD ′E ≌△AFE ．∴S△D`EF =2S△AD`E =S ABEFD=S正方形ABCD-S△EFC．∴S△EFC =S正方形ABCD-S ABEFD=S正方形ABCD-2S△AD`E =82-2×12×8×7=8．2．解：将△ADC绕D点旋转180°得△BDE．∵BD=CD．∴C与B重合，设A落到E处，显然A、D、E共线．在△ABE中，BE=AC=13，AB=5，AE=2AD=12．则有132=122+52．∴△ABE为直角三角形，∠BAE=90°．在Rt△ABD中，AB=5，AD=6，则有∴．3．证明：将△ABD绕A点旋转∠BAC的度数，得△ACE，连结DE．由于AB=AC．∴B与C重合，则△ABD≌△ACE．∵AD=AE，∴∠1=∠2．∵∠AEC=∠ADB>∠ADC．∴∠4>∠3，∴CE<DC．∵BD=CE，∴CD>BD．。
平移与旋转---培优材料
平移与旋转1、 如图，长方形ABCD 中， AB=8，BC=10，则图中五个小矩形的周长 之和为_____________（1题） （2题） （3题） （4题） 2、 如图所示，一块边长为8米的正方形土地，上面修了横竖各两条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草，则种花草的面积是 _________3、如图，在长方形ABCD 中，AB=10cm ，BC=6cm ，将长方形ABCD 沿着AB 方向平移 ________cm ，才能使平移后的长方形EFGH 与原来的长方形ABCD 重叠部分的面积为24cm ²。
4、如图，在直角三角形ACB 中，∠C=90°，AC=5厘米，把直角三角形ACB 向右平移后，得到图中阴影部分的面积为10平方厘米，则直角三角形向右平移了 ____________厘米。
5、某宾馆重新装修后准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为30元，主楼梯道宽2m ，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要________元．5题 6题6、如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为________7、如图是图形的操作过程（四个长方形水平方向的边长均为a ，竖立方向的边长均为b ）：将线段21A A 向右平移1个单位得到21B B ，得到封闭图形1221B B A A （阴影部分如图①）；将折线321A A A 向右平移1个单位得到321B B B ，得到封闭图形123321B B B A A A （即阴影部分如图②）.（1）在图③中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影。
（2）请你分别写出上述三个阴影部分外的面积1S =___________，2S = ___________，S= ___________ .38、如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3= _________ ．9、如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°9题 10题11题10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC，此时点E在AB边上，则旋转角的大小为（）A．αB．2αC．90°﹣αD．90°﹣2α11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，点D在AB边上，则△BCD的形状为_________．12、如图，正方形ABCD中，点F在边BC上，E在边BA的延长线上．（1）若△DCF按顺时针方向旋转后恰好与△DAE重合．则旋转中心是点_________；最少旋转了_________度；（2）在（1）的条件下，若AE=3，BF=2，求四边形BFDE的面积．13、已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.。
图形的平移和旋转(教案和习题)
图形的平移和旋转教学目标：1. 理解平移和旋转的概念。
2. 学会用平移和旋转的方法来变换图形。
3. 能够判断图形是否发生了平移或旋转。
教学重点：1. 平移和旋转的定义。
2. 平移和旋转的方法。
3. 平移和旋转的性质。
教学难点：1. 理解平移和旋转的本质区别。
2. 学会用平移和旋转的方法来变换复杂图形。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 图形卡片。
3. 练习题。
教学过程：第一章：平移的概念和性质1.1 引入平移的概念教师展示一些平移的实例，如滑滑梯、电梯等，引导学生感受平移的特点。
1.2 学习平移的性质学生通过观察和操作，发现平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
1.3 练习平移学生分组合作，用图形卡片进行平移操作，体会平移的方法。
第二章：旋转的概念和性质2.1 引入旋转的概念教师展示一些旋转的实例，如旋转门、风车等，引导学生感受旋转的特点。
2.2 学习旋转的性质学生通过观察和操作，发现旋转不改变图形的大小，只改变图形的位置和方向。
2.3 练习旋转学生分组合作，用图形卡片进行旋转操作，体会旋转的方法。
第三章：平移和旋转的判定3.1 学习平移的判定方法学生通过观察和操作，学会判断图形是否发生了平移。
3.2 学习旋转的判定方法学生通过观察和操作，学会判断图形是否发生了旋转。
3.3 练习判断学生独立完成判断题目，巩固平移和旋转的判定方法。
第四章：平移和旋转的应用4.1 学习用平移和旋转的方法来变换图形学生通过观察和操作，学会用平移和旋转的方法来变换图形。
4.2 练习变换学生独立完成变换题目，巩固平移和旋转的变换方法。
第五章：总结与拓展5.1 总结平移和旋转的概念、性质和判定方法学生通过回顾本节课的内容，总结平移和旋转的概念、性质和判定方法。
5.2 拓展平移和旋转的应用学生分组合作，用平移和旋转的方法来创作有趣的图形图案。
教学评价：1. 通过课堂观察，评价学生对平移和旋转概念的理解程度。
2. 通过练习题，评价学生对平移和旋转性质的掌握程度。
第三讲平移与旋转培优
第三讲：平移和旋转知识点1．平移的定义与规律关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．（1）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．（2）简单作图平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．2．旋转的定义与规律（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转．关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．（2）旋转的规律经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（3）简单的旋转作图：旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．例题讲解1、如图所示：正方形ABCD中E为BC的中点，将面ABE旋转后得到△CBF.（1）指出旋转中心及旋转角度．（2）判断AE与CF的位置关系．（3）如果正方形的面积为18cm2，△BCF的面积为4cm2,问四边形AECD的面积是多少？2、如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE＋DF＝EF，求∠EAF3、如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG 交BD于点F，求证：OE=OF。
4．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且AE=BE+FD，请说出AF平分∠DAE的理由。
5、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结P A 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连结CQ ． （1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若P A ：PB ：PC =3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．6、如图，正方形纸片ABCD 和正方形EFDH 边长都是1，点E 是正方形ABCD 的中心，在正方形EFGH 绕着点E 旋转过程中，（1）观察两个正方形的重叠部分的面积是否保持不变？ （2）如果保持不变，求出它的值；否则，请简要说明理由。
图形的平移与旋转 培优补差
初三年级培优拔高训练
1.如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为16cm ，求四边形ABFD 的周长.
变式：⑴如图，将边长为5的等边△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移
距离是BC 的两倍，求四边形ACED 及ABFD 的周长.
⑵如图，将面积为5的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是BC 的两倍，求四边形ACED 的面积. 2. 将△ABC 绕点A 旋转25︒后到△ADE ，80∠=︒BAC ,AB=AD ，求BAE ∠的大小.
易错点：
3. 在小正方形组成的14×13的网格中，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''的位置如图1所示.若四边形ABCD 平移后，与四边形A B C D ''''成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形2222A B C D .
4. △ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示. (1)作△ABC 关于点C 成中心对称的△A 1B 1C 1.
(2)将△A 1B 1C 1向右平移4个单位,作出平移后的△A 2B 2C 2.
(3)在x 轴上求作一点P,使PA 1+PC 2的值最小,并写出点P 的坐标.。
《平移和旋转》教案五篇(教案)
其次，关注学生的个体差异。在课堂教学中，我发现有的学生对平移和旋转的理解较快，而有的学生则较慢。针对这种情况，我应适当调整教学节奏，给予理解较慢的学生更多的关注和指导，确保每个学生都能跟上教学进度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用纸张进行平移和旋转，这个操作将演示平移和旋转的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平移和旋转在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
-突破方法：通过大量实例和练习，让学生掌握判断的技巧。
-实际问题中的应用：学生在将平移和旋转应用到解决具体问题时可能不知道如何入手。
-突破方法：通过案例分析，引导学生逐步分析问题，找到解决策略。
-创新设计：学生在利用平移和旋转进行创新设计时可能缺乏想象力。
-突破方法：鼓励学生进行头脑风暴，尝试不同的组合和变换，激发创造力。
今天的学习，我们了解了平移和旋转的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些概念的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在本次《平移和旋转》的教学中，我发现学生们对平移和旋转的概念有了初步的理解，但真正应用到实际问题中时，还存在一些困难。我意识到，在今后的教学中，需要从以下几个方面进行改进和加强。
初二平移与旋转辅导
初二平移与旋转辅导一：知识点1．平移的定义与规律关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．（1）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．2．旋转的定义与规律（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转．关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．（2）旋转的规律经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．一、选择题1、如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A’OB’可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点A’在AB上，则旋转角α的大小可以是（）A．30°B．45°C．60° D．90°2、如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A、B、C1在同一条直线上，那么这个角度等于（）A.120°B.90°C. 60°D. 30°二、填空题。
1、如图，已知△ABD沿BD平移到了△FCE的位置，BE＝10，CD＝4，则平移的距离是。
2. 平移不改变图形的和，只改变图形的。
3、如图，把大小相等的两个长方形拼成L形图案，则∠FCA＝度。
4、如图，正方形A B C D 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．5、如图直角三角形AOB 顺时针旋转后与△COD 重合，若∠AOD ＝127°，则旋转角度是 。
6．(2010年兰州市)如图，直角梯形ABCD，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ． 三．解答题1、如图，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD 向左平移6个单位长度得到梯形A 1B 1C 1D 1.（1）请你在平面直角坐标系中画出梯形A 1B 1C 1D 1 ；（6分）（2）以点C 1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C 1顺时针方向旋转90 得到梯形A 2B 2C 2D 2 ，请你画出梯形A 2B 2C 2D 2．（6分）2、（10分）如右图所示，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后， 能与△ACP ′重合，如果AP=3，求PP ′的长。
北师版数学三年级下册-《平移和旋转》家教辅导建议
家教辅导建议
辅导重点：
判断平移的方向和距离及画平移后的图形。
相关知识说明：
描述图形的平移变化，首先要说清楚平移的方向，接着要准确说出平移的距离（在方格纸上是指平移的格数）。
在图形平移的过程中每个点平移的距离都是相等的。
因此，在确定图形平移的格数时，只要观察图形上某一点在平移中移动了几格就可以了。
在方格纸上画平移后的图形的方法：按顺序找出所画图形的几个关键点或线段，按要求平移相应的格数，然后再把这些点或线段顺次连接起来即可。
辅导方法提示：
当孩子错误地把在两个图形中间的空格是几格理解为移动几格时，家长可以结合孩子的做题情况，进行有针对性的指导。
在判断图形平移的方向和距离时，重点要找准原图形上某一关键点，然后沿着平移的方向，一个格子一个格子地数到对应的关键点的位置，从而判断原图形平移的距离。
画图也是先按顺序确定原图形的几个关键点，再按要求找关键点平移后的点连接即可。
辅导效果测评：
1．填一填。
(1)图①向( )平移了( )格。
(2)图②向( )平移了( )格。
2．按要求画图。
(1)画出图1向下平移4格后的图形。
(2)画出图2向左平移8格后的图形。
(3)画出图3向右平移6格后的图形。
答案
1．(1)下6(2)上6
2．。
北师大八年级下图形的平移与旋转培优辅导第1讲：图形的平移与旋转
图形的平移与旋转知识点:图形的平移1、如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要米。
2、如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，AB=10, DO=4,平移距离为6，则阴影部分的面积为 。
3、如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵]; （1）在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.（2）请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 123（3）联想与探究：如图（4），在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？⑶ ⑷知识点：图形的旋转1、如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是。
2、一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与点F重合，边CA与边FE叠合，顶点B, C, D在一条直线上）.将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后(0<n<180),如果EF//AB,那么n的值是。
3、如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°, ∠B=60°, BC=2, △A'B'C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点，连接AB',且点A, B', A′在同一条直线上，则AA'的长为。
4、在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=150°,点A到BC的距离为1，与AB重合的一条射线AP,从AB开始，以每秒15°的速度绕点A逆时针匀速旋转，到达AC后立即以相同的速度返回AB,到达后立即重复上述旋转过程.设AP与BC边的交点为M,旋转2019秒时，BM= , CM= 。
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1、如图11-3所示，在△ABC中，∠C=900，AC=BC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A1B1C1的位置。
①若平移的距离为3，则△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为多少？②若平移的距离为x(0≤x≤4)，△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为y，则y与x之间的关系是什么？
2、把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.在上述旋转过程中，BH与CH有怎样的数量关系？四边形BHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
3、已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝2。
若点F 从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒。
当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O。
（1）设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；（2）当t为何值时，AB⊥GH；（3）请你证明△GFH的面积为定值；（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点。
4、
D
D
A
B
如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=900，点B、E、F，按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF
(1)如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为____，位置关系为____（不证明）．
(2)如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a(O<a<450)，则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．
(3)如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是________
1
1
A
G(O)
E
C B
F
①
B。